统计学-双因素
统计学双因素方差分析论文
关于林业部门对松树的不同树种在不同地区的生长情况的数据分析———--—－统计学双因素方差分析摘要：松树，又名常青树,顾名思义它四季都是绿色的,使人们四季都能有春天的感觉。
它不仅有很高的观赏价值,还很坚固顽强，常年不死。
因此如果在城市种植的话,不但可以供市民观赏,而且它的存活机率高,便于林业部门打理。
但它的种类繁多,而且不同地区的土壤也是有差别的,林业部门想根据其生长的直径,考虑不同的树种和不同的地区对它的生长状况有怎样的影响。
采用双因素方差分析方法。
关键词:双因素方差分析直径 SＰSＳ软件正文:一、引文:松树,又名常青树,顾名思义它四季都是绿色的，使人们四季都能有春天的感觉．它不仅有很高的观赏价值，还很坚固顽强，常年不死。
但它的种类繁多，而且不同地区的土壤也是有差别的，林业部门想根据其生长的直径，考虑不同的树种和不同的地区对它的生长状况有怎样的影响。
采取的分析方法:有重复双因素方差分析，单因素方差分析。
分析过程应用了Ｅxcel 20０3 软件和ＳＰSS 统计学软件。
二、统计学分析方法的理论依据：方差分析(AＮOVA)是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型数据自变量对数值型因变量是否有显著影响。
双因素方差分析法是一种统计分析方法,这种分析方法可以用来分析两个因素的不同水平对结果是否有显著影响,以及两因素之间是否存在交互效应。
因为在实际应用中,一个试验结果(试验指标）往往受多个因素的影响。
不仅这些因素会影响试验结果,而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
一般运用双因素方差分析法，先对两个因素的不同水平的组合进行设计试验,要求每个组合下所得到的样本的含量都是相同的。
在本分析中,我们所研究的因素是地区和松树种类，水平是不同的地区和不同的松树。
本分析中使用的有重复双因素方差分析方法即有交互作用的双因素方差分析方法。
有交互作用的双因素方差分析处理方法:把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配A i B ｊ看作一个总体X ｉj .基本假设:(1)X ij 相互独立；(2)X ij ～ N(μi ｊ,σ2）,(方差齐性）。
统计学第九章双因素和多因素方差分析
a
2
A因素误差平方和 SSA bn yi y
i1
B因素误差平方和
b
SSB an
2
y j y
j1
AB交互作用误差平方和
a b
SSAB n
yij yi y j y 2
i1 j1
随机误差项平方和
┆
…
┆
Aa 和
ya11 ya12 ┆ ya1n
y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n
y.2.
… …
yab1 yab2 ┆ yabn
y.b.
和 y1..
y2.. ┆ ya.. y…
（二）观测值的描述
对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
yijk i j ij ijk
a i 1
bn
y2 ij k j1 k 1
1 n
a i 1
b
y2 ij j 1
SST
SSA
SSB
SSAB
（五）各项均方的计算
MS T
SST dfT
SST abn 1
MS A
SS A df A
SS A a -1
MS B
SSB d在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的 判断
P 171
用不同原料与不同温度发酵的酒精产量
原
料
种
类
双因素随机效应模型
在现代社会的诸多领域中，我们常常面临着复杂的现象和数据，需要运用科学的方法来进行深入的分析和理解。
双因素随机效应模型作为一种重要的统计学模型，以其独特的优势和广泛的适用性，成为了研究者们探索复杂现象背后规律的有力工具。
双因素随机效应模型的核心概念在于它能够同时考虑两个因素对研究对象的影响，并且将这些影响视为随机的。
这种模型的建立基于对数据的深入观察和分析，旨在揭示不同因素之间的相互作用以及它们对研究结果的不确定性贡献。
从模型的构建过程来看，首先需要明确研究的问题和所涉及的因素。
通常情况下，我们会有一个主要因素，它被认为是对研究结果具有主导性的影响，同时还可能存在一些次要因素，这些因素虽然可能对结果产生一定的影响，但相对较弱或者具有一定的随机性。
通过对数据的收集和整理，将这些因素与研究结果进行关联，构建起相应的模型框架。
在双因素随机效应模型中，一个重要的特点是将因素的影响视为随机的。
这意味着我们不能简单地认为因素的作用是确定的和可预测的，而是存在一定的不确定性。
这种不确定性可能来自于多种因素，例如数据的采集过程中的误差、研究对象的个体差异、外部环境的干扰等等。
考虑到因素的随机性，模型可以更好地捕捉到这些不确定性对研究结果的影响，从而提供更准确和全面的分析结果。
对于主要因素的影响，双因素随机效应模型通过一系列的统计方法来进行估计和检验。
通过参数估计，我们可以确定主要因素对研究结果的具体效应大小和方向，以及这种效应在不同条件下的变化趋势。
利用假设检验，我们可以检验主要因素的显著性，判断它是否对研究结果具有显著的影响。
这些统计方法的运用使得我们能够对主要因素的作用有清晰的认识和理解。
而对于次要因素的影响，虽然它们相对较弱，但也不能被忽视。
双因素随机效应模型通过适当的统计分析方法来考虑次要因素的存在及其可能的交互作用。
通过分析次要因素与主要因素之间的关系，以及它们与研究结果之间的相互影响，我们可以更好地理解整个研究系统的复杂性。
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
第九章双因素和多因素方差分析
第九章双因素和多因素方差分析引言方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
双因素和多因素方差分析是方差分析的扩展，允许考虑两个或多个自变量对因变量的影响。
本文将介绍双因素和多因素方差分析的概念、假设检验、模型构建等内容。
双因素方差分析双因素方差分析主要用于对两个自变量对因变量的影响进行分析。
其中一个自变量称为因子A，另一个自变量称为因子B。
通过双因素方差分析，我们可以了解到两个自变量对因变量的主效应以及交互效应。
假设检验进行双因素方差分析时，我们需要对两个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。
主效应是指每个因子对因变量的影响，交互效应是指两个因子之间是否存在相互影响。
在进行双因素方差分析时，我们需要提出以下假设：•零假设H0: 两个因子对因变量没有主效应和交互效应•备择假设H1: 至少一个因子对因变量有主效应或交互效应然后，我们可以通过方差分析结果的显著性检验来判断是否拒绝零假设。
模型构建双因素方差分析可以通过构建线性模型来进行。
通常，我们使用以下模型进行双因素方差分析：Y = μ + α + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α表示因子A的主效应，β表示因子B的主效应，(αβ)表示交互效应，ε表示误差。
通过对数据进行拟合并计算模型中的各个参数，我们可以得到双因素方差分析的结果。
多因素方差分析多因素方差分析是对多个自变量对因变量的影响进行分析。
多因素方差分析可以包含两个以上的自变量，并且可以考虑每个自变量的主效应和交互效应。
假设检验进行多因素方差分析时，我们同样需要对每个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。
假设检验的步骤与双因素方差分析类似。
模型构建多因素方差分析的模型构建与双因素方差分析类似，但是需要考虑多个自变量的影响。
Y = μ + α1 + α2 + … + αn + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α1, α2, …, αn表示各个自变量的主效应，β表示交互效应，(αβ)表示两个或多个自变量之间的交互效应，ε表示误差。
统计学02-第三讲 双因素方差分析_13
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
▪ 行因素的均方，记为MSR，计算公式为
MSR SSR k 1
▪ 列因素的均方，记为MSC ，计算公式为 MSC SSC r 1
▪ 误差项的均方，记为MSE ，计算公式为
MSE SSE (k 1)(r 1)
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算检验统计量(F)
kr
xij x 2
i1 j1
k r
kr
x x x x
kr
xi. x 2
x. j x 2
ij
i.
.j
i1 j1
i1 j 1
i1 j1
SST = SSR +SSC+SSE
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
▪ 误差平方和除以相应的自由度 ▪ 三个平方和的自由度分别是
• 总误差平方和SST的自由度为 kr-1 • 行因素平方和SSR的自由度为 k-1 • 列因素平方和SSC的自由度为 r-1 • 误差项平方和SSE的自由度为 (k-1)×(r-1)
r-1
MSC MSC
MSE
误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
双因素方差分析
(例题分析)
提出假设 对品牌因素提出的假设为
• H0：1=2=3=4 (品牌对销售量无显著影响) • H1：i (i =1,2, … , 4) 不全相等 (有显著影响)
对地区因素提出的假设为
• H0：1=2=3=4=5 (地区对销售量无显著影响) • H1：j (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
态分布总体的简单随机样本
统计学第九章 双因素和多因素方差分析
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：df =abn-1
T
A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
a b i=1 j =1
n
2
SSe= ∑∑∑yijk
i=1 j =1 k =1
a
b
2
1 a b 2 − ∑∑yij• = SST − SSA − SSB − SSAB n i=1 j=1
（五）各项均方的计算
MS
T
SS T SS T = = df T abn − 1
MS
A
SS A SS A = = a -1 df A
x9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 33.5** 30.5** 29.75** 22** 19** 11.5 2.75 2.5
x8
31** 28** 27.25** 19.5** 16.5** 9 0.25
x7
30.75** 27.75** 27** 19.25** 16.25** 8.75
A因素误差平方和
SSA = bn∑(yi•• − y••• )
i=1
a
2
B因素误差平方和 SSB = an∑(y• j• − y••• )
b j=1
2
AB交互作用误差平方和
SSAB = n∑∑(yij• − yi•• − y• j• + y••• )
双因素分析的作用
双因素分析的作用
双因素分析是一种统计方法，用于分析两个或多个因素对一个或多个变量的影响。
双因素分析的作用包括:
1. 确定两个或多个因素之间的交互作用：通过双因素分析，可以确定两个或多个因素之间是否存在交互作用。
这对于理解变量之间的关系以及预测其未来的变化非常重要。
2. 验证两个或多个因素对变量的主效应：双因素分析可以帮助确定两个或多个因素对变量的主效应，即每个因素对变量的独立影响。
这对于确定哪些因素对变量有重要影响非常重要。
3. 解释变量之间的相互作用：通过双因素分析，可以确定两个或多个因素之间的相互作用是如何影响变量的。
这对于理解变量之间的关系以及它们是如何相互作用的非常重要。
4. 预测变量的未来变化：通过双因素分析，可以使用已有的数据来预测未来变量的变化。
根据已有的因素和变量之间的关系，可以使用双因素分析来预测未来的变化趋势。
总的来说，双因素分析是一种有力的统计分析方法，用于确定因素之间的关系和
预测变量的变化。
它可以帮助统计学家和研究人员更好地理解和解释数据，并作出相应的决策和预测。
统计学-双因素
r-1
MSC=SSC/(r-1)
FC ＝ MSC/MSE
FRC ＝ MSRC/MSE
4
交互作用
SSRC
(k-1)(r-1)
MSRC=SSRC/ (k-1)(r-1)
5
误差
SSE
kr(m-1)
MSE=SSE/ kr(m-1)
6
总和
SST
n-1
设:
xijl为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l行的观测值 ；
(3)统 计 决 策（一）
计算出F统计量后再根据给定的显著性水平和两个自由度，查F分 布表得到相应的临界值F。 若FR>F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的行因素对观察值有显著影响。 若FC > F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的列因素对观察值有显著影响。 （二） (行)P-value﹤α则拒绝原假设H0.反之则不拒绝。
SST xij x
x
的误差平方
2
行因素误差平方和 ：
SSR xi. x
i 1 j 1
k r i 1 j 1
i 1 j 1 k r
2
列因素误差平方和 ：
SSC x. j x
k r
2
随机误差项平方和：
SSE xij xi. x. j x
10.3
双因素方差分析
A
当方差分析中涉及两 个分类型自变量时。
B
方 什么是“双”因素 差
分析 ？
10.3.2无交互作用的双因素方差
A
B
无交互作用：独立
无交互作用双因素数据结构
Xij：是由行因素的K个水平（i=1，2，……，k）和列因素的R个水 平（ i=1，2，……，r）所组和成的k×r个总体中抽取的样本量为1 的独立随机样本。而k×r个总体中的每一个总体都服从正态分布且 有相同的方差。
统计学0716双因素方差分析
MSA
S
2 A
r 1
MSB
S
2 B
s 1
MSE
S
2 E
(r 1)(s 1)
，影响试验指标的因素往往不只一 到多因素方差分析。本部分讨论双 。 显著，还要考察这两个因素联合起 用。交互作用只存在于等重复试验 重复试验时，才能分析出两因素之
只做一次试验。所得结果如下表：
Bs X1s X2s … Xrs
根据随机变量F分布的定义，若随机变量X～X2(m),Y～X2(n)，则：
F X / m ~ F(m, n) Y /n
综合定理4，则当H01成立时，有：
当H02成立时，有：
FA
S
2 A
2/r1源自S2 E/(r -1)(s
- 1)
MSA MSE
~
F (r 1, (r 1)(s -1))
2
FB
S
2 B
/ s 1
二、双因素无重复试验的方差分析
所谓双因素无重复问题，就是对因素A，B的每一对组合（Ai，Bj）只做一次试验。所得结果如下表
B1
B2
...
Bs
A1
X11
X12
…
X1s
A2
X21
X22
…
X2s
…
…
…
…
…
Ar
Xr1
Xr2
…
Xrs
（一）确定数学模型
由于无重复试验中不存在交互作用，此时γij=0（i=1,2,…,r;j=1,2,…,s），故其数学模型如下：
（六）双因素等重复试验方差分析计算表
双因素无重复方差分析计算表
方差来源 因素A 因素B 误差E 总和T
第八章_两因素试验的统计分析
品种间比较 品种x密度互作 在F测验的基础上，对平均数间进行多重比较
LSD法(最小显著差数法)
q法(复极差测验)
SSR法(新复极差法)
一、品种间比较
新复极差法：将一组k个平均数由大到小排列，根据所比较的两个处理 平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差 LSRa ， LSRa=SExSSRa,p
II62 65 61来自III61 68 61
IV
60 65 60
激素3
激素4 激素5
64
62 61
67
65 62
63
62 62
61
64 65
例2:两因素完全随机试验 -组合内有重复观察值
施用A1、A2、A3三 种肥料于B1、B2、 B3 三 种 土 壤 ， 以 小麦为指示作物 ， 每处理组合种3盆， 得产量结果表如下。 试作方差分析。
平均数的标准误：
查附表8
p SSR0.05,16 SSR0.01,16 LSR0.05 LSR0.01
2
3
3.0
3.15
4.13
4.34
3x0.233=0.7
3.15x0.233=0.73
4.13x0.233=0.96
4.34x0.233=1.01
p
SSR0.05,16
SSR0.01,16
LSR0.05
1273医学统计学双因素方差分析
8
F处 理
MS处 理 MS 误 差
F区 组
MS区 组 MS 误 差
如果处理（或区组）因素无作用的话，则 F 1 如果处理（或区组）因素有作用的话，则 F 1
F值越大，P值越小，越有理由认为处理（区组）因 素对实验效应（指标）产生影响。
9
案例：为研究比较甲、乙和丙3个厂家生产的某种灭蚊剂 的灭蚊效果，某市疾病预防控制中心以该市11个不同地区 的蚊群进行了室内灭蚊实验，测试了不同厂家灭蚊剂对蚊 的半数击倒时间（KT50），资料如表7.3，
问题：试分析3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果（处理因素）， 不同蚊群（区组因素）之间有没有差别。
10
11
四、分析步骤
1. 建立假设，确定检验水准 处理间：
H0: 3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同。 H1: 3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同不同或不全相同。 区组间：
H0: 11个蚊群(区组)灭蚊效果相同相等 H1：11个蚊群(区组)灭蚊效果不同或不全相同。
均取a =0.05
12
2. 选方法并计算检验统计量F: 求基础数据：见原始表下部分 按公式求各部分SS、、 MS、F
13
1）总变异SS总及其ν总、处理组间变异SS处理及 其ν处理可按前述方法计算。
2）区组间变异反映了蚊群地区间的差异，也 包括随机误差。其计算方法类似于前述处理组间变 异，即各区组的均数（3.82、4.56、…、4.74）与 总均数（4.45）的离差的平方和。
v总 33 -1 32
15
k
∑ (2)SS处理 ni(X i - X )2 , i 1
处理 k - 1
SS处理 11 (4.10 4.45)2 11 (5.00 4.45)2
11 (4.26 4.45)2 5.06
双因素ANOVA交互作用分析
双因素ANOVA交互作用分析双因素ANOVA（Analysis of Variance）是一种常用的统计方法，用于分析两个或多个因素对于一个或多个连续变量的影响。
在双因素ANOVA中，我们可以研究两个因素的主效应以及它们之间的交互作用。
本文将介绍双因素ANOVA交互作用分析的基本概念、假设检验和结果解读。
一、基本概念双因素ANOVA交互作用分析是一种多元方差分析方法，用于研究两个因素对于一个或多个连续变量的影响，并探究这两个因素之间是否存在交互作用。
在双因素ANOVA中，我们将变量分为两个因素：因素A 和因素B。
因素A可以是一个分类变量，比如性别（男、女），因素B 也可以是一个分类变量，比如治疗组（A组、B组）。
我们希望通过双因素ANOVA来分析因素A、因素B以及它们之间的交互作用对于连续变量的影响。
二、假设检验在双因素ANOVA交互作用分析中，我们需要进行三个假设检验：因素A 的主效应、因素B的主效应以及因素A和因素B之间的交互作用。
1. 因素A的主效应假设因素A对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A对于连续变量没有显著影响H1：因素A对于连续变量有显著影响2. 因素B的主效应假设因素B对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素B对于连续变量没有显著影响H1：因素B对于连续变量有显著影响3. 因素A和因素B之间的交互作用假设因素A和因素B之间存在交互作用，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A和因素B之间不存在交互作用H1：因素A和因素B之间存在交互作用三、结果解读在进行双因素ANOVA交互作用分析后，我们可以得到以下结果：1. 主效应结果如果因素A的主效应和因素B的主效应都显著，说明因素A和因素B对于连续变量都有显著影响。
如果只有一个因素的主效应显著，说明只有这个因素对于连续变量有显著影响。
如果两个因素的主效应都不显著，说明这两个因素对于连续变量没有显著影响。
双因素重复测量方差应用条件
双因素重复测量方差应用条件1.引言1.1 概述双因素重复测量方差是一种统计分析方法，常用于研究实验中的重复测量数据。
在某些情况下，我们需要考察两个或两个以上因素对实验结果的影响，并希望了解这些因素之间是否存在相互作用。
双因素重复测量方差方法的应用条件是实验数据需要满足一定的前提条件，才能准确地使用该方法进行数据分析。
在具体的应用中，我们需要关注以下几个方面。
首先，实验数据需要满足正态性的要求。
正态性是指数据呈现出类似于正态分布的特征，即数据点在均值附近分布，并且两侧分布的形状对称。
如果数据违背了正态性的假设，那么双因素重复测量方差的应用结果可能会失真。
其次，实验数据需要满足独立性的要求。
独立性是指实验数据的观测值之间相互独立，彼此之间的测量结果不会互相影响。
如果实验数据存在相关性或序列效应，那么我们需要采取相应的方法来处理这种相关性，以确保研究结果的准确性。
此外，实验数据还需要满足方差齐性的要求。
方差齐性是指在不同水平或条件下，方差具有相同的性质，即方差的大小不会因为因素或条件的变化而改变。
如果实验数据的方差缺乏齐性，那么我们需要进行方差分析的修正，以确保分析结果的可靠性。
综上所述，双因素重复测量方差的应用条件包括正态性、独立性和方差齐性。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能准确地使用双因素重复测量方差方法进行数据分析，并得出相关的结论。
这种方法的应用对于揭示实验因素对结果的影响以及因素之间的相互作用具有重要意义，可以帮助研究人员更加准确地理解实验结果的含义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个部分来探讨双因素重复测量方差的应用条件。
首先，我们将在引言中概述本文的背景和目的，为读者提供一个整体的了解。
接下来，将详细介绍双因素重复测量方差的定义和计算方法，以便读者能够理解其数学原理和计算过程。
最后，在结论部分将阐述双因素重复测量方差的应用条件和其对实际问题的实际意义。
在每个部分中，我们将提供清晰的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用所述概念。
第九章-两因素及多因素方差分析
B2
2
AA2 B、A2BB间＝A存（1 B在A11交B21互＋A2作AB2用B1 2。） 交－38互（2作A414用B2的＋1大A82小B212为）4：
20
【例】假设学生分两类：在校和在职。把两类学生随 机分成两组，分别采用课堂讲授和交互式教学方法， 考试结果如下表。
课堂讲授 交互式教学
要说明两个因素的交互作用是否显著：
H0 : ( )11 12 ( )ab 0 HA : ( )11，( )12， ，( )ab不全为0
第三步：计算统计量
平方和的简易计算法：
SST
a i 1
bn
SST
j1 k 1
a
xi2jk i 1
ii11 jj11 kk 11
aa
bb
nn [[((xxii.... xx...... )) ((xx.. jj.. xx...... )) ((xxiijj.. xxii.... xx.. jj.. xx...... )) ((xxiijjkk xxiijj.. ))]]22
xb 2 n
ajb1 nk1
x2 ijk
x2
abn
a b
SiS1Aj1
kbn1n1 xiai2jS1k SxiA2axb2nabx1bn2n ia,1
x2 i
SaSxbB2n ,
1 an
b
SSxB2j
jj 11
ii
abn
x...)2
(xijk xij. )2
i1 j1 k 1
离差平方和的分解
a
SSA bn xi x 2 i 1
统计学双因素方差分析论文
关于林业部门对松树的不同树种在不同地区的生长情况的数据分析-------统计学双因素方差分析摘要：松树，又名常青树，顾名思义它四季都是绿色的，使人们四季都能有春天的感觉。
它不仅有很高的观赏价值，还很坚固顽强，常年不死。
因此如果在城市种植的话，不但可以供市民观赏，而且它的存活机率高，便于林业部门打理。
但它的种类繁多，而且不同地区的土壤也是有差别的，林业部门想根据其生长的直径，考虑不同的树种和不同的地区对它的生长状况有怎样的影响。
采用双因素方差分析方法。
关键词：双因素方差分析直径 SPSS软件正文：一、引文：松树，又名常青树，顾名思义它四季都是绿色的，使人们四季都能有春天的感觉。
它不仅有很高的观赏价值，还很坚固顽强，常年不死。
但它的种类繁多，而且不同地区的土壤也是有差别的，林业部门想根据其生长的直径，考虑不同的树种和不同的地区对它的生长状况有怎样的影响。
采取的分析方法：有重复双因素方差分析，单因素方差分析。
分析过程应用了Excel 2003 软件和 SPSS 统计学软件。
二、统计学分析方法的理论依据：方差分析（ANOVA）是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型数据自变量对数值型因变量是否有显著影响。
双因素方差分析法是一种统计分析方法,这种分析方法可以用来分析两个因素的不同水平对结果是否有显著影响,以及两因素之间是否存在交互效应。
因为在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。
不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
一般运用双因素方差分析法,先对两个因素的不同水平的组合进行设计试验,要求每个组合下所得到的样本的含量都是相同的。
在本分析中，我们所研究的因素是地区和松树种类，水平是不同的地区和不同的松树。
本分析中使用的有重复双因素方差分析方法即有交互作用的双因素方差分析方法。
有交互作用的双因素方差分析处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配A i B j 看作一个总体X ij 。
生物统计学课件两因素和多因素方差分析
x 21n
x a11 x a12
x 22n
x a21 x a22
x 2bn x ijn
x ab1 x ab2
---
---
---
x a1n
x a2n
和
x .1.
x .2.
x abn x .b.
x 1.. x 2 ..
x a.. x ...
bn
xi..
xi jk
j1 k 1
an
x.j.
xi jk
两因素交叉分组实验的一般格式
因素A A1 i=1----a
因素B j=1----b
和
B1
B2
…… Bb
x 111
x 121
x 1b1
x 112
x 122
x 1b2
---
---
---
x 11n
x 12n
A2
x 211
x 221
x 212
x 222
x 1bn x 2b1 x 2b2
---
---
---
…… Aa
❖ 两因素交叉分组设计的实验：
实验中A因素有a 水平，B因素有b水平，则 每一次重复都包括ab次实验，并设实验重复 n次，则实验总次数为abn次。
❖ 重复实验：每一次实验都从头开始完整的做 一遍，得到ab个结果，这样的实验作n次， 则得到abn个数据。
两因素交叉分组方差分析
1. 固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线 性统计模型为：
第九章 两因素和多因素方差分析
上一节我们讨论了最简单的方差分析——单因素 方差分析的原理与方法。在实际工作中，问题常 常比较复杂，要求我们同时考虑两种甚至更多因 素，以及这些因素共同作用的影响。
双因素方差分析法 (3)
双因素方差分析法引言双因素方差分析法是一种经典的统计分析方法，用于研究两个或更多因素对于观测变量产生的影响。
它可以帮助研究者理解因素之间的相互作用以及它们对观测变量的影响程度。
在本文中，我们将介绍双因素方差分析法的基本原理、假设条件、计算方法以及结果解读。
基本原理双因素方差分析法基于线性模型的思想，假设观测变量的总体均值可以划分为不同因素的影响以及随机误差的贡献。
通过分析各个因素的变化对总体均值的影响，我们可以确定它们是否显著。
在双因素方差分析法中，我们关注的是两个因素对观测变量的影响，分别称为因素A和因素B。
它们都被假设为固定效应因素，即我们关注的是这两个特定的因素对观测变量的影响，而不是从更广泛的总体中随机选择因素。
我们还假设各个因素的影响是相互独立的，即因素A和因素B之间没有相互作用。
假设条件在进行双因素方差分析法之前，我们需要满足一些假设条件。
首先，观测变量需要满足正态性假设，即在每个组别中，它们的分布应该是正态分布的。
其次，观测变量的方差应该相等，即方差齐性假设。
最后，观测值之间应该相互独立。
计算方法总平方和我们首先计算总平方和（SST），它表示观测变量的总体变异程度。
总平方和可以通过以下公式计算：SST = SSA + SSB + SSAB + SSE其中，SSA、SSB、SSAB和SSE分别表示因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的平方和。
自由度自由度用于衡量观测数据中可以自由变动的数量，它可以用于计算各个方差分量。
在双因素方差分析法中，自由度的计算方法如下：•自由度(A) = 组数(A) - 1•自由度(B) = 组数(B) - 1•自由度(AB) = (组数(A) - 1) * (组数(B) - 1)•自由度(E) = 总样本数 - 组数(A) * 组数(B)均方和均方和是指在给定自由度下的平方和除以对应的自由度得到的值。
在双因素方差分析法中，我们可以计算因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的均方和。
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双因素方差分析表
A B C D E F G 1 误差来源 误差平 方和SS SSR SSC SSE SST 自由度 df k-1 r-1 均方 MS
， MSR
F值
P值
F临界值
2 3 4 5
行因素 列因素 误差 总和
FR Fc
MSC
(k-1)×(r-1) MSE Kr-1
有交互作用的双因素方差
自变量A
广告方案
A B 报纸 8 12 22 14 10 18
广告媒体 电视 12 8 26 30 18 14
C
为检验广告方案，广告媒体或其交互作用对销售量的影响是否显 著（α =0.05）。
SSE SST SSR SSC SSRC
总 平 方 和
行 变 量 平 方 和
列 变 量 平 方 和 交 互 作 用 平 和
决策
《一》：用F来检验
若FR>F ，拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显 著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响； 若FC > F ，拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差 异，即所检验的列因素对观察值有显著影响； FRC > F ,拒绝原假设H0 ，表明行列因素的交互影响 对观察值有显著影响。
x i . 为行因素的第i个水平的样本均值 ；
x. j 为列因素的第j个水平的样本均值 ；
xij对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个水平组合的样本均值 ；
各平方和的计算
x
为全部n个观测值的总均值 。
总平方和(SST)：
SST ( xijl x ) 2
i 1 j 1 l 1
x
x
i 1 j 1
k
r
ij
kr
分析步骤：
（1）提出假设
（2）构造检验的统计量
（3）统计决策
（1）提出假设 对行因素提出的假设为：
H0：u1 = u2 = … = ui = …= uk (ui为第i个水平的均值) 行因素（自变量）对 因变量没有显著影响；
H1：ui (i =1,2, … , k) 不完全相等 行因素（自变量）对因变量有显著影响；
（列）P-value﹤α则拒绝原假设H0 。反之则不拒绝。
关系强度的测量
联合效应 SSR SSC R 总效应 SST
2
1.行平方和(SSR)度量了行因素（自变量）对因变量的影响大小；
2.列平方和(SSC)度量了列因素（自变量）对因变量的影响大小；
3.行列平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应； 4.R则反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度 。
SST xij x
x
的误差平方
2
行因素误差平方和 ：
SSR xi. x
i 1 j 1
k r i 1 j 1
i 1 j 1 k r
2
列因素误差平方和 ：
SSC x. j x
k r
2
随机误差项平方和：
SSE xij xi. x. j x
10.3
双因素方差分析
A
当方差分析中涉及两 个分类型自变量时。
B
方 什么是“双”因素 差
分析 ？
10.3.2无交互作用的双因素方差
A
B
无交互作用：独立
无交互作用双因素数据结构
Xij：是由行因素的K个水平（i=1，2，……，k）和列因素的R个水 平（ i=1，2，……，r）所组和成的k×r个总体中抽取的样本量为1 的独立随机样本。而k×r个总体中的每一个总体都服从正态分布且 有相同的方差。
新 的 影 响
自变量B
因变量C
分析步骤： （1）提出假设
（2）构造检验的统计量
（3）统计决策
有交互作用的双因素方差分析表的结构
A B C D E F G
误差来源 自由度 df k-1 均方MS
F 临 界 值
1
SS
F值
P 值
2
行因素
SSR
MSR=SSR/（k-1）
FR ＝ MSR/MSE
3
列因素
SSC
《二》：用P值检验
P行﹤α则拒绝原假设H0，反之则不拒绝；
P列﹤α则拒绝原假设H0 ，反之则不拒绝；
PRC ﹤α则拒绝原假设H0,即交互作用对观察值有影响 ， 反之则不拒绝。
P264-10.12 为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一
家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获 得的销售量数据如下：
SSE MSE (k 1)( r 1)
F值：为检验行列因素对因变量的影响是否显著而采用的统计量。
行因素对因变量的影响是否显著：
MSR FR ~ F k 1, (k 1)( r 1) MSE
列因素对因变量的影响是否显著：
MSC FC ~ F r 1, (k 1)( r 1) MSE
x i .（各行均值）：是行因素的第i个水平下各观测值的平均值。
xi .
x
j 1
r
ij
x. j （各列均值）：是列因素的第j个水平下各观测值的平均值。
x. j
r
(i 1,2,, k )
x
i 1
k
ij
k
( j 1,2,, r )
x
（总均值）：是全部kr个样本数据的总平均值。
k
rSSR rm ( xi. x ) 2
i 1
r
k
列变量平方和(SSC):
SSC km ( x. j x ) 2
j 1
交互作用平方和(SSRC)：
SSRC m ( xij xi. x. j x ) 2
i 1 j 1
k
r
误差项平方和(SSE)：
r-1
MSC=SSC/(r-1)
FC ＝ MSC/MSE
FRC ＝ MSRC/MSE
4
交互作用
SSRC
(k-1)(r-1)
MSRC=SSRC/ (k-1)(r-1)
5
误差
SSE
kr(m-1)
MSE=SSE/ kr(m-1)
6
总和
SST
n-1
设:
xijl为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l行的观测值 ；
(3)统 计 决 策（一）
计算出F统计量后再根据给定的显著性水平和两个自由度，查F分 布表得到相应的临界值F。 若FR>F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的行因素对观察值有显著影响。 若FC > F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的列因素对观察值有显著影响。 （二） (行)P-value﹤α则拒绝原假设H0.反之则不拒绝。
对列因素提出的假设为：
H0： u1 = u2 = … = uj = …= ur (uj为第j个水平的均值) 列因素（自变量）对 因变量没有显著影响； H1： uj (j =1,2,…,r) 不完全相等 列因素（自变量）对因变量有显著影响。
（2）构造检验的统计量： •总平方和（SST）：总平方和是全部样本观察值Xij与总的样本平均值 和。 k r
i 1 j 1
2
计算均方MSR、MSC 、 MSE
总误差平方和SST的自由度为 kr-1 行因素误差平方和SSR的自由度为 k-1，其均方： MSR
SSR k 1
SSC 列因素误差平方和SSC的自由度为 r-1，其均方： MSC r 1
随机误差平方和SSE的自由度为 (k-1)(r-1)，其均方：