布莱克-舒尔斯期权定价模型(PPT 60页)

d f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) d t S f S d z
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f 为
f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) t S f S z
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 允许卖空标的证券 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
股票价格服从对数正态分布。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
伊藤引理 ( Ito Lemma )
证券价格S遵循伊藤过程：d S S d tS d z
衍生证券的价格G是证券价格S和时间t的函数， G(x,t)将遵循如下过程：
d G ( G SS G t 1 2 S 2 G 2 2 S 2 ) d t G SS d z
l n S T[ ( 2 2 ) ( T t ) l n S ,T t ]
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
其中，dz是一个标准布朗运动 G遵循伊藤过程：
漂移率： G SSG t 1 2 S 2G 22S2
方差率： G S
S
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
令G=lnS，
G 12 G 1 G SS,S2S2,t 0
根据伊藤引理：
思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ， 首先获得10%的收益然后再损失10%，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
St t
S
为什么股票价格可Байду номын сангаас用几何布朗运动表示？
即：l n S T l n S ~ [ ( 2 2 ) ( T t ) , T t ]
l n S T[ ( 2 2 ) ( T t ) l n S ,T t ]
证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分 布
可知： E(ST)Se(T-t)
布，均值为
( 2 )(T t)
2
，方差为
2(T t)
，标准差为

T t ，和
时间长度平方根成正比。
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
从以上分析，可得知：
几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的 证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t 期间G的变化为：G ( T ) G ( t) ln S T ln S
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是 标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
特征1： z 和 t 的关系满足：z t
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为
1.0的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。
标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。
遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
以 z(T)z(0) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个
长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 NT/t ，
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
d S S d tS d z
其在一个小的时间间隔 t 中，S的变化值 S 为:
S S t S z
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函 数，根据伊藤引理可得：
d x a ( x , t ) d t b ( x ,t ) d z
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
风险中性定价原理： 根据BS微分方程f(S,t,r,σ)，影响衍生证券的价值的是客观
因素：标的资产当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率 (σ)和无风险利率(r)。
反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率μ，对 衍生产品的价值不会产生影响。
普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。
期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化
在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程
标准布朗运动
设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征：
V a r ( S T ) S 2 e 2 ( T - t) [ e 2 ( T - t) 1 ]
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
例：
设A股票的现价50元，预期收益率为每年18%，波 动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动， 且该股在6个月内不付红利，请问该股6个月后的 价格ST的概率分布如何？
d G ( G SS G t 1 2 S 2 G 2 2 S 2 ) d t G SS d z dG(2)dtdz
2
•这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率 恒定的方差率 2 。



2
和
2
• 在任意时间长度T之后，G的变化G(T)-G(t) 仍然服从正态分
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权 价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机 过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率 S 为 、方 2差S 2率为 的伊藤过程来表示：
d S S d t S d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动
dS dt dz
S
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 2 ：证券收益率单位时间的方差 ：证券价格的波动率（Volatility） d z ：遵循标准布朗运动
S
S
( ft1 2 S 2f22S2)t
r t
ftrS S f1 2 S 2f22S2rf
布莱克-舒尔斯偏微分方程
ftrS S f1 2 S 2f22S2rf0
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
从以上分析可得：
S S t S z
f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) t S f S z
z t
构建组合 :包含一单位衍生证券空头和 f 单位
标的证券多头
S
f f S t f f S
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差b T 。
标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函
数 d x a d t b d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
St t
S
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格 的收益率 S 。
S
百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性
几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为 正态分布
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可 以做如下的划分：
时间的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程