高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲 三 相似三角形的判定含解析

三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定[对应学生用书P7]1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．[说明] 1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．2．引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．[说明]对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．[对应学生用书P8]相似三角形的判定[例1]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.[思路点拨]已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.[证明]∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1．如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是()A．1B．2C．3 D．4解析：△AED与△AFG相似，△AED与△ABC相似，△AFG与△ABC相似．答案：C2．如图，O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，求证：△DEF ∽△ABC.证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点， ∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，FD ＝12CA .∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA ＝12. ∴△DEF ∽△ABC .3．如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB ，求证：△AEF ∽△ACD .证明：∵DE ∥BC ，∴AC AE ＝AB AD .①∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AF ＝ABAD .②由①②两式得AC AE ＝ADAF，又∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ACD .直角三角形相似的判定[例2] ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .[思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQCP即可．[证明] 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴ADQC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQ CP＝2.在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ＝DQCP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定．(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似．4．如图，∠C ＝90°，D 是AC 上的一点，DE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC .证明：∵DE ⊥AB ， ∴∠DEA ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠DEA ＝∠C . ∵∠A ＝∠A . ∴△ADE ∽△ABC5．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形．解：∵∠ACE 为公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt △FDC ∽Rt △ACE . 又∠A 为公共角，∴Rt △ABD ∽Rt △ACE . 又∵∠A ＋∠ACE ＝90°，∠A ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ACE ＝∠ABD .∴Rt △FBE ∽Rt △ACE . 故共有三个直角三角形，即Rt △ABD ，Rt △FBE ， Rt △FCD 与Rt △ACE 相似.相似三角形的应用[例3] 如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .[思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．[证明] ∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CF FB. 又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB .∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EH EB. 又∠GEH ＝∠DEB ， ∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD . ∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．6．如图，△ABC 的三边长是2、6、7，△DEF 的三边长是4、12、14，且△ABC 与△DEF 相似，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝________.AB ( )＝( )EF ＝AC ( )＝________.解析：∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝F . AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. 答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 127.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△F AE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时， 求证：∠F ＝∠BCF .证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上， ∴∠DCF ＝∠F ，∠D ＝∠F AE . ∴△CDE ∽△F AE .(2)∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 由△CDE ∽△F AE ，得CD F A ＝DEAE .∴CD ＝F A .∴AB ＝CD ＝AF .∴BF ＝2CD .又∵BC ＝2CD ，∴BC ＝BF .∴∠F ＝∠BCF .8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F .求证：AB AC ＝DFAF. 证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点， ∴AE ＝EC ＝ED . ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又∵AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C . ∴∠BAD ＝∠BDF .又∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ， ∴DB AD ＝DFAF. 又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DBAD ，∴AB AC ＝DF AF.[对应学生用书P10]一、选择题1．如图所示，AD ∥EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中与△BOC 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据相似三角形的判定定理可得： △OEF ∽△OBC (∵EF ∥BC )； △CHG ∽△CBO (∵HG ∥OB )； △OAD ∽△OBC (∵AD ∥BC )． 故与△BOC 相似的三角形共有3个． 答案：C2．下列判断中，不．正确的是( ) A ．两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B ．斜边和一直角边长分别是25，4和5，2的两个直角三角形相似C ．两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D ．两个等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A 、B 、D 正确． 答案：C3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CBAC ，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .答案：C4.如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( ) A ．△AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD解析：因为∠A ＝∠C ，BC AE ＝CDAD ＝2，所以△AED ∽△CBD . 答案：B5．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AB ，DE ，GF 交于点O ，则图中与△ABC 相似的三角形共有________个，它们分别是____________________．解析：与△ABC 相似的有△GFC ，△OGE ，△ADE . 答案：3 △GFC ，△OGE ，△ADE6．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则AD ＝________，BD ＝________.解析：由题设可求得AB ＝5， ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ， ∴AB AC ＝AC AD .∴AD ＝AC 2AB ＝165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ， ∴AB CB ＝BC BD .∴BD ＝BC 2AB ＝95. 答案：165 957．已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF ＝4，BC ＝5，则DF ＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠F AD ＝∠FDA .又∵∠F AD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CF A ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BF A . ∴AF CF ＝BFAF. ∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：68．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 的中点，E 在AB 的延长线上，且BE ＝AB ，求证：△ADC ∽△ACE .证明：∵D 是AB 的中点，∴AD AB ＝12. ∵AB ＝AC ，∴AD AC ＝12.∵ BE ＝AB ，∴AB AE ＝12.又AB ＝AC ，∴AC AE ＝12.∴AD AC ＝AC AE. 又∠A 为公共角，∴△ADC ∽△ACE .9.如图，直线EF 交AB 、AC 于点F 、E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD. ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A ＝∠D .又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE ＝EFCE. ∴AE ·CE ＝DE ·EF .10．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 是∠CAB 的角平分线，CD 与AE 相交于点F ，EG ⊥AB 于G .求证：EG 2＝FD ·EB .证明：因为∠ACE ＝90°，CD ⊥AB ，所以∠CAE ＋∠AEC ＝90°，∠F AD ＋∠AFD ＝90°.因为∠AFD ＝∠CFE ， 所以∠F AD ＋∠CFE ＝90°. 又因为∠CAE ＝∠F AD ， 所以∠AEC ＝∠CFE . 所以CF ＝CE .因为AE 是∠CAB 的平分线，EG ⊥AB ，EC ⊥AC ， 所以EC ＝EG ，CF ＝EG .因为∠B ＋∠CAB ＝90°，∠ACF ＋∠CAB ＝90°， 所以∠ACF ＝∠B .因为∠CAF ＝∠BAE ， 所以△AFC ∽△AEB ，AF AE ＝CF EB .因为CD ⊥AB ，EG ⊥AB ， 所以Rt △ADF ∽Rt △AGE . 所以AF AE ＝FD EG ，CF EB ＝FD EG.所以CF ·EG ＝FD ·EB ，EG 2＝FD ·EB .2．相似三角形的性质[对应学生用书P11]1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． [说明] 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．[对应学生用书P11]利用相似三角形性质计算[例1] 已知如图，△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，若S △ABC ＝36 cm 2，S △AEF ＝4 cm 2，求sin A 的值．[思路点拨] 由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．[解] ∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝ACAB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴(AEAC )2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ， 则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k . ∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点．AB ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，若△ADE 和△ABC 相似，且S △ABC ∶S △ADE ＝4∶1，则AE ＝________cm.解析：因为△ADE ∽△ABC ，且S △ABC ∶S △ADE ＝4∶1，所以其相似比为2∶1，即AE AC ＝12或AE AB ＝12，所以AE ＝5或4(cm)． 答案：5或42.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比；(2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23，∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25.∴AE CD ＝25.又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25， 又S △AEF ＝8，∴S △CDF ＝50.利用相似三角形的性质解决实际问题[例2] 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？[思路点拨] 此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．[解] 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x 米，才能看到水塔． 连接FD ，由题意知，点A 在FD 上，过F 作FG ⊥CD 于G ，交AB 于H ，则四边形FEBH ，四边形BCGH 都是矩形．∵AB ∥CD ，∴△AFH ∽△DFG . ∴AH ∶DG ＝FH ∶FG .即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x ∶(x ＋30)， 解得x ＝55.2(米)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝200 mm ，高AD ＝300 mm ，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，求这个矩形零件的边长．解：设矩形EFGH 为加工成的矩形零件，边FG 在BC 上，则点E 、H 分别在AB 、AC 上，△ABC 的高AD 与边EH 相交于点P ，设矩形的边EH 的长为x mm.因为EH ∥BC ，所以△AEH ∽△ABC . 所以AP AD ＝EH BC .所以300－2x 300＝x 200，解得x ＝6007(mm)，2x ＝1 2007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007 mm 和1 2007mm.4．已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm ，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积．解：设边长为3 cm,4 cm,5 cm 的三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，因为该三角形为直角三角形，所以R ＝52，且12(3＋4＋5)r ＝12×3×4，即r ＝1.∴S 内切圆＝π(cm 2)，S 外接圆＝π·(52)2＝25π4(cm 2)．又两三角形的相似比为512，∴S ′内切圆＝(125)2S 内切圆＝144π25(cm 2)，S ′外接圆＝(125)2S 外接圆＝36π(cm 2)．[对应学生用书P12]一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC . ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)． 答案：D2．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( )A ．13和22B ．14和21C ．15和20D ．16和19解析：由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得． ∴周长之比l 1l 2＝34.又l 1＋l 2＝35，∴l 1＝15，l 2＝20，即两个三角形的周长分别为15,20. 答案：C3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：∵△CBF ∽△CDE ，∴BF DE ＝CBCD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.答案：D4．如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( )A ．50 cmB ．500 cmC ．60 cmD ．600 cm解析：图中的两个三角形相似．设屏幕上小树的高度为x cm ，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得x 10＝30＋15030，解得x ＝60 cm.答案：C5．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则这块土地的实际周长是________m ，实际面积是________m 2.解析：这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为1500，则实际周长是12×500＝6 000(cm)＝60 m ；实际面积是6×5002＝1 500 000(cm 2)＝150 m 2.答案：60 1506．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．解析：∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE . ∴BF ∶AE ＝BG ∶GA ＝3∶1. ∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝ADDC ＝1.∴AE ＝CF .∴BC ∶AE ＝2∶1.∵BC ＝10，∴AE ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S△ABE∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________． 解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ·2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)．AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 中点，E 是AC 上的点，BE 、CD 交于M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于F ， 设AB ＝AC ＝3， 则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC .∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8， ∴S 四边形BCDF ＝S △BCE －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，点P沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么：(1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果无关的结论． (3)当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 解：(1)由题意可知：AQ ＝6－t (cm)，AP ＝2t (cm)． 若△QAP 为等腰直角三角形， 则AQ ＝AP ，即t ＝2(s)．(2)S 四边形QAPC ＝S 矩形ABCD －S △DQC －S △PBC ＝12×6－12×12×t －12×6×(12－2t )＝72－6t －36＋6t ＝36(cm 2)， 结论：无论P 、Q 运动到何处， S 四边形QAPC 都不变，为36 cm 2. (3)①△QAP ∽△ABC ， ∴AQ AB ＝AP BC .∴6－t 12＝2t 6. ∴t ＝1.2 s.②△QAP ∽△CBA ， ∴AQ BC ＝AP AB .∴6－t 6＝2t 12.∴t ＝3 s. 即t 为1.2 s 或3 s 时，以Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．。