(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排
列组合方法总结)
教学目标：
1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解
决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：
1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2
种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那
么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n
个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不
同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件
事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：
1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：
例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有C3，然后排首
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略
江西省永丰中学
陈保进
排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列
例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____
解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有
44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48
注意：小集团问题也可以用捆绑法
变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720
333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端
例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：
先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =1440
3.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法
例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____
解析：先将5人全排列，共5
5A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为60
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完整版)排列组合方法归纳
完整版)排列组合方法归纳
如果你想要成功，就需要有恒心作为良友，经验作为参谋，小心作为兄弟，希望作为哨兵。这是成功的关键。
1、特殊元素和位置的优先法
在排列和组合问题中，如果有特殊的元素或位置要求，就需要优先满足这些要求。例如，要求从0、1、2、3、4、5中
选出不重复的五位奇数的数量是多少。首先，末位必须是奇数，因此应该优先安排末位，共有C3种选择。然后，首位不能是0，因此应该优先安排首位，共有C4种选择。最后，安排其
他位置，共有A4^3种选择。根据分步计数原理，可以得出总
共有C3*C4*A4^3=288种不重复的五位奇数。
2、相邻问题的捆绑法
如果题目规定了相邻的元素必须在一起，可以将它们捆绑成一个大元素，参与排列。例如，如果A、B、C、D、E五个
人并排站成一排，要求A和B必须相邻且B在A的右边，那
么可以将A和B看作一个人，且B固定在A的右边，问题就
变成了4个人的全排列，共有A4=24种不同的排列方式。
3、相离问题的插空法
如果元素不能相邻，可以先将无位置要求的元素全排列，然后将规定的不能相邻的元素插入到这些元素的空位和两端。例如，七个人并排站成一排，要求甲和乙不能相邻，那么除了甲和乙以外的其他5个人有A5种排列方式。然后，甲和乙可
以插入6个空位中的任意两个，共有A6种插法。因此，总共
有A5*A6=3600种不同的排列方式。
4、选排问题的先选后排法
如果需要从一组元素中选出符合要求的元素，然后安排它们的位置，可以使用先选后排法。例如，有四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，问恰有一个空盒的放法有
(完整版)高中数学排列组合知识点,推荐文档
复习巩固 1. 分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法．
2. 分步计数原理（乘法原理）
十一. 正难则反总体淘汰策略
例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含
有 3 个偶数的取法有C3 ,只含有 1 个偶数的取法有C1C 2 ,和为偶数的取法共有C1C 2 C3 。再淘汰和小于 10 的偶数共
4
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九. 小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有 A 2 种排法，再排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法，由分步计数原理共有
2
22
A
2
2
A2 22Байду номын сангаас
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中学数学排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版
1．基本计数原理 ⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．
排列数公式：A (1)(2)
(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．
排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版
直接法
（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）
【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活
动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．
【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、
中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
A ．12
4414128C C C B ．124414128
C A A C ．1244
14128
33
C C C A
D ．1244314128
3C C C A
【例3】 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5
个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）
A ．30个
B ．35个
C ．20个
D ．15个
典例分析
排列组合问题的常用方法总
结 1
【例4】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分
的取法有多少种？
【例5】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【例6】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多
高中数学排列组合讲解
高中数学排列组合讲解
一、概念介绍
排列组合是一种统计学中常见的概念, 指的是从一组有限的物体中抽取满足一定要求的组合方式。它涉及从一系列物体中按照一定的规律去选择其中的某几个物体而组合成一个新的组合，并且这种组合总数取决于初始物体个数。
排列组合解决的问题有很多，如从n个数中取出m个数使得它们和最多，最少；从n 个数中取出m个数使得它们积最多，最少等等。
二、排列组合基本公式
（1）排列组合的基本公式为A m n =n×（n－1）×（n－2）……×（n－（m－1）），由此可见，如果m=n时，排列组合的概念与阶乘n! 相同，可以将阶乘式写成A m n 的形式，即A n n = n!。
（2）从n个物体中取出m（m≤n)个物体，排列组合的个数称为组合数，组合数的基本公式为 C m n＝A m n／A m m = n!／（m!×（n－m）！）。
三、排列组合的应用
（1）在实际的实验研究中，通常会对实验因素采用设置不同的处理水平，来研究其对实验结果的影响，此时每个处理水平中的每个因素必须设置多种不同的组合，并将其均匀的分散到每类处理中，这里就需要引入排列组合技术。
（2）对于寻找一组数中满足要求的组合问题，也可以应用排列组合方法。例如，一个长度为 n 的正整数序列，要求任意挑选 k 个数，使它们的和最大或最小，这是一个组合问题。
（3）排列组合在抽奖、普查、实验设计等中占有重要的作用，如抽取实验样本时，如果采用随机抽取的方式，就要使用到排列组合的思想。
数学排列组合常用方法与技巧精讲
几何图形的染色问题
排列组合在几何图形的染色问题中也 有广泛应用，如地图的染色、平面分 割等问题。
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概率分布
利用排列组合知识，可以推导出各种概率分布，如二项分布、泊松 分布等。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理是排列组合中的重要原理，也是解决概率问题 的关键。
以排列组合知识解决数列问题
01
02
03
数列的通项公式
通过排列组合知识，可以 推导出数列的通项公式， 如等差数列、等比数列等。
数列的求和
算。
捆绑法
总结词
捆绑法是将多个元素视为一个整体，再 进行排列组合。
VS
详细描述
当多个元素需要同时考虑时，可以将它们 捆绑在一起作为一个整体。这样可以简化 问题，使得原本复杂的排列组合变得简单 明了。捆绑法特别适用于处理位置和顺序 都需考虑的问题。
插空法
总结词
插空法是通过在已有的排列中插入新元素来 得到新的排列。
数学排列组合常用方法与技 巧精讲
目录
• 排列组合基础概念 • 排列组合常见问题类型 • 排列组合常用解题方法 • 排列组合常见解题技巧 • 排列组合综合应用题解析
01
排列组合基础概念
排列的定义与计算公式
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （m≤n），按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同元素中取出m 个元素的排列。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
4.组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n1)(n2)(nm1) m!
n!
m!(nm)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与 顺序无关的为组合问题.
排列组合常用方法与技 巧
• 1.插空法 • 2.捆绑法 • 3.插拨法(转化法/隔板法) • 4.剩余法 • 5.对等法 • 6.排除法 • 7.倍缩法 • 8.枚举法等
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
百度文库
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧
导言：
在高中数学中，排列与组合是一个重要的数学概念和工具。它们不
仅在数学中具有重要的地位，还在现实生活中有广泛的应用。本文将
对排列与组合的基本概念进行解析，并介绍一些解题技巧和实际应用。
一、排列与组合的基本概念
1. 排列：
排列是指从n个不同的元素中，取出r个元素进行排序的方法总数，用P(n, r)表示。其中，n表示元素的总数，r表示要取出的元素个数。
排列问题中，元素的顺序是重要的。
2. 组合：
组合是指从n个不同的元素中，取出r个元素的组合方式的总数，
用C(n, r)表示。与排列不同的是，组合问题中，元素的顺序并不重要。
二、排列与组合的关系和计算公式
排列与组合之间有以下关系：
P(n, r) = n! / (n - r)!
C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
其中，"!"表示阶乘运算，即某个正整数n的阶乘为1*2*3*...*n。
三、排列与组合的应用举例
1. 从一组人中选出一个委员会：
假设有10个人，从中选出一个由3人组成的委员会。这是一个组合问题，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)进行计算。结果为C(10, 3) = 120种不同的选委员会方式。
2. 买彩票中奖的概率计算：
假设彩票中有50个号码，要中3个号码的一等奖。这是一个排列问题，可以使用排列公式P(50, 3) = 50! / (50 - 3)!进行计算。结果为
P(50, 3) = 19,600种不同的中奖号码排列方式。
四、排列与组合问题的解题技巧
学而思高中数学排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版
1．基本计数原理 ⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．
排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．
高中数学完整讲义——排列与组合7.排列组合问题的常用方法总结1
高中数学讲义
1．基本计数原理 ⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．
排列数公式：A (1)(2)
(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．
(完整)高中排列组合知识点汇总及典型例题(全),推荐文档
2.
!
n
n
n
n
n
n
n1=
+
+
+
=
+
=
+
①；②；③；④
1 r r r r r r r r r r r r C C C C C C C C C C C C C
+
的卡片放入同一信封，则不同的方法的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，
高中数学同步讲义(新教材)：排列组合18种常考考法归类 (教师版)
优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主， 需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理 其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同 时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元 素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑 其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多 个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较 为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问 题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将 m＋n 个元素排成一列，
个元素进行圆形排列，共有
1 m
Anm
种排法。
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。
将 m 个元素 a，n 个元素 b 进行全排列，我们可以从 m＋n 个位置中选择 m 个位置安置元素 a，
(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）
一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
例1、由01,2,3,4,5，
可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有1
3C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有1
4C 种组合；最后
排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有3
4A 种排列。由分步计数原理得113
344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多
少不同的种法？
分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有2
4A 种排列，再种其它葵花有5
5A 种排列。由
分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法
例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得
522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有2
5A 种排列。 三、相离问题插空法
例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？
分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有5
(完整版)排列组合方法归纳
如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵
排列组合方法总结
1、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。
例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）
解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的
元素占了这两个位置，先安排末位共有C 3；然后排首位共计有C 4
；最后排其他位置共计有3113A 4；由分步计数原理得C 3C 4A 4
=288.112、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例：A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排，如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排
法种数有（）
4解析：把A ,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，A 4=24种，
3、【相离问题】插空法
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的
几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（
）解析：除甲乙外，其余5个排列数为A 5种，再用甲乙去插6个空位有A 6种，不同的排法种
52数是A 5A 6
=3600种524、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法.
例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有C 4
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知识内容
1. 基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中
有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理．
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个
步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）
排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N +
，并且 m ≤ n ．
全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．
表示．规定： 0! = 1 ．
个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个
组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．
元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．
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排列组合问题的常用方法总
结 1
m (m ≤ n ) m !
C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) =
n C m
n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤
n ) N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m
= n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n
m (m ≤
n ) n -1
组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1 ）
n
n
⑶排列组合综合问题
n +1
n
n
n
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1. 特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2. 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，
层次清楚，不重不漏．
3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．
5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6. 插板法： n 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排， 从 n - 1 个空中选 m - 1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．
7. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成
n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！
8. 错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列
的问题．
1. 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合
数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理
还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2. 具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
典例分析
直接法
（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）