广州市育才中学高二数学双周清(一)

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广东省广州市育才中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题

…………外…………………内………试题第I 卷（选择题）一、单选题 1．若函数()3sin2xf x x =+，则（） A ．()3ln32cos2xf x x =+'B ．()32cos2xf x x =+' C ．()3ln3cos2xf x x =+'D ．()3ln32cos2xf x x =-'2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F P 是椭圆上一点，1210PF PF +=C 的标准方程为（）A ．2212510x y +=B ．2212520x y +=C ．2213020+=x yD ．2214530+=x y3．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（） A ．1011 B ．56C ．12D ．5124．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（） A ．81B ．48C ．36D ．245．函数()2ln x xf x x=的图象大致是（）A ．B ．…订…………○…线…………____考号：___________…订…………○…线…………C ． D ．6．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（）A ．16B ．28C ．32D ．647．设()32:21p f x x x mx =+++在(),-∞+∞内单调递增，28:4xq m x ≥+对任意0x >恒成立，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．设2ln 2a =，3ln 3b =，e c =（e 2.718≈），则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、多选题 9．关于二项式5x ⎛⎝的展开式，下列选项正确的有（）A ．总共有6项B ．存在常数项C ．2x 项的系数是40D ．二项式系数之和为3210．已知抛物线2(0)y mx m =>焦点与双曲线点2213y x -=的一个焦点重合，点()02,P y 在抛物线上，则（）A ．双曲线的离心率为2B ．双曲线的渐近线为3y x =±C ．8m =D ．点P 到抛物线焦点的距离为6○…………装…………学校:___________姓名：_________○…………装…………11．已知函数()1cos sin f x x x x x +++＝的定义域是[]22ππ-，，则以下结论正确的是( )A ．()f x 在()0π，上不上单调函数B ．导函数()f x '的图像关于y 轴对称C ．()f x 在-2,-2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值大于－πD ．()f x 在定义域内至少有2个极小值12．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第三个正方形MNPQ ，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCD 的边长为a 1，后续各正方形的边长依次为a 2，a 3，…，an ，…；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为b 1，后续各直角三角形面积依次为b 2，b 3，…，bn ，….下列说法正确的是（）A ．正方形MNPQ 的面积为2516B ．14n n a -=⨯⎝⎭C ．使不等式14n b >成立的正整数n 的最大值为4 D ．数列{}n b 的前n 项和4n S < 第II 卷（非选择题）三、填空题 13．某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有______种不同的安排方法.(用数字作答)14．函数2ln y x x =-上的点到直线2y x =-的最短距离是________．15．已知函数3213,02()2343,03xx f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a=-++恰有4个不同的零点，则a 的取值范围为____________．四、双空题 16．已知55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++，则0a =_____，若12345244a a a a a +=+++，则实数k 的值为_____．五、解答题 17．已知数列{}n a 满足13n n a a +-=，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n S18．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率p ；(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现…………订…………：___________考号：_______…………订…………从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X 为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点(1,2)P 处的切线斜率为4，且在1x =-处取得极值．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最值． 20．如图，在三棱锥A BCD -中，AB AC ==2BC CD ==，AD 90BCD ∠=︒.(1)证明：平面ABC ⊥平面BCD ； (2)求二面角D AB C --的大小.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*)n S n N∈在函数2y x=的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b nn N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； (3)设数列{}n c 满足对任意的*312123122,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值． 22．已知函数()()1ln 0f x a x x x=+>． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在1x ，2x 满足120x x <<，且121x x =+，()()12f x f x =，求实数a 的取值范围．参考答案：1．A【解析】【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.【详解】因为()3sin2xf x x=+，所以()3ln32cos2xf x x=+'.故选：A.2．B【解析】【分析】根据椭圆定义以及离心率公式，结合222a b c=+，进行基本量的计算即可得解.【详解】根据椭圆定义可得12210PF PF a+==，所以5a=，由离心率cea==，所以c=由22225520b a c=-=-=，所以椭圆C的标准方程为2212520x y+=.故选：B3．C【解析】【分析】根据已知条件先分析事件A对应的情况数，然后分析事件,A B同时发生的情况数，由此求解出()(),P A P AB的值，再根据公式()()()P ABP B AP A=求解出结果.【详解】由题知，事件A出现的情况有66630⨯-=种，事件A，B同时出现的情况有3515⨯=种，所以()1536P AB =，30()36P A =，()()()151302P AB P B A P A ===．故选：C. 4．B 【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①数字3不出现，①数字3出现1次，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案. 【详解】解：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2=16个；①数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2=32个，故有16+32=48个四位数，故选：B. 5．D 【解析】【分析】根据函数()f x 为偶函数，以及在01x <<时的单调性即可由排除法解出．【详解】因为函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以B 错误；当01x <<时，()2ln ln x xf x x x x==，由()ln 10f x x '=+=可得1=x e ，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以C 错误；而()0f e e =>，排除A ，所以D 正确．故选：D ．【解析】【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得1,a q ，进而求得第5个区域种植观赏树的棵数，得到答案．【详解】由题意，设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，可得()311141a q q-=-且()6111261a q q-=-，所以633112619114q q q -=+==-，解得12,2a q ==，则452232a =⨯=，即第5个区域种植32棵．故选：C. 7．B 【解析】【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于等于0恒成立，令判别式小于等于0求出m 的范围即命题p 中m 的范围；利用基本不等式求出命题q 中m 的范围；利用两个命题中m 的范围的包含关系得到两个命题的条件关系．【详解】解：32()21f x x x mx =+++在(,)-∞+∞内单调递增2()340f x x x m '∴=++≥恒成立，∴16120m ∆=-≤ ∴43m ≥当0x >时，288244x x x x ==++，当且仅当4x x =，即2x =时取等号， 2m ∴≥由43m ≥推不出2m ≥，由2m ≥推得出43m ≥， p ∴是q 必要不充分条件．故选：B【解析】【分析】利用函数()(0)lnxf x x x=>的单调性对a ，b ，c 进行大小比较即可. 【详解】令()(0)ln xf x x x =>，则()()()22ln ln ln 1()(0)ln ln x x x x x f x x x x ''--'==> 由()0f x '>，得e x >，由()0f x '<，得0e x << 则()(0)ln xf x x x=>在()0e ，单调递减，在()e +∞，单调递增，在e x =时取最小值.故2e e ln 2ln e >=，且3e e ln 3ln e>= <<0<<即ln 2ln 3023<<，则320ln 3ln 2<< 综上，有32e ln 3ln 2<<，即c b a << 故选：A 9．ACD 【解析】【分析】根据二项展开式352152r rr r T C x-+=以及二项式系数的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】根据二项展开式的通项公式可得： 35521552r r rr r rr T C xC x --+==，对A ，由指数为5，展开式共有6项，A 正确；对B ，由352152r r r r T C x-+=，若要存在常数项即3502r-=有解，此时103r =，不符题意，不存在常数项，故B 错误；对C ，令3522r-=，解得2r =，此时222352T C x =，25440C =，故C 正确；对D ，由二项式系数和为5232=，故D 正确. 故选：ACD 10．AC 【解析】【分析】由双曲线的方程，求得1,2a b c ===，利用双曲线的几何性质，可判定A 正确，B 错误；根据题意，列出方程24m=，可判定C 正确；根据抛物线的定义，可判定D 错误. 【详解】由双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ，所以双曲线的离心率为221c e a ===，所以A 正确；由双曲线的渐近线为y =，所以B 错误；由抛物线2(0)y mx m =>焦点与双曲线点2213y x -=的一个焦点重合，可得24m=，解得8m =，所以C 正确；由抛物线28y x =的准线方程为2x =-，则点()02,P y 到其准线的距离为2(2)4--=，到焦点的距离也为4，所以D 错误. 故选：AC. 11．AD 【解析】【分析】求f (x )的导数()f x '，根据导数的正负变化逐项判断即可. 【详解】()1sin sin cos 1cos f x x x x x x x '-++＝+＝，①()()33001010244f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫>-<-< ⎪⎝''''⎪⎭⎝⎭＝，＝，＝，而()f x '在()0,π图像是连续的，①()f x '不恒为正或负，故f (x )在()0,π不单调，故A 正确；()()1cos f x x x f x -'≠'-＝，故()f x '不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故B 错误； ①存在()()2121021f ππππ---<-＝++＝，故()f x 在-2,-2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值必小于或等于π-，故C 错误；①()()()()212010102120f f f f ππππππππ--'+'''<->-<>＝，＝+，＝，＝，而()f x '在[]22ππ-，上图像是连续的，故()f x '在[]22ππ-，上函数值至少出现了两次由负变正，即f (x )在[]22ππ-，上至少有两个极小值，故D 正确. 故选：AD. 12．BCD 【解析】【分析】根据题意，先求的,n n a b ，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】根据题意可得：2222111315448nn n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可得{}2na是首项为2116a =，公比为58的等比数列，则125168n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则14n n a -==⨯⎝⎭；根据题意可得：121313352443228n n n n n b a a a -⎛⎫=⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭；对A ：由14n n a -=⨯⎝⎭可得352a =，故正方形MNPQ 的边长为52，故其面积为252524⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ：根据上述求解过程，14n n a -=⨯⎝⎭，故B 正确；对C ：因为()13528n n b f n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的单调递减函数，又45375118751,1024481924b b =>=<，故不等式14n b >成立的正整数n 的最大值为4，故C 正确；对D ：13528n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，显然{}n b 是首项为32，公比为58的等比数列，故其前n 项和3512854445818nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-，故D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题综合考察等比数列通项公式、以及等比数列前n 项和的求解，属综合中档题. 13．120 【解析】【分析】根据插空法，由题意求解，即可得出结果. 【详解】因为四个互不相邻的空位可产生五个位置，则这四个同学可以在这五个位置就坐，因此共有45120A =种不同的安排方法.故答案为：120. 【点睛】本题主要考查排列问题，利用插空法求解即可，属于常考题型. 14 【解析】【分析】由题意知：平行于2y x =-且与2ln y x x =-相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.………外………………内………【详解】要使2()ln f x x x =-上的点到直线2y x =-的最短，则该点切线平行于2y x =-，由1()2f x x x '=-且0x >，令1()21f x x x'=-=，①2210x x --=，解得12x =-（舍）或1x =， ①切点为(1,1)= 15．1314,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由分段函数结合导数求出()f x 值域，令()t f x =，结合()g t 图象特征采用数形结合法可求a 的取值范围. 【详解】3213,02()2343,03xx f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，当0x ≤时，()01133322xf x ⎛⎫⎛⎫=⋅≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为减函数；当0x >时，()3223433f x x x x =-++，()()()()22264232212f x x x x x x x =-+=-+=--'，()0,1x ∈和()2,+∞时，()f x 单增，()1,2x ∈时，()f x 单减，()1413f =，()1323f =，故()f x 的图象大致为：…订…………○____考号：___________…订…………○令()t f x =，则()3,t ∈+∞，()()()()22()[()](2)()2222g x f x a f x a g t t a t a t a t =-++⇔=-++=--，[)3,t ∞∈+当2a =时，()()22g t t =-，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点；当2a <时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点；当2a >时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()0g t =，则t a =，要使2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则()1314,33t f x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即1314,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：1314,33⎛⎫⎪⎝⎭16． 1- 4 【解析】【分析】根据二项式定理令0x =求得0a ，令1x =得()45053211a a a k a a a ++-=+++，便可求得参数k .【详解】解：由题意得：55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++∴当0x =时，则()5011a =-=-当1x =时，()45053211a a a k a a a ++-=+++ 又12345244a a a a a +=+++()511244k -+=，解得4k =故答案为：1-；4 17．(1)3n a n =； (2)9(1)n nS n =+.【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系，利用等差数列定义和通项公式进行基本量的计算即可得解；（2）利用裂项相消法进行计算即可得解. (1)由13n n a a +-=，可得{}n a 为等差数列，公差3d =，根据124,,a a a 为等比数列可得2214a a a =，所以2111(3)(9)a a a +=+，解得13a =，所以3(1)33n a n n =+-⋅=， (2) 由11111111()3(33)9(1)91n n a a n n n n n n +==⋅=⋅-+++，所以1111111111(1)(1)9223341919(1)n nn n n n S =-+-+-++-=-=+++. 18．(1)35(2)2900元 (3)分布列见解析，910【解析】【分析】（1）由题表可得厨余垃圾共有100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，根据古典概型即可求出结果；（2）由题表可得这400吨垃圾由100吨厨余垃圾，300吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；（3）由题意可知随机变量X 服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.(1)解：由题表可得厨余垃圾共有602020100++=吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率6031005p ==； (2)解：由题表可得这400吨垃圾由100吨厨余垃圾，300吨非厨余垃圾，则处理费用为510083002900⨯+⨯=（元）所以估计处理这400吨垃圾需要2900元； (3)解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，303373107(0)24C C P X C ===，123731021(1)40C C P X C ===21373107(2)40C C P X C ===，30373101(3)120C C P X C ===所以X 的分布列为所以721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为910. 19．(1)32()1f x x x x =+-+； (2)min ()1f x =-，max ()11f x =. 【解析】【分析】（1）根据点(1,2)P 在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为0，联立方程即可得解；（2）由2()321f x x x '=+-，求得极值点处函数值和端点处函数值，进行比较即可求得最大值和最小值. (1)由2()32f x x ax b '=++ 根据题意可得：(1)12(1)324(1)320f a b c f a b f a b =+++=⎧⎪=++''=⎨⎪-=-+=⎩，解得1,1,1a b c ==-=，所以32()1f x x x x =+-+； (2)由（1）知： 2()321f x x x '=+-，令()f x '=(31)(1)0x x -+=，解得1,13x x ==-，当[)2,1x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1(1,3x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，当1,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 为增函数，由(2)1f -=-，(1)2f -=，122()327f =，(2)11f =，所以min ()1f x =-，max ()11f x =. 20．(1)证明见解析 (2)3π 【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理得到AC CD ⊥，再由BC CD ⊥，即可得到CD ⊥平面ABC ，从而得证；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，即可得到AO ①平面BCD ，如图建立空间直角坐标系，………外…………○………学校:________………内…………○………利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解； (1)证明：因为AB AC ==2BC CD ==，2AD =，所以222112AC CD AD +==，所以AC CD ⊥，又BC CD ⊥，,AC BC ⊂平面ABC ，AC BC C =，①CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，①平面ABC ①平面BCD ； (2)解：取BC 的中点O ，连接AO ，因为AB AC =，所以AO BC ⊥，又平面ABC ①平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AO ⊂平面ABC ，所以AO ①平面BCD ，以BC 的中点O 为原点，,,OB CD OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ⎛ ⎝⎭，(1,0,0)B ，()1,0,0C -，(120)D -，，，所以1,0,AB ⎛= ⎝⎭，()2,2,0DB =-，显然(0,1,0)m =为平面ABC 的法向量，设(),,n x y z =是平面ABD 的法向量，则00AB n DB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，令1x y ==，得(1,1,2n =，所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅==⋅，显然二面角D AB C --为锐二面角，故所求二面角的平面角为3π.21．(1)()*21a n n N =-∈(2)证明见解析，()*62n n n b n N =-∈(3)()20112695+ 【解析】【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解数列{}n a 的通项公式；（2）根据题干条件变形得到1113122n n n n b b --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2n ≥，从而得到结果；（3）求出()()181262n nn c n ⎧=⎪=⎨⨯⎪⎩，利用分组求和和等比数列求和公式进行求解. (1)点(),n n S 在函数2y x =的图象上，()2*n S n n N ∴=∈当1n =时，21111a S ===当2n 时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=- 11a =也适合，{}n a ∴的通项公式为()*21n a n n N =-∈(2)①()11622n n n b b n +-=+①()1111116211333122222n n n n n n n n n b b b b n +-----+⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭①111134132bb a =+=∴+= ①12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭其首项为3，公比为3的等比数列 ①113332n n n n b-+=⨯= ①()*62n n n b n N =-∈(3)由（2）得26n nn b +=由题意得：n *∈N 均有，3111231232222n n nn c c c c a b b b b +=++++++++ ①()3111231123122222n n n n c c c c a n b b b b ---=++++++++ ①()1222nn n nn c a a n b +-==+ ①()2226n nn n c b =+=⨯()2n又①12132c a b ==+ ①()11323618c b =+=⨯= ①()()181262n n n c n ⎧=⎪=⎨⨯⎪⎩①()234201012320101826666c c c c +++⋯+=++++⋯+=()1232010626666++++⋯+=()20102011661261862615-⋅++⋅=-=()20112695+ 22．(1)当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； (2)()2,+∞. 【解析】【分析】（1）根据a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）根据已知等式构造函数()1ln h t a t t t=+-，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21ax f x x -'=．当0a ≤时，()0f x <′，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x <′，得10x a <<，令()0f x >′，得1x a >，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； (2) ()()21212121211111ln ln ln 0x f x f x a x a x a x x x x x =⇒+=+⇒+-=，又121x x =+，则21212212121121ln 0ln 0x x x x x x x x a a x x x x x x +++-=⇒+-=．令211x t x =>，即方程1ln 0a t t t +-=在()1,+∞上有解．令()1ln h t a t t t =+-，()1,t ∈+∞，则()2211a t t at t h t t t ⎛⎫-+ ⎪-+-⎝⎭'==，()1,t ∈+∞．12t t +>，当2a ≤时，()0h t'<，()h t 在()1,+∞上单调递减，又()10h =，则()0h t <在()1,t ∈+∞上恒成立，不合题意；当2a >时，240a ->，令210t at -+-=，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且1t >，所以t = 当t ⎛∈ ⎝⎭时，()0h t '>，当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h t '<；则t ⎛∈ ⎝⎭时，()()10h t h >=，而()()221e e 1e 2e a a a a h a a a =+-<+->．令()()21e 2x x x x ϕ=+->，则()2e x x x ϕ'=-，令()()m x x ϕ='，()2e 0x m x '=-<，则()x ϕ'在()2,+∞上单调递减，()()224e 0x ϕϕ'<'=-<，则()x ϕ在()2,+∞上单调递减，()()225e 0x ϕϕ<=-<，即()e 0a h <，故存在0a t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，使得()00h t =，故2a >满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞．【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.。

2023-2024学年广东省深圳市育才中学高二(下)第二次段考数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省深圳市育才中学高二（下）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f(x)=e x+sinx，则f′(0)=( )A. 1B. −1C. 2D. 02.对于相关系数r下列描述正确的是( )A. 两个变量相关则r>0B. 两个变量无关则r<0C. r越小，表明两个变量线性相关性越弱D. |r|越接近于1，表明两个变量线性相关性越强3.已知随机变量X的概率分布如表则E(5X+4)=( )X124P0.4a0.3A. 1B. 2.2C. 11D. 154.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是( )A. 36B. 72C. 600D. 4805.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为f(x)=1σ2πe−(x−90)22σ2,x∈R且P(70⩽X⩽110)=0.8，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为( )A. 2000B. 3000C. 4000D. 50006.已知a=1+C1202+C22022+C32023+⋯+C2020220，则a被10除所得的余数为( )A. 0B. 1C. 2D. 37.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是( )A. 300B. 240C. 150D. 508.已知函数f(x)=x3−6x2+9x，若f(x1)=f(x2)=f(x3)，其中x1<x2<x3，则( )A. 1<x1<2B. x1+x2=2C. 0<x1x2x3<4D. x1+x2+x3>6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是( )A. 在经验回归方程y =−0.65x +3.6中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y 平均减少3.6个单位B. 在经验回归方程 y =−0.65x +3.6中，相对于样本点(1,2.8)的残差为−0.15C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差D. 若两个变量的决定系数R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好10.下列说法正确的是( )A. 若随机变量X 服从两点分布且P(X =0)=14，则E(X)=38B. X 服从B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p =13C. 有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为X ，则其数学期望E(X)=3D. 某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，若σ越大，则该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越小11.已知直线y =kx 与曲线y =lnx 相交于不同两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，曲线y =lnx 在点M 处的切线与在点N 处的切线相交于点P(x 0,y 0)，则( )A. 0<k <1eB. x 1x 2=ex 0C. y 1+y 2=1+y 0D.x 1x 2<x 2−x 1y 2−y 1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

育才中学高二下期半期考试题

C.若则 D. 若则
5.点P（3，-1）关于O（-2，1）对称的点M的坐标是（）
A（-7，3）B．（-1，1）C．（1，0）D．（2，-3）
6.三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC,则P在底面三角形ABC上的射影是底面三角形ABC的（）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
7.两平行线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0的距离是（）
（理科做）（2）若A（8,9），B（4,12），P在圆C上移动，求三角形PAB面积的范围
20.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
21.已知直线l:（m+1）x+（m-1）y+3-5k=0，m为常数。
（1）判断直线l是不是过定点？
（2）若直线l交x,y轴正半轴于A,B,(O为坐标原点)，求三角形ABO面积的最小值以及此时直线l的方程。
22.如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．
（Ⅰ）证明平面；
（文科做）（Ⅱ）求直线与平面ABCD所成的角的大小；
（理科做）（Ⅲ）求二面角的大小．
C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
3.直线2x+y=1与mx-2y=2垂直，则m=( )
A．2B．1C．3D．-3
4.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A.若则 B.若则
A． B． C． D．
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB，DD1中点，则Βιβλιοθήκη 面直线A1M与C1N所成的角是（）

广东省广州市部分学校2024—2025学年高二上学期第二次联合教学质量检测数学试题

广东省广州市部分学校2024—2025学年高二上学期第二次联合教学质量检测数学试题一、单选题1310y --=的倾斜角为（） A ．30︒B ．135︒C ．60︒D ．150︒2．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以D 为原点，以{}1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的一个法向量是（）A ． 1,1,1B ．()1,1,1-C ．()1,1,1-D ．()1,1,1-3．已知向量()0,0,2a =r ，()1,1,1b =-r ，向量a b +r r 在向量a r上的投影向量为（）． A ．()0,0,3 B ．()0,0,6 C ．()3,3,9-D ．()3,3,9--4．圆()()22232x y +++=的圆心和半径分别是（） A ．()2,3-，1B ．()2,3-，3C ．()2,3--， 2D ．()2.3-， 25．将直线1:10l x y -+=绕点()0,1逆时针旋转90°得到直线2l ，则2l 的方程是（） A ．20x y +-=B ．10x y +-=C ．220x y -+=D ．210x y -+=6．空间中有三点()1,2,2P --，()2,3,1M -，()3,2,2N -，则点P 到直线MN 的距离为（）A ．B C ．3D ．7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（） A ．C 的方程为22(4)16x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA = D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为18．已知P ，Q 是直线:10l x y -+=上两动点，且||PQ (4,6)A -，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为（）A ．10B ．10C ．D ．12二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y m m ++-+=∈，则（）A ．直线l 恒过定点()1,1-B ．直线l 与圆C 有两个交点C ．当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D ．圆C 与圆222880x y x y +-++=恰有三条公切线11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=o，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =u u u u r u u u r，则（）A．1BD B ．直线1BD 与ACC ．1A E ⊥平面11BDD BD ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4三、填空题12．已知空间向量()2,3,a m =r ，()0,2,1b =r ，()2,7,c n =r ，若a r ，b r ，c r共面，则mn 的最小值为．13．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120o 时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120o ，根据以上性质，已知(2,0),(2,0),(0,4)A B C -，P 为ABC V 内一点，记()||||||f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为.14．已知正三棱柱ABC A B C '''-的底面边长为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是.四、解答题15．已知圆()22416x y +-=，过()0,2B 作直线l 圆C 交于点M N 、．(1)求证：BM BN ⋅u u u u r u u u r是定值；(2)若点()0,4A -．求AMANk k 的值． 16．如图，在空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，BF ⊥平面ABCD ，1,2,3CG AE BF ===，且CG ∥AE ∥BF ．(1)求证：,,,D E F G 四点共面；(2)在线段FG 上是否存在一点M ，使得平面FAC 与平面MAC 存在，求出FMFG的值；若不存在，请说明理由． 17．已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点， (1)求43y x -+的最大值和最小值； (2)求22515x y x y +--的最大值和最小值．18．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆C 的半径为3，圆心C 在直线30l y -+位于第一象限的部分上，一条光线沿直线l 入射被x 轴反射后恰好与圆C 相切.(1)直接写出l 的反射光线所在直线的方程； (2)求圆C 的方程；(3)点E 是圆C 与x 轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆C 相切于点A ，并与x 轴交于点B ，其在点B 处被直线m 反射后沿着x 轴负方向传播，此时ABE V 的面积恰好为310，求直线m 的方程.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF与平面EDB，若存在，求出求线段BF的长；若不存在，说明理由．。

广东省广州市育才中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

广东省广州市育才中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1BD B ．DB 3．方程22(4)(4)x y x -+++A ．22135x y +=B ．25x 4．一条光线从点()5,8P 射出，的截距为（）A ．34-B ．345．已知椭圆2222:1(x y C a a b+=椭圆上一点，PF x ⊥轴，PF 则椭圆的离心率为（）A ．32B ．6．已知向量()0,1,2,OA OB = 的投影向量的模为（）A ．22B ．7．德国数学家米勒曾提出过如下的MON ∠的OM 边上的两个定点，①三棱锥E ABD -的体积的最大值为②1A D DB +的最小值为③点D 到直线1C E 的距离的最小值为其中所有正确结论的个数为（A ．0B 二、多选题9．已知直线1:3l ax y ++A ．若1a =，则1l 的一个方向向量为C ．若12l l ⊥，则a =10．已知椭圆22:259x y C +下列结论中错误的有（A ．点P 到右焦点的距离的最大值为C ．若1290F PF ∠=，则11．已知点P 在圆2:O x A ．直线MN 与圆O B ．点P 到直线MN三、填空题四、解答题17．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程．(1)证明：//BC六、解答题(1)证明：FN AD⊥；(2)若M为AE上一点，且AMAEλ=，则当λ为何值时，直线BM与平面正弦值为57 14.。

育才学校高二数学下学期期末考试试题(普通班)理(2021年整理)

育才学校2017-2018学年度第二学期期末考试卷高二（普通班）理科数学（总分150分,时间120分钟）第I卷（选择题 60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

)1．命题“∃x0∈（0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( ）A．∀x∈(0，＋∞），ln x≠x－1B．∀x∉(0,＋∞），ln x＝x－1C．∃x0∈(0,＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉（0,＋∞)，ln x0＝x0－12．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞｜y｜”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知全集U＝{x∈Z｜0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a,a∈A},则（∁U A)∩B ＝（)A．{6，8} B．｛2，4｝ C．{2，6,8｝ D．｛4，8}4．在等比数列{a n}中，S n是它的前n项和,若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝( ）A．－62 B．62 C．32 D．－325．已知正项数列｛a n}的前n项和为S n，若{a n}和{S n}都是等差数列，且公差相等，则a6＝（）A..错误! B 错误! C.错误! D．16．已知函数y＝f（x）的定义域为R,当x<0时，f（x)>1,且对任意的实数x、y∈R，等式f（x)f（y）＝f（x＋y）恒成立．若数列{a n}满足a1＝f(0)，且f（a n＋1)＝1f（－2－a n)(n∈N*），则a2 017的值为( ）A．4 033 B．3 029 C．2 249 D．2 2097．若函数y＝a｜x|(a>0,且a≠1)的值域为{y｜0<y≤1}，则函数y＝log a｜x｜的图象大致是（）8．函数f（x)＝错误!则不等式f（x）>2的解集为( )A．（－2，4) B．(－4，－2)∪（－1，2)C．(1，2)∪（错误!,＋∞) D．(错误!，＋∞）9．已知函数f(x）＝a x，其中a>0,且a≠1，如果以P（x1，f（x1)),Q（x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1）·f（x2)等于( ）A．1 B．a C．2 D．a210．已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称,当x∈(0，＋∞）时，f(x）＝log2x,若a＝f（－3），b＝f错误!,c＝f（2)，则a,b，c的大小关系是（)A．a>b〉c B．b〉a>cC．c〉a>b D．a〉c〉b11．若关于x的方程｜x4－x3｜＝ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（)A。

2020-2021广州市育才实验高中必修二数学下期末试卷(含答案)

2020-2021广州市育才实验高中必修二数学下期末试卷(含答案)一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 2．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或43．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（） A ．3B ．7C 15D 146．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U12．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（）A ．14B ．14-C ．240D ．240-二、填空题13．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知233cos cos a b cB C-=，则222a cb ac+-的取值范围为______. 14．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为．15．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝上，则22a b +的最小值为_______． 16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 17．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．18．若a 10=12，a m =22，则m =______． 19．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．三、解答题21．已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =，33ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； 24．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+．（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==，或44r l ==，41lrα==或，故选C ．3．B解析：B 【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4．D解析：D 【解析】【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值．【详解】解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．5．D解析：D 【解析】【分析】利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 2ABC S ac B ==V联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去）故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．B解析：B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．C解析：C 【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥；跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．A解析：A 【解析】【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x 2sin ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈ ∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2sin 2x 2cos2x 444⎛⎫=-∴=--=- ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11．A解析：A 【解析】【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ，故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.12．C解析：C 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解．【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r =，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦解析：()()0,2U【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】因为2cos cos a B C=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2C =，则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac +-∈U .故答案为：()()0,2U ．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.14．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直解析：2y x =【解析】试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆22240x y x y +--=化为()()22125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可． 15．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3【解析】【分析】()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=()0,0到直线34150x y +-=的距离，且22304015334d ⨯+⨯-==+.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.16．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.17．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为解析：423【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以2，在直角三角形SOA 中()2222222SO SA OA =-=-= 所以1122233V sh ==⨯⨯=23故答案为423 18．5【解析】解析：5【解析】5,52a m ==== 19．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程．【详解】由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴2020k ---n ＝﹣1且022+＝k •022-+b ，解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2，故答案为：x －y ＋2＝0．【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是解析：6【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果．【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，=∴几何体的体积是2111326π⨯⨯⨯=，故答案为6【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.三、解答题21．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅．【解析】【分析】（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值；（2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；由根与系数的关系，得，解得a ＝1，b ＝2；（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．22．（1）3C π=（2）57【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）1313sin 362222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.23．（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证.(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可.【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A ⋂=所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得由得,解得由于,所以从第3年开始盈利.(Ⅱ)年平均利润当且仅当,即时等号成立即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元25．（1）21n a n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+．则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<．【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n ++1n k n k =+；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.26．（1）22n a n =+（2）12n n T n +=•【解析】【分析】（1）由2S 3n n n =+，利用n a 与n S 的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2(1)n n b n =+，利用乘公比错位相减法，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由2S 3n n n =+，当1n =时，11S 4a ==；当1n >时，2213(1)3(1)n n n a S S n n n n -=-=+----22n =+，当1n =也成立，所以则通项22n a n =+；（2）由（1）可得2(1)n n b n =+，-123223242(1)2n n T n =•+•+•+++•L ，231222322(1)2n n n T n n +=•+•++•++•L ，两式相减得2314(222)(1)2n n n T n +-=++++-+L g21112(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+=--g g 所以数列{}n b 的前n 项和为12n n T n +=•.【点睛】本题主要考查了数列n a 和n S 的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.。

广东省广州市育才中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

广东省广州市育才中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知椭圆2222:16x y C a a +=-C 的长轴长为（） A．B．C．D．2．已知数列{}n a 满足()*12n n a n a +=∈N 且4534a a a =，则1a =（） A ．18 B ．14 C ．12 D ．13．函数()e 2x f x x -=--的图象在点(0,(0))f 处的切线方程是（）A ．10y +=B ．10y -=C ．210x y ++=D ．210x y +-=4．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（） A ．36种 B ．45种 C ．48种 D ．72种 5．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到白球”为事件B ，则()|P B A =（） A ．415 B ．25 C ．35 D ．456．已知5260126(2)(1)kx x a a x a x a x +⋅+=++++L ，其中225a =，则0246a a a a +++=（） A ．16B ．32C ．24D ．48 7．函数()2sin 2a f x x x =-，若()f x 在(0,)2π上有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+ B ．()0,1 C ．(),0∞- D ．()1,0- 8．已知函数()(e e )(e e )x x f x a x x =++与2()e x g x =的图象恰有三个不同的公共点（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭二、多选题9．已知二项式92⎛ ⎝的展开式，则（） A ．常数项是512B ．有理项（x 的指数为整数的项）共有5项C ．第4项和第5项的二项式系数相等D ．展开式的二项式系数和为512三、单选题10．已知函数32(3 )1f x x x bx =+++的导函数()f x '的极值点同时也是()f x 的零点，则（）A ．2b =B ．()f x 在R 上单调递增C ．()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称D ．过坐标原点只有两条直线与曲线()y f x =相切四、多选题11．给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11,,N n n n n n n a a a a a a n ++∆=-∆=∆-∆∈．若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且1*(2)2,N n n b n n -∆=+⋅∈，则（）A ．存在0M >，使得2n a M ∆<恒成立B ．12n n b n -=⨯C ．对任意0M >，总存在*N n ∈，使得n b M <D ．对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2n n b M b ∆>五、填空题12．老师排练节目需要3名男生和2名女生，将这5名学生随机排成一排，2名女生不相邻的排法为 .13．已知数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前 n 项和， 1331614a a S ==，，则 2a = ；记 ()1212n n T a a a n ==L L ，，，若存在 *0n ∈N 使得 n T 最大，则 0n 的值为．14．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且(0)1f =，当()0,x ∈+∞时，(())1ln x f x a x -≥+恒成立，则实数a 的取值范围是．六、解答题15．已知函数()32133f x x bx cx =+++在(),1-∞-和()3,+∞上为增函数，在()1,3-上为减函数．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的极值．16．已知n S 为数列n a 的前n 项和，11,a =n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：122311111132n n a a a a a a +≤+++<L ． 17．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，14AB AA ==，M ，N 分别为11A B ，AD 的中点．(1)求证：1//A N 平面BDM ；(2)若60BAD ∠=︒，求AM 与平面1DD M 所成角的正弦值；18．已知动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设过点P 且斜率为1）中的曲线交于A 、B 两点，求AOB S V ；(3)设点(,0)N a 是x 轴上一定点，求M 、N 两点间距离的最小值()d a ． 19．已知函数()2ln f x ax x =-．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)0a >时，求()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)当1x >时，不等式()()2ln 21f x x x x a <-++-恒成立，求整数a 的最大值．。

广州市育才实验数学高二上期末经典习题(课后培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：13316]已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A ．85B ．84C ．83D ．812．(0分)[ID ：13308]执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（）A ．3B ．52C ．12D ．34- 3．(0分)[ID ：13304]如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？4．(0分)[ID ：13287]某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.755．(0分)[ID ：13281]在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π6．(0分)[ID ：13268]执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．57．(0分)[ID ：13254]从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A ．27B ．57C ．29D ．598．(0分)[ID ：13250]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )A ．−0.9B ．0.9C ．3.4D ．4.39．(0分)[ID ：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（）A．8-B．4-C．4D．8.向正方形内随机投入1000 10．(0分)[ID：13242]如图，边长为2的正方形有一内切圆粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为()A．3.1B．3.2C．3.3D．3.411．(0分)[ID：13237]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球12．(0分)[ID：13234]执行如图所示的程序框图，若输入x=9，则循环体执行的次数为（）A．1次B．2次C．3次D．4次13．(0分)[ID：13233]执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．3614．(0分)[ID ：13267]如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．37B ．217C ．413D 213 15．(0分)[ID ：13246]在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（）A ．13B ．2πC ．12D ．23二、填空题16．(0分)[ID ：13421]如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223⨯⨯ 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．17．(0分)[ID ：13399]我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．18．(0分)[ID ：13395]一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.19．(0分)[ID ：13391]利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．20．(0分)[ID ：13390]如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=22x 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S ：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND（），b=RAND （）；②做变换，令x=2a ，y=2b ；③产生N 个点（x ，y ），并统计落在阴影内的点（x ，y ）的个数1N ，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，1N =332，则据此可估计S 的值为____．21．(0分)[ID ：13364]如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是．22．(0分)[ID ：13363]对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆy bx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______. 23．(0分)[ID ：13362]如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是__________．24．(0分)[ID ：13334]下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．25．(0分)[ID ：13366]已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13502]某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关？非体育健康A 类学生体育健康A 类学生合计男生女生合计（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率.附：P （20K k ≥） 0.05 0.010 0.0050k 3.841 6.635 7.879()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++ 27．(0分)[ID ：13479]为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。

广东省广州市育才中学08-09学年高二第一次月考试卷(迎学业水平测试)1

2008-09学年广州市育才中学高二第一次月考试题08.10数学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式12211ˆˆˆni ii ni x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，．第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x y sin =的最小正周期是 A ．4π B ．2πC ．πD ．π2 2. 直线013=+-y x 的斜率是A ．3B ．3-C ．33 D ． 33- 3. 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中任意取出一球, 则取出的是红球的概率是 A.61B.41C.31 D. 21 4. 已知集合{}{}20,22A x x x B x x =-<=-<<，则=B AA ．{}12<<-x xB ．{}10<<x xC ．{}21<<x xD ．{}2012x x x -<<<<或5. 已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是A ．161 B ．41C ．4D ．166. 如图1所示的算法流程图中（注：“x = x + 2” 也可写成“x ：= x + 2”，均表示赋值语句）, 若输入的x 值为3-, 则输出的y 值是 A.81 B. 21C. 2D. 87. 在ABC ∆中，1,4AD AB E =为BC 边的中点，设=a ,=b , 则= A ．b 21+a 41 B ．b 21+a 43 C ．b 21-a 41 D ．b 21-a 438. 已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是A ．ab a <2B ．ba 11> C ．b a <D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21219. 一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A ．332 B ．32 C ．334 D ．34 图2 10. 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 .12. 在ABC ∆中, 角C B A ,,的对边分别是,,a b c , 已知2,3a b ==, ABC ∆的面积为1，则=C sin .13. 已知函数()()()2,,3,0.xx f x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩ 若()3=a f ，则a = .14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数得该看台的第6排有25个座位, 则该看台前11排的座位总数是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ的值.16.（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）17.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 252,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）当n 为何值时, n S 取得最大值.18.（本小题满分14分）如图3，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ︒∠==, E 为PC 的中点.（1）求证://PA 平面EBD ; （2）求证:PBC ∆是直角三角形.图319.（本小题满分14分）已知函数215()2262xx f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈，（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A . （1）求圆C 的方程;（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求AN AM ⋅的取值范围. .2008-09学年广州市育才中学高二第一次月考答卷数学)二、填空题：每小题5分，共20分11、____________ 12、____________ 13、___________ 14、___________三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 15．解：16．解：17．解：学校：班别：姓名：学号：19．解：20．解：2008-09学年广州市育才中学高二第一次月考试题答案数学一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题, 每小题5分, 满分50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案DACBCCABDB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 220x y +-= 12.3113. 3 14. 275 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）（本小题主要考查利用三角公式进行恒等变形的技能，考查运算求解能力）解:πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52,54531c o s 1s i n22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴θθ.4s i n c o s 4c o s s i n4s i n πθπθπθ+=⎪⎭⎫⎝⎛+∴22532254⨯+⨯=1027=.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查利用最小二乘法求线性回归方程的基础知识）解: （1）散点图略（2）4166.5i ii X Y ==∑ 4222221345686ii X==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ； ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y b X =-=-⨯=所求的回归方程为 0.70.35y x =+ （3） 100x =， 1000.70.3570y =⨯+= 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨)17．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等差数列前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力）解: （1） 252,0a S ==，112,5450.2a d da +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得14,2a d ==-.()()n n a n 26214-=-⨯-+=∴．（2）()()14211--=-+=n n n dn n na S n n n 52+-=252524n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∈n Ｎ*,∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最大值6.18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系等基础知识，考查空间想像能力和推理论证能力）证明:（1）连接AC AC ,与BD 相交于点O , 连接OE , 则O 为AC 的中点. E 为PC 的中点,PA EO //∴. ⊂EO 平面EBD ,⊄PA 平面EBD , ∴//PA 平面EBD .（2）设F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = , AD PF ⊥∴.ABCD 是菱形，︒=∠60BAD ,∴ABD ∆是等边三角形. .AD BF ⊥∴ ,F BF PF = ⊥∴AD 平面PBF . ,//AD BC⊥∴BC 平面PBF .⊂PB 平面PBF , BC PB ⊥∴.∴PBC ∆是直角三角形. 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查指数函数的性质、二次函数给定区间求最值问题以及恒成立问题的基本思想）解：（1） 2()(2)526(03)x x f x x =-⋅-≤≤，令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤所以有：22549()56()24h t t t t =--=--（18t ≤≤）所以：当5[1,]2t ∈时，()h t 是减函数；当5(,8]2t ∈时，()h t 是增函数；min 549()()24f x h ∴==-，max ()(8)18f x h ==。

2024届广东省广州市育才中学高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届广东省广州市育才中学高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，,P Q 分别在线段,AB BO 上运动，则MPQ ∆的周长的最小值为( ) A ．4B ．5C．D2．已知实数x ，y 满足约束条件20103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值是（） A ．0B ．1C ．72D ．103．集合{}12A x x =-<<，{}13B x x =<<，则A B =( )A ．∅B ．()1,1-C ．()1,2D ．()2,34．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x =1.5，y =5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．ˆ0.8 6.2yx =-+ B ．ˆ0.58yx =-+ C ．ˆ0.6 4.1yx =-+ D ．ˆ0.65yx =+ 5．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF =∠BCE =90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB =DE =2BC =2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直 A ．0B ．1C ．2D ．37．已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是（） A ．()0,3B ．)32,3⎡-⎣C ．[)2,+∞D ．[)2,38．sin160cos10cos20sin170︒︒+︒︒=( ). A ．3B ．32C ．12-D ．129．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A ．16B ．226C ．616D ．85610．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B ．若,,m n m n αγβγ⋂=⋂=，则αβ∥C ．若,m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αλαβ⊥⊥，则βγ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

广东省广州市育才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

由等腰梯形 A¢B¢C¢D¢ 且 ÐD¢O¢B¢ = 45° ，又 A¢B¢ = 4 ， C¢D¢ = 2 ，可得△A¢D¢E 是等腰直角三角形，
即 A¢D¢ =
2
A¢E
=
1 2
´
(4
-
2)
´
2=
2 ，故 B 错误；
还原平面图如下图，
则 AB = A¢B¢ = 4 ， CD = C¢D¢ = 2 ， AD = 2A¢D¢ = 2 2 ，故 A 错误；过 C 作 CF ^ AB 交 AB 于点 F ，则 AF = DC = 2 ，
，则
（）
a = 13,b = 4, c = 3 cos A =
A．
1 2
B． 2 2
C． 2
D． -
2 2
3．已知向量
uuur AB
=
(
2,
2
)
，则与
uuur AB
共线且反向的单位向量为
（
）
A．
æ ççè
2, 2
2ö 2 ÷÷ø
B．
æ ççè
-
2 2
,
-
2ö 2 ÷÷ø
C．
æ ççè
2 2
,
2 2
试卷第41 页，共33 页
AB = 2 2 千米，则 CD = 千米．
14．在 VABC
中， AC
=
2, BC
= 1, ÐC
= 60° ，则
uuur uuur CA + CB
=
；若点 P 为 VABC 所在平面内
uuur uuur
的动点，且满足 PC =
7 ，则 PA× PB 的取值范围是 3

广州市部分学校2024—2025学年高二上学期第二次联合教学质量检测数学试题(解析版)

2024—2025学年度上学期普通高中高二第二次联合教学质量检测高二数学试卷注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 310y −−=的倾斜角为（） A. 30° B. 135°C. 60°D. 150° 【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．【详解】设直线的倾斜角为α，，所以tan 180αα=°≤<°，所以30α=°，故选：A2. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，以D 为原点，以{}1,,DA DC DD为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的一个法向量是（）A. (1,1,1)B. ()1,1,1−C. ()1,1,1−D. ()1,1,1−【答案】A 【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】由题意，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()111,1,0A C ∴=− ，()11,0,1BC =− ，设(),,n x y z =是平面11A BC 的一个法向量，则有11100A C n x y BC n x z ⋅=−+= ⋅=−+=，令1x =，得1y =，1z =， ()1,1,1n ∴=. 故选：A.3. 已知向量()0,0,2a =，()1,1,1b =− ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）． A. ()0,0,3 B. ()0,0,6 C. ()3,3,9− D. ()3,3,9−−【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=−，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a+⋅⋅=×=⋅.故选：A4. 圆()()22232x y +++=的圆心和半径分别是（） A. ()2,3−，1 B. ()2,3−，3C. ()2,3−−，√2D. ()2.3−，√2【答案】C 【解析】【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆的标准方程()()22232x y +++=，得圆心为()2,3−−，半径为√2.故选：C.5. 将直线1:10l x y −+=绕点()0,1逆时针旋转90°得到直线2l ，则2l 的方程是（） A. 20x y +−=B. 10x y +−=C. 220x y −+=D. 210x y −+=【答案】B 【解析】【分析】由题意可知12l l ⊥，由两直线的斜率之积为1−（两直线的斜率均存在时）可求2l 的斜率，且2l 过(0,1)，由直线的点斜式可得2l 的方程．【详解】直线1l 的方程为1:10l x y −+=，其斜率为1，设直线2l 的斜率为k ，12l l ⊥ ，1k ∴=−．由题意可知，1(0,1)l ∈，2(0,1)l ∈，2l ∴的方程为：1(0)−=−−y x ，即10x y +−=．故选：B6. 空间中有三点()1,2,2P −−，()2,3,1M −，()3,2,2N −，则点P 到直线MN 的距离为（）A. B.C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.【详解】因为()1,1,1MN = ，所以MN的一个单位方向向量为)1,1,1u = .因为()1,1,3PM=− ，故PM =，)113PM u⋅=−+=，所以点P 到直线MN.故选：A7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A −，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（） A. C 的方程为22(4)16x y ++=B. 在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C. 在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D. C 上点到直线34130x y −−=的最小距离为1 【答案】C 【解析】【分析】对A ：设点PP (xx ,yy )，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点MM (xx ,yy )，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y −−=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点PP (xx ,yy )，∵12PA PB=12=，整理得()22416x y ++=，故C 的方程为()22416x y ++=，故A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C −，半径为14r =，的∵点(1,1)到圆心()14,0C −的距离1d =，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[]1111,4d r d r −+=，而)34∈−，故在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为9，故B 正确；对C ：设点MM (xx ,yy )，∵2MO MA =，则2281639x y++=，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ++=，是以28,03C − 为圆心，半径243r =的圆，又12124833C C r r =<=−，则两圆内含，没有公共点， ∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确；对D ：∵圆心()14,0C −到直线34130x y −−=的距离为25d =， ∴C 上的点到直线34130x y −−=的最小距离为211d r −=，故D 正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B ，利用圆与圆的位置关系来判定C ，结合数形思想即可.8. 已知P ，Q 是直线:10l x y −+=上两动点，且||PQ =，点(4,6)A −，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB++的最小值为（）A. 10+B. 10C.D. 12【答案】A 【解析】【分析】依题意，设点(,1)P x x +，推得点(1,2)Q x x ++，利用两点间距离公式计算||||||AP PQ QB ++，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决.【详解】不妨设点(,1)P x x +在点Q 的左边，因直线:10l x y −+=的倾斜角为45 ，且||PQ =，则点Q 的坐标为(1,2)x x ++，则||||||AP PQ QB ++=++记d =+，则可将d 理解为点(,)M x x 到()()4,5,1,4D C −−的距离之和，即点()()4,5,1,4D C −−到直线y x =的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.如图，作出点()1,4C −关于直线y x =的对称点C ′,则()4,1C ′−，连接DC ′，交直线y x =于点N ,则||||CN DN +即d 的最小值，且10CN DN DN C N DC +=+=′,故||||||AP PQ QB ++的最小值为10+故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m −+−=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++−=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（） A. A 点的坐标为(2,1) B. PA PB ⊥C. 2225PA PB += D. 2PA PB +的最大值为5【答案】ABC 【解析】【分析】根据直线方程求出定点,A B 的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m −+−=可以转化为(1)20m y x −+−=，故直线恒过定点()2,1A ，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++−=，即()42y m x −=−+恒过定点()2,4B −，由 1:20l x my m −+−=和2:420l mx y m +−+=, 满足()110m m ×+−×=，所以12l l ⊥, 可得PA PB ⊥, 故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++−=, 故C 选项正确；因PA PB ⊥, 设,PAB ∠θθ=为锐角, 则5cos PA θ=, 5sin PB θ=，所以()()252cos sin PA PBθθθϕ+=+=+, 所以当()sin 1θϕ+=时, 2PA PB +取最大值, 故选项D 错误. 故选：ABC.10. 已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y mm ++−+=∈，则（） A. 直线l 恒过定点()1,1− B. 直线l 与圆C 有两个交点C. 当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D. 圆C 与圆222880x y x y +−++=恰有三条公切线【答案】ABD 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；判断定点与圆的位置关系判断B ；求出圆心到直线距离判断C ；判断圆与圆的位置关系判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程为(1)210x m x y +++−=，由10210x x y += +−=，得11x y =− = ，直线l 过定点(1,1)−，A 正确；对于B ，()2212124−++=<，即定点(1,1)−在圆C 内，则直线l 与圆C 相交且有两个交点，B 正确；对于C ，当1m =时，直线:0l x y +=，圆心(2,0)C −到直线l的距离为d ，为而圆C 半径为2，因此只有2个点到直线l 的距离等于1，C 错误；对于D ，圆222880x y x y +−++=的方程化为22(1)(4)9x y −++=，其圆心为(1,4)−，半径为3，两圆圆心距为532d ′===+，两圆外切，因此它们有三条公切线，D 正确. 故选：ABD.11. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则（）A. 1BD =B. 直线1BD 与ACC. 1A E ⊥平面11BDD BD. 直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4【答案】ABD 【解析】【分析】通过建立空间的一组基底{},,a b c，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A 项；利用空间向量的夹角公式计算判断B 项；利用向量的数量积是否为0判断C 项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D 项.【详解】不妨设1,,,AB a AD b AA c ===则1||||||1,2a b c a b b c a c ===⋅=⋅=⋅= .对于A ，因11BD BD DD b a c =+=−+,故()()222221||||2BD b a c a b c a b b c a c =−+=+++−⋅+⋅−⋅13222=+×−=，故1BD =A 正确；对于B ，因1BD a b c =−++ ，AC a b =+ ,则||AC ==1()()AC BD a b a b c ⋅=+⋅−++22||||a a b a c a b b b c=−+⋅+⋅−⋅++⋅ 1111122=−+++=，设直线1BD 与AC 所成角为θ，则11||cos ||||AC BD AC BD θ⋅==⋅ 故B 正确；对于C ，因111112,,3A E AC C E a b c DD c =+=+−=211221121()||0332233A E DD a b c c a c b c c ⋅=+−⋅=⋅+⋅−=+−=≠ ，即1A E 与1DD 不垂直，故1A E 不与平面11BDD B 垂直，故C 错误；对于D ，因BD b a =− ，1,AC a b AA c =+=,因()()0BD AC b a a b ⋅=−⋅+=，1()0BD AA b a c ⋅=−⋅= ，则有1,,BD AC BD AA ⊥⊥因11,,AC AA A AC AA ∩=⊆平面11ACC A ，故BD ⊥平面11ACC A ，即平面11ACC A 的法向量可取为n b a =−，又1BD a b c =−++ ，设直线1BD 与平面11ACC A 所成角为ϕ，因1()()1n BD b a a b c ⋅=−⋅−++= ，||1n =，1||BD =则1sin |cos ,|n BD ϕ=〈〉=，因π(0,]2ϕ∈，故π4ϕ=，故D 正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知空间向量()2,3,a m = ，()0,2,1b = ，()2,7,c n = ，若a，b ，c 共面，则mn 的最小值为__________．【答案】1−【解析】【分析】由空间向量共面定理列方程组得到2n m =+，再结合二次函数的性质解出最值即可；【详解】因为a，b ，c 共面，所以b a c λµ=+ ，即()()()()22,3,0,2,12,,2,77,3m n m n µλλµµλµλ=+=+++，即2203721m n λµλµλµ+= +=+= ，解得12122n m λµ=−= −=，所以2n m =+，所以()()222211mn m m m m m =+=+=+−，所以最小值为1−，故答案为：1−.13. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120 时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120 ，根据以上性质，已知(2,0),(2,0),(0,4)A B C −，P 为ABC 内一点，记()||||||f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为______.【答案】4+##4 【解析】【分析】根据题意，得到ABC 为锐角三角形，得出费马点M 在线段OC 上，设(0,)M h ，由MAB△为顶角是120的等腰三角形，求得h =. 【详解】设(0,0)O 为坐标原点，由(2,0),(2,0),(0,4)A B C −，可得4AC BC BC ===，且ABC 为锐角三角形，所以费马点M 在线段OC 上，如图所示，设(0,)M h ，则MAB △为顶角是120 的等腰三角形，可得sin 30h OB = 又由()||||||f P PA PB PC =++，则()444f P MA MB MC h h ≥++=−+−=+所以()f P 的最小值为4+.故答案为：4+.14. 已知正三棱柱ABC A B C ′′′−的底面边长为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN ，则PM PN ⋅ 的取值范围是__________.【答案】[]0,4【解析】【分析】根据条件，得出棱柱的内切球的半径为1R =，利用数量积的运算得PM PN ⋅= 2||1PO − ，，再求出PO 范围，即可求出结果.【详解】因为正三棱柱的底边长为ABC 内切圆的半径为r ，2132r =×，得到1r =，又正三棱柱的高为2，所以棱柱的内切球的半径为1R =，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，又MN 是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为,M N ，则()()()22·1PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO ⋅=+⋅+=+++⋅=− ，又点P 是正三棱柱表面上的动点，当P 与M （或N ）重合时，PO 的值最小，此时1PO = ，由对称性知，当P 为正三棱柱的顶点时，PO 的值最大，连接1A N ，并延长交11B C 于H ，则1122233A N A H ===，此时1max PO AO === 2014PO ≤−≤ .故答案为：[0,4]四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知圆()22416x y +−=，过()0,2B 作直线l 圆C 交于点M N 、．（1）求证：BM BN ⋅ 是定值；（2）若点()0,4A −．求AM ANk k 的值．【答案】（1）为定值12−，证明见解析（2）-1【解析】【分析】（1）易知当直线l 的斜率不存在时12BM BN ⋅=−；当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程和()()1122,,,M x y N x y ，联立圆方程，利用韦达定理表示21x x ，结合平面向量的坐标表示化简计算即可求解；（2）根据两点表示可得12212166AM AN k kx x x k kx x x +=+，由（1）知12123()kx x x x =−+，计算化简即可求解【小问1详解】若直线l 的斜率不存在，则(0,0),(0,8)M N ，则(0,2),(0,6)BM BN =−= ，所以12BM BN ⋅=− ；若直线l 的斜率存在，设()()1122:2,,,,l y kx M x y N x y =+， 222(4)16y kx x y =+ +−=，消去y ，得22(1)4120k x kx +−−=， 121222412,11k x x x x k k −+==++，又1122(,2),(,2)BM x y BN x y =−=− ，.所以21212121212(2)(2)(1)12BM BN x x y y x x kx kx k x x ⋅=+−−=+⋅=+=− .综上，BM BN ⋅为定值12−.【小问2详解】易知直线l 的斜率存在，由（1）知121222412,11k x x x x k k −+==++，所以212212411231x x k k k x x k++=×=−−+，得12123()kx x x x =−+，由(0,4)A −，得112211224646,AM AN y kx y kx k k x x x x ++++====，所以11122122212121121122663()6331663()633AMAN kx k x kx x x x x x x x kx k kx x x x x x x x x ++−++−=====−++−++−.16. 如图，在空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，BF ⊥平面ABCD ，1,2,3CG AE BF ===，且CG ∥AE ∥BF ．（1）求证：,,,D E F G 四点共面；（2）在线段FG 上是否存在一点M ，使得平面FAC 与平面MAC出FM FG的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，12FM FG =．【解析】【分析】（1）以点B 为坐标原点，以,,BA BC BF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，只需证出,,DE DF DG共面即可得证；（2）利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为BF ⊥平面,,ABCD AB BC ⊂平面ABCD ，所以,BF AB BF BC ⊥⊥．因为四边形ABCD 是正方形，所以AB BC ⊥，所以,,BA BC BF 两两垂直，则以点B 为坐标原点，以,,BA BC BF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：根据题意，得()()()()2,2,0,2,0,0,0,3,0,2,1D E F G ．所以()()()0,2,2,2,2,3,2,0,1DE DF DG =−=−−=− ．因为()2,2,3DE DG DF +=−−= ，所以,,DE DF DG 共面，又,,DE DF DG 有公共点D ，所以,,,D E F G 四点共面．【小问2详解】解：存在，理由如下：()()2,0,0,0,2,0A C ，则()()2,2,0,2,0,3AC AF =−=− ，设mm��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)为平面FAC 的法向量，则00m AC m AF ⋅= ⋅=，即1111220230x y x z −+= −+= ，令12z =，得平面FAC 的一个法向量为()3,3,2m = ．假设线段FG 上存在点M ，使得平面FAC 与平面MAC，令()()0,2,201FM FG λλλλ==−≤≤ ，则()2,2,32AM AF FM λλ=+=−− ，设nn �⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)为平面MAC 的法向量，则00n AC n AM ⋅= ⋅=，即2222222022(32)0x y x y z λλ−+= −++−=，令21x =，得平面MAC 的一个法向量为11,1,132n λ − −．设平面FAC 与平面MAC 所成角为θ，则cos m n m n θ⋅==化简整理，得()()611210λλ+−=，因为01λ≤≤，所以12λ=，所以在线段FG 上存在一点M ，使得平面FAC 与平面MAC12FM FG =． 17. 已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +−−+=上任意一点，（1）求43y x −+最大值和最小值；（2）求22515x y x y +−−的最大值和最小值．【答案】（1（2）最大值为50−，最小值为58−【解析】【分析】（1）设43y x k −=+，得直线340kx y k −++=，易知MM (xx ,yy )同时在直线340kx y k −++=与圆()()22278x y −+−=上，所以只需要直线与圆有交点即可；（2）2222515125515222x y x y x y +−−=−+−−，2251522x y −+− 表示两点间距离的平方，最的后利用距离求范围即可.【小问1详解】由题可知，()()22278x y −+−= 设43y x k −=+,得直线340kx y k −++=，该直线与圆()()22278x y −+−=有交点即可，所以圆心()2,7C 到直线的距离要小于等于半径即可，k ≤≤43y x −≤≤+所以43y x −+，最小值为【小问2详解】2222515125515222x y x y x y +−−=−+−−显然2251522x y −+− 表示点MM xx ,yy )到点515,22N 的距离MN 的平方，即22251522x y MN −+−=已知MM (xx ,yy )在圆()()22278x y −+−=上，所以NC r MN NC r −≤≤+显然()2,7C，r =所以NC =MN ≤≤所以222515925,2222x y MN −+−=∈所以[]222251512551558,50222x y x y x y +−−=−+−−∈−−所以22515x y x y +−−的最大值为50−，最小值为58−.18. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆C 的半径为3，圆心C在直线:30l y −+=位于第一象限的部分上，一条光线沿直线l 入射被x 轴反射后恰好与圆C 相切.（1）直接写出l 的反射光线所在直线的方程；（2）求圆C 的方程；（3）点E 是圆C 与x 轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆C 相切于点A ，并与x 轴交于点B ，其在点B 处被直线m 反射后沿着x 轴负方向传播，此时ABE 的面积恰好为310，求直线m 的方程. 【答案】（130y ++=；（2）22(1)(3)9x y −+−=；（3）320x y −−=. 【解析】【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程.（2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得.（3）由（2）求出点E 坐标，设出点B 坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点B 坐标，再借助光的反射性质求出直线m 的方程.【小问1详解】设l 的反射光线所在直线DF 上任意点为(,)x y ，则该点关于x 轴对称点(,)x y −在直线l 上，所以l 的反射光线所在直线DF30y ++=.小问2详解】设点(3C t +，而圆C 与直线DF 相切，且圆C 半径为3，3=，即1)3|3t −+=，1)0t −=1)6t −=−，又点C 在第一象限，即0t >，因此1t =，点(1,3)C ，所以圆C 的方程为22(1)(3)9x y −+−=.【【小问3详解】由（2）知，点C 到x 轴距离为3，即x 轴与圆C 相切于点(1,0)E ，由一条光线从第一象限入射后与圆C 相切于点A ，并与x 轴交于点B ，得点B 在点E 的右侧，设(,0),1B a a >，则||||1BA BE a ==−，连接,EC BC ，EC EB ⊥， 31sin ,cos ||||a CBE CBE CB CB −∠=∠=，226(1)6(1)sin sin 2||(1)9a a ABE CBE CB a −−∠=∠==−+，又222116(1)3||sin (1)22(1)910ABE a S BE ABE a a −=∠=−⋅=−+ ，整理得2(2)[10(1)9(1)9]0a a a −−+−+=，解得2a =，即点(2,0)B ，直线BC 的斜率为30312−=−−，由光的反射性质知，m BC ⊥，则直线m 的斜率为13，直线m 的方程为1(2)3y x =+，即320x y −−=.19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+ ，即可求出EF，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE == ，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则200DB m x y DE m y z ⋅=+= ⋅=+= ，令1y =−得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =− ，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，则cos cos,m nm nm nθ⋅===，所以平面EDB和平面PAD【小问3详解】由（2）知()0,0,0D，()1,2,0B，()0,1,1E，()0,0,2P，()1,1,1EB=−，()1,2,2BP=−−，(),2,2(01)BF BPλλλλλ==−−<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BFλλλλλλ+−+−−−−−+，由（2）知平面EDB的法向量()2,1,1m=−，设直线EF与平面EDB的夹角为α，则sin cos,1 EF mαλ==<<整理得281030λλ−+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF=；当34λ=时，94BF=则BF的长为32或94．。

2023—2024学年广东省广州市育才中学高一上学期期中数学试卷

2023—2024学年广东省广州市育才中学高一上学期期中数学试卷一、单选题1. 下列关系中正确的个数为（）①，②，③，④A．1个B．2个C．3个D．4个2. 函数的定义域是（）A．B．且C．或D．3. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（）A．B．C．D．4. 已知函数，若，则（）A．B．0C．或0D．5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A．B．C．2D．6. 若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．8. 已知函数．若互不相等的实根满足，则的范围是（）A．B．C．D．二、多选题9. 给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A．B．若，则C．集合是无限集D．集合的子集共有8个10. 设，下列选项能表示从集合到集合的函数关系的是（）A．B．C．D．11. 下列各结论中正确的是（）A．“”是“”的充要条件；B．函数的最小值为2；C．命题“，”的否定是“，”；D．函数的值域为.12. 给出以下四个判断，其中正确的是（）A．函数的值域为B．若函数的定义域为，则函数的定义域为C．函数定义域，值域，则满足条件的有个D．若函数，且，则实数的值为三、填空题13. 若，则 ________ ．14. 若是上的奇函数，且当时，，则当，______ ．15. 若函数是定义在R上的增函数，则实数的取值范围为 ___ ．16. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ______ ．四、解答题17. 已知集合，集合，．求：(1) ；(2) ．18. 已知函数．(1)求的值；(2)若，求a的取值范围；(3)画出函数的图象，若方程有三个解，求b的取值范围（直接写出答案）19. 已知函数．(1)求证：是奇函数；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年收入万元(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（注意单位的统一）(3)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润． 21. 已知函数.(1)当时，求关于x的不等式的解集；(2)求关于x的不等式的解集；(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.22. 若函数的定义域为（或），值域也为（或），我们称函数是区间（或）上的保值函数．如是区间上的保值函数．(1)判断函数是不是区间上的保值函数，并说明理由；(2)设二次函数是区间上的保值函数，求正实数m，n的值；(3)函数是区间上的保值函数，求实数a，b的值．。

育才中学数学试题及答案

育才中学数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415B. πC. 0.33333D. √22. 已知a > 0，b < 0，且|a| < |b|，下列哪个不等式是正确的？A. a + b > 0B. a - b > 0C. a + b < 0D. a - b < 03. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数值是：A. 1B. 4C. -2D. 54. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π5. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 86. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B是：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}7. 已知等差数列的首项为a1=2，公差为d=3，第5项a5的值是：A. 14B. 17C. 20D. 238. 一个正方体的体积为27立方厘米，那么它的边长是：A. 3厘米B. 6厘米C. 9厘米D. 12厘米9. 已知函数y=x^2-4x+4，当x=2时，y的值是：A. 0B. 4C. 8D. 1210. 一个圆的周长为44厘米，那么它的半径是：A. 7厘米B. 11厘米C. 22厘米D. 44厘米答案：1. B2. C3. B4. B5. A6. B7. A8. A9. A10. B二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是 _ 。

2. 一个三角形的内角和等于 _ 度。

3. 一个等腰三角形的底边长为6，两腰长为5，它的周长是 _ 。

4. 一个二次方程ax^2+bx+c=0的判别式是 _ 。

5. 一个数的对数以10为底是2，那么这个数是 _ 。

6. 一个圆的直径为14厘米，那么它的半径是 _ 厘米。

育才学校高二数学下学期期末考试试题(实验班)文(2021年整理)

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育才学校2017-2018学年度第二学期期末考试卷高二（实验班）文科数学第I卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

）1。

若x∈A，则错误!∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝错误!的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（)A。

1 B。

3 C.7 D。

312。

已知集合P＝｛x|x2≤1}，M＝{a｝.若P∪M＝P，则a的取值范围是（)A.(－∞,－1]B.［1，＋∞)C。

[－1，1] D.（－∞，－1]∪[1，＋∞)3。

设x∈R,则“1<x〈2”是“|x－2｜〈1”的( )A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件4。

已知命题p：∃x∈R，（m＋1)（x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1〉0恒成立.若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为( ）A.[2，＋∞）B.(－∞，－2]∪(－1，＋∞）C.（－∞,－2］∪［2,＋∞）D.（－1，2］5．已知集合A＝｛x|1〈x<3｝,B＝{x|2m〈x〈1－m｝，若A∩B＝∅,则实数m的取值范围是( ）A。

错误!B。

错误!C．(－∞,0] D．［0，＋∞)6. f（x）＝错误!则f 错误!＝（）A。

2023-2024学年广州市高二数学上学期期末教学质量监测卷附答案解析

2023-2024学年广州市高二数学上学期期末教学质量监测卷2024.1试卷满分150分.考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线的焦点是(0,2)F ，则抛物线的标准方程是（）A ．28y x=B ．28x y =C ．28y x=-D ．28x y=-2．已知空间向量(2,1,3)m =-- ，(4,1,)n x =- ，且m n ⊥ ，则x 的值为（）A ．3B ．2C ．3-D ．4-3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为（）A ．1-B ．22C ．22D ．14．椭圆2212516x y +=与椭圆221(16)2516x y m m m +=<--的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线340(0)x y m m -+=<与360x ny ++=之间的距离是3，则m n +=（）A ．13-B ．9-C ．17D ．216．过直线40l y +-=上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B .若π3APB ∠=，则点P 的坐标为（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．2)-或(0,4)C．D．-或+7．已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线右支相交于,A B两点，且1π2F AB ∠=，15tan 12ABF ∠=，则双曲线的离心率为（）A．3BC．3D8．数列{}n a 满足2(1)21n n n a a n ++-=-，前12项和为158，则1a 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2n S n n =-，则（）A ．3S ，6S ，9S 成等差数列B ．3a ，6a ，9a 成等差数列C ．数列{}n a 是递增数列D ．数列{}n S 是递增数列10．已知圆22:(2)(2)4C x y -+-=，直线:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈，则（）A ．直线l 恒过定点(1,2)B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为20x y +-=D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于211．设,A B 为双曲线2214y x -=上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．(2,0)B ．(2,4)-C ．(1,4)D ．(1,1)-12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 与11BAA B 是边长为2的正方形，平面11BCC B ⊥平面11BAA B ，,M N 分别在1BC 和1AB 上，且(0BM AN a a ==<<，则（）A ．直线//MN 平面ABCB ．当1a =时，线段MN 的长最小C ．当22a =时，直线MN 与平面11BAA B 所成角的正切值为13D ．当a =MNB 与平面1MNB 夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知ABC 的三个顶点是(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，则边AB 上的高所在直线的方程为.14．正四面体A BCD -的棱长为2，设AB a =，AC b = ，ADc = ，则()a a b c ⋅++=.15．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，则{}n a 的通项公式n a =.16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，O 为坐标原点，抛物线21:2C y x=-，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出.若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为；反射光线n 所在直线的方程为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，224a b +=，36S =.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，,E F 分别为线段AB ，1AA 的中点.(1)求直线1A C与EF 所成角的余弦值；(2)求点1B 到平面CEF 的距离.19．已知圆C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=.(1)求m 的取值范围；(2)当1m =时，求圆22:40O x y +-=与圆C 的公共弦的长.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，222AD DC CB ===，E 为PD 的中点.(1)证明：//CE 平面PAB ；(2)若60PAB ∠=︒，求平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值.21．已知数列{}n a 满足12a =，1210n n n a a a +-+=，*N n ∈(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设11n n c a =-，记集合{}*2,N k n n k c k ≤≤∈中元素的个数为k b ，求使122024k b b b +++> 成立的最小正整数k 的值.22．如图，在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP=，当点P 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点P 重合）.(1)求曲线C 的方程；(2)过点(,0)T t 作圆22:1O x y +=的切线l 交曲线C 于,A B 两点，将AB 表示成t 的函数，并求AB的最大值.1．B【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程.【详解】因为抛物线的焦点是(0,2)F ，则抛物线的标准方程是28x y =.故选：B 2．C【分析】m n ⊥ 时，0m n ⋅=r r，利用坐标进行运算即可.【详解】因为(2,1,3)m =-- ，(4,1,)n x =- ，且m n ⊥ ，所以241(1)3930m n x x ⋅=-⨯+⨯--=--=，解得3x =-，故选：C.3．D【分析】首先得到直线的斜率，再由方向向量求出k .【详解】因为直线的倾斜角为π4，所以直线的斜率为πtan 14=，又直线的方向向量为(1,)k ，所以1k =.故选：D4．D【分析】由椭圆方程即可求得,,a b c ，进而即可求解.【详解】因为第一个椭圆的115,4a b ==，则焦距为6，所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为35，第二个椭圆的22a b =6=，所以长轴长为所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D.5．A【分析】根据两直线平行求出n ，再由两平行线间的距离公式求出m .【详解】因为直线340(0)x y m m -+=<与360x ny ++=，所以343n =-⨯，解得n =-4，又两条平行直线340(0)x y m m -+=<与3460x y -+=之间的距离是3，所以3d =，解得21m =（舍去）或9m =-，所以13m n +=-.故选：A 6．B【分析】根据点P 在直线设为),43Pa-，结合题中条件可求得4OP =，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可.【详解】因为点P 在直线40l y +-=上，可设),43Pa-，又,PA PB 是圆的两条切线，且π3APB ∠=，所以OA PA ⊥,π6OPA ∠=,2OA =,所以4OP =,4=，化为220a a -=，解得0a =或2a =，所以点P 坐标为()()0,4,2-，故选：B.7．C【分析】设()10AF m m =>，即可表示出AB 、1BF ，再根据双曲线的定义得到103am =，再在12Rt AF F 中利用勾股定理即可求出离心率.【详解】设()10AF m m =>，则22AF m a =-，又1π2F AB ∠=，15tan 12ABF ∠=，所以1512AF AB=，即1121255AF mAB ==，则1135mBF ==，又122BF BF a-=，122AF AF a-=，所以1122114BF AF BF AF BF AF AB a +--=+-=，即645m a =，所以103a m =，则1103a AF =，所以243a AF =，在12Rt AF F 中2221212AF AF F F +=，即()222104233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3c e a ==.故选：C8．B【分析】由2(1)21nn n a a n ++-=-，推出24612a a a a ++++ 和13511a a a a ++++ ，再利用前12项和为158求解.【详解】因为2(1)21nn n a a n ++-=-，所以423a a +=，8611a a +=，121019a a +=，2468101233a a a a a a ∴+++++=，又315375971,5,9,13a a a a a a a a -=-=-=-=，11917a a -=，1357911a a a a a a ∴+++++()()()()()11997755331123456a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+117132935415615833a =+⨯+⨯+⨯+⨯+=-，15a ∴=.故选：B 9．BCD【分析】根据2n S n n =-，可求得3S ，6S，9S 的值，可判定选项A ；结合函数2()f x x x =-的单调性，可判定选项D ；根据2n ≥时，1n n n a S S -=-可求得22n a n =-，继而可判定选项B,C.【详解】因为2n S n n =-，所以23336S =-=,266630S =-=,299972S =-=,则639630624723042S S S S -=-=≠-=-=,故3S ，6S ，9S 不成等差数列，A 错误；又函数2()f x x x =-的对称轴为12x =，所以函数2()f x x x =-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增；故数列{}n S 是递增数列，则D 正确；又110a S ==，当2n ≥时，()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，10a =满足上式，故22n a n =-，则数列{}n a 是递增数列，C 正确；切6396104616106a a a a -=-==-=-=，故3a ，6a ，9a 成等差数列，B 正确，故选：BCD.10．BC【分析】首先求出直线l 过定点坐标，求出定点与圆心的距离，即可判断A 、B 、D ，当直线l 垂直于定点与圆心的连线时弦长最短，即可判断C.【详解】直线:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈即()()3420x y x y λ+-++-=，令34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()1,1，故A 错误；因为()()22121224-+-=<，所以点()1,1在圆内，所以直线l 与圆C 相交，故B 正确；圆22:(2)(2)4C x y -+-=的圆心为()2,2C ，半径2r =，令()1,1A，所以21121AC k -==-，当直线l 与AC 垂直时直线l 被圆C 截得的弦最短，此时直线l 的方程为()11y x -=--，即20x y +-=，故C 正确；因为AC ==l 的距离等于2-D 错误.故选：BC 11．AC【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在x 上，可判定A ；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及0∆>验证B,C,D 即可.【详解】当直线AB 的斜率不存在时，设为x n =，依题知1n <-或1n >，此时线段AB 的中点为(),0n ，则选项A 中点满足题意，则A 正确；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()2224240k x kmx m -+++=，由题知240k -≠①，()()2222Δ44440k m k m =--+>，化简为224k m <+②，设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,x y ，则()1212122228,244km mx x y y k x x m k k --+=+=++=--，所以00224,44km m x y k k --==--，即004y x k =，对于B,可得2k =-，不满足条件①，故B 错误；对于C,可得1,3k m ==，满足条件①②故C 正确；对于D ，可得4,3k m =-=-不满足条件②，故D 错误；故选：AC.12．AC【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量解立体几何.【详解】如图建立空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0B A C 11(0,0,2),(2,0,2)B C 所以1(2,0,2)=BC ，1(0,2,2)AB =-因为(0BM AN a a ==<<设11,AN AB BM BC λλ== ，（01λ<<，且λ=所以()()2,0,2,0,22,2M N λλλλ-所以()2,22,0MN λλ=--，易知平面ABC 的一个法向量为()10,0,2BB =因为10MN BB = 且MN ⊄平面ABC ，所以直线//MN 平面ABC ，故A 正确.MN =当12λ=即a =MN 故B 不正确.当22a =时14λ=此时13,,022MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面11BAA B 的一个法向量为()2,0,0BC =·cos ,MN BC MN BC MN BC==所以直线MN 与平面11BAA B 所成角的正弦值为可以求得直线MN 与平面11BAA B 所成角的余弦值为10所以直线MN 与平面11BAA B 所成角的正切值为13，故C 正确.取MN 的中点O ，连接11,,,BO B O BN B M,因为三角形MNB 与三角形1MNB 都是等边三角形，所以1BOB ∠为二面角的平面角，112,BB BO B O==,2222>+⎝⎭⎝⎭,根据余弦定理可得11cos 3BOB ∠=-所以平面MNB 与平面1MNB 夹角的余弦值为13-，故D 不正确.故选：AC13．210x y --=【分析】根据与直线AB 垂直可求得斜率，又过点(2,3)C ，根据直线的点斜式方程即可求解.【详解】因为(5,1)A -，(1,1)B ，所以111512--==--AB k ,则边AB 上的高所在直线的斜率为2，又该直线过点(2,3)C ，所以所求直线方程为32(2)y x -=-，即210x y --=，故答案为：210x y --=.14．8【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得.【详解】在正四面体A BCD -中π3BAC BAD DAC ∠=∠=∠=，2AB AC AD ===，又AB a =，AC b = ，AD c = ，所以22ππ()222cos 22cos 833a a b c a a b a c ⋅++=+⋅+⋅=+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：815．1*2,n n n -⨯∈N 【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以()1n n +，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，可求得结果.【详解】11a = ，()121n nna n a +=+，121n n a a n n +∴=⨯+，又111a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，112n na n -∴=⨯，解得12n n a n -=⨯，*N n ∈.故答案为：12n n -⨯，*N n ∈.16．12y =18y =-【分析】首先得到直线OA 的方程，联立直线与抛物线方程，求出A 点坐标，即可得到直线m 的方程，再求出直线AF 的方程，联立直线AF 与抛物线方程，求出B 点坐标，即可求出直线n 的方程.【详解】抛物线21:2C y x=-的焦点为1,08F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y x =-，由212y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则入射光线m 所在直线的方程为12y =，则14211328AFk ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以直线AF 的方程为4138y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由2413812y x y x ⎧⎛⎫=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩，解得13218x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11,328B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则反射光线n 所在直线的方程为18y =-.故答案为：12y =，18y =-17．(1)n a n =;12n n b -=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式建立方程组，解出即可；（2）因为11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求和即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的等比为q ，因为224a b +=，36S =，111a b ==，所以14336d q d ++=⎧⎨+=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩()111n a n n=+-⨯=，12n n b -=.（2）因为n a n=，所以()11()22n n n n a a n S ++==，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1211111···+n n nT S S S S -=+++111111112122311n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-+⎝⎭122212111n n n n ⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭.18．(1)【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0C ，()12,0,4A ，()2,1,0E ，()2,0,2F ，()12,2,4B ，所以()12,2,4CA =-，()0,1,2EF =-，设直线1A C与EF 所成角为θ，则11cos CA EF CA EFθ⋅=⋅ ，所以直线1A C 与EF 所成角的余弦值为306.（2）因为()12,0,4CB =，()2,1,0CE =-uur，()2,2,2CF =-，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则202220n CE x y n CF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()1,2,1n = ，所以点1B 到平面CEF 的距离166CB n d n ⋅= .19．(1){}13m m -<<11【分析】（1）把圆C 的方程化为标准式，建立不等式，解出即可；（2）先判断两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程，利用勾股定理计算即可.【详解】（1）因为圆C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=化为标准方程为()()222232x y m m m -++=+-所以2320m m +->，解得13m -<<所以m 的取值范围为{}13m m -<<.（2）当1m =时，圆C 的方程为()()22214x y -++=，所以圆C 的圆心坐标()2,1C -，半径12r =,已知圆22:40O x y +-=，所以圆O 的圆心坐标O ()0,0，半径22r =,根据两点公式可得()()221220105O O =-+--又因为121204r r r r -=<+=，所以两圆相交，联立()()22222144x y x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减并化简可得其公共弦方程为4250x y --=，由点()2,1C -到直线4250x y --=的距离为：52d ，设弦长为l，则122l ==，所以l =所以圆22:40O x y +-=与圆C.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取PA 的中点M ，连接BM ，EM ，即可证明四边形BCEM 为平行四边形，从而得到//CE BM ，即可得证；（2）取AD 的中点O ，连接OP 、OB ，即可求出PB ，从而得到PO OB ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）取PA 的中点M ，连接BM ，EM ，E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==，∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴．CE ⊄ 平面PAB ，BM⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）取AD 的中点O ，连接OP 、OB ，易证四边形OBCD 为正方形，所以OB AD ⊥，OP AD ⊥，则1OA OD OB OP DC =====，所以2AB AP ==,又60PAB ∠=︒，所以APB △为等边三角形，所以2PB 222OB OP BP +=，所以PO OB ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ．所以()0,1,1PA =--，()1,1,0AB =，()1,0,1PB =-，()1,1,1PC =-，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y --=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1n =- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m PC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，取()1,0,1m = ，设平面PAB 与平面PBC 的夹角为α，则26cos 32m n m n α⋅===⋅⨯ ，所以平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值为6.21．(1)证明见解析(2)11【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可；（2）根据题意可得21kk b k =-+，利用分组求和求出12k b b b +++ 表达式，结合单调性解不等式即可.【详解】（1）由题意可知121n n n a a a +=-，所以()()()()()()111111111111111111211n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++------====-----++--++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1111a =-，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知()11111n n c n n a ==+-⨯=-，所以集合{}*2,N kn k n k ≤≤∈中元素的个数为21kk -+，即21kk b k =-+，所以()()123123...222...2123...k k b b b b k k++++=++++-+++++()()122121112212222k k k k k k k+-+=-+=--+-，由指数函数的图象和性质可得210kk b k =-+>恒成立，所以12kb b b +++ 单调递增，因为1121012011221010200122b b b +-+++=-⨯+⨯= ，1121112111221111403922b b b +-+++=-⨯+⨯= ，所以使122024k b b b +++> 成立的最小正整数k 为11.22．(1)2214x y +=(2)11t AB t =±=>，2【分析】（1）设(),M x y ，00(,)P x y ，则()00,D y ，，依题意可得点P 是线段PM 的中点，则02xx =，0y y =，再由点P 在圆O 上，代入即可求出动点的轨迹方程；（2）首先判断1t ≥，求出1t =±时AB，当1t >时设切线l 的方程为()y k x t =-()1t >，由直线与圆相切求出2211k t =-，再联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出弦长，再由基本不等式计算可得.【详解】（1）设(),M x y ，00(,)P x y ，则()00,D y ，因为2DM DP=，所以点P 是线段PM 的中点，得02xx =，0y y =，因为点P 在圆221x y +=上，所以22001x y +=，所以2214x y +=，所以，动点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当11t -<<时点(,0)T t 在圆内，此时过点(,0)T t 不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当1t =（1t =-）时切线方程为1x =（=1x -），对于2214x y +=，令1x =，解得2y =±，所以AB =当1t >时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为()y k x t =-()1t >，1=，所以2211k t =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2214y k x t xy ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()22222148440k x tk x k t +-+-=，将2211k t =-代入得()223840t x tx +-+=所以248480t ∆=->，所以12283t x x t +=+，12243x x t =+，所以AB =，所以11t AB t =±=>，又当1t >时23AB t t ==+，当且仅当t =时取等号，所以max 2AB =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。

广州市育才中学高二数学双周清(一)

2011学年广州市育才中学高二数学双周清（一）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A ．都是从总体中逐个抽取B ．将总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等D ．抽样过程中，将总体分成几层，按比例分层抽取2．A=15,A=-A+5,最后A 的值为：（） A ．-10 B ．20 C ．15 D ．无意义3. 将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( )4. 将十进制数111化为五进制数是（）A ．421（5） B. 521（5） C.423（5） D. 332（5）5.用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是：（）A. 6 , 6B. 5 , 6C. 5 , 5D. 6 , 56．下列给出的赋值语句中正确的是：（） A 、3=A B 、M= —M C 、B=A=2 D 、x+y=0 7.中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众。

现采用系统抽样方法抽取，其组容量为（）A 、10B 、100C 、1000D 、100008. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是 ( )A. 1,2,3,4,5B. 5,16,27,38,49C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,409.对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（）。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关10.我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A 、45，75，15B 、45，45，45C 、30，90，15D 、45，60，3011. 下面一段程序执行后输出结果是 ( ) 程序： A=2 A=A*2A=A+6 PRINT AA. 2B. 8C. 10D. 1812. 样本1210,,,a a a 的平均数为a ,样本110,,b b 的平均数为b ,则样本11221010,,,,,,a b a b a b 的平均数为（） A. a b + B.()12a b + C. 2()a b + D. 110()a b + 13. 在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长立形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14,且样本容量为160,则中间一组有频数为（） A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.2514.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不胜的概率是（） A ．21 B ．65 C ．61 D ．3215.取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是（）A ．21 B ．31 C ．41D ．不确定 16. 袋中装有6个白球,5只黄球,4个红球,从中任取1球,抽到的不是白球的概率为( ) A.25 B. 415C. 35D. 非以上答案17. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（）A.157B.158C.53D.118.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是（）A.83B.32C.31D.4119.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．720.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( ). A.90 B.75 C. 60 D.45广州市育才中学高二数学双周清（一）（答案）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（ C ）A ．都是从总体中逐个抽取B ．将总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等D ．抽样过程中，将总体分成几层，按比例分层抽取 2．A=15,A=-A+5,最后A 的值为：AA ．-10B ．20C ．15D ．无意义 3. 将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( B )4. 将十进制数111化为五进制数是（ A ）A ．421（5） B. 521（5） C.423（5） D. 332（5）5.用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是：AA. 6 , 6B. 5 , 6C. 5 , 5D. 6 , 5 6．下列给出的赋值语句中正确的是：BA 、3=AB 、M= —MC 、B=A=2D 、x+y=0 7.中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众。