数学模型层次分析法的广泛应用
层次分析法在企业财务风险分析中的应用
层次分析法在企业财务风险分析中的应用一、层次分析法简介层次分析法（AHP）是由美国学者托马斯·塞伦提出的，是一种用于多准则决策的数学模型，通过构建层次结构，将复杂的决策问题分解成若干层次，从而进行逐层比较和综合，最终得出最优决策结果的方法。
AHP方法将问题划分为目标层、准则层和方案层，通过构建层次结构和专家判断矩阵，计算得出各层次因素的权重和最终决策结果，以实现多准则决策的科学性和合理性。
在企业财务风险分析中，AHP方法可以应用于构建企业财务风险评估模型，帮助企业管理者全面了解企业面临的各种财务风险，有效地进行风险管控和决策。
二、AHP在企业财务风险分析中的应用1.建立层次结构模型在进行企业财务风险分析时，首先需要确定目标层、准则层和方案层，构建一个层次结构模型。
目标层即是企业财务风险评估的目标，准则层包括各种影响企业财务风险的因素，如负债率、偿债能力、盈利能力、流动性等，方案层则是各种风险应对策略和措施。
通过构建层次结构模型，可以将复杂的财务风险问题分解成若干个层次，并且明确了解各因素之间的关系，有助于深入分析和综合评价。
2.建立判断矩阵当层次结构模型构建完成后，就需要对各级因素进行两两比较，得到专家判断矩阵。
专家判断矩阵是一种用于表达专家意见和判断结果的矩阵，通过专家对各因素之间的重要性进行比较，可以得出各因素之间的权重，从而为最终的决策提供依据。
在比较负债率和偿债能力时，专家可以通过打分的方式对两者的重要性进行评定，得出判断矩阵，以此类推对其他因素进行比较。
3.计算权重和一致性检验通过层次分析法可以计算得出各因素的权重，即各因素在企业财务风险评估中的重要程度。
AHP方法还提供了一致性检验，可以检查判断矩阵的一致性，确保专家判断结果的合理性。
一致性检验的结果可以帮助企业管理者判断专家判断结果的可信度，并在有必要时进行修正，提高决策的科学性和可靠性。
4.综合评价和决策通过计算得出的各因素权重，可以进行综合评价，得出企业的财务风险等级和排名。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
层次分析法的原理
层次分析法的原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多准则决策的数学模型。
它由美国数学家Thomas L. Saaty于20世纪70年代提出，被广泛应用于各个领域的决策分析中。
层次分析法基于人们在决策过程中常常需要考虑多个因素及其相对重要性的观点，通过对这些因素进行定量化和比较，帮助决策者做出理性决策。
层次分析法的原理主要包括层次结构、成对比较和权重计算三个部分。
一、层次结构：在层次分析法中，我们首先需要构建一个层次结构，将决策问题划分为不同的层次。
层次结构由目标层、准则层、子准则层和方案层组成。
目标层：决策问题的最终目标，通常只有一个。
准则层：实现目标所需的准则或评价指标，可以有多个。
子准则层：对每个准则进行细分或进一步评价的子指标，根据实际情况确定是否需要。
方案层：候选方案或决策选项，可以有多个。
二、成对比较：通过成对比较来确定各个层次之间的重要性或优先级。
成对比较是指将两个层次中的元素逐一配对，并根据它们之间的重要性进行比较。
在成对比较中，使用1-9的数值尺度，其中1表示相等重要，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
通过比较各个元素对的重要性，可以建立一个判断矩阵。
例如，在准则层中，假设有三个准则A、B、C，那么我们需要进行三次成对比较，得到一个3x3的判断矩阵。
同样，在子准则层或方案层中，也需要进行成对比较，得到相应的判断矩阵。
三、权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，可以得到各个层次的权重，用于确定决策的最终结果。
特征向量是指矩阵的一个列向量，使得该矩阵与特征向量的乘积等于特征值乘特征向量。
通过对判断矩阵的特征向量进行归一化处理，可以得到各个层次的权重，用于计算总体权重或方案的优先级。
最后，根据权重计算的结果，可以得到最优的决策选择。
层次分析法的原理基于多个准则、多个层次的权重计算，旨在帮助决策者以合理的方式处理决策问题，并提供一种定量化的决策分析方法。
模糊综合评价法和层次分析法比较
模糊综合评价法和层次分析法比较模糊综合评价法和层次分析法是两种常见的决策支持方法，它们在不同的领域和情境下被广泛应用。
本文将比较这两种方法，分析它们的优缺点以及适用范围。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的决策方法，通过对评价指标的模糊化处理，将不确定性因素引入决策过程中。
该方法的基本步骤包括问题建模、模糊化处理、建立模糊判断矩阵、确定权重和综合评价。
1. 优点- 能够处理决策过程中的不确定性和模糊性，适用于评价指标难以量化的情况；- 能够灵活地应对不同的问题，适用性广泛；- 算法相对简单，易于操作和理解；- 能够考虑到多个因素之间的相互影响，综合了多个评价指标，提高了决策的准确性。
2. 缺点- 对指标权重的确定比较主观，容易受到决策者的主观偏好影响；- 对评价指标的模糊化处理存在一定的主观性；- 结果的可解释性相对较差，不利于分析和决策结果的有效传达。
二、层次分析法层次分析法是一种基于分层结构的决策方法，通过构建层次结构模型，对决策问题进行分解和层次化处理，然后进行判断矩阵的构建和权重的确定，最后综合得出最优方案。
1. 优点- 相对客观可靠，能够减少主观因素对决策结果的影响；- 结果具有良好的可解释性和可比性；- 能够很好地反映各个评价指标之间的相对重要性；- 算法相对简单，易于操作。
2. 缺点- 只能处理定性指标的权重确定问题，对定量指标的处理能力有限；- 在处理复杂决策问题时，模型可能变得庞大和复杂，计算量增加；- 在处理有环结构的问题时，可能会导致矛盾结果。
三、比较与适用范围1. 比较- 评价指标处理：模糊综合评价法将评价指标进行模糊化处理，层次分析法将评价指标进行层次化处理；- 确定权重方法：模糊综合评价法基于决策者的主观偏好确定权重，层次分析法通过专家判断和数学方法确定权重。
2. 适用范围- 模糊综合评价法适用于评价指标难以量化、不确定性较高的问题；- 层次分析法适用于多个评价指标之间具有内在关系的问题。
模糊综合评价法和层次分析法比较
模糊综合评价法和层次分析法比较在决策分析和评价中，模糊综合评价法和层次分析法是两种常见的方法。
它们都有自己的特点和适用场景。
本文将对这两种方法进行比较，旨在帮助读者更好地理解它们的区别和应用领域。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的决策分析方法。
它主要用于解决决策问题中存在的不确定性和模糊性。
模糊综合评价法通过建立模糊数学模型，将模糊的事物抽象为数学概念，并进行计算和评估。
模糊综合评价法的优点在于可以处理多因素、多属性、多目标的决策问题。
它能够将不确定的信息进行量化和计算，使得决策结果更加客观和科学。
此外，模糊综合评价法还可以考虑到不同因素之间的相互影响，以及不同因素对决策结果的重要程度。
然而，模糊综合评价法也存在一些缺点。
首先，由于其基于模糊数学理论，其计算过程相对复杂，需要对模糊数学模型和参数进行适当的设置和调整。
其次，模糊综合评价法对数据质量要求较高，需要有准确的数据来支持模型的建立和计算。
最后，模糊综合评价法的结果具有一定的主观性，依赖于决策者对于模糊集合和隶属度的设定。
二、层次分析法层次分析法是一种常用的决策分析方法，广泛应用于各个领域。
它通过分层结构的方式，将复杂的决策问题分解为多个层次和准则，然后进行权重的确定和评估，最终得到决策结果。
层次分析法的优点在于结构化程度高、逻辑清晰。
它能够将决策问题进行层次划分，使得决策过程更加清晰和可操作。
此外，层次分析法还可以考虑不同层次因素之间的相对重要程度，通过确定权重来影响决策结果。
然而，层次分析法也存在一些局限性。
首先，其在权重确定和评估过程中，可能存在主观性和偏好性。
决策者的个人偏好会直接影响权重的设定，从而影响最终的决策结果。
其次，层次分析法在分解问题和建立层次结构时，可能会忽视一些潜在的因素和关系。
最后，层次分析法在处理复杂的决策问题时，可能需要大量的计算和分析工作，增加了决策的时间和成本。
三、比较和应用模糊综合评价法和层次分析法都是有效的决策分析方法，在不同的场景中有着不同的应用。
综合评价的方法研究
综合评价的方法研究综合评价的方法研究是指通过收集、整理、分析相关数据和信息，并运用合适的方法对一个事物或一个行为进行全面综合的评估和判断的过程。
在实际应用中，综合评价方法被广泛应用于教育、环境保护、企业管理、政府决策等各个领域。
本文将介绍几种常用的综合评价方法，并分析它们的优缺点。
一、加权平均法加权平均法是一种常用的综合评价方法，它通过赋予不同评价指标相应的权重，计算加权和来综合评价。
加权平均法的优点是简单易行，结果易于理解和比较。
然而，加权平均法的局限性在于权重的确定难以准确，且对指标之间的相互关系没有明确考虑。
二、层次分析法层次分析法是一种比较常用的综合评价方法，它通过将复杂的评价问题层次化，建立层次结构，利用专家经验和数学模型对指标进行综合评估。
层次分析法的优点在于能够解决相互依赖、相互制约的问题，同时能够量化不同指标之间的差异。
然而，层次分析法对专家的经验和主观判断要求较高，且计算过程相对繁琐，容易出现一致性问题。
三、灰色关联度法灰色关联度法是一种基于灰色系统理论的综合评价方法，它通过建立数学模型，计算不同指标之间的关联度，综合评价目标的优劣程度。
灰色关联度法的优点在于能够处理评价指标数量较多、数据不完全的问题，对不同指标之间的关联关系有较好的反映。
然而，灰色关联度法在运用过程中需要确定合适的关联度计算方法，且结果的解释和使用相对复杂。
四、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的综合评价方法，它通过将评价问题模糊化，建立模糊评价矩阵，运用模糊矩阵的运算规则，综合评价目标的优劣程度。
模糊综合评价法的优点在于能够处理评价指标不确定性问题，具有较强的适应性。
然而，模糊综合评价法对评价问题的模糊化处理要求较高，且计算过程较为复杂。
综上所述，综合评价的方法研究包含加权平均法、层次分析法、灰色关联度法和模糊综合评价法等多种方法，每种方法都有其优缺点。
在实际应用中，根据具体评价问题的特点和需求，选择适用的方法进行综合评价是十分重要的。
层次分析法权重计算方法分析及其应用研究
层次分析法权重计算方法分析及其应用研究一、本文概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法，由美国运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初期提出。
该方法将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，为决策者提供科学、量化的决策依据。
本文将对层次分析法的权重计算方法进行深入分析，探讨其在实际应用中的优势与局限，并通过案例研究展示其在不同领域中的应用效果。
具体而言，本文将首先介绍层次分析法的基本原理和步骤，然后重点阐述权重计算的方法与过程，接着分析该方法在实际应用中需要注意的问题和可能遇到的挑战，最后通过实例展示层次分析法在不同领域中的成功应用，以期为读者提供全面、深入的层次分析法理论与实践指导。
二、层次分析法权重计算的基本理论层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的决策分析方法，由美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代初提出。
该方法通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，从而为决策者提供科学、合理的决策依据。
层次分析法的核心在于建立层次结构模型和构造判断矩阵，通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，得出各因素的相对权重。
在层次分析法中，权重计算是至关重要的一步。
权重的确定直接影响到决策结果的准确性和科学性。
因此，如何合理、准确地计算权重是层次分析法研究的核心问题之一。
权重计算的基本步骤包括：根据问题的实际情况，建立层次结构模型，将问题分解为不同的层次和因素；构造判断矩阵，通过对各因素之间的相对重要性进行两两比较，形成判断矩阵；然后，计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，得出各因素的相对权重；对计算得到的权重进行一致性检验，确保权重的合理性和准确性。
层次分析法
组合权向量
k 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.003
层对第2层的计算结果 第3层对第 层的计算结果 层对第 2 0.082 0.236 0.682 3.002 0.001 3 0.429 0.429 0.142 3 0 4 0.633 0.193 0.175 3.009 0.005 5 0.166 0.166 0.668 3 0
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量 方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
…Cn
…Bn … λn … wn(3)
n −1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 为衡量 的大小，引入随机一致性指标 随机模 拟得到a 形成A，计算CI 即得RI。 拟得到 ij , 形成 ，计算 即得 。 Saaty的结果如下 的结果如下
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 当CR<0.1时，通过一致性检验 时 3 4 5 6 7 8 9
（3）组合权向量 ）
0.264 0.595 0.082 0.429 0.634 0.1670.476 0.276 0.236 0.429 0.192 0.1670.054 (3) ω = 0.128 0.682 0.142 0.174 0.6670.098 0.109 0.299 = 0.245 0.455
1 3 4 1 1 1 4 B4 = 1 3 1 1 B5 = 1 1 1 4 1 4 1 1 4 4 1
fahp方法
fahp方法FAHP方法全称为模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process），是一种用于决策分析的数学模型。
该方法结合了层次分析法（AHP）和模糊数学的概念，能够处理模糊和不确定性信息，广泛应用于各个领域的决策问题中。
FAHP方法的基本原理是将问题分解成多个层次，通过对不同层次的因素进行比较和评估，最终得出最优的决策结果。
该方法主要包括以下几个步骤：1. 构建层次结构：首先需要明确决策问题的目标和准则，然后将其分解成多个层次，形成层次结构。
层次结构由目标层、准则层和方案层组成，目标层是最高层，准则层和方案层是目标层下的子层。
2. 确定准则权重：在准则层中，需要对不同准则进行比较和评估，确定它们的权重。
这一步骤可以通过专家访谈、问卷调查等方式进行。
专家根据自身经验和知识，对准则的重要性进行评价，可以使用语言描述或者数值判断。
3. 建立判断矩阵：在方案层中，需要对不同方案进行比较和评估，确定它们的优劣程度。
这一步骤需要根据准则层的权重，建立判断矩阵。
判断矩阵中的每个元素表示不同方案在不同准则下的评估值，可以使用模糊数表示。
4. 计算权重和一致性比率：通过计算判断矩阵的权重向量，可以得到每个方案的权重。
同时，还需要计算一致性比率，判断判断矩阵的一致性程度。
如果一致性比率超过一定阈值，则需要进行调整。
5. 评估方案和做出决策：最后，根据方案的权重，对不同方案进行排序和评估，选择最优的方案作为决策结果。
同时，也可以对不同方案进行敏感性分析，评估其对决策结果的影响程度。
FAHP方法的优点是能够处理不确定性和模糊性信息，适用于实际决策问题。
它考虑了不同因素的相互关系，能够提供全面的决策支持。
同时，该方法还具有灵活性和可扩展性，可以根据具体问题进行调整和改进。
然而，FAHP方法也存在一些局限性。
首先，该方法对专家的选择和信息获取有一定要求，需要专家具备一定的领域知识和经验。
其次，该方法在处理大规模问题时，计算复杂度较高，需要耗费较多的时间和资源。
数学模型应用
数学模型应用数学模型在现实生活中的应用数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，它是人类思维的一种工具。
数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式，通过抽象和逻辑推理，数学能够帮助我们理解和解释现实世界中的各种现象。
数学模型则是将数学知识和方法应用到实际问题中的一种工具，它可以帮助我们理解问题的本质，预测现象的发展趋势，并为我们提供解决问题的方法。
数学模型的应用十分广泛，从科学研究到工程设计，从金融分析到社会管理，无处不在。
下面，我们将从几个领域中选取一些典型的数学模型应用进行介绍。
首先，数学模型在物理学中的应用是十分重要的。
物理学作为自然科学的基础学科，研究物质的运动、力学、热力学、电磁学等等。
在这些研究领域中，数学模型可以帮助物理学家描述和预测物理过程的发展规律。
例如，质点的运动可以用数学模型中的力学方程来描述，电路中电流的变化可以用数学模型中的电磁学方程来描述。
这些数学模型不仅可以帮助物理学家理解物理世界，还可以为工程师设计和优化物理实验提供有力的工具。
其次，数学模型在经济学中的应用也是非常重要的。
经济学研究资源的分配、价格的形成、市场的运作等等。
数学模型可以帮助经济学家建立经济系统的数学模型，通过对模型进行定量分析，预测市场的需求和供给，分析经济政策的影响。
例如，经济学家可以通过建立数学模型来研究不同政府政策对经济增长的影响，评估利率变化对通货膨胀的影响等等。
这些数学模型的应用可以为政府和企业提供科学的决策依据，促进经济的稳定和发展。
另外，数学模型在生物学中的应用也是非常广泛的。
生物学研究生物体的结构和功能以及生命现象的发生和发展。
生物学中的很多问题都可以用数学模型来描述和分析，例如，种群增长可以用数学模型中的微分方程来描述，蛋白质结构的折叠可以用数学模型中的优化算法来模拟。
这些数学模型的应用不仅可以帮助生物学家理解生命现象，还可以为药物研发、疾病诊断和治疗等提供指导。
此外，数学模型在社会科学中也有广泛的应用。
数学建模方法及其应用
一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理1层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和n n C C ,,1 O i C j C ij a i C 对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵j C O 表示，称为正互反矩阵．()1,0,ij ij ji n nijA a a a a ⨯=>=A 一般地，如果一个正互反阵满足：A （1）,ij jk ik a a a ⋅=,,1,2,,i j k n = 则称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明阶一致阵有下列性质：A n A ①的秩为1，的唯一非零特征根为；A A n ②的任一列向量都是对应于特征根的特征向量．A n 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表n示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的n C C ,,1 O A 容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足：A λw w （2）Aw w λ=直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,A ij a ij a 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．A 2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty 等人提出的尺i C j C O 91-度，即的取值范围是及其互反数．ij a 9,,2,1 91,,21,1 3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其λ不一致程度应在容许范围内．若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而当时是一致阵．所以n n n A n λ≥n λ=A 比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用数值λn A n λ-的大小衡量的不一致程度．Saaty 将A3(3)1nCI n λ-=-定义为一致性指标．时为一致阵；越大的不一致程度越严重．注意到的个特征根之和恰好等0CI =A CI A A n 于，所以相当于除外其余个特征根的平均值．n CI λ1n -为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指A A CI 标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标．RI RI n A 'A 'CI 表1 随机一致性指标的数值RI 表中时，是因为阶的1,2n =0RI =2,1正互反阵总是一致阵．对于的成对比较阵，将它3n ≥A 的一致性指标与同阶（指相同）CI n 的随机一致性指标之比称为一致性比率，当RI CR (4)0.1CICR RI=<时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．A 对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已A 有的进行修正．A n1234567891011RI00．580．901．121．241．321．411．451．491．514． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有层，则第层对第一层（设只有个因素）的组合权向量满足：s k 1 （5）()()()1,3,4,k k k w W w k s -== 其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:()k W k 1k - （6）()()()()()132sss w W W W w -= 5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第层的一致性指标为(是第层因素的数目)，随机一致p ()()p n p CI CI ,,1 n 1-p 性指标为，定义()()1,,p p n RI RI ()()()()11,,P p p p n CI CI CI w -⎡⎤=⎣⎦ ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w-⎡⎤=⎣⎦ 则第层的组合一致性比率为:p5(7)()()(),3,4,,pp p CI CRp s RI== 第层通过组合一致性检验的条件为．p ()0.1p CR <定义最下层(第层)对第一层的组合一致性比率为：s (8)()2*sP p CR CR ==∑对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．*CR 层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有个因素，最下层通常为1方案或对象层，中间可以有个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于个）应进一19步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成2对比较法和比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．91-(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵．CR(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题．1．正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．定理1对于正矩阵（的所有元素为正数）A A1）的最大特征根是正单根；Aλ2）对应正特征向量（的所有分量为正数）；λwω73），其中，是对应的归一化特征向量．w IA I I A k k k =T ∞→lim ()T=1,1,1 I w λ定理2 阶正互反阵的最大特征根；当时是一致阵．n A n λ≥n λ=A 定理2和前面所述的一致阵的性质表明,阶正互反阵是一致阵的充要条件为 的最大特征根．n A A n λ=2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．(1) 幂法 步骤如下：a ．任取维归一化初始向量n ()0w b ．计算()()1,0,1,2,k k wAw k +== c ．归一化,即令()1k w+ ()()()∑=+++=ni k ik k ww1111~~ωd ．对于预先给定的精度,当 时,即为所求的特征向量；否则返回bε()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<= ()1k w +e.计算最大特征根()()111k n i k i in ωλω+==∑9这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,可任选或取下面方法得到的结果．()0w (2) 和法 步骤如下：a.将的每一列向量归一化得A 1nij ij iji a aω==∑ b ．对按行求和得ij ω1ni ij j ωω==∑ c ．将归一化即为近似特征向量．i ω()*121,,,ni i n i w ωωωωωωT===∑ d.计算，作为最大特征根的近似值．()11n ii iAw n λω==∑这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量．A A (3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对按行求积并开次方，即．根法是将和法ij ω n 11nn i ij j ωω=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏ 中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵是一致阵时,与权向量的关系满,那么当不是一致阵时，权向量A ij a ()T =n w ωω,,1 iij ja ωω=A的选择应使得与相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定可以化为如下的最小二乘问题：w ij a ijωωw (9)()21,,11min i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于的非线性方程组，i ω计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：(10)()21,,11min ln ln i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 则化为求解关于的线性方程组．可以验证，如此解得的恰是前面根法计算的结果．ln i ωi ω特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出．4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？11一般地，由残缺阵构造修正阵的方法是令()ij A a =()ij Aa = ,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i j m m i i jθθθ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩ 为第行的个数,(11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵的充分必要条件是为不可约矩阵．θA A (六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价2食品维生素A/(IU/g)维生素B/(mg/g)热量/(kJ/g)单价/（元/g ）肉面包蔬菜0.3527250.00210.00060.002011.9311.511.040.02750.0060.0.007该人体重为kg，每天对各类营养的最低需求为：55维生素A 国际单位 (IU)7500维生素B mg1.6338热量 R kJ8548.5考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构②根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵13W D ED 13E311，，，主特征向量max 2λ=10CI =100.1CR =<()0.75,0.25W T=故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T=表4 比较判断矩阵D ABR A 112B 112R5.05.01，主特征向量111max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ====()0.4,0.4,0.2W T=故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T=③ 第三层组合一致性检验问题因为,()()2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====212200.1CR CR CI RI =+=<故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出的总权重E15为：()()221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T===求第四层元素关于总目标的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始W 的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化食品维生素A维生素B 热量R单价F肉0.0139 0.44680.48720.1051面包0.00000.12770.47020.4819蔬菜0.98610.42550.04260.4310则最终的第四层各元素的综合权重向量为：，结果表明，按这个人的偏好，肉、()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T==面包和蔬菜的比例取较为合适．引入参数变量，令，，，0.2376:0.2293:0.533110.2376x k =20.2293x k =30.5331x k =代入()1LP 123min 0.02750.0060.007f x x x =++131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩则得kf 0116.0min =()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩容易求得，故得最优解；最优值，即肉g ，面1418.1k =()*336.9350,325.1650,755.9767x T=*16.4497f =336.94g ，蔬菜g ，每日的食品费用为元．325.17755.9816.45总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容一一一研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；一一一研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；一一一研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是17用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量,其中， ，为()12,,,m b b b b =01j b <<m 可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当时，最大隶属原则最有效；而在11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑()1max 01,j j nb c c ≤≤=<<时，最大隶属原则完全失效，且越大（相对于而言），最大隶属原则也越有效．由此可1njj bnc ==∑1max j j nb ≤≤1njj b=∑19认为，最大隶属原则的有效性与在中的比重有关，于是令：1max j j nb ≤≤1njj b=∑ (12)11max njjj nj b bβ≤≤==∑显然，当时，则为的最大值，当, 时，有为11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑1β=β()1max 01j j nb c c ≤≤=<<1nj j b nc ==∑1n β=的最小值，即得到的取值范围为:．由于在最大隶属原则完全失效时，而不为，所以不宜ββ11n β≤≤1n β=0直接用值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：β (13)()()11111n n n n βββ--'==--则可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与（的含义是β'j n j b ≤≤1sec j nj b ≤≤1sec 向量各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：b (14)11sec njjj nj b bγ≤≤==∑可见： 当时，取得最大值．()1,1,0,0,,0b = γ12当时，取得最小值．()0,1,0,0,,0b = γ0即的取值范围为，设．一般地，值越大最大隶属原则有效程度越高；而值越大，γ012γ≤≤()02120γγγ-'==-β'γ'最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：(15)()112121n n n n βββαγγγ'--⎛⎫===⎪'--⎝⎭使用指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．α2. 指标的使用α从指标的计算公式看出与成反比，与成正比．由与的取值范围，可以讨论的取值范围：ααγββγα当取最大值，取最小值时，将取得最小值；γβα0当取最小值，取最大值时，将取得最大值：因为 ，所以可定义时，．即：γβα0limγα→=+∞0γ=α=+∞．0α≤<+∞由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当时，可认为α=+∞1α≤<+∞施行最大隶属原则非常有效；当时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为值；当0.51α≤<α21时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测00.5α<<0α=量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级．讨论a ． 在很多情况下，可根据值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算值．根据与βαα之间的关系，当，且时，一定存在．通常评价等级数取和之间，所以这一条件往往β0.7β≥4n >1α>494n >可以忽略，只要就可免算值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．0.7β≥αb ． 如果对进行归一化处理而得到，则可直接根据进行最大隶属原则的有效度测量．()12,,,m b b b b = b 'b '(四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用．举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设是一个带出发点和收点的容量-费用网络，(),,,D V A c ω=s v t v 对于任意，表示弧上的容量，表示弧上通过单位流量的费用，是给定的非负数，问(),i j v v A ∈ij c (),i j v v ij ω(),i j v v 0v 怎样制定运输方案使得从到恰好运输流值为的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路s v t v 0v的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从到运送的流的值恰好为；(2)总运输费用最小;(3)在容量大的弧 上适当多运输．如果仅考虑s v t v 0v ij c (),i j v v 条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：()()()()()()()}(),0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v A v v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈⎧-=⎪⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=∈⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑把条件(3)中的“容量大”看作上的一个模糊子集，定义其隶属函数：为：A Aμ[]0,1A →()()00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c cμμ--≤≤⎧⎪==⎨->⎪⎩其中（平均容量）()1,i j ij v v c A c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∑:23()()()()21,21,0,11i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c c -∈-∈⎧⎡⎤⎪⎢⎥-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎢⎥->⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩∑∑::建立是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量大的弧，人为地降低ij μij c (),i j v v 运价，形成“虚拟运价”，其中满足：越大，相应的的调整幅度也越大．选取为，ij ωij ωij ωij c ij ωij ω()1k ij ij ij ωωμ=-．其中是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，取值(),ijv v A ∈k k 越小；当取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的值最好通过使用一定数量的实际数据进k k 行模拟、检验和判断来决定．最后，用代替原模型中的，得到一个新的模型．用现有的方法求解这ij ωM ij ωM '个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一) 灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1． 原始数据初值化变换处理分别用时间序列的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，()k 各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数()()()()()()()()()0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ikiki k k i k k i k ikx x x x x x x x ρξρ-+-=-+-3． 取分辨系数01ρ<<254． 求关联度 ()()11ni k i k k r n ξ==∑(二) 灰色预测1． 灰色预测方法的特点(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为：（1）1-ADO ：对原始数据序列进行一次累加生成序列(){}0k x ()1,2,,k n = ()()101kk i i x x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑()1,2,,k n =。
层次分析法在教学评价中的应用
层次分析法在教学评价中的应用一、本文概述随着教育改革的不断深化和教学方法的不断创新，教学评价作为教育质量监控的重要手段，其重要性日益凸显。
在众多教学评价方法中，层次分析法以其独特的优势，逐渐受到教育工作者的青睐。
本文将重点探讨层次分析法在教学评价中的应用，旨在为读者提供一种更为科学、合理的教学评价工具，以期提高教学效果和教学质量。
层次分析法是一种多目标决策分析方法，它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，建立起层次结构模型，并利用定量分析和定性分析相结合的方法，对各层次因素进行权重赋值和优劣排序。
这种方法既能够综合考虑各种因素之间的相互关系，又能够突出关键因素的作用，使得评价结果更加客观、全面。
在教学评价中，层次分析法可以应用于多个方面，如教学目标的设计、教学内容的选择、教学方法的运用、教学效果的评估等。
通过对这些方面进行层次化分析，可以更加清晰地了解教学过程中的问题和不足，为教学改进提供有力支持。
本文将从层次分析法的基本原理出发，详细介绍其在教学评价中的应用方法和步骤，并通过具体案例进行实证分析，以展示其在实际教学评价中的效果和优势。
本文还将对层次分析法在教学评价中的应用前景进行展望，以期为相关研究和实践提供参考和借鉴。
二、层次分析法的基本原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种结构化的决策分析方法，由美国运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代提出。
该方法的核心思想是将复杂问题分解为若干个相互关联的层次，通过定性和定量相结合的方式，对各层次中的元素进行两两比较，以确定它们在整体结构中的相对重要性和优先级。
建立层次结构模型：根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成部分，并按照它们之间的逻辑关系建立层次结构模型。
通常，这个模型包括目标层、准则层和方案层三个层次。
目标层表示解决问题的目的或要达到的总目标；准则层表示实现目标所需的中间环节或考虑的准则；方案层则表示实现目标的具体措施或方案。
层次分析法
层次分析法(AHP法) (Analytic Hierarchy Process) 建模•摘要：一、层次分析法概述•二、层次分析法的基本原理•三、层次分析法的步骤和方法•四、层次分析法的广泛应用•五、应用层次分析法的注意事项•六、层次分析法应用实例层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。
一、层次分析法概述•人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。
层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。
•层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
•层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。
其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
是系统科学中常用的一种系统分析方法。
•该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。
层次分析法实例研究
层次分析法实例研究引言层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多准则决策分析的数学模型和方法。
它是由美国运筹学家托马斯·L·赛蒂（Thomas L. Saaty）于20世纪70年代初提出的。
AHP可以协助决策者通过对比和评估各个因素的重要性，进行全面、系统和客观的决策。
研究背景层次分析法在各个领域都有广泛的应用，例如投资决策、项目评估、供应链管理以及战略规划等。
它能够帮助决策者在面临复杂的决策问题时，理清因素间的相对权重，做出更明智的决策。
研究目的本研究旨在通过一个实例来演示层次分析法在决策分析中的应用。
通过展示具体的步骤和计算过程，使读者能够更好地理解和掌握这一方法。
实例介绍假设我们需要购买一辆新车，但在选择车型时面临多个因素的考虑，包括品牌、油耗、价格和安全性等。
我们将通过AHP来评估这些因素的重要性，并做出最佳选择。
方法步骤以下是应用AHP进行决策分析的详细步骤：1. 确定决策层和准则层：将决策问题分解为决策层和准则层。
决策层是整个决策问题的目标，准则层是影响决策结果的各个因素。
2. 构建层次结构：根据决策问题的特点，将准则层进一步分解为子准则层，直到可以进行两两比较的最小单位。
3. 建立判断矩阵：对于每两个比较的因素，根据其重要性进行两两比较，并填写判断矩阵。
4. 计算权重向量：通过对判断矩阵进行计算，得到准则层各个因素的权重向量。
5. 一致性检验：检验判断矩阵的一致性，确保比较行为的一致性。
6. 综合权重：将各级权重相乘，并归一化得到各个因素最终的综合权重。
7. 决策结果：根据综合权重，对各个选择进行排名，选择综合权重最高的选项作为最佳决策结果。
结论通过使用AHP方法，我们可以系统地比较和评估多个因素的重要性，从而做出更符合我们需求和偏好的决策。
这种方法在决策分析中具有广泛的应用前景，并且可以为决策者提供有力的支持。
参考文献- Saaty, T. L. (2008). Decision making with the analytic hierarchy process. International Journal of Services Sciences, 1(1), 83-98.- 宋凌云, & 廖正涛. (2015). 层次分析法在决策问题中的应用研究. 运筹与管理, 24(5), 244-250.。
数学建模的层次分析法
1、层次分析法的基本概念
1、层次分析法的基本概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种广泛应用于数学 建模中的方法。它通过将复杂问题分解为多个层次，帮助我们更好地理解和解决 实际问题。层次分析法的基本原理是将一个复杂问题分解为多个相关因素，并根 据这些因素之间的相对重要性进行排序。
3、层次分析法的实际应用
(4)权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，得到每个因素的权重值。 (5)一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，以确保得到的权重值是合理的。
3、层次分析法的实际应用
(6)结果分析：根据权重值的大小，对每个因素进行分析，从而得到问题的解 决方案。层次分析法在多目标决策、资源分配、风险评估等领域有着广泛的应用。 例如，在多目标决策中，层次分析法可以帮助我们确定各目标的权重，从而得到 最优解。
三、大学生毕业设计质量评价的 数学模型建立
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
1、确定评价指标：根据模糊层次分析法的原理，我们首先需要确定评价指标 体系。选取与毕业设计质量相关的指标，建立多级递阶结构，其中一级指标为选 题质量、设计过程、成果质量等，二级指标为选题难度、选题新颖性、设计规范 性等。
2、数学建模在各领域的应用
在科学研究领域，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。例 如，牛顿第二定律、万有引力定律等都是通过数学建模得到的。在工程技术领域， 数学建模也发挥着重要的作用。例如，桥梁设计、建筑设计等领域都需要用到数 学建模来分析结构稳定性和安全性。此外，数学建模在金融、经济、社会等领域 也有着广泛的应用。
参考内容
一、引言
一、引言
随着高等教育的普及化，大学生毕业设计的质量评价已成为一个重要的研究 领域。毕业设计是大学生综合素质和教育水平的直接体现，因此，对其质量进行 科学、客观的评价至关重要。本次演示将介绍一种基于模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process，FAHP）的大学生毕业设计质量评价数学建模方 法，旨在为提高毕业设计质量和评价效率提供有效手段。
层次分析法案例
层次分析法案例层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种对决策问题进行排序和比较的数学模型和解决方法。
它广泛应用于各个领域，如管理学、经济学、工程学、环境科学等。
本文将以一个案例来介绍层次分析法的应用。
假设有一个公司要选择一种新的营销策略，以推广他们的产品。
他们面临的问题是如何确定最佳的营销策略以及相应的权重。
首先，公司需要确定评价标准。
在这个案例中，我们设定了三个评价标准：市场覆盖面、成本效益和品牌影响力。
市场覆盖面表示策略的推广范围，成本效益表示策略的投入与产出比例，品牌影响力表示策略对品牌形象的影响程度。
接下来，公司需要确定备选方案。
在这个案例中，我们选择了四种备选方案：A、B、C和D。
方案A是通过电视广告推广产品，方案B 是通过社交媒体推广产品，方案C是通过线下宣传推广产品，方案D 是通过搜索引擎优化推广产品。
然后，公司需要建立一个判断矩阵，用于比较不同评价标准之间的重要性。
在这个案例中，我们设定了市场覆盖面对成本效益、品牌影响力对市场覆盖面和成本效益的相对重要性。
通过对公司内部专家的意见进行调查，我们可以得到一个专家判断矩阵。
接下来，我们需要对备选方案进行两两比较，以确定它们在不同评价标准下的权重。
在这个案例中，我们需要比较每个备选方案在市场覆盖面、成本效益和品牌影响力上的相对重要性。
通过专家的意见调查，我们可以得到备选方案的比较矩阵。
通过逐步比较，我们可以得到每个备选方案在不同评价标准下的权重值。
最后，我们可以计算出每个备选方案的排名，以确定最佳的营销策略。
通过层次分析法，公司可以根据自己的需要和目标来确定最佳的营销策略。
这种方法能够系统地分析和比较各种因素，帮助决策者做出明智的决策。
除了在商业领域中的应用，层次分析法在其他领域也有广泛的应用。
例如，在环境科学中，可以使用层次分析法来评估不同的环境保护策略；在工程学中，可以使用层次分析法来选择最合适的工程方案。
模糊综合评价法和层次分析法比较
模糊综合评价法和层次分析法比较在决策和评价过程中，我们常常需要使用一些方法来对不同的选项进行比较和评估。
模糊综合评价法（Fuzzy Comprehensive Evaluation Method）和层次分析法（Analytic Hierarchy Process）是两种常见的评价方法，它们在不同领域和问题中被广泛应用。
本文将对这两种方法进行比较，并针对其优缺点进行讨论。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的评价方法。
它通过将评价对象和评价指标转化为数学模型，然后使用模糊数学中的模糊综合运算来进行评估和决策。
模糊综合评价法的优点在于它能够充分考虑到评价对象和指标之间的模糊性和不确定性。
通过引入模糊数学理论中的隶属度概念，可以对评价对象的属性进行模糊描述，从而更好地反映实际情况。
此外，模糊综合评价法还能够处理多指标的评价问题，将多个指标综合起来，得出最终评价结果。
然而，模糊综合评价法也存在一些缺点。
首先，由于模糊综合评价法需要进行模糊数学的计算和处理，其计算量较大，可能需要复杂的数学方法和计算工具。
其次，模糊综合评价法的模糊综合运算规则较为复杂，需要较高的专业知识和技能进行操作。
最后，模糊综合评价法在一定程度上受到主观因素的影响，因此在实际应用中需要谨慎使用，并结合专家意见和实际情况进行评估。
二、层次分析法层次分析法是一种基于判断矩阵的评价方法。
它通过将评价对象和指标构建成层次结构，使用专家判断和主观权重来对不同层次进行比较和权衡，最终得出整体评价结果。
层次分析法的优点在于它能够将评价问题进行分解和层次化处理，使得评估过程更加清晰和可操作。
通过对不同层次和指标进行比较和权衡，可以更好地考虑到不同指标之间的关联和影响。
此外，层次分析法还可以利用专家判断和主观权重，将主观因素纳入评估过程中，提高评价的准确性和可信度。
然而，层次分析法也存在一些局限性。
首先，层次分析法对专家判断和主观权重的依赖性较高，可能存在一定的主观性误差。
层次分析法及应用
A
A1 , A2 , ? , Am
B层的层次
B
a1, a 2 ,? , a m
总排序
m
B1b11 b12 Nhomakorabeab1m? a jb1 j ? b1
j?1
m
B2
b21 b2
b2m
? a jb2 j ? b2
j?1
?
??
?
m
Bn
bn1 bn2
bnm
? a j b nj ? b n
层次分析法 AHP
? 小组展示：王露娟 韩鹏飞 LOGO
目录
? AHP的背景介绍 ? AHP的基本思路 ? AHP的基本原理 ? AHP的步骤和方法 ? 关于手机的案例分析 ? AHP的广泛应用 ? AHP的优缺点
AHP背景介绍
? AHP (AnalyticHierarchyProcess层) 次分析法是美国运筹学家
当 CR ? 0.1 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次
总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值。
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
案例分析
? 某人想要买手机，现在有三个备选方案：诺基亚（P1）、 三星（P2）、小米（P3）。假如选择的依据和标准有五 个：质量、功能、价格、外观、售后。则常规思维模式如 下：
AHP的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的总目 标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因 素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不 同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构 模型，从而最终使问题归结为最低层 (供决策的 方案、措施等 )相对于最高层 (总目标)的相对重要 权值的确定或相对优劣次序的排定 。
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以效益U作为目标的层次结构中考虑3个准则： C1:节约能源； C2:降低污染以改善环境质量。 C3:社会效益，指由于改变能源利用方式引起的方便 生活、节约时间、降低劳动强度等。
以代价V为目标的层次结构中考虑的准则为: D1:投资、用建造生产单位能源设备所需资金来衡量； D2:设备限制，指原有设备报废、拆除和改建的资金。 D3:社会因素，指新设施的选址、征地、能源分配及 新技术推广的宣传教育等。
7
表9-4 以效益U为目标的计算结果
8
表9-5 以效益U为目标的计算结果
权向量（D对V) 0.7352 0.2067 0.0581
准则D
方案P
D1
D2
D3
λ=3.1171,CI=0.0585,CR=0.1009 组合权向量（P对V)
P1
0.0516 0.0501 0.1237
P2
0.2564 0.5529 0.3945
1
从上面一节介绍的层次分析法的基本步骤看，建 立层次结构模型是关键一步，下面给出应用实例时 即以这一步为主。构造成对比较阵是整个工作的数 量依据，当然是重要的，应当由经验和知识丰富、 判断力强的专家给出，还不妨采用群体判断的方式 。 至于3、4步的计算工作，数学工作者容易完成。
例1 城市能源供应系统改造方案的比较 某市能源供应方面存在着设备落后、供应分散、 利用率低、污染严重等问题。经有关部门分析，可 以选择的改造方有：
13
即为这项成果的综合绝对评价的分值。
14
例3 资源开发的综合判断
某发展中国家有7种可供开发的矿产资源M: 铁Ir，铜Co,磷酸盐Ph,铀Ur，铝Al, 金Go,金刚石Di. 它们开发后对国家经济发展的贡献可以通过两两 比较得到，另一方面，制订开发计划要考虑6个因 素：潜在经济价值Q1,开发费用Q2,风险Q3,需求Q4, 战略重要性Q5 ,交通条件Q6.综合判断要求既要给 出各种资源在国家经济发展中的优先程度，又要 确定每种资源开发中各个因素的相对重要性。为 此构造的层次结构如图9-4。
10
例2 科技成果的综合评价 科技成果涉及的区域很广，种类很多，这里指的是 直接应用于国民经济的某个部门后，可以迅速转化为 生产力，带来可定量计算的经济效益的那一类的成果。 评价准则先分为效益C1、水平C2、规模水平C3共三类， 再在每类中确定若干具体指标，如此构造的层次结构 由图9-3给出。
11
P3
945 0.0811 0.1237
P5
0.0299 0.0501 0.1237
λ
5.2908 5.0996 5.0100
CI
0.0727 0.0249 0.0025
CR
0.0649 0.0222 0.0022
0.0555 0.3257 0.1918 0.3875 0.0395
4
以上述目标、准则和方案构成的层次结构如 图9-2所示。某市根据具体情况给除了所需要的 成对比较阵（略），由此计算出权向量、特阵 根λ、一致性指标CI、一致性比率CR及组合权向 量、组合一致性比率见表9-4，表9-5。
5
图9-2 能源供应系统改造的层次结构（a）
6
图9-2 能源供应系统改造的层次结构（b）
0.1533
9
从表9-4的组合权向量可知，热电联供效益最高，区 域供热和煤气化处于2、3位；而表9-5知煤气化和区域供 热代价太高，煤制品和沼气池代价较低。如果简化地将 综合指标规定为与效益成正比，与代价成反比，那么把 两个组权向量的对应分量相除，再归一化可的综合指标 为（0.2877，0.1279，0.2681，0.1044，0.2119）。可见煤 制品和热电联用供的综合效果最好，说明煤制品虽然效 益不太高，但代价很低，容易用较少的资金迅速生效， 可以优先实施。若资金雄厚，再上马热电联供等方案
15
对经济发展的贡献U
Ir Co Ph Ur Al Go Di
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
Q6
图9-4 资源开发综合判断的层次结构
16
用层次分析法得到的资源M对目标U的权向 量和因素Q对每种资源的权向量，及Q对U的组 合权向量列入表9-6。为在同一尺度下比较各因 素对所有资源的相对重要性，将Q对各种资源的 权向量乘以相应的资源的权重，结果列入表9-7。
2
P1:制作高效煤制品，取代目前居民用的普通蜂窝 煤;
P2:将分散供热方式改造为区域供热；
P3:建造热电联供设备，利用电厂余热；
P4:实现城市煤气化；
P5:郊县推广沼气池，作为农村主要生活能源。
这些措施在节约能源、降低污染等方面的效益，及 在投资、原有设备闲置等方面的代价各不相同。为 了综合考虑各种因素，确定这些方案的优劣顺序， 应该以效益和代价为两个目标。建立两个层次结构 模型，得到两个用组合权向量表示的表示的这些方 案的排序结果，然后再做效益和代价的综合判断。
9.2 层次分析法的广泛应用
层次分析法在七十年代中期由T.L.Saaty正 式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题 上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得 到普遍的重视和广泛的应用。几十年来它的应 用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、 行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人 才、医疗、环境等等领域。从处理问题的类型 看，主要是决策、评价、分析、预测等。这个 方法在八十年代初引入我国，也很快为广大的 应用科学工作者和有关领域的技术人员所接受， 得到了成功的应用。
科技成果评价
效益C1
水平C2
规模C3
直接 经济 效益
C11
间接 经济 效益
C12
社会 效益
C13
学识 水平
C21
学术 创新
C22
技术 水平
C23
技术 创新
C24
待评价的科技成果
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当对科技成果进行相对评价时，可直接利用层 次分析法确定出它们对于综合评价的优劣顺序。党 对科技成果进行绝对评价时，应先用层次分析法得 到C11,C12,…各项具体指标在综合评价中的相对权中， 再给出这些指标的等级标准，如对C11，年经济效益 在100万元以上为1等（9分）；10万元以上为2等 （7分）；…1千元以下为5等（1分）。对于C23,达 到国际水平为1等（9分）；部分达到或全面接近国 际水平为2等（7分）；国内先进水平为3等（5分）； 国内水平4等（3分）；一般水平5冯（1分）。当某 项成果在各指标中的等级被主管部门认定后，将各 个分值乘以各项指标在综合评价中的权重并求和，