2018届高考数学二轮(理科数学)大题规范练(6)专题卷(全国通用)

大题规范练(五)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分) 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n ＝3n＋1＋a(n∈N*)．(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(1－an)log3(a2n·a n＋1)，求数列{1b n}的前n项和T n. 解：(1)∵6S n＝3n＋1＋a(n∈N*)，∴当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，当n≥2时，6a n＝6(S n－S n－1)＝(3n＋1－a)－(3n＋a)＝2×3n，即a n＝3n－1，∵{a n}是等比数列，∴a1＝1，则9＋a＝6，得a＝－3，∴数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1(n∈N*)．(2)由(1)得b n＝(1－an)log3(a2n·a n＋1)＝(3n－2)(3n＋1)，∴1b n＝1(3n－2)(3n＋1)＝13⎝⎛⎭⎪⎫13n－2－13n＋1，∴T n＝1b1＋1b2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋1(3n－2)(3n＋1)＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫13n－2－13n＋1＝n3n＋1.2．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBE＝60°，设AC与BD相交于点O，且F A＝FC.(1)求证：平面FBC ∥平面EAD ；(2)求二面角A -FC -B 的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD ∥BC ，DE ∥BF .因为AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，所以AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC .又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，所以平面FBC ∥平面EAD .(2)如图所示，连接FO ，FD ，因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 的中点，所以FO ⊥BD .因为O 为AC 的中点，且F A ＝FC ，所以AC ⊥FO .又AC ∩BD ＝O ，所以FO ⊥平面ABCD .由OA ，OB ，OF 两两垂直，则以O 为坐标原点OA ，OB ，OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，所以O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)，CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)．设平面BFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)为平面BFC 的一个法向量．因为OB ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)．因为二面角A -FC -B 为锐二面角，设其平面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·OB →|n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155.所以二面角A -FC -B 的余弦值为155.3．(本小题满分12分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15. 应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝627； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1227；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(或因为η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (η)＝3×23＝2)(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25， D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)＜D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．4．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN→的最小值．解：(1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线MN 的方程为：y ＝x －p 2，代入y 2＝2px (p ＞0)中，得x 2－3px ＋p 24＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p ，∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x 中，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0，即(2b －4)2－4b 2＝0，解得b ＝1，∴l ：y ＝x ＋1.由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝－4，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4·x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值－14.5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋a x ，其中a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值范围．解：(1)h (x )＝x ＋1＋a x －a ln x ，h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －(1＋a )x 2＝(x ＋1)[x －(1＋a )]x 2， ①当a ＋1＞0，即a ＞－1时，在(0,1＋a )上h ′(x )＜0，在(1＋a ，＋∞)上h ′(x )＞0，所以h (x )在(0,1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增． ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上h ′(x )＞0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，即存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＜0成立，即函数h (x )＝x ＋1＋a x －a ln x 在[1，e]上的最小值小于零．由(1)可知：①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，h ′(x )＜0，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )在[1，e]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋a e －a ＜0可得a ＞e 2＋1e －1， 因为e 2＋1e －1＞e －1，所以a ＞e 2＋1e －1. ②当1＋a ≤1，即a ≤0时，h (x )在[1，e]上单调递增，所以h (x )的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋a ＜0可得a ＜－2. ③当1＜1＋a ＜e ，即0＜a ＜e －1时，可得h (x )的最小值为h (1＋a )，因为0＜ln(1＋a )＜1，所以0＜a ln(1＋a )＜a ，故h (1＋a )＝2＋a －a ln(1＋a )＞2＞0，不合题意．综上可得，所求a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. 请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝2a sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋ay ＝45t (t 为参数)．(1)若a ＝2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值； (2)若直线l 被圆C 截得的弦长为26，求a 的值．解：(1)由ρ2＝4ρsin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.将直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝－43(x －2)，令y ＝0，得x ＝2，即点M 的坐标为(2,0)．又圆C 的圆心坐标为(0,2)，半径r ＝2，则|MC |＝22，所以|MN |的最大值为|MC |＋r ＝22＋2.(2)因为圆C ：x 2＋(y －a )2＝a 2，直线l ：4x ＋3y －4a ＝0，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|3a －4a |5＝|a |5，所以2 a 2－a 225＝26，即465|a |＝26， 解得a ＝±52.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式f (x )≥4－|x －1|即为|x －2|≥4－|x －1|，①当x ≤1时，原不等式化为2－x ≥4＋(x －1)，得x ≤－12，故x≤－12；②当1＜x ＜2时，原不等式化为2－x ≥4－(x －1)，得2≥5，故1＜x ＜2不是原不等式的解；③当x ≥2时，原不等式化为x －2≥4－(x －1)，得x ≥72，故x ≥72.综合①②③知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：由f (x )≤1得|x －a |≤1，从而－1＋a ≤x ≤1＋a ，∵f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a ＝0，1＋a ＝2，得a ＝1，∴1m ＋12n ＝a ＝1. 又m ＞0，n ＞0，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n m ＋m 2n ≥2＋22n m ·m 2n ＝4，当且仅当2n m ＝m2n ，即m ＝2n 时，等号成立，此时，联立1m ＋12n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1，则m ＋2n ＝4，故m ＋2n ≥4，得证．。