《数学物理方法》第一章
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章1
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
《数学物理方法》第一章作业参考解答
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
数学物理方法第一章
图1.2 两复平面点对应关系
10
数学物理方法
§1.2 复变函数 为简单，这里不作严格定义。简单说，复变函数 就是以复数z为自变量的函数。
f z u ( x , y ) i ( x , y )
（ 式中 u ( x , y ) 和 x , y） 是x，y的实函数。我们讨论 的并不是普遍的复变函数，而是后面我们要讨论 的解析函数。如果对于z的每一个值，ω各取一个 值，则称ω为单值函数，否则为多值函数。
i
n
z
n
e
i
0 2 k
n
( k 0,1, 2, , n 1)
8
数学物理方法
例1.3 计算下列数值（a、b为实常数） （1）
a ib
；（2）3 i ；（3） i i
解：（见document 1.3）
9
数学物理方法
4、无穷远点 复平面上模为无穷大的点称为无穷远点。如图2， 复平面z上的点与任意半径球面上的点（除原点北 极外）一一对应，因此复平面上的无穷远对应球 面（复球面）上的顶点（北极点），亦即复平面 上无穷远点就一个。
20
数学物理方法
解析函数所代表的变换的保角性，是有条件的， 这就是只在f′(z) 0处才一定有保角性。在f′(z) = 0 的点，由于argf′(z)没有确定值，因而变换可能保 角也可能不保角。巧妙利用变换在f′(z) = 0处的不 保角性，可以把z平面上的复杂图形变换为ω平面 上的简单图形。
21
数学物理方法
调和函数 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 解析函数的实部u(x, y)和虚部(x, y)满足C-R条件， 两式分别对x和y求导： x y y x
数学物理方法.PDF
第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
数学物理方法第一章
5、乘方运算 zn n (cos n i sin n ) nein
6、开方运算
n
z
n
ei 2kπ n
n
[cos(
2kπ ) i sin(
2kπ)],
n
n
n
i +2k
e n (k
e(zi2 ) ez
5、三角函数cos z eiz eiz ,
2
性质
周期性 非有界函数
sin z eiz eiz 2i
6、双曲函数 cosh z ez ez , sinh z ez ez T 2i
2
2
7、对数函数 Lnz ln z iargz 2kπ, k 0,1,2,
y y
两者应该相等，故有
即 u v ,
x y
v u x y
u i v v i u x x y y
称为科西--黎曼条 件（C.R.条件）
C.R.条件是复变函数可导的必要条件，但不是 可导的充分条件
2、充分条件：
1）u,v在z处满足C.R.条件
六、举例
求(1 i)100和4 1 i
例：求 3 8之值
例：讨论式子 Re(1/ z) 2 在复平面上的意义
解：Re(1/ z) 2 z x yi
1 1 z x yi
x yi x2 y2
Re(1 /
z)
x2
x
y2
2
x2 y2 x 2
为
(x 1)2 y2 (1)2
lim lim
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
《数学物理方法》第一章
……
第一章
复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念 复数 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？
复数相等
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
举例
_______
z1 z1 设z1 = 5 − 5i, z2 = −3 + 4i, 求 和 z2 z2
设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy 2为两个任意复数， 证明：z1 z2 + z1 z2 = 2 Re( z1 z2 )
求(1 + i )100 和 4 1 + i
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。 学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
3
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
q q p q q p x = 3 − + ( ) 2 + ( )3 + 3 − − ( ) 2 + ( )3 2 2 3 2 2 3
数学物理方法第一章-复变函数导论
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
《数学物理方法》第一章.ppt
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法第一章
数学物理方法第一章微积分是研究函数的性质和变化规律的重要工具。
在物理学中，微积分被广泛应用于描述物理量的变化、求解微分方程、求解极限和积分等问题。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数用于描述函数的变化率，求解导数可以得到函数的极值和最速下降方向等信息，而积分则可以求解曲线下面积、求解定积分等。
这些概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如力学中的运动学、电磁学中的电场和磁场分布等。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科。
在物理学中，线性代数被广泛应用于描述物理系统的状态、模拟物理过程、求解线性方程组等问题。
物理学中的许多量都可以用向量来表示，而向量之间的运算和变换则可以通过线性代数的方法来描述和求解。
线性代数的基本概念包括向量、矩阵、行列式和特征值等。
这些概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如量子力学中的波函数、电路分析中的电压和电流关系等。
除了微积分和线性代数，本章还介绍了常微分方程和偏微分方程的基本概念和应用。
常微分方程用于描述只涉及一个自变量和一个未知函数的物理问题，而偏微分方程用于描述涉及多个自变量和多个未知函数的物理问题。
在物理学中，常微分方程和偏微分方程被广泛应用于描述物理系统的演化、求解边值问题和稳态问题等。
这些方程可以通过数值方法和解析方法来求解，从而得到物理系统的行为和性质。
总之，数学物理方法在物理学中起着举足轻重的作用。
本章介绍的微积分、线性代数和常偏微分方程等方法是物理学家研究和解决实际问题的重要工具。
熟练掌握这些数学物理方法对于深入理解物理学的理论和实验现象，提升科研能力和解决实际问题的能力都具有重要意义。
因此，学习和应用数学物理方法是每位物理学家都需要掌握的基本技能。
数学物理方法课件《第一章 复变函数》
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
数学物理方法第一章作业答案
第一章 复变函数 §1.1 复数与复数运算1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）2≤z解：以原点为心，2为半径的圆内，包括圆周。
（2）b z a z −=−，（a 、b 为复常数）解：点z 到定点a 和b 的距离相等的各点集合，即a 和b 点连线的垂直平分线。
（3）z Re ＞1/2解：直线2/1=x 右半部分，不包括该直线。
（4）1Re ≤+z z解：即122≤++x y x ，则1≤x ， x y 212−≤，即抛物线x y 212−=及其内部。
（5）α＜z arg ＜β，a ＜z Re ＜b ，（α、β、a 、b 为实常数） 解： （6）4arg0π<+−<i z i z 解：2222)1(21++−−+=+−y x xi y x i z i z 因为4arg0π<+−<i z i z 所以1)1(1)1(200)1(1)1(2222222222222<++−+++−<>++−+>++−y x y x y x xy x y x y x x，即0x 21,0x 22>+−+<y x 综上所述，可知z 为左半平面x<0，但除去圆0x 2122=+−+y x 及其内部 （7）,11z 1-z ≤+解：()()[]2222222221411iy 111z 1-z y x y y x y x x iy x +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+=+++−=+ 所以()()[]2222222141y x y y x ++≤+−+化简可得0≥x （8）)/1Re(z =2解：2e x 1e )/1Re(2222=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=y x xy x iy x R iy R z 即()16/14/122=+−y x(9)22Re a Z =解：2222Re a y x Z =−=(10)222122122122z z z z z z +=−++解：()()()()()()2222212122122122122122y x y x y y x x y y x x +++=−+−++++可见，该公式任意时刻均成立。
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
数学物理方法chapter-1
不妨让引用科学家柯朗在《数学物理方法》一书
（德文版 序言）中的一段话加以描述，柯朗写道：
“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法
是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已
将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的 直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面,
甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体 性.而且在许多情况下,物理学家也不再体会数学家的 观点,这种分裂,无疑地对于整个科学界是一个严重的 威胁,科学发展的洪流, 可能逐渐分裂成为细小而又细 小的溪渠,以至于干涸,因此,有必要引导我们的努力转
z r(cos i sin )
称为复数的三角表示式. 即为
z r cos ir sin r(cos isin) z cosArgz isinArgz
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler) 公式
ei cos i sin 我们可以把任意非零复数 z x iy r cos i sin 表示
第一章 复数与复变函数
要求掌握：
1. 复数：复数运算和复数的各种表示方法； 模与幅角； 2. 曲线和区域的判断：简单曲线、简单闭曲 线；单、复（或多）连通区域；有、无界区 域；区域（开、闭区域）；映射的概念； 3. 复变函数的极限和连续； 4. 复球面与无穷远点概念；
重点：复数的运算和各种表示法； 复变函数极限的概念；
《数学物理方法》
参考资料：
第一部分 复变函数论 （含积分变换）
第二部分 数学物理方程 第三部分 特殊函数
参考资料（教材）
第四部分 计算机仿真
数学物理思想
数学思想是人类创造性思维最具活力的体现
爱因斯坦相对论的建立便是最有力的佐证。将数学思 想方法应用于现代高科技各专业技术领域，并构建成典 型的（物理）模型和解决问题的方法是数学思维和现代 专业技术领域的结晶，从而形成科学研究中实用性很强 的数学物理方法。它既利用精妙的数学思想，又联系具 体的研究任务和研究目标, 建立数学物理模型，给出解决 方法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的 方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离 了数学思维，具体研究任务失去了理论指导方法；脱离 了所研究的物理模型，作为最具生命力根源的数学思维 没有发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想， 也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结 合才能形成推动人类科学技术赖以发展的最有成效的动 力之源。
《数学物理方法》答案
z 4 + a4 = 0 ( a > 0) 。
4
⎛z⎞ ⎜ ⎟ = −1 ( a > 0 ) 4 4 ; 解:由题意 z = − a ,所以有 ⎝ a ⎠
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
π
+ i 2kπ = ln 2 + i ( + 2kπ ) 4 4
π
3i = eiLn 3 = ei (ln 3+ 2 kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3 e 2+i = e 2 ei = e 2 (cos1 + i sin1) sin z lim =1 z →0 z 22，求证 sin z sin( x + iy ) lim = lim z →∞ x , y →∞ z x + iy 证: z = x + iy (x,y,均为实数)，所以
z = z2 = z3 = 1; 试证明 z1 , z2 , z3 是一 11.设 z1 , z2 , z3 三点适合条件 z1 + z2 + z3 = 0 及 1
个内接于单位圆
z =1 的正三角形的顶点。
∴ z1 = − z2 − z3 ; z2 = − z3 − z1; z3 = − z1 − z2 ; 证明： z1 + z2 + z3 = 0;
∂v ∂u = e x cos y − y sin ye x + x cos ye x = e x ( x cos y − y sin y ) + e x cos y ∂ y ∂x ； ∂u ∂v = −e x ( x sin y + sin y + y cos y ) = e x ( y cos y + x sin y + sin y ) ∂y ； ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = ; =− ∂x 。 满足 ∂x ∂y ∂y x, y ) 可微且满足 C − R 条件，故函数在 z 平面上解析。 即函数在 z 平面上 (
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邻域
|z-z0|<δ
0<|z-z0|<δ
开集
设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0 的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称 z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点， 那么称G为开集。
z0
G
区域
平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1. D是开集；2. D是连通的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自从有了复变函数论，实数领域中 的禁区或不能解释的问题，比如： 负数不能开偶数次方； 负数没有对数； 指数函数无周期性； 正弦、余弦函数的绝对值不能超过1； …… 等已经不复存在。
第二节
区 域
区域的概念
平面上以z0为中心，δ 为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的δ -邻域 δ z0 δ z0 去心邻域
n
2k 2k z r cos i sin n n
n
其中z rei , k 0,1, 2,, n 1
记
是主幅角
w ?
n
w0 r cos i sin n n 2 2 n w1 r cos i sin n n
称满足方程 wn z
(w 0, n 2) 的复数 w 为
1 n
z
的 n 次方根，记作 w z
解： 则
wn nein z rei
r
n
e
in
e
i
nr
w n re
i n
n 2k ,
2 k
k 0,1, 2,
,
k 0,1, 2,, n 1
3
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
q q p q q p x 3 ( ) 2 ( )3 3 ( ) 2 ( )3 2 2 3 2 2 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛 卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表 的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”， 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
0 ，存在实数δ
， 0 ，当
f ( z) f ( z0 )
lim 即 z z0 f ( z ) f ( z0 ) ——极限值等于函数值（求极限的一种方法） 则称函数 w f ( z ) 在点 z0 连续。
n
注意
根式函数是多值函数
例如
2k 2k z r cos i sin 2 2
其中z rei , k 0,1, 是主幅角
记
w0 r cos i sin 2 2
w1 r cos i sin 2 2
z1z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
rr2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) 1
i (1 2 )
n n
r1r2 e
z r e
in
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
| z | R
y
1
| z | R
y
r | z | R
y
θ2 θ1
O
x
-R
O
R
x
O
x
1 arg z 2
Im z 0
| z | R, Im z 0
单连通域与复连通域
设D为复平面上的一个区域，如果在其中作任一 条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而 曲线内部总属于D ，则称 D 为单连通区域，否则 称为复连通区域。
2.几何意义 当z在Z平面进入以z0为圆心，δ为半径的圆Cδ时,相应的 就在W平面进入以w0为圆心，ε为半径的圆Cε内。 注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0。
则称f（z）当z趋于z0时有极限w0，记作：zlim f ( z ) w0 z
0
w f ( z)
3.性质：
z z0
lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z )
说明2
复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面 上的一个映射。
w =f(z)
z平面
w平面
复变函数w =f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)， 其中z=x+iy
举例
求0<θ<π, 0<r<1经w =iz变换后在w平面上 的图形。
w =iz=zeiπ/2
z平面
w平面
举例
| z | 2
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。
复平面 复数z=x+iy
（几何表示） 虚轴
z平面
实轴
复数与平面向量一一对应 复数不能 比较大小 模 | z | r x y
2 2
0的幅角呢？ 主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cosθ+isinθ) 指数表示： z=reiθ 注意
用复数表示平面点集
| z a || z b |
2
Re z 1 / 2
Re z a
2
arg z , a Re z b
z 1 1 z 1
复变函数的极限与连续
极限的概念贯穿于高等数学之中。 一、复变函数的极限
1.定义：设w=f（z）是在区域D中定义的单值函数。 如果任给实数ε>0，若存在实数δ >0，当D内的z f ( z ) w0 满足 0 z z0 时，有
欧拉公式
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当 模相等且幅角相差2kπ
复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 ) 复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
- z2 z1 +(- z2)
乘法运算
r1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) r2
除法运算
(Z2 0)
r1 i (1 2 ) e r2
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭复数及其运算
复数z=x+iy的共轭复数为 z =x-iy
z
共轭复数 z是复数z关于实轴的对称点
根式函数
举例
z1 z1 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 和 z2 z2
证明：z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 )
_______
设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2为两个任意复数，
求(1 i)100 和4 1 i
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？
复数
复数相等
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家 Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand） 以 及 德 国 的 数 学 家 高 斯 （ Gauss ） 等 都 对 “ 虚 数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数 得到了实际应用。 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物，即 柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯特拉斯 （Weierstrass，1815－1897）、黎曼（Rieman， 1826－1866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积 分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像 性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复 变函数论。
D
D
单连通域
复连通域
复变函数定义
设E是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法 则存在，按照这一法则，对于集合E中的每一个复数z， 有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w 是复变数z的函数，或复变函数，记为w =f(z)。
说明1
如果z的一个值对应着w的唯一一个值，那么 我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多 个w的值，那么我们称f(z)是多值函数。
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章，那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中，往往许多中间地带尚未得到完 全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。