(学生案)高三二轮复习导数在函数中的应用_单调性

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知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性

导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。

知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性

导数的应用复习教案

1.3导数的应用教材分析：本章内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用.本章先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题.本章共分三节，第三节是“导数的应用”，内容包括利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数的实际应用.在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学目标：1、能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值.2、掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学重点：理解并掌握利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学难点：解决实际生活中的最优化问题的关键是建立函数模型.学法：本节课是在学习了导数的概念、运算的基础上来学习的导数的应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

教法数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

导数在函数单调性与极值求解中的应用

导数在函数单调性与极值求解中的应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。

所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。

解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

本文仅以历年高考试为例谈谈导数在函数单调性与极值求解中的应用问题问题，供鉴赏。

一、导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。

利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

1. 利用导数求单调区间：例1.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e1)上是减函数，在(e1,1)上是增函数D.在(0，e1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性. 解：y ′=ln x +1,当y ′>0时，解得x >e 1.又x ∈(0,1),∴e1<x <1时，函数y =x ln x 为单调增函数.同理，由y ′<0且x ∈(0,1)得0<x <e1,此时函数y =x ln x 为单调减函数.故应选C.答案：C例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________. 分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解：y ′=2sin x cos x =sin2x . 令y ′<0,即sin2x <0， ∴2k π－π<2x <2k π,k ∈Z . ∴k π－2π<x <k π,k ∈Z .∴函数y =sin 2x 的单调递减区间是(k π－2π,k π),k ∈Z .2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例3.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（AC BD分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f (x )在x =0处取得极大值,在x =2处取得极小值.答案:C例4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中 ()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数：例5、方程3269100x x x -+-=的实根的个数是（）A 、3B 、2C 、1D 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。

高中数学导数在研究函数中的应用--单调性苏教版选修2-2

导数在研究函数中的应用--单调性教学目的：知识与技能：掌握利用导数判断函数单调性的方法过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程：内容分析： . 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。

一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．5.对数函数的导数： x x 1)'(ln = e x x a a log 1)'(log =6.指数函数的导数：x x e e =)'( a a a x x ln )'(=二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数2 在区间时，数；函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 三、讲解范例：例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1. ∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例3证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证)∵f ′(x )=( x 1)′=(－1)·x －2=－21x，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴f ′(x )＜0， ∴f (x )=21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x ) 令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，52) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52且x ≠1. ∵1x =为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)例5当x＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x . 分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x .∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明.证明：令f (x )=e 2x －1－2x . ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x －1) ∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x －1)＞0, 即f ′(x )＞0 ∴f (x )=e 2x －1－2x 在(0，+∞)上是增函数. ∵f (0)=e 0－1－0=0.∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x －1－2x ＞0. ∴1+2x ＜e 2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.例6已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、巩固练习：1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间. 解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y =xx 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=-- ∵当x ≠0时，－22x＜0，∴y ′＜0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、教学反思： f (x )在某区间内可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数。

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳第6讲导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)

第6讲导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。

【高考精品】导数在函数中的应用——单调性

——单调性讲第16导数在函数中的应用x(D) x)＝(x－3)e的单调递增区间是1．函数f((0,3) ．(－∞，2) B．A)C．(1,4) D．(2，＋∞xxx，(＝xx－3)′e－＋(x－3)(e2)e)′( f′(x)＝>2.，解得x′(x)>0令f3(B) a的最大值是[1，＋∞)2．若函数f(x)＝x内单调递增，则－ax在区间3 B．．4 A1D．．2 C2恒成立，，＋∞))＝3x0－a≥对x∈[1 依题意，f′(x23.≤)恒成立，所以即a≤3xa对x∈[1，＋∞，x)>0(>0时，f′(x)>0，g′g(，有f－x)＝－f(x)，g(－x)＝(x)，且x3．已知对任意实数x(B)<0时则x)<0 xg．f′(x)>0，′(x A．f′()>0, g′(x)>0 B)<0xf′(x)<0, g′()>0 C．f′(x)<0, g′(x D．，x)<0g′(，(x)为偶函数，由图象的对称性知，当x<0时，f′(x)>0为奇函数，f(x)gB.选|x|2(D)上的图象大致为在[－e－函数．4(2016·新课标卷Ⅰ)y＝2x2,2]2 B. ，(0,1)，排除Ae 因为f(2)＝8－∈||2x 2x－e－2,2]是偶函数，，x∈[f又因为(x)＝x2x. xf′()＝4x－时，所以x>0f(x)＝2x－ee，2 >0e，(2)＝8－f又f′(0)＝－1<0，′|x2|(0,2)x，在(0,2)至少存在一个实根x所以f(x)＝2在－e)f所以由零点存在定理知′(x＝00D.，排除C.故选内至少存在一个极值点x011.))(0，，单调递增区间为(，＋∞的单调递减区间为＝5．函数yxln x ee1ln x＋1，xln 因为y′＝x ＋·＝x1 时，函数单调递减；x1<0ln x＋，即0<<当e1 x，即＋ln 当x1>0 >时，函数单调递增．e12，(－∞ln x在(1＝－，＋∞()x上是减函数，则－b2)的取值范围为6．若函数f(x)＋b2.1]－b，∈(1－2)在x∞)恒成立．即b≤x(xx′(x)＝－(x－2)＋≤0在∈(1f 由题意可知，＋x )上恒成立，＋∞22x在(1，＋∞)上的值域是(－1，2)＝x＋－∞)，所以只要b≤－1即可．(由于φ(x)＝xx－32－9x－1(a<0)．若曲线y＝f((x)＝xx＋ax)的斜率最小的切线与直线12x＋y7．设函数f＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．32－9x－1＝x，＋ax (1)因为f(x)2aa22所以f′(x)＝3x＋2ax－9＝3(x＋)－9－.332aa即当x＝－时，f′(x)取得最小值－9－.332a因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，32＝9，解得a＝±3，即a由题设a<0，所以a＝－3.32－9x－x1，f(x)＝x －33(2)由(1)知a＝－，因此2－6x－9＝3(xx－3)(x＋1)，f′(x)＝3令f′(x)＝0，解得x＝－1，x＝3.21当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,3)上为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3)．??xf的递减)＝g(xf′(x)的图象如图所示，则函数(8．(2017·抚州七校联考)已知函数fx)与x e(D) 区间为44)，，(1) B．(－∞，．A(0,4) 34)(4，＋∞，D．(0,1)．C(0，) 3，)<0x(f－)x(′f时，)∞，＋(4∈x和(0,1)∈x结合图象，?－x′f??f?x<0.)(′g此时x＝x e 内递减．)∞，＋(4，(0,1)在)x(g故．9．(2016·广州市高考模拟)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)>0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x>0)的零点个数为0.因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)为增函数，又g(0)＝1>0，所以g(x)在(0，＋∞)恒大于0，所以g(x)在(0，＋∞)上没有零点．x－ax(a∈R，＝ee为自然对数的底数)．10．已知函数f(x)(1)讨论函数f(x)的单调性；x2＋x在(2，＋∞)＋x上为增函数，求实数m的取)x)＝(x－m)f(x－e＝(2)若a1，函数g(值范围．x－a＝e. x R，f′() (1)函数f(x)的定义域为当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数，当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝ln a，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．xx2＋x，e ＋－m)(ex－x)－)(2)当a＝1时，g(x＝(x因为g(x)在(2，＋∞)上为增函数，xx＋m＋1≥0在e(2，＋∞)上恒成立，所以g′(x)＝xe －m x＋e1x即m≤在(2，＋∞)上恒成立，x1e－x＋1xe令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，x1－e x2xxxx－x－e2e??e－xe－2e??h′(x)＝＝.2x2x?e??e1－1?－x－x－e2，L(x)＝x－1>0在(2，＋∞x)＝e)上恒成立，L′(x－x－2在(2，＋∞)上为增函数，x即L()＝e2－4>0，h′(xe即L(x)>L(2)＝)>0.x＋e1x即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，x1－e22＋2e2e1＋1所以h(x)>h(2)＝.所以m≤. 221ee－1－。

导数在函数研究单调性上的应用

导数在研究函数中的应用1——单调性一、要点精讲1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系（1）（函数单调性的充分条件）函数()x f 在某个区间()b a ,内可导，若()0>'x f ，则()x f 为增函数；若()0<'x f ，则()x f 为减函数．如果在某个区间内恒有()0='x f 。

则()x f 为常数．（2）（函数单调性的必要条件）函数()x f 在某个区间()b a ,内可导，如果()x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内()0≥'x f （或()0≤'x f ）．主要有四类问题：①运用导数判断单调区间；②证明单调性；③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题． 2．利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数()f x 的定义域； (2)求导函数()f x '；(3)由()0f x '>(或()0f x '<)，解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，()f x 在相应的区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．3．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”． 4．理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题(1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．(2)在某个区间内()0f x '>(或()0f x '<)是函数()f x 在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使()0f x '=，不会影响函数()f x 在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数()3f x x =在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由()23f x x '=知，()00f '=，即并不是在定义域内的任意一点处都满足()0f x '>.可导函数()f x 在(),a b 上是增(减)函数的充要条件是：对任意的(),x a b ∈，都有()0f x '>(或()0f x '<)，且()f x '在(),a b 的任何子区间内都不恒等于零．二、典例精讲题型一利用导数判断函数的单调性1．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( ) A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数 C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数解: 由导函数f ′(x )的图象知在区间(4,5)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(4,5)上单调递增．故选C.2．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解：当0<x <1时xf ′(x )<0∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C. 3．(2013浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是(B )解：在(－1，0)上，f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0，1)上，f ′(x )单调递减，所以f ′(x )图象的切线斜率呈递减趋势．故选B. 4、试证明：函数()sin x f x x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数．评注：对于第(Ⅱ)问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f (x 1)－f (x 2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”．说明：关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)()0f x '>(或()0f x '<)，则()f x 为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，()f x 为单调递增(或递减)函数，则()0f x '≥(或()0f x '≤). 题型二利用导数求函数的单调区间5．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，e －2)B ．(0，e －2)C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)解: 因为y ＝x ＋x ln x ，所以定义域为(0，＋∞)．令y ′＝2＋ln x <0，解得0<x <e －2，即函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是(0，e －2)，故选B.6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为__________.解：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛ππ,3.7、求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间．解 ∵函数y ＝f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ＝2(x －1)(x ＋1)x，∴f ′(x )，f (x )的取值变化情况如下表：在区间(－∞，－1)，(0,1)上单调递减．题型三已知函数单调性求参数的取值范围8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3] C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3)解： f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 9．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是_______．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1. 10．(2014新课标)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)解：由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．11、已知函数2()af x x x=+(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．解: f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min .=1612、已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解：∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a >0)，∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x 对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1.13、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（） A. [1,)-+∞ B.(1,)-+∞ C. (,1]-∞- D.(,1)-∞-解：由题意可知02)(≤++-='x bx x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-， 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e ，由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e . 15、（1）已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．（2）设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集． ∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．16.（2015新课标2，文21）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.17、已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．（1）当a ＝2时，求函数f (x )的单调增区间；（2）若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. 所以函数f (x )的单调增区间是[－2，2]．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立．令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0.所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32.因此a 的取值范围为a ≥32.18．已知f (x )＝ln x ＋x 2－bx .(1)若函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(2)当b ＝－1时，设g (x )＝f (x )－2x 2，求证函数g (x )只有一个零点．解：(1)∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需min12b x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，∴b 的取值范围为(－∞，22]．(2)当b ＝－1时，g (x )＝f (x )－2x 2＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x ＝()()121x x x -+-，令g ′(x )＝0，即()()1210x x x-+-=， ∵x >0，∴x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， ∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，∴当x ≠1时，g (x )<g (1)，而g (1)＝0，∴g (x )<0，∴函数g (x )只有一个零点．题型四用单调性与导数关系证不等式19．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解：构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数．∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)，∴x >－1. 20．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则( ) A ．a b c <<B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<【解析】设()()ln 1x f x x x =>，所以()221ln 1ln x x xx f x x x⋅--'==，所以1e x <<时，()0f x '>,当e x >时，()0f x '<.则函数()f x 在()e,+∞上单调递减.因为ln 2ln 424a ==，所以c a b <<.故选B. 21、当x ＞0时，证明不等式()21ln 12x x x +>-. 证明：令f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0， ∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立．【题后反思】要证明不等式f (x )>g (x )(x ∈(a ，b ))成立，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，然后利用导数证明函数F (x )＝f (x )－g (x )在(a ，b )上是增函数，若F (a )－g (a )≥0.由增函数的定义可知，当x ∈(a ，b )时，f (x )－g (x )>0，从而证明了不等式f (x )>g (x )． 22、已知函数()ln(1)f x x x =+-．（1）求函数f (x )的单调递减区间；（2）若1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+．解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0，因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)xx +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0． ∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11x x +≥-+．综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+．三、课后检测：1、若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点解：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4.易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0， f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解：由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为图中的( )解：当y ＝f (x )为增函数时，y ＝f ′(x )>0，当y ＝f (x )为减函数时，y ＝f ′(x )<0，可判断D 成立．4、设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0B ．b >0，c >0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac <0 解：∵a >0，f (x )为增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c >0恒成立，∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac <0，∴b 2－3ac <0.5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)解：令k ≤0得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 6．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,02π⎛⎫-⎪⎝⎭和0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C.,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解：y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.7．下列命题成立的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数解：若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错． 8．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．解：若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2. 9．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．解：y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立，即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.10．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．解：由已知a ＞1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln xx ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.11．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．解：由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由条件知f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3② 联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]． [点评] f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，故[t ，t ＋1]是f (x )的减区间的子集． 12、已知a >0，且a ≠1，证明函数y ＝a x －x ln a 在(－∞，0)内是减函数．[思路分析]求出y ′→y ′恒小于零→函数为减函数解 y ′＝a x ln a －ln a ＝ln a (a x －1) 当a >1时，∵ln a >0，a x <1， ∴y ′<0，即y 在(－∞，0)内是减函数；当0<a <1时，∵ln a <0，a x >1， ∴y ′<0，即y 在(－∞，0)内是减函数．综上，函数在(－∞，0)内是减函数．13．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0. 当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．。

导数.02导数在函数单调性中的应用(B级)理科.学生版

【定理】设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.（1）如果在(,)a b 内'()0f x >，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加；（2）如果在(,)a b 内'()0f x <，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.【解读】设函数在某区间内可导，'()0()f x f x ⇒≥在该区间上单调递增；'()0()f x f x ≤⇒在该区间上单调递减.反之，若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有'()0f x ≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有'()0f x ≤恒成立（但不恒等于0）.求可导函数单调区间的一般步骤和方法1) 确定函数的()f x 的定义区间；2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.知识要点导数在函数单调性中的应用【例1】设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（）-121OyxD.A.12121221xyO x yOx yO Oyx【例2】已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）-1-2-1211OyxD.C.B.A.-1-2-2-121O yx2112xyO 12-1-2-2-112xyO 12-1-2-2-1-1-2-2-121O yx21【例3】如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（）例题精讲D【例4】函数2sin2xy x=-的图象大致是（）A B C D【例5】已知函数()f x是偶函数，在()0,+∞上导数()f x'0>恒成立，则下列不等式成立的是（）Ａ．()()()312f f f-<-<B．()()()123f f f-<<-C．()()()231f f f<-<-D．()()()213f f f<-<-【例6】)(xf是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x'+≤，对任意正数,a b，若a b<，则必有（）A．()()af a bf b≤B．()()bf b af a≤C．()()af b bf a≤D．()()bf a af b≤【例7】设()f x、()g x是R上的可导函数，()f x'、()g x'分别是()f x、()g x的导函数，且()()()()0f xg x f x g x''+<，则当a x b<<时，有（）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b f b g x >D ．()()()()f x g x f a g a >【例8】函数()()ln 1f x x ax =+-在()12，上单调递增，则实数a 的取值范围是．【例9】已知函数()321f x x ax x =-+--在()-∞+∞，上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(()3-∞+∞，，B ．⎡⎣C ．(()3-∞+∞，，D ．(【例10】若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,]3-∞【例11】设()323()1312f x x a x ax =-+++．（1）若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；（2）若函数()f x x a =在处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【例12】已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【例13】已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R（1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]- 上的最大值；（3）当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【例14】已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R（1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．【例15】已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．（1）求函数()f x 的零点；（2）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（3）在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【例16】已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()'()axg x ef x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．【例17】已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．【例18】已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.【例19】已知函数32()f x x ax x c =+-+，且2'()3a f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的取值范围．【例20】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.【例21】设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．(1)若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； (2)当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．0【例22】已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R（1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]- 上的最大值；（3）当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【习题1】 ()f x 的导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象最有可能的是图中的()【习题2】已知函数232()43f x x ax x =+-在区间[]11-，上是增函数，则实数a 的取值范围为______．【习题3】若函数232()43f x x ax x =+-在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上都是减函数，则实数a 的取值范围为______．【习题4】函数214y x x=+的单调增区间为（） A ．(0,)+∞ B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞- D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 课后检测【习题5】设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值．(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【习题6】已知函数21()2(02]f x ax x x =-∈，，，若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，求a 的取值范围．【习题7】设函数2()1x f x e x ax =---.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围【习题8】设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()()xe g xf x =，讨论()g x 的单调性．。

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录二．教学过程：（一）复习回顾，知识梳理1．常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 3．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )．4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．5．对数函数的导数： x x )'(ln = e xx a a log 1)'(log =．6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=．（二）讲解新课 1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数342+-=x x y 的图像可以看到：的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x )．②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间。

导数在函数单调性、极值中的应用

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方法提炼利用导数研究函数的极值的一般流程:
请做[针对训练]2
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本课结束谢谢观看
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.
答案：3
4.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的
极小值是
.
答案：c
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思维拓展
1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0吗?f'(x)>0是否是f
(x)在(a,b)内单调递增的充要条件? 提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f'(x)≥0,f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件. 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?其为函数在该点取得极值的什么条件? 提示:不一定.如函数f(x)=x3,在x=0处,有f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3 的极值点;其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件.
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(2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f'(x)≤0对x∈R都成立,
即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0, 即a2+4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不可能在R上单调递减. 若函数f(x)在R上单调递增, 则f'(x)≥0对x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈R都成立.
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二、函数的极值与导数【例2】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6), 且函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

导数在研究函数中应用之函数单调性

导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。

函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。

首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。

注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。

在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。

具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。

函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。

在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。

2.接下来，求出函数的导函数。

导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。

3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。

当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。

4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。

5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。

导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。

如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。

通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。

当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。

函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。

例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。

高考数学教材知识点复习导数的应用1单调性导学案

2015届高考数学教材知识点复习导数的应用1单调性导学案【学习目标】1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往往与不等式结合考查．预习案函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内，若f′(x) 0，则f(x)为增函数；若f′(x) 0，则f(x)为减函数．(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：①确定f(x)的；②求导数f′(x)；③令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的范围；④当时，f(x)在相应区间上是增函数，当时，f(x)在相应区间上是减函数．【预习自测】函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为．2. 函数y＝12x2－lnx的单调减区间为 ( )A．(－1,1] B．(0,1] C． D．(－∞，－1)探究案题型一求函数的单调区间例1. (1)求函数f(x)＝x2＋1x－1的单调区间．(2)求函数f(x)＝x＋21－x的单调区间．(3)求函数f(x)＝1xlnx的单调区间．（4）f(x)＝(x－1)ex－x2.题型二讨论函数的单调性例2已知函数f(x)＝ .求f(x)的单调区间．探究1. 已知函数f(x)＝alnx＋2a2x＋x(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x －2y＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．题型三利用单调性求参数的范围例3 设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．探究2. (1)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. ①求b，c 的值；②若a0，求函数f(x)的单调区间；③设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。

3.2导数在函数中的应用(单调性)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 3.2导数在函数中的应用（单调性）考纲定位会利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.【考点整合】1、导数与函数单调性的关系：（设()f x 在区间(,)a b 有定义，且存在导函数()f x '）单调递增单调递减在某区间(,)a b 内，有()f x ' 0在某区间(,)a b 内，有()f x ' 0 【典型例题】一、判断函数的单调性1、利用导数判断下列函数的单调性：（1）33y x x =+ （2）4,[2,)y x x x =+∈+∞二、求函数的单调区间2、求下列函数的单调区间：（1）3211232y x x x =+- （2）232ln y x x =-小结：利用导数判断函数单调性的步骤：；；； .三、判断含有参数的函数的单调性3、已知函数3()1f x x ax =--.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的范围；（2）若函数()f x 在(-1,1)上单调递减，求实数a 的范围；四、高考真题演练4、（2008 湖北）若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（） A.[1,)-+∞ B.(1,)-+∞ C.(,1]-∞- D.(,1)-∞-5、（2009 江苏）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .6、（2011 江西）设3211()232f x x x ax =-++.若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.7、（2010 全国）设函数2()1x f x e x ax =---.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，有()0f x ≥，求a 的取值范围.【作业】《胜券在握》P2页第题【课后反思】。

江苏省高考数学二轮复习第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件 (1)

题型一
导数与函数的单调性
例1 (2018盐城高三模拟)若对任意实数k,b都有函数y=f(x)+kx+b的图象与直线y=kx+b相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.设函数g(x)=aex-x-pa,a,p∈R.
(1)讨论函数g(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)为“恒切函数”. ①求实数p的取值范围;
因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
1 所以当x∈(0,+∞)时, -ax-2<0有解, x 1 2 即存在x∈(0,+∞),使得a> . 2 - x x 1 2 设G(x)= - (x∈(0,+∞)),所以只要a>G(x)min即可. x2 x
1 -1,所以当x∈(0,+∞)时,G(x) =-1, 而G(x)= min 1 x
x g'(x) g(x) (-∞,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ↘
1 1 故g(x)max=g(1)= ,所以b> . e e
( x 1)(ae x x) 1 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f '(x)= ,当a= 时, f '(x)= 2 x e ( x 1)(e x1 x) 2 , x 1 x x-1 由(1)知 ≤ , 即 e -x≥0,当且仅当x=1时取等号, x e e
1 1 2 1 ( x0 1) + =- x0(x0+2)=- , 4 4 4 1 3 3 3 3 2 1 2, 上递增,r(-2)=0,r = 函数r(x)=- (x+1) + 在 ,故0<m< .综上所 4 4 16 2 2 16 3 述,0≤m< . 16

(学生案)高三二轮复习导数在函数中的应用_单调性

知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性

知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性

导数的应用复习教案

导数在函数单调性与极值求解中的应用

高中数学导数在研究函数中的应用--单调性苏教版选修2-2

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)

【高考精品】导数在函数中的应用——单调性

导数在函数研究单调性上的应用

导数.02导数在函数单调性中的应用(B级)理科.学生版

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

导数在函数单调性、极值中的应用

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2

导数在研究函数中应用之函数单调性

高考数学教材知识点复习导数的应用1单调性导学案

3.2导数在函数中的应用(单调性)

江苏省高考数学二轮复习第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件 (1)

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳第6讲导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)