江苏省扬州中学2016届高三上学期开学考试数学(理)

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2016届江苏省扬州中学高三上学期开学数学试卷(理科) 解析版

2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax 0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a ，使得f （）•f （e ax ）+f （）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x ）=ax •ln2a ﹣ax •lnx+lnx ﹣ln2a=（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ），其中x ＞0，a ＞0根据条件对任意正数x 恒成立，即（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ）≤0对任意正数x 恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a ，使得f （）•f （e ax ）+f （）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x ）=ax •ln2a ﹣ax •lnx+lnx ﹣ln2a=（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ），其中x ＞0，a ＞0 要使得（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ）≤0对任意正数x 恒成立，等价于（ax ﹣1）（2a ﹣x ）≤0对任意正数x 恒成立，即对任意正数x 恒成立，设函数，则φ（x ）的函数图象为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。

江苏省扬州中学高三数学上学期开学检测试题苏教版

2013-2014学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第一象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．解答：解：由=．所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．位于第一象限．故答案为一．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a= 1 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知，，则= ﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k= 6 ．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（2013•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145 ．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．9．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y= ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．（5分）（2013•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2} ．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出进而得到答案．解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y2﹣17py+2p2=0解得：所以．故答案为：．点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．13．（5分）（2013•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为 2 ．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．14．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9 ．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．二．解答题15．（14分）（2013•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f （A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（14分）（2013•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD 为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF 的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解答：解：（1）∵500÷0.8=625∴…（4分）当x=1000时，y==0.7 …（5分）即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．…（6分）（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[2000，2800]…（7分）①当0.8x∈[2000，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；…（10分）②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；…（13分）综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f （x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{a n}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（Ⅲ）设a n+1=，S n=，求证：2＜＜6．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设a n=a＞0，利用数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．于是b n+1﹣b n﹣1=2．可知：数列{b n}当n 为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得a n+1﹣a n=﹣a n=，于是a n＜a n+1．利用a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得2n﹣b n＞0．可得，进而得出．解答：（I）解：设a n=a＞0，∵数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），∴b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．∴b n+1﹣b n﹣1=2．∴可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得．∴=，=，即（n∈N*）．（2）证明：设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴只有取a1＞0可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（3）证明：∵，∴a n+1﹣a n=﹣a n=，∴a n＜a n+1．∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴=2n（1+2n）=4n2+2n，∴，∴．点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．21．求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．解答：解：展开式的通项公式为 T12﹣2r•x﹣r =•x12﹣3r，r+1=•x令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为=15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．22．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选2人中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．解答：解：依题意，X所有取值0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．23．（2013•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．数列{2n﹣1}的前n项组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．（Ⅰ）求S3；（Ⅱ）猜想S n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得 S3=T1+T2+T3的值．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想 S n=﹣1，用数学归纳法进行证明．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想 S n=﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立．（2）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（ T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（ T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =2k+1（）+（2k+1﹣1）=2k+1•=﹣1，即n=k时，S k+1=﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*，S n=﹣1成立．所以，S n=﹣1．点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．。

江苏省扬州中学2016届高三上学期12月月考数学试题

c 1 17.（1） a 2 …………2 分 c 1
∴c=1，a=2，∴ b
3 ，∴椭圆方程为
2 2
x2 y2 1 …………4 分 4 3
x y （2）设 P( x0 , y 0 ) ，则 0 0 1(0 x0 2) 4 3 3 2 1 2 2 2 PM= x0 y 0 3 x0 3 x0 3 x0 ，………………6 分 4 2 1 1 1 2 PF= 2 x0 …………8 分 ∴PM· PF= x0 (4 x0 ) ( x0 2) 1 ， 2 4 4
a b 2 0 a 2b b a 1 0 9．若实数 a, b 满足，则 2a b a 1
的最大值为_________.
10.在边长为 1 的正 ABC 中，向量 BD x BA, CE yCA, x 0, y 0 ，且 x y 1, 则 CD BE 的最大值为________. 11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f ( x 3) f ( x), 当 x (2,0) 时， f ( x) 2 ,
D
C
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A
B
知人善教，提分高效
x 2x x 16. (本小题满分 14 分) 已知向量 m＝ 3sin4，1，n＝cos4，cos 4. 2π (1)若 m· n＝1，求 cos 3 －x的值； (2)记 f(x)＝m· n，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数 f(A) 的取值范围．
1 ． qk 1
① 求证： {bk } 成等差数列，并指出其公差； ②若 d1 =2,试求数列 {d k } 的前 k 项的和 Dk ．

扬州中学高三上学期开学考试数学试题及答案

2.9月卷扬州中学高三上学期开学考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合A =x |x 2-4x -5≤0 ,B =x |y =x -1 ，则A ∩B =()A.{x |1<x ≤5}B.{x |-1<x ≤5}C.x |1≤x ≤5D.x |-1≤x ≤52.若“∃x ∈[1,2]，使2x 2-λx +1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是()A.(-∞,22)B.22,92C.(-∞,3]D.92,+∞3.若sin π7+α=12，则sin 3π14-2α =()A.35B.-12C.12D.134.设a =0.50.4，b =log 0.50.4，c =ln0.4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a5.已知f x 是定义在R 上的奇函数且满足f x +1 为偶函数，当x ∈1,2 时，f x =a x +b (a >0且a ≠1).若f -1 +f 4 =12，则f 20212=()A.-8B.8C.4D.-46.如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN =12NC ,BN 与CM 相交于点E ，若AE =λAB +μAC ，则λ,μ满足()A.λ+μ=45B.λμ=2 C.λ-μ=25D.λμ=127.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若AB ∶BF 2∶ AF 2 =3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.38.已知函数f x =ln -x ，(x <0)x e x，x ≥0，若关于x 的方程2f 2x -af x +1=0有四个不相等实数根，则实数a 的取值范围是()A.0，eB.2e ，e C.2e ，+∞ D.2e+e ，+∞ 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

扬州中学2016届高三上学期1月质量监测数学

P
AF 的值. FC
A
D F E B C
17．(本小题满分 14 分) 如图所示的一个不规则形铁片，其缺口边界是口宽 4 分米，深 2 分米（顶点至两端点 A, B 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．
2
（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．
扬州中学高三数学试卷答案 2016.1.3
1． 1, 2,3 2. 1 i 3．
2
4．
4
5.36
6
6. 9
11. 3
7.
1000 cm 3 3
2
8．④
12. y 16 x
x2 y 2 1 1 10. 3 4 16 5 1 5 1 2 3 2 13. ( 14. , ) 2 2 4
9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线
x2 y 2 1 a 0, b 0 的焦点到一条渐近线 l a 2 b2
3 2
的距离为 4，若渐近线 l 恰好是曲线 y x 3x 2x 在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 ▲ ．
10. 已知 f x 是定义在 R 上的函数，满足 f x f x 0, f x 1 f x 1 ，当
ABC 的重心是抛物线的焦点， BC 边所在的直线方程为 4 x y 20 0 ，则抛物线的方
1
程为 ▲ ．
2
13. 设函数 f ( x) x 2 x a ，若函数 y f [ f ( x)] 恰好有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．
14. 已知 A, B, C 为 ABC 的三个内角, 向量 (cos

2015-2016学年江苏省扬州中学高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝．2．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝．4．（5分）记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y＝lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．（5分）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．（5分）曲线y＝x﹣cos x在点（，）处的切线方程为．7．（5分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n＝．8．（5分）若函数f（x）＝是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．10．（5分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（5分）已知知函数f（x）＝，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．（5分）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+＝0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，求值：（1）tanα；（2）．16．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N＝M时，求实数m的取值范围．17．（14分）设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．18．（16分）如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．（16分）已知函数f（x）＝+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）＝•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设函数f（x）＝lnx，g（x）＝（m＞0）．（1）当m＝1时，函数y＝f（x）与y＝g（x）在x＝1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y＝f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．（10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y＝x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．23．（10分）一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D 两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．（10分）设P n＝（1﹣x）2n﹣1，Q n＝1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝（﹣2，2）B＝{x|＞0}＝（﹣1，+∞）∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}2．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．3．【解答】解：复数＝＝﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a＝1，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．4．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B＝（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]5．【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P＝＝；故答案为：．6．【解答】解：y＝x﹣cos x的导数为y′＝1+sin x，即有在点（，）处的切线斜率为k＝1+sin＝2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣＝2（x﹣），即为2x﹣y﹣＝0．故答案为：2x﹣y﹣＝0．7．【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×＝1+，∴n＝8或1（舍）．故答案为：8．8．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x＝a﹣2x；∴a＝1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．9．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝．故答案为：．10．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝＝1，当x＜0时，f（x）＝＝﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．12．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|＝x2﹣2x≥ax，x＝0时左边＝右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．13．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max＝g（﹣2）＝8+m，g（x）min＝g（1）＝m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]14．【解答】解：当0≤x≤2时，y＝﹣x2递减，当x＞2时，y＝﹣（）x﹣递增，由于函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x＝0时，函数取得极大值0；当x＝±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y＝﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y＝﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+＝0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t＝f（x），则t2+at+＝0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα＝﹣（2）＝＝由（1）tanα＝﹣，∴＝＝﹣16．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1＝0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，则△＝16（m﹣2）2﹣16＝16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N＝M，∴N⊆M，∵M＝（m﹣5，m），N＝（1，3），∴，解得：3≤m≤6．17．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：1+bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．因此S＝bc sin A≤，所以△ABC面积的最大值为．18．【解答】解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．（i）在Rt△ONF中，NF＝OF sinθ＝10sinθ，ON＝OF cosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON﹣OM＝10cosθ﹣3.5，故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ﹣3.5）＝10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x+3.5．在Rt△ONF中，NF＝＝＝．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，故S＝EF×FG＝x．即所求函数关系是S＝x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）＝sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）＝cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）＝40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）＝40cos2θ﹣7cosθ﹣20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．设cosα＝，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ＝α，即cosθ＝时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN＝10cosθ﹣3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S＝，令f（x）＝x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）＝﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．19．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2＝2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）＝＝a++，令t＝f（x）＝+，则＝﹣1，∴F（x）＝m（t）＝a（﹣1）+t＝，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）＝，t∈[，2]的最大值．注意到直线t＝﹣是抛物线m（t）＝的对称轴．因为a＜0时，函数y＝m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t＝﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）＝m（）＝；②若t＝﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）＝m（﹣）＝﹣a﹣；③若t＝﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）＝m（2）＝a+2，综上有g（a）＝，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）＝恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）＝﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m＝0，或m≥2．20．【解答】解：（1）当m＝1时，，∴y＝g（x）在x＝1处的切线斜率，由，∴y＝f（x）在x＝1处的切线斜率k＝1，∴，∴n＝5．（2）易知函数y＝f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5，（舍去，理由由m＞0，1﹣n＞0）；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）＝，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）＝0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）＝0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max＝θ（x0），θ（x0）＝（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0＝1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a＝（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a＝（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．【解答】解：∵，∴x＝（4y）2，即x＝8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB＝＝．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．【解答】解：将圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x＝0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．23．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i＝4，5，则：，，…（2分）所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（3分）（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，＝，＝，，．…（8分）所以：随机变量η的概率分布为：故．…（10分）24．【解答】解：（1）当n ＝1时，P n ＝1﹣x ，Q n ＝1﹣x ，则P n ＝Q n ；当n ＝2，x ＝0时，P n ＝1，Q n ＝1，则P n ＝Q n ；当n ＝2，x ＞0时，P n ＝（1﹣x ）3＝1﹣3x +3x 2﹣x 3，Q n ＝1﹣3x +3x 2，则P n ﹣Q n ＝﹣x 3＜0，所以P n ＜Q n ；当n ＝2，x ＜0时，P n ﹣Q n ＝﹣x 3＞0，所以P n ＞Q n ；（2）当n ≥3时，①当x ＝0时，P n ＝Q n ；②当x ≠0时，令F （x ）＝1﹣（2n ﹣1）x +（n ﹣1）（2n ﹣1）x 2，则F ′（x ）＝﹣（2n ﹣1）（1﹣x ）2n ﹣2+（2n ﹣1）﹣2（n ﹣1）（2n ﹣1）x ，F ″（x ）＝（2n ﹣1）（2n ﹣2）（1﹣x ）2n ﹣3﹣2（n ﹣1）（2n ﹣1）＝（2n ﹣1）（2n ﹣2）（1﹣x ）2n ﹣3﹣1．当x ＞0时，F ″（x ）＜0．F ″（x ）单调递减；当x ＜0时，F ″（x ）＞0．F ″（x ）单调递增； ∴F ′（x ）＜F ′（0）＝0， ∴F （x ）单调递减；当x ＞0时，F （x ）＜F （0）＝0，当x ＜0时，F （x ）＞F （0）＝0， ∴当x ＞0时，P n ＜Q n ．当x＜0时，P n＞Q n．。

江苏省扬州中学高三数学8月开学考试试题理(含解析)

扬州中学2015届高三8月开学考试【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）【题文】1．]2,0[,sin3)(π∈=xxxf的单调减区间为【知识点】正弦函数的单调性．C3【答案解析】3 [,] 22p p解析：∵y=sinx在3[,]22p p上递减，故y=3sinx在[0，2π]的单调减区间为3[,]22p p．故答案为：3[,]22p p．【思路点拨】直接代入正弦函数在[0，2π]的单调减区间即可得到结论．【题文】2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．菁优L4【答案解析】]3,3[-解析：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得 a∈]3,3[-故答案为：]3,3[-【思路点拨】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【题文】3．若方程0102ln=-+xx的解为0x，则大于0x的最小整数是【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案解析】5 解析：由条件：lnx+2x﹣10=0得lnx=10﹣2x，分别作出函数y=lnx和y=10﹣2x的图象：观察交点在（4，5）内．则大于0x 的最小整数是5．故答案为：5．【思路点拨】由条件：lnx+2x ﹣10=0得lnx=10﹣2x ，欲求出方程的近似解，利用图解法，分别作出函数y=lnx 和y=10﹣2x 的图象，观察交点在（4，5）内，从而得出结论．【题文】4．设A 、B 是非空集合，定义}|{B A x B A x x B A I Y ∉∈=⨯且．已知{}22|x x y x A -==，{}0,2|>==x y y B x ，则=⨯B A 【知识点】元素与集合关系的判断；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．A1 B1 B6【答案解析】),2(]1,0[+∞Y 解析：∵{}22|x x y x A -==，∴A={x|0≤x≤2}；又∵{}0,2|>==x y y B x ，∴B={y|y ＞1}．又∵A×B={x|x∈A ∪B 且x ∉A∩B}，∴A×B={x|0≤x≤1或x ＞2}．故答案为),2(]1,0[+∞Y ．【思路点拨】根据集合A 、B 中元素的特点先明确此两个集合中的元素，然后根据给出的定义确定集合A×B 的元素即可．【题文】5．将函数)32sin(π+=x y 的图象上的所有点向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】x y 4sin =解析：将函数)32sin(π+=x y 的图象上的所有点向右平移6p 个单位，得到函数sin(2)33y x p p =-+=sin2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为x y 4sin =．故答案为：x y 4sin =．【思路点拨】按照左加右减的原则，求出函数)32sin(π+=x y 的图象上的所有点向右平移6π个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍时的解析式即可．【题文】6．下列说法中，正确的有．（写出所有正确命题的序号）． ①若f '（x0）＝0，则f （x0）为f （x ）的极值点；②在闭区间[a ，b]上，极大值中最大的就是最大值；③若f （x ）的极大值为f （x1），f （x ）的极小值为f （x2），则f （x1）＞f （x2）；④有的函数有可能有两个最小值；⑤已知函数x e x f =)(,对于)(x f 定义域内的任意一个1x 都存在唯一个1)()(,212=x f x f x 使成立．【知识点】命题的真假判断与应用．菁A2【答案解析】⑤解析：①若f′（x0）=0，f （x0）不一定为f （x ）的极值点，例如函数y=x3，当x=0时y′=0，但x=0不是它的极值点．故①错误；②在闭区间[a ，b]上，函数的最大值可能是极大值，也可能是端点函数值，故②错误； ③函数的极大值不一定大于极小值，故③错误；④在闭区间[a ，b]上，函数的最小值有且仅有一个，故④错误；⑤已知函数x e x f =)(，对于)(x f 定义域内的任意一个1x 都存在唯一个2x ，则ex1ex2=1⇔x1+x2=0，故⑤正确．故答案为：⑤【思路点拨】根据极值和最值的概念逐一判断，函数的极值是与它附近的点比较，比附近其他点的函数值都小的叫极小值，比附近其它点都大的叫极大值，所以，而且极大值左侧导数大于0，右侧导数小于0，极小值左侧导数小于0，右侧导数大于0．函数在区间[a ，b]上有且仅有一个最大值，在极大值处或端点处取得，区间[a ，b]上有且仅有一个最小值，在极小值处或端点处取得．即可判断①错，②错，③错，④错．对于⑤，ex1ex2=1⇔x1+x2=0，即可判断．【题文】7．设向量a ，b 的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sinθ=【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．F3 【答案解析】1010 解析：根据题意，由()()21354a a b =+=r r r ，，，，可得，()()131,13b a b a 轾=+-=犏臌r r r r ，则a b ==r r ，cos q =，则sin q =．【思路点拨】根据题意，易得b r 的坐标，进而由向量模的计算可得a r 、b r的模，再根据向量的数量积的计算，可得cos q ，最后由同角三角函数基本关系式，计算可得答案．【题文】8．若一次函数()f x 满足[()]1f f x x =+，则2()()(0)f x g x x x =>的值域为【知识点】函数的值域．B3【答案解析】[2,)+∞ 解析：设()()0f x kx b k =+?∴[()]f f x = ()()22k kx b b k x kb b k x k 1b ++=++=++…①依题意：[()]1f f x x =+…②∴比较①和②的系数可得：2k 1=…③；()k 1b 1+=…④，由③④得：k=1，b=12，k=﹣1（舍去）∴f （x ）=x+12，则()21121124x g x x x x 骣+琪琪桫==++匙=.当且仅当x=12时取等号，∴2()()(0)f x g x x x =>的值域为[2,)+∞.故答案为：[2,)+∞.【思路点拨】函数()f x 的形式是一次函数，利用待定系数先设出()f x ，代入等式[()]1f f x x =+，解方程求出()f x 得到()g x 的解析式，然后利用基本不等式可求出函数()g x 的值域．【题文】9．设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(020x x ++=【知识点】函数在某点取得极值的条件．B12【答案解析】2 解析：x x x f sin 1)(-=则f′（x ）=﹣sinx ﹣xcosx ，令﹣sinx ﹣xcosx=0，化得tanx=﹣x ，∴x02=tan2x0，∴)2cos 1)(1(020x x ++=（tan2x0+1）（cos2x0+1）=22200020cos sin 2cos 2cos x x x x +?.故答案为2 【思路点拨】先根据函数x x x f sin 1)(-=在x=x0处取得极值可得出x02=tan2x0，代入)2cos 1)(1(020x x ++化简求值即可得到所求答案.【题文】10．在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=。

江苏省扬州中学、泰州中学2016届高三数学上学期12月联考试题

江苏省扬州中学2015-2016学年度第一学期质量检测高三数学试卷 2015.12.18一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃=则2．如果复数()21aiz a R i +=∈+为纯虚数，则z = ▲ ．3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ▲ ．6．已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足2312R R R =+，记它们的表面积分别为1S 、2S 、3S ，若1319S S ==，，则2S = ▲ ． 7．经过函数1y x=上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点,记OAB ∆的面积为S ,则S = ▲ ．8．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若2236f f fπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω▲ ．9．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋ 2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则sin 2C ＝ ▲ ．10．如右图，线段AB 的长度为2，点,A B 分别在x 轴的正半轴(第5题图)和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC OB ⋅uu u r uur的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数()2f x x x =-，则不等式)()1fx f <的解集为 ▲ ．13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈L ，则集合A 中的元素个数为 ▲ ．14．实数12310082015,,,x x x x x L L ，满足1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤如果它们的平方组成公差721007d =的等差数列，当1223x x x x -+-++L 2014|x - 2015|x 取最小值时，1008x = ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,3，点N 的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中0ω>，设()x f ⋅=（O 为坐标原点）.（Ⅰ）若2ω=，A ∠为ABC ∆的内角，当()1=A f 时，求A ∠的大小；（Ⅱ）记函数()()y f x x R =∈的值域为集合G ，不等式02<-mx x 的解集为集合P .当G P ⊆时，求实数m 的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1；（Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）1某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求总量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x >≤≤∈N ，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第x 个月的石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，且右焦点F 到左准线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O向圆()()()22200:0R x x y y m m -+-=>引两条切线，设两条切线的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，当12k k 为定值时求m 的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于,P Q 时，试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ．（Ⅰ）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点；（Ⅱ）若2a =，(1)3f '=，)()1g x x m =+．（1）对任意的[]1,1-∈x ()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值；(2)令()x ϕ=若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 2015.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示x y 的整数部分，如：312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设ξ为随机变量，x y ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求概率(1)P ξ=；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈.（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围.高三数学质量检测参考答案 2015.12.18一、填空题：1． 3 2． 2 3． 96 4．875．23 6．4 7． 2 8．2 9．2410． (]0,3 11． 10 12．())11,-⋃+∞ 13．2016 14．二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x x f 3分当()1=A f 时，2132s i n=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=Q 或， 12114ππ==∴A A 或. ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，()f x 的值域[]2,2-=G ， ……10分又02=-mx x 的解为m x x ==21,0，故要使G P ⊆恒成立，只需[]2,2-∈m ，所以m 的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ．又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分（Ⅱ）因为三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）． ……4分（Ⅱ）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分t =，则：114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， ……10分11由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号）， 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）． ……13分答：m 的取值范围是71924m ≤≤． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a c ==则b = 所以椭圆C 的方程为2212412x y +=． ……4分（Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为12,y k x y k x ==，由m =,化简得()2222201001020x m k x y k y m --+-=，同理()2222202002020x m k x y k y m --+-=．所以12,k k 是方程()22222000020x m k x y k y m --+-=的两个不相等的实数根，22012220y m k k x m-∴=-. ……7分因为220012412x y +=，所以22001122y x =-，所以220122201122x m k k x m --=-. 据2202201122x m t x m --=-,t为定值得：m =……10分（2）由（1）得，1212k k =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,所以2222121214y y x x =，因为221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ……13分所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，所以221224x x +=，221212y y +=，所以2236OP OQ +=． ……16分 19．解：（Ⅰ）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，函数()y f x =单调递减，又函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解．……2分② 若0c >，则()0,f x x '=∴= （i2>，即12c >时，(2)2(2)2f f =⎧⎨-=-⎩，此方程组无解；（ii2≤312c ≤≤时，2(2f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以c=3；（iii）2，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧⎨=-⎩，此方程无解．由①、②可得，c=3．3()3f x x x ∴=-+的零点为：1230,x x x == ……6分(Ⅱ) 由2a =，(1)3f '=得：()323f x x x =+，()221f x x '=+， ……7分又)()1g x x m =+，对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122．当0=x 时，1≥m ， ……8分又1=m 时，对任意的[]1,1-∈x,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦)()2110x x =-≤，即1=m 时，1)13(122+-≤+x x ，∴实数m 的最小值是1，即min 1m =． ……10分(Ⅲ) 法1：由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ，()()2222121121033x x x +-+=-≥Q 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立， ……13分∴)11)1x x +≤-+．又因为当[]1,0∈x 时,[]1,01∈-x ，)111)(1)1x x -+≤≤-+． ∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ，即()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ，……15分∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥.∴2331-+≤m . ……16分法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，则()PB PA x +=2)(ϕ，由下图得： (),3min==+AB PB PA ()2622max +=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥，1m ∴≤+- ……16分 20．解：（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q . 因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a =所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩，得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去. 所以2,2n n n a n b ==. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥，又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+，因为{}n b 为等比数列，则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==．又12a =，所以2k =，故2,2n n n a n b ==． ……4分（Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设n b =1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且1211n n n b b ++=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增. ……6分假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n*∈N 都成立，则 ①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()n b b λ-<==λ>综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件． ……9分（Ⅲ）易知d=0，成立． ……10分当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分高三数学附加题试卷参考答案 2015.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12 ． ……10分 22．解：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l的普通方程为y ， 3分又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， ……6分联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0)． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的实数对（x ，y ）有以下6种：()()()()()()1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4，所以()631168P ξ===； ……3分（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4.0ξ=有以下6种：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，所以()630168P ξ===；2ξ=有以下2种：()()2,1,4,2，所以()212P ξ===；3ξ=有以下1种：()3,1，所以()1316P ξ==；4ξ=有以下1种：()4,1，所以()1416P ξ==； ……7分所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 P383818116116()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：ξ的数学期望为1716． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则()0nii n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++L 01120()(2)n n n n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L 因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以()0ni i n i a C ==∑1022n n a n -⋅+⋅=12n n -⋅. ……4分（Ⅱ）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ，令1x =-，则20[(1)]0n ii i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n nd C C C C C =--+---++--L 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+， ……8分将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-，当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=；当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-. ……10分。

扬州市2016—2017学年度高三数学第一学期期中测试参考答案 (1)

2016-2017学年度高三第一学期期中测试数学试题Ⅰ参考答案2016．11一、填空题1． 2．1 3．22x y = 4．(,0)(1,)-∞+∞ 56．8 7．2-或1 8．34- 9．[1,1]- 10． 27 11．23 12．20k -≤<13．2y x =± 14．)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）2()2cos()sin (sin cos )sin 2cos222f x x x x x x x π=-++=-+)24x π-+ ……4分由()222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是()3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ……8分（2）由（1）知())24f x x π-+把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)24y x π=-+的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到 ())212g x x π++的图象， ……12分即())212g x x π=++，所以()36g π=． ……14分16．解：（1）由2280x x +->，解得：4x <-或2x >，则(,4)(2,)A =-∞-+∞ ，……2分若4m =-，2()34g x x x =--，由2340x x --≤，解得：14x -≤≤，则[1,4]B =- ……4分所以(2,4]A B = ； ……6分（2）存在1[0,]2x ∈使得不等式2(1)1x m x m +++≤-成立，即存在1[0,]2x ∈使得不等式211x x m x ++-≥+成立，所以2min 1()1x x m x ++-≥+ ……10分因为2111111111x x x x x x x ++=+=++-≥+++，当且仅当11x +=，即0x =时取得等号所以1m -≥，解得：1m ≤-． ………14分17．解：（1）若8a =-，圆M ：22(1)9x y -+=，圆心M (1,0)，半径为3． ………2分若切线斜率不存在，圆心M 到直线4x =的距离为3，所以直线4x =为圆M 的一条切线； ………4分若切线斜率存在，设切线方程为：5(4)y k x -=-，化简为：450kx y k --+=，则圆心到直3=，解得：815k =．所以切线方程为4x =或815430x y -+=； ………7分（2）圆M 的方程可化为22(1)1x y a -+=-，圆心M (1,0)，则1OM =设圆的半径1)r a < …………9分因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA MB =- ，且||||M A M B r ==，则222()()()()()()1OA OB OM MA OM MB OM MB OM MB OM MB r ⋅=+⋅+=-⋅+=-=- …12分又因为6OA OB ⋅=-，解得：r………14分18．解：（1）在ABC ∆中，222900490064001cos 2230707AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⋅⨯⨯ ……3分所以sin ABC ∠=………5分（2）在ABD ∆中，由sin sin sin AD AB BDABD BAD θ==∠∠得：30sin θ==所以7sin AD θ=，30sin 30777sin sin 7BD θθθθθ-==- ………9分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用(53)282[5(70)34]y CD BD k k AD k BD BD AD =+⨯+⨯⨯==-++3o s3632c o s7720[352()4]20[35]sin 7sin 7sin k k θθθθθ-=--+⨯=++ ……11分令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos '()sin H θθθ-=，设'()0H θ=，解得：1cos ,23πθθ==当03πθ<<时，()0,()H H θθ'<单调减；当32ππθ<<时，()0,()H H θθ'>单调增3πθ∴=时，()H θ取最小值，同时y 也取得最小值． ……14分此时30907sin 77BD θθ=-=，满足900707<<，所以点D 落在BC 之间所以3πθ=时，运输总成本最小．答：3πθ=时，运输总成本最小． ………16分19．解：（1）设(,0)F c 且222c a b =-，00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，所以00y k x c =-，00'y k x c =--，因为2NF FP = ，所以02()c x c =-，即032x c = ………3分 ∴0002y y k x c c ==-，0002'5y y k x c c ==--- ∴5'k k =-，即5'k k =-为定值 ………6分（2）若AN FP =，则3AF FP =，所以3AF FP = ，解得：01(,3)2A c y --因为点A 、P 在椭圆C 上，则220222202291149124y c a b y c a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（）（），(1)9(2)⨯-得：228084c a =，解得：2225c a = ………10分则2223c b =，代入（1）得：22002213102y y c b ==，202320y c =因为0013462APQ S c y cy ∆=⨯⨯=且APQ S ∆=，解得：220125c y =，则24c = ………14分所以椭圆方程为：221106x y +=． ………16分20．解：（1）∵22(1)'()x ae x x f x x -+= ∴'(1)1f =, (1)1f ae =+∴函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y ae x -+=-，又直线过点(0,1)-∴1(1)1ae --+=-，解得：1a e=- ………2分（2）若0a <，22(1)'()x ae x x f x x-+=，当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >恒成立，函数在(,0)-∞上无极值；当(0,1)x ∈时，'()0f x >恒成立，函数在(0,1)上无极值；方法（一）在(1,)+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值0()f x ，则0001()0'()0x f x f x >⎧⎪>⎨⎪=⎩，…5分则00000200201102(1)03x x x ae x x ae x x x ⎧⎪>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪-+⎪=⎪⎩（）（）（），由（3）得：02001x x ae x =--，代入（2）得： 00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由0000()0x ae f x x x =+>得：020x x a e >-，设2()x x h x e=-，则(2)'()xx x h x e -=，当2x >时，'()0h x >，即()h x 是增函数，所以024()(2)a h x h e>>=-，又0a <，故当极大值为正数时，24(,0)a e ∈-，从而不存在负整数a 满足条件． ………8分方法（二）在(1,+)x ∈∞时，令2()(1)x H x ae x x =-+，则'()(2)x H x ae x =+ ∵(1,+)x ∈∞ ∴(,+)x e e ∈∞ ∵a 为负整数 ∴1a ≤- ∴x ae ae e ≤≤- ∴20x ae +< ∴'()0H x < ∴()H x 在(1,)+∞上单调减又(1)10H =>，22(2)440H ae e =+≤-+< ∴0(1,2)x ∃∈，使得0()0H x = …5分且01x x <<时，()0H x >，即'()0f x >；0x x >时，()0H x <，即'()0f x <； ∴()f x 在0x 处取得极大值0000()x ae f x x x =+ （*）又02000()(1)0x H x ae x x =-+=∴00001x x ae x x =--代入（*）得：0000000(2)()011x x x f x x x x -=-+=<-- ∴不存在负整数a 满足条件． ………8分（3）设2()(1)x g x ae x x =-+，则'()(2)x g x x ae =+，因为0a >，所以，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．又(0)0g a =-<，(1)10g =>，所以存在1(0,1)x ∈，使1()0g x = 再由()g x 在(0,)+∞上单调递增知，当1(0,)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0g x >，故2()'()0g x f x x=>，()f x 单调递增；所以函数()f x 在1x 处取得极小值． ………12分当0x <时，1x e <，且10x -<，所以222()(1)(1)x g x ae x x a x x x ax a =-+>-+=+-，函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又(0)0g a =-<，故在(,0)t 上存在2x ，使2()0g x =，再由()g x 在(,0)-∞上单调递减知，当2()x x ∈-∞,时，()0g x >，故2()'()0g x f x x =>，()f x 单调递增；当2(,0)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x=<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在2x 处取得极大值．综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． ………16分数学试题Ⅱ参考答案21．解：解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f a a λλλλλ--==----- ………4分矩阵231M a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为4 ………8分所以4为方程0)(=λf 的一个根，则2330a ⨯-=，解得2a =． ………10分22．解：解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．272107(0)15C P C ξ=== ………3分11372107(1)15C C P C ξ=== ………6分232101(2)15C P C ξ=== ………9分则7713()0121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯= 答：数学期望()E ξ为35． …………10分23．解：（1）如图，以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C 、(0,0,2)P 、D(1,0,0)、1(0,,1)2E，………2分从而1(1,,1),(1,0,2).2CE PD =--=-∴cos ||||CE PDCE PD CE PD ⋅<>==⋅,即CE 与PD． ………4分（2）点F 在棱PC 上，且P F P C λ=，所以P F P C λ=，于是(,,22F λλλ-，(,1,22)BF λλλ=-- ，又(0,1,0)CD =- ，1(1,,1)2CE =-- ．设(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得0102y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =，则(1,0,1)n = ………6分设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF n θ=<>=………8分令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以sin θ=当179t =，即9[1,2]7t =∈时，29146t t -+有最小值59，此时sin θBF 与平面CDE 所成的角最大，此时952277t λ=-=-=，即λ的值为57． ……10分24．解：（1）设121{}A A a = ，共有3种，即(2,1)3f =； ………1分设1212{,}A A a a = ，若1A =∅，则有1种；若11{}A a =，则有2种；若12{}A a =，则有2种；若112{,}A a a =，则有4种；即(2,2)9f =； ………2分设12312{,}A A A a a = ，若1A =∅，则2312{,}A A a a = ，所以有(2,2)9f =种；若11{}A a =，则2312{,}A A a a = 或232{}A A a = ，所以有(2,2)(2,1)12f f +=；若12{}A a =，则有12种；若112{,}A a a =，则2312{,}A A a a = 或231{}A A a = 或232{}A A a = 或23A A =∅ ，所以有133916+++=种；即(3,2)49f =； ………4分（2）猜想2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈，用数学归纳法证明．当2n =时，(2,2)9f =，结论成立； ………5分假设n k =时，结论成立，即2(,2)(21)k f k =-，当+1n k =时，123112{,}k A A A A a a +=当1k A +=∅时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种；当11{}k A a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，共有2(21)k k -种；同理当12{}k A a +=时，共有2(21)k k -种；当112{,}k A a a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种，或1231{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或123k A A A A =∅ ，所以有1种，共有22k 种；则212(1,2)4(21)4(21)1(21)k k k f k ++=-+-+=-所以，当+1n k =时，结论成立； ………9分所以2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈………………10分。

江苏省扬州市高三上学期数学开学考试试卷

江苏省扬州市高三上学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在 (共14题；共16分)1. （1分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3},B={1,3，4},则A(CuB)=________ .2. （1分）(2017·扬州模拟) 已知复数z= ，其中i为虚数单位，则复数z的模是________．3. （1分）(2019·乌鲁木齐模拟) 已知向量，，，若，则 ________.4. （2分）(2018高三上·杭州月考) 已知随机变量的分布列如下表，且，则=________, ________.5. （1分）(2017·镇江模拟) 如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________6. （1分） (2018高二上·南宁月考) 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，则双曲线的标准方程是________7. （1分） (2018高二上·张家口月考) 书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为________．8. （1分）(2016·江苏模拟) 已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为________．9. （1分） (2017高二上·海淀期中) 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为________．10. （1分） (2017高二上·阳高月考) 给出下列四个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点( ,0)对称；③函数的最小值为；④若，则，其中；以上四个命题中正确的有________（填写正确命题前面的序号）．11. （1分） (2016高一下·海南期中) 等比数列，，，…前8项的和为________．12. （1分） (2018高二上·临夏期中) 函数的最小值为________．13. （2分） (2017高二下·温州期末) 已知坐标平面上的凸四边形 ABCD 满足 =（1，）， =（﹣，1），则凸四边形ABCD的面积为________；• 的取值范围是________．14. （1分） (2016高三上·扬州期中) 已知函数f（x）= ﹣kx无零点，则实数k的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）(2016·肇庆模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16. （5分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN= BC，将△AEF沿EF折到△A'EF的位置，使平面A'EF⊥平面EFCB．（Ⅰ）求证：平面A'MN⊥平面A'BF；（Ⅱ）设BF∩MN=G，求三棱锥A'﹣BGN的体积．17. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 数列满足，（）．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求正整数的最小值．18. （10分） (2016高三上·遵义期中) （在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．19. （10分） (2016高一下·佛山期中) 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）20. （5分）定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣，（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（0，1]上的单调性；（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）= ﹣m有零点，试求实数m的取值范围．参考答案一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在 (共14题；共16分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。

江苏省扬州中学2016届高三上学期开学考试数学(文) Word版含答案

扬州中学2016届高三8月开学考试数学（文科）试题（全卷满分160分，考试时间120分钟）2015．8一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1.已知集合}011|{},2|||{>+=<=x x B x x A ，则A B = ▲ ． 2.已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为 ▲ ．3.若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 4. 设向量(1,),(3,4)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为 ▲ .5. 曲线cos y x x =-在点)2,2(ππ处的切线方程为 ▲ ． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 ▲ .7. 记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8.若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为 ▲ . 9.已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则α2cos ＝ ▲ . 10.若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值为 ▲ .11. 在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF = ,则EF AC ⋅=▲ ．12. 已知函数R x x x x f ∈++=,11)(，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集为 ▲ . 13.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m=-+，如果对于任意1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围为 ▲ .14.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．（本小题满分14分）已知1tan()42πα+=；（1）求tan α；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+．16. （本小题满分14分）已知命题p :关于实数x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :关于实数x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根．（1）若命题“p 或q ”真，“p 且q ”假，求实数m 的取值范围．（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题q 为真命题时，m的取值集合为N ，当M N M = 时，求实数m 的取值范围．17. （本小题满分14分）已知向量())()sin 2,2cos ,m x x n x x R ==∈ ，函数() 1.f x m n =⋅-（1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()1,1,f A b ABC ==∆求a .18. （本小题满分16分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD ，上部是圆弧AB ，该圆弧所在圆的圆心为O ．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH (其中E ，F 在圆弧AB 上， G ，H 在弦AB 上)．过O 作OP ⊥AB ，交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB于P ．已知OP ＝10，MP ＝6.5（单位：m ），记通风窗EFGH 的面积为S （单位：m 2）．（1）按下列要求建立函数关系式：(i)设∠POF ＝θ (rad)，将S 表示成θ的函数； (ii)设MN ＝x (m)，将S 表示成x 的函数；（2）请选择上面的某一种方案来求：当MN 为多少时，通风窗EFGH 的面积S 最大？19.（本小题满分16分）已知函数()f x =，（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）设2()()2()2a F x f x f x ⎡⎤=⋅-+⎣⎦（其中a 为参数），求()F x 的最大值()g a 。

江苏省扬州市2016届高三上学期期末调研考试数学试题word版(含答案)

扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题高三数学 2016.1第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}210，，=B ，则=B A ▲ . 2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 3.如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为 ▲ .4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ▲ .5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲ . 6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲ .8.已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲ . 9.已知函数)32sin()(π+=x x f （π＜x ≤0），且21)()(==βαf f （βα≠），则=+βα ▲ . 10.已知)sin (cos αα，=，)12(，=，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅，则=+)232si n (πα ▲ .11.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲ . 12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .13. 已知数列{}n a 中，a a =1（20≤a ＜），⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n nn n n a a a a a ＞（*N n ∈），记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲ .14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ；（2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC .16. （本小题满分14分）已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（0＞ω）的周期为π.（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=A f ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分15分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点. （1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围.18. （本小题满分15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy .（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=）19. （本小题满分16分）已知函数xe x ax xf )2()(2++=（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.20. （本小题满分16分）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d （0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分）已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .22. （本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.23. （本小题满分10分）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.24. （本小题满分10分）已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ；（2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a .扬州市2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数学试题Ⅰ参考答案2016．1一、填空题1．{}1 2．3 3．12 4．144 5．4 6．257．31 8．5 9．76π 10．725- 11．3 12．1± 13．1343 14．1(,]6-∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴， …………2分DE ⊄ 平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC …………6分（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABCAD ⊂平面ABC 1CC AD ∴⊥ …8分AB AC =，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥ ，又1CC BC C =，1CC ， BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥ 1BC ⊂平面11BCC B 1AD BC ∴⊥ …………11分又11BC B D ⊥，1B D AD D =，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D1BC ⊂平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC …………14分16．解：（1）1()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω++=+ …………2分()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω= ()sin(2)3f x x π∴=+4分又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤+≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]．………7分（2）()2A f =sin()3A π∴+=由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π= …………9分由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc = …………12分∴1sin 2ABC S bc A ∆= …………14分17．（1）221x y += (2,0),(2,0)F F ∴- k k k ∴===∴直线2F M的方程为：2)y x =-，直线1F M的方程为：2)y x =+ …………4分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x = ∴点M 的横坐标为65 …………6分（2）设00(,),(,)M M P x y M x y12F M MP = 1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥，00(,)OP x y = 2000242()0333x c x y ∴-+= 即220002x y cx += …………9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-= …………12分0a x a -<< 0()(0,)a a c x a c -∴=∈ 20a a c a c∴<-< 解得：12e > 综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2． …………15分18．解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092h x h =-，则2100()922l h h =-，2292400lh l =-………9分229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤ 232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分2232222229(400)323(1200)'(400)(400)l l l l l l S l l --⋅-∴===--当20l <<'0S <；当40l <≤时，'0S >，即S 在上单调减，在上单调增，S ∴在l =l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为 ………15分19．解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ………2分令'()0f x = ，31,x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分 2()(21)3令g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=> 102a ∴<≤………8分 ②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a--上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤ 解得：11a ≤≤112a ∴<≤综上，a 的取值范围是(0,1+． ………10分（3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x eϕϕ-=-< ………13分 1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=> 000(1,0),()()0()()0存在-,时，,+时x x x x x x x ϕϕ∴∈-∈∞<∈∞> ()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-． ………16分 20．解：（1）1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴=3m =，则19a =<，49a =< 99a =≤ 3b ∴= …………3分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=； 1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………5分m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=； m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=； 221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………8分（3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =，设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<，同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t dt d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=， …………10分当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt t t d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t t t t t d t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去；当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d t tt d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去；当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d t tt d t t t -⨯= ， 211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分此时12822125t tA ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+ 310b = 47t ∴≤≤t 为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b = 10112272A ∴≤< 1011222727A ∴≤< ………14分当4t =时，11422125A ≤< ∴无解当5t =时，12522125A ≤< ∴无解当6t =时，13622125A ≤< 13264125A ∴≤< 当7t =时，14722125A ≤< ∴无解 13622125A ∴≤< *A N ∈ 64A ∴=或65A = 综上：3d =，64A =或65． ………16分2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数学试题 Ⅱ 参考答案21．解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y'=+⎧⎨'=⎩ …………5分又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分22．解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分23．解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ．则131()344P M =⨯= 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． …………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0,,m m n + 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n x x x ====?=+=? 3110()4612412m n E m m n x =??+?+ …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0,,n m n + 则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯= 2110()3412123m n E n m n h =??+?+ …………8分 2312m n E E x h --=当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． …………10分24．（1）解：①当1n =时，114a =，有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a <<则当1n k =+时，2221211()233()3()333k k k k k k k a f a a a a a a +==-=--=--+ 于是21113()33k k a a +-=- 103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<< 所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a << …………4分（2）由（1）可得21113()33n n a a +-=-两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+- 化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+- 所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分 133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=- 2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n n n a -∴=⋅≥⋅-011222121121113[444]3[444]44111333n n n n a a a -++++=+++≥+++=----11233344131313n na a a +∴+++≥----． …………10分。

江苏省扬州市高三上学期开学数学试卷(理科)

江苏省扬州市高三上学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知复数，若，则（）A .B .C .D . 52. （2分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的真子集有（）A . 3个B . 4个C . 6个D . 8个3. （2分）已知命题命题则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .4. （2分）函数y=的定义域是（）A . (,+)B . [1，+∞）C . (,1]D . （﹣∞，1]5. （2分） (2017高二下·岳阳期中) 在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若 =2 ，点E为线段AD的中点，=λ + ，则λ=（）A .B .C .D .6. （2分）平面直角坐标系中O是坐标原点，已知两点A（2，-1），B(-1,3),若点C满足其中且，则点C的轨迹方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·潍坊模拟) 已知向量，的夹角为60°，且| |=1，|2 ﹣ |= ，则| |=（）A . 1B .C .D . 28. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BH为AC边上的高，BH=5，若20a+15b+12c=，则H到AB边的距离为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）设是等差数列的前n项和，若，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·虹口模拟) 如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A . 只与圆C的半径有关B . 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C . 只与弦AB的长度有关D . 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值11. （2分） (2015高三上·日喀则期末) 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为（）A . 7B . 8C . 9D . 1012. （2分） (2020高一下·金华月考) 已知数列是是正项等比数列，且，则的值不可能是（）A . 2B . 4C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·大庆期中) 若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；⑤若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．其中真命题的序号为________．（把所有正确命题的序号都填在横线上）14. （1分） (2017高一上·钦州港月考) 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是________．15. （1分） (2020高一下·昌吉期中) 数列满足，，则 ________．16. （1分）已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且⊥ ，则2 +3 =________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）解答题（1）已知 =2+i，求z．（2）已知m∈R，复数z= +（m2+2m﹣3）i，当m为何值时z是虚数？18. （10分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）| x+y=4m}，命题P：A∩B=∅，命题q：直线 + =1在两坐标轴上的截距为正．（1）若命题P为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．19. （10分） (2017高一上·成都期末) 已知、是两个不共线的向量，且 =（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证： + 与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β= ，且| + |= ，求sinα．20. （10分） (2016高三上·西安期中) 已知三角形ABC中，．（1）若．求三角形ABC的面积S△；（2）求三角形ABC的面积S△ ．21. （5分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证： + + + =4 ．22. （10分） (2017高二下·中山月考) 已知，（）．（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

江苏省扬州市高三上学期开学数学试卷

江苏省扬州市高三上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合若,则为（）A . {-1,1}B .C . {1,}D .2. （2分）(2016·新课标I卷文) 若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A . logac＜logbcB . logca＜logcbC . ac＜bcD . ca＞cb3. （2分） (2017高二下·河南期中) 若函数f（x）=xn+3x+2x在点M（1，6）处切线的斜率为3+3ln3，则n 的值是（）A . 1B . 2C . 4D . 34. （2分） (2016高二下·抚州期中) 安排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目单，要求合唱节目不连排而且不排在第一个节目，那么不同的节目单有（）A . 7200种B . 1440种C . 1200种D . 2880种5. （2分） (2015高一下·济南期中) 函数的单调递减区间（）A . （k∈Z）B . （k∈Z）C . （k∈Z）D . （k∈Z）6. （2分）已知是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .7. （2分）平面，直线，且，则与（）A .B . 与斜交C .D . 位置关系不确定8. （2分） (2016高二上·遵义期中) 若“∀x∈[0， ]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共7题；共9分)9. （1分） (2015高三上·大庆期末) 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦长AB的长为________10. （1分）复数的虚部是________11. （2分）(2019·湖州模拟) 在中，内角，，所对的边分别为，， .已知，则的值为________，若，，则的面积等于________.12. （2分） (2016高三上·嵊州期末) 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的棱长为________．13. （1分） (2015高一上·衡阳期末) 已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则f（2）=________．14. （1分）在△ABC中，∠A=90°，边AC=1，AB=2，过点A作AP⊥BC交BC于P，且=λ+μ，则λμ=________15. （1分） (2016高一上·铜仁期中) 已知函f（x）= ，则f（f（））=________三、解答题 (共5题；共55分)16. （15分） (2016高一上·铜仁期中) 已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．17. （5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，点E是C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BCE；（2）求二面角A﹣EB﹣C的大小．18. （15分）已知数列{an}满足a1=1，a2=a＞0，数列{bn}满足bn=an•an+1（1）若{an}为等比数列，求{bn}的前n项的和sn；（2）若bn=3n，求数列{an}的通项公式；（3）若bn=n+2，求证： + +…+ ＞2 ﹣3．19. （10分） (2016高二下·重庆期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A 位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 b．（1）求椭圆C的离心率；（2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．20. （10分）(2018·景县模拟) 已知函数（1）讨论函数的单调区间.（2）设，讨论函数的零点个数.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共9分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共55分) 16-1、16-2、16-3、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。

江苏省扬州中学高2019届高2016级高三数学上学期12月月考试题及参考答案

2018～2019扬州中学高三上学期12月月考数学一.填空题： 1.函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 . 2.设2(2)(z i i =-为虚数单位),则复数z 的模为 . 3.若角α的终边经过点()3,2-A ,则αtan 值为 . 4.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB = .5.双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 . 6. 若函数()11x mf x a =+-是奇函数,则m 为 .7. 已知35(0,),(,),sin(),cos 22513ππαβπαββ∈∈+=-=- ,则sin α的值等于 .8. 在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别为AB ,AC ,1AA 的中点,设三棱锥F ADE -体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点(,)P x y 是区域D 内任意一点,则2x y +的取值范围是 .10.设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ,BC 上的点,12AD AB =,23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+(12,λλ为实数),则12λλ+的值是 .11.若函数()f x 在定义域D 内某区间H 上是增函数,且()f x x在H 上是减函数,则称()y f x =的在H 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x m x m =+-+的(]0,2上是“弱增函数”,则实数m 的值为 . 12.已知实数0a b >≥,满足111a b a b+=+-,则32a b +的最小值为 .13. 如图,已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),点A ,B 1,B 2,F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点,若直线AB 2与直线B 1F 的交点M 恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为 .14.已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==,若(2)A -∞≠∅，,则实数a 的取值范围为 .二.解答题：15.(本小题满分14分)已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,0βαπ<<<. (1)若a b ⊥,求||-的值；(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求α,β的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P A B C -中,PC ⊥平面A B C D,AB //CD ,CD AC ⊥,过CD 的平面分别与,P A P B 交于点,E F .(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)求证：//AB EF .17.(本小题满分14分)如图,某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树,已知角A 为120,,AB AC ︒的长度均大于200米,现在边界AP,AQ 处建围墙,在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP,AQ 总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米,AQ 段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省？18.(本小题满分16分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)和圆O ：222x y a +=,12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆的左、右两焦点,过1F 且倾斜角为α(0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦)的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点,交圆O 于,P Q 两点(如图所示,点A 在x 轴上方).当4πα=时,弦PQ(1)求圆O 与椭圆C 的方程；(2)若22,,AF BF AB 依次成等差数列,求直线PQ 的方程.19.(本小题满分16分) 已知函数2()ln f x x x ax =+.APQBCyxP AQB F 1O F 2(1)若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，.① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =,当0s >时,试比较()g s 与1()g s的大小； (2)若函数()f x 有两个极值点1x ,2x (12x x <),求证：11()2f x >-.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足11b =,22b =,12n n n n T bT b ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式； (3)是否存在正整数n ,使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在,求满足要求的那几项；若不存在,说明理由.答案： 1.2.53. 23-4. {1,1}-5.y=±3/4x.6.27.63658.124 9. 1[2,]2- 10. 12 11.4 12.6 13. 1214.(14⎤-∞⎦，15.(1)由题意 22-=|a b |,即（a -2=）b 2222-=a a b +b(2)a +b (cos cos ,sin sin )(0,1)αβαβ=++=,∴cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩,由此得cos cos()απβ=-,由0βπ<<,得0πβπ<-<,又0απ<<,故απβ=-,代入sin sin 1αβ+=得1sin sin 2αβ==,而αβ>,∴56πα=,6πβ=.16. 证：(1)因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC CD ⊥,又因为CD AC ⊥,所以CD ⊥平面PAC . (2)因为AB //CD ,AB ⊄平面CDEF ,CD ⊂平面CDEF , 所以//AB 平面CDEF , 又因为平面PAB 平面CDEF EF =,AB ⊄平面CDEF ,所以//AB EF .17.本题使用二次函数亦可.18(1)PQ =Q 22244PQ OQ OD ∴=+=,即24a =,从而23b =, ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=,O e ：224x y +=. (2)设22,AF s BF t ==,121224,24AF AF a BF BF a +==+==Q ,又Q 22,,AF BF AB的长成等差数列,28t s s t ∴=+-- ,83t ∴=设00(,)B x y ,由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4(,3-, k ∴=∴PQ：y19.(1)①因为()ln 21f x x ax '=++,所以(1)21f a '=+, 由曲线()y f x =在1x =处的切点为(1)a ，,所以在1x =处的切线方程为(21)(1)y a a x -=+-. 因为切线过点(22)A -，,所以1a =-. ②()ln g x x x =-,由1111()()(ln )(ln )2ln g s g s s s s s s s s-=---=-+. 设1()2ln h s s s s =-+(0s >),所以222(1)21()10s h s s s -'=--=-≤,所以()h s 在(0)+∞，为减函数.因为0s >,所以当1s >时,有1s s >,则1()()g s g s <；当1s =时,有1s s =,则1()()g s g s =；当01s <<时,有1s <,则1()()g s g >.(2)由题意,()ln 210f x x ax '=++=有两个不等实根1x ,2x (12x x <). 设()ln 21g x x ax =++,则1()2g x a x'=+(0x >),当0a ≥时,()0g x '>,所以()g x 在(0,)+∞上是增函数,不符合题意；当0a <时,由()0g x '=,得102x a =->,列表如下：由题意, 11()ln()022g a a -=->,解得10a -<<,所以(1)120g a =+>,因为12x x <,所以101x <<. 因为111()ln 210f x x ax '=++=,所以111ln 2x ax +=-, 所以11111111ln (ln 1)()ln x x x f x x x x +-=-⋅=(101x <<). 令(ln 1)()2x x x ϕ-=(01x <<), 因为ln ()02x x ϕ'=<,所以()x ϕ在(0,1)上为减函数,所以11()(1)2x ϕϕ>=-,即11()2f x >-,所以,命题得证.20.解：(1) 因为22n n S a =-,所以当2n ≥时,1122n n S a --=-, 两式相减得122n n n a a a -=- ,即12n n a a -=,又1122S a =-,则12a =, 所以数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列,故2n n a =.x1(0,)2a -12a - 1(,)2a -+∞ ()g x ' + 0 - ()g x↗ 极大值 ↘由12n n n n T b T b ++=得 33111122233445112,,,,,n n n n n n n n T bT b T b T b T b T b T b T b T b T b --+++=====, 以上n 个式子相乘得11212n n n T b b T b b ++=,即12n n n T b b += ①,当2n ≥时,112n n n T b b --=②,两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-,即112n n b b +--=(2n ≥),所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列,又1123T b T b =,所以32123b T b b ==+=,则1322b b b +=, 所以数列{}n b 是以11b =为首项,1为公差的等差数列,因此数列{}n b 的通项公式n b n =.另法：由已知显然0n b ≠,因为12n n n n T b T b ++=,所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=,则数列1{}n n n Tb b +是常数列,所以111212n n n T T b b b b +==,即12n n n T b b +=,下同上.(2)当1n =时,11n n n n a b a b +++-无意义,设1121(2,)2(1)n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥,显然1n c >,则111112221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]n n n n n n n n nn n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+, 即11n n c c +>>,显然212(1)n n n n ++>-+,所以234731c c c =>=>>>,所以存在2n =,使得72b c =,33b c =,下面证明不存在2n c =,否则2122(1)n n n n c n ++==-+,即23(1)n n =+,此式右边为3的倍数,而2n不可能是3的倍数,故该式不成立. 综上,满足要求的n b 为37,b b .。

江苏省扬州中学2016届高三12月月考理数试题含解析

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分。

)1。

已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则．【答案】3考点：集合的交集．2.如果复数()21aiz a R i+=∈+为纯虚数，则z = ．【答案】2 【解析】试题分析：()22+)(2)=12ai a a iz a R i ++-=∈+（为纯虚数,所以2a =-，所以2221i z i+==+，所以答案应填：2．考点：1、复数的概念；2、复数的运算． 3。

如图程序运行的结果是．（第3题图）112a b i ←←← While 4i ≤1a a bb ab i i ←+←←+End While Print b【答案】96 【解析】试题分析：初始条件1,1a b ==，2i =；运行第一次，2,2a b ==，3i =；运行第二次,4,8a b ==，4i =；运行第三次，12,96a b ==，5i =．满足条件，停止运行，所以输出的96b =，所以答案应填：96．考点：程序框图．4。

小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．【答案】78考点:古典概型．5。

甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是．(第4题图 )(第5题图)【答案】23 【解析】试题分析：由茎叶图知，乙的稳定性较好，方差较小,81112+12+20+21=146x ++=，由方差公式可得:22222221=[(814)(1114)(1214)(1214)(2014)(2114)]236δ-+-+-+-+-+-=，所以答案应填：23．考点：1、茎叶图；2、方差．6。

已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足2312R R R=+,记它们的表面积分别为1S 、2S 、3S ,若1319S S ==，，则2S = ．【答案】4考点:球的表面．7。

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江苏省扬州中学高三年级开学考试数学试题 2016.08一、填空题：1、命题“2,250x R x x ∀∈++>”的否定是 ▲ ． 2、复数12iz i-=的虚部是 ▲ ． 3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若n m //，β⊥m ，则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ，则 β//n ； ③.若α//m ，β//m ，则βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则βα⊥．4、设()32()lg 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一） 5、设函数2()215f x x x =--+，集合{}(),A x y f x B ==={}()y y f x =，则右图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．6、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x f 2log 1)(-=，则不等式0)(<x f 的解集是 ▲ ．BA7、若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点（1，1）对称，则实数a = ▲ ． 8、记[]x 为不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=的最小正周期为 ▲ ．9、设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．10、关于x 的不等式22130kx x k --+<的解集为空集，则k 的取值范围 ▲ ．11、设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．12、已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123a a a ++++100a = ▲ ．13、设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ．14、已知c b a ,,均为正实数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=c b a bc a b ac M ,1,1max ，则M 的最小值为 ▲ ．二、解答题：15、已知集合{}|(6)(25)0A x x x a =--->，集合{}2|(2)(2)0B x a x a x ⎡⎤=+-⋅-<⎣⎦．⑴若5a =，求集合A B ；⑵已知12a >．且“A x∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．16、已知α为锐角，cos （α+）=．（1）求tan （α+）的值；（2）求sin（2α+）的值．17、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．18、将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 分别是椭圆：+y 2=1的左、右顶点，P （2，t ）（t ∈R ，且t ≠0）为直线x=2上一动点，过点P 任意引一直线l 与椭圆交于C 、D ，连结PO ，直线PO 分别和AC 、AD 连线交于E 、F ．（1）当直线l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t 的值；（2）若t=﹣1，记直线AC 、AD 的斜率分别为k 1，k 2，求证： +定值；（3）求证：四边形AFBE 为平行四边形．20、已知函数221)(x x f =，x a x g ln )(=．（1）若曲线)()(x g x f y -=在1=x 处的切线的方程为0526=--y x ，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，都有2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[1，e ]上存在一点0x ，使得)()()(1)(0'00'0'x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围．附加题21、已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)，求a ，b 的值．22、己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程；（2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．23、甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．24、设二项展开式21*(31)()n n C n -=+∈N 的整数部分为n A ，小数部分为n B . （1）计算2211,B C B C 的值；（2）求n n B C .江苏省扬州中学高三年级开学考试数学答案 2016.8一、填空题：1、2,250x R x x ∃∈++≤2、—13、①4、充要5、[5,0)(3,4]-6、（﹣2，0）∪（2，+∞）7、18、19、)ππ32⎡⎢⎣， 10、1k ≥11、2 12、-100 13、⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n 14、2二、解答题：15、解：⑴当5a =时，{}(6)(15)0A x x x =-->={}|156x x orx ><………２分{}{}(27)(10)01027B x x x x x =--<=<<．……４分∴{}1527A B x x ⋂=<<．…６分 ⑵∵12x >，∴256a +>，∴{}625A x x x a =<>+或．………８分又a a 222>+，∴{}222+<<=a x a x B ．……10分∵“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，∴A B ⊆，∴21226a a ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，…………12分解之得：122a <≤．……………14分16、解（1）∵α为锐角， ∴0＜x＜，∴＜α+＜， ∵cos （α+）=．∴sin （α+）==则tan （α+）==2；（2）∵cos2（α+）=2cos 2（α+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴cos （2α+）=﹣sin2α=﹣，∴sin2α=，∵＜α+＜，cos （α+）=．∴＜α+＜，即0＜α＜，则0＜2α＜，则cos2α=，则sin （2α+）=sin2αcos+cos2αsin=×+×=．17、证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA=OC ．… 因为E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…因为PC ⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE ．… （2）因为E 为PA 中点，PD=AD ，所以PA ⊥DE ．… 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE=E ，所以PA ⊥平面BDE ．…因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．…18、解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==； B 组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--．令()()f x g x =，即6010052x x =-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤，，，，≥，而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时）， B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时），所以植树活动所持续的时间为637小时．19、（1）解：由题意：椭圆： +y 2=1上顶点C （0，1），右焦点E（﹣，0），所以l ：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2）证明：直线AC ：y=k 1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…由C ，D ，P 三点共线得：k CP =k DP，得=﹣4（定值）．…（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：x E=，x F=，下证：x E+x F=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形.20、解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．附加题：1、答案：a=3，b=1．2、解：（1）⊙M ：22537()()422x y -+-=，(3,)3π对应直角坐系下的点为33(,)22, (2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：2233()()122x y -+-=.……5分（2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分3、解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PE ξ==1．4、。