差分方程模型
数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型
数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的
数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际
生活中有着广泛的应用。在各种数学模型中，差分方程模型也是
一种很重要的模型。本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义
差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化
为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。这
种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的
关系式组成。例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系
统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立
建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，
然后根据实际情况，确定差分方程的形式。此外，还需要进行参
数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：
$$
y=n\Delta y \\
v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\
a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}
$$
其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。我们利用受力平衡
的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：
$$
\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)
差分方程模型的基本概念
差分方程模型需要足够的历 史数据来建立模型，对于数 据量不足的情况，模型的预 测精度会受到影响。
参数估计困难
差分方程模型的参数估计通 常需要使用迭代算法，计算 复杂度高，且易陷入局部最 优解。
如何克服差分方程模型的局限性
引入非线性因素 采用动态模型 利用大数据技术
优化参数估计方法
在建立差分方程模型时，可以尝试引入非线性因素，以提高模 型的预测精度。
确定问题中的变量
在建立差分方程模型之前，需要明确 问题中涉及的变量，这些变量通常表 示时间序列数据或其他相关数据。
确定问题中的参数
除了变量外，还需要确定问题中涉及 的参数，这些参数可以是常数或已知 数值，用于描述变量的变化规律或关 系。
确定问题中的差分关系
理解时间序列数据的特性
在确定差分关系之前，需要了解时间序列数据的特性，如数据的趋势、季节性、周期性等。
确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
通过迭代公式，逐步逼近未知数的值。
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型
一. 引言
数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型
1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型
1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
第三章差分方程模型
k 2,3,, n
k=n递推至k=2
xk
x0 n
x0 (1
k 1)r, n
k 1,2,n
等额本金还款模型
x0 ~贷款总额 xk ~第k月还款金额
r ~月利率
n ~贷款期限(月)
xk
x0 n
x0 (1
k 1)r, n
k 1,2,n
A2 ~还款总额
n
n 1
A2 xk x0 x0r
调查资料
食物每百克所含热量
食物 热量(kcal/100g)
米饭 120
豆腐 100
青菜 20～30
苹果 50～60
瘦肉 140～160
鸡蛋 150
运动 热量(kcal/hkg)
运动每小时每千克体重消耗热量
步行 (4km/h)
3.1
跑步 7.0
跳舞 3.0
乒乓 4.4
自行车 (中速)
2.5
游泳(50m/min) 7.9
• 银行利率：基准利率、利率上限或下限. 选择商业 贷款的基准利率6.55%.
• 还款方式：等额本息还款或等额本金还款.
年利率不同
等额本息贷款和等额本金贷款
等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同. 等额本金还款~每月归还本金数额相同, 加上所欠本金的利息.
差分方程模型PPT课件
(3)小象的性别比非常接近1:1，双胞胎大约占1.35%。 (4)母象在10-12岁时开始受孕，每隔3.5年生育一胎， 直到60岁。孕育期长达22个月。 (5)母象可以每年接受射箭避孕而不产生副作用。最 后一次射箭避孕可以使母象2年不受孕。 (6)大约70%-80%的新生小象可以活到1岁。此后，所 有年龄段的大象的成活率都超过95%，直到大约60岁。 可以假设所有的大象的寿命不超过70岁。 (7)没有猎杀等伤害大象的行为。 (数据略) 任务1：建立模型预测2-60岁的大象的成活率。预测 大象当前的年龄结构。 任务2：估计每年需要给多少头母象射标避孕可以使 大象头数稳定在11000头左右。 任务3：如果每年可以迁移50-300头大象，射标避孕 的母象头数如何变化？
例3：A题 SARS的传播
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急 性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一 个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延 给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们 从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研 究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造 条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型， 具体要求如下： (1)对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性 和实用性。
16第十六章 差分方程模型
-309-
第十六章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定t 只取非负整数。记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y −=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ+++1212
2)(为t y 的二阶差分。类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n
y Δ。
由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有
的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。其对应的齐次方程为
0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）
容易证明，若序列)
1(t y 与)
2(t y 均为（2）的解，则)2(2)
差分方程模型的基本概念
给出的迭代过程，可以计算出有限步内的数值解.
整理课件
6
3.1.3 二阶差分方程
定义数列{xk } (k 0,1, 2,) 的二阶差分为：
2 xk xk1 xk xk2 2xk1 xk
2 xk 刻画了一阶差分数列{xk } 从第 k 时段到第 k+1 时段的在单位时段内的改变量，显然二阶差分也构成
(3.1.4)
其中二元函数 F(x, y) 2x y f (x, y) . (3.1.4)式也称
为二阶差分方程. 满足(3.1.4)式的数列{xk } 称为二阶 差分方程的解. 不同的初始值，导致不同的解；但给 定初始值 x0 和 x1 以后，解就是唯一确定的.
给定初始值 x0 和 x1 ，然后用循环语句实现二阶差 分方程所给出的迭代过程，可以计算出有限步内的数
平衡点及渐进稳定性能够描述动态模型的长期 变化之后的结局.
整理课件
4
3.1.2 一阶差分方程
差分（difference）用来刻画数列的变化率. 定义 数列{xk } (k 0,1, 2,) 的一阶差分为： xk xk1 xk . xk 刻画了数列{xk }从第 k 时段到第 k+1 时段的在单 位时段内的改变量. 显然一阶差分也构成一个数列
பைடு நூலகம்
其中 F(x) x f (x) . (3.1.2)式也称为一阶差分方程.
数学模型(差分方程)
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
h1 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n , h2 (n) c4 2n
故通解为
h(n) h1 (n) h2 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n c4 2n
代入初始条件有
c1 c4 1 c c c 2c 0 1 2 3 4 c1 2c 2 4c3 4c4 1 c1 3c 2 9c3 8c4 2
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 ,, ak 是常数，且 ak 0. 方程
xk a1 xk 1 a2 xk 2 ak 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程。 方程（2）的k个根 q1 , q2 ,, qk 称为差分方程（1）的特征根。
定理1 设差分方程
(1)单位脉冲函数
1, k 0 0, k 0
的Z变换为
Z [ (k )] (k ) z k [1 z k ]k 0 1
k 0
(2)单位阶跃函数
差分方程模型matlab
差分方程模型matlab
差分方程模型在数学和工程领域中具有重要的应用。它是描述动态
系统行为的一种数学模型，通常由一系列离散时刻的状态变量和状
态转移方程组成。MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，为差分方程模型的建模和求解提供了便捷的工具和环境。
本文将介绍差分方程模型在MATLAB中的使用方法和应用场景。首先，我们将探讨差分方程模型的基本原理和概念，然后详细介绍在MATLAB中的建模步骤和求解技巧。最后，我们会给出一些在实际问题中使用差分方程模型的案例，并展示其在系统分析、控制和优
化等方面的优势。
差分方程模型是描述离散系统行为的数学模型，常用于描述在给定
时间步长下变量之间的关系。它与连续时间的微分方程模型相对应，但在很多情况下，离散系统更符合实际情况。差分方程模型可以描
述许多系统，例如电路、金融市场、人口增长等。
在MATLAB中建立差分方程模型需要以下步骤：
1. 定义变量：首先需要确定模型涉及的状态变量，然后在MATLAB 中声明这些变量。可以使用向量或矩阵表示多个变量。
2. 构建状态转移方程：差分方程模型通过状态转移方程描述系统变量在不同时间步长之间的变化规律。在MATLAB中，可以使用循环或矩阵运算构建状态转移方程。
3. 设定初值条件：差分方程模型通常需要给定初始条件，即在 t=0 时刻各个变量的值。在MATLAB中，可以使用向量或矩阵存储初始条件。
4. 求解差分方程：在MATLAB中可以使用函数或求解器来求解差分方程模型。常用的函数包括 `solve`、`ode45`、`ode15s`等，它们可以根据模型的具体特点选择合适的求解方法。
差分方程模型应用
建模思路及步骤
明确问题背景
求解差分方程
在建立差分方程模型前，需 要充分了解问题的实际背景 ，明确模型的适用范围和假
设条件。
01
02
采用适当的数学方法求解差 分方程，得到系统状态随时 间变化的解析解或数值解。
03
04
构建差分方程
根据问题的特点和已知条件 ，选择合适的变量和参数， 构建描述系统状态变化的差
热传导过程分析
热传导建模
差分方程模型可用于描述热传导过程，即热量在物体内部的传递。通过差分方 程，可以分析物体内部的温度分布及其随时间的变化。
热传导性能评估
基于差分方程模型，可以对物体的热传导性能进行评估，如热导率、热扩散系 数等参数的测量和计算。
电路暂态过程研究
电路暂态建模
差分方程模型可用于描述电路的暂态过程，即电路在开关操作或电源变化时的瞬 间响应。通过差分方程，可以分析电路中电压、电流等参数的瞬时变化。
分方程。
模型检验与应用
将求解结果与实际问题进行 对比分析，验证模型的准确 性和有效性，进而将模型应 用于实际问题的预测和控制
。
02
差分方程模型在经济学中应 用
经济增长模型
1 2
3
索洛增长模型
利用差分方程描述资本积累、劳动力增长和技术进步对经济 增长的贡献。
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
差分方程模型
讨论平衡点的稳定性，即k→∞, yk→N ？
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk +1
−
y k
=
ry (1 − k
y k
N
)
(1)
yk +1
=
(r
+
1)
yk
⎡ ⎢⎣1
−
(r
r + 1) N
⎤ yk ⎥⎦
变量 x = r y 代换 k (r + 1) N k
xk +1
=
bx (1 − k
x k
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 w(n) = 40 × 0.975n + 50 (n = 1,2, ,19) 减少至75千克。
2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 γ (千卡):
跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分)
7.0 3.0 4.4
比原来的条件 αβ < 1 放宽了
2 减肥计划——节食与运动
• 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~
背 正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. 景 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持
• 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
差分方程模型
(1)． 引入变量 X=(X1,X2,X3,X4)T 为鱼群数向量； α ---单位时间的自然死亡率； c----年存活率，c=1-0.8=0.2; k----单位时间4龄鱼的捕捞强度系数； β --- 孵 化 卵 成 活 率 ， β =1.22╳1011/ （ 1.22╳1011+n）； m---4龄鱼的平均产卵量，m为1.109╳105（个 ），3龄鱼为其一半。
a i 为特征方程（3）的k重复根，则通
C i 为任意常数，i=1,…,2k。
例1
求解两阶差分方程
yt 2 yt t
解 对应齐次方程的特征方程为 2 1 0 ，其特征根为
2 2 原方程有形如 at b 的特解。代入原方程求得 1 1 1 1 b ，故原方程的通解为 C 1 cos t C 2 sin t t a ， 2 2 2 2 2 2
方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 （3） a0 n a1n 1 a n 0
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(2)的通解 情况1 若特征方程（3）有n个互不相同的实根
1 ,…, n，则齐次方程（2）的通解为
，
t C 1 1 C n tn (C1,…,Cn为任意常数)
从而有： 一年后3龄鱼实际存活数：（1-α -k3）8（1-α ）4X3; 一年后4龄鱼实际存活数：（1-α -k4）8（1-α ）4X4; 该年3龄鱼总捕捞量： ，
第1讲：差分方程模型
xn+1 = f (xn ) = f ′(x*)(xn − x*) + f (x*),
二、差分方程模型讲解
差分方程建模方法的思想
差分方程建模方法的思想与一般数学建 模的思想是一致的，也需要经历背景分析、 模的思想是一致的，也需要经历背景分析、 确定目标、预想结果、 确定目标、预想结果、引入必要的数值表 变量、常量、函数、积分、导数、 示（变量、常量、函数、积分、导数、差 取最等）概念和记号、几何形式（ 分、取最等）概念和记号、几何形式（事 物形状、过程轨迹、坐标系统等） 物形状、过程轨迹、坐标系统等）也就是 说要把事物的性态 结构、过程、成份等 性态、 说要把事物的性态、结构、过程、成份等 用数学概念、原理、方法来表现、分析、 用数学概念、原理、方法来表现、分析、 求解。 求解。
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 饮食（吸收热量） • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 代谢和运动（消耗热量）
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— ）体重增加正比于吸收的热量 —每8000千卡增加体重 千克； 千卡增加体重1千克 每 千卡增加体重 千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— ）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡 因人而异 千卡(因人而异 每周每公斤体重消耗 千卡 千卡 因人而异), 相当于70千克的人每天消耗 千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 千卡； 相当于 千克的人每天消耗 千卡 千卡 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 ）运动引起的体重减少正比于体重， 形式有关； 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 ）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。 千卡。 千克，每周吸收热量不要小于 千卡
差分方程模型
定义： 定义：
含有未知函数两个或两 个以上时期的符号 y x , y x + 1 , ⋯的方程，称为差分方程 . 的方程，
形式： 形式： F ( x , y x , y x +1 ,⋯ , y x + n ) = 0 或G ( x , y x , y x −1 , ⋯ , y x − n ) = 0 ( n ≥ 1)
由题设知： 证明 由题设知：y x +1 + ay x = f 1 ( x )
U x +1 + aU x = f 2 ( x ) Z x +1 + aZ x = f 3 ( x )
∴V x +1 + aV x = y x +1 + ay x + U x +1 + aU x + Z x +1 + aZ x = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x )
(3)∆ ( y x ⋅ z x ) = y x +1∆z x + z x ∆y x = y x ∆z x + z x +1∆y x
y x z x ∆ y x − y x ∆ z x z x + 1 ∆ y x − y x + 1 ∆z x (4)∆ = = z z x z x +1 z x z x +1 x
第三章_差分方程模型
第三章 差分方程模型
§1、 差分方程
设有未知序列{}k y ，称
0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）
为n 阶差分方程。
若有)(k y y k =，满足
0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F
则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。
[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。
[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有
⎩⎨
⎧==+=++1,010
1
2y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。
[例2] 汉诺塔问题
将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。现将此
k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。
[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。
差分方程模型
实用文档
2、模型假设
(1)设 时段商品数量为 ，其价格为 ，
这里把时k间
xk
yk
离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，
称
yk f(xk)
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
定， (3) 下一时段xk的1商g品(y数k)量由上一时段的商品价格决
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
i 的幅角；2 2
实用文档
若特征方程有 重复根
，则齐
k
i
次方程的通解为 ( c 1 c k t k 1 )t ct o ( c 1 s c k t k 1 )t st in
yt
yt
程的通解，3.则求非非齐齐次次方方程b程(的t)的通y一t 解个y为特t 解
，若 为齐次方 。
齐次形qk 次多如(t) 方项程式b也的时对bt是tt特可特r1q解以殊kk(。证形bt)的的(t例明式)特如：的b解t若特p，次k(解t多) p项k不(bt式)是；可特rt若以征使根k用，待是，则b定t非q系k (齐t数重)为次法特方求征程q非根k的有(t，)
换
(1) 单位冲激函数(k) Z 的 变换
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实验八： 差分方程模型
实验目的：
1. 掌握一阶和二阶常系数线性差分方程的求解方法；
2. 利用差分方程建模。
实验练习：
1. 求下列一阶常系数线性差分方程的通解： (1) 134n n y y ++=； (2)
12cos()n n n y y n p +-=.
注：若12()cos sin f n b n b n w w =+，则特解可设为
*cos sin n y n n a w b w =+其中,a b 为待定系数，求解关于,a b 的
方程组，若系数矩阵为0，则特解可设为
*(cos sin )n y n n n a w b w =+
2. 教材P173，习题4.
3. 求下列二阶常系数线性差分方程的通解：
()()2222cos sin .
n n n n y y p p ++=-安徽师
范大学
数计 学院实验报告
专业名称数学与应用数学实验室2号实验楼#201 实验课程Matlab
实验名称差分方程模型
姓名张顺强
学号100701185
同组人员无
实验日期2013.