第二章 平面力系
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第二章平面力系
第二章平面力系教学目标：掌握平面力系向一点简化的一般结果和最终结果；掌握平面任意力系的平衡方程；掌握平面特殊力系的平衡方程。
重点、难点：平面力系平衡方程求解力学问题。
学时分配：8学时。
§2-1 平面任意力系的简化一 平面任意力系向一点简化——主矢与主矩设刚体上作用有n 各力1F 、2F 、…、n F 组成的平面任意力系，如图3-2a 所示，在力系所在平面内任取点O 作为简化中心，由力的平移定理将力系中各力矢量向O 点平移，如图3-2b 所示，得到作用于简化中心O 点的平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '，和附加平面力偶系，其矩为1M 、2M 、…、n M 。
图3-2平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '可以合成为力的作用线通过简化中心O 的一个力RF '，此力称为原来力系的主矢，即主矢等于力系中各力的矢量和。
有∑=''''ni 1=+++=+++=1212i n n RF F F F F F F F 平面力偶系1M 、2M 、…、n M 可以合成一个力偶，其矩为o M ，此力偶矩称为原来力系的主矩，即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。
有∑=ni n o (M =M ++M +M =M 1i o 21)F结论：平面任意力系向力系所在平面内任意点简化，得到一个力和一个力偶，如图所示，此力称为原来力系的主矢，与简化中心的位置无关；此力偶矩称为原来力系的主矩，与简化中心的位置有关。
利用平面汇交力系和平面力偶系的合成方法，可求出力系的主矢和主矩。
如图所示，建立直角坐标系oxy ，主矢的大小和方向余弦为212122)F ()F (=F F =F ni yi ni xi Ry RxR ∑∑==+'+'Rn1i yiRRy R n1i xi R RxF FF F cos ,F F F F )cos ∑∑===''=⋅=''=⋅)((j F i F R R主矩的解析表达式为∑=-=ni xi i yi i o )F y F (x M 1)(R F二 平面任意力系简化结果讨论（1）当00≠='o M ,RF 时，简化为一个力偶。
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。
显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。
即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。
这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。
（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。
因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。
由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
理论力学(哈工大版本)第二章平面力系
解：注意到CB为二力构件，画受力图
M AC F Cd F C 2 12 F C 2
224 18 2F (NCcm) 0.255F 2
Mi 0 MAC M 0
F C 3137N
理论力学
.
C(Nm)
37
[例]图示杆系，已知M，l，求A、B处约束力。
l
l
FA 解：1、 AD为二力杆。
D
B
A
2、研究对象： 整体
解：取滑轮B为研究对象， 忽略滑轮的大小，画受力图。 FBA
y
FBC D
60
B
列平衡方程
B
F2 60
x
Fx 0， FBA F c1os 60 F2 cos 30 0
30
Fy 0，FBC F co1 s 30 F2 cos 60 0
F1
30
当由平衡方程求得
G
解方程得杆AB和BC所受的力: 某一未知力的值为
FR F1F2 Fn F
i
3、平面汇交力系平衡的几何法
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。
FR F1F2 Fn F 0 i
上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。
用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出自行封 闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。
理论力学
作出相应的力多边形。
F
FD
F
A
OE EA24 cm
FB
tan DE 6
OE 24
arctan 1 140
4
由力三角形图可得
O
B E FB
sin180
FB
F 750N FD
D
sin
建筑力学2平面力系
12
2.2 力对点之矩与平面力偶 2.2.1 力对点之矩—简称为：力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转 动效应的物理量。 讨论力的转动效 应时，主要关心 力矩的大小与转 动方向。
13
1.定义 力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。
矩心—该点O称为矩心。 力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其 数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规 定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正， 反之为负。记为 MO(F)=±Fd
F F
y
0
FAC FAC
3
解得
x
4 2 32 63.2kN 4
FT 2
2 12 2 2 FT 2
FT 1 0
0
FAB FAC FAB
1 12 2 2
解得
4 2 32 41.6kN
0
力FAC 是负值，表示该力的假 设方向与实际方向相反 ， 因此杆AC是受压班。
力的等效平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附 加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的 位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内
的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原
力大小相等的平行力。
3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
9
【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车 的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的 杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链， 可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。
B
4 A FBA B A FAB FAC F’AB y A x F’AC FT2 FT1
化工原理第二章平面力系
如图所示，平面上作用一力 F ，在同平面内任取一点O， 点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
力对点的矩：
力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积， 它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动 时为正，反之为负。 力 F 对于点O的矩
由右图容易看出，力F对点O的矩的大 小也可用三角形OAB面积的两倍表示， 即
(2)画受力图。
滑轮受到钢丝绳的拉力
＝
＝P；
由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。
(3)列平衡方程 为使每个未知力只在一个轴上有投影， 在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量 取在与未知力作用线相垂直的方向。这 样在一个平衡方程中只有一个未知数， 不必解联立方程，故选取坐标轴如图所 示。 (a)
和
当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力 值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。
、
在数
2．平面汇交力系合成的解析法
设由n个力组成的平面汇交力系作用 于一个刚体上。以汇交点O作为坐 标原点，建立直角坐标系Oxy 。
此汇交力系的合力
合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同 一轴上投影的代数和。 由此可得
例2—3 如图所示，重物P＝20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩 擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
解：(1)取滑轮B为研究对象。 AB、BC两杆都是二力杆，假 设杆AB受拉力、杆BC受压力；
平面汇交力系可简化为一合力．其合力的大小与方向等于各分 力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交 力系包含n个力，以 表示它们的合力矢，则有
第2章平面一般力系
11
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。 （2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（ 它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心 的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。 （2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（ 它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心 的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：
平面力系
平衡方程其他形式：
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
第二章 平面力系
第二章平面力系第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。
若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。
一、合成的几何法应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。
如图2-1-1-1所示。
图2-1-1-1若有n个力，则合力矢可以表示为F R = F 1 + F 2 +⋯+ F n = ∑ i=1 n F i二、平衡的几何法平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。
如图2-1-1-2所示。
若矢量表示即为F R =0图2-1-1-2第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即F x =Fcosθ; F y =Fcosβ力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。
如图2-2-1-2所示。
当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为F x = F x i; F y = F y i合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为F R = F x 2 + F y 2 , cos( F R ,i)= F x F R ; cos( F R ,j)= F y F R二、合成的解析法当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2cos( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R三、平衡的解析法力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即∑ F x =0; ∑ F y =0上式称为平面汇交力系的平衡方程。
理论力学第二章
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4 d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.2.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
理论 力 学
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面的力系。 本章主要介绍平面力系的简化与平衡。 各力作用线位于同一平面且相交于一点的力系称为平面 汇交力系。
F1 A F2
F3
F4
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
c F1 A F3 F12 FR a d F4 e
RB
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
[例6]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
第二章 平面力系
④解平衡方程
cos 450 = 3.16 kN 19 cos α
[例3]
已知F1＝200N，F2＝300N，F3＝100N，F4＝250N。求图示
平面汇交力系的合力。 解 根据公式可得
o o o o
Fx = Fx1 + Fx 2 + Fx 3 + Fx 4 = F1 cos30 - F2 cos60 - F3 cos45 + F4 cos45 = 129.3 N o o o o Fy = Fy1 + Fy 2 + Fy3 + Fy 4 = F1 sin 30 + F2 sin 60 - F3 sin 45 - F4 sin 45 = 112.3 N
n R =∑i F i =1
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的
作用线通过各力的汇交点。
8
3.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要 条件是合力为零，即：
n R =∑i F i =1
在上面几何法求力系的合力中，
合力为零意味着力多边形自行封闭。所 以平面汇交力系平衡的必要与充分的几 何条件是：力多边形自行封闭。 或：力系中各力的矢量和等于零。
R = 0, R 2 + R 2 = 0 X Y
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
18
[例] 已知 P=2kN 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑X=0
RA·cosα-SCD· cos45°=0
∑Y=0
-P-RA·Sinα+SCD· Sin45°=0
α
由EB=BC=0.4m， EB 0.4 1 t gα = = = 解得： AB 1.2 3 P SCD = = 4.24 kN ； A = SCD R 0 cos 45 (1 - tgαα)
第二章 平面力系
F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fn
Rx = ∑ X k
k =1 n
n
R y = ∑ Yk
k =1
— 合力投影定理
则：
2 R = Rx2 + R y
Ry Rx cos(R , i ) = ,cos(R , j ) = R R
4、平面汇交力系的平衡方程 RX= ∑X=0 RY =∑Y =0 ∑X=0 ∑Y =0 解析条件的应用 平面汇交力系的平衡方程
X 2 = − F2 cos θ 2 Y2 = − F2 sin θ 2
cos(F , i ) =
(2) 平面汇交力系合成的解析法 求合力 R（R=Rxi+Ryj )可先求Rx，Ry。 已知： R = 则 ：
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ Rx ⋅ i + R y ⋅ j = ⎜ ∑ X k ⎟ ⋅ i + ⎜ ∑ Yk ⎟ ⋅ j ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面。 平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1、平面汇交力系
平面汇交力系：各力作用线位于同一平面且汇交于一点。
问题举例：
FAy
Q
FA
O B
Q
A
FAx
FC
C
1、平面汇交力系合成的几何法
R123
F2
F3
R12 F2
R
F3
A3
A2 A1
r
h
A
2、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩 等于力系中各分力对同一点 的矩的代数和。 即 ： 若F1+F2+……+Fn=R，则： MO（R）=
第二章 平面基本力系
平衡方程
Fx 0 Fy 0
第一节 平面汇交力系
例2-1 圆筒形容器重量为G，置于托轮A、B
上，如图所示，试求托轮对容器的约束反力。
第一节 平面汇交力系
解：取容器为研究对象,画受力图 容器自重G
托轮对容器是光 滑面约束，其约束 反力为FNA和FNB
FNA
FNB G
第一节 平面汇交力系
B F
a C
Fx
O
Fx
x
Fx=±Fcosa
Fy=±Fsina
y
b1
C
Fy
a1 B
Fx
A
F a
Fy
O
Fx
x
F Fx2 Fy2
tana Fy / Fx
第一节 平面汇交力系
2．合力投影定理
ad=ab+bc-cd 即 Fx=F1x+F2x+F3x Fy=F1y+F2y+F3y
第一节 平面汇交力系
c) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可 以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短, 而不改变力偶对刚体的作用。
d) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等 于力偶矩，与矩心的位置无关。
第三节 平面力偶系
二. 平面力偶系的合成和平衡条件
1.平面力偶系的合成 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
M o (Fn ) Fn h Fn r cosa
2）合力矩定理 将力Fn分解为切向力Ft和法(径)向力Fr， 即
Fn Ft Fr
由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Ft r 0
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
解：M= m1+ m2+ m3+m4 =4×(－15 N·m)= －60 N·m
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
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第二章 平面力系
二、合力矩定理
表达式：
MO(FR ) = ∑MO(F)
y
Fx
证明： 由图得
MO (F ) = Fd = Fr sin(α −θ )
F
α
= Fr(sinα cosθ − sinθ cosα) = F sinα ⋅ r cos − F cos ⋅ r sinθ ) θ α
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第二章 平面力系
力矩的性质： 力矩的性质：
（1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而 力对任一已知点之矩， 改变； 改变； （2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之， 一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零， 一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此 力的作用线必通过该点； 力的作用线必通过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
(c)
FN
(a)
∑F
x
=0
FT cos 300 − FN cos 600 = 0
这样建立坐标系 FT 和FN 相互藕合
FT − P sin 30 0 = 0
可求得 FT=？
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第二章 平面力系
求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： 求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： （1）弄清题意，明确已知量和待求量； ）弄清题意，明确已知量和待求量； （2）恰当选取研究队象，明确所研究的物体； ）恰当选取研究队象，明确所研究的物体； （3）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束反力， ）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束反力， 二力构件，三力汇交平衡）； 二力构件，三力汇交平衡）； （4）合理选取坐标系，列平衡方程求解； ）合理选取坐标系，列平衡方程求解； （5）对结果进行必要的分析和讨论。 ）对结果进行必要的分析和讨论。
FR
F3
d
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第二章 平面力系
用解析式表达为
FR=F1+F2+F
3
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第二章 平面力系
二、平衡
平面汇交力系平衡的充要条件是： 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行 封闭， 封闭，即
FR =0
或
F1+F2+F3+F4=0
F4 O
F1 F2
a
F1 b
F2
c
F3
F4
F3
d
一、力偶及其性质
1. 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做 力偶。 力偶。并记作（F，F ’）。 例：
F d
力偶臂
F'
力偶作用面
（1）方向盘； （2）丝锥； （3）水龙头。
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第二章 平面力系
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第二章 平面力系
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第二章 平面力系
2. 力偶的性质 （1）组成力偶的两个力在任何坐标轴上的投影等于零； ）组成力偶的两个力偶没有合力， ）力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力 平 （3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应， ）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应， 衡； 它可以也只能改变物体的转动状态。 它可以也只能改变物体的转动状态。 3. 力偶矩 其转动效应---力对点之矩， 其转动效应 力对点之矩，即用力偶中的两个力 力对点之矩 对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。 对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
(b)
由式（ a ），该汇交力系的合力 F R = 它对矩心的矩
∑
F ，
M 0 ( FR ) = xFRy − yFRx = x ∑ Fy − y ∑ Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
M o ( FR ) = ∑ M o ( F )
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第二章 平面力系
第四节 力偶及平面力偶系的概念
M ( F , F ') = ± Fd 或 M = ± Fd
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F F
yi xi
tan θ =
F F
Ry Rx
=
∑ ∑
式中θ 表示合力FR与x轴间所夹的锐角。合力指向由FRx 、 FRy 的正负号用图判定。这种运用投影求合力的方法，称 为解析法 解析法。 解析法 用图可表示为：
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第二章 平面力系
例2-2 y
用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方 向。已知 F1 = 1.5 kN, F2 = 0.5 kN, F3 = 0.25kN, F4 = 1kN
F =0
而 则
∑F
xi
2
+ ∑ F yi = 0
2
xi
∑F
=0
∑F
yi
=0
即平面汇交力系平衡的解析条件是： 即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐 标轴中上的投影之代数和均等于零。 标轴中上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知 量。
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第二章 平面力系
故合力 F 的大小为 F =
Fx + Fy = 2.02 kN
2 2
其方向余弦则为 cosθ = Fx F = 0.164, cosβ = Fy F = −0.986
θ = 80 . 34 0 即
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第二章 平面力系
四、平 衡
由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力为零，即
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第二章 平面力系
这个定理也可很直观地理解， 这个定理也可很直观地理解，如下图表示 y
D
F3
C
F3
o
F2
A
F
B
F1
F2
F1
o
a
b d
c
x
Fx1 = ab, Fx 2 = bc , Fx 3 = cd , Fx = ad
因 ad = ab + bc + cd ,故 同理可得
Fy = Fy1 + Fy 2 + Fy 3
F3
F2
600
450
【解】 先计算合力 F 的投影，有 x
在x、y轴上
θ
F1
Fx = ∑ F xi = 0 − 0 .5 + 0 .25 cos 60 0 + 1 cos 45 0 = 0.332 kN
Fy =
F4
F
∑
F yi = − 1 . 5 + 0 . 25 sin 60 0
− 1 sin 45 0 = − 1 . 99 kN
n n 2 Rx 2 Ry 2 2
式中θ、β 分别为合力FR和x、y轴正向的夹角。
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第二章 平面力系
三、合成
当应用合力投影定理求出力系的合力的投影F 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影 Rx 、FRy后， 可用下式求出合力的大小和方向
FR =
F Rx + F Ry
2
2
=
( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2
例2-3 重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。 y
C
F1
600 450
B
F2
300 45
0
B
x
mg
A
（a） （b）
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第二章 平面力系
【解】 取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力mg；AB 杆的约束反力F1 (设为拉力)及BC杆的约束反力F2（设为压 力），坐标轴如图b所示，列出平衡方程
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第二章 平面力系
思考题
匀速起吊重P 的预制梁如图所示，如果要求绳 索AB、BC的拉力不超过0.6P，问θ角应在什 么范围内？
B
θ θ
C
A
P
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第二章 平面力系
第三节 力矩的概念和计算
一、力对点之矩
l
d
A
（1）用扳手拧螺母；
（2）开门，关门。
o
由上图知，力F使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小， 而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积Fd来 度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正 负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F )表示。
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第二章 平面力系
第二章 平面力系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法 力对点之矩的概念及计算 力偶及平面力偶系 平面任意力系向一点简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
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第二章 平面力系
平面力系包括平面汇交力系 平面力偶系和平面任意力 平面汇交力系、平面力偶系 平面汇交力系 平面力偶系和 系,它是研究复杂力系的基础。 力对物体作用时可以产生移动 转动 移动和转动 移动 转动两种效应。力的移 动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，在 本章中还将引入力矩的概念。 本章要研究的主要问题： 本章要研究的主要问题： （a）平面汇交力系合成与平衡的几何法； （b）平面汇交力系合成与平衡的解析法； （c）力矩和力偶的概念； （d）力偶的性质； （e）平面力偶系的合成与平衡； （f）力线平移定理； （g）平面任意力系的简化结果； （h）平面任意力系的平衡条件与平衡方程。
F1
45
300
B
0
x