2020届高考数学一轮复习单元检测七不等式推理与证明提升卷单元检测理含解析新人教A版2

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2020届高考数学一轮复习单元检测七不等式推理与证明提升卷单元检测文

单元检测七不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<b<0，则下列不等式一定不成立的是()1 1A. <B. －a> －ba b1 1C．|a|>－b D. >a－b b答案 A1 1 b－a 1 1解析因为a<b<0，所以－＝>0，即> ，A不成立；－a>－b>0，－a> －b，B成立；－a b ab a b1 1 1 1 1a＝|a|>|b|＝－b，C成立；当a＝－3，b＝－1时，＝－，＝－1，故> ，D成a－b 2 b a－b b立．2x＋12．不等式≤0的解集为()3－x1A.[，3]－21B.[，3)－21C.(∪(3，＋∞)]－∞，－21D.(∪[3，＋∞)]－∞，－22x＋1解析不等式≤0可化为Error!3－x1∴Error!解得x≤－或x>3，22x＋1 1∴不等式≤0的解集为－∞，－∪(3，＋∞)．3－x(2]3．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分1 1D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2(a n－1＋，由此归纳出{a n}的通项公式a n－1)答案 C解析因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．34．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的()x－1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A3 x＋2解析由1＋≥0，得≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x－1 x－13x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)·(x－x－13 31)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－x－1 x－11)≥0”的充分不必要条件，故选A.5．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为()A．4B．4 2C．2D．2 2答案 A解析因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝2 23x＋2y＝4，当且仅当3x＝2y，1 1即x＝，y＝时等号成立，故选A.3 21 16．(2018·山西省实验中学质检)已知a，b为正实数，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值a b范围是()A．[1,4] B．[2，＋∞)C．(2,4) D．(4，＋∞)答案Aa＋b解析∵a，b为正实数，∴( 2 )2≥ab，1 4∴≥.ab a＋b21 1 1 4(1＋＝5≥(a＋b)·1＋，化为(a＋b)2－5(a＋b)＋∵a＋b＋＋b＝5，∴(a＋b)ab)[a＋b2]a4≤0，解得1≤a＋b≤4，当且仅当a＝b时等号成立，∴a＋b的取值范围是[1,4]，故选A. 7．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部1 2分，则＋的最小值为()2a bA．10B．8C．5D．4答案 B解析由题意知，已知圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.1 2 1 2 b8a b8a b8a 1所以＋b＝(4a＋b)(＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝＋b)·2a2a2a b2a b2a b81 1 2时，等号成立．所以＋的最小值为8.故选B.2 2a b8．在不等式组Error!所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为()2 3 2 4A. B. C. D.3 5 9 7答案 C1 3 9 解析如图，不等式组Error!所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为×3×＝，其2 2 41 1中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为×1×1＝.所以点M恰好落在第二象限的2 212 2概率为＝，故选C.9 949．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x，y满足Error!则z＝3y－x的取值范围为() A．[1,2] B．[2,5] C．[2,6] D．[1,6]答案 D解析画出不等式组Error!表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC边界及其内部)．1 1 1 z因为z＝3y－x，所以y＝x＋z.当直线y＝x＋在y轴上的截距有最小值时，z有最小值；3 3 3 31 z当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值．由图可知，当直线y＝x＋经过点A(－1,0)，3 3在y轴上的截距最小，z min＝0－(－1)＝1；经过点C(0,2)时，在y轴上的截距最大，z max＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范围为[1,6]，故选D.10．小王计划租用A，B两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为() A．1000元B．2000元C．3000元D．4000元答案 D解析设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1000x＋600y，其中x，y满足不等式组Error!(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．5 z易知当直线y＝－x＋过点D(1,5)时，z取最小值，所以租车所需的最少租金为1×10003 600＋5×600＝4000(元)，故选D.11．(2018·云南曲靖一中月考)设实数x，y满足Error!则x2＋y2的最小值为()16 68A．4B. C. D．05 9答案 B解析不等式组Error!所对应的平面区域为图中阴影部分所示(包括边界)．x2＋y2的几何意义为可行域内的点与原点距离的平方．由图可得x2＋y2的最小值为原点到直4 16线x＋2y－4＝0距离的平方，即(x2＋y2)min＝(5 )2＝.512．已知函数f(x)＝Error!若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是()A．2B．3C．5D．8答案 D解析作出函数f(x)的图象，如图所示．关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0，当a>0时，－a<f(x)<0，由于关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1个整数解，因此其整数解为3.又f(3)＝－9＋6＝－3，所以－a<－3<0，－a≥f(4)＝－8，则3<a≤8，所以实数a的最大值为8.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是____________．答案[－2,4]解析关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，(x－1)2<0，无解，满足题意；当a>1 时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1 时，不等式的解集为{x|a<x<1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4，且a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2,4]．3 2x2－2x＋114．已知x≥，则的最小值为__________．2 x－1答案 2 2＋21 2x2－2x＋12t＋12－2t＋1＋1(，所以＝＝解析设t＝x－1，则x＝t＋1t≥2)x－1 t2t2＋2t＋1 1 2＝2t＋＋2≥22＋2，当且仅当t＝时等号成立，所以所求最小值为2 2＋2.t t 215．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选Earlybird公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)答案影视配音解析由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．16．对于下列命题：①已知－1≤x＋y≤3,1≤x－y≤5，则2x－y的取值范围是[1,9]；②已知a，b为非零实数，且a<b，则a2<b2；11 1③a＝log 3，b＝log 5，c＝0.5的大小关系是a>b>c；3 (5 )5④若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是(7－1，23＋12 ).其中正确的命题为______________．(把你认为正确的都填上)答案①④1 1 3 3 3 15解析对于①，∵－≤(x＋y)≤，≤(x－y)≤，∴2x－y∈[1,9]，所以①正确；对2 2 2 2 2 21 1于②，当a＝－5，b＝3时，a2>b2，所以②错误；对于③，c＝(5 )0.5>0，a＝log 3＝－51log53<0，b＝log 5＝－log35<0，且log53<log35，所以c>a>b，所以③错误；对于④，令f(m) 3＝m(x2－1)－(2x－1)，则原问题等价于f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0对满足|m|≤2的所有m恒成立，所以Error!解7－1 3＋1得<x< ，所以④正确．2 2三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．解(1)由已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，所以Error!解得Error!(2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0，所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c}，Earlybird当 c <2时，所求不等式的解集为{x |c <x <2}，当 c ＝2时，所求不等式的解集为∅. 18．(12分)已知函数 f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b .220(1)若 f (3)＝，且 a >0，b >0，求 ab 的最大值； 3a ＋b ＋2(2)当 x ∈[0,1]时，f (x )≤1 恒成立，且 2a ＋3b ≥3，求 z ＝的取值范围．a ＋1220 解(1)因为 f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f (3)＝，34 20 所以 a ＋b －＝，即 a ＋b ＝8.3 3因为 a >0，b >0，所以 a ＋b ≥2 ab ，即 4≥ ab ，所以 ab ≤16，当且仅当 a ＝b ＝4时等号成立，所以 ab 的最大值为 16.(2)因为当 x ∈[0,1]时，f (x )≤1 恒成立，且 2a ＋3b ≥3，所以Error!且 2a ＋3b ≥3，即Error!作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．2 由图可得经过可行域内的点(a ，b )与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是[ ，2 ]，5a ＋b ＋2 b ＋17所以 z ＝＝＋1的取值范围是.a ＋15a ＋1[ ，3 ]19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本 2500万元，每生产 x 百辆新能源汽车，需另投入成本 C (x )万元，且 C (x )＝Error!由市场调研知，若每辆新能源汽车售价 5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完． (1)求该企业 2019年的利润 L (x )万元关于年产量 x (单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；(2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解 (1)当 0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500；10 00010 000当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－x＋4 500－2 500＝2 000－(x＋x).所以L(x)＝Error!Earlybird(2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 500，所以当0<x<40时，L(x)max＝L(20)＝1 500；10 000 10 000当x≥40时，L(x)＝2 000－(x＋x)≤2000－2 x·＝2 000－200＝1 800，x10 000当且仅当x＝，即x＝100时取等号，x所以L(x)max＝L(100)＝1 800.因为1 800>1 500，所以当x＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1 800万元．ax＋b20．(13分)已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.x2＋1(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立；ln n－ln m2m(3)已知0<m<n，求证：> .n－m m2＋n2(1)解将x＝－1代入切线方程x＋y＋3＝0，得y＝－2，b－a所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.1＋1a x2＋1－ax＋b·2x又f′(x)＝，1＋x222a＋2b－a2b bf′(－1)＝＝＝＝－1，4 4 22x－2故b＝－2，a＝2，所以f(x)＝.x2＋12x－2(2)证明由已知及(1)得所证即ln x≥在x∈[1，＋∞)上恒成立，化简得(x2＋1)lnx2＋1x≥2x－2，即证x2ln x＋ln x－2x＋2≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立．设h(x)＝x2ln x＋ln x－2x＋2，1 则h′(x)＝2x ln x＋x＋－2，x1因为x≥1，所以2x ln x≥0，x＋≥2，即h′(x)≥0，x所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，则h(x)≥h(1)＝0，所以g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．n(3)证明因为0<m<n，所以>1，mEarlybirdn2 －2n m ln n－ln m2m由(2)知ln > ，整理得> ，m n n－m m2＋n2(m)2＋1ln n－ln m2m所以当0<m<n时，> .n－m m2＋n2。

2020版高考数学(理)一轮总复习(课件+层级快练)第七章不等式及推理与证明 (3)

题组层级快练(四十三)1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x>1m 或x ＜m}C ．{x|x>m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m }答案 D解析当0<m<1时，m<1m .3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C 解析x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x －1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( ) A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1}答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理，得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．(2019·辽宁抚顺一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，则f(e x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－ln3}B ．{x|－1<x<－ln3}C ．{x|x>－ln3}D ．{x|x<－ln3}答案 D解析设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－(－1＋13)＝23，b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，∴f(x)＝－(x 2＋23x －13)＝－x 2－23x ＋13，∴f(x)>0的解集为x ∈(－1，13)．不等式f(e x )>0可化为－1<e x <13.解得x<ln 13，∴x<－ln3，即f(e x )>0的解集为{x|x<－ln3}．9．(2019·保定模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( ) A ．(－235，＋∞)B ．[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－235]答案 A解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－235.10．(2019·郑州质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为()答案 C解析由题意得⎩⎨⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( ) A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．(2019·福州一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4] D ．[－2，－1)∪(3，4] 答案 D解析由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a ≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a ∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________．答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.14．已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.15．若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a>14解析不等式可变形为a>2x －14x ＝(12)x －(14)x ，令(12)x ＝t ，则t>0.∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14.16．(2019·安徽毛坦厂中学月考)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66 (4)k ≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x ∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.17．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a的取值范围．答案 (－∞，9]解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a ≤0，∴a ≤9.。

2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第七章不等式、推理与证明7.1 含解析

§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b ，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数． 2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c b ＋d D ．a ＋d >b ＋c答案 C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确．题组三易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －bd >0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝aa －bb a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，又a >b >0，故ab >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，即a a b ba b b a >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N . (2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a <7a a 7 B ．77a a ＝7a a 7 C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝⎛⎭⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a <1，7－a <0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7；当0<a <7时，7a >1，7－a >0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a >7a a 7. 题型二不等式的性质例2 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ； ④a >b >0，能推出1a <1b 的是________．(填序号)答案 ①②④解析运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a b 2B ．1>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12aC.b a ＋ab <2 D ．a e b >b e a答案 D解析由题意知，b <a <0，则a 2⎝⎛⎭⎫12a >1，b a ＋ab >2， ∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0 ∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a－1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0， ∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．设012log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.8．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a e)，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)B ．sin x >sin yC ．x 3<y 3D.1x 2＋1>1y 2＋1 答案 C解析方法一因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．10．设0b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a答案 B解析观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x ，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a ，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x在(0，1)上单调递减，又因为0b e a ，故选B. 二、填空题11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案 ①解析由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件．13．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．14．设α∈⎝⎛⎭⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.三、解答题15．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b . 16．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b的取值范围．解因为1<a <4，2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b <2.。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.4 Word版含解析

x－2
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6．若正数 x，y 满足 3x＋y＝5xy，则 4x＋3y 的最小值是________．
答案 5
3x＋y 3 1 解析由 3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
xy y x
( ) 1 3 1
所以 4x＋3y＝(4x＋3y)· ＋ 5y x
( ) 1
3y 12x
＝ 4＋9＋＋
∴a＋b≥a2＋a＋4.
a
a
又∵a，b>0，∴ ≤
，
a＋b a2＋a＋4
a
a
∴－ ≥－
，
a＋b a2＋a＋4
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2a＋3b
a
a
∴u＝
＝3－ ≥3－
a＋b
a＋b
a2＋a＋4
1
1
14
＝3－
≥3－
＝，
4 a＋＋1
a
4
5
2 a· ＋1
a
当且仅当 a＝2，b＝8 时，两等号同时成立，即取得最小值．
( ) 1
L(x)＝1 000x×0.05－ x2＋10x －250 3
1 ＝－ x2＋40x－250；
3
当 x≥80 时，
( ) 10 000
L(x)＝1 000x×0.05－ 51x＋
－1 450 －250
x
( ) 10 000
＝1 200－ x＋
.
x
∴L(x)＝Error!
1 (2)当 0<x<80 时，L(x)＝－ (x－60)2＋950.
a＋1 b＋c
答案 3
解析 ∵a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，

【第一方案】高三数学一轮复习第七章不等式、推理与证明跟踪演练练习

第七章不等式、推理与证明一、选择题(6×5分＝30分)1．(2020·天津高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.答案：A2．(2020·广州模拟)若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a ＋1a>b ＋1bD.2a ＋b a ＋2b >ab解析：∵a >b >0，∴1b >1a .又∵a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a.答案：A3．(2020·诸城模拟)若2m ＋4n<22，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y ＝1的左下方 B ．直线x ＋y ＝1的右下方 C ．直线x ＋2y ＝1的左下方 D ．直线x ＋2y ＝1的右上方解析：∵2m＋4n＝2m＋22n≥22m ＋2n，∴22m ＋2n<22，即m ＋2n <1，∴点(m ，n )必在直线x ＋2y ＝1的左下方．答案：C4．(2020·黄冈调研)设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16解析：由32＋x ＋32＋y＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D5．(2020·湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n n ＋12，第n 个正方形数为b n ＝n 2，由此可排除D(1 378不是平方数)．将A 、B 、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C 选项，故选C.答案：C6．(2020·山东高考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256.答案：A二、填空题(3×5分＝15分)7．(2020·北京高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式|f (x )|≥13的解集为________．解析：①当x <0时，|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥13，即1x ≤－13，∴－3≤x <0. ②当x ≥0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，∴0≤x ≤1. 由①②可得－3≤x ≤1. 答案：{x |－3≤x ≤1} 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________.解析：由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.答案：10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 309．(2020·南京模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________.解析：由a 1>1，a 4>3，S 3≤9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1>1，a 1＋3d >3，a 1＋d ≤3，令x ＝a 1，y ＝d 得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ＋3y >3，x ＋y ≤3，x ，y ∈Z ，在平面直角坐标系中画出可行域如图所示．符合要求的整数点只有(2,1)，即a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝2＋n －1＝n ＋1.答案：n ＋1三、解答题(共37分)10．(12分)某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy2，因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400(0<x <200,0<y <400π)，∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x ＋πy 2)2＝20 000π，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100.y ＝200π.∴当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝200π时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大．11．(理)(12分)已知正数数列{a n }中，前n 项和S n ＝12(a n ＋1a n)(n ∈N *)，求a 1，a 2，a 3并推测出{a n }的通项公式，用数学归纳法证明．解析：由S 1＝a 1＝12(a 1＋1a 1)且a 1>0，解得a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12(a 2＋1a 2)且a 2>0，解得a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)且a 3>0，解得a 3＝3－ 2. 推测a n ＝n －n －1.证明：(1)当n ＝1时，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即a k ＝k －k －1. 这时，S k ＝12(a k ＋1a k)＝12[(k －k －1)＋1k －k －1]＝k . 则由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)，即k ＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)，得a k ＋12＋2k ·a k ＋1－1＝0.∵a k ＋1>0，解得a k ＋1＝k ＋1－k ，即n ＝k ＋1时结论也成立，由(1)，(2)可知a n ＝n －n －1对一切正整数n 都成立．(文)(12分)(2020·辽宁沈阳)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能出现的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资的金额不超过10万元．(1)为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一个投资方案，使得投资人获得的利润最大；(2)求投资人资金亏损不超过1万元的概率．解析：(1)设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，z 代表盈利金额．则z ＝x ＋0.5y ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.作出可行域，如图①，易知B 点为最优解，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得B (4,6)．故z max ＝4＋0.5×6＝7，即甲项目投资4万元，乙项目投资6万元能使资金亏损不超过1.8万元的情况下盈利最大．① ②(2)由题意可知，此题为几何概型问题，如图②. P ＝S △AOC S △AOD ＝12×103×1012×10×10＝13. 12．(13分)(2020·广东六校联考)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：(1)a >0且－20，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得a >c >0；由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得a ＋b <0,2a ＋b >0.故－20，f(1)>0，而f(－b3a )＝－a2＋c2－ac3a<0，所以方程f(x)＝0在区间(0，－b3a )与(－b3a，1)内分别有一实根．故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．。

2020版数学新优化浙江大一轮试题：第七章不等式、推理与证明单元质检七

单元质检七　不等式、推理与证明(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( )A.-3 B.1C.-1D.3,得集合A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A ∩B={x|-1<x<2}.又由题意知,-1,2为方程x 2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,则a+b=-3.2.(2018浙江宁波模拟)若实数x ,y 满足约束条件则-2x+y 的最小值为( ){y ≤x,3y ≥x ,x +y ≤4,A.2 B.-2C.5D.-5表示的可行域,如图中阴影部分所示,设z=y-2x ,则y=2x+z ,{y ≤x ,3y ≥x ,x +y ≤4平移直线y=2x+z ,由图象知,当直线y=2x+z 经过点A 时,直线y=2x+z 的截距最小,此时z 最小,由解得可知{3y =x ,x +y =4,{x =3,y =1,点A 的坐标为(3,1),此时z=-6+1=-5,即z=-2x+y 最小值为-5.故选D .3.甲、乙两人一起到同一粮店买米,共买了2次,两次的价格分别为a ,b (a ≠b ),甲每次买m kg 的大米,乙每次买m元钱的大米,甲、乙两人两次买米的平均价格分别为x ,y (平均价格等于购米总金额与购米总数之比),则x ,y 的大小关系是( )A .x>y B .x<yC .x=yD .与m 的值有关x=,y=ma +mb 2m=a +b 22m m a +m b =2aba +b .∵a ≠b ,a ,b>0,∴a +b2>ab ,2ab a +b <2ab2ab=ab .∴x>y.故选A .4.(2018宁波效实中学高三模拟)“|x-a|<m 且|y-a|<m ”是“|x-y|<2m ”(x ,y ,a ,m ∈R )的条件.|x-y|=|(x-a )-(y-a )|≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m ,所以“|x-a|<m 且|y-a|<m ”是“|x-y|<2m ”的充分条件.取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有|x-y|=2<5=2m ,但|x-a|=5,不满足|x-a|<m=2.5,故“|x-a|<m 且|y-a|<m ”不是“|x-y|<2m ”的必要条件.故为充分不必要条件.5.(2018浙江教育绿色评价联盟5月模拟)如图,在△ABC 中,点D ,E 是线段B ,C 上的两个动点,且=x +y ,则的最小值为( )AD +AE AB AC 1x +4y A B.2C D .32.52.92x ,y 均为正,设=m +n =+,∵B ,D ,E ,C 共线,∴m+n=1,λ+μ=1.AD AB AC ,AE λAB μAC =x +y =(m+λ)+(n+μ),∵AD +AE AB AC AB AC ∴x+y=m+n+λ+μ=2.(x+y )=∴1x+4y=12(1x +4y )12(5+y x+4x y),≥12(5+2y x ·4x y)=92即的最小值为故选D .1x +4y 92.6.若实数x ,y 满足不等式组则2|x+1|+y 的最大值是( ){x -2y +2≥0,x +2y +2≥0,2x -y -1≤0,A B C.4 D.1.143.193ABC 及其内部,其中A (-2,0),B ,C (0,-1),因此当(43,53)x ≥-1,z=2x+2+y 过点B时取最大值;当x<-1,z=-2x-2+y 过点A 时取最大值2;综上2|x+1|+y 的最大193值是故选B .193.7.若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2-4x-2)max ,x ∈(1,4),令g (x )=x 2-4x-2,x ∈(1,4),∴g (x )<g (4)=-2,∴a<-2.8.(2018浙江金华浦江县高考适应模拟)已知实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=1,则ab+c 的最小值为( )A.-2 B.-32C.-1 D.-12ab+c 取最小值,则ab 异号,c<0,根据题意得1-c 2=a 2+b 2,又由a 2+b 2≥2|ab|=-2ab ,可知1-c 2≥-2ab ⇒ab+c+c=+c-(c 2+2c )-(c+1)2-1≥-1,即ab+c 的最小值为-1.故选C .≥c 2-12c 2212=1212=129.已知实数x,y 满足若ax+y 的最大值为10,则实数a=( ){x -3≤0,y -1≥0,x -y +1≥0,A.4 B.3C.2D.1,如图所示.由解得A (3,4),令z=ax+y ,因为z 的最大值为10,所以直线在y 轴上的截距的最大{x =3,x -y +1=0,值为10,即直线过(0,10),所以z=ax+y 与可行域有交点,当a>0时,直线经过A 时z 取得最大值.即ax+y=10,将A (3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.当a ≤0时,直线经过A 时z 取得最大值.即ax+y=10,将A (3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.与a ≤0矛盾,综上a=2.10.(2018浙江嘉兴4月模拟)已知x+y=+8(x ,y>0),则x+y 的最小值为( )1x +4y A.5 B.9C.4+D.10326x+y=+8,所以x+y-8=,两边同时乘“x+y ”,得(x+y-8)(x+y )=(x+y ).1x +4y 1x +4y (1x +4y )所以(x+y-8)(x+y )=9,当且仅当y=2x 时等号成立.(5+y x+4x y)≥令t=x+y ,所以(t-8)·t ≥9,解得t ≤-1或t ≥9.因为x+y>0,所以x+y ≥9,即(x+y )min =9.故选B .二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知正实数x ,y 满足x+2y-xy=0,则x+2y 的最小值为 ,y 的取值范围是 . (1,+∞)正实数x ,y 满足x+2y-xy=0,∴x+2y=2xy ,化为(x+2y )(x+2y-8)≥0,解得x+2y ≥8,当且仅当y=2,x=4时取等12×≤12×(x +2y 2)2号.则x+2y 的最小值为8.由正实数x ,y 满足x+2y-xy=0,∴x=>0,2yy -1∴y (y-1)>0,解得y>1.∴y 的取值范围是(1,+∞).12.已知整数x ,y 满足不等式则2x+y 的最大值是 ,x 2+y 2的最小值是 .{y ≥x ,x +y >4,x -2y +8>0,　8作出可行域如图,{y ≥x ,x +y >4,x -2y +8>0由z=2x+y ,得y=-2x+z ,由图可知,当直线y=-2x+z 过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,由可得所以A 点坐标为(8,8).{x =y ,x -2y +8=0{x =8,y =8,z 最大值为2×8+8=24.x 2+y 2的最小值是可行域的点B 到原点距离的平方,由可得B (2,2).可得22+22=8.{x +y =4,y =x13.已知点A (3,),O 为坐标原点,点P (x ,y )满足则满足条件的点P 所形成的平面区3{3x -y ≤0,x -3y +2≥0,y ≥0,域的面积为 ,的最大值是 .OA OP|OA |　3不等式组表示的可行域是以B (-2,0),O (0,0),C (1,)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为3212××3= 3.设向量的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°.OA 与OP 又=||cos θ,要使取到最大值,OA OP|OA |OP OA OP|OA |则30°≤θ≤90°,此时0≤cos,1≤||≤2,且cos θ取到最大值时,||也取到最大值2,故θ≤32OP 32OP 的最大值为2=OA OP|OA |32×3.14.(2017浙江金华调研改编)已知不等式|x+1|-|x-3|>a ,若该不等式有解,则实数a 的取值范围为 ,若该不等式的解集为R ,则实数a 的取值范围为 . -∞,4)　(-∞,-4)||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(1)若不等式有解,则a<4;(2)若不等式的解集为R ,则a<-4.15.若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a 为 . 6或4函数f (x )=|x+1|+2|x-a|,∴当a<-1时,f (x )={-3x +2a -1,x ≤a ,x -2a -1,a <x <-1,3x -2a +1,x ≥-1,根据它的最小值为f (a )=-3a+2a-1=5,求得a=-6.当a=-1时,f (x )=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件.当a ≥-1时,f (x )={-3x +2a -1,x <-1,-x +2a +1,-1≤x <a ,3x -2a +1,x ≥a ,根据它的最小值为f (a )=a+1=5,求得a=4.综上,可得a=-6或a=4.16.(2018浙江杭州模拟)已知函数f (x )=x 2-x+1,函数g (x )=,a ∈R ,a ≠0.若对任意的|1x +a -1|+|2x +a |x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f (x 1)≥g (x 2)成立,则a 的取值范围是 .[12,72]f (x )=x 2-x+1=,(x -12)2+34所以f (x )min =f(12)=34.由题意,若对任意的x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f (x 1)≥g (x 2)成立,即有f (x )min≥g (x )min 成立,又由g (x )=,因为|1x+a -1|+|2x +a |=|1x +a -1|+|1x +a 2|+|1x +a 2||1x+a -1|+|1x +a 2|≥=,且0,(1x+a -1)‒(1x +a 2)|a 2-1||1x +a 2|≥所以g (x ),当x=-时取等号,即g (x )的最小值为所以,解得a ,即a 的≥|a 2-1|2a |a 2-1|.34≥|a 2-1|12≤≤72取值范围是[12,72].17.记max{a ,b }=设M=max{|x-y 2+4|,|2y 2-x+8|},若对一切实数x ,y ,M ≥m 2-2m 恒成立,则实数{a ,a ≥b ,b ,a <b ,m 的取值范围是 . -,1+]77,M ≥|x-y 2+4|,M ≥|2y 2-x+8|,两式相加,∴2M ≥|y 2+12|≥12,即M ≥6,当且仅当时等号成立,∴m 2-2m ≤6⇒1-m ≤1+,{x -y 2+4=2y 2-x +8,y =0⇒{x =2,y =07≤7即实数m 的取值范围是[1-,1+].77三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知f (x )=2xx 2+6.(1)若f (x )>k 的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k 的值;(2)若对任意x>0,f (x )≤t 恒成立,求实数t 的取值范围.f (x )>k ⇔kx 2-2x+6k<0,由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},得x 1=-3,x 2=-2是关于x 的方程kx 2-2x+6k=0的两根,则-2-3=,解得k=-2k 25.(2)∵x>0,∴f (x )=(当且仅当x=时,等号成立),又已知f (x )≤t 对任意x>0恒成2x x 2+6=2x +6x≤666立,∴实数t 的取值范围是[66,+∞).19.(15分)设f (x )=,数列{a n }满足a 1=,a n+1=f (a n ),n ∈N *.11+x 12(1)若λ1,λ2为方程f (x )=x 的两个不相等的实根,证明:数列为等比数列;{a n -λ1a n -λ2}(2)证明:存在实数m ,使得对任意n∈N *,a 2n-1<a 2n+1<m<a 2n+2<a 2n .∵f (x )=x ⇔x 2+x-1=0,∴{λ21+λ1-1=0,λ22+λ2-1=0,∴{1-λ1=λ21,1-λ2=λ22.又0,0,∴数列为等比数∵a n +1-λ1a n +1-λ2=11+a n -λ111+a n-λ2=1-λ1-λ1a n 1-λ2-λ2a n=λ21-λ1a n λ22-λ2a n=λ1λ2·a n -λ1a n -λ2.a 1-λ1a 1-λ2≠λ1λ2≠{a n -λ1a n -λ2}列.(2)设m=,则f (m )=m.5-12由a 1=及a n+1=得a 2=,a 3=,a 4=1211+a n 233558.∴a 1<a 3<m<a 4<a 2.下面用数学归纳法证明:当n ∈N *时,a 2n-1<a 2n+1<m<a 2n+2<a 2n .①当n=1时,命题成立.②假设当n=k 时,命题成立,即a 2k-1<a 2k+1<m<a 2k+2<a 2k ,由f (x )在区间(0,+∞)上递减,得f (a 2k-1)>f (a 2k+1)>f (m )>f (a 2k+2)>f (a 2k ),∴a 2k >a 2k+2>m>a 2k+3>a 2k+1,由m>a 2k+3>a 2k+1,得f (m )<f (a 2k+3)<f (a 2k+1),∴m<a 2k+4<a 2k+2,∴当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切n ∈N *命题成立,即存在实数m ,使得对<a2n+1<m<a 2n+2<a 2n .∀n ∈N *,a 2n -120.(15分)(2018浙江温州市十五校联考)已知函数f (x )=x 2-a|x-1|-1(a ∈R ).(1)若f (x )≥0在x ∈R 上恒成立,求a 的取值范围;(2)求f (x )在区间[-2,2]上的最大值M (a ).由题意可知(x 2-1)≥a|x-1|(*)对x ∈R 恒成立,①当x=1时,(*)式显然成立,此时a ∈R ;当x ≠1时,(*)式可变形为a,令φ(x )=≤x 2-1|x -1|x 2-1|x -1|={x +1,x >1,-(x +1),x <1.②当x>1时,φ(x )>2,a ≤2.③当x<1时,φ(x )>-2,此时a ≤-2.综合①②③,得所求实数a 的取值范围是a ≤-2.(2)由题意易知f (x )= f (1)=0,f (2)=3-a ,f (-2)=3-3a ,{x 2-ax +a -1,1≤x ≤2,x 2+ax -a -1,-2≤x <1,①当a ≥3时,,--,∵a 2≥32a 2≤32∴f (-2)<f (2)≤f (1)=0,M (a )=0;②当0≤a<3时,∵3a>a ,3-a>0,∴f (-2)≤f (2),f (1)≤f (2)=3-a ,即M (a )=3-a ;③当a<0时,<0,->0,∵a 2a 2∴f (1)<f (2)<f (-2)=3-3a ,即M (a )=3-3a.∴M (a )={0,a ≥3,3-a ,0≤a <3,3-3a ,a <0.21.(15分)已知正项数列{a n }满足a 1=,且32an+1+2,设b n =(2a n -a n+1)a n+1.12a 2n ≥a 3n (1)求证:a n+1<a n ;(2)求证:ln +ln +…+ln >2ln(2a n+1).b 1a1b 2a 2b na n ∵a n >0,a n+1,≤32a 2n ‒a 3n∴a n+1-a n ≤--a n=-a n<0.a 3n +32a 2n(a2n-32a n +1)∴a n+1<a n .(2)猜想要证,只需证b n >,b na n>a 2n +1a 2n.b na n>a 2n +1a 2na 2n +1a n∵b n =(2a n -a n+1)a n+1,∴只需证2a n -a n+1>,a n +1a n只需证a n+1<,2a 2na n +1又∵a n+1,且,≤32a 2n ‒a 3n 32a 2n ‒a 3n <2a 2n a n +1∴a n+1<,2a 2na n +1.∴b n a n>a 2n +1a 2n由累乘法可得=4,b 1·b 2·…·b na 1·a 2·…·a n>a 2n +1a 21a 2n +1∴ln=ln(4).b 1·b 2·…·b na 1·a 2·…·a n >a 2n +1a 21a 2n +1∴ln +ln +…+ln >2ln(2a n+1).b 1a 1b 2a 2b na n 22.(15分)已知数列{a n }中,满足a 1=,a n+1=,记S n 为数列{a n }的前n 项和.12a n +12(1)证明:a n+1>a n ;(2)证明:a n =cos ;π3·2n -1(3)证明:S n >n-27+π254.因为2-2=a n +1-2=(1-a n )(1+2a n ),a 2n +1a 2n a 2n 所以只需要证明a n <1即可.下面用数学归纳法证明:当n=1时,a 1=<1成立,假设n=k 时,a k <1成立,12那么当n=k+1时,a k+1==1,a k +12<1+12所以综上所述,对任意的正整数n ,a n <1.所以a n+1>a n .(2)用数学归纳法证明a n =cos π3·2n -1.当n=1时,a 1==cos 成立,12π3假设n=k 时,a k =cos ,π3·2k -1那么当n=k+1时,a k+1==cos 所以综上所述,对任意n ,a n =cos a k +12=cosπ3·2k -1+12π3·2k.π3·2n -1.(3)=1-=1-=sin2,得an-1>1-故S n >=n-1-a n -12a n -1+12a 2n π3·2n -1<(π3·2n -1)22π29·4n -1.n∑i =2(1-2π29·4i)+12>n-12‒2π29×43×116(1-14n -1)27+π254.。

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：七不等式、推理与证明 Word版含解析

能力为 4,乙的观察能力优于创造力,故 B 错.甲的六大能力总和为 25,乙的六大能力总和为 24,故甲的
六大能力整体水平优于乙,故 C 正确.甲的六大能力中,推理能力为 3,为最差能力,故 D 错.综上,故选 C.
13.F+V-E=2 三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;正方体中 6+8-12=2;由此归纳可得 F+V-E=2.
B. �� <
-
或��<2}
D.{x|x<-3 或 x>2}
3.下面四个推理中,属于演绎推理的是( )
A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则 72 015 的末两位数字为 43
B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数
�� ·8=20,当且仅当 �� = (x>0),即 x=80
时等号成立,故选 B.
{ �� - �� + 1 ≥ 0,
11.D 实数 x,y 满足约束条件 2�� + �� - �� ≥ 0,的可行域如图阴影部分所示. 2�� - �� - 4 ≤ 0,
4.D 对于 A:不能保证 x>0.
对于 B:不能保证 sin x=1; 对于 C:不能保证 ��2 + 2=1;
4
4
4
4
对于 D:∵x>1,∴y=x+ -3=x-1+ -2≥2
�� - 1
�� - 1

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.4 基本不等式考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析当b a为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案－1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94，当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0，即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________．答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52，当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________．答案 12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案 4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________．答案 27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确；因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________．答案 174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号，令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14，因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________．答案 3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。

2020届高考数学总复习第七章不等式推理与证明7_3基本不等式课时作业文(含解析)新人教A版

7-3 基本不等式课时作业A 组——基础对点练1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( ) A ．3 B ．4C ．6D ．8【答案】B2．(2019·湖北稳派教育二联)若x ＞0，y ＞0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )A ．x ＝yB ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1【答案】C3．(2019·潍坊三模)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( ) A.53B ．3C ．5 D. 9【答案】D4．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．4【答案】A5．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6 ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．－2 3B ．－53 3C ．－3 3D ．－723 【答案】A6．(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( ) A ．1 B.32C ．2 D.92【答案】A7．若 {a n }为等比数列，a n ＞0 ，且a 2018＝22，则1a 2017＋2a 2019的最小值为__________．【答案】48．(2019·吉林模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为__________．【答案】49．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值．(2)求1x ＋1y的最小值． 10．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．B 组——能力提升练1．(2019·河南适应性考试)已知函数f (x )＝e x在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b 的最小值是( )A. 4 B ．2C ．2 2 D. 2【答案】D2．在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C的最小值为( ) A.32 B.334 C.32 D. 53【答案】C3．(2019·肇庆三模)已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________．【答案】 34．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】2 25．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．。

2020版高考数学一轮总复习第七单元不等式与推理证明教案全集含解析

不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质． 2．会比较两个代数式的大小． 3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理 1．不等式的定义用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a 0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b<1⇔a b ⇔b <a ； ②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >dac >bd ；⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n >1)．1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b；(2)a <0<b1a <1b.2．分数性质若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a b －ma －m(b －m >0)； (2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B)A ．W >300B ．W ≥300C ．W <300D ．W ≤3002．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c b cD.a d 1－c >0，又a >b >0，所以－a d >－b c ，所以a d <b c.5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为－1，－2，－3(答案不唯一) .只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．比较大小设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z令t ＝2x＝3y＝5z，因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.所以2x －3y ＝2lg tlg 2－3lg t lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＞0，所以2x ＞3y .又因为2x －5z ＝2lg tlg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5 ＝lg t－lg 2×lg 5＜0，所以2x ＜5z ，所以3y ＜2x ＜5z .判断或证明大小关系下列命题： ①若a >b ，则a 2>b 2；②若a >b >0，c >d >0，则a d >b c； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a ab； ④若a >b ，则a 3>b 3.其中，真命题的序号是__________．对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题．对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1c，又a >b >0，所以a d >b c>0，所以a d>bc.故②为真命题．对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m b －ab ＋m b>0.所以a ＋mb ＋m >ab，即③为真命题．对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．②③④(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)； ③利用函数的单调性或借助函数的图象．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中正确结论的序号是 ①②③ .①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1a，又c <0，所以c a >c b，故①正确．(方法二：利用作差比较法) 因为c a －c b ＝c b －a ab >0，所以c a >cb.故①正确．②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以ab>1，c <0，所以a c b c ＝(a b)c <1，所以a c b >1时，a cb >1，又c <0，所以a －c >b －c ，由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．不等式性质的应用若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x－y 的范围已经给出，若能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ，而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6，所以－6≤x ＋2y ≤3，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号，所以z 的最小值为－6.－6(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)A ．0B ．3C ．4D ．52x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋43×3＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时取等号，满足x ≥0，所以(2x ＋y )max ＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x <bc <y <d⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b －d <－y <－c⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．一元二次不等式1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 2．掌握一元二次不等式的解法． 3．会求解简单的分式不等式．知识梳理1．一元二次不等式的定义只含 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则一元二次不等式的解集如下表所示：3.分式不等式与一元二次不等式的关系 (1)x －ax －b>0⇔ (x －a )(x －b )>0 ； (2)x －ax －b<0⇔ (x －a )(x －b )<0 ； (3)x －ax －b≥0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －a x －b ，x －b ≠0 ；(4)x －a x －b≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －a x －b ，x －b ≠0 .热身练习1．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是 [－3,1] .要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．2．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <3}，则A ∩B ＝(B)A ．[－2,3)B ．[－2，－1]C ．[－1,1]D ．[1,3)由x 2－2x －3≥0得(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，所以A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．3．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1)>0的解是(B) A ．0<x <a B ．a <x <1 C ．x <a 或x >1 D ．x <1或x >a 4．不等式x －3x ＋2<0的解集为(A) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |x <－2} C ．{x |x <－2，或x >3} D ．{x |x >3}由x －3x ＋2<0得(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3. 5．不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是(D)A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，所以0<m <2.一元二次不等式的解法已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－4x (x <0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x ，无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上，f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．(－5,0)∪(5，＋∞)(1)解一元二次不等式的一般步骤：①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．(2)当f (x )是分段函数时，求f (x )>g (x )的解集时，要分段求解，然后取并集．1．(2018·河南洛阳模拟)不等式lg(x 2－3x )<1的解集为(D) A ．(－2,5) B ．(－5,2) C ．(3,5) D ．(－2,0)∪(3,5)不等式lg(x 2－3x )<1等价于：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >0，x 2－3x <10，解得－2<x <0或3<x <5.所以不等式lg(x 2－3x )<1的解集为(－2,0)∪(3,5)．简单的分式不等式的解法不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是__________．不等式x －2x 2＋3x ＋2>0等价于下面的不等式组：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x 2＋3x ＋2>0，或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x 2＋3x ＋2<0，解(Ⅰ)得x >2，解(Ⅱ)得－2<x <－1.所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(2，＋∞)．(－2，－1)∪(2，＋∞)(1)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分、整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．(2)求解分式不等式常有如下两种等价变形方式：f xg x >0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f x ，g x ，或⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，g x⇔ f (x )·g (x )>0.前者转化为不等式组，后者转化为整式不等式．2．(2019·上海市虹口区一模)关于x 的不等式xx －1≥2的解集为 (1,2] .原不等式等价于x x －1≥2⇔x －x －x －1≥0x －2x －1≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －1≠0⇔ 1<x ≤2.所以原不等式的解集为(1,2]．含参数的一元二次不等式的解法解关于x 的不等式x 2－x －a (a －1)>0.原不等式可化为(x ＋a －1)(x －a )>0，当a >－(a －1)，即a >12时，则x >a 或x <1－a ；当a ＝－(a －1)，即a ＝12时，则(x －12)2>0，得x ≠12，x ∈R ；当a <－(a －1)，即a <12时，则x <a 或x >1－a .综上：当a >12时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }；当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠12，x ∈R }；当a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }．(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论．(2)一般地，含参数的二次型不等式，常常要从二次项的系数、判别式的符号、方程根的大小等方面进行分类讨论．分类时，要注意不重不漏；写解集时，要注意结合图象；最后还要注意将结论进行综合，分类写了答案．3．(2018·天津大港区模拟)解关于x 的不等式kx 2＋2x ＋k <0(k ≤0)．(1)当k ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}． (2)当k <0时，①当Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解集为 {x |x <－1＋1－k 2k 或x >－1－1－k 2k}；②当Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；③当Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解集为{x ∈R |x ≠－1}．综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}；当－1<k <0时，不等式的解集为{x |x <－1＋1－k 2k 或x >－1－1－k 2k}；当k ＝－1时，不等式的解集为{x ∈R |x ≠－1}；当k <－1时，不等式的解集为R .1．一元一次不等式(组)、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速，这是解其他不等式的基础．利用数轴及二次函数图象是解一元一次不等式(组)、一元二次不等式的常用方法之一．对于二次不等式的求解问题还要注意“三个二次”的相互联系，注意数形结合思想方法的运用．2．解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，然后转化为整式不等式来解；转化时，要注意以下同解原理：(1)不等式f xg x＞0(或＜0)与不等式f (x )g (x )＞0(或＜0)同解； (2)不等式f xg x≥0(或≤0)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx g x ，gx(或⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x)同解．3．注意含参数的不等式分类讨论时，分类要不重不漏．如解含参数t 的不等式x 2f (t )＋xg (t )＋r (t )＞0(或＜0)，一般需要从三个方面进行讨论求解：一是讨论x 2的系数f (t )的取值情况(为正、为负还是为零)；二是讨论Δ的取值情况(为正、为负还是为零)；三是讨论两根的大小(x 1＜x 2，x 1＞x 2，还是x 1＝x 2)．简单的线性规划问题1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0 某一侧所有点组成的平面区域．(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 .(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．3．利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z＝0，画出直线l0；(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值．热身练习1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C)A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－1)将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选C.2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B)直线定界，因为2x －y ＝0不经过(2,1)点排除D,2x －y <0不包括边界，排除A ，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x －y <0表示的区域内，故排除C ，选B.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于(C)A.32B.23 C.43 D.34不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：所以S 阴＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－43×1＝43.4．目标函数z ＝x ＋2y ，将其看成直线方程时，z 的意义是(C) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的2倍 D ．该直线纵截距的12将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z2，可知z ＝2b ，表示该直线的纵截距的2倍．5．(2015·北京卷)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为 7 .把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，通过平移直线y ＝－23x 知，当过点A (2,1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值且z max ＝2×2＋3×1＝7.求线性目标函数的最值(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为______．作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.6(1)对线性目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号一定要注意．当B ＞0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当B ＜0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察结果就可能有误．1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是(B)A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．求非线性目标函数的最值若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为____________．画出可行域如图阴影所示，因为y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，所以在点A 处时，y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以A (1,3)．所以y x的最大值为3.3求非线性目标函数的最值问题，关键是从目标函数联想到相对应的几何意义，常见的是两点连线的斜率和两点间的距离，在此基础上再利用数形结合的思想方法进行求解．2．(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是(C)A ．4B ．9C ．10D ．12作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.线性规划在实际问题中的应用某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元设出甲、乙两种产品的数量，列出关系式，转化为线性规划问题，画出可行域求解．设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.D建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：①设出所求未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图象法求出最优解．3．(2016·全国卷Ⅰ·理)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 216 000 元．设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.画出可行域，如图：目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．1．画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，是它们平面区域的公共部分．2．对线性目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号一定要注意．当B ＞0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当B ＜0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．3．常见目标函数有截距型(ax ＋by ＝z )，距离型(z ＝x －x 02＋y －y 02)，斜率型(z ＝y －y 0x －x 0)几种． 4．最优解一般在可行域的顶点处或边界取得，要注意边界的虚实．此外解选择、填空题常常可先求可行域的顶点，再代入目标函数验算．5．建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：(1)明确问题中的有待确定的未知量，并用数学符号表示；(2)明确问题中所有的限制(约束)条件，并用线性方程或线性不等式表示；(3)明确问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键，可以把题目涉及的量分类列出，理清思路，然后列出不等式(或方程组)确定约束条件和目标函数．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处取得最优解．基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理 1．基本不等式a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号． 2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )； (2)a b ＋b a≥ 2 (a ，b 同号)； (3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥ (a ＋b2)2.3．基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． (2)两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2A 、C 中，a ＝b 时不成立，B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A ．ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ≤(a ＋b2)2C.a 2＋b 22≥a ＋b2 D.2aba ＋b≥ab易知A ，B 成立，对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以a 2＋b 22≥(a ＋b2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b2，故C 成立．对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900设矩形的长为x ，宽为y ，则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30，所以S ＝xy ≤(x ＋y2)2＝225，即S max ＝225.当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A. 4．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )(A)A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数f (x )＝－[(－2x )＋(－1x)]－1≤－22－1，当且仅当x ＝－22时，等号成立，所以函数f (x )有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为 8 .因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋ba≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是A ．x 2＋1>2x (x ∈R ) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1>2(x >0) D ．x ≥1x(x >0)对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确；对于C ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．对于D ，当0<x <1时，x <1x，故D 不正确．C运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x 的最小值为4C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x 的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.利用基本不等式求最值(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．(2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，y max ＝1.(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(方法二)由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，从而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16，所以当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32.(2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)A ．4B ．6C ．8D ．10(1)因为x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6.所以xy ＝16(2x )·(3y )≤16(2x ＋3y 2)2＝32，当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(2)a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min .因为x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，因为x >1，所以(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”，所以a ≤6. 故a 的最小值为6.基本不等式的实际应用(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为(3600x＋4x )万元．因为3600x＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．30应用基本不等式解决实际问题的步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80 件．设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值． 3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．知识梳理 1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理； ②小前提—— 所研究的特殊情况；③结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 .热身练习1．(2015·陕西卷)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .等式左边是一个和式，先观察其通项：等式的左边的通项为12n －1－12n，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.2．用类比的方法填写下表中的空白：类比得：b 1·b 2·b 3·b 4·b 5＝b 53.3．如图(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝ PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.平面上的面积可类比到空间上的体积．V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝13·S △PA ′B ′·h ′13·S △PAB ·h ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC. 4．(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理是(B)A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错误D ．是三段论推理，但大前提错误5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．。

2020版高考数学一轮总复习第七单元不等式与推理证明课时4基本不等式教案文(含解析)新人教A版

基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式a ＋b 2≥ab(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号．2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )；(2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)；(3)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2. 3．基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大．(2)两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2A 、C 中，a ＝b 时不成立，B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D)A ．ab ≤a 2＋b 22B ．ab ≤(a ＋b 2)2C.a 2＋b 22≥a ＋b 2D.2aba ＋b ≥ab易知A ，B 成立，对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b2，故C 成立．对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A)A ．225B ．450C ．500D ．900设矩形的长为x ，宽为y ，则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30，所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝225，即S max ＝225.当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A.4．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )(A)A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数f (x )＝－[(－2x )＋(－1x )]－1≤－22－1，当且仅当x ＝－22时，等号成立，所以函数f (x )有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为8 .因为直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，所以1a ＋2b ＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab ·b a ＝8，当且仅当ba ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是A ．x 2＋1>2x (x ∈R )B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1>2(x >0) D ．x ≥1x(x >0)对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确；对于C ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．对于D ，当0<x <1时，x <1x，故D 不正确．C运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C)A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)；对于C ，当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.利用基本不等式求最值(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值． (2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3 ≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，y max ＝1.(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9x y ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(方法二)由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，从而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，所以当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32. (2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)A ．4B ．6C ．8D ．10(1)因为x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6.所以xy ＝16(2x )·(3y )≤16(2x ＋3y 2)2＝32，当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32. (2)a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min . 因为x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，因为x >1，所以(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”，所以a ≤6. 故a 的最小值为6.基本不等式的实际应用(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为(3600x＋4x )万元．因为3600x ＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．30应用基本不等式解决实际问题的步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80 件．设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值．3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c N解析方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 20，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14，又3<a <8，∴19×3<a b <14×8，即13<a b<2. 延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2，又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a 13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,31，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a |b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c 0 答案 D解析因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b，故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

2020版高考数学理一轮总温习层级快练第七章不等式及推理与证明作业47

题组层级快练(四十七)1．分析法又称执果索因法，假设用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac<3a ”“索”的“因”应是( )A ．a －b>0B ．a －c>0C ．(a －b)(a －c)>0D ．(a －b)(a －c)<0 答案 C解析 b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0.2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D3．以下不等式不成立的是( )A.12<ln2 B.3＋1>2 2 C ．233<322D ．sin1>cos1 答案 B4．假设P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P>QB ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值确信答案 C解析要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只要比较a （a ＋7）与（a ＋3）（a ＋4）的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反证法证明命题“三角形的内角最多有一个钝角”时，假设正确的选项是( )A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 B解析注意到：“最多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.6．假设a>0，b>0，a ＋b ＝1，那么以下不等式不成立的是( )A ．a 2＋b 2≥12B ．ab ≤14C.1a ＋1b ≥4D.a ＋b ≤1答案 D解析 a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·(a ＋b 2)2＝12，∴A 成立；ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴B 成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1（a ＋b 2）2＝4，∴C 成立； (a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab>1，∴a ＋b>1，故D 不成立．7．(2019·东北四校联考)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，那么a ，b ，c 三个数() A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析假设a ，b ，c 三个数都小于2.那么6>a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥2x·1x ＋2y·1y ＋2z·1z ＝6，即6>6，矛盾．因此a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于2.8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案略证明要证lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋ab ≤（1＋a ）（1＋b ），即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2ab ≤a ＋b ，而2ab ≤a ＋b 成立， ∴lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．(2019·江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，假设x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 答案略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)假设x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是不是仍然成立？若是成立，请给出证明；若是不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)假设x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，现在不等式仍然成立．11．(2019·湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n ≥2，n ∈N *)．答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明：由(1)可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1（n －1）2＋1（n ＋1）2>2n 2，只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2.只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2.只需证3n 2>1.而3n2>1在n≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)恒成立． 12．设数列{a n }知足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑n k ＝1b k ，证明：S n <1. 答案 (1)a n ＝1－1n(2)略解析 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，得{11－a n}是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n＝n.因此a n ＝1－1n . (2)由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝∑n k ＝1b k ＝∑n k ＝1 (1k －1k ＋1)＝1－1n ＋1<1. 13．(2021·湖南，理)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b. 证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．答案 (1)略 (2)略解析 (1)由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a>0，b>0，得ab ＝1. 由大体不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，那么由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．14．已知函数f(x)＝lnx －ax ＋b x ，对任意的x ∈(0，＋∞)，知足f(x)＋f(1x)＝0，其中a ，b 为常数． (1)假设f(x)的图像在x ＝1处的切线通过点(0，－5)，求a 的值；(2)已知0<a<1，求证：f(a 22)>0. 答案 (1)－2 (2)略解析 (1)在f(x)＋f(1x)＝0中，取x ＝1，得f(1)＝0，又f(1)＝ln1－a＋b＝－a＋b，因此b＝a.从而f(x)＝lnx －ax ＋a x， f ′(x)＝1x －a(1＋1x 2)，f ′(1)＝1－2a. 又f′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，因此1－2a ＝5，a ＝－2. (2)证明：f(a 22)＝ln a 22－a 32＋2a ＝2lna ＋2a －a 32－ln2. 令g(x)＝2lnx ＋2x －x 32－ln2，那么g′(x)＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2. 因此，x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，故x ∈(0，1)时，g(x)>g(1)＝2－12－ln2>1－lne ＝0. 因此，0<a<1时，f(a 22)>0.。

2020版高考数学一轮总复习第七单元不等式与推理证明课后作业全集含解析

一元二次不等式1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是(D) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x ≠－1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，即－1<x ≤2.所以不等式的解集为(－1,2]．2．方程ax 2＋5x ＋c >0的解集为{x |13<x <12}，则a 和c 的值为(D)A ．6,1B ．6，－1C ．－6,1D ．－6，－1由题知a ＜0且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12c a ＝13×12⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x)>0的解集为(D)A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}依题意知f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，所以f (10x－1<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.4．(2018·广东清远一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是(C)A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－1,3) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b <0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3.所以原不等式的解集为(－1,3)．5．若集合A ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x ∈R |(x －2)(x －5)＜0}，则A ∩B ＝ {x |2<x <3} .A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <5}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}． 6．不等式4x －2≤x －2的解集为 [0,2)∪[4，＋∞) .当x －2>0，即x >2时，不等式化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；当x －2<0，即x <2时，不等式化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．7．设a ∈R ，集合A ＝R ，B ＝{x ∈R |(a －2)x 2＋2(a －2)x －3<0}． (1)若a ＝3，求集合B (用区间表示)； (2)若A ＝B ，求实数a 的取值范围．(1)当a ＝3时，B ＝{x ∈R |x 2＋2x －3<0}．由x 2＋2x －3<0，得(x ＋3)(x －1)<0，即－3<x <1，所以B ＝(－3,1)．(2)依题意有：(a －2)x 2＋2(a －2)x －3<0对任意x ∈R 恒成立，当a ＝2时，原不等式化为－3<0，此不等式恒成立．当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝a －2＋a －，解得－1<a <2. 综上所述，－1<a ≤2.8．(2017·安徽江淮十校第三次联考)|x |(1－2x )>0的解集为(A) A ．(－∞，0)∪(0，12) B ．(－∞，12)C ．(12，＋∞) D．(0，12)当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0.综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，12)．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则关于x 的不等式f (x )≥x 2的解集为 [－1,1] .⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x ＋2≥x 2，得x ∈[－1,1]．10．解关于x 的不等式ax 2－2(1＋a )x ＋4>0.原不等式化为(x －2)(ax －2)>0，①当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}．②当a <0时，有2>2a ，原不等式化为(x －2)(x －2a )<0，其解集为{x |2a<x <2}．③当0<a <1时，有2<2a ，原不等式化为(x －2)(x －2a )>0，其解集为{x |x >2a或x <2}．④当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2>0，其解集为{x ∈R |x ≠2}．⑤当a >1时，有2>2a ，原不等式化为(x －2)(x －2a )>0，其解集为{x |x >2或x <2a}简单的线性规划问题1．(2016·北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为(C)A ．－1B ．3C ．7D ．8作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7.2．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是(A)A ．－15B ．－9C ．1D ．9不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.3．(2018·广州一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为(D)A.12B.14 C ．－12 D ．－34画出可行域，如图：(方法一)因为z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1，所以z 表示可行域内的点与点(－1,0)的距离的平方减去1. 所以z min ＝(12)2－1＝－34.(方法二)z ＝x 2＋2x ＋y 2变形为(x ＋1)2＋y 2＝1＋z .故目标函数可看作是以点(－1,0)为圆心，1＋z 为半径的圆．当圆与区域的边界相切时，取最小值．所以d ＝12≤1＋z ，所以1＋z ≥14，从而z ≥－34.所以z min ＝－34.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱设甲车间加工x 箱原料，乙车间加工y 箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≤480，x ＋y ≤70，x ，y ∈N *，z ＝7×40x ＋4×50y ＝280x ＋200y ，画出可行域如图阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ＝480，x ＋y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝55.知z 在A 点处取得最大值，故选B.5．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 9 .由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．目标函数z ＝x ＋y 取得最大值斜率为－1的平行直线x ＋y ＝z (z 看作常数)的截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，所以z max ＝5＋4＝9.6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则(1)yx的取值范围为 [2，＋∞) ； (2)x 2＋y 2的取值范围为 (1,5] .作出可行域，其可行域是顶点分别为A (0,1)，B (1,2)，C (0,2)的三角形及其内部(但不包括AC 边)．(1)因为yx表示可行域内的点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，可知其取值范围为[2，＋∞)． (2)因为x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到(0,0)的距离的平方，可知其取值范围为(1,5]．7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，问T 中的点共确定多少条不同的直线？画出不等式组所表示的平面区域(如下图所示)．令z ＝0，得直线l ：x ＋y ＝0，平移直线l ，由图象可知当直线经过整点A (0,1)时，z 取最小值，当直线经过整点B (0,4)，C (1,3)，D (2,2)，E (3,1)，F (4,0)时，z 取最大值．所以T ＝{(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，所以T 中的点可确定的直线有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．8．(2016·浙江卷)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)A.355B. 2C.322D. 5根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.9．(2018·深圳二模)已知a <0，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋y ＋a ≤0，x －y －2≤0，若z ＝x ＋2y 的最大值为5，则a ＝－2 .画出可行域(如图)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－x 2＋z2.平移y ＝－x2经过A (－1,1－a )时，z 取最大值，所以z max ＝－1＋2－2a ＝5，所以a ＝－2.10．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．①②(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．基本不等式1．对x ∈R 且x ≠0都成立的不等式是(D) A ．x ＋1x ≥2 B ．x ＋1x≤－2C.|x |x 2＋1≥12 D ．|x ＋1x|≥2因为x ∈R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x＝－(－x ＋1－x )≤－2，所以A ，B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D.2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 1，即v >a .3．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为(C) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4由1a ＋2b＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝48，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是(B) A ．3 B ．4 C.92 D.112利用基本不等式，x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－(x ＋2y 2)2，整理，得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4. 当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号．5．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为 14 .因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6.所以2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当2a＝2－3b，即a ＝－3b 时，取“＝”，即2a＋18b 取得最小值14，结合a －3b ＋6＝0，知此时a ＝－3，b ＝1.6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 20 (m)．设矩形的高为y (m)，面积为S (m 2)，由三角形相似得x 40＝40－y40，即x ＋y ＝40.所以S ＝xy ≤(x ＋y2)2＝400，当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1. (1)求1x ＋1y的最小值；(2)求log 2x ＋log 2y 的最大值．(1)因为1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(4x ＋y )＝y x ＋4xy＋5≥2y x ·4xy＋5＝9. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时，取“＝”．所以1x ＋1y的最小值为9.(2)log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝log 2(14·4x ·y )≤log 2[14(4x ＋y 2)2]＝log 2116＝－4，当且仅当4x ＝y ，即x ＝18，y ＝12时取“＝”．所以log 2x ＋log 2y 的最大值为－4.8．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是(C)A ．[－1,7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)由题意可知，不等式(x －ax ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax ≤a ＋2，所以a ≤x 2－x ＋2x －2对x >2都成立，即a ≤(x 2－x ＋2x －2)min .由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2x －4x －2＋3＝7(x >2)，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立，所以a ≤7.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1且a ·b ＝12，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是3 .因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝12，所以|c|2＝x 2＋y 2＋2xy a·b ＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝4－xy ≥4－(x ＋y2)2≥3.当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”．所以|c|≥ 3.10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为x 米，两侧砖墙长为y 米，且x ，y >0.顶部面积S ＝xy ，依题意得，400x ＋900y ＋200xy ＝32000，由基本不等式得32000＝400x ＋900y ＋200xy ≥2400x ·900y ＋200xy ＝1200xy ＋200xy ，即32000≥1200S ＋200S ，即S ＋6S －160≤0，令t ＝S (t >0)，得t 2＋6t －160≤0，即(t －10)(t ＋16)≤0，所以0<t ≤10，即0<S ≤10，所以0<S ≤100. 所以S 的最大允许值为100平方米．(2)由(1)S ≤100，当且仅当400x ＝900y ，且xy ＝100时等号成立，解得x ＝15. 所以正面铁栅应设计为15米长．合情推理与演绎推理1．下列在向量范围内成立的命题，类比推广到复数范围内，仍然为真命题的个数是(C) ①|a·b |≤|a|·|b|; ②|a ＋b|≤|a|＋|b|； ③a 2≥0; ④(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4其中①、②、④为真，③为假，故选C.2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ∈N *)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n为(B)A.2n ＋2B.2nn ＋C.22n－1 D.22n －1因为S 2＝4a 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝13＝26＝22×3，因为S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，所以a 3＝16＝212＝23×4，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋13＋16＋a 4，所以a 4＝110＝220＝24×5，所以猜想a n ＝2nn ＋(n ∈N *)．3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D)A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．4．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a >1)的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比的思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有(C)A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22＝sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22与sin x 1＋x 22的大小不确定易知y ＝a x(a >1)为凹函数，有f x 1＋f x 22>f (x 1＋x 22)；y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象为凸函数，从推理过程类比有f x 1＋f x 22<f (x 1＋x 22)．即有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.5．(2018·广州二模)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15＋21；②49＝18＋31；③64＝28＋36；④81＝36＋45中符合这一规律的等式是 ①③④ .(填写所有正确结论的编号)观察得：(n ＋1)2＝(1＋2＋…＋n )＋[1＋2＋…＋n ＋(n ＋1)]，符合上述特征的数有①③④.6．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 1和3 .由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.7．(2018·湖南岳阳月考)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明：左边＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)2＋ sin α(32cos α－12sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32cos αsin α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34＝右边，故猜想成立．8．如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15,2)为(C)A.2942B.710 C.1724 D.73102由数阵图可以看出每一行的第一个数的分子都是1，分母按3,6,10,15，…排列，从第三行起，每一行第二个数字都是该数字肩上两个数字之和，A (3,2)＝16＋16， A (4,2)＝16＋16＋110， A (5,2)＝16＋16＋110＋115，……A (n,2)＝16＋16＋110＋115＋…＋2n n ＋，所以A (15,2)＝16＋2(13－14＋14－15＋…＋115－116)＝16＋2(13－116)＝1724.故选C.9．(2018·湖南长郡中学联考)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数的最佳分解时，我们定义函数f (n )＝q －p ，例如f (12)＝4－3＝1，数列{f (3n )}的前100项和为 350－1 .a 1＝f (3)＝31－30，a 2＝f (32)＝31－31＝0； a 3＝f (33)＝32－31， a 4＝f (34)＝32－32＝0， a 5＝f (35)＝33－32，……a 99＝f (399)＝350－349， a 100＝f (3100)＝350－350＝0.所以S 100＝31－30＋32－31＋…＋350－349＝350－1.10．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： ①a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m(n ≠m )． ②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . ③若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (n ∈N *)构成公差为n 2d 的等差数列． ⑤a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)构成公差为md 的等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．类比等差数列的性质可得到等比数列的相应性质：①b n ＝b m ·qn －m，q ＝(b n b m )1n －m(n ≠m )．②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则b m ·b n ＝b p ·b q . ③若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则b m ·b n ＝b 2p .④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (n ∈N *)构成公比为q n的等比数列． ⑤b k ，b k ＋m ，b k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)构成公比为q m的等比数列．直接证明与间接证明1．(2018·和平区校级月考)否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为(D)A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，选D.2．(2018·滦南县期末)若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a x >0，且x ＋y ＝1，那么(D)A ．x <x ＋y2<y <xy B.xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y2<xy <y D ．x <xy <x ＋y2<y因为y >x >0，所以y >x ＋y2>xy >x ，选D.4．(2017·石河子校级月考)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数(C)A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2因为a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1y≥6，若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6与上式矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个不小于2，选C.5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是 a ≤b .6．设a ，b ，u 都是正实数，且a ，b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是 (0,16] .因为1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b)＝1＋a b ×9＋b a＋9 ≥10＋29a b ×ba＝16.当且仅当9a b ＝ba，即a ＝4，b ＝12时取等号．若a ＋b ≥u 恒成立，所以0<u ≤16.7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数．由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x ＋1)＝f (－x )，上式对任意x 都成立，将x 换成x －12代入上式可得f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]，即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)．由偶函数的定义知f (x ＋12)为偶函数．8．(2018·合肥市二检)已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等关系恒成立的是(C)A ．b －a <2B ．a ＋2b >2C ．b －a >2D ．a ＋2b <2由题意知f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．又f (x )＝1－2x1＋2x ＝2－＋2x1＋2x＝21＋2x －1，所以f (x )是R 上的减函数．由f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，可得f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)，故2a ＋b <3b －4，即b －a >2，故选C.9．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，32) .因为f (x )在[－1,1]至少存在一点c ，使f (c )>0，则f (x )max >0，所以f (－1)＝－2p 2＋p ＋1>0，或f (1)＝－2p 2－3p ＋9>0，解得－3<p <32.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N )，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.因为p ，q ，r ∈N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以(p ＋r 2)2＝pr ，所以(p －r )2＝0，所以p ＝r .这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．不等关系与不等式的性质1．对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为a >b ，且cac 2>bc 2，而ac 2>bc 2a >b ，所以“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．2．(2018·温州模拟)已知a >b ，则下列不等式恒成立的是(D)A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>abD ．a 2＋b 2>2ab只有当a >b >0时，A 成立；只有当a ，b 同号时，B 成立；只有当a >0时，C 成立；因为a ≠b ，a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2>0，即a 2＋b 2>2ab .故D 成立．3．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为(A)A ．m >p >nB ．m >n >pC ．n >m >pD ．p >m >n因为a >1，所以(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，所以m >p .又2a －(a －1)＝a ＋1>0，即2a >a －1，所以p >n ，所以m >p >n .4．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)．若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则(A)A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定要比较两个量的大小，只要作差、变形、判断就可以了，事实上： f (x 1)－f (x 2)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)[(x 1＋x 2)＋2]＝a (3－a )(x 1－x 2)．因为x 1－x 2<0,0＜a ＜3，所以f (x 1)<f (x 2)．5．给出下列命题：① a b 且1a >1b a >0，b >0；③ a >|ba 2>b 2； ④ a >b a n >b n (n ∈N *)．其中真命题的序号是 ③ .由不等式的性质可知，只有③成立，故填③.6．已知π2<α<β<π，则α＋β的取值范围是 (π，2π) ，α－β的取值范围是 (－π2，0) . 7．已知a ，b ∈R ，求证a 2＋b 2≥ab ＋a －b －1.2(a 2＋b 2)－2(ab ＋a －b －1) ＝(a 2＋b 2－2ab )＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －b )2＋(a －1)2＋(b ＋1)2≥0.所以a 2＋b 2≥ab ＋a －b －1.8．(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .(B)A ．若f (a )≤|b |，则a ≤bB ．若f (a )≤2b ，则a ≤bC ．若f (a )≥|b |，则a ≥bD ．若f (a )≥2b ，则a ≥b因为f (x )≥|x |，所以f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．因为f (x )≥2x ，所以f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.9．(2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是 3 .由已知得2x －y ≥0，y －x ≥1.令2y －x ＝m (2x －y )＋n (y －x )，由待定系数法得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋n ＝2，2m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m＝1，n ＝3.所以2y －x ＝(2y －x )＋3(y －x )≥0＋3＝3.所以2y －x 的最小值为3.10．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，求z ＝2x －3y 的取值范围．设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.所以－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8.所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)．。

2020届高考数学一轮第七单元不等式与推理证明第讲数学归纳法练习理新人教A版

第49讲数学归纳法1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n 等于(D)A ．1B ．2C ．3D ．42．用数学归纳法证明：当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除，第二步假设应写成(D) A ．假设n ＝k (k 为正奇数)时命题成立，再推证n ＝k ＋1时命题成立 B ．假设n ＝2k ＋1时 (k ∈N *)命题成立，再推证n ＝2k ＋2时命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1时 (k ∈N *)命题成立，再推证n ＝2k ＋3时命题成立 D ．假设n ＝2k －1时 (k ∈N *)命题成立，再推证n ＝2k ＋1时命题成立k 为正奇数时，k ＋1为正偶数，A 不正确； 2k ＋1为正奇数时，2k ＋2为正偶数，B 不正确；2k ＋1与2k ＋3 (k ∈N *)虽为相邻两正奇数，但1未包含其中，故C 也不正确，应选D. 3．平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系为(D)A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2D ．f (k ＋1)＝f (k )＋k当k 条直线再增加一条时，这条直线与前k 条直线都有交点，故当增加一条直线时，就增加了k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k .4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于(D) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2因为f (n )为从n ＋1到2n 之间的连续正整数的倒数之和，所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，故f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 5．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N 且n >1)，第一步要验证的不等式是 1＋12＋13<2 .6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2a n (n ∈N *)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝2nn ＋.用不完全归纳法可得a n ＝2n n ＋.也可直接求出：因为S n ＝n 2a n ，所以S n －1＝(n －1)2a n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，故a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝2n n ＋.7．设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．(1)因为a 1＝1，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a3＋a. 猜想：a n ＝a n －＋a.(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时，猜想正确，即a k ＝a k －＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k＝a ·ak －＋aa ＋ak －＋a＝a k －＋a ＋1＝ak ＋－1]＋a，这说明，n ＝k ＋1时猜想也正确．由①②可知，对于任意n ∈N *，都有a n ＝a n －＋a成立．8．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得(C)A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立如果n ＝4时命题成立，那么由题设，可推得n ＝5时命题也成立，上面的判断作为一个命题，它的逆否命题是：如果n ＝5时命题不成立，那么n ＝4时命题也不成立，依据原命题等价于逆否命题，即原命题成立，则逆否命题也一定成立，应选C.9．平面上有k 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不交于同一点，则在k 个圆的基础上再增加一个圆，k ＋1个圆将平面分成的区域在k 个圆的基础上增加 2k 块．当n ＝k ＋1时，平面上增加了第k ＋1个圆，它与原来的k 个圆的每一个圆都相交于两个不同的点，共2k 个交点，这2k 个交点将第k ＋1个圆分成2k 段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，故区域共增加了2k 块．10．设数列{n2n }的前n 项和为S n .(1)求S n ；(2)问是否存在自然数n 0，使得对n >n 0的一切自然数n 都有S n >2－1n？若存在，求最小的自然数n 0，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．(1)S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，② 由①－②得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12[1－12n]1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1. 所以S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n .(2)要S n >2－1n ，只需n ＋22n <1n ，亦即n n ＋2n<1.①当n ＝6时，＋26＝4864＝34<1成立． ②假设当n ＝k (k ≥6)时不等式成立，即k k ＋2k<1.则当n ＝k ＋1时，k ＋k ＋2k ＋1＝k k ＋2k·k ＋k ＋2k k ＋<k ＋k ＋k ＋k<1.由①②可知，当n >5时，n n ＋2n<1，即S n >2－1n.而当n ＝5时，n n ＋2n ＝5×732>1，从而S n <2－1n. 因此，存在最小的自然数n 0＝5，对n >n 0的一切自然数n 都有S n >2－1n成立．。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内，将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，3)解析根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)，要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3，所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，所以点A 和点B 不同在直线的一侧，所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0，解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)，所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分，则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12，所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方，又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25，故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方，由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)，故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5(舍)．思维升华常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________．答案 [1,5]解析作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ，将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______．答案 52解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)，由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34，所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________．答案－1或2解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行，所以a ＝－1或a ＝2.题型三实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5，所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值，故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元．教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值，即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)，所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率，由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0，得A (6,13)，所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案答案 D解析设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确；当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种，当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种，当x ＝4时，y 可取12，共1种，故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)解析因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________．答案 18解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小．令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3，则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．答案－4解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等，此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．答案 780解析设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台，则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)，且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)，所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )，所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2，因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ，因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值．因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值，所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________．答案－18解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率，由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。

2020届高考数学一轮复习单元检测七不等式推理与证明提升卷单元检测理含解析新人教A版00

单元检测七不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a －b C ．|a |>－b D.1a －b >1b答案 A解析因为a 0，即1a >1b，A 不成立；－a >－b >0，－a >－b ，B 成立；－a ＝|a |>|b |＝－b ，C 成立；当a ＝－3，b ＝－1时，1a －b ＝－12，1b ＝－1，故1a －b >1b，D 成立．2．不等式2x ＋13－x≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，3 C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[3，＋∞) 答案 C解析不等式2x ＋13－x ≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(3－x )≤0，3－x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x －3)≥0，3－x ≠0，解得x ≤－12或x >3，∴不等式2x ＋13－x ≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式答案 C解析因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C 符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 4．“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析由1＋3x －1≥0，得x ＋2x －1≥0，等价于(x －1)(x ＋2)≥0，且x ≠1，解得x ≤－2或x >1.由(x ＋2)(x －1)≥0，得x ≤－2或x ≥1，所以“1＋3x －1≥0”能推出“(x ＋2)·(x －1)≥0”，“(x ＋2)(x －1)≥0”推不出“1＋3x －1≥0”，故“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的充分不必要条件，故选A.5．若x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则xy 的最小值为( ) A ．8B ．14C ．16D ．64 答案 D解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8， ∴xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时取等号， ∴xy 的最小值为64，故选D. 6．已知实数a >0，b >0，1a ＋1＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是( ) A ．32B ．22C ．3D ．2答案 B解析 ∵a >0，b >0，1a ＋1＋1b ＋1＝1， ∴a ＋2b ＝(a ＋1)＋2(b ＋1)－3 ＝[(a ＋1)＋2(b ＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2＋2(b ＋1)a ＋1＋a ＋1b ＋1－3≥3＋22－3＝22，当且仅当2(b ＋1)a ＋1＝a ＋1b ＋1，即a ＝2，b ＝22时取等号，∴a ＋2b 的最小值是22，故选B.7．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b 的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4 答案 B解析由题意知，已知圆的圆心C (－4，－1)在直线l 上，所以－4a －b ＋1＝0，所以4a ＋b ＝1.所以12a ＋2b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝4＋b 2a ＋8a b ≥4＋2b 2a ·8a b ＝8，当且仅当b 2a ＝8ab，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以12a ＋2b的最小值为8.故选B. 8．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为( ) A.23B.35C.29D.47 答案 C解析如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为12×3×32＝94，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为12×1×1＝12.所以点M 恰好落在第二象限的概率为1294＝29，故选C.9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1，则z ＝3y －x 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6] 答案 D解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC 边界及其内部)．因为z ＝3y －x ，所以y ＝13x ＋13z .当直线y ＝13x ＋z3在y 轴上的截距有最小值时，z 有最小值；当在y 轴上的截距有最大值时，z 有最大值．由图可知，当直线y ＝13x ＋z3经过点A (－1,0)，在y 轴上的截距最小，z min ＝0－(－1)＝1；经过点C (0,2)时，在y 轴上的截距最大，z max ＝3×2－0＝6.所以z ＝3y －x 的取值范围为[1,6]，故选D.10．小王计划租用A ，B 两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A 型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为( ) A ．1000元 B ．2000元 C ．3000元 D ．4000元答案 D解析设分别租用A ，B 两种型号的小车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则z ＝1000x ＋600y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋5y ≥30，6≤x ＋y ≤12，x ≥1，(x ，y ∈N )，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．易知当直线y ＝－53x ＋z600过点D (1,5)时，z 取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.11．(2018·贵州贵阳一中月考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，y ≥－x ，y ≤x ＋2，则t ＝y －2x －3的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，125D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，0答案 B解析作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．t ＝y －2x －3表示可行域内的点与点M (3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M 的连线与圆x 2＋y 2＝4相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，则有|3k －2|1＋k 2＝2，解得k ＝125或k ＝0，所以t ＝y －2x －3的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，故选B.12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x (单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z (单位：L)，其中装有体积为y (单位：L)的水(x <z ，y <z )．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n (n ∈N *)次操作之后，乙容器中含有纯酒精a n (单位：L)，下列关于数列{a n }的说法正确的是( ) A ．当x ＝y ＝a 时，数列{a n }有最大值a2B ．设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{b n }为递减数列C ．对任意的n ∈N *，始终有a n ≤xy zD ．对任意的n ∈N *，都有a n ≤xy x ＋y答案 D解析对于A ，若x ＋y >z ，每次倾倒后甲容器都有剩余，则a n <a2，故A 错误；对于B ，若x＋y ＝z ，则每次操作后乙容器所含酒精都为xyx ＋y，b n ＝0，故B 错误；对于C ，若x ＝1，y ＝1，z ＝3，则a 1＝12，xy z ＝13，则a 1>xyz ，故C 错误；对于D ，当n →＋∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x ＋y ≤z 时，a n ＝xyx ＋y，当x ＋y >z 时，a n <xyx ＋y，故选D. 第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－2,4]解析关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，(x －1)2<0，无解，满足题意；当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]．14．已知x ≥32，则2x 2－2x ＋1x －1的最小值为__________．答案 22＋2解析设t ＝x －1，则x ＝t ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12，所以2x 2－2x ＋1x －1＝2(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1t ＝2t 2＋2t ＋1t ＝2t ＋1t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝22时等号成立，所以所求最小值为22＋2.15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持) 答案影视配音解析由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音． 16．(2018·重庆调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )为增函数，且函数y ＝f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，若实数a ，b 满足不等式f (4a －a 2)＋f (b 2－2b －3)≤0，则当2≤a ≤4时，a 2＋(b －1)2的最大值为______．答案 20解析易知f (x )是奇函数，又f (x )是增函数，∴4a －a 2≤－b 2＋2b ＋3，∴|a －2|≥|b －1|，在平面直角坐标系中画出⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|≥|b －1|，2≤a ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，a 2＋(b －1)2表示定点(0,1)到该平面区域内的动点(a ，b )的距离的平方，由图可知动点(a ，b )在图中点(4,3)或点(4，－1)处时，a 2＋(b －1)2取得最大值，最大值为42＋22＝20.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋2x ＋1. (1)若x ∈(－1，＋∞)，求f (x )的最小值，并指出此时x 的值； (2)求不等式f (x )≥2x ＋2的解集．解 (1)由x ∈(－1，＋∞)可得x ＋1>0. 因为f (x )＝2x ＋2x ＋1＝2x ＋2＋2x ＋1－2≥4－2＝2，所以f (x )≥2，当且仅当2x ＋2＝2x ＋1，即x ＝0时取等号．故f (x )的最小值为2，此时x ＝0.(2)由f (x )≥2x ＋2，得－2xx ＋1≥0，所以－1<x ≤0，故所求不等式的解集为(－1,0]．18．(12分)已知函数f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b .(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，且a >0，b >0，求ab 的最大值；(2)当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，求z ＝a ＋b ＋2a ＋1的取值范围．解 (1)因为f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，所以a ＋b －43＝203，即a ＋b ＝8.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，即4≥ab ，所以ab ≤16，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以ab 的最大值为16.(2)因为当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≤1，f (1)≤1，且2a ＋3b ≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a ≤1，b ＋2a ≤3，2a ＋3b ≥3，作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．由图可得经过可行域内的点(a ，b )与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，2，所以z ＝a ＋b ＋2a ＋1＝b ＋1a ＋1＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，3. 19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x 百辆新能源汽车，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，501x ＋10000x －4500，x ≥40.由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．(1)求该企业2019年的利润L (x )万元关于年产量x (单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；(2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2500＝－10x 2＋400x －2500；当x ≥40时，L (x )＝5×100x －501x －10000x＋4500－2500＝2000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2500，0<x <40，2000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥40.(2)当0<x <40时，L (x )＝－10(x －20)2＋1500，所以当0<x <40时，L (x )max ＝L (20)＝1500；当x ≥40时，L (x )＝2000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x≤2000－2x ·10000x＝2000－200＝1800，当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，所以L (x )max ＝L (100)＝1800.因为1800>1500，所以当x ＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1800万元．20．(13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4S n 与2a n 的等差中项为3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式k (－1)n a 2n <S n (n ∈N *)恒成立；若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由； (3)设b n a n ＝n (n ＋2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n (n ∈N *)，若集合M ＝{n |b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解 (1)由4S n 与2a n 的等差中项为3，得 4S n ＋2a n ＝6，①当n ≥2时，4S n －1＋2a n －1＝6，② ①－②得a n ＝13a n －1.又因为在①式中，令n ＝1，得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，13为公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1(n ∈N *)．(2)原问题等价于k (－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫132(n －1)<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1(n ∈N *)恒成立．当n 为奇数时，对任意正整数为k ，不等式恒成立；当n 为偶数时，原不等式等价于2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫132(n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－3<0恒成立，令⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝t,0<t ≤13，则原不等式等价于2kt 2＋t －3<0对0<t ≤13恒成立，k ∈N *.因为f (t )＝2kt 2＋t －3在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递增，故f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝29k －83<0，即k <12.综上，正整数k 的最大值为11.(3)由b n a n ＝n (n ＋2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n (n ∈N *)及a n ＝13n －1，得b n ＝n (n ＋2)2n，b n ＋1－b n ＝－n 2＋32n ＋1，当n ＝1时，b 2>b 1；当n ≥2时，b n ＋1<b n ，且b 1＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 4＝32，b 5＝3532.由集合M ＝{n |b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，得3532<λ≤32，即实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤3532，32.。

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