运筹学-1-线性规划
第一章线性规划
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
运筹学实验报告-线性规划
商学院课程实验报告课程名称 运筹学 专业班级 金融工程班 姓 名 指导教师 成 绩2018年 9 月 20日学号：表2 所需营业员统计表星期一二三四五六日需要人数300 300350400480600 5503.建立线性规划模型设x j（j=1，2，…，7）为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员数量，则这个问题的线性规划问题模型为minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7{x1+x4+x5+x6+x7≥300 x1+x2+x5+x6+x7≥300 x1+x2+x3+x6+x7≥350 x1+x2+x3+x4+x7≥400 x1+x2+x3+x4+x5≥480x2+x3+x4+x5+x6≥600x3+x4+x5+x6+x7≥550x≥0,j=1,2,…,7（二）操作步骤1.将WinQSB安装文件复制到本地硬盘，在WinQSB文件夹中双击setup.exe。
图1 WinQSB文件夹2.指定安装软件的目标目录，安装过程中输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB菜单自动生成在系统程序中，熟悉软件子菜单内容和功能，掌握操作命令。
图2 目标目录3.启动线性规划和整数规划程序。
点击开始→程序→WinQSB→Linear and Lnteger Programming，屏幕显示如图3所示的线性规划和整数规划界面。
图3 线性规划4.建立新问题或打开磁盘中已有文件。
按图3所示操作建立或打开一个LP问题，或点击File→New Problem建立新问题。
点击File→Load Problem打开磁盘中的数据文件，点击File→New Problem，出现图4所示的问题选项输入界面。
图4 建立新问题5.输入数据。
在选择数据输入格式时，选择Spreadsheet Matrix Form则以电子表格形式输入变量系统矩阵和右端常数矩阵，是固定格式，如图5所示。
选择Normal Model Form则以自由格式输入标准模型。
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学课程章节
对照教学大纲
第1章 线性规划 章
• 线性规划基本理论：模型形式，解的概念， 线性规划基本理论：模型形式，解的概念， 解的性质等 • 线性规划应用：6类问题建模 线性规划应用： 类问题建模 类问题建模* • 图解法 图解法* • 单纯形法：基本单纯形法 ，大M法，两阶 单纯形法：基本单纯形法*， 法 段法， 段法，前者重要
第2章 线性规划的对偶理论
• • • • • 对偶问题的构建：对偶规划 对偶问题的构建：对偶规划* 对偶问题的性质 运用对偶性质进行线性规划求解* 运用对偶性质进行线性规划求解* 影子价格理解* 影子价格理解 灵敏度分析*和参数分析 灵敏度分析 和参数分析
第4章 目标规划
• 目标规划建模* 目标规划建模 • 图解法
第5章 运输问题和指派问题
• 运输问题表示：语言描述，表格表示，数 运输问题表示：语言描述，表格表示， 学模型表示， 学模型表示，几何图形表示 • 标准运输问题的表上作业法 标准运输问题的表上作业法* • 表格建模 ：应用，建立运输问题的供需平 表格建模*：应用， 衡与单位运价表， 衡与单位各位同学的选择 • 祝各位同学 考试顺利通过并取得好成绩
• 指派问题表示：语言描述，表格表示，数 指派问题表示：语言描述，表格表示， 学模型表示， 学模型表示，几何图形表示 • 表格建模：应用，指派问题的指派平衡与 表格建模：应用， 单位效率表 • 指派问题的匈牙利算法
第6章 网络模型
• 最优生成树问题 ：最小树，最大树 最优生成树问题*：最小树， • 最短路问题*：三种算法，有向图法，无向 最短路问题*：三种算法，有向图法， 图法， 图法，表格法 • 最大流问题 ：可行流法，增广链法 最大流问题*：可行流法，
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
1-1线性规划问题及模型
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
运筹学讲义第1章
(2) 和式： max z= cjxj
j=1
n
s.t.
aijxj≤bi （i=1,2,……,m)
j=1
n
xj≥ 0
（j=1,2,……,n)
其中：cj---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项
2007/08
-7-
---第 1 章 线性规划---
起迄时间 2----6 时 6---10 时 10--14 时 14--18 时 18--22 时 22---2 时
2007/08
服务员人数 4 8 10 7 12 4
-18-
---第 1 章 线性规划---
建立线性规划模型要求：
（1）要求决策的量是连续的、可控的量，或 者是可以简化为连续取值的变量；
1
n
xj≥0
（j=1,2,……,n)
（1）可行解：满足所有约束方程和变量符号限制条件的一组变量的 取值。 （2）可行域：全部可行解的集合称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最优值的可行解。
2007/08 -20-
---第 1 章 线性规划---
（4）基：设A为线性规划模型约束条件系数矩阵（m n，m<n）， 而B为其mm子矩阵，若|B|≠0，则称B为该线性规划模型的一个基。
可行解：X=(0，0)T，X=(0，1)T，X=(1/2，1/3)T 等。 x3 x4 ——基变量 x x x x
1 2 3 4
设
A=
1 1
1 2
1
0
0
1
，令 B=
1
0
0
1
，则 | B |=1≠0,
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
运筹学复习题-1
第一章线性规划及单纯形法一、复习思考题1 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2 线性规划的解有哪几种情况。
3 什么是线性规划问题的标准形式，如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式。
4 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上去判别问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
6 如果线性规划的标准型式变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解。
7 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量，在目标函数中人工变量前的系数为(一M)的经济意义是什么。
8 什么是单纯形法计算的两阶段法，为什么要将计算分两个阶段进行，以及如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需继续进行。
9 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10 举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。
二、判断下列说法是否正确1、图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；2、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；3、线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点.4、如线性规划问题有最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；5、用单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，与＞j对应的变量都可被选作换入变量；6、单纯形法计算中，选取最大正检验数σk 对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；7、线性规划问题任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；9、对一个有n个变量，m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为mn C个；10、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；11、若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；12、线形规划可行域的某一项点若其目标函数值优于所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。
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简写为： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
VBl含量 VB2含量 VD含量 原料单价(元)
1 0.2 0.5 0.3
0.3 0.6 0.2 0.5
3 1.2 2
问该加工厂应如何搭配使用甲乙两种原料，才能使混合饲料 在满足VA、VBl、VB2和VD的最低含量要求条件下，总成本最小?
第一章 线性规划
污水处理问题
500万m3 1000元/万m3 化工厂1 2万m3 化工厂2 200万m3 1.4万m3 800元/万m3
项目 设备 A（h） 设备 B（h） 调试工序（h） 利润（元） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
习题1
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2 2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5 x1， x2≥0
2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0
A 2 2 12
B 1 2 8
C 4 0 16
D 0 4 12
利润 （元）
Ⅰ Ⅱ
有效台时
2 3
第一章 线性规划
某厂生产三种药物，这些药 物可以从四种不同的原料中 提取。下表给出了单位原料 可提取的药物量
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
第一章 线性规划
例一：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、 乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设 备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种 设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 3 2 0 产品乙 2 1 3 设备能力 （h） 65 40 75
利润（元/件）
1500
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
第一章 线性规划
线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量
目标函数 约束条件
Decision variables
Objective function Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
例三：
环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净 化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水， 使总费用最少？
第一章 线性规划
已知资料如下表所示，问如 何安排生产才能使利润最大？ 或如何考虑利润大，产品好 销。
设备 产 品
习题2
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
解：
习题3
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为：x1、x2 、x3 、x4 2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 ：生产A种药物至少160 单位；B种药物恰好200单位， C种药物不超过180单位，且 使原料总成本最小。
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
第一章 线性规划
例二：
某混合饲料加工厂计划从市场上购买甲、乙两种原料 生产一种混合饲料。混合饲料对VA、VBl、VB2和VD的最 低含量有一定的要求。已知单位甲、乙两种原料VA、 VBl、VB2和VD的含量，单位混合饲料对VA、VBl、VB2和 VD的最低含量以及甲、乙两种原料的单位价格如表所示。 原料甲 原料乙 混合饲料最低含量 VA含量 0.5 0.5 2
线性规划数学模型的一般形式
目标函数：
max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件：
am1 x1 am 2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0
运筹学
管理学院 朱卫未 zhuww@
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线性规划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
第一章 线性规划
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
LP模型的应用
第一章 线性规划
• 1. 规划问题
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示； (2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的 线性等式或线性不等式表示； (3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
建模步骤
(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。 一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量； (2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是 max 还是 min。
2500
求该工厂应该如何生产才能获得最大利润。
Maximize
目标函数 约束条件
subject to
Max
z =1500x1+2500x2
s.t. 3x1+2x2≤ 65
2x1+ x2≤ 40
3x2≤ 75
x1 ,x2 ≥0
第一章 线性规划
某厂生产两种产品，下表给 出了单位产品所需资源及单 位产品利润