信号与系统课后习题与解答第三章

3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。

图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为Te jE e jE e jEe jEt f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。

若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。

解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为T e n Sa TE t f tjn πωτωτω2,2)(111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞∞- 且基波幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅T t E Eππτωπsin 22sin 21 三次谐波幅度为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅T t E E ππτωπ3sin 3223sin 321 另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频1ω。

周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒==τπωπτωτπω2n 2n 211令。

注意，频谱还可以表示为频率f 的函数。

由f πω2=可知，若以f 为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为τ1=f 。

依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下： （1）)(1t f 的谱线间隔kHz s T 1000111===μ 带宽（第一零点位置）kHz s20005.011===μτ（2）)(2t f 的谱线间隔kHz s T 31031311⨯===μ 带宽kHz s 310325.111⨯===μτ（3）)(1t f 的基波幅度πμμππ215.0sin 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=s s )(2t f 的基波幅度πμμππ635.1sin 32=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=s s 因此)(1t f 的基波幅度：)(2t f 基波幅度3:16:2=ππ（4）)(2t f 的三次谐波幅度πμμππ235.13sin 332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=s s 因此)(1t f 基波幅度：)(2t f 三次谐波幅度1:12:2=ππ3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。

图3-32T解 由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而0=n b 即)(t f 不包含正弦谐波分量。

2)(2220E dt t f T a TT ==⎰-⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=====⎰⎰⎰- ,3,1,)(4,4,2,012cos )(8)sin()sin(18)cos(242,2)cos()(22121201201122011221n n E n T n T n E dt t n t n t n T E dtt n t TE T TE dt t n t f T a T T TTT n πωωωωωωπωω 从而T t t t E E t f πωωωωπ2,)5cos(51)3cos(31)cos(42)(1121212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=幅度谱如图3-4所示。

图3-41113-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。

若V E 10=，kHz f 10=,大致画出幅度谱。

T图3-54T T -4T -解 由图可知，)(t f 为偶函数，因而0=n bππE dt t T E T dt t f T a TT T T =⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰--442202cos 1)(1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-===⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰- ,6,4,2,2cos )1(2,7,5,3,01,2121sin 121sin 2)1(cos 2)1(cos 22,)2cos(2cos 4)cos()(2240140221n n n E n n En n n n E dt t T n t T n T E T dt t T n t T E T dt t n t f T a TTTT n ππππππππωππω从而T t t t t t E E t E t E t E t Et E Et f πωωπωπωπωπωπωπωπωπωπωπ2,)8cos(634)6cos(354)4cos(154)2cos(34)cos(2)8cos(632)6cos(352)4cos(152)2cos(32)cos(2)(11111111111=⎥⎦⎤+-+-⎢⎣⎡++=+-+-++=若kHz f V E 10,10==，则幅度谱如图3-6所示。

kHz3-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图。

图3-7解 图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数,2,1,22112,)(1012010111±±=-==⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+-===---⎰⎰n n jE n j E te jn T E dt e E t T E T Tdt e t f T F T t jn T t jn T tjn n ππωπωωωω从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=-+-+-=-- 22cos 212cos 2)2sin(21)sin(244222)(1111221111πωπωπωωπππππωωωωt t E E t t E E e jE e jE e jE e jE E t f tj t j t j t j幅度谱和相位谱分别如图3-8（a ）、（b ）所示。

图3-8(a)(b)3-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。

(a)图3-9(b)(c)(d)(e)(f)解（a）如图3-9（a）所示。

因为)(t f是偶函数，所以不含正弦波；又因为)(t f是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。

综上，)(t f只含奇次余弦分量。

（b）如图3-9（b）所示。

因为)(t f是奇函数，所以不含正弦波；又因为)(t f是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。

综上，)(t f只含奇次余弦分量。

（c ）如图3-9（c ）所示。

因为)(t f 是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。

（d ）如图3-9（d ）所示。

因为)(t f 是奇函数，所以只包含正弦分量。

（e ）如图3-9（e ）所示。

因为)(t f 是偶函数，所以不含正弦项；又因为)(t f 是偶谐函数)(2t f T t f =⎪⎭⎫⎝⎛+即，所以不含奇次谐波分量。

综上，)(t f 只含有直流和偶次余弦分量。

(f)如图3-9（f ）所示。

因为)(t f 是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为21)(-t f 是奇函数，所以21)(-t f 只包含正弦分量。

综上，)(t f 只包含直流和偶次谐波的正弦分量。

3-8 求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。

(a)图3-10(b)解 （a ）如图3-10（a ）所示。

此题中的)(t f 与题3-4中的信号（记为)(1t f ）在图形上相同，只是平移了4T ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4)(1T t f t f由题3-4知，T t t t E E t f πωωωωπ2,)5cos(51)3cos(31)cos(42)(11212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=则T t t t t E E t t t t E E t t t E E T t T t T t E E t f πωωωωωπωωωωππωπωπωπωωωπ2,)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(42)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(4225cos 51233cos 312cos 4245cos 5143cos 314cos 42)(11212121212121212121212121212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=（b ）如图3-10（b ）所示。