离散型随机变量与正态分布

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高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为：

则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.

(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

4.正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值

σ2π

；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，

离散型随机变量均值和方差、正态分布

∴P(6＜X＜7)＝0.22718＝0.1359.
课堂互动讲练
【名师点评】在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．
课堂互动讲练
互动探究
若其他条件不变，则P(X≥7)及P(5＜ X＜6)应如何求解？
解：由σ＝1，μ＝5， P(3＜X＜7)＝P(5－2×1＜X＜5 ＋2×1)＝0.9544，
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也
是随机变量，且E(aX＋b)＝ aEX＋b . (3)①若X服从两点分布，则EX＝ p ；
②若X～B(n，p)，则EX＝ np.
基础知识梳理
2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
基础知识梳理
参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？
【思考·提示】 μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．
1．若随机变量X的分布列如下，则X 的数学期望是( )
X
0
1
P
p
A.p C．1
答案：B
q
B．q D．pq
三基能力强化
2．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)
和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则( )
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值的定义求EX；(5)由方差的定义求DX.

离散型随机变量的均值与方差正态分布理

D．15和
解析：答案：A
2．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线 N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是 ( ) A．σ1>1＞σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
解析：由正态曲线知0<σ1<σ2＝1<σ3.
(1)利用古典概型易求. (2)X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望公式.
【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， P(A)= ∴n＝2. (2)X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= P(X=2)=
P(X=3)=
∴X的概率分布列为：
X
1
2
3
P
E( X ) 1 1 8 2 28 3 109 .
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N (μ，σ2)．
3．正态曲线的特点：
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值
；
(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

离散型随机变量的均值、方差和正态分布

10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布

[知识梳理]

1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为

(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)D (X )＝∑i ＝1n

(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值

E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．

2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；

(2)D (aX ＋b )＝a 2D

(X )(a ，

为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

4．正态曲线

(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝

2π·σe －

(x －μ)22σ2

，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数

μ和σ(σ>0)为参数，

称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正

态分布的标准差)．

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1

σ2π；

④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

5．正态分布

(1)正态分布的定义及表示

77.2-7.3 离散型随机变量 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (学生版)

正态分布

1 正态分布的概念

若连续型随机变量ξ的概率密度函数为f(x)=

σ√2 π −(x−μ)

2 σ2 , x∈(−∞ ,+∞) ,

其中σ ,μ为常数，且σ>0，则称x服从正态分布，简记为x∼N(μ ,σ2).

f(x) 的图象称为正态曲线.

2 正态分布的期望与方差

若ξ∼ N(μ ,σ2)，则E(ξ)=μ ,D(ξ)=σ2;

3 正态曲线的性质

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交；

②曲线关于直线x=μ对称；

③曲线在x=μ时达到峰值

σ √2 π

；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，向它无限靠近；

⑥曲线的形状由σ确定，

σ越大，峰值

σ √2 π

越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；

σ越小，峰值

σ √2 π

越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

4若X~N(μ ,σ2)，X取值不超过x的概率P(X≤x)为区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.

5 3σ原则

假设X~N(μ ,σ2)，对于给到的k∈N∗,P(μ−kσ<x≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值，特别地，

P(μ−σ<x≤μ+σ)=0.6827

P(μ−2 σ<x≤μ+2 σ)=0.9545

P(μ−3 σ<x≤μ+3 σ)=0.9973

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ ,σ2)的随机变量只取 (μ−3 σ ,μ+3 σ)之间的值，并简称之为3σ原则.

6 标准正态分布

①在标准正态分布表中相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率，

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1

第九节离散型随机变量的期望与方差、正态分布

1．均值与方差

理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 2．正态分布

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．知识点一均值

1．一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

2．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . 3．(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .

易误提醒理解均值E (X )易失误，均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．

[自测练习]

1．已知X 的分布列为

X －1 0 1 P

设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.7

3 B ．

4 C ．－1

D ．1 解析：

E (X )＝－12＋16＝－1

，

E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝7

答案：A

知识点二方差

1．设离散型随机变量X 的分布列为：

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

答案：0.7
课前 ·双基落实
课堂 ·考点突破
课后· 三维演练
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
1．理解均值 E(X)易失误．均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值的取值平均状态． 2．注意 E(aX＋b)＝aE(X)＋b， D(aX＋b)＝a2D(X)易错．
课前 ·双基落实课堂 ·考点突破课后· 三维演练
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
[由题悟法] 求离散型随机变量的均值的 4 个步骤 (1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值； (2)求 X 的每个值的概率； (3)写出 X 的分布列； (4)由均值定义求出 E(X)．
课堂 ·考点突破
课后· 三维演练
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
3．正态分布
上方
x＝μ
x＝μ 1 σ 2π
1
“瘦高” “矮胖” 分散
课前 ·双基落实课堂 ·考点突破课后· 三维演练
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝ 0.682 6 ； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝ 0.954 4 ； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ 0.997 4 .

10.9 离散型随机变量的期望、方差、正态分布

告
一
P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，
课时
作
P(X＝1)＝
1 2
×
1－13
×
1－14
＋ 1－12
×
1 3
×
1－14
＋
1－12
业
报
告二
×1－13×14＝2114，
第10章第9节
报
告二
M
① CiM－－11·CNn－－iM＝CnN－－11.
i＝1
②i·CiM＝M·CiM－－11.
课时作业
第10章第9节
第25页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
Ⅱ.相互独立事件中的期望与方差
2．[2017天津卷]从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各
报
告路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为
报
1．[2017北京卷]为了研究一种新药的疗效，选100名患者
告
一随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段课
时
时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下
作业
图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
报告二
第10章第9节
第20页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
第10章第9节

离散型随机变量的均值与方差、正态分布-概率、统计与统计案例

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考点二
期望和方差的应用
甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ
P
10
0.5
9
0.2
8
0.1
7
0.1
6
0.05
5
0.05
0
0
ξ
P
10
0.1
9
0.1
8
0.1
7
0.1
6
0.2
5
0.2
0
0.2
计算ξ,η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣. 返回目录
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考点三
正态分布
某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间：小时)为随机变量X,已知X~N(1 000,302），要使灯管的平均寿命为1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在多少小时以上?
【分析】因为X~N（1 000,302），即X服从正态分布，设灯管最低寿命为1 000-a(a＞0),由于灯管平均寿命为1 000，依题意，则应P(1 000-a＜X＜1 000+a)=99.7%，求得a，即可得出最低寿命1 000a(小时).
【分析】利用ξ,η的分布列，用期望、方差公式计算出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析. 【解析】依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1 +7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85（环）. Eη=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2

离散型随机变量均值(正态分布)

2．4正态分布

复习引入：

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x

=b 及x 轴所围图形的面积．

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞

式中的实数

μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x

μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简

称正态曲线．讲解新课：

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足

,()()b

P a X B x dx μσϕ<≤=⎰,

则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数

μ和σ

确定，因此正态分布常记作

),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．

数学中的概率分布正态分布与离散分布

在数学中，概率分布是描述随机变量取值的规律性分布。其中，正态分布和离散分布是两种重要的概率分布类型。

一、正态分布

正态分布，也称为高斯分布，是一种连续性随机变量的概率分布。它的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）具有钟形曲线的特点，对称于均值，并由两个参数来确定：均值（μ）和标准差（σ）。

正态分布的概率密度函数为：

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-μ)² / (2σ²))

在正态分布中，68%的数据落在一个标准差范围内，95%的数据落在两个标准差范围内，99.7%的数据落在三个标准差范围内。这个规律被称为“68-95-99.7规则”。

正态分布在实际应用中经常出现。例如，人的身高、智力测验得分等都符合近似正态分布。在统计学和自然科学研究中，正态分布被广泛用于描述和分析数据的分布情况。

二、离散分布

离散分布是一种描述离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量是指只取有限个或可列个数值的随机变量，例如扔硬币的结果（正面或反面）或掷骰子的结果（1到6点）等。

常见的离散分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。下面分别

介绍几种常见的离散分布：

1. 伯努利分布

伯努利分布是最简单的离散分布之一，描述了只有两种可能结果的

随机试验。它的概率质量函数如下：

P(x) = p^x * (1-p)^(1-x)，其中x={0, 1}，p为取得1的概率。

2. 二项分布

二项分布描述了重复进行一系列相同的独立随机试验，且每次试验

正态分布及随机变量函数的分布

方差是描述随机变量取值分散程度的量，对于随机变量函数，方差取决于随机变量的方差和函数的具体形式。
如果函数是线性或多项式函数，且随机变量是正态分布的，则随机变量函数的期望和方差可以通过线性组合计算得到。
Part
04
中心极限定理
中心极限定理的表述
中心极限定理
无论随机变量是来自什么样的总体，只要样本量足够大，那么样本均值的分布就趋近于正态分布。
如果随机变量是离散的，函数是逻辑函数或分段函数，则一元随机变量函数的分布可能是二项分布、泊松分布或超几何分布等。
二元随机变量函数的分布
二元随机变量函数的分布比一元情况更复杂，需要考虑两个随机变量的联合概率分
布。
如果两个随机变量是独立的，函数是线性或多项式函数，则二元随机变量函数的分布可能是正态分布、均匀分
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ，数据值出现的概率逐渐减小，且速度逐渐减慢。
稳定性
正态分布的方差σ^2恒定，且不受数据值大小的影响。
正态分布在生活中的应用
身高、体重、考试分数等许多自然现象都遵循正态分布。
在金融领域，许多资产的收益率也符合正态分布，如股票、债券等。
正态分布及随机变量函数的分布

正态分布的数字特征

检验方法
图形检验法
通过绘制直方图或QQ图，观察数据分布是否呈现出正态分布的形状。
统计量检验法
利用统计量如峰度、偏度等，与正态分布的统计量进行比较，判断数据是否符合正态分布。
P-P图和Q-Q图检验法
将数据点绘制在P-P图或Q-Q图上，观察数据点是否大致分布在直线附近，以判断数据是否符合正态分布。
意义
方差用于描述数据的离散程度，即各数据值与数学期望的偏离程度。
变异系数
变异系数
变异系数是标准差与数学期望的比值，用于比较不同数据的离散程度。在正态分布中，变异系数可以帮助我们了解数据的相对波动性。
计算公式
CV = 标准差/数学期望。
意义
变异系数用于比较不同数据的离散程度，尤其在处理不同量级的测量值时，变异系数更具可比性。
概率密度函数的非负性
总结词
正态分布的概率密度函数值非负。
详细描述
正态分布的概率密度函数在整个定义域内都是非负的，这意味着在任何给定的x值下，概率密度函数的值都是非负的。这一性质是概率分布函数的基本要求之一，因为概率值
不能为负数。
04
正态分布的应用
在统计学中的应用
描述性统计
正态分布是描述数据分布形态的常用方法，通过计算数据的均值、中位数、标准差等统计量，可以了解数据的集中趋势和离散程度。
偏度

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

表示总体的分布越分散．
4．正态总体三个基本概率值 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝___0_._6_8_2_6__； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝_0_._9_5_4_4____； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_0_._9_9_7_4____.
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ ＜X≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x＝μ 对称，从而在关于 x＝μ 对称的区间上概率相等． ②P(X＜a)＝1－P(x≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中
随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)＝
() A.112265
B.65
C.116285
D.75
图10－9－1
【解析】先求出随机变量 X 的分布列，然后利用均值的计算公式求得 E(X)．
依题意得 X 的取值可能为 0,1,2,3，且 P(X＝0)＝13235＝12275， P(X＝1)＝91×256＝15245，P(X＝2)＝3× 12512＝13265，P(X＝3)＝1825.故 E(X)＝0×12275＋1×15245＋2×13265＋3×1825＝65.

离散型随机变量的均值与方差正态分布理

第45页/共52页
(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； (2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．
第46页/共52页
[解] (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．
(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值
；
(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越
“ 瘦高 ”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越
“ 矮胖 ”，
表示总体的分布越分散．
第9页/共52页
1．设X～B(n，p)，若E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别
第44页/共52页
(2009·四川高考)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．

10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

提素能
高效训练
3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p ；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np .
山
东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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方差 1．设离散型随机变量X的分布列为
悟典题
能力提升
则 (xi－E(X))2 描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程
表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“ 矮胖 ”，表示总体的分布
业有
越分散．
限公
司
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高考总复习 A 数学（理）
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研考向要点探究
悟典题能力
2．正态分布的三个常用数据
提升
提素能
(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
0.682 6 ；
高效
训练
(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0；.954 4
(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0..997 4
山东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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离散型随机变量与正态分布

高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量均值和方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差正态分布理

离散型随机变量的均值、方差和正态分布

77.2-7.3 离散型随机变量 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (学生版)

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1

第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

10.9 离散型随机变量的期望、方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布-概率、统计与统计案例

离散型随机变量均值(正态分布)

数学中的概率分布正态分布与离散分布

正态分布及随机变量函数的分布

正态分布的数字特征

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差正态分布理

10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布