(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

m m m n ! n m知识内容1. 基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N +，并且 m ≤ n ．全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．表示．规定： 0! = 1 ．个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．1 / 20排列组合问题的常用方法总结 1m (m ≤ n ) m !C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) =n C mn ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤n ) N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m= n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) nm (m ≤n ) n -1组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1 ）nn⑶排列组合综合问题n +1nnn解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1. 特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2. 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6. 插板法： n 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排， 从 n - 1 个空中选 m - 1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．7. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！8. 错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题．1. 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2. 具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例 1】 从5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有 2 人参加，交通和礼仪各有1 人参加，则不同的选派方法共有 ．【例 2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14 名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为C【例 3】 在平面直角坐标系中， x 轴正半轴上有 5 个点，y 轴正半轴有 3 个点，将 x 轴上这 5 个点和 轴上这 3 个点连成15 条线段，这15 条线段在第一象限内的交点最多有（ ）B ． 35 个C ． 20 个【例 4】 一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，⑴从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 5】 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和1 个黑球．⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？3 / 20A ． C 12C 4 C 4 14 12 8B ．C 12A 4 A 4 14 12 8D ．C 12C 4 C 4A 3 14 12 8 3y A ． 30 个D ．15 个A ．15 B ．16 C ．28 D ．25 ⑶从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例 6】 有12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷， 4 人只会划右舷，其余 5 人既会划左舷也会划右舷．从这12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例 7】若 x ∈ A A 是伙伴关系集合，集合 ）【例 8】 从6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 ．D ． A 3 ⋅ A 2 6 4C ． C 5 10B ．C 2 ⋅ C 3 6 4A ．C 3 ⋅ C 2 6 45 128 16 128 15 128 20【例 9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 3 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例 10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7 步走完，则上楼梯的方法有 种．【例 11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例 12】 设含有10 个元素的集合的全部子集数为S ，其中由 3 个元素组成的子集数为T ，则的值为（ ）A. B ． C ． D ．5 / 2012821 STA ． 60B ． 80C ．120 D ．160 OB【例 13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5 次跳动质点落在点(1，0) （允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 ．【例 14】从10 名男同学，6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）【例 15】在 AOB 的边 OA 上有 A 1 ，A ，2 ，A 3 A 4 四点， 边上有 B 1 ，B ，2 ，B 3，B 4 B 5 共 9 个点， 连结线段 A i B j (1≤ i ，4≤1≤ j5) ，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）【例16】从7 名男生5 名女生中，选出5 人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？⑴ A 、B 必须当选；⑵ A 、B 都不当选；⑶ A 、B 不全当选；⑷ 至少有2 名女生当选；⑸选出5 名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5 种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．【例17】甲组有5 名男同学，3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）【例18】从10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）【例19】某班级要从4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要求至少有1 名女生，那么不同的选派方案种数为（）7 / 20D．48 C．28B．24 A．14D．28 C．49B．56 A．85D．345 种C．300 种B．180 种A．150 种50 30 20 30 20C 5 - C 1 C 4 - C 4 C 1 30 20 46C 2 C 2 C 1【例 20】要从10 个人中选出4 个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例 21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例 22】 某班 5 位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）A ．288 种B ．72 种C ．42 种D ．36 种【例 23】某班有30 名男生， 30 名女生，现要从中选出 5 人组成一个宣传小组，其中男、女学生 均不少于2 人的选法为（ ） A ． B ． C ． D ．【例 24】用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字 1 不排在个位和千位⑵数字 1 不在个位，数字 6 不在千位．30 2030 20 C 3 C 2 + C 2 C 3 50 30 20 C 5 - C 5 - C 5）B ． 48 种 【例 25】 甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析， 5 人的名次排列共有 （用数字作答）种不同情况．【例 26】某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有【例 27】用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）【例 28】 某电视台连续播放5 个不同的广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（【例 29】 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．9 / 20D ． 18 种 C ． 36 种 A ． 120 种 D ．36 C ．48 B ．72 A ．120 （ ）A ．45 种 B ． 56 种C ． 90 种A ．108 种B ． 186 种C ． 216 种D ． 270 种A ． 48 个B ． 36 个C ． 24 个D ．18 个 【例 30】 从4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有 1 名女生，则选派方案共有（）【例 31】 甲组有5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（ ）【例 32】 将4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案 有种（用数字作答）．【例 33】用数字1,2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数共有（ ）【例 34】 一生产过程有道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人，则不同的安排方案共有（ ）【例 35】 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排．若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60D ． 72 种 C ． 48 种 B ． 36 种 A ． 24 种 D ． 345 种 C ． 300 种 B ． 180 种 A ． 150 种 4 6【例 36】 从6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 ．【例 37】 7 名志愿者中安排6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排 3 人，则不同 的安排方案共有 种（用数字作答）．【例 38】给定集合 ，映射 f : A n → A n 满足： ① 当 i , j ∈ A n , i ≠ j 时 ， f (i ) ≠ f ( j ) ；② m ∈{ f (1),f (2), , f (m )} ． 射”．“优映射”．例如：用表 1 表示的映射表 1： A 3 → A 3 是一个“优映表 2已知表件的映射）；⑵若映射 ： A 10 → A 10 是“优映射”，且方程 f (i ) = i 的解恰有 6 个，则这样的“优映射”的个11 / 20D ． A 3 ⋅ A 2 6 4C ． C 5 10B ．C 2 ⋅ C 3 6 4A ．C 3 ⋅ C 2 6 4f f A n = {1, 2 , 3, , n }4 数是 ．【例 39】将7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有种．【例 40】 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A ．10 种B ．20 种C ．36 种D ．52 种【例 41】一个口袋内有4 个不同的红球， 6 个不同的白球， ⑴从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 42】正整数a 1a 2 a n a 2n -2a 2n -1(n ∈ N ，n > 1) 称为凹数，如果 a 1 > a 2 > > a n ，且 ，其中 a i ∈{0 ，1，2， ，，9}，(i = 1 2 共有个（用数字作答）．) ，请回答三位凹数【例 43】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）a 1a 2 a 3 (a 1 ≠ a 3 ) a 2n -1 > a 2n -2 > > a n【例 44】 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）【例 45】 某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张为不同花色的 A ，有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例 46】 从 7 人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作，则不同的选派方法 有 （ ）【例 47】12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ ）C 4 C 4C 4A ． C 4 C 4C 4 种B ．3C 4 C 4C 4 种 C ． C 4 C 4A 3 种D ． 12 8 4A 种 12 8 4 12 8 4 12 8 3 33【例 48】袋中装有分别编号为1, 2, 3, 4 的4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编 号互不相同的取法有（ ）D ．36 种．【例 49】现有男、女学生共8 人，从男生中选2 人，从女生中选1 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 90 种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A. 男生2 人，女生 6 人 B ．男生3 人，女生 5 人 C ．男生5 人，女生 3 人 D ．男生6 人，女生 2 人．【例 50】将4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中，13 / 20D ． C 5 A 5 7 10C ．C 5 C 5 种 10 7B ． A 5C 5 P 5 种7 10 5 A ．C 5 A 5 A 5 种 7 10 5D ． 48 种 C ． 18 种 B ． 12 种 A ． 36 种 A ． 24 种 B ．28 种 C ．32 种4⑴若个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】将7 个小球任意放入4 个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1 、2 、3 、4 的四个盒子中．⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？⑵四个盒都不空的放法有多少种？⑶恰有一个空盒的放法有多少种？⑷恰有两个空盒的放法有多少种？⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1 个单位，若经过5 次跳动质点落在点(3，0)处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共种；若经过m 次跳动质点落在点(n，0)处（允许重复过此点），其中m≥n，且m -n 为偶数，则质点不同的运动方法共有种．【例54】设集合I = {1，2，3，，4 5} ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中x f (a ) + f (b ) + f (c ) + f (d ) = 8 N = {1，2，3} A ． 216 B ． 108 C ．48 D ． 24 最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A ．50 种B ．49 种C ．48 种D ．47 种【例 55】 是集合 M = {1，2，3， 4} 到集合 的映射， g 是集合 N 到集合 M 的映射，则不同的映射 的个数是多少？ 有多少？满足 的映射 f 有多 少？满足 f [g (x )] = x 的映射对( f ，g ) 有多少？【例 56】排球单循坏赛，胜者得1 分，负者0 分，南方球队比北方球队多 9 支，南方球队总得分是北方球队的9 倍， 设北方的球队数为 ．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分； ⑵证明： 或 x = 8 ；⑶证明：冠军是一支南方球队．【例 57】已知集合A = {1,2 , 3, 4}，函数 f (x ) 的定义域、值域都是 A ，且对于任意i ∈ A , f (i ) ≠ i ．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是1, 2 , 3, 4 的任意的一个排列，定义数表 ⎛ a 1 a 2 a 3 a ⎪4 ，⎫ ⎝ f (a 1) f (a )2 f (a )3f (a ) 4 ⎭若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同 的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）15 / 20f f x = 6 gA ． 36B ． 48C ． 52D ．54 A ． 78 a 1 < a 2 < a 3S = {1, 2 , 3 , , 9}，集间接法（直接求解类别比较大时） 【例 58】 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例 59】从0 , 2 , 4 中取一个数字，从1 , 3 , 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）【例 60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．【例 61】 设集合合 A = {a 1 , a 2 , a 3} 是 S 的子集，且 a 1 , a 2 , a 3 满足 ，a 3 - a 2 ≤ 6 ，那么满足条件的子集 A 的个数为（ ） B. 76 C ． 84 D ．83p < q 时有 i p < i q【例 62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）【例 63】某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参 加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）【例 64】 对于各数互不相等的正数数组(i 1 , i 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , i n )（ n 是不小于 2 的正整数），如果在，则称“ i p 与 i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组 (2 , 4 , 3 , 1)中有顺序“ 2 , 4 ”，“2 , 3 ”，其“顺序数”等于 2 ．若各数互不相等的正数数组(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 )的“顺序数”是 4 ，则(a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 )的“顺序数”是．【例 65】 已知集合A = {5} ，B = {1，2} ，C = {1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）【例 66】甲、乙、丙3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．17 / 20D ． 120 种 C ． 90 种 B ． 56 种 A ． 45 种 D ．36 C ．30 B ．24 A ．18 A ． 33 B ． 34 C ． 35 D ．36⎩A ． 36B ． 16C ． 24D ．32【例 67】设有编号为1 ，2 ，3 ，4 ，5 的五个球和编号为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五个盒子，现将这五个球放入5 个盒子内， ⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ ⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例 68】在排成4 ⨯ 4 的方阵的16 个点中，中心 4 个点在某一个圆内，其余12 个点在圆外，在16 个点中任选 3 个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）【例 69】从甲、乙等10 名同学中挑选4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1 人参加，则不同的挑选方法共有（ ）⎧ax + by = 1【例 70】 若关于 x ，y 的方程组 ⎨x 2 + y 2= 17 有解，且所有解都是整数，则有序数对(a ，b )的数目 为（ ）【例 71】从5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都 D ． 168 种 C ． 140 种 B ． 112 种 A ． 70 种 D ． 264 个 C ． 340 个 B ． 328 个 A ． 312 个A ． 70 种B ． 80 种C ．100 种 D ．140 种A ．20 B ．16 C ．10 D ．6 有，则不同的组队方案共有（ ）【例 72】 甲、乙两人从4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（ ）【例 73】A = {1，2， ， 9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的 A 的子集个数为．【例 74】在由数字 0，1，2，3，4 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有个．【例 75】在∠AOB 的 OA 边上取 4 个点，在 OB 边上取 5 个点（均除 O 点外），连同O 点共10 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例 76】 a ，b ，c ，，d e 共 5 个人，从中选1 名组长1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）【例 77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）19 / 20D ．36 C ．30 B ．24 A ．18 D ． 36 种 C ． 30 种 B ． 12 种 A ． 6 种【例 78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成 _个三角形．【例 79】 从5 名奥运志愿者中选出 3 名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）【例 80】某校从8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地1 人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）【例 81】从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有种（用数字作答）D ．670 C ．1530 B ． 288 A ．1320 D ． 60 种 C ． 48 种 B ． 36 种 A ． 24 种“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。