正方形的性质与判定(课堂PPT)
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北师大版数学九年级上册1.3：正方形的性质与判定 课件(共18张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
一、创设情境，引入新知
正方形的定义：
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
平行四边形
一个角是直角 一组邻边相等
正方形
正 方
边 正方形的对边平行且相等
形 的
角
正方形的四个角都是直角
性 质
对角线 正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等
二、合作交流，探究新知
拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形 EFGH会有怎样的变化呢？
结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形.
三、运用新知
三、运用新知
已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上 的中点，并且E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、AD 的中点.求证：四边形EFGH是正方形.
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
二、合作交流，探究新知
正方形的判定定理： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 对角线相等的菱形是正方形.
二、合作交流，探究新知
二、合作交流，探究新知
猜想结论，分组验证
1. 如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=60°，则∠A= .
1.3 正方形的性质与判定
一、创设情境，引入新知
正方形的定义：
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
平行四边形
一个角是直角 一组邻边相等
正方形
正 方
边 正方形的对边平行且相等
形 的
角
正方形的四个角都是直角
性 质
对角线 正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等
二、合作交流，探究新知
拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形 EFGH会有怎样的变化呢？
结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形.
三、运用新知
三、运用新知
已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上 的中点，并且E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、AD 的中点.求证：四边形EFGH是正方形.
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
二、合作交流，探究新知
正方形的判定定理： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 对角线相等的菱形是正方形.
二、合作交流，探究新知
二、合作交流，探究新知
猜想结论，分组验证
1. 如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=60°，则∠A= .
正方形的性质与判定课件
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
分析：
求证：∠MFD＝45°
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
正方形的性质与判定
矩
形
平行四边形
四边形 菱 形
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形 矩
形
〃
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
证明：
如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那 么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。
A E F B C D
1 2
3
G
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分 ∠BAC,试猜想AB、BE 、AC之间的大小关 系，并证明你的猜想．
正方形的性质与判定PPT课件.ppt
8
知识点一：
?正方形的性质
9
性
质
边
角
对角线
对称性
图A
D A∟
∟D A
D
形
O
轴
语
对
言B
C B∟
∟C B
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
中
言
组对角
心
对
符 号
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是正 方形
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
17
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
语 言
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
知识点一：
?正方形的性质
9
性
质
边
角
对角线
对称性
图A
D A∟
∟D A
D
形
O
轴
语
对
言B
C B∟
∟C B
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
中
言
组对角
心
对
符 号
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是正 方形
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
17
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
语 言
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
正方形的性质与判定ppt课件
19
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
20
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√
√√
√
√
√ 21
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
15
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
16
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
1
四边形
平行四边形
矩形 菱形
2
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
3
〃
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方矩形 形
4
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
5
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
20
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√
√√
√
√
√ 21
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
15
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
16
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
1
四边形
平行四边形
矩形 菱形
2
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
3
〃
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方矩形 形
4
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
5
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形的性质与判定完整ppt课件
判断四边形是正方形有哪些方法？
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形
． 有一组邻边相等 （邻边相等的矩形是正方形）
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形 有一个角是直角．（有一个角是直角的菱形是正方形）
３、先说明它是平行四边形，再说明有 一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
ＡＨ Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ ＦＣ
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
小结
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
图形的 对称性
A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形
． 有一组邻边相等 （邻边相等的矩形是正方形）
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形 有一个角是直角．（有一个角是直角的菱形是正方形）
３、先说明它是平行四边形，再说明有 一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
ＡＨ Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ ＦＣ
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
小结
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
图形的 对称性
A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
正方形的性质与判定ppt课件
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
这是老师的，你的呢？
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中 有多少个等腰三角形？
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接 BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行 证明.
例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？
第三环节 猜想结论，分组验证
对角线相等的四边形的中点四边形
是菱形
对角线垂直的四边形的中点四边形
是矩形
对角线既相等又垂直的四边形的中 对角线既不相等又不垂直的四边形的中
点四边形是正方形
点四边形是平行四边形
第三环节 猜想结论，分组验证
归纳： 一般四边形的中点四边形：
BF C
ABCD是 凹四边形
DH A EG
BF C ABCD是 扭曲四边形
拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形
第五环节 课堂小结
1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪 些数学思想和方法？ 2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今 后的学习过程中应该怎么做？
看我们收获了什么？
正方形的性质与判定课件
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
正方形的性质与判定
矩
形
平行四边形
四边形 菱 形
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?
正方形 矩
形
〃
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？ 四个角都相等的四边形是正方形； 四条边都相等的四边形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 对角线垂直且相等的四边形是正方形; 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形.
人教版八年级下册《正方形的性质与判定》课件
有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形。
正方形的 定义：
有一组邻边相等
矩形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形。
正方形
正方形具有矩形性质的同时也具有菱形形性质。
想一想
平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系
平行四边形
矩 形
正
方菱 形形
正方形的性质
菱形的性质
四条边相等
有一个内角 是直角
有一个内 角是直角
一组邻边 相等
练习
1．正方形的四条边____ ，四个角___ ， 两条对角线____ ． 2．下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形； （） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在
AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判
断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°， AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，
四个角都是直角）．
又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
正方形的 定义：
有一组邻边相等
矩形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形。
正方形
正方形具有矩形性质的同时也具有菱形形性质。
想一想
平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系
平行四边形
矩 形
正
方菱 形形
正方形的性质
菱形的性质
四条边相等
有一个内角 是直角
有一个内 角是直角
一组邻边 相等
练习
1．正方形的四条边____ ，四个角___ ， 两条对角线____ ． 2．下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形； （） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在
AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判
断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°， AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，
四个角都是直角）．
又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
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(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
17
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
12
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的 性
A
质
（2）两条对角线把
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
对边平行 四个角 矩 形 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱
形
对 四 等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
15
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
16
语 言
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
∴AC⊥BD,AC=BD,O A=OB=OC=OD
称 图 形
10
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分
11
想一想： 正方形有几条对称轴
正方形
6
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
7
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
19
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
20
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
பைடு நூலகம்
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√
√√
√
√
√ 21
8
知识点一：
正方形的性质
9
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴
对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
中
言
组对角
心
对
符 号
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是正 方形
B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
的
应 用
D
O
C
（3）对角线AC与正
方形的一边所成的角
为 45 度。
13
例2、如图，正方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则
正方形对角线AC=
。
8√2 cm
A
B
O
D
C
14
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
轴对称图形、 中心对称图形
正方形
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
22
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
1
四边形
平行四边形
矩形 菱形
2
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
3
〃
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?
正方矩形 形
4
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
5
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?