26.2.1用函数的观点看一元二次方程(导学案)
用函数观点看一元二次方程导学案
用函数观点看一元二次方程导学案一、导学1. 导入课题：问题: 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2.你能知道球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间吗？要解决这个问题，我们一起学习本节——用函数的观点看一元二次方程.2.学习目标：（1）知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.（2）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.3.学习重、难点：重点：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.难点：数形之间的互相转化.二、分层学习第一层次学习1. 自学指导（1）自学内容：P43页到P44的“思考”上面的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.（4）自学参考提纲：①球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.课本四个问题都是已知_____(t还是h)求_____,因此可以将函数问题转化为__________问题.②结合课本图22.2—1，分别对四个方程的解给一个合理的解释.③从课本中问题的解法中，可以发现：求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程解决；求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程解决.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生提纲第③题的情况.②差异指导：指导学生思考二次函数与一元二次方程的关系.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：二次函数与一元二次方程关系密切，如：已知二次函数y=ax2+bx+c的值为k时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=k；已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=0.第二层次学习1. 自学指导（1）自学内容：P44思考到P46例题上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：认真看书，结合图像，认真思考.（4）自学参考提纲：①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有______个公共点，其交点坐标为_________.方程x2＋x－2=0有几个实数根？分别是什么？②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有_____个公共点，其交点坐标为__________.方程x2－6x＋9=0有几个实数根？分别是什么？③抛物线y＝x2－x＋1与x轴_____个公共点，方程x2－x＋1=0有几个实数根？④由上述三个问题，你可以得到什么结论呢？归纳：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点时，若x取公共点的横坐标，则此时的函数值是，由此可得出，方程ax2+bx+c=0的解就是公共点的，当抛物线与x轴没有公共点时，说明对应的方程无实数根.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生自学提纲的完成情况.②差异指导：根据学情进行针对性的指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正.4.强化：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点⇔方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根⇔b2-4ac＞0；抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点⇔方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根⇔b2-4ac=0；抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点⇔方程ax2+bx+c=0没有实数根⇔b2-4ac＜0.第三层次学习1. 自学指导（1）自学内容：P46页例题.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.（4）自学参考提纲：①说说利用函数图象求x2-2x-2=0的近似根的一般步骤.②观察课本图22.2-3，分别指出x2-2x-2＜0和x2-2x-2＞0的解集.③如果抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x1,0）(x2,0)，请你指出何时ax2+bx+c=0，何时ax2+bx+c＞0，何时ax2+bx+c＜0.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：怎样利用函数图象，求相应方程的近似根.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x1,0）(x2,0)（x1＜x2），则（1）当x=x1和x2时，ax2+bx+c=0；（2）当x＞x1或x＜x2时，ax2+bx+c＞0；（3）当x1＜x＜x2时，ax2+bx+c＜0.三、评价：1. 学生学习的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？对哪些内容的学习感到困难？2. 教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、学习效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测；3. 教师的自我评价（教学反思）.。
26.2用函数观点看一元二次方程
度为20 m呢？20.5 m？
h
(2) 球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
20
10
h
o
1 2 3 4t
th 20t 5t2
练习一：
想一想，这一个旋转喷水
头，水流落地覆盖的最大
如图设水管AB的高出地面面积2.为5m多，少在B呢处？有一自动旋
转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数
y=+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求
水流的落地点D到A的距离是多少？
分析：根据图象可知，水流的
y
落地点D的纵坐标为0，横坐
标即为落地点D到A的距离。
B
即：y=0 。
-1 A 0
Dx
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击 球，其飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x，其 中y（m）是球的飞行高度,x（m）5是球飞5出的水 平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m． （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行 的最大水平距离．
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
＞0
有两个不相等的实数根
=0
有两个相等的实数根
＜0
没有实数根
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= 15 ，如果h=20，那50-20t2= 20 ， 如果h=0，那50-20t2= 0 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 方程 的解。
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度
角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单
《用函数观点看一元二次方程》导学案
《用函数观点看一元二次方程》导学案一．学习目标1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
2、能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
二．学习过程 情景引入 问题1：如图26.2—1,以 40 m /s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系：2520t t h -=． （1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间? （4）球从飞出到落地要用多少时间?图26.2—1分析：由于球的飞行的高度h 与飞行的时间t 有函数关系h=20t －5t 2 ,所以可以将问题中的h 数值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值，否则说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值.自主探究问题：下列二次函数的图象与x 轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得到相应的一元二次方程的根吗？242010515O2)1(22-+=x x y图26.2—2 图象法求解：（1）函数图象与x 轴的公共点的横坐标是－2，1，此时的函数值是0； （2）函数图象与x 轴的公共点的横坐标是3，此时的函数值为0； （3）函数图象与x 轴没有公共点．例题：利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1解：作 的图象（如图26.2—3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7，所以方程的实数根 为 课堂测试1．二次函数y ＝x 2－3x ＋2，当x ＝1时，y ＝________；当y ＝0时，x ＝_______． 2．二次函数y ＝x 2－4x ＋6，当x ＝________时，y ＝3． 3.抛物线如图26.2—4所示当x 时，y=0；当x<－1或x>3时，y 0； 当－1<x<3时，y 0；当x= 时，y 有最 值. 4．抛物线y=－x 2+4x+5与x 轴交点坐标为 . 图26.2—4 1.抛物线y= ax 2+2ax+a 2+2的一部分图象如右图26.2—5所示.那么 该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标为A 、（21，0） B 、（1，0） C 、（2，0） D 、（3，0）xy1O0222=--x x 7.2,7.021≈-≈x x 222--=x x y -1 1 2 3yO—1—2．无论k为何值时，直线y=2kx－1和抛物线y=x2+x+k（）A.都有一个公共点B.都有两个公共点C.没有公共点D.公共点个数不确定3．不论m为何实数时，抛物线y=x2－mx－1与x轴的交点（）.A.有0个B.有1个C.有2个D.无法确定4.抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为（） A、0个 B、1个 C、2个 D、都不对1．当a为何值时，抛物线y=ax2与直线y=3x+1有两个交点？并求a=4时两函数图象交点的坐标.2.已知二次函数y=x2+(2m+1)x+m2的图象与x轴有两个交点.（1）求m的取值范围.（2）当这两个交点横坐标的平方和等于7时，求m的值.。
九年级数学用函数观点看一元二次方程导学案
§26.2 用函数观点看一元二次方程教案（第一课时）(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2．具有初步的创新精神和实践能力．1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b ＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：2．理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？。
262用函数观点看待一元二次方程学案
262用函数观点看待一元二次方程学案一元二次方程是解决实际问题时经常遇到的数学模型，也是初中数学中的重要内容之一、通过学习一元二次方程，可以帮助学生建立起解决实际问题的数学思维和能力。
下面从函数观点来看待一元二次方程学案的重要性，一共分为三个方面进行阐述。
1.函数观点帮助理解一元二次方程的解及其意义一元二次方程可以看作是一个抛物线的方程，函数观点可以帮助学生理解一元二次方程的解及其意义。
一元二次方程的解是指使方程成立的未知数的取值，在函数观点中，解对应了抛物线与x轴的交点。
通过绘制函数图像，学生可以直观地看到解的个数及其位置，了解方程解的符号意义以及方程解的个数与抛物线开口方向之间的关系。
2.函数观点有助于研究一元二次方程的性质一元二次方程有很多特殊的性质，如对称性、最值、零点等。
通过函数观点，可以更好地理解和证明这些性质。
例如，一元二次函数的图像在抛物线的对称轴上是对称的，当对称轴与x轴相交，即方程的解为零点时，抛物线的顶点在x轴上方，并且对称轴是最值线。
3.函数观点有助于利用一元二次方程解决实际问题一元二次方程作为实际问题的数学模型，通过函数观点可以更好地解决相关问题。
学生可以将实际问题转化为一元二次方程，进而通过图像分析，了解问题的本质和解决方案。
例如，通过解一元二次方程求解抛物线的最值，可以帮助学生找到实际问题的最优解。
此外，学生还可以利用函数观点分析一元二次方程的变化情况，如怎样改变系数a、b、c可以使抛物线平移、缩放或翻转等等，从而解决更为复杂的实际问题。
综上所述，函数观点对于一元二次方程的学习具有重要意义。
通过函数观点，可以更好地理解一元二次方程的解及其意义，研究一元二次方程的性质，利用一元二次方程解决实际问题。
因此，在一元二次方程的学案设计中，应该注重培养学生的函数观点，使学生能够从图像的角度去理解和解决问题，提高他们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
26.2用函数观点看一元二次方程(第1课时)-教学设计
学生思考分析，教师归纳讲解、板书； 详见教材 P18 页的思考题解析；
在本次活动中，教师应 关注学生掌握： （1） 与方程对应的二次 函数； （2）由图象求得的根， 因为存在误差，一般是 近似的； （3） 学生对二次函数图 象的应用． 锻炼学生分析总结的能 力；
（1）抛物线 y=χ 2+χ -2 与χ 轴有两个公共 点，它的横坐标-2,1。 当χ 取公共点的横坐标时，函数的值是 0， 由此得出方程χ 2+χ -2=0 根是 χ 1=-2，χ 2=1。 （2）抛物线 y=χ 2-6χ +9 与χ 轴有一个公 共点，这点的横坐标是 3。当χ =3 时，函数 的值是 0，由此得出方程χ 2-6χ +9=0 有两 2 2、 总结归纳二次函数 y=ax +bx+c 的图像结论； 个相等的实数根χ 1=χ 2=3。 （ 3） 抛物线 y=χ 2-χ +1 与χ 轴没有公共点， 由此可知，方程χ 2-χ +1=0 没有实数根。
O
1
x
活动三：变式训练，巩固新知 教师巡视，指导总结，对有问题的知识点进 （1）抛物线 y=χ 2+2χ -3 与χ 轴的交点个数有 行集体订正、强化； （ C ） 。 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 （2）抛物线 y=mχ 2-3χ +3m+m2 经过原点，则 其顶点坐标为（-1/2,3/4） 。 （3） 关于χ 的一元二次方程χ 2-χ -n=0 没有实数 根，则抛物线 y=χ 2-χ -n 的顶点在（ A ） 。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （4）校运会上，某运动员掷铅球，铅球的飞行 高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式为 则此运动员的成绩是多 y 0.2x 2 2x 1.7 ， 少？ （5）教材 P19 页习题 26.2 第 1 题； 活动四：全课小结，内化新知 教师认真总结分析； 学生归纳本节课的收获。
用函数观点看一元二次方程教学案
中学数学（学科）教学案课题名称：26.2 用函数观点看一元二次方程年级：九年级课型：新授课编号：主备人：执教人：日期： 2013.12课时分布：一、学习目标：1.了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根。
2.建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象体会数与形的完美结合。
二、教学重点和难点：教学重点：利用二次函数图象解一元二次方程教学难点：将方程转化为二次函数三、教学过程：（课前小测、新知导入、达标检测）知识回顾：1、不解方程判定一元二次方程的根的情况：①2x2－3x+1=0 ②4x2+4x+1=0 ③x2-x+2=02、二次函数的一般式：，______是自变量，____是____的函数。
当y = 0 时，二次函数变形为。
合作探究活动1．二次函数与一元二次方程的关系如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？归纳：一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m 又可以看作已知二次函数的值为m时求自变量x的值．跟踪练习：1、二次函数y＝x2－3x＋2，当y＝0时，x＝_______．当y＝1时，x＝_______2、二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(1,-2)和(3,-2)，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝-2的根是。
活动2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的情况与一元二次方程根的关系下列函数图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的坐标是什么？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2(2)y=x2-6x+9(3)y=x2-x+1归纳:从二次函数的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x=x时，函数值是，因此x=x就是方程的一个根。
《用函数的观点看一元二次方程》的教案_模板
《用函数的看法看一元二次方程》的教课设计_模板《用函数的看法看一元二次方程》的教课设计一、教课目的：1．经历研究二次函数与一元二次方程的关系的过程，领会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
二、教课要点、难点：教课要点：1．领会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教课难点：1．研究方程与函数之间关系的过程。
2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
三、教课方法：启迪指引合作沟通四：教具、学具：课件五、教课媒体：计算机、实物投影。
六、教课过程：[活动 1] 检查预习引出课题预习作业：1．解方程：（ 1） x2+x － 2=0; (2) x2 － 6x+9=0; (3) x2 － x+1=0; (4) x2 2. 回首一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程师生行为：教师展现预习作业的内容，指名回答，师生共同回首旧知，－ 2x－ 2=0.3x-4=0 的解 .教师做出适合总结和评论。
教师要点关注：学生回答以下问题结论正确性，可否把前后知识联系起来， 2 题的格式要规范。
设计企图：这两道预习题目是对旧知识的回首，为本课的教课起到铺垫的作用 ,1 题中的三个方程是课本中察看栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种状况表现出来，让学生回首二次方程的有关知识； 2 题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟习的知识类比研究本课新知识。
[活动 2] 创建情境研究新知问题1．课本P16 问题 .2．联合图形指出，为何有两个时间球的高度是15m 或0m？为何只在一个时间球的高度是20m?（联合预习题1，达成课本P16 察看中的题目。
）师生行为：教师提出问题1，给学生独立思虑的时间路和格式进行梳理和规范；问题 2 学生独立思虑指名回答，,教师可适合指引,对学生的解题思着重数形联合思想的浸透；问题3是由学生疏组研究的，这个问题的研究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，指引学生总结归纳出正确结论。
新人教版九年级上册导学案：用函数观点看一元二次方程
新人教版九年级上册数学导学案：用函数观点看一元二次方程（一)【学习目标】理解二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
【效果检测】 一、填空：1．抛物线238(0)y ax x a =+-≠与x 轴只有一个交点(1.3，0)，则关于x 的方程2380ax x +-=的根是________．2．关于x 的方程230x x m --+=的根的判别式△＞0，则抛物线23y x x m =--+与x 轴的交点位于原点的_________（填“同侧”或“两侧”）.3.抛物线与x 轴的交点是(－１,０)和(３,０),则这条抛物线的对称轴是____________.4. 抛物线221y x x =-+与y 轴的交点是_______, 与直线x=2的交点是__________. 二.选择题：5.抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根.B ．有两个异号实数根.C ．有两个相等的实数根. D. 没有实数根. 三.解答题：6.画出函数22y x x =--的图象,利用图象回答:(1)方程220x x --=的解是什么?(2)x 取什么值时，函数值大于０?(3)x 取什么值时，函数值小于０?实践与探究：：一个抛物线型桥拱，其最大高度为16m ，跨度为40m ，把它的示意图放在坐标系中，如图，抛物线经过原点，求此抛物线的解析式。
２６.２ 用函数观点看一元二次方程（二）【学习目标】理解二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的yxO yx4016O根的关系；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
【效果检测】 一、填空：1．抛物线22(0)y ax x m a =+-≠与x 轴有两个交点(－4，0)、（3，0），则关于x 的方程220ax x m +-=的根是________．2．则抛物线275y x x m =-+与x 轴没有交点，则m 的取值范围是___________. 3. 抛物线2321y x x =-+与直线y=x+1的交点是__________. 二.选择题：4.如图所示关于x 的方程20ax bx c ++=有两个异号实数根，则抛物线2y ax bx c =++的情况是（ ）ABCD5. 抛物线243y x x =--与x 轴交于点A 、B ，顶点为P ，则△PAB 的面积是（ ） A ．77 B .147 C. 37 D. 12三.解答题：6.心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分钟）之间满足函数关系式：20.1 2.643y x x =-++(0≤x ≤30).y 值越大，表示接受能力越强.（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分钟时学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力是49.9？26．2 （一）1.x=1.3 2．)(位置不能确定 3.x=1 4.(0,1) ，(2,7) 5.A6.图象略；x 1=－1, x2=2；x<－1或x>2时，函数值大于０；－1<x<2时，函数值小于０.实践与探究：21(20)1625y x =--+26．2 （二）yx1.14x =-，23x =2.2528m >3.(0，1) （1，2）4.D5.A6.（1）当013x ≤≤时，学生的接受能力逐步增强；当13<x ≤30时，学生的接受能力逐步下降；（2）59；（3）第3分钟和第23分钟时，学生的接受能力是49.9。
人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计
人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》这部分内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行教学的。
这部分内容主要是让学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程，培养学生运用函数观点解决问题的能力。
教材通过引入函数的概念，让学生理解一元二次方程和函数之间的关系，从而提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括一元二次方程的解法。
但是，对于如何从函数的角度来理解和认识一元二次方程，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。
2.培养学生运用函数观点解决问题的能力。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解一元二次方程和函数之间的关系。
2.难点：如何引导学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，通过师生互动，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程。
让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与一元二次方程相关的问题，引导学生运用函数观点解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用函数观点解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了用函数观点看待一元二次方程，还可以用其他方法来理解和解决问题吗？激发学生的思维，培养学生的创新能力。
《用函数的观点看一元二次方程》的教案_模板
《用函数的观点看一元二次方程》的教案_模板《用函数的观点看一元二次方程》的教案一、教学目标：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
二、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
三、教学方法：启发引导合作交流四：教具、学具：课件五、教学媒体：计算机、实物投影。
六、教学过程：[活动1] 检查预习引出课题预习作业：1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。
设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。
[活动2] 创设情境探究新知问题1．课本P16 问题.2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m?（结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。
）师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。
用函数的观点看一元二次方程(导学案)
用函数的观点看一元二次方程导学目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化。
2、会利用数形结合的方法判断抛物线与x轴的交点个数。
3、培养合作意识和探索数学知识间联系的好习惯，体验二次函数的应用。
导学重点：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
难点：函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
导学方法:先由学生自学课本，经历自主探究总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。
导学过程:一、创设情境，引入新课二次函数的223=--的图象如图所示。
根据图象回答：y x x⑴x为何值时, 0y=？⑵你能根据图象，求方程2230--=的根吗？x x⑶二次函数223=--与方程2230y x x--=之间有何关x x系呢？二、自主学习，固知提能1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探究】教材P16问题：如图26-2-2，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：2h t t=-。
205考虑以下问题：⑴球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？⑵球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确定值m 时,对应自变量x 的值就是方程2a x b x c m ++=的根.②特别是0y =时，对应自变量x 的值就是方程20a x b x c ++=的根。
以上关系，反过来也成立。
【思考】利用以上关系，可以解决什么问题？2. 二次函数的图象与x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系【探究】观察图26-2-3中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？⑴ 方程x 2+x-2=0的根是⑵ 方程x 2-6x+9=0的根是⑶ 方程x 2-x+1=0【归纳】一般地，从二次函数2y ax bx c=++的图象可知：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。
用函数观点看一元二次方程__导学案
26.2用函数观点看一元二次方程导学案教学方法：自主——合作——探究归纳——总结——应用教与学设计一、预习导学学生阅读教材后自主交流解决以下问题1、二次函数y= -x2+4x的值为2，就是求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程___________或________________反之，解方程x2-6x+9=0又可以看作是已知二次函数______________的值为0，求自变量的值。
2、y=x2-x-1.（1）当x为何值时，函数值y=1?（2）当x为何值时，函数值y=5?（3）是否存在x值，使函数值y=-3?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。
3、填表则5、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?（1）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的_________正好对应一玩二次方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）当b2-4ac > 0时，抛物线与x轴有_____ 交点；当b2-4ac = 0时，抛物线与x轴有_____ 交点；当b2-4ac< 0时，抛物线与x轴有_____ 交点；6、抛物线y= x2+(2m-1)x+ m2与x 轴有两个交点，则m的取值范围是（）A、m>1/4B、m>-1/4C、m<1/4D、m<-/47、二次函数y=ax2+bx+c值（范围）（1）y=0;___________(2)y=-2;_________(3)y>0;___________ -1 3(4)y<0;__________ -2以上前置性练习，在上课过程之前予以展示，在展示中发现学生中存在的问题；通过学生对问题的提出导入新课，并初步给予解答。
二、合作交流解决探究问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。
26.2 用函数观点看一元二次方程 导学案
准备
教师准备：一案三单
学生准备：复习一次函数y=kx+b与一次方程kx+b=0的关系，并预习本节内容，完成问题导读评价单。
核心
问题
二次函数与一元二次方程之间的关系。
主要导学过程
教学
环节
时间
导学内容
教师行为
期望的
学生行为
修改或
补充
创设
情境
呈现
目标
3分钟
复习引入：
（1）回忆：一次函数y=kx+b与一次方程kx+b=0有何关系？
2.当△＞0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点；
当△=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个交点；
当△＜0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴无交点。
教后反思
过程与方法：通过用函数观点看一元二次方程的探究，体会数形结合思想和转化思想的优越性。
情感、态度与价值：培养学生用函数的思想思考问题，用运动的观点看待世界，进一步体会一般与特殊之间的关系。
重
难
点
学习重点:二次函数与一元二次方程之间的关系。
学习难点:由b2-4ac来判断抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况。
2.学生能充分交流。学生讲解清楚。
展示
交流
解决
疑难
10分钟
学生展示
交流自己成果
下面请各小组在黑板展示你们的讨论结果，其他小组的同学可以进行补充质疑。
鼓励学生展示自己对问题的见解。
1.学生分小组在黑板展示。
2.学生分小组讲解。
3.学生对“展讲”情况进行评价.
初中数学 26.2 用函数观点看一元二次方程(2)导学案
26.2用函数观点看一元二次方程（二）九年级下册 编号10【学习目标】1. 能根据图象判断二次函数c b a 、、的符号；2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】一、知识链接：根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：（02=++c bx ax 的实数根记为21x x 、）（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点⇔ac b 42- 0； （2）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点⇔ac b 42- 0；（3）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点⇔ac b 42- 0.二、自主学习：1.抛物线2242y x x =-+和抛物线223y x x =-+-与y 轴的交点坐标分别是 和 。
抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标分别是 .2.抛物线c bx ax y ++=2① 开口向上，所以可以判断a 。
② 对称轴是直线x = ，由图象可知对称轴在y 轴的右侧，则x >0，即 >0，已知a 0，所以可以判定b 0.③ 因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c 0.④ 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，所以ac b 42- 0；三、知识梳理：⑴a 的符号由 决定：①开口向 ⇔ a 0；①开口向 ⇔ a 0.⑵b 的符号由 决定：① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ；① 在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ；① 是y 轴 ⇔b 0.⑶c 的符号由 决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；①点（0，c ）在原点 ⇔c 0；①点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.⑷ac b 42-的符号由 决定：①抛物线与x 轴有 交点⇔ ac b 42- 0 ⇔方程有 实数根； ①抛物线与x 轴有 交点⇔ac b 42- 0 ⇔方程有 实数根；①抛物线与x 轴有 交点⇔ac b 42- 0 ⇔方程 实数根； ①特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.四、典型例题：抛物线c bx ax y ++=2如图所示：看图填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；（8）930a b c ++⎽⎽⎽⎽；（9）420a b c ++⎽⎽⎽⎽五、跟踪练习：1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为________； （5）不等式20ax bx c ++<的解集为_____ ___；2.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；。
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26.2用函数的观点看一元二次方程（第1课时）（睢阳区毛堌堆一中导学案—许斌）
导学目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化。
2、会利用数形结合的方法判断抛物线与x轴的交点个数。
重点：探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
难点：函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
导学过程:
一、创设情境，引入新课
二次函数的223
y x x
=--的图象如图所示。
根据图象回答：
⑴x为何值时, 0
y=？
⑵你能根据图象，求方程2230
x x
--=的根吗？
⑶二次函数223
y x x
=--与方程2230
x x
--=之间有何关系呢？
二、自主学习，固知提能
1、二次函数与一元二次方程之间的关系
【探究】教材P16问题：如图26-2-2，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将
是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：2
205
h t t
=-。
考虑以下问题：
⑴球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？⑵
球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？⑶球的飞
行高度能否达到20.5m？为什么？⑷球从飞出到落地需要多少时
间？
【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：①函数2
y ax bx c
=++,当函数值y
为某一确定值m时,对应自变量x的值就是方程2
ax bx c m
++=的根.②特别是0
y=
时，对应自变量x的值就是方程20
ax bx c
++=的根。
2. 二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系
【探究】观察图26-2-3中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
⑴方程x2+x-2=0的根是⑵方程x2-6x+9=0的根是⑶
方程x2-x+1=0
【归纳】一般地，从二次函数2
y ax bx c
=++的图象可知：
⑴如果抛物线2
y ax bx c
=++与x轴有公共点（x0，0），那么就是方程20
ax bx c
++=的一个根。
⑵抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种
情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
三、合作探究，应用迁移
例1、如图，是二次函数y=－x2＋2x＋3的图象，你能看出哪些方程的根？
例2、已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k。
⑴求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点。
⑵当k=0，求此抛物线与坐标轴的交点坐标。
四、课堂小结，构建体系
1、二次函数与一元二次方程有什么关系？
2、填表：
五、当堂训练，巩固
提高
1.已知抛物线y=x2
－x－1与x轴的一个交
点为（m，0），则代数式
m 2－m＋2011值为
2.
若二次函数
y=－x2＋3x＋m的图象全部在x轴下方，则m的取值范围为
3.已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴有两个交点，其中一个交点是（-2，0），则方程x2－2x＋m=0的两个根分别是
x1= ，x2= .
4. 已知二次函数y=2x2-4(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点，则k的取值范围为
5.根据二次函数y=x2＋3x－4的图象回答：
（1）方程x2＋3x－4=0的解是什么？（2）当x取什么值时，y＞0? (3) 当x取什么值时，y
＜0?
6. 已知：抛物线2
y ax bx c
=++如图所示，则关于x的方程23
ax bx c
++=的根的情况是（）
A、有两个不相等的正实根
B、有两个异号实根
C、有两个相等的实根
D、没有实数根
7. 已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1.
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值.
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围.。