一元一次方程考点例析教师用

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1.一元一次方程知识点及经典例题

一元一次方程知识结构及典型例题知识点一：方程和方程的解1.方程：含有_____________的______叫方程.易错点：（1）方程式等式，但等式不一定是方程；（2）方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；(3)方程中可以含多个未知数。

2.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是ax+b=0(x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．3.方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程－=1.6，将其化为－=1.6。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：变形步骤具体方法变形根据注意事项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21.不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号.乘法分配律、去括号法则1．分配律应满足分配到每一项2．注意符号，特别是去掉括号.移项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边.等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边.合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“bax=”的形式（0≠a）.合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变.未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a，得abx=. 等式性质2 分子、分母不能颠倒.经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。

一元一次方程热点考点分析

一元一次方程热点考点分析一、知识结构二、热点考点分析热点考点一：一元一次方程的解内容简介：一元一次方程的解是指使方程左右两边的值相等的未知数的值. 题例1：若关于x 的一元一次方程23132x kx k ---=的解是1x=-,则k 的值是（）.A ． 27B ．1C ．1311- D ．0分析：将x ＝-1代入方程得2131,32k k -----=这是一个关于k 的一元一次方程，解之可求得k 的值.解：将x ＝-1代入原方程，得2131,32k k -----=解这个关于k 的一元一次方程：两边同时乘以6，去分母，得2（-2-k ）-3（-1-3k ）＝6，去括号，得-4-2k+3+9k ＝6，解得k ＝1.选B.评注：解答与此有关的问题，一般将方程的解直接代入方程后，然后根据题目的要求，解决相关的问题.试一试：如果方程4345+-=-x x 与114)1(3=++k x 的解相同，求k 的值．热点考点二：一元一次方程的性质内容简介：等式的性质有两个.(1)等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍是等式；(2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.题例2：（2008年白银等九市）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图1所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由图1①两边同时乘以2.5知：5个正方体质量等于5个圆柱体质量；由图1②知: 5个正方体质量与2个球体相等质量.故选A .评注：天枰是天然的“等式.”它是展示等式性质的最佳实际模型，而等式性质又是数学中的最重要内容之一.因此以天平为背景，针对等式性质的考察，今后题型还将不断翻新.这或许是一个永恒的背景.希望同学们一起足够的重视. 试一试： (2008年西宁市)图2中标有相同字母的物体的质量相同，若A 的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B 的质量为克．热点考点三：一元一次方程的解法内容简介：解一元一次方程的一般步骤大致可分五步：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知数的系数化为“1”.由于方程的形式不同，解方程时，不一定非按这样的顺序不可，其中有些步骤也可能用不到，要结合方程的特点灵活运用.题例3：解方程x x =+-515．分析：方程两边同时乘以最简公分母5，然后按照解一元一次方程的一般步骤解答即可. 解：去分母，得x x 5)1(25=+-．去括号，得x x 5125=--．移项，得1255+-=--x x ．合并同类项，得246-=-x ．两边都除以－6，得4=x ．评注：本题在去分母时，注意两点：一是无分母的项不能漏乘；二是含分母部分的分子应加括号.试一试：解方程：32（１－ｘ）＝22+x ＋１.热点考点四：一元一次方程综合内容简介：与一元一次方程综合应用较多，其中一类题目是利用定义的新运算，转化为一元一次方程求解.题例4：在有理数范围内定义一种运算“*”，其规则为a *b ＝22a b -，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为_______________.分析：由新定义的运算规则，先写出对应的方程，再应用有理数平方的概念来求出方程的解.解：因为a ★b ＝22,a b -，（x+2）★5＝0，所以22(2)50,x +-=即（x+2）2＝25.由有理数平方的概念知，x+2＝5或x+2＝-5，解得x ＝3或x ＝-7.评注：解答此类问题的关键根据新运算写出相应的方程.本类题目是“形式化”数学的典型体现.试一试：让我们来规定一种运算：bcad dcb a-=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，2121x x-=23的解是 .热点考点五：一元一次方程的应用内容简介：稍加分析不难得到，应用题的等量关系大致可以分4类：（1）根据语言直接翻译的数量关系，它包括题目中隐含的数量关系如行程问题中的“顺风中的速度=静风中速度+风速，逆风中的速度=静风中速度-风速.”；（2）基本数量关系：如单价×数量=总价，1头牛1天吃的草×牛数×天数=牛吃的草等等；（3）约定型数量关系如；（4）公式型数量关系如.因此我们可以把应用题也分为4类.因为每类数量关系在分析应用时，方式方法有所不同，因此我们在此通过分别说明.题例5：在汶川地震救災中，甲处有91名解放军战士，乙处有49名解放军战士，现又调来100名战士支援，使甲处的人数是乙处人数的3倍少12人①，应往甲，乙两处各调多少名战士？分析：本题直接翻译型数量关系有“分配后甲处的人数=分配后乙处人数×3- 12；”另外还有隐含型数量关系“分配后甲处人数=甲处原有人数+甲处分得人数” 和“分配后乙处人数=乙处原有人数+乙处分得人数，”以及“甲处分得人数+乙处分得人数=100.”解：设往甲处调x 名解放军战士，依题意，得91＋x =147+300-3x-12，解这个方程，得x =86，∴100－x =14.答：应往甲处调86名战士，往乙处调14名战士. 评注：(1)直接翻译型数量关系通常可以根据数学的关键词类似大、小、多、少、共、差等确定;（2）情境中隐含的数量关系我们也把它列为直接翻译型数量关系.题例6：一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?分析: 本题中的基本数量关系是“速度×时间=路程”；因为是行程问题，所以需画飞机飞行的过程图如图3.另外，除了直接翻译的数量关系“去时时间+回时时间=4.6”等，还有的隐含数量关系“顺风中的速度=静风中速度+风速，逆风中的速度=静风中速度-风速.”由此，可列表如下.解:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回.依题意，有642557525575.=-++x x .解得:x=1320.答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回.评注：因为基本数量关系在应用题中一般要用若干次，因此利用列表进行分析，条理清楚，特别是在问题复杂、数据较多的情境时.另外，行程问题画过程图对于理解题意非常有帮助.题例7：某商品的进价是2 000元，标价为3 000元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？分析：若设打x 折出售.则有数量关系“标价现在售价=10x ”.结合约定的数量关系“利润率=商品进价商品利润”、“商品利润=商品售价－商品进价”.可得方程.解：设售货员最低可以打x 折出售此商品，由题意，得30002000%5200010x +⨯=，整理，得3 000x ＝2 100，解得x ＝70％.答：售货员最低可以打7折出售此商品.评注：像本题中的约定数量关系，常见的还有利息问题等.在应用时：（1）要准确追忆相应的数量关系；（2）注意分析已知量与未知量.题例8：一个圆柱形水桶，底面半径为11cm ，高25cm ，将满桶的水倒入底面长30cm ，宽20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（π取3.14，结果精确到0.1cm ）?分析：本题首先要追忆相应的数学公式：圆柱的体积公式是：圆柱体积=πr 2h ；长方体体积=长×宽×高.利用数量关系“圆柱形容器积＝长方体器容积.”建立方程即可.解：设长方体容器的高为x cm ，依题意，有 30×20x ＝25π×112，解方程，得 ≈=24121πx 15.9cm ，答：长方体容器的高至少需要15.9cm.评注：在初中阶段公式型的数量关系，主要涉及周长、面积、体积公式.分析和应用方法类似于约定型数量关系.试一试：1.某居民小区按照分期付款的方式售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价120000元的房子，购买时首期(第一年)付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，若剩余欠款年利率为0.4％，已知小明家第x 年时(x≥2)共付房款5200元，求x 的值．2. 某居民生活用电基本价格为每度0．40元，若每月的用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费．(1)某户五月份用电84度，共交电费30．72元，求a ．(2)若该户六月份的电费平均为每度0．36元，求该用户六月份共用电多少度？应交电费多少元？三、跟踪训练 1.如果2x =是方程112x a +=-的根，那么a 的值是（）A ．0B ．2C ．2-D ．6-2．有甲、乙两个长方体，甲长方体的长、宽、高分别是50厘米、40厘米、30厘米，乙长方体是底面为边长是20厘米的正方形，如果甲体积是乙体积的1.2倍，求乙长方体的高. 如果设乙长方体的高为x 厘米，由条件列方程得________. 3.解方程3（m+3）=25.22m -10（m-7）.4.解方程x x x =--+323212．5.已知2y +m=my-m. (1)当m=4时,求y 的值.(2)当y=4时,求m 的值.6.小明去文具店购买2B 铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8折“，小明测算了一下.如果买50支，比按原价购买可以便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少元？7.某中学在 “众志成城，抗震救灾”捐款活动中，甲班比乙班多捐了20%，乙班捐款数比甲班的一半多10元，若乙班捐款m 元．（1）列两个不同的含m 的代数式表示甲班捐款数．（2）根据题意列出以m 为未知数的方程．（3）检验乙班、甲班捐款数数是不是分别为25元和35元．参考答案考点一解：先解方程4345+-=-x x ．移项，得4435+=+x x ．合并同类项，得88=x ．两边同除以1，得1=x ．把1=x 代入方程114)1(3=++k x ，得114)11(3=++⨯k ，即1146=+k ．移项，得6114-=k ．合并同类项，得54=k ．两边同除以4，得45=k ．考点二：10 考点三：解：去分母，得６×32（１－ｘ）＝６×22+x ＋６×１；即４（１－ｘ）＝３（ｘ＋２）＋６，去括号，得４－４ｘ＝３ｘ＋６＋６，移项，得－４ｘ－３ｘ＝１２－４，合并同类项，得－７ｘ＝８，化未知数的系数为１，得ｘ＝－78．考点四：-1.5 考点五：1.解：根据题意得：5000+［90000－5000(x －2)］×0.4% = 5200 解这个方程得：x = 10答：小明家第10年时共付房款5200元． 2.解：(1)根据题意，列方程，得 0．40a +(84-a )×0．40×70%=30．72 解，得a =60(2)设该用户六月份共用电x 度，得0．40×60+(x -60)×0．40×70%=0．36x解，得x =900．36x =0．36×90=32．40所以a =60；该户六月份共用电90度，应交电费32．40元．跟踪训练1.C2.1.2×20×20x=50×40×303.解：（1）去分母，得6(m+3)＝22.5m-10(m-7)，去括号，得6m+18=22.5m-10m+70，移项，得6m-22.5m+10m ＝70-18，合并同类项，得 -6.5m ＝52，系数化1，得m=-8． 4.解：把21212++x x 拆分为，32323--x x 化为，将原方程可化为ｘ＋)32(21--x ＝ｘ，去括号、移项、合并同类项，得 x ＝673221=+．5.解:(1)把m=4代入2y +m=my-m,得2y +4=4y-4.移项,得2y -4y=-4-4,合并同类项,得72y=-8,化系数为1,得y=167.(2)把y=4代入2y +m=my-m,得 42+m=4m-m,移项得4m-m-m=2,合并同类项,得2m=2, 化系数为1,得m=1.6.解：设每支铅笔的原价是x 元，则依题意得：50x （1-0.8）＝6，解得x ＝0.6. 答：每支铅笔的原价是0.6元. 7．（1）根据甲班捐款数比乙班多20%，得甲班捐款数为（1+20%）m ；根据乙班捐款数比甲班的一半多10元，得甲班捐款数为2（m-10）．（2）由于（1+20%）m ，2（m-10）都表示甲班捐款数，便得方程（1+20%）m=2（m-10）．（3）把m=25分别代入方程的左边和右边，得左边=（1+20%）×25=30，右边=2×（25-10）=30，因为左边=右边，所以25是方程（1+20%）m=2（m-10）的解．这就是说乙班捐款数的确是25元，从上面检验过程可以看到甲班捐款数应是30元，而不是35元．。

专题03 一元一次方程(专题详解)(解析版)

专题03 一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (3)知识点2 方程的解与解方程 (4)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (6)题型1 依题意列方程 (6)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (8)题型1 利用定义求待定字母的值 (8)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (9)知识框架 (9)一、基础知识点 (9)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (9)知识点2 移项解一元一次方程 (10)二、典型题型 (12)题型1 一元一次方程的简单应用 (12)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (13)知识框架 (13)一、基础知识点 (13)知识点1 去括号 (13)知识点2 去分母 (14)二、典型题型 (16)题型1 去括号技巧 (16)题型2 转化变形解方程 (17)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (19)三、难点题型 (21)题型1 待定系数法 (21)题型2 同解问题 (21)题型3 含参数的一元一次方程 (22)题型4 利用解的情况求参数的值 (23)题型5 整体考虑 (24)3.4实际问题与一元一次方程 (25)一、基础知识点 (25)知识点1 列方程解应用题的合理性 (25)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (25)知识点3 分析数量关系的常用方法 (26)二、典型例题 (28)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1）方程：含有未知数的等式。

例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。

如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+2≠3；⑤x-x1=2； ⑥y=10；⑦3y 2+2y=0；⑧3a<-5a ；⑨3x 2+2x-1=0；⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。

清单03一元一次方程(五大考点梳理题型解读解决实际问题12种题型)(原卷版)

清单03 一元一次方程（五大考点梳理+题型解读+解决实际问题12种题型）【知识导图】【知识清单】考点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．【例1】（2022秋•颍州区期末）下列各式中，是方程的个数为（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2个B．3个C．5个D．4个2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．【例2】（2022秋•汉台区期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2B．m＝﹣3C．m＝±3D．m＝13．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．【例3】（2023春•蒸湘区校级期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣8D．8【变式】（2022秋•宁阳县期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，则a，b的关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为负倒数4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．考点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【例4】（2022秋•雅安期末）下列等式变形错误的是（）A．若，则x﹣1＝2xB．若x﹣1＝3，则x＝4C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣42．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．考点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bxa(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【例5】（2022秋•东宝区期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．考点四、列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【例6】（2022秋•汇川区期末）如图，已知数轴上有A，B两点，它们分别表示数a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）点C以2个单位长度/秒的速度从点A向点B运动，到达点B后停止运动．若点D为AC中点，点E为BC中点，在点C运动过程中，线段DE的长度是否发生改变？若不变，求线段DE的长度，若变化，请说明原因；（3）在（2）的条件下，点P以1个单位长度/秒的速度同时从原点O向点B运动，P点到达B点后停止运动，问点P运动多少秒后，点P与点C相距2个单位长度？【例7】（2022秋•秦淮区期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b 超过300千瓦时的部分a +0.32015年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费125元．（1）求上表中a 、b 的值；（2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月交费285元？【例8】．（2022秋•常州期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？考点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+ 7.数字问题；8.分配问题； 9.比赛积分问题；10.水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度）．题型1.配套问题1.某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？2.某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？题型2.销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

一元一次方程知识点及经典例题

一元一次方程知识点及经典例题一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有未知数的等式叫方程。

注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。

易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。

考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0(2).1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：1）只含有一个未知数；2）未知数的次数是1次；3）整式方程。

2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等。

知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b，那么a+c=b+c；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（且c≠0），那么a/c=b/c。

要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6.方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤：1.变形步骤具体方法变形根据注意事项1．不能漏乘不含分母的项；去分母公倍数2．掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号2．合并同类项1．分配律应满足分配到每一项去先去小括号，再乘法分配律、去括号2．注意符号，特别是去掉括号3．移项要变号；一般把含有未知数的项移动到方程左边，其余项移到右边4．合并同类项时，把同类项的同系数相加，字母与字母的指数不变5．未知数的系数a，成“ax=b”的形式6．方程两边同除以未知数的系数a，分子、分母不能颠倒。

(word完整版)一元一次方程知识点及经典例题,推荐文档

、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1. _______________________ 方程：含有的叫方程注意：a.必须是等式 b. 必须含有未知数。

易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示, 也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。

考法：判断是不是方程：例：下列式子：⑴.8-7=1+0 （2）.1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=O（其中x是未知数，a,b是已知数，且0）。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：J（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程.2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等.知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a = b，那么進土c；（c为一个数或一个式子）。

等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果店二，那么鹤三阮；如果口二心仗工0），那么c亡要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用bX -------①a^0时，方程有唯一解懣;②a=0, b=0时，方程有无数个解；③a=0, b^0时，方程无解。

牛刀小试例1、解方程例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程x 10 4x的解与方程5x 2m 2的解相同，求m的值.例3、解方程知识与绝对值知识综合题型解方程：|2x 1173、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念2 丄—丄①2x—5= 1;②8- 7= 1 ;③x+ y;④ 2 x—y = x2;⑤3x+ y = 6;⑥5x+ 3y + 4z = 0;⑦艸总=8 :⑧x= 0。

专题一元一次方程(知识大串讲)(解析版)

专题08 一元一次方程（知识大串讲）【知识点梳理】考点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值考点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；考点3含参一元一次方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数考点4一元一次方程的解使一元一次方程等号左右两边相等的未知数的值。

考点5 解一元一次方程解一元一次方程的步骤：1.去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意：特别是去掉括号，符合变化 3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意： ①移项要变符号； ②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4. 合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数 a ，得 abx =；（2）注意：分子、分母不能颠倒【典例分析】【考点1 一元一次方程定义】【典例1】（2021秋•雅安期末）下列四个方程中，是一元一次方程的是（） A ．x 2﹣1＝0 B ．x ﹣1＝0C ．x +y ＝1D ．﹣1＝0【答案】B【解答】解：A ．根据一元一次方程的定义，x 2﹣1＝0中x 的次数是2，那么x 2﹣1＝0不是一元一次方程，故A 不符合题意．B ．根据一元一次方程的定义，x ﹣1＝0是一元一次方程，那么B 符合题意．C ．根据一元一次方程的定义，x +y ＝1中含有两个未知数，那么x +y ＝1不是一元一次方程，故B 不符合题意．D ．根据一元一次方程的定义，不是整式方程，而是分式方程，那么不是一元一次方程，故D 不符合题意．故选：B ．【变式1】（2022春•沙坪坝区期末）下列方程是一元一次方程的是（） A ．2x 2﹣1＝0B ．y ＝x +1C ．＝1D ．x ﹣2＝1【答案】D【解答】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C、方程左边是分式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D【考点2 等式性质】【典例2】（2022春•龙凤区期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（）A．由a＝b，得＝B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝﹣yC．由＝1，得x＝D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b【答案】D【解答】解：A．由a＝b，得＝，故A选项不符合题意；B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝y，故B选项不符合题意；C．由＝1，得x＝4，故C选项不符合题意；D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b，故D选项符合题意；故选：D．【变式2-1】（2021秋•渭城区期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（）A．若a＝b，则2a＝2b B．若2a＝3b，则2a﹣2＝3b﹣2C．若ac＝bc，则a＝b D．若＝，则2a＝2b【答案】C【解答】解：A．根据等式的基本性质，若a＝b，则2a＝2b，故A正确，那么A不符合题意；B．根据等式的基本性质，若2a＝3b，得2a﹣2＝3b﹣2，故B正确，那么B不符合题意；C．根据等式的基本性质，由ac＝bc，当c≠0，得a＝b，故C错误，那么C符合题意；D．根据等式的基本性质，若＝，则2a＝2b，故D正确，那么D不符合题意．故选：C．【变式2-2】（2021秋•庄河市期末）已知等式2a﹣3b＝9，则下列等式不成立的是（）A．2a＝9+3b B．2a﹣4＝9+3b C．D．3b＝2a﹣9【答案】B【解答】解：A、因为2a﹣3b＝9，所以2a＝9+3b，故A不符合题意；B、因为2a﹣3b＝9，所以2a﹣4＝9+3b﹣4，故B符合题意；C、因为2a﹣3b＝9，所以a﹣b＝，故C不符合题意；D、因为2a﹣3b＝9，所以3b＝2a﹣9，故D不符合题意；故选：B．【考点3含参一元一次方程】【典例3】（2021秋•禹州市期末）已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．3或1B．1C．3D．0【答案】B【解答】解：根据题意得：|a﹣2|＝1，解得a＝3或a＝1，因为a﹣3≠0，所以a≠3，综上可知：a＝1．故选：B．【变式3-1】（2021秋•巩义市期末）若使方程（m+2）x＝1是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．m≠﹣2B．m≠0C．m≠2D．m＞﹣2【答案】A【解答】解：由题意可知：m+2≠0，解得m≠﹣2．故选：A．【变式3-2】（2022春•漳州期末）若关于x的方程2x m﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：根据题意得：m﹣1＝1，解得：m＝2．故选：D．【典例4】（2022春•漳州期末）若x＝2是方程2x+a﹣5＝0的解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【答案】A【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣5＝0，解得：a＝1．故选：A．【变式4-1】（2021秋•许昌期末）已知x＝2是关于x的方程2x﹣a+6＝0的解，则常数a 的值是（）A．8B．10C．﹣8D．﹣10【答案】B【解答】解：把x＝2代入方程2x﹣a+6＝0得：4﹣a+6＝0，解得：a＝10，故选：B．【变式4-2】（2021秋•东莞市期末）若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（）A．10B．4C．﹣3D．3【答案】D【解答】解：把x＝2代入方程得：4×2+2m﹣14＝0，解得：m＝3，故选：D．【典例5】（2021秋•山西期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣8【答案】A【解答】解：∵x＝2是方程ax﹣b＝3的解，∴4a﹣2b＝6，∴4a﹣2b+1＝7，故选：A．【变式5】（2022•江津区一模）若x＝3是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+2a+2021值为（）A．2017B．2027C．2045D．2029【答案】D【解答】解：把x＝3代入方程a﹣bx＝4得：a﹣3b＝4，所以﹣6b+2a+2021＝2（a﹣3b）+2021＝2×4+2021＝8+2021＝2029，故选：D．【考点4 解一元一次方程】【典例6】（2021秋•潼南区期末）方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形正确的是（）A．5x﹣2x+1＝8B．5x﹣2x﹣1＝8C．5x﹣2x+2＝8D．5x﹣2x﹣2＝8【答案】C【解答】解：方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形得：5x﹣2x+2＝8．故选：C．【变式6-1】（2021秋•天桥区期末）解方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1）时，去括号正确的是（）A．3﹣x+6＝5x+5B．3﹣x﹣6＝5x+1C．3﹣x+6＝5x﹣5D．3﹣x﹣6＝5x﹣1【答案】C【解答】解：方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1），去括号得：3﹣x+6＝5x﹣5．故选：C．【典例7】（2022春•沙坪坝区期末）解方程﹣3时，去分母正确的是（）A．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3B．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×5C．5（2x﹣3）＝3×2x﹣3×15D．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15【答案】D【解答】解：解方程﹣3时，去分母得：3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15．故选：D．【变式7-1】（2022春•交城县校级期末）解方程，以下去分母正确的是（）A．3（x+1）﹣2x﹣3＝1B．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1C．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6D．3（x+1）﹣2x+3＝6【答案】C【解答】解：，去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．故选：C．【变式7-2】（2021秋•铁西区期末）解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝2x B．3（x+1）＝x C．x+1＝2x D．3（x+1）＝﹣2x 【答案】D【解答】解：解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，去分母得：3（x+1）＝﹣2x．故选：D．【典例8】（2021秋•三原县期末）代数式3x+1与互为相反数，则x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【答案】A【解答】解：根据题意得：3x+1+＝0，去分母得：2（3x+1）+（x﹣3）＝0，去括号得：6x+2+x﹣3＝0，移项合并得：7x＝1，解得：x＝．故选：A．【变式8-1】（2021秋•福田区校级期末）如果单项式﹣xy b与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3【答案】D【解答】解：∵单项式﹣xy b与x a y3是同类项，∴a＝1，b＝3，代入方程得：x+3＝0，解得：x＝﹣3．故选：D．【变式8-2】（2021秋•海淀区校级期末）如果3（x﹣2）与2（3﹣x）互为相反数，那么x 的值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解答】解：根据题意得：3（x﹣2）+2（3﹣x）＝0，去括号得：3x﹣6+6﹣2x＝0，移项得：3x﹣2x＝6﹣6，合并得：x＝0．故选：A．【典例9】（2021秋•秀英区校级期末）解下列方程：（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1）；（2）．【解答】解：（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1），4﹣x﹣3＝2x﹣2，﹣x﹣2x＝﹣2﹣4+3，﹣3x＝﹣3，x＝1；（2），21﹣7（2x+5）＝3（4﹣3x），21﹣14x﹣35＝12﹣9x，﹣14x+9x＝12﹣21+35，﹣5x＝26，x＝﹣．【变式9-1】（2022春•二道区期末）解方程：3（x﹣2）＝x﹣（8﹣3x）．【解答】解：去括号，可得：3x﹣6＝x﹣8+3x，移项，可得：3x﹣x﹣3x＝﹣8+6，合并同类项，可得：﹣x＝﹣2，系数化为1，可得：x＝2．【变式9-2】（2022春•常宁市期末）解方程：．【解答】解：2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6（x﹣1），4x﹣2﹣3x﹣3＝6x﹣6，4x﹣3x﹣6x＝﹣6+2+3，﹣5x＝﹣1，x＝．【变式9-3】（2021秋•邹平市校级期末）解方程（1）x﹣＝+1；（2）＝1；【解答】解：（1）去分母，可得：15x﹣3（x﹣2）＝5（2x﹣5）+15，去括号，可得：15x﹣3x+6＝10x﹣25+15，移项，可得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25+15﹣6，合并同类项，可得：2x＝﹣16，系数化为1，可得：x＝﹣8．（2）原方程可化为：﹣＝1，去分母，可得：30x﹣7（17﹣20x）＝21，去括号，可得：30x﹣119+140x＝21，移项，可得：30x+140x＝21+119，合并同类项，可得：170x＝140，系数化为1，可得：x＝．。

专题07 一元一次方程篇(解析版)

专题07 一元一次方程考点一：一元一次方程之概念1. 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程。

一般形式为：()00≠=+abax。

必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数。

②未知数的次数是1。

③是整式方程。

3. 方程的解与一元一次方程的解：是方程（一元一次方程）左右两边成立的未知数的值叫做方程（一元一次方程）的解。

1．（2022•贵阳）“方程””．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是　x+2y＝32　．【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，所以该图表示的方程是：x+2y＝32．考点二：一元一次方程之等式的性质1. 等式的性质：性质1：等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。

即：cb c a b a ±=±=，则性质2：等式的两边同时乘上（或除以）同一个（不为0的）数，等式仍然成立。

即：()()0≠÷=÷==c c b c a bc ac b a ，则。

2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A ．若c b c a =则a ＝bB ．若ac ＝b c ，则a ＝bC ．若a 2＝b 2，则a ＝bD ．若﹣31x ＝6，则x ＝﹣2【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、若＝，则a ＝b ，故A 符合题意；B 、若ac ＝bc （c ≠0），则a ＝b ，故B 不符合题意；C 、若a 2＝b 2，则a ＝±b ，故C 不符合题意；D 、﹣x ＝6，则x ＝﹣18，故D 不符合题意；故选：A ．3．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I 跟导体两端的电压U 、导体的电阻R 之间有以下关系：I ＝RU ，去分母得IR ＝U ，那么其变形的依据是（）A ．等式的性质1B ．等式的性质2C ．分式的基本性质D ．不等式的性质2【分析】根据等式的性质，对原式进行分析即可．【解答】解：将等式I ＝，去分母得IR ＝U ，实质上是在等式的两边同时乘R ，用到的是等式的基本性质2．故选：B．考点三：一元一次方程之解一元一次方程1. 解一元一次方程的步骤：①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。

专题一元一次方程的应用(知识大串讲)(解析版)

专题09 一元一次方程得应用（知识大串讲）【知识点梳理】考点1：和、差、倍、分问题此问题中常用“多、少、大、小、几分之几” 或“增加、减少、缩小” 等等词语体现等量关系。

审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

考点2：调配/配套问题从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分” 关系，要注意调配对象流动的方向和数量。

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：①既有调入又有调出；②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

考点3：行程中相遇、追及问题要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。

相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

①同时不同地：甲的时间=乙的时间，甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程②同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差，甲的路程=乙的路程③环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

考点4：流水行程问题船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是：顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。

⑤车上（离）桥问题： a 车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。

b 车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。

所走的路程为一个成长 c 车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 d 车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

一元一次方程应用(教师用)

一元一次方程应用(教师用)一元一次方程1、分配问题例如：某班学生要阅读一些图书，每人分3本则剩余20本，每人分4本则还缺25本。

问这个班有多少学生？变式1：某水利工地需要挖土和运土，48人每人每天平均挖土5方或运土3方。

如何安排人员，使挖出的土及时运走？变式2：某校组织师生春游，租用45座客车刚好坐满，租用60座客车可少租一辆，且余30个座位。

请问参加春游的师生共有多少人？2、匹配问题例如：某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。

为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？变式1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套。

现要在30天内生产最多的成套产品，问如何安排生产甲、乙两种零件的天数？变式2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。

一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。

现有100张白铁皮，如何制盒身和盒底，既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？3、利润问题1) 一件衣服的进价为x元，售价为60元，利润是多少元，利润率是多少？变式：一件衣服的进价为x元，若要利润率是20%，应把售价定为多少？2) 一件衣服的进价为x元，售价为80元，若按原价的8折出售，利润是多少元，利润率是多少？变式1：一件衣服的进价为60元，若按原价的8折出售获利20元，则原价是多少元，利润率是多少？变式2：一台电视售价为1100元，利润率为10%，则这台电视的进价是多少元？变式3：一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%。

这种商品每件标价是多少？变式4：一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以八折(标价的80%)出售。

结果获利28元。

这件夹克衫的成本是多少元？变式5：一件商品按成本价提高20%标价，然后打九折出售，售价为270元。

这种商品的成本价是多少？变式6：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%。

第三章-一元一次方程知识点归纳及典型例题]

一元一次方程知识点总结及典型例题一、【相关概念】1、方程：含的等式．．叫做方程 [1].2、方程的解：使方程．．．的等号左右两边相．．．等．的，就是方程的解．．．．[2]。

3、解方程：求．的过程叫做解．方程．．。

4、一元一次方程[3] 只．含有一个．．未知数（元），未知数的最．高次数是．．．．1．的整式方程叫做一元一次方程。

[基础练习]1☆选项中是方程的是（）A.3+2=5B. a -1>2C. a 2＋b 2－5D. a 2+2a-3=52☆下列各数是方程a 2+a+3=5的解的是（）A.2B. -2C.1D. 1和-23☆下列方程是一元一次方程的是（）A.x 2+1=5B. 3(m -1)-1=2C. x-y=6D.都不是4★若x=4是方程a x 2=4的解，则a 等于（）A. 0B. 21C.-3D.-25★★已知关于x 的一元一次方程a x －b x=m （m ≠0）有解，则有（）A. a ≠bB.a>bC.a<bD.以上都对 [1]由方程的定义可知，方程必须满足．．．．两个条件：一要是等式，二要含有未知数〖见基础练习T1〗。

[2]方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习T2〗，但一个一元一次方程有且．．只有．．一个解。

[3] 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）〖见基础练习T5〗。

一元一次方程，一定是整式方程（也就是说：等号两边的式子都是整式）。

如：3x －5=6x ，其左边是一次二项式（多项式）3x －5，而右边是单项式6x 。

所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了），如〖基础练习T3〗。

[4]▲分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程： 5.03-x －2.04+x =1.6 将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。

一元一次方程知识点总结

一元一次方程知识点总结一、一元一次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

- 一元一次方程的一般形式是ax + b=0(a≠0)，其中x是未知数，a是未知数的系数，b是常数项。

例如2x + 3 = 0就是一个一元一次方程，这里a = 2，b=3。

2. 方程的解- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

例如方程x+1 = 3，当x = 2时，方程左边=2 + 1=3，方程右边=3，所以x = 2就是方程x + 1=3的解。

二、一元一次方程的解法1. 移项- 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

例如在方程2x+3 = 5x - 1中，为了求解x，我们把5x移到左边变为-5x，把3移到右边变为-3，得到2x-5x=-1 - 3。

- 移项的依据是等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。

2. 合并同类项- 在移项后，我们需要对同类项进行合并。

例如在2x-5x=-1 - 3中，2x-5x=-3x，-1-3 = -4，方程就变为-3x=-4。

3. 系数化为1- 方程两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为1，从而得到方程的解。

在方程-3x=-4中，两边同时除以-3，得到x=(4)/(3)。

这一步的依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立。

三、一元一次方程的应用1. 列方程解应用题的一般步骤- 审：审题，理解题意，找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系。

- 设：设未知数，一般有直接设元和间接设元两种方法。

例如，若要求某个数，可直接设这个数为x；若通过某个数与其他数的关系来求解，可间接设与这个数有关的量为x。

- 列：根据题目中的等量关系列出方程。

- 解：解这个方程，求出未知数的值。

- 验：检验方程的解是否符合题意，包括是否满足方程本身以及实际问题中的条件。

上海六年级数学下册同步精练专题03 方程的解与一元一次方程(考点串讲)(教师版)

专题03方程的解与一元一次方程【考点剖析】1.方程的解和解方程⎧⎨⎩方程的解：使方程的左右两边的叫方程的解；解方程：求方程的解的过程知数的值；相等未2.一元一次方程(0)0(0)(0).ax b a ax b a b ax b a x a ⎧⎪=≠⎧⎪⎨⎪⎪+=≠⎩⎨⎪⎪⎪=≠=⎪⎩定义：只含有，并且未知数的次数是的；最简形式：表示形式标准形式：解一元一次方程步骤：去分母；去括号；移项；化成一个未知数一次方程；① ②③④⑤3.等式的性质⎧⎨⎩等式两边同时加上（减去）或，所得结果仍是等式；等式两同一个数同一个代数式同一个不等于零边同时乘以同一个数（或除以的数），所得结果仍是等式；①②4.一元一次方程的应用:==+=1+=+====.=1a b ⎧⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⎪⎪⨯⨯⨯⎪⨯⎪⎩步骤分配ax bx 利率本金利率期数折扣:审题；设元；列方程；解方程；检验；作答.问题：两个量之比为，则设这两个量为和;问题：利息；本利和本金利息本金（利率期数）问题：售价成本价；新售价原售价折扣.问题：路程速度时间；相遇路程时间；追及路程追及时间问题：工作时间（工作总量）利润行程速度和速度差工程工作效率①②③④⑤⑥【典例分析】例题1（奉贤2018期末4）把方程1123x x --=去分母后，正确的是（）A ．32(1)1x x --=；B ．6223=--x x ；C ．6223=+-x x ；D ．6223=-+x x .【答案】C；【解析】方程1123x x --=去分母后，得32(1)6x x --=，故答案选C.例题2（崇明2018期中12）方程532+=-x x 的解是．【答案】x=8；【解析】解：移项，得253x x -=+，所以8x =.例题3（宝山2018期末5）“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为.【答案】1202x -=；【解析】“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为1202x -=.例题4（杨浦2019期中14）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位.如果设学校宿舍有x 间，则根据题意，可列出的方程为：.【答案】4(5)3100x x -=+；【解析】如果每间宿舍住4人，则一共有住宿学生：4(5)x -人；如果每间宿舍住3人，则一共有住宿学生：3100x +人，因此列出方程为：4(5)3100x x -=+.例题5（崇明2018期中22）解方程：12()2203(1)2x x ++=--，并检验所求的解．【答案】【解析】解：去括号得：2122033x x ++=-+，移项得2320x x +=即4x =.检验：当4x =时，方程左边=12(4)2812112⨯++=++=，右边=203(41)-⨯-20911=-=，因此左边=右边，所以4x =是原方程的解.例题6（金山2018期中25）解方程：11%26%18%1x x +=-.【答案】18x =；【解析】解：去分母，得112618100x x +=-，移项得111810026x x -=--，合并，得7126x -=-，所以18x =.所以原方程的解为18x =.例题7（普陀2018期末20）解方程：534324y y +--=.【答案】2y =；【解析】解：去分母，得()()534342y y +--=⨯，去括号，得2103412y y +-+=，移项化简，得2y =．所以，原方程的解是2y =．例题8（松江2019期中8）如果方程10x +=与52m x +=的解相同，那么m =.【答案】-7；【解析】将1x =-代入52m x +=得7m =-.例题9（崇明2018期中26）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是几岁？【答案】8，30；【解析】解：设今年小红与爸爸的岁数分别是4x 和15x 岁.1533(43)x x +=+，2x =，则48,1530x x ==.答：今年小红与爸爸的岁数分别是8岁和30岁.例题10（崇明2018期中29）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则为2ba b a +=*（1）写出2*x；（2）试求方程3*(2*)1x =的解．【答案与解析】解：（1）22*2x x +=；（2）23223*(2*)3*122xxx +++===，解得，4x =-.所以原方程的解为4x =-.【真题训练】一、选择题1.（金山2018期中1）下列等式是一元一次方程的是（）（A ）18711=+（B ）010=-x （C ）042=-x （D ）355=-y x 【答案】B ；【解析】根据一元一次方程的定义，只有B 选项符合；而A 中无未知数，是一个等式，故A 错误；C 是一元二次方程；D 是二元一次方程；故选B.2.（杨浦2019期中16）下列各式中，是一元一次方程的是（）A.0x =； B.21x x +=；C.2(3)13y x -+=；D.11x x+=.【答案】A ；【解析】A 是一元一次方程；B 是一元二次方程；C 是两元一次方程，D 是分式方程，故选A.3.（杨浦2019期中18）由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了（）A.35x +；B.35x -；C.35x -+；D.35x --.【答案】C ；【解析】由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了35x -+.4.（松江2018期中19）A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是…（）(A )2(1)313x x -+=；(B )2(1)313x x ++=(C )23(1)13x x ++=；(D )23(1)13x x +-=.【答案】A.【解析】根据题意，A 种饮料花2(1)x -；B 种饮料花3x ，故得2(1)313x x -+=，故选A.5.（杨浦2019期中20）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米.如果甲在乙前面8米处同向出发，那么经过（）秒两人首次相遇？A.208；B.204；C.200；D.196.【答案】D;【解析】这是追及问题，设x 秒后两人首次相遇，则824008,196x x x -=-∴=秒.6．（浦东2018期末3）在如图的2018年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能．．．是（）（A ）72；（B ）69；（C ）51；（D ）27．【答案】A ；【解析】依题，设任意框出表中竖列上三个相邻的数为：,7,14(116)n n n n ++≤≤，故三数之和321n +，令32172n +=，解得17n =，不合题意；令32169n +=，解得16n =，符合题意；令32151n +=，解得10n =，符合题意；32127n +=，解得2n =，符合题意；故选A.二、填空题7．（普陀2018期中10）1x =______（填“是”或“不是”）方程24927x x -=-的解.【答案】是；【解析】将1x =代入方程得，左边=24195⨯-=-，右边=2175⨯-=-，左=右，故答案：是.8.（浦东四署2019期中10）方程3306x -=的解为.【答案】12x =；【解析】由方程得336x =，所以12x =.9.（金山2018期中16）已知，关于x 的方程431m x -=的解是3x =，那么m 的值等于.【答案】2.5；【解析】将3x =代入方程431m x -=中，得491m -=，所以52m =.10.（浦东四署2019期中9）4x =-是关于x 的方程17ax -=的解，则a=.【答案】2a =-；【解析】将4x =-代入关于x 的方程17ax -=得，417,2a a --=∴=-.11.（宝山2018期末6）如果方程522mx x -=-的解是1=x ，那么m 的值是.【答案】5；【解析】将x=1代入方程522mx x -=-，得522m -=-，所以m=5.12.（金山2018期中17）已知，甲、乙、丙三人的年龄之比为4:3:2，三人年龄之和为72岁，那么乙的年龄是岁.【答案】24；【解析】设甲、乙、丙三个的年龄分别为2x 、3x 、4x ，则2x+3x+4x=72，解得x=8，故乙的年龄为3×8=24.13.（松江2018期中12）已知长方形的长与宽之比是2:3，且它的周长是20cm ，则它的面积是_____2cm .【答案】24；【解析】设长方形的长与宽分别是3x 、2x ，根据题意得3x+2x=10，解得x=2，所以3x=6，2x=4，故长方形的面积为6×4=242cm .14.（松江2018期末8）设一件商品的原价为x 元，降价12%后的售价为176元，则可列方程为．【答案】x(1-12%)176=；【解析】根据题意，得x(1-12%)176=.15.（松江2018期中13）小明的妈妈往银行里存入5000元，到期需缴纳20%的利息税，两年后她得到税后利息400元。

一元一次方程（详细解析考点分析名师点评）

一元一次方程—一元一次方程的定义答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、下列方程中，是一元一次方程的是（）A、x2﹣4x=3B、x=0C、x+2y=1D、x﹣1=考点：一元一次方程的定义。

分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．解答：解：A、未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程；B、符合一元一次方程的定义；C、是二元一次方程；D、分母中含有未知数，是分式方程．故选B．点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．2、下列方程中是一元一次方程的是（）A、B、+4=3xC、y2+3y=0D、9x﹣y=23、下列各方程中，是一元一次方程的是（）A、3x+2y=5B、y2﹣6y+5=0C、x﹣3=D、3x﹣2=4x﹣7考点：一元一次方程的定义。

分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是1（次）的方程叫做一元一次方程，对定义的理解是：一元一次方程首先是整式方程，即等号左右两边的式子都是整式，另外把整式方程化简后，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）．解答：解：A、含有两个次数为1的未知数，是二元一次方程；B、未知项的最高次数为2，是一元二次方程；C、分母中含有未知数，是分式方程；D、符合一元一次方程的定义．故选D．点评：判断一元一次方程的定义要分为两步：（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）．4、下列方程中，属于一元一次方程的是（）A、x﹣3B、x2﹣1=0C、2x﹣3=0D、x﹣y=35、下列方程中是一元一次方程的是（）A、x+3=y+2B、x+3=3﹣xC、=1D、x2﹣1=0考点：一元一次方程的定义。

分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是1（次）的方程叫做一元一次方程．据此可得出答案．解答：解：A、含有两个未知数，是二元一次方程；B、符合一元一次方程的定义；C、分母中含有未知数，是分式方程；D、未知数的最高次数实2次，为一元二次方程．故选B点评：判断一元一次方程的定义要分为两步：（1）判断是否是方程；（2）对方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）．6、下列方程中，是一元一次方程的是（）A、﹣1=2B、x2﹣1=0C、2x﹣y=3D、x﹣3=7、下列方程是一元一次方程的是（）A、x2+2x=3B、﹣5=xC、x﹣y=0D、x=1分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．解答：解：A、是2次，故错误；B、不是整式方程，故错误；C、含两个未知数，故错误；D、正确．故选D．点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．8、下列方程中，一元一次方程是（）A、2y+1B、3x﹣5=xC、3x+7y=10D、x2+x=19、下列方程中是一元一次方程的是（）A、2x=3yB、7x+5=6（x﹣1）C、D、考点：一元一次方程的定义。

专题06 一元一次方程(归纳与讲解)(解析版)

专题06 一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。

2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1. 【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解． 2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .ab ＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是( )A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________． 7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝12⎝⎛⎭⎫x －43的解是正整数？题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程．参考答案1．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|m|－1＝1，m －2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a≠0，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－ba .将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016. 4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得6⎝⎛⎭⎫2×12＋m ＝3m ＋2，解得m ＝－43. 将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2；当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数． 9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20，得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20，去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20. 合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15. 10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1. 因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程题型1：利用倒数关系去括号9．解方程：32⎣⎡⎦⎤23⎝⎛⎭⎫x 4－1－2－x ＝2. 题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13⎣⎡⎦⎤x －13（x －9）＝19(x －9)．题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)．题型5：由外向内去括号13．解方程：13⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫13x －1－6＋2＝0. 题型6：由内向外去括号14．解方程：2⎣⎡⎦⎤43x －⎝⎛⎭⎫23x －12＝34x. 参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8. 系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 . 2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18. 系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1. 3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06. 解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x. 解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x3.移项、合并同类项，得x2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化． 6．解：拆项，得⎝⎛⎭⎫x －x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3－x 4＋⎝⎛⎭⎫x 4－x5＝1. 整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727. 点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便． 9．解：去括号，得x4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：去中括号，得112⎝⎛⎭⎫13x －1－2＋2＝0.[来源:学科网] 去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1，可得：a -2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（） A ．1200x ＝2000（22﹣x ） B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ） C ．1200（22﹣x ）＝2000x D ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母①可知螺母的个数是螺钉个数的2倍①从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000①22-x ），即2×1200x=2000①22-x①①故选D① 【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，由题意得：80%x ﹣120=20%×120，解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（） A ．17道 B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x -(25-x)=70，解得x=19 故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；①235=3x x x -+；①211x +=；①21=x；①23x +；①4x =．其中是一元一次方程的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【详解】解：①不含未知数，故错 ①未知数的最高次数为2，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ①左边不是整式，故错 ①不是等式，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x --+=--，以下去分母正确的是（）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x - 即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（） A ．9- B ．9 C ．1- D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=，解得1a =．故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（） A ．65x =- B ．2233+=+x xC ．21133x x x x -=-- D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解．【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误； B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误； C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解． 5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．【详解】解：设幻方正中间的数字为a ，依题意得：124a m a ++=++，解得：5m =．故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________. 【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得．【详解】解：2x -3=5，移项得2x =8，系数化为1得：x =4，故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________．【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①2(4)|12|0a b ++-= ①a ＋4＝0，b −12＝0 解得：a ＝−4，b ＝12①A 表示的数是−4，B 表示的数是12 设数轴上点C 表示的数为c ①AC ＝3BC ①|c ＋4|＝3|c −12| 当点C 在线段AB 上时则c ＋4＝3（12−c ）解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时则c ＋4＝3（c −12）解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-．【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案. 【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-. 移项及合并同类项，得21x =-. 系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键. 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，①m+3m−28=20．①该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（） A ．54573x x +=+ B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x-=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为 54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（） A ．0 B ．11 C ．7- D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得．【详解】解：①()()2132x x +++的值为8， ①2x +2+3x +6=8， ①x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（） A ．2m n m += B ．0-=m n C ．22m x n x -=- D ．235m n n -=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立； 0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341()()32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（） A ．0 B ．1 C ．23a a -- D ．32a a -- 【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可．【详解】解：设被污染的部分为p ，则341()()232a a p a a a -+-=+--， ①241()232a p a a a --=+--， ①()()()132222a p a a a a --=+⨯--+， ①3122a p a a -=+--， ①22a p a -=-， ①1p =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则． 5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（） ①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．①若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．①若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+． ①若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==． A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断①；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断①；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断①．【详解】解：①262(3)x y x y +=+， ①如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数， ①107为奇数，①24107x y +=不存在整数解，故①错误； 442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=①22a b =，①实数a 、b 不相等，①a 、b 互为相反数，故①正确； 2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=①20a c b +-=，即2a c b +=，故①正确； ①222x yz y xz z xy ---==①2222x xz y yzy xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩， ①2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，①11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，①x y z ==或0x y z ++=，故①不一定正确．综上可知正确的有①①．故选B．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，解得：x=4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值，； ①求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是．【答案】(1)①-2，6；①64 (2)3 (3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，①把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论．（1）解：①①()2620c a -++=， ①20a +=，60c -=，解得2a =-，6c =．故答案为：-2，6．①把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：①b 是最小的正整数，①1b =，①线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2，解得：n =3．①与点B 重合的点表示的数是3．故答案为：3．（3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论： ①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-，解得4x =(不符合题意，舍去)；①若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-，解得0x =；①若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)，解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4．故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。