4.1.2 成比例线段 (二)

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第四章《成比例线段》课件(共张ppt)22-23学年北师大版数学九年级上册数学

3 .已知三个数2，3，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 1或4或9 .
课堂小结
如果你是一位数学老师，本节课你想对你的学生说......
作业布置
必做题：习题4.1 1.2 选做题：观察不同型号的国旗，测量并计算每个国旗的宽与长之比。
课后寄语
冰冻三尺非一日之寒，滴水穿石非一日之功！
思考1：如果a、b、c、d 四个数成比例，即 a c ，
bdFra Baidu bibliotek
那么ad＝bc 吗？你是怎样思考的？
思考2：如果ad＝bc ，那么 a c 吗？你是怎样思考的？
bd
这时有什么样的条件限制吗？
ac bd
ad bc
跟进训练：
如果4x
10
y, 那么
x
5
__2___
y
注意：结果应是最简比
例如图，一块矩形草坪的长AB=a m,宽AD=4m，按照图中
2.掌握比例的基本性质并能应用比例的基本性质解决问题.
新知探究一
一.线段的比自学指导：
自学课本77页第二段内容,完成以下问题（1分钟）：
1. 举例说明两条线段之比,并指出比的前项和后项。
2.两条线段之比本质是它们的长度之比。
小试牛刀
1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则 AB
CD

4.1比例线段(2)

做一做：
1.如图是一块含45°角的三角尺。（1）求图中
AB BC CA ?
A A1
A （2）判断线段AB，AC， 1 B1 , A1C1 是否成比例，并说明理由。
C
C1
B1
B
2.如图，DE是△ABC的中位线，请尽可能多的写出 A 比例线段 D E
B
C
例2.如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边 AB上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由
A O B E C
AD AE 3 DB EC 2
AB EC AB , , ,求 DB AE AD
D
3.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
4.如图，尽可能多地找出成比例的线段，并写出比例式
5.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且 AE AD ，AE=2AD，CE=AD=2，求AB的长. AB AC
4.1.2比例线段
要点
线段比比例线段面积法
ห้องสมุดไป่ตู้ 比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5

4.1-2成比例线段-性质

学习目标:

1．经历探索、猜想的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能理解比例线段的性质。

3．能灵活运用比例线段的性质解决问题。

学习重点:

理解并灵活运用等比性质与合比性质。

教学难点:

等比性质与合比性质的证明理解。

学习过程

（一）自主学习：

1.阅读P79页课文,说说你是如何求出

AB +BC+CD +AD HE +EF+FG+HG 的值的?尝试写出求解过程:

阅读P80页的议一议,在题设的条件下，你认为等式

a+c+e b+d+f =a b 成立吗?说说你的理由.

等比性质: 且

性质应用：

1.已知d c b a ==f

e =2且0b d

f ++≠,则（1）

f d b e c a ++++=,（2）f

d b

e c a +-+-=; （3）

f d b e c a 3232+-+-=;（4）f b e a 55--=. （二）交流合作：

1.交流在自学过程中的两个问题的说明方法，互相学习，取长补短。

2.如何直接并灵活运用等比性质？你是怎么想的？

（三）精讲释疑：

例1.在△ABC 中和△A ‘B ’C ‘中，

53''''''===C

A AC C

B B

C B A AB 且△A ’B ’C ’的周长为50，求△ABC 的周长

例2. （合比性质）已知d c b a ==3,求b b a -和d d c -,b b a -=d

d c -成立吗？

（四）练习：

1.完成P80随堂练习。

2. 若==+y

x y y x 则,917 ；若89a b =-，则32 a b b += 如果

k b

a c c a

c b a =+=+=+，且a+b+c 0≠.则k 的值为（） A ． 31 B. 21 C. 2

4.1线段的比(2)

线段的比(2)
回顾 & 思考
☞
什么叫做两条线段的比呢?
a∶b = m∶n 或a
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为 m ,n .那么两条线段的比
m b n
其中a，b分别叫做这个线段比的前项和后项.
m a 如果把表示成比值k , 那么 k , 或a k b. n b
q n p n C. B. m p m q
m p D. n q
选做题
小结
探究 & 学习
☞
AB BE 已知 : 如图, , AD EF AB 10cm, AD 2cm, BC 7.2cm, E是BC 中点,
拓展知识我能行
B F E
求 : EF , BF 的长 ? D 解 : E是BC 中点, C A 1 BE BC 3.6, BF BE EF 2 AB BE 3.6 0.72 2.88(cm). 又 , AD EF 10 3.6 即 , 你真棒 2 EF 3.6 2 EF 0.72;
实践出真知
概念
应用
判断下列四条线段是否成比例．不知你是 1.a 2, b 5 , c 15 , d 2 3; 否注意到: 2.a 2 , b 3, c 2, d 3; 比例与叙述的顺序 3.a 4, b 6, c 5, d 10; 有关 4.a 12, b 8, c 15, d 10.

3.1成比例线段(二)教学设计

第三章图形的相似

1．成比例线段（二）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：

这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。

学生活动经验基础：

上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。

难点处理：

比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。

二、教学任务分析

教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。

4.1 成比例线段

第四章图形的相似

第一节成比例线段（一）

一、知识回顾

1、全等的图形：能够完全的两个图形叫做全等图形。

2、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除）以的整式，分式的值不变。

二、自主学习

1、形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“ ”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“ ”得到的。

2、线段的比:选用同一个长度单位．．．．．．．

量得的两条线段的的比。如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD = ,或写成

=CD AB 。其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的和。如果把n m 表示成比值k ,那么=CD

AB ,或AB = 。注意：在量线段时要选用同一个长度单位.线段的比是一个没有单位的整数；在m :n （或

n m ）中，我们称m 为比的前项，n 为比的后项。

3、比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做，简称。线段 a 、d 叫做比例外项，线段 b 、c 叫做比例内项，当两个比例内项相等时，

b b a =或 a ：b =b ：

c ，那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.

4、比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为。注意：比例尺实际上是两条线段的比，表示比例尺时顺序不能颠倒，必许是图上长度与实际长度的比，在求比例尺时，图上长度与实际长度的单位必须统一。

模块二合作探究

4.1成比例线段

2、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？
3、练习已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中 a=4,b=5,c=10，求线段d的长。
ad=bc
a c bd
比例的基本性质
比例的两个外项之积等于两个内项之积.
ac bd
ad=bc
（a，b，c，d都不为零）
b,c叫比例内项。
如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
记为：
比例外项
a：b=c：d 或
ac
bd
比例内项
d叫做a，b，c的第四比例项
点评：四条线段a,b ,c,d成比例，有顺序关系。即
a,b,c,d成比例线段，则比例式为：a:b=c:d；a,b, d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c
两条线段的比实际就是两个数的比。
怎样来刻画两个相似图形的大小关系？
用比值来刻画两个相似图形的大小关系
比的前项
比的后项
单位长度单位
长度单位
【二】探究二：阅读课本77页并完成学案探究二中的第一问
1、概念（1）一般地，在四条线段a, b ,c ,d中，如果a与b的比等
于 c 与d 的比，那么这四条线段叫做成比例线段（2）四条线段成比例，记作a:：b =c :d , 其中a,d叫比例外项，

2024-2025学年度北师版九上数学4.1成比例线段(第二课时)【课外培优课件】

（1）求 k 的值；

解：（1）∵ ＝＝＝3，

3
−
∴ ＝＝＝3.

3
−
又∵ b ＋3 d － f ≠0，
∴由等比性质，得 k ＝
＋3−
＋3−
＝3.
数学九年级上册 BS版
（2）若 x 1， x 2是方程 x 2－3 x ＋ k －2＝0的两根，求 12 ＋ 22
−
②当 a ＋ b ＋ c ＝0时， k ＝
＝＝－1，

∴ y ＝－ x －1，其图象经过第二、三、四象限.
综上所述， y ＝ kx ＋ k 的图象一定经过第二、三象限.
数学九年级上册 BS版
12.

＋3−
已知＝＝＝3，且 k ＝
（ b ＋3 d － f ≠0）.

＋3−
数学九年级上册 BS版
13.

＋
（选做）我们知道：若＝，且 b ＋ d ≠0，则＝＝
.

＋
（1）若 b ＋ d ＝0，则 a ， c 满足什么关系？
解：（1）∵ b ＋ d ＝0，
∴ d ＝－ b .

又∵ ＝，

4.1 成比例线段第二课时导学案

丹东市第二十四中学 4.1 成比例线段第二课时

主备：李春贺副备：曹玉辉孙芬审核： 2014年9月2日一、学习准备：

1．已知a:b=3:2,且a-b=10，则a+b = . 2．若

=y x 3，则=x y ； =y x 2 ；=-y y

x 2

3．已知

345c b a ==，则=+--+c

b a

c b a 32 . 二、学习目标：

1.、知道比例的基本性质，能进行证明和运用. 2、知道合分比性质，能进行证明。. 3、知道等比性质，能进行证明。 4、能简单运用比例的三个性质解决问题。三、自学提示：（一）合作探究：

1.通过自主探究，归纳总结出比例的基本性质，完成目标一。

（1）思考：1：若a,b,c,d 四个数满足d c

b a =, 那么ad =b

c 吗？与同伴交流.

根据等式的基本性质，两边同时乘以（）,得ad=bc,

（2）思考 2：若ad =bc (a,b,c,d 都不为0），那么d c

b a =吗？

根据等式的基本性质，两边同时除以（）,得

b a =. 比例的基本性质：

【练一练】1、若3a=5b,那么a ∶b=_________. 2、a ∶b=4:7，那么_________. 2、通过小组合作探究，归纳总结出合比性质，完成目标二。

（1）如图，已知d c b a ==3,则

b b a +=d

c +吗？

（2）如果d

b a ==k （k 为常数）

，那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？（3）如果d

c b a =,那么

d d

c b b a -=

-成立吗？为什么？

数学北师大版九年级上册成比例线段(二)说课稿

《成比例线段（2）》说课稿

说课教师:徐国飞

尊敬的各位专家、领导、老师：

大家好！

首先感谢领导给我这次展示的机会，同时也感谢第四中学的大力配合和支持，下面我就本节课说说我的设计思路，希望得到专家和同行们的点评与指导。

一、教材分析

（一）教材的地位和作用：

本节内容是北师大版九年级数学上册第四章第一节成比例线段第2课时，在此之前学生已学习了线段的比，成比例线段和比例的基本性质等相关知识，这为进一步研究比例的性质打下了基础。本节课比例性质的研究也是我们今后解决比例相关问题的重要依据，因此，比例性质的研究为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础，也为今后利用比例解决实际问题有着重要的作用。

（二）教学目标：

根据《新课程标准纲要》对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为：

1．知识与技能目标：知道线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的性质及其简单应用。

2．过程与方法目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。

3．情感与态度价值观目标：培养数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系，进一步发展学生的探究、合作交流意识。

（三）教学重点与难点

重点：让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用。

处理方法：我将充分运用多媒体教学手段，设置问题、让学生展开小组实验、讨论、探究，教师演示和强调，突出重点。

难点：教学难点：运用比例的性质解决有关问题。

处理方法：我将通过设问和强调方式，引导和提醒学生找到运用知识的突破口，讲解必要的解题方法和技巧，此外通过典型例题的发展性作用，逐步突破难点。

北师大数学九上课件4.1成比例线段(2)

初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
北师大版九年级(上)
4.1成比例线段(2)
问题情境
已知：如图，矩形ABCD与矩形HEFG长的比为 2∶1，宽的比也为2∶1。
A
D
H
G
B
C
E
F
小明和小颖利用这两个矩形探究相关性质。小明量得矩形矩形ABCD的周长是10cm，小颖猜测：矩形 HEFG的周长是5cm。你认为小颖的猜测正确吗？
b

c
d
d
,
你认为这个结论正确吗？为什么？
由 a c k 得 a kb, c kd bd

ab b

kb b b

(k
1)b b

k
1
cd d

k
d
d

(k
1)d d
k 1

a
b
b

c
d
d
你能证明吗a ？b b

c
d
d
a
b
b

c
d

e f

m n
(b

d
n 0)
。a b
c d
m n

a b
2、合比性质：
如果，那么a 。 c bd

浙教版九上 4.1 比例线段(2) 课件

答:树AB的高为12米
小结: 1. 比例的性质
a c (1)比例基本性质 = b d a b = b c
ad=bc b2=ac
a c a b c d (2)合比性质:若 = 则 = b d b d
作业:
•
同步训练
说明：
a c 1.式子 = 或 a:b=c:d叫比例式 b d
2.比例式中，项的次序不可任意改变。如d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、 a的第四比例项的意义是不同的。
a c b a 比例式分别是 = ， = b d c d
3.和一般的数构成的比例式不同，由线段构成的比例式的各项均为正数。
4.1比例线段(2)
a c 在 b = d 或a:b=c:d中，a、d叫比
例外项，b、c叫比例内项，d叫a、 b、c的第四比例项。
在
a b = b c
或a:b=b:c中，b叫a、
c的比例中项。
合比性质:
a c a+b c+d 如果 = , 那么 = b d b d
分比性质:
a c a-b c-d 如果 = , 那么 = b d b d
例4 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
a 1 = c 2 a d d 3 1 = = c=b b 6 2

4.1 成比例线段第2课时等比性质

第三章
图形的相似
第2课时等比性质
1、成Fra Baidu bibliotek例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎的值吗？如果 , 那么与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么成立吗？为什么？ bd f b
比例基本性质
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d a c m a c m a 如果 (b d n 0), 那么 . b d n b d n b
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求与； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ，理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC

八下 4.1.2线段的比教学设计(于海峰)

§4.1.2 线段的比

学习目标：⒈知道什么是成比例线段，掌握比例的基本性质及其简单应用。

⒉掌握设比值法，熟练运用合比性质和等比性质。

学习过程：【探究一】回顾坐标系中图形的变化，思考下面问题：图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；图（2）中的鱼是将图（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.那么两个鱼发生了什么变化？

填空：（1）线段CD = ，HL= ，OA = ，OF= ，BE = ，GM=

（2）线段HL CD = ，OF OA = ，GM

BE = 。这些比值相等吗？（3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？

知识点一：成比例线段

四条线段a ，b ，c ，d 中，如果与的比等于与的比，

即 = ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。学以致用：1、下列各线段的长度成比例的是( )．

A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cm

B ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm

C ．3cm ，6cm ，7cm ，9cm

D ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm

2、边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例，则这条线段为____ _cm 特别注意：①线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. ②若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段。 ③线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如

直角三角形中成比例线段(二)

直角三角形中成比例线段（二）

一、教学目的和要求

1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。

2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。

二、教学重点和难点

掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。

三、教学过程

（一）复习、引入

直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。

（1）两锐角互余

（2）勾股定理

（3）斜边中线等于斜边一半

（4）︒30角所对的直角边等于斜边的一半

（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似

（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。

（二）新课

今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。

我们知道ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1）

CB AC CBD ACD BC AB CBD ABC AC AB ACD ABC ∆∆∆∆∆∆,~)3(,~)2(,

~)1(边的比例式改写成等积式是(1)AB BD BC AB AD AC ⋅=⋅=22)2(中AD BD CD ⋅=2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系

分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。

4.1_比例线段(2)

１、设线段AB＝2cm，AC＝4cm,
1 两条线段的长度比是 2：4＝ 2
两条线段之比单位要统一
2、设线段AB＝200cm，AC＝4m, 两条线段的长度比是 200 200：：４＝ 400＝
1 2
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
记作:
AB 1 AC 2
1 1 B′
A′
复习回顾
四个数 a、b、c、d 中，如果
（或a：b=c：d）， b 那么这四个数a、b、 c 、 d 成比例
a、d 叫做比例外项，
a
=d
c
b、c 叫做比例内项，其中 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
比例的基本性质
a c b d
ad bc
（a,b,c,d都不为零）
即：比例的外项之积等于内项之积.
A
B
图中还有其他比例线段吗？
1 2 A B = = 2 A′B′ 2 2 1 5 A C = = 2 A′C′ 2 5
C
AB AC ' ' C′ ∴ ' ' AB AC
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即，那么这四条线段叫做成比例线段， b d
简称比例线段．
例6，如图表示我国台湾省几个城市的位置关系，测得基隆市到高雄市的图上距离约为 o 35mm，∠1=28 . 问基隆市在高雄市的哪个方向？到高雄的实基隆际距离是多少km?