2012年全国中考数学二次函数试题选
【全套47份】2012年全国各地中考数学解析汇编第25章 二次函数
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十五章 二次函数 25.1 二次函数 25.2二次函数的图像25.3 用待定系数法求二次函数关系式 25.4 用函数观点看一元二次方程（2012年四川省德阳市，第9题、3分．）在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.（1-，1）B.（1，2-）C.（2，2-）D.（1，1-）【解析】根据二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数1422++=x x y 变成顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，把y=2241x x ++的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位．即可求得新抛物线的顶点。
【答案】函数1422++=x x y 变形为22(1)1y x =+-平移后的解析式为22(1)2y x =--，所以顶点为（1，-2）．故选B.【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．（2012山东泰安，12，3分）将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. 23(2)3y x =++ B.23(2)3y x =-+C.23(2)3y x =+-D.23(2)3y x =--【解析】平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，3），因为平移抛物线的形状不变，所以平移后的抛物线的解析式为：y=3(x+2)2+3. 【答案】A.【点评】主要考查抛物线的平移，左右平移变化横坐标，上下平移变化纵坐标，特别注意符号的不同，关键抓住顶点的变化，二次函数y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为（h,k ）.（2012四川内江，12，3分）如图5，正三角形ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x （秒），y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．【解析】当点P 在AB 上，如下图所示，过点C 作CP ′⊥AB ，可以发现点P 由A 向B 运动过程中，CP 长由大变小，直到与P ′重合时达到最小，然后再由小变大，整个过程需要3秒，根据这一特征可知A ，B 两选项错误．当点P 在BC 上，y ＝(6－x)2，即y ＝(x －6)2，其图象是二次函数图象的一部分，可见D选项也是错误的．故答案选C ．【答案】C【点评】本题考查了分段函数的概念，同时也考查了二次函数模型以及数形结合的数学思想．上面解法告诉我们根据形的运动特征发现对应图象的变化特征，彼此印证判断，可以避免陷入求解析式的繁琐求解过程中．（2012贵州贵阳，10，3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a<0）的图象如图所示，当-5≤x ≤0时，下列说法正确的是（ ）图5图5第10题图C.有最小值0、最大值6D. 有最小值2、最大值6 解析：根据图象，当-5≤x ≤0时，图象的最高点的坐标是（-2，6），最低点的坐标是（-5，-3），所以当x=-2时，y 有最大值6；当x=-5时，y 有最小值-3. 解答：选B ．点评：本题主要考查数形结合思想的运用，解题时，一定要注意：图象的最高（低）点对应着函数的最大（小）值.（2012浙江省义乌市，10，3分）如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2.例如：当x =1时，y1＜y 2，此时M =0. 下列判断：②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小；④使得M =1的x 值是 或 . ①④ C .②③ D .③④【解析】观察图象可知当x ＞0时，y 1＜y 2，故①不正确；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大，故②不正确；Ｍ＝０时即－2x 2＋2＞２，此不等式无解，故使得M 大于2的x 值不存在；③正确；M =1时，2x +2=1或－2x 2＋2=1，解得x=12或2，故④正确．【答案】Ｄ【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数的图象与性质及一元一次方程和一元二次方程的解法，解答此类题要结合图象认真审题．（2012山东泰安，16，3分）二次函数2()y a x m n =++的；图象如图，则一次函数y m x n=+的图象经过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 .D.第一、三、四象限【解析】由二次函数2()y a x m n =++的图象可知其顶点在第四象限，所以-m>0,n<0,m<0, n<0,21-22【答案】C.【点评】由二次函数的图象可确定其顶点坐标的符号；一次函数图象的性质：当k>o,b>o 时，一次函数y=kx+b 过一、二、三象限；当k>o,b<o 时，一次函数y=kx+b 过一、三、四象限；当k<o,b>o 时，一次函数y=kx+b 过一、二、四象限；当k<o,b<o 时，一次函数y=kx+b 过二、三、四象限.（2012山东泰安，19，3分）设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A.123y y y >>B.132y y y >>C.321y y y >>D.213y y y >>【解析】方法一：把A 、B 、C 三点的坐标分别代入2(1)y x m =-++，得y 1=-1+m, y 2=-4+m, y 3=-9+m,所以123y y y >>.方法二：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A 关于对称轴的点A ′是（0，y 1），那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．【答案】A【点评】代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小。
中考数学压轴题二次函数问题解答题解析版
27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3.（2）把点代入抛物线，得把点代入抛物线，得解得当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，时，，解得，（舍去）综上，或3．【关键点拨】本题考査的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．28．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【答案】(1) 50千克(2) 12.529．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）. （1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.（2）20×120=2400＜3000，由题意得：w=xy=x（-2x+160）=3000，-2x2+160x-3000=0，x2-80x+1500=0，（x-50）（x-30）=0，x=50或30，当x=50时，y==60，不符合题意，舍去，当x=30时，y==100＞88，符合题意，答：报名旅游的人数是30人；（3）w=xy=x（-2x+160）=-2x2+160x=-2（x2-80x+1600-1600）=-2（x-40）2+3200，∵-2＜0，∴x＜40，w随x的增大而增大，∵x=36时，w有最大值为：-2（36-40）2+3200=3168，∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．【关键点拨】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题的关键．30．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2），，144元（2）根据题意知，，，当时，随的增大而增大，，当时，取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．31．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．(1)求抛物线的解析式(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).【解析】(1)将代入将和代入抛物线解析式为(3)①当时，，则关于抛物线对称轴对称的面积为当时由已知为等腰直角三角形，过点作于点，设点坐标为，则为，代入解得的面积为4故答案为：或4【关键点拨】本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.32．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）y x2x﹣3；（2）；（3）．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO OA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QH CH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQ AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．【关键点拨】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.33．知识背景当a＞0且x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x=时取等号）．设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．应用举例已知函数为y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2 =4．解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【答案】（1）6；（2）w有最小值，最小值=201.4元．【关键点拨】本题考查二次函数的应用，反比例函数的应用，函数的最值问题，完全平方公式等知识，解题的关键是学会构建函数解决问题，属于中考常考题型．34．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x 轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m 的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或.（2）由已知，点坐标为点坐标为轴（3）如图，过点做于点由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．点坐标为，，此时点坐标为，当点、位置对调时，依然满足条件点坐标为，或，【关键点拨】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，解题的关键是能够根据题意找到有限条件列出解析式或表示出相关坐标.35．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．【解析】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为．（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点的坐标为，，点的坐标为，．点的坐标为，，，．为直角三角形，分三种情况考虑：①当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；②当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；③当时，有，即，整理，得：．，该方程无解（或解均为增解）．[来源:Z&xx&]综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．36．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC=S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．[来源]【关键点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质.38．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；【关键点拨】此题重点考察学生对于抛物线的综合应用能力，熟练抛物线的图像和性质，四边形面积的计算方法，点坐标的求解方式是解答本题的关键.39．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（2）、（）和（，﹣2）．∴y1m，y2m，∴y2﹣y1＝(m)﹣(m)(m＞0)；②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)．(i)当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(2)；(ii)当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为()；(iii)当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(，﹣2)．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2)、()和(，﹣2)．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，将一次函数解析式代入二次函数解析式是解(2)的关键，分别求出AB、AA′、A′B的值以及分情况讨论是解(3)的关键.40．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴，即，解得：OF=，则F坐标为（0，﹣）．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．41．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：【关键点拨】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．42．已知抛物线的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．（3）y x2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．【关键点拨】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．43．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园A BCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=，0＜x＜a∵0＜a＜50∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大当x=a时，S最大=50a-a2②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=，a≤x＜50+当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，则x=25+时，S最大=（25+）2=，当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小[来源:Zxx∴x=a时，S最大==，【关键点拨】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．44．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；【关键点拨】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．45．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．（2）当时，，点的坐标为．设直线的解析式为．将、代入，，解得：，直线的解析式为．假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．，．，当时，的面积最大，最大面积是16 ．，存在点，使的面积最大，最大面积是16 ．【关键点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．。
2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编18二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质一、选择题1、（2012年浙江金华一模）抛物线2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）A ．()213y x =++B ．()213y x =+- C ．()213y x =-- D ．()213y x =-+答案：D2、．（2012年浙江金华四模）抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是 （ ）A ．（－1，－1）B ．（－1，1）C ．（1，1）D ．（1，－1）答案：C3、（2012年浙江金华五模）将抛物线122--=x y 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ▲ ） A ．23个单位 B ．1个单位 C ．21个单位 D ．2个单位 答案：A4、（2012年浙江金华五模）抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ▲ ）Ａ.直线x = －2 B .直线 x =2 C .直线x = －3 D .直线x =3答案：B5、（2012江苏无锡前洲中学模拟）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ． 2425y x =B ．225y x =C ．2225y x= D ．245y x =答案：B(第1题) AB D6.（2012荆门东宝区模拟）在同一直角坐标系中，函数y ＝mx +m 和函数y ＝－mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能．．是（ ）．(第2题)答案：D7. （2012年江苏海安县质量与反馈）将y =2x 2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是A ．y =2x 2+2B ．y =2x 2－2C ．y =（x －2）2D ．y =2（x +2）2答案：D.8. （2012年江苏沭阳银河学校质检题）下列函数中，是二次函数的是（▲） A 、xx y 12-= B 、x x y 322+= C 、22y x y +-= D 、1+=x y 答案： B.9. （2012年江苏沭阳银河学校质检题）抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y下列说法①抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x=21，④在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，正确的有（▲） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 答案：C.10.马鞍山六中2012中考一模）．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x与正比例函数y ＝（b ＋c ）x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A11.（2012荆州中考模拟）．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）Ａ．2)1(2+-=x y Ｂ．2)1(2++=x y Ｃ．2)1(2--=x y Ｄ．2)1(2-+=x y 答案：A12.(2012年南岗初中升学调研）．抛物线ｙ=一ｘ2-２与ｙ轴的交点坐标是( )。
2012年江西省中考数学试题(含答案)
一、选择题（共6小题，每题3分，共18分）1.-1的绝对值是（）A．1B．0C．-1D．±12.等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°3.下列运算正确的是（）A．3362a a a B．a6÷a-3=a3C．3332a a a⋅= D．236(2)8a a-=-4.如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长第4题图第5题图5.如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（）A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°6.某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则从出发后到B地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是（）2012年江西省中考数学试题（满分120分，考试时间120分钟）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 7. 一个正方体有个面．8. 当x =-4时，63x -的值是．9. 如图，AC 经过⊙O 的圆心O ，AB 与⊙O 相切于点B ，若∠A =50°，则∠C =度．第9题图第13题图10. 已知关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，则m 的值是______．11. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则m 2+n 2=____． 12. 已知，一次函数y kx b (k ≠0)的图象经过(2，-1)，(-3，4)两点，则它的图象不经过第_______象限．13. 如图，已知正五边形ABCDE ，请用无刻度．．．的直尺，准确画出它的一条对称轴（保留画图痕迹）．14. 如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是．三、解答题（共4题，每题6分，共24分）15. 化简2211(1)a a a a--÷+．16.解不等式组21131xx+-⎧⎨-≥⎩＜，并将解集在数轴上表示出来．17.如图，已知两菱形ABCD、CEFG，其中点A，C，F在同一直线上，连接BE，DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．18.如图，有大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋（分左、右脚）共四只，放置在地板上[可表示为(A１、A２)，(B１、B２)]．（1）若先从两只左脚拖鞋中取出一只，再从两只右脚拖鞋中随机取出一只，求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率；（2）若从这四只拖鞋中随机地取出两只，利用树形（状）图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率．四、（共2题，每题8分，共16分）19.如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A(-2，0)，B(6，0)，D(0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在曲线上，求m的值．20.小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm．试求信纸的纸长与信封的口宽．五、（共2题，每题9分，共18分）21.我们约定：如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”．为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量出他们的身高（单位：cm），收集并整理出如下统计表：根据以上表格信息，解答如下问题：（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；（2）请你选择其中一个统计量作为选定标准，找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几位男生？并说明理由；（3）若该年级共有280名男生，按（2）中的选定标准，请你估算出该年级男生中具有“普通身高”的人数约有多少名？22.如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．（1）求证：AC∥BD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.533；可使用科学计算器）六、（共2题，每题10分，共20分）23. 如图，已知二次函数2143L y x x =-+：与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ． （1）写出A ，B 两点的坐标；（2）二次函数2243L y kx kx k =-+：（k ≠0），顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质； ②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k 与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．24.已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）如图2，当折叠后的经过圆心O时，求的长；（2）如图3，当弦AB=2时，求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离；（3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB，CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点.试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．图1 图2图3图4图52012年江西省中考数学参考答案15．-116．x<-117．（1）△ABC≌△ADC；△BCE≌△DCG；△CEF≌△CGF（任意两对均可）．（2）证明略．18．（1）12；（2）13．四、（共2题，每题8分，共16分）19．（1）12(43)C yx=，；；（2）m=2．20．信纸的纸长为28.8cm，信封的口宽为11cm．五、（共2题，每题9分，共18分）21．（1）平均数为166.4cm，中位数为165cm，众数为164cm；（2）选择平均数作为选定标准，具有“普通身高”的有⑦⑧⑨⑩四位男生；选择中位数作为选定标准，具有“普通身高”的有①⑦⑧⑩四位男生；选择众数作为选定标准，具有“普通身高”的有①⑤⑦⑧⑩四位男生；（3）选择平均数作为选定标准，该年级男生中具有“普通身高”的约有112名；选择中位数作为选定标准，该年级男生中具有“普通身高”的约有112名；选择众数作为选定标准，该年级男生中具有“普通身高”的约有140名．注：任意选择其中一个标准即可．22．（1）证明略；（2）61.9°；（3）会拖到地面．六、（共2题，每题10分，共20分）23．（1）(10)(30) .A B，，，（2）①对称轴都为直线x=2；都经过(10)(30)A B，，，两点．②存在，=k EF的长度不会发生变化，EF=6．24．（1）43；（2；（3）①2；②四边形OMPN为平行四边形，证明略．10。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题58：开放探究型问题
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无．公共点，则这个反比例函数的表达式是 ▲ （只写出符合条件的一个即可）． 【答案】5y x=（答案不唯一）。
【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设反比例函数的解析式为：k y x =， 联立y=2x+6-和k y x=，得k 2x+6x -=，即22x 6x+k 0-= ∵一次函数y=2x+6-与反比例函数k y x= 图象无公共点， ∴△＜0，即268k 0<--（），解得k ＞92。
∴只要选择一个大于92的k 值即可。
如k=5，这个反比例函数的表达式是5y x=（答案不唯一）。
2. （2012广东湛江4分） 请写出一个二元一次方程组 ▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩． 【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
【考点】二元一次方程的解。
【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如： 由x ＋y=2＋（－1）=1得方程x ＋y=1；由x －y=2－（－1）=3得方程x －y=3；由x ＋2y=2＋2（－1）=0得方程x ＋2y=0；由2x ＋y=4＋（－1）=3得方程2x ＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。
【考点】平行投影。
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。
所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题24：方程、不等式和函数的综合
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【】①y=x②y=－2x＋1 ③1y=x-④2y=3xA．1个B．2个C．3个D． 4个【答案】【考点】【分析】2. （20121b yx+ =A. y【答案】【考点】【分析】∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。
∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0。
∴b＜－1。
∴b=－3。
∴反比例函数的解析式是13yx-=，即2yx=-。
故选D。
3.（2012山东菏泽3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D【答案】【考点】【分析】4.（2012【 】A C 【答案】【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。
【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0。
∴m ＜0，∴一次函数y mx n =+的图象经过二、三、四象限。
故选C 。
5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y =x +3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y =﹣abx 2+（a +b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-【答案】B 。
【考点】关于y 轴对称的点的坐标，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为（a ，b ），∴N 点的坐标为（﹣a ，b ）。
又∵点M 在反比例函数1y=的图象上，点N 在一次函数y =x +3的图象上， 29+2。
中考考试数学二次函数选择题
标准合用2017.0601 二次函数选择题一．选择题（共29 小题）1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），与 y 轴的交点 B 在（ 0，﹣ 2）和（ 0，﹣ 1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．以下结论：① abc＞0②4a+2b+c＞ 0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞ c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤2．如图，已知二次函数y=ax2 +bx+c（a≠0）的图象以下列图，给出以下四个结论：① abc=0，② a+b+c＞ 0，③ a＞b，④ 4ac﹣b2＜ 0；其中正确的结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象以下列图，图象过点（﹣ 1，0），对称轴为直线 x=2，以下结论：（1）4a+b=0；（ 2）9a+c＞3b；（ 3）8a+7b+2c＞0；（4）若点 A（﹣ 3， y1）、点 B（﹣，y2）、点 C（，y3）在该函数图象上，则 y1＜ y3＜y2；（ 5）若方程 a（ x+1）（ x﹣ 5） =﹣ 3 的两根为 x1和 x2，且 x1＜x2，则 x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 1，0），其部分图象以下列图，以下结论：①4ac＜b2；②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞ 0④当 y＞0 时， x 的取值范围是﹣ 1≤x＜3⑤当 x＜0 时， y 随 x 增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象以下列图，并且关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣ m=0有两个不相等的实数根，以下结论：①b2﹣4ac＜0；② abc＞ 0；③ a﹣b+c＜0；④ m＞﹣ 2，其中，正确的个数有（）A．1B．2C．3D．46．如图是抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的部分图象，其极点坐标为（1，n），且与x 轴的一个交点在点（ 3，0）和（ 4， 0）之间．则以下结论：①a﹣ b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象，其对称轴为x=1，以下结论：① abc＞0；② 2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜ y2其中结论正确的选项是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④8．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（ a＞ 0）图象的极点为 D，其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为﹣ 1 和 3，则以下结论正确的选项是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当 a=时，△ ABD是等腰直角三角形9．如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（﹣ 3，0），对称轴为直线 x=﹣1，给出四个结论：①c＞ 0；②若点 B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜ 0，其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象以下列图，则以下结论正确的个数为（）① c＞ 0；② a＜b＜0；③ 2b+c＞0；④当 x＞时，y随x的增大而减小．A．1B．2C．3D．411．以 x 为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣ 1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是（）A．b≥B．b≥1 或 b≤﹣ 1 C． b≥ 2D．1≤b≤212．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象以下列图，以下结论：① b＜ 2a；②a+2c﹣b＞0；③ b＞ a＞ c；④ b2+2ac＜ 3ab．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．413．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象以下列图，以下结论：①4ac＜b2；② a+c＞ b；③ 2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③14．若二次函数y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣ 1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B． x1 =1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣3，x2=1 15．已知抛物线 y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根；③a﹣ b+c≥0；④的最小值为 3．其中，正确结论的个数为（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个16．在同一坐标系中，一次函数 y=ax+2 与二次函数 y=x2 +a 的图象可能是（）A．B．C．D．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，以下结论：①二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4；②4a+2b+c＜ 0；2③一元二次方程ax +bx+c=1 的两根之和为﹣ 1；其中正确的个数有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个18．已知二次函数 y=﹣ x2 +2x+3，当 x≥2 时， y 的取值范围是（）A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜319．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则以下说法：①a＞ 0 ② 2a+b=0 ③a+b+c＞ 0 ④当﹣ 1＜ x＜ 3 时， y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．420．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数 a≠0）的图象以下列图，以下结论正确的选项是（）A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0C．m（am+b）＞ a+b（ m为大于 1 的实数）D．3a+c＜021．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣ 1，2），且与 X 轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣ 2＜ x1＜﹣ 1，0＜x2＜1，以下结论：①4a﹣2b+c＜0；② 2a﹣b＜0；③ a+c＜ 1；④ b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个22．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（﹣ 2，0）、（x1，0），且 1＜x1＜ 2，与 y 轴的正半轴的交点在（ 0， 2）的下方．以下结论：① 4a﹣2b+c=0；② a﹣ b+c＜0；③ 2a+c＞0；④ 2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（）个．A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个23．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），极点坐标为（ 1， n），与y轴的交点在（ 0，2）、（0，3）之间（包括端点）．有以下结论：①当 x＞3 时， y＜0；② 3a+b＞0；③﹣ 1≤ a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的选项是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④24．以下列图的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则以下结论：①b＜0；②b+2a=0；③方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1=﹣ 2，x2=4；④ a+c＞b；⑤3a+c＜ 0．其中正确的结论有（）A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个25．若二次函数 y=ax2+bx+c（a＜0）的图象以下列图，且关于 x 的方程 ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k 的取值范围是（）A．0＜k＜4 B．﹣ 3＜k＜1 C．k＜﹣ 3 或 k＞1D．k＜ 426．已知二次函数y=x2﹣（ m﹣1）x﹣m，其中 m＞0，它的图象与 x 轴从左到右交于 R和 Q两点，与 y 轴交于点 P，点 O是坐标原点．以下判断中不正确的选项是（）A．方程 x2﹣（ m﹣1） x﹣ m=0必然有两个不相等的实数根B．点 R 的坐标必然是（﹣ 1，0）C．△ POQ是等腰直角三角形D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣ 1 的左側27．如图，直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象都经过 y 轴上的 D 点，抛物线与 x 轴交于 A、 B两点，其对称轴为直线 x=1，且 OA=OD．直线 y=kx+c 与 x 轴交于点 C（点 C在点 B 的右侧）．则以下命题中正确命题的个数是（）①abc＞0；② 3a+b＞0；③﹣ 1＜ k＜ 0；④ k＞a+b；⑤ ac+k＞0．A．1B．2C．3D．428．如图，二次函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象经过点（ 1，2），且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中﹣ 1＜x1＜ 0，1＜x2＜ 2．以下结论：① abc＜ 0；② b＜﹣ 2a；③ b2+8a＞4ac；④ 2a+c＜ 0．其中正确的结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个29．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（ x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与 y 轴交于点（ 0，2）．以下结论① 2a+b＞﹣ 1，② 3a+b＞ 0，③ a+b＜﹣ 2，④ a＞ 0，⑤ a﹣b＜0，其中结论正确的个数是（）A．4B．3C．2D．12017.0601 二次函数选择题参照答案与试题解析一．选择题（共29 小题）1．（ 2016? 达州）如图，已知二次函数 y=ax2 +bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点A（﹣ 1，0），与 y 轴的交点 B 在（ 0，﹣ 2）和（ 0，﹣ 1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．以下结论：①abc＞0②4a+2b+c＞ 0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞ c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【解析】依照对称轴为直线 x=1 及图象张口向下可判断出 a、b、c 的符号，进而判断①；依照对称轴获取函数图象经过（ 3， 0），则得②的判断；依照图象经过（﹣1，0）可获取 a、b、c 之间的关系，进而对②⑤作判断；从图象与 y 轴的交点 B 在（ 0，﹣ 2）和（ 0，﹣ 1）之间可以判断 c 的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数张口方向向上，∴ a＞ 0；∵对称轴在 y 轴右侧∴ ab 异号，∵抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴，∴c＜ 0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），对称轴为直线 x=1，∴图象与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），∴当 x=2 时， y＜0，∴4a+2b+c＜ 0，故②错误；③∵图象与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），∴当 x=﹣1 时， y=（﹣ 1）2a+b×（﹣ 1） +c=0，∴a﹣ b+c=0，即 a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线 x=1∴=1，即 b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣ 2a）﹣ a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4? a?（﹣ 3a）﹣（﹣ 2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与 y 轴的交点 B 在（ 0，﹣ 2）和（ 0，﹣ 1）之间，∴﹣ 2＜c＜﹣ 1∴﹣ 2＜﹣ 3a＜﹣ 1，∴＞a＞；故④正确⑤∵ a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；应选： D．【议论】主要观察图象与二次函数系数之间的关系．解题要点是注意掌握数形结合思想的应用．2．（ 2016? 枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象以下列图，给出以下四个结论：① abc=0，② a+b+c＞ 0，③ a＞b，④ 4ac﹣ b2＜0；其中正确的结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解析】第一依照二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过原点，可得 c=0，因此 abc=0；尔后依照 x=1 时， y＜0，可得 a+b+c＜0；再依照图象张口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣，可得﹣，b＜0，因此b=3a，a＞b；最后依照二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有两个交点，可得△＞ 0，因此 b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜ 0，据此解答即可．【解答】解：∵二次函数 y=ax2+bx+c 图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1 时， y＜0，∴ a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线张口向下，∴ a＜ 0，∵抛物线的对称轴是 x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵ a＜0，b＜0，∴a＞ b，∴③正确；∵二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有两个交点，∴△＞ 0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜ 0，∴④正确；综上，可得正确结论有 3 个：①③④．应选： C．【议论】此题主要观察了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的要点是要明确：①二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上张口；当 a＜0 时，抛物线向下张口；②一次项系数 b 和二次项系数a 共同决定对称轴的地址：当 a 与b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左；当a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与 y 轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．3．（ 2016? 随州）二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的部分图象以下列图，图象过点（﹣ 1，0），对称轴为直线x=2，以下结论：（ 1） 4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（ 3）8a+7b+2c＞0；（ 4）若点 A（﹣ 3，y1）、点 B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则 y1＜y3＜y2；（5）若方程 a（x+1）（x﹣5）=﹣3 的两根为 x1和 x2，且 x1＜x2，则 x1＜﹣ 1＜ 5＜ x2．其中正确的结论有（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【解析】（1）正确．依照对称轴公式计算即可．（ 2）错误，利用 x=﹣3 时， y＜ 0，即可判断．（ 3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣ 1，0）和（ 5， 0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵ x=﹣3 时， y＜0，∴ 9a﹣3b+c＜0，∴ 9a+c＜ 3b，故（ 2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣ 1，0）和（ 5， 0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵ a＜ 0，∴8a+7b+2c＞0，故（ 3）正确．（4）错误，∵点 A（﹣ 3， y1）、点 B（﹣，y2）、点 C（，y3），∵ ﹣2= ，2﹣（﹣）= ，∴＜∴点 C 离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵ a＜ 0，﹣ 3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（ 4）错误．（ 5）正确．∵ a＜0，∴（ x+1）（x﹣5）=﹣ 3/a ＞0，即（ x+1）（x﹣5）＞ 0，故 x＜﹣ 1 或 x＞ 5，故（ 5）正确．∴正确的有三个，应选 B．【议论】此题观察二次函数与系数关系，灵便掌握二次函数的性质是解决问题的要点，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．4．（2016? 齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2 +bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 1，0），其部分图象以下列图，以下结论：① 4ac＜b2；②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1，x2=3；③ 3a+c＞ 0④当 y＞0 时， x 的取值范围是﹣ 1≤x＜3⑤当 x＜0 时， y 随 x 增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个【解析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程获取 b=﹣2a，尔后依照 x=﹣1 时函数值为 0 可获取 3a+c=0，则可对③进行判断；依照抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；依照二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2﹣4ac＞0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为直线 x=1，而点（﹣ 1， 0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（ 3，0），∴方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=﹣1，x2=3，因此②正确；∵ x=﹣ =1，即 b=﹣2a，而 x=﹣ 1 时， y=0，即 a﹣b+c=0，∴ a+2a+c=0，因此③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣ 1＜x＜3 时， y＞ 0，因此④错误；∵抛物线的对称轴为直线 x=1，∴当 x＜1 时， y 随 x 增大而增大，因此⑤正确．应选 B．【议论】此题观察了二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠ 0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上张口；当a＜0 时，抛物线向下张口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的地址：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点地址：抛物线与y 轴交于（ 0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△ =b2﹣ 4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有2 个交点；△ =b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b2﹣ 4ac＜0时，抛物线与 x 轴没有交点．5．（ 2016? 广安）已知二次函数 y=ax2 +bx+c（a≠0）的图象以下列图，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，以下结论：①b2﹣4ac＜0；② abc＞ 0；③ a﹣b+c＜0；④ m＞﹣ 2，其中，正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【解析】直接利用抛物线与 x 轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系解析得出答案．2【解答】解：以下列图：图象与x 轴有两个交点，则 b ﹣4ac＞0，故①错误；∵对称轴在 y 轴右侧，∴a， b 异号，∴b＜ 0，∵图象与 y 轴交于 x 轴下方，∴c＜ 0，∴abc＞0，故②正确；当 x=﹣ 1 时， a﹣b+c＞0，故此选项错误；∵二次函数 y=ax2+bx+c 的极点坐标纵坐标为：﹣ 2，故二次函数 y=ax2+bx+c 向上平移小于 2 个单位，则平移后解析式 y=ax2+bx+c﹣m与 x 轴有两个交点，此时关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，故﹣ m＜2，解得：m＞﹣2，故④正确．应选： B．【议论】此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数与方程之间的关系是解题要点．6．（ 2016? 孝感）如图是抛物线 y=ax2 +bx+c（a≠0）的部分图象，其极点坐标为（ 1， n），且与 x 轴的一个交点在点（ 3，0）和（ 4，0）之间．则以下结论：①a﹣ b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】利用抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣ 2，0）和（﹣ 1，0）之间，则当 x=﹣1 时， y＞ 0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线 x=﹣=1，即 b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的极点的纵坐标为 n 获取=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1 有 2 个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（ 3， 0）和（ 4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣2， 0）和（﹣ 1，0）之间．∴当 x=﹣1 时， y＞0，即 a﹣b+c＞0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1，即 b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣ 2a=a，因此②错误；∵抛物线的极点坐标为（ 1， n），∴=n，∴b2=4ac﹣ 4an=4a（ c﹣ n），因此③正确；∵抛物线与直线 y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线 y=n﹣1 有 2 个公共点，∴一元二次方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根，因此④正确．应选 C．【议论】此题观察了二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠ 0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上张口；当a＜0 时，抛物线向下张口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的地址：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点地址：抛物线与y 轴交于（ 0，c）：抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△ =b2﹣ 4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有2 个交点；△ =b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b2﹣ 4ac＜0时，抛物线与 x 轴没有交点．7．（ 2016? 日照）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，其对称轴为x=1，以下结论：① abc＞0；② 2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的选项是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④【解析】由抛物线张口方向获取 a＜ 0，有对称轴方程获取 b=﹣2a＞ 0，由∵抛物线与 y 轴的交点地址获取 c＞0，则可对①进行判断；由 b=﹣2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可获取抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），则可判断当x=2 时，y＞0，于是可对③进行判断；经过比较点（﹣）与点（）到对称轴的距离可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线张口向下，∴a＜ 0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，∴c＞ 0，∴abc＜0，因此①错误；∵ b=﹣2a，∴2a+b=0，因此②正确；∵抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣ 1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 3，0），∴当 x=2 时， y＞0，∴4a+2b+c＞ 0，因此③错误；∵点（﹣）到对称轴的距离比点（）对称轴的距离远，∴y1＜y2，因此④正确．应选 C．【议论】此题观察了二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小，当 a＞0 时，抛物线向上张口；当 a＜ 0 时，抛物线向下张口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（ 0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△ =b2﹣ 4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△ =b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b2﹣4ac＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．8．（2016? 攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的极点为 D，其图象与 x 轴的交点 A、 B 的横坐标分别为﹣ 1 和 3，则以下结论正确的选项是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当 a=时，△ ABD是等腰直角三角形【解析】由于抛物线与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为﹣ 1，3，获取对称轴为直线 x=1，则﹣ =1，即 2a+b=0，得出，选项 A 错误；当 x=1 时， y＜0，得出 a+b+c＜0，得出选项 B 错误；当 x=﹣ 1 时，y=0，即 a﹣b+c=0，而 b=﹣ 2a，可获取 a 与 c 的关系，得出选项 C 错误；由 a= ，则 b=﹣1，c=﹣，对称轴 x=1 与 x 轴的交点为 E，先求出极点 D 的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D 正确；即可得出结论．【解答】解：∵抛物线与 x 轴的交点 A、 B 的横坐标分别为﹣ 1，3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，∴2a+b=0，∴选项 A 错误；∴当自变量取 1 时，对应的函数图象在 x 轴下方，∴x=1 时， y＜0，则 a+b+c＜ 0，∴选项 B 错误；∵A 点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴ a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴选项 C 错误；当 a= ，则 b=﹣1，c=﹣，对称轴 x=1 与 x 轴的交点为 E，如图，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣，把 x=1 代入得 y= ﹣1﹣ =﹣2，∴D点坐标为（ 1，﹣ 2），∴AE=2， BE=2， DE=2，∴△ ADE和△ BDE都为等腰直角三角形，∴△ ADB为等腰直角三角形，∴选项 D 正确．应选 D．【议论】此题观察了二次函数y=ax2+bx+c 的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线张口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．9．（ 2016? 巴中）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点A（﹣ 3，0），对称轴为直线 x=﹣ 1，给出四个结论：①c＞ 0；②若点 B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】①依照抛物线y 轴交点情况可判断；②依照点离对称轴的远近可判断；③根依照抛物线对称轴可判断；④依照抛物线与x 轴交点个数以及不等式的性质可判断．【解答】解：由抛物线交 y 轴的正半轴，∴ c＞0，故①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴点 B（﹣，y1）距离对称轴较近，∵抛物线张口向下，∴y1＞y2，故②错误；∵对称轴为直线 x=﹣1，∴﹣ =﹣ 1，即 2a﹣b=0，故③正确；由函数图象可知抛物线与x 轴有 2 个交点，∴b2﹣4ac＞0 即 4ac﹣b2＜0，∵ a＜ 0，∴＞ 0，故④错误；综上，正确的结论是：①③，应选： B．【议论】此题观察了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠ 0），a 的符号由抛物线张口方向决定； b 的符号由对称轴的地址及 a 的符号决定； c 的符号由抛物线与y 轴交点的地址决定；抛物线与x 轴的交点个数，决定了b2﹣ 4ac 的符号．10．（ 2016? 德阳）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象以下列图，则以下结论正确的个数为（）① c＞ 0；② a＜b＜0；③ 2b+c＞0；④当 x＞时，y随x的增大而减小．A．1B．2C．3D．4【解析】设y=ax2+bx+c 与x 轴的交点为A，B，左侧为A，右侧为B，A（x1，0），B（x2， 0），那么抛物线方程可写为 y=a（x﹣x1）（ x﹣ x2），那么 b=﹣a（x1+x2），从图中可知，由于 x1+x2＞﹣ 1，因此 b=﹣a（x1+x2）＞（﹣ a）×（﹣ 1）=a，因此 a＜b＜0，故②正确，其余不难判断．【解答】解：由图象可知， a＜0，c＞0，a+b+c=0，a﹣ b+c＞0，故①正确，设 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A，B，左侧为 A，右侧为 B，A（x1，0），B（ x2，0），那么抛物线方程可写为 y=a（x﹣x1）（ x﹣ x2），那么 b=﹣a（x1+x2），从图中可知，由于 x1+x2＞﹣ 1，因此 b=﹣a（x1+x2）＞（﹣ a）×（﹣ 1） =a，因此 a＜b＜0，故②正确，∵a+b+c=0， a＜ b＜0，∴ 2b+c＞ 0，故③正确，由图象可知， y 都随 x 的增大而减小，故④正确．应选 D．【议论】此题观察二次函数图象与系数关系、解题的要点是判断 a＜b＜0，题目有点难，属于中考选择题中的压轴题．11．（ 2016? 黄石）以 x 为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2） x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是（）A．b≥B．b≥1 或 b≤﹣ 1 C． b≥ 2D．1≤b≤2【解析】由于二次函数 y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，因此抛物线的极点在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一、二、四象限，依照二次项系数知道抛物线张口方向向上，由此可以确定抛物线与x 轴有无交点，抛物线与y轴的交点的地址，由此即可得出关于 b 的不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：∵二次函数 y=x2﹣ 2（ b﹣ 2） x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，∵二次项系数 a=1，∴抛物线张口方向向上，当抛物线的极点在x 轴上方时，则 b2﹣1≥0，△ =[2 （ b﹣ 2） ] 2﹣4（b2﹣1）≤ 0，解得 b≥；当抛物线的极点在x 轴的下方时，设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=2（b﹣2）＞ 0，b2﹣1＞0，∴△ =[2 （b﹣2）] 2﹣4（b2﹣ 1）＞ 0，①b﹣2＞0，②b2﹣ 1＞ 0，③由①得 b＜，由②得b＞2，∴此种情况不存在，∴ b≥，应选 A．【议论】此题主要观察了二次函数的图象和性质，解题的要点是会依照图象的地址获取关于 b 的不等式组解决问题．12．（ 2016? 绵阳）二次函数y=ax2+bx+c 的图象以下列图，以下结论：①b＜ 2a；② a+2c﹣ b＞ 0；③ b＞ a＞ c；④ b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】依照抛物线的图象，对称轴的地址，利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：由图象可知， a＞0，b＞0，c＞0，∵﹣＞﹣ 1，∴b＜ 2a，故①正确，假如 |a ﹣ b+c| ＜ c，则∵a﹣b+c＜0，∴﹣a+b﹣c＞0，∵c＞0，∴﹣ a+b﹣c＜c，∴a﹣ b+2c＞ 0，则②正确，由于无法判断 |a ﹣b+c| 与 c 的大小，故②错误．∵﹣＜﹣，∴b＞ a，设 x1＞x2∵﹣＜x1＜0，﹣2＜x2＜﹣1，∴x1? x2＜1，∴＜1，∴a＞ c，∴b＞a＞c，故③正确，∵ b2﹣4ac＞0，∴2ac＜ b2，∵b＜ 2a，∴＜3ab，∴b2 =b2+ b2＞b2+2ac，b2+2ac＜b2＜ 3ab，∴b2+2ac＜ 3ab．故④正确．应选 C．【议论】此题观察二次函数的性质、解题的要点是灵便运用所学知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．13．（ 2016? 烟台）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象以下列图，以下结论：①4ac＜b2；② a+c＞ b；③ 2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】依照抛物线与x 轴有两个交点即可判断①正确，依照x=﹣ 1，y＜0，即可判断②错误，依照对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．【解答】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴△＞ 0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确，∵ x=﹣1 时， y＜ 0，∴a﹣ b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误，∴对称轴x＞1，a＜0，∴﹣＞1，∴﹣ b＜2a，∴2a+b＞ 0，故③正确．应选 B．【议论】此题观察二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的要点是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．（ 2016? 宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣ 1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0 的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B． x1 =1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣3，x2=1【解析】直接利用抛物线与 x 轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解答】解：∵二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣ 1，0），∴方程 ax2﹣ 2ax+c=0 必然有一个解为： x=﹣ 1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象与 x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程 ax2﹣ 2ax+c=0 的解为： x1 =﹣ 1， x2=3．应选： C．【议论】此题主要观察了抛物线与 x 轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题要点．15．（ 2016? 长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根；③a﹣ b+c≥0；④的最小值为 3．其中，正确结论的个数为（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解析】从抛物线与 x 轴最多一个交点及 b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为 0，对称轴在 y 轴左侧，并获取 b2﹣4ac≤ 0，进而获取①②为正确；由 x=﹣1及 x=﹣ 2 时 y 都大于或等于零可以获取③④正确．【解答】解：∵ b＞a＞0∴﹣＜0，因此①正确；∵抛物线与 x 轴最多有一个交点，2∴b ﹣4ac≤0，∴关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 中，△ =b2﹣ 4a（c+2）=b2﹣4ac﹣ 8a＜0，因此②正确；∵ a＞ 0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点，∴ x 取任何值时， y≥0∴当 x=﹣1 时， a﹣b+c≥ 0；因此③正确；当 x=﹣ 2 时， 4a﹣2b+c≥ 0a+b+c≥3b﹣3aa+b+c≥3（b﹣a）≥3因此④正确．应选： D．【议论】此题观察了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的要点是要明确a 的符号决定了抛物线张口方向； a、b 的符号决定对称轴的地址；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b2﹣4ac 的符号．16．（ 2015? 锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】依照一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y 轴的交点为（0，2），二次函数的张口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：当 a＜0 时，二次函数极点在y 轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当 a＞0 时，二次函数极点在 y 轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．应选 C．【议论】此题主要观察了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与 y 轴交点的纵坐标．17．（ 2015? 咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，以下结论：①二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4；②4a+2b+c＜ 0；2③一元二次方程ax +bx+c=1 的两根之和为﹣ 1；其中正确的个数有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解析】①依照抛物线的极点坐标确定二次三项式 ax2+bx+c 的最大值；②依照 x=2 时， y＜0 确定 4a+2b+c 的符号；③依照抛物线的对称性确定一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和；④依照函数图象确定使 y≤ 3 成立的x 的取值范围．【解答】解：∵抛物线的极点坐标为（﹣ 1，4），∴二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4，①正确；∵x=2 时， y＜0，∴ 4a+2b+c＜ 0，②正确；依照抛物线的对称性可知，一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和为﹣ 2，③错误；使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0 或 x≤﹣ 2，④错误，应选： B．【议论】此题观察的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的要点．18．（2015? 贵阳）已知二次函数 y=﹣x2+2x+3，当 x≥ 2 时，y 的取值范围是（）A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜3【解析】先求出 x=2 时 y 的值，再求极点坐标，依照函数的增减性得出即可．【解答】解：当 x=2 时， y=﹣4+4+3=3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴当 x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，∴当 x≥2 时， y 的取值范围是 y≤3，应选 B．【议论】此题观察了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的要点，数形结合思想的应用．19．（ 2015? 安顺）如图为二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象，则以下说法：①a＞ 0 ② 2a+b=0 ③a+b+c＞ 0 ④当﹣ 1＜ x＜ 3 时， y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由 x=1 时的函数值判断a+b+c＞0，尔后依照对称轴推出 2a+b 与 0 的关系，依照图象判断﹣ 1＜ x＜ 3 时， y 的符号．【解答】解：①图象张口向下，能获取 a＜0；②对称轴在 y 轴右侧， x==1，则有﹣=1，即 2a+b=0；③当 x=1 时， y＞0，则 a+b+c＞0；④由图可知，当﹣ 1＜ x＜ 3 时， y＞0．应选 C．【议论】此题主要观察图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．20．（ 2015? 鞍山）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数 a≠0）的图象如图所示，以下结论正确的选项是（）A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0C．m（am+b）＞ a+b（ m为大于 1 的实数）D．3a+c＜0【解析】依照图象得出函数对称轴进而分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．【解答】解： A、由图象可得： x=﹣=1，则 2a+b=0，∴2a+b＜ 0 错误；B、由图象可得：抛物线与x 轴正半轴交点大于2，故 4a+2b+c＜0，故此选项错误；C、∵ x=1 时，二次函数取到最小值，2∴ m（ am+b） =am+bm＞a+b，故此选项正确；D、由选项 A 得： b=﹣ 2a，当 x=﹣ 1 时， y=a﹣ b+c=3a+c＞0，故此选项错误．应选： C．【议论】此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题要点．221．（2017? 绍兴模拟）如图，二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣ 1，结论：①4a﹣2b+c＜0；② 2a﹣b＜0；③ a+c＜ 1；④ b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解析】①将 x=﹣2 代入 y=ax2+bx+c，可以结合图象得出 x=﹣2 时， y＜ 0；②由抛物线张口向下，可得 a＜ 0；由图象知抛物线的对称轴大于﹣ 1，则有 x=＞﹣ 1，即可得出 2a﹣b＜0；③已知抛物线经过（﹣ 1，2），即 a﹣ b+c=2（1），由图象知：当x=1 时， y＜0，即 a+b+c＜ 0（2），联立（ 1）（ 2），可得 a+c＜ 1；④由抛物线的对称轴大于﹣1，可知抛物线的极点纵坐标应该大于2，结合极点2【解答】解：①由函数的图象可得：当 x=﹣2 时， y＜0，即 y=4a﹣2b+c＜0，故①正确；②由函数的图象可知：抛物线张口向下，则a＜0；抛物线的对称轴大于﹣1，即x=＞﹣ 1，得出 2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣ 1，2），即 a﹣ b+c=2（1），由图象知：当x=1 时， y＜0，即 a+b+c＜ 0（2），联立（ 1）（2），得： a+c＜1，故③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣ 1，因此抛物线的极点纵坐标应该大于 2，即：＞2，由于 a＜0，因此 4ac﹣b2＜8a，即 b2 +8a＞4ac，故④正确，应选 D．【议论】此题主要观察对二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a 的符号由抛物线的张口方向决定； c 的符号由抛物线与 y 轴交点的地址确定； b 的符号由对称轴的地址与 a 的符号决定；抛物线与 x 轴的交点个数决定根的鉴识式的符号，其余还要注意二次函数图象上的一些特别点．22．（ 2016? 东丽区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（﹣ 2，0）、（ x1，0），且 1＜x1＜ 2，与 y 轴的正半轴的交点在（0， 2）的下方．以下结论：① 4a﹣ 2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞ 0；④ 2a﹣b+1＞ 0．其中正确结论的个数是（）个．A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个【解析】依照已知画出图象，把 x=﹣ 2 代入得： 4a﹣ 2b+c=0，2a+c=2b﹣ 2a；把x=﹣1 代入获取 a﹣b+c＞ 0；依照﹣＜0，推出 a＜0，b＜0，a+c＞b，计算 2a+c=2b﹣ 2a＞0；代入获取 2a﹣b+1=﹣c+1＞ 0，依照结论判断即可．【解答】解：依照二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（﹣ 2，0）、（ x1，0），且 1＜x1＜2，与 y 轴的正半轴的交点在（ 0，2）的下方，画出图象为：如图把 x=﹣ 2 代入得： 4a﹣2b+c=0，∴①正确；把 x=﹣ 1 代入得： y=a﹣b+c＞0，如图 A 点，∴②错误；∵（﹣ 2，0）、（ x1， 0），且 1＜x1，∴取吻合条件 1＜x1＜ 2 的任何一个 x1，﹣ 2? x1＜﹣ 2，∴由一元二次方程根与系数的关系知 x 1? x2= ＜﹣ 2，∴不等式的两边都乘以a（ a＜ 0）得： c＞﹣ 2a，∴ 2a+c＞ 0，∴③正确；④由 4a﹣2b+c=0 得 2a ﹣ b=﹣，而 0＜c＜2，∴﹣ 1＜﹣＜0∴﹣ 1＜2a﹣ b＜ 0∴2a﹣b+1＞ 0，∴④正确．因此①③④三项正确．应选 B．。
2012年安徽中考数学试题及答案(解析版)
2012年安徽省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分.1．（2012•安徽）下面的数中，与﹣3的和为0的是（）A．3B．﹣3C．D．2．（2012•安徽）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（）A．B．C．D．3．（2012•安徽）计算（﹣2x2）3的结果是（）A．﹣2x5B．﹣8x6C．﹣2x6D．﹣8x54．（2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m2+n B．m2﹣m+1C．m2﹣n D．m2﹣2m+15．（2012•安徽）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（）A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．a（1﹣10%）（1+15%）万元C．（a﹣10%+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元6．（2012•安徽）化简的结果是（）A．x+1B．x﹣1C．﹣x D．x7．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a28．（2012•安徽）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（）9．（2012•安徽）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线ℓ，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．（2012•安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A．10B．C．10或D．10或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（2012•安徽）2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学记数法表示应是_________．12．（2012•安徽）甲乙丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为，，，则数据波动最小的一组是_________．13．（2012•安徽）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= _________°．14．（2012•安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（2012•安徽）计算：（a+3）（a﹣1）+a（a﹣2）16．（2012•安徽）解方程：x2﹣2x=2x+1．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（2012•安徽）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是_________（不需要证明）；（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．18．（2012•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长．20．（2012•安徽）九（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理．请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？21．（2012•安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．七、（本题满分12分）22．（2012•安徽）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG 的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．23．（2012•安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．2012年安徽省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分.1．（2012•安徽）下面的数中，与﹣3的和为0的是（）A．3B．﹣3C．D．考点：有理数的加法。
2012年全国中考数学试题汇编---二次函数
图42012年全国中考数学试题汇编-------二次函数一、选择题1. （2012·枣庄）抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【 】A ．3B ．9C ．15D ．15- 2. （2012·兰州）抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【 】 A ．直线1x=2 B ．直线1x=2-C ．y 轴D ．直线x ＝2 3. （2012·滨州）抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．04. （2012·牡丹江）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】．A ．直线x =－1 8．直线x =0 C ．直线x =1 D ．直线x = 35. （2012·广元） 若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图1，则a 的值为【 】A . 1B . 2C . 2-D . -26. （2012·白银）二次函数2y ax bx c =++的图象如图2所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【 】 A ．x 1<- B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x 1<-或x ＞37. （2012·泰安）二次函数2y ax bx =+的图象如图3，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【 】A ．3-B ．3C ．6-D ．98. （2012·巴中） 对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【 】A . 图象的开口向下B . 当x >1时，y 随x 的增大而减小C . 当x <1时，y 随x 的增大而减小D . 图象的对称轴是直线x =－19. （2012·宜昌）已知抛物线y =ax 2﹣2x +1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10. （2012·兰州）已知二次函数y ＝a (x ＋1)2－b (a ≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定 二、填空题1. （2012·深圳）二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．2. （2012·苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y =（x －1）2+1的图象上，若 x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2.3. （2012·无锡）若抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ．4. （2012·营口）二次函数n x x y +-=62的部分图像如图4所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．5. （2012·孝感）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图5所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)． ①abc ＜0；②a －b ＋c ＜0；③3a ＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．6. （2012·襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y =60x ﹣1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来． 三、解答题1.已知函数y =mx 2﹣6x +1（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．图 1 图3图 2 图52.已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=m x2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；3. （2012·梅州）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．4.(2012·营口市)某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x=-+．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）5.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）.（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价－成本）（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？6. （2012·孝感）)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．M第24题图-1Q第24题图-23. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线2y ax bx c =++(a 0)≠过点A 。
历年全国中考数学试题及答案(完整详细版)
班级 姓名 学号 成绩一、精心选一选1．下列运算正确的是（ ） Ａ．()11a a --=-- Ｂ．()23624aa -=Ｃ．()222a b a b -=-Ｄ．3252a a a +=2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ）3．下列事件中确定事件是（ ） Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球Ｄ．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 4．如图，AB CD ∥，下列结论中正确的是（ ） Ａ．123180++=∠∠∠ Ｂ．123360++=∠∠∠Ｃ．1322+=∠∠∠Ｄ．132+=∠∠∠5．已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ）Ａ．112k -<<-Ｂ．102k <<Ｃ．01k <<Ｄ．112k << 6．顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ） Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形 Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形 Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ．没有对称性 7．已知点()3A a -，，()1B b -，，()3C c ，都在反比例函数4y x=的图象上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） Ａ．a b c >> Ｂ．c b a >>Ｃ．b c a >> Ｄ．c a b >>8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） Ａ．21185580x = Ｂ．()211851580x -= Ｃ．()211851580x-=Ｄ．()258011185x +=9．如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．A B DC32 1 第4题图10．某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（ ） Ａ．1小时 Ｂ．0.9小时 Ｃ．0.5小时 Ｄ．1.5小时11．如图，I 是ABC △的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若52DEF =∠，则A ∠的度数为（ ） Ａ．76Ｂ．68Ｃ．52Ｄ．38当输入数据是时，输出的数是（ ） Ａ．861Ｂ．865Ｃ．867Ｄ．869二、细心填一填 13．化简21111mm m ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是_______________． 14．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．第10题图第11题图 ab15．把一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新一组数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数据的平均数和方差分别为_______________．16．在平面直角坐标系中，已知()24A ，，()22B -，，()62C -，，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为_______________．17．实验中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的42改为36．已知原来设计的楼梯长为4.5m ，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面_____________m ．（精确到0.01m ）三、用心用一用18．用配方法解方程：2210x x --=．答案:二、填空题 13．1m + 14．()()22a b a b a b -=+-15．81.2，4.416．()41，17．0.80三、解答题18．解：两边都除以2，得211022x x --=． 移项，得21122x x -=． 配方，得221192416x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，第17题图219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 1344x ∴-=或1344x -=-． 11x ∴=，212x =-数学试题库2注意事项：1．试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共6页，全卷 150分，考试时间120分钟． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在本试卷上无效．3．答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案写在答题卡上指定的位置．答案写在试卷上火答题卡上规定的区域以外无效． 4．作图要用2B 铅笔，加黑加粗，描写清楚． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷 （选择题 共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．﹣3的相反数是A ．﹣3B ．13- C ．13D ．3 2．地球与太阳的平均距离大约为150 000 000km ，将150 000 000用科学记数法表示应为 A ．15×107B ．1.5×108C ．1.5×109D ．0.15×1093．若一组数据3、4、5、x 、6、7的平均数是5，则x 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．若点A(﹣2，3)在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值是 A ．﹣6 B ．﹣2 C ．2 D ．65．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是 A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A ．20B ．24C ．40D ．487．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2 8．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠AOC ＝140°，则∠B 的度数是 A ．70° B ．80° C ．110° D ．140°第II 卷 （选择题 共126分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9．计算：23()a ＝ ．10．一元二次方程x 2﹣x ＝0的根是 ．11．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：该射手击中靶心的概率的估计值是 （明确到0.01）．12．若关于x ，y 的二元一次方程3x ﹣ay ＝1有一个解是32x y =⎧⎨=⎩，则a ＝ ．13．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于 ．14．将二次函数21y x =-的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝5，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是 ．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y ＝x 的图像，点A 1的坐标为(1，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点D 1，以A 1D 1为边作正方形A 1B 1C 1D 1；过点C 1作直线l 的垂线，垂足为A 2，交x 轴于点B 2，以A 2B 2为边作正方形A 2B 2C 2D 2；过点C 2作x 轴的垂线，垂足为A 3，交直线l 于点D 3，以A 3D 3为边作正方形A 3B 3C 3D 3；…；按此规律操作下去，所得到的正方形A n B n C n D n 的面积是 ．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）（1）计算：02sin 45(1)1822π︒+--+-； （2）解不等式组：35131212x x x x -<+⎧⎪⎨--≥⎪⎩．18．（本题满分8分）先化简，再求值：212(1)11aa a -÷+-，其中a ＝﹣3．19．（本题满分8分）已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线分别与AD 、BC 相交于点E 、F ，求证：AE ＝CF ．20．（本题满分8分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了 名学生； （2）补全条形统计图；（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．21．（本题满分8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A 的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A 的纵坐标．（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求点A 落在第四象限的概率．22．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(﹣2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图像交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求k 、b 的值；（2）若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．23．（本题满分8分）为了计算湖中小岛上凉亭P 到岸边公路l 的距离，某数学兴趣小组在公路l 上的点A 处，测得凉亭P 在北偏东60°的方向上；从A 处向正东方向行走200米，到达公路l 上的点B 处，再次测得凉亭P 在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P 到公路l 的距离．（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）24．（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为A ，BC 交⊙O 于点D ，点E 是AC 的中点．（1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．26．（本题满分12分）+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互如果三角形的两个内角α与β满足2αβ余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”．求对角线AC的长．27．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数243y x=-+的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动．点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PT的最小值．参考答案三、解答题17．（1）1；（2）13x ≤<． 18．化简结果为12a -，计算结果为﹣2． 19．先证△AOE ≌△COF ，即可证出AE ＝CF ．20．（1）50；（2）在条形统计图画出，并标数据15；（3）450名．21．（1）六种：（1，﹣2）、（1，3）、（﹣2，1）、（﹣2，3）、（3，1）、（3，﹣2）； （2）点A 落在第四象限的概率为13． 22．（1）k 的值为﹣1，b 的值为4； （2）点D 坐标为（0，﹣4）．23．凉亭P 到公路l 的距离是273米．24．（1）先根据“SSS ”证明△AEO ≌△DEO ，从而得到∠ODE ＝∠OAE ＝90°，即可判断出直线DE 与⊙O 相切； （2）阴影部分面积为：241059π-． 25．（1）180；（2）2[20010(50)](40)10(55)2250y x x x =---=--+，∴当每件的销售价为55元时，每天获得利润最大为2250元．26．（1）15°；（2）存在，BE 的长为95（思路：利用△CAE ∽△CBA 即可）； （3）20，思路：作AE ⊥CB 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，先根据△FCB ∽△FAC 计算出AF ＝16，最后运用勾股定理算出AC ＝20．27．（1）（4，0）；（2）22233,01439418,1434312,23t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）OT ＋PT．。
2012年全国中考二次函数经典习题(含详细答案)-推荐下载
3．（2012•泰安）如图，半径为 2 的⊙C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，点 C 的坐标为 （1，0）．若抛物线 y=﹣ x2+bx+c 过 A、B 两点．
（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为 S，求 S 的最大（小）值．
4．（2012•台州）某汽车在刹车后行驶的距离 s（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：
时间 t（秒） 0
行驶距离 s（米）0
0.2
2.8
0.4
5.2
0.6
7.2
0.8
ห้องสมุดไป่ตู้
8.8
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2012年中考数学一轮复习精品讲义 二次函数
第二十六章 二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题． 【学习本章应注意的问题】1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2(a ≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图二次函数的概念二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用一、知识性专题专题1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．例2 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c83A ．y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1³(－1)2＋b ³(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8．例3 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析 由图象可知a ＜0，2ba-＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2ba-＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=134-与x＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y2＜y1＜y3．故选B．【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=134-的函数值转化为x＝－34的函数值．例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－32(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．专题2 抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21分析y＝x2－3x＋5变形为y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋5－94，即y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y＝2332x⎛⎫-+⎪⎝⎭＋114＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ．专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2ba -和244acb a-的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，则a 的值是 .分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2ba -时，y 有最小值为244acb a-；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2ba -时，y 有最大值为244acb a-．例10 已知实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填52． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．例11 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ．(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．(1)设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．例12 根据下列条件求函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．即y＝－2x2－4x－5．(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y=－x2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a²3²(－1)＋4，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，即y＝－x2－2x＋7．【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．三、思想方法专题 专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．例13 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2ba-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置． 专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．例14 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3．(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－15x ＋1，当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－25x ＋2． (3)由题意可知M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点． 可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝34x －32． 所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4⎛⎫⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A ′M ′＝152． 所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为152． 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．专题9 方程思想【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．例15 抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个分析 可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－4³1³1＝0，可得抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．【解题策略】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题． 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值． 解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2ba-＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解． 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)³10³250－10³200－x,即S＝－25x2＋499x＋500，整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y=12-x2＋10x＋18000(3)当y＝17600时，－12x2＋10x＋400=0，即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．例19 （09²泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝＋m与x轴交于点E．(1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，则OF =OA cos 60°=1，AF =OF tan 60°∴点A (1．代入直线解析式，得1＋mm， ∴y=x. 当y =0时，=0， 解得x ＝4，∴点E (4，0)．(2)设过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∵抛物线过原点，∴c ＝0，∴1640,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝x 2x . 例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．(1)求点B 的坐标；(2)求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式．解：(1)如图26－95所示，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，OF ＝1． ∵OA ⊥OB ，∴∠AOF ＋∠BOE ＝90°． 又∵∠BOE ＋∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴BE OE OBOF AF OA==＝2 ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B (4，2)．(2)设过点A (－1，2)，B (4，2)，O (0，0)的抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．则2,1642,0.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y ＝12x 2－32x . 例21如图26－96所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式．解：(1)已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点， ∴01,200,b c c =++⎧⎨=++⎩解得3,2,b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2．(2)∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2， 可得旋转后C 点的坐标为(3，1)．当x ＝3时，由y =x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)．∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋1．例22 如图26－97所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标．解：(1)∵抛物线y =ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，∴40,4 4.a b a a --=⎧⎨-=⎩解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4．(2)如图26－98所示，点D (m ，m ＋1)在抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝3．∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)． 由(1)得B 点的坐标为(4，0)， ∴OC =OB ，∴∠CBA ＝45°．设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．∴OE＝1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．2011中考真题精选点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A、﹣2B、2C、15D、﹣15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。
2012年全国各地中考数学考点分类解析汇编(22)二次函数
2012年全国各地中考数学考点分类解析汇编（22）二 次 函 数一、选择题1．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。
解答：解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣＜0， ∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数a y x=位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合．2．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点： 二次函数的性质。
专题： 常规题型。
分析： 结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．解答： 解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ．点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．3．（2012•广州）将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）A ．y=x 2﹣1B ．y=x 2+1C ．y=（x ﹣1）2D ．y=（x+1）2考点： 二次函数图象与几何变换。
专题： 探究型。
分析： 直接根据上加下减的原则进行解答即可．解答： 解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x 2﹣1．故选A ．点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．（2012泰安）将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--考点：二次函数图象与几何变换。
2012年陕西中考数学真题(含答案)
2012年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，共计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．如果零上5℃记作+5℃，那么零下7℃可记作（)A．﹣7℃B．+7℃C．+12℃D．﹣12℃考点：正数和负数。
分析:在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示．解答：解:∵“正”和“负”相对，∴零上5℃记作+5℃,则零下7℃可记作﹣7℃．故选A．点评：此题考查了正数与负数的定义．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图。
分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．解答:解：从左边看竖直叠放2个正方形．故选C．点评：考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．3．计算（﹣5a3）2的结果是（）A．﹣10a5B．10a6C．﹣25a5D．25a6考点：幂的乘方与积的乘方。
分析：利用积的乘方与幂的乘方的性质求解即可求得答案．解答：解：（﹣5a3）2=25a6．故选D．点评:此题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．注意幂的乘方法则:底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）分数（分）89 92 95 96 97评委（位） 12 2 1 1A ． 92分B ． 93分C ． 94分D ． 95分考点: 加权平均数。
分析:先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．解答: 解：由题意知，最高分和最低分为97，89, 则余下的数的平均数=（92×2+95×2+96）÷5=94． 故选C ．点评： 本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式． 5．如图，△ABC 中,AD 、BE 是两条中线，则S △EDC ：S △ABC =（ ） A ． 1：2B ． 2：3C ． 1:3D ． 1：4考点： 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析： 在△ABC 中,AD 、BE 是两条中线，可得DE 是△ABC 的中位线，即可证得△EDC ∽△ABC,然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．解答： 解:∵△ABC 中，AD 、BE 是两条中线,∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，DE=AB ， ∴△EDC ∽△ABC ， ∴S △EDC ：S △ABC =（）2=．故选D ．点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题比较简单,注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．6．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ） A ． （2，﹣3），（﹣4，6）B ． (﹣2，3）,（4,6）C ． （﹣2,﹣3），(4,﹣6)D ． （2,3），(﹣4，6)考点： 一次函数图象上点的坐标特征。
2013年全国各地中考数学二次函数压轴题1[1]
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2012年中考二次函数（一）一．解答题（共30小题）1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．1 / 615．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m、n的值；（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．7．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？8．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2012•盐城）知识迁移当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=_________时，y1+y2取得最小值为_________．变形应用已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？17．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．18．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．19．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．20．（2012•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O 出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．21．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？22．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．23．（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？24．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．25．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．26．（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1）三点，过坐标原点O 的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l1、l2．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．27．（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．28．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．29．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．30．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．，﹣2）∴解得：x，=﹣，﹣3+2，=x（x332．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．x（a，aaa（a∴=PB=PG==，（﹣（﹣k=y=，解方程+x+2=x+，y=）3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．，则一次函数解析式为4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．）∵b=+ABO==，×﹣t+2tx5．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4），将（（得：解得：•x+）x﹣=5x＜=0t=，∵6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m、n的值；（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．x==2，；CAO==，CBO==．，即﹣化简得：代入得：=．，，，xx解析式得到：x+x+3=7．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？t=5=﹣x﹣xt BAO=t=××（t BAO=ttNM=；AN=时，==6，即：t=t=t t=或或8．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．+﹣=2（﹣，222x+22OA=2OD=OA=2点的横坐标为，纵坐标为（y=，∴．AQ=t AQ=2﹣•﹣t﹣）；依题意，得t=2时，有最大值为9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．y=y=∴．x x+2x+2，∴，（y=x+2x+2 x x+2=x+2，（，，BD==MD=﹣轴，∴，MD=﹣∴，即m+=）=，BM==∴，即，），（（，），10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．xx﹣y=x EBO=≠：=，=（﹣（（﹣x+bx+b=x（，﹣：的距离：=x+b=x（﹣，：的距离：=，）=×d=11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）（∴；解得：，，两点的坐标分别为（（=12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？的长度之比转化为相似三角形的相似比，即的表达式（）；∴在抛物线和直线上不同位置时，同理可得OA=∴，∴，（，∴∴∴得∴∴（顶点为（）时，OE=x=时，任取一个时，时，13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？，，∴的坐标是（﹣，的坐标是（，，，∴（）﹣﹣3，4﹣ax+3）4+3a+，14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．PB ABx=PA=BD=315．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．，解得：，解得：=1±，，﹣16．（2012•盐城）知识迁移当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．变形应用已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？变形运用：先得出y=x+（x=（=的最小值为：=4=4的最小值为故平均每千米的运输成本为：=0.001x++1.6=0.001x+0.001x=取得最小，此时≥+1.6=1201.617．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．。
【备战2013中考】2011和2012年各地中考数学试题分考点解析汇编二次函数的应用
2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编二次函数的应用一、选择题1.（2011广西梧州3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛 物线y=－14x2+bx+c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（A ）y=－14x2+34x+1 （B ）y=－14x2+34x －1 （C ）y=－14x2－34x+1 （D ）y=－14x2－34－1【答案】A 。
【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。
【分析】由已知知，点A 和B 的坐标分别为（4，0），（0，1）。
根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线y=－14x2+bx+c 可求出b ＝34，c ＝1。
因此这条抛物线的解析式是y=－14x2+34x+1。
故选A 。
2.（2011湖南株洲3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24y x x=-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米【答案】A 。
【考点】二次函数的应用。
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x=-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵()22424y x x x =-+=--+，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米。
故选A 。
3.（2011山东聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C 。
2012年全国各地中考数学二次函数压轴题汇编2[1]
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2012年中考二次函数（二）一．解答题（共30小题）1．（2012•连云港）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．2．（2012•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．（1）如图1，当点A的横坐标为_________时，矩形AOBC是正方形；（2）如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．3．（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．4．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c 有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．5．（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．6．（2012•荆门）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．7．（2012•荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．8．（2012•江西）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．9．（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．10．（2012•济宁）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．11．（2012•吉林）问题情境如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为y E，y F．特例探究填空：当m=1，n=2时，y E=_________，y F=_________；当m=3，n=5时，y E=_________，y F=_________．归纳证明对任意m，n（n＞m＞0），猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用（1）若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出y E与y F的大小关系；（2）连接EF，AE．当S四边形OFEA=3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．12．（2012•黄石）已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx﹣3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，﹣3），方程ax2+bx ﹣3a=0的两根为x1，x2，且|x1﹣x2|=4．（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）13．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）14．（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．15．（2012•怀化）如图，抛物线m：y=﹣（x+h）2+k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．16．（2012•湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）17．（2012•呼和浩特）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2012•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式．（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，①求证：PF=PR；②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．19．（2012•菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．20．（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．21．（2012•广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．22．（2012•广元）如图，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=．以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒）（1）求直线AC的解析式；（2）用含t的代数式表示点D的坐标；（3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．23．（2012•广东）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．24．（2012•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．（2012•福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．27．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？28．（2012•东营）已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．29．（2012•达州）【问题背景】若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．【提出新问题】若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？【分析问题】若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．【解决问题】借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数（x＞0）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（x＞0）的图象：（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，〕30．（2012•达州）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．（1）填空：点D的坐标为_________，点E的坐标为_________．（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•连云港）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．，，=2．（2012•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．（1）如图1，当点A的横坐标为﹣1时，矩形AOBC是正方形；（2）如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．﹣（﹣=，，∴==，，，BG=AE==，=，）（﹣），x=）×+2=﹣+向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线﹣+3．（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．∴解得：抛物线的解析式为∴解得：）时，．，（舍去），，﹣时，由，，﹣（，﹣）或，﹣））DQ OG+DQ时，取得最大值为，此时，﹣）4．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c 有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．CE=|CE=AE=AB=CE=|，∴∴∴∴，5．（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．x=时，求出，进而得出，进而表示出y=上，∴所求函数关系式为，，，，解得：∴x=∴，（OF=+t×，∵（×=（﹣（﹣），S=，，6．（2012•荆门）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．==4．）时，=的最大值为，最小值为﹣7．（2012•荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．BAE==3BE==BAE==BAE=BAE=BAE=DEO==tanBAE= =，则E=÷=10BAE= =÷=；，﹣）解得，∴，时，设，即×﹣t﹣＜．即）﹣（（=3t+．8．（2012•江西）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．倍，由此确定，±；9．（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．代入（OP=0PA==∴n=（）OQ=，，，，，∴∴n=，）（，∵，∠10．（2012•济宁）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．，，﹣∴，=的坐标是（运动到（，∴∴××﹣∵11．（2012•吉林）问题情境如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为y E，y F．特例探究填空：当m=1，n=2时，y E=2，y F=2；当m=3，n=5时，y E=15，y F=15．归纳证明对任意m，n（n＞m＞0），猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用（1）若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出y E与y F的大小关系；（2）连接EF，AE．当S四边形OFEA=3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．OA•AF=2••EF•AF，得：OA=2EF=2AB；12．（2012•黄石）已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx﹣3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，﹣3），方程ax2+bx ﹣3a=0的两根为x1，x2，且|x1﹣x2|=4．（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．=4x+﹣≥x+=2•=）≥13．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）﹣14．（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（，即x+2，∴，（=BE=±，（在抛物线上，∴（（（EC=15．（2012•怀化）如图，抛物线m：y=﹣（x+h）2+k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．﹣（后确定最大值时，+﹣）关于点，﹣（﹣（=（，﹣y=﹣PF x﹣（﹣﹣+（+（（﹣==5MH= 4=∵，。
2012年全国各地中考数学真题分类汇编 二次函数
2012年全国各地中考数学真题分类汇编二次函数一、选择题1．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c=++的图像如图所示，那么一次函数y bx c=+和反比例函数ayx=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y 随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）24．（2012泰安）将抛物线23y x=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．23(2)3y x=++B．23(2)3y x=-+C．23(2)3y x=+-D．23(2)3y x=--5．（2012泰安）二次函数2y ax bx=+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m++=有实数根，则m的最大值为（）A．3-B．3 C．6-D．96．（2012泰安）二次函数2()y a x m n=++的图象如图，则一次函数y mx n=+的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限7．（2012泰安）设A1(2)y-，，B2(1)y，，C3(2)y，是抛物线2(1)y x a=-++上的三点，则1y，2y，3y的大小关系为（）A．213y y y>>B．312y y y>>C．321y y y>>D．312y y y>> 8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜19．（2012•衢州）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y110．（2012义乌市）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．（2012•杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x ﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．(2012•扬州)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2 13．（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞514．（2012•德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，1）B．（1，﹣2）C．（2，﹣2）D．（1，﹣1）15．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3 16．（2012•兰州）抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( )A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 17．（2012张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）A．B ．C D18．（2012宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y=x2的切线②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，则实数k=其中正确命题的是（）A．①②④B．①③C．②③D．①③④19．（2012潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）二、填空题1．（2012绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为21(4)312y x=--+，由此可知铅球推出的距离是m。
人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 0），抛物线的对称轴为x 2）点P 的坐标为04）；（3）2． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323k k --，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(32(31)k k - =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
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2012年全国中考二次函数的应用1.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，抛物线y=x 2＋bx ＋c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）。
（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B ，且OAB S 3∆=，求点B 的坐标。
【答案】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x 2＋bx ＋c 得ìïïíï+ïîc=042b+c=0，解得 ì-ïïíïïîb=2c=0。
∴此抛物线的解析式为y=x 2-2x 。
（2）∵y=x 2-2x=(x-1)2-1，∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1。
（3）设点B 的坐标为（a ，b ），则由´12b 2=3解得b=3或b=－3。
∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1，∴b=－3舍去。
∴由x 2－2x=3解得x 1=3，x 2=－1 ∴点B 的坐标为（3，3）或（－1，3）。
2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，ta n∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC 时，求t 的值．【答案】解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴ìïïíïïî16a+24+c=0a-6+c=0，解得ì-ïïíïïîa=2c=8。
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x 2+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。
∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。
∴EF DO =EDDA 。
∵EF DO =tan ∠DAE=12，∴ED DA =12。
∵OD=t，∴tEF =12，∴EF=12t 。
同理DF OA =ED DA，∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x 2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。
如图，连接EC 、AC ，过A 作EC 的垂线交CE 于G 点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。
在△CAG 与△OCA 中，∵∠OAC=∠GCA，AC=CA ，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA ）。
∴CG=AO=4，AG=OC=8。
如图，过E 点作EM⊥x 轴于点M ，则在Rt△AEM 中，EM=OF=t ﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+12t ， 由勾股定理得： ()222221AE AM EM 4+t +t 22⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭。
在Rt△AEG 中，由勾股定理得：在Rt△ECF 中，EF=12t ，CF=OC ﹣OF=10﹣t ，由勾股定理得：EF 2+CF 2=CE 2，即()2221t +10t =2⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝。
解得t 1=10（不合题意，舍去），t 2=6。
∴t=6。
3. （2012广东广州14分）如图，抛物线233y=x x+384--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式． 【答案】解：（1）在y=-38x 2-34x+3中，令y=0，即-38x 2-34x+3=0，解得x 1=﹣4，x 2=2。
∵点A 在点B 的左侧，∴A、B 点的坐标为A （﹣4，0）、B （2，0）。
（2）由y=-38x 2-34x+3得，对称轴为x=﹣1。
在y=-38x 2-34x+3中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，ACB 11S AB OC 63922∆=⋅=⨯⨯=。
在Rt△AOC中，5=。
设△ACD 中AC 边上的高为h ，则有12AC•h=9，解得h=185。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC ，且到AC 的距离=h=185，这样的直线有2条，分别是L 1和L 2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D 。
设L 1交y 轴于E ，过C 作CF⊥L 1于F ，则CF=h=185， ∴18CF CF 95CE 4sin CEF sin OCA 25=====∠∠。
设直线AC 的解析式为y=kx+b ， 将A （﹣4，0），B （0，3）坐标代入，得4k+b=0b=3-⎧⎨⎩，解得3k=4b=3⎧⎪⎨⎪⎩。
∴直线AC 解析式为y=34x+3。
直线L 1可以看做直线AC 向下平移CE 长度单位（92个长度单位）而形成的， ∴直线L 1的解析式为y=34x+3-92= 34x-32。
则D 1的纵坐标为34³(-1) -32=-94。
∴D 1（﹣4，-94）。
同理，直线AC 向上平移92个长度单位得到L 2，可求得D 2（﹣1，274）。
综上所述，D 点坐标为：D 1（﹣4，-94），D 2（﹣1，274）。
（3）如图2，以AB 为直径作⊙F，圆心为F ．过E 点作⊙F 的切线，这样的切线有2条． 连接FM ，过M 作MN⊥x 轴于点N 。
∵A（﹣4，0），B （2，0），∴F（﹣1，0），⊙F 半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF 中，-4=，sin∠M FE=45，cos∠MFE=35。
在Rt△FMN 中，MN=MN•sin∠MFE=3³45=125，FN=MN•cos∠MFE=3³35=95。
则ON=45。
∴M 点坐标为（45，125）。
直线l 过M （45，125），E （4，0）， 设直线l 的解析式为y=k 1x+b 1，则有412k+b=554k+b=0⎧⎪⎨⎪⎩，解得3k=4b=3⎧-⎪⎨⎪⎩。
∴直线l 的解析式为y=-34x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=-34x ﹣3。
综上所述，直线l 的解析式为y=-34x+3或y=-34x ﹣3。
4. （2012广东肇庆10分）已知二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan tan CA BO 1O C ∠-∠=． （1）求证： n 4m 0+=； （2）求m 、n 的值；（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线y x 3=+仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 【答案】（1）证明：∵二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2， ∴抛物线的对称轴为x=2，即n22m-=，化简得：n+4m=0。
（2）解：∵二次函数2y mx nx p =++与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2， ∴OA=－x 1，OB=x 2；1212n px x x x m m+=-⋅=，。
令x=0，得y=p ，∴C（0，p ），∴OC=|p|。
由三角函数定义得：112p p pOC OC tan CAO tan CBO OA x x OB x ∠===-∠==-，。
∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即12p p =1x x -- ，化简得：1212x x 1x x p+=⋅。
将1212n px x x x m m +=-⋅=， 代入得：n1m p m-=，化简得：p n 1p ==±。
由（1）知n+4m=0，∴当n=1时，1m 4=-；当n=－1时，1m 4=。
∴m、n 的值为： m=14 ，n=－1（此时抛物线开口向上）或m=-14，n=1（此时抛物线开口向下）。
（3）解：由（2）知，当p ＞0时，n=1，m=-14， ∴抛物线解析式为：21y x x p 4=-++。
联立抛物线21y x x p 4=-++与直线y=x+3解析式得到：21x x p x 34-++=+，化简得：()2x 4p 30--= ＊。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02+16（p －3）=0，解得p=3。
∴抛物线解析式为：()2211y x x 3=x 2+444=-++--。
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。
∴当p ＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。
5. （2012广东珠海7分）如图，二次函数y=（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x ﹣2）2+m 的x 的取值范围． 解(1)将点A(1,0)代入y=（x ﹣2）2+m 得，(1-2)2+m=0，解得m=-1 ∴二次函数的解析式是y=（x ﹣2）2-1. 当x=0时，y=4-1=3，∴C 点的坐标是（0，3）。
∵二次函数的解析式是y=（x ﹣2）2-1的对称轴是x=2，C 和D 关于对称轴对称， ∴B 点的坐标是B （4，3）。
将A(1,0)，B （4，3）代入y=kx+b 得ìïïíïïîk+b=04k+b=3 解得ìïïíï-ïîk=1b=1 ∵一次函数的解析式是y=x-1 (2) ∵A(1,0)，B （4，3）当kx+b ≥（x ﹣2）2+m 时，直线y= x-1的图像在二次函数的解析式是y=（x ﹣2）2-1的图像上方或相交，此时1≤x ≤4.6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （x 2+x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和点B （﹣1，﹣k ）． （1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=mx。