二次函数 与一元二次方程
二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
二次函数与一元二次方程方程
二次函数与一元二次方程方程《深度探讨：二次函数与一元二次方程方程》一、引言在数学的世界里，二次函数与一元二次方程方程是非常重要的概念。
它们不仅在数学理论和实际问题中起着重要作用，还在生活中的方方面面有着广泛的应用。
本文将从深度和广度的角度对这两个概念进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，希望能够帮助读者更全面、深刻地理解这两个概念。
二、二次函数与一元二次方程方程的概念解析1. 二次函数的定义所谓二次函数，就是最高次项是二次项的函数。
一般来说，二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 一元二次方程方程的定义一元二次方程方程是指最高次项为二次项的方程。
一元二次方程方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
一元二次方程方程的求解是数学上重要的课题，它涉及到方程的根与系数之间的关系。
三、从简到繁：二次函数与一元二次方程方程的关系在深入探讨二次函数与一元二次方程方程的关系之前，我们先从简单的实例开始。
以y = x^2为例，这是一个简单的二次函数。
当我们令y=0时，就得到了一个一元二次方程方程x^2 = 0。
通过这个简单的实例，我们可以看到二次函数与一元二次方程方程之间的密切联系。
四、深入探讨：二次函数与一元二次方程方程的求解1. 二次函数的求解对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，我们可以通过多种方法来求解。
一种常用的方法是配方法，即通过将二次项化成完全平方的形式，然后进行转换和求解。
2. 一元二次方程方程的求解对于一元二次方程方程ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0，我们可以利用求根公式或配方法来求解方程的根。
然后根据根的情况，可以进一步讨论一元二次方程方程解的情况。
五、总结与回顾：二次函数与一元二次方程方程的应用与意义二次函数与一元二次方程方程在数学上有着非常重要的应用与意义。
《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。
首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。
与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。
但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。
其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。
一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。
与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。
最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。
一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。
与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。
综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。
深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。
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二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程是高中数学的重要内容之一。
本文将从概念解释、性质讨论以及实际应用等方面来探讨二次函数与一元二次方程的相关知识。
一、二次函数的定义和性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了抛物线的开口方向及大小，a>0时抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴的位置，负责平移抛物线；c决定了抛物线与y轴的截距，负责上下平移。
二次函数的图象一定是一个抛物线，还可以根据抛物线的顶点、焦点等性质进行分类和推导。
例如，顶点坐标为（h，k），则对称轴方程为x = h；当a>0时，抛物线的最小值为k，焦点坐标为（h，k+p）；当a<0时，抛物线的最大值为k，焦点坐标为（h，k-p）。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。
一元二次方程在数学中具有广泛的应用，解一元二次方程的过程就是求解方程的根，即方程等式两边相等的值。
一元二次方程的解可以分为三种情况：①当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；②当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；③当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数根，但有复数根。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。
对于任意给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以用x代入函数中，得到一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，即将二次函数转化为一元二次方程。
反之，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求解方程的根，得到二次函数的图象的相关信息。
例如，根据二次函数的顶点和焦点的性质，可以通过一元二次方程的解来确定抛物线的开口方向、抛物线与x轴的交点等。
四、二次函数与一元二次方程的应用二次函数与一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用。
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、 不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等 式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等 式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的 解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )
《二次函数与一元二次方程》
b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0
随堂练习
2、抛物线y= x2 － x ＋ 2与x轴的交点情况是（
1、抛物线y=－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为(2，0)和(-5，0) 。
c
）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3、抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。 4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。 解：∵x2－3x－4＝0 (x－4)(x＋1)＝0 ∴ x1=4，x2=-1 ∴抛物线 y=x2－3x－4 与x轴的交点坐标是 （4 ，0）和（ -1，0）
课堂点睛
(3) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式：b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
b2-4ac＞0 b2-4ac＝0
有一个交点 没有交点
b2-4ac＜0
P72 习题2.9 第1、2 、3题
解 : (1)h 5t 40t
2
80 60 40 20
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交 流.
0
2
4
6
8
t/s
可以利用图象, 也可以解方程 5t 2 40t 0 (2)8s;
活动探究
活动探究
二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1 , y=x2-2x+2的图象如图所示.
二次函数与一元二次方程和不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系一、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax 2+bx +c =0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当y = 0时x 的情况,抛物线y=ax 2+bx+c 与轴交点的的个数和方程ax 2+bx +c =0的的个数有关。
(1)△＝b 2－4ac ＞0有个交点有实根;(2)△＝b 2－4ac ＝0有个交点有实根;（3）△＝b 2－4ac ＜0交点实根.练习：1、抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点坐标是___________,与y 轴的交点坐标是________;2、抛物线y =3x +2x +1与x 轴的交点个数是（）A 、1个；B 、2个；C 、没有；D 、无法确定3．如图，抛物线y =ax +bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点22y3P3–1O 1xP （3，0），则方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根为：。
5．已知抛物线y =x 2-6x +a 的顶点在x 轴上，则a =；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .26．已知抛物线y =x +px +q 与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p =，q = .27．抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的图象全部在x 轴下方的条件是（）A ．a ＜0 b -4ac≤0 B ．a ＜0 b -4ac ＞022C ．a ＞0 b -4ac ＞0 D ．a ＜0 b -4ac ＜022二、二次函数与一元二次不等式的关系：一元二次不等式ax 2+bx +c >0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当函数y 的值0时的情况。
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax ＋bx ＋c ＝0的根为___________;(2)不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集为________;(3)不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解集为________;2222、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．-1<x <3B ．x >3C ．x <-1D ．x >3或x <-13.二次函数y=ax +bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程ax 2+bx +c =0的两个根_________2（2）写出不等式ax +bx +c ＞0的解集_________2-1O 3xyx =1O 3x（3）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？4.解下列不等式（1）2x 2－x －1＞0；（2）2x 2－x －1< 0；(3)3＋2x －x 2≥0；(4)x 2＋3＞2x ；(5)－2x 2－5x ＋3＞0；25.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a > 0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．116．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－，)，则a ＋b 的值是________．2311【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－，.23b 11－＝－＋a 23则211＝（－）×a 23⎧⎪a ＝－12，解得⎨⎪b ＝－2，⎩∴a ＋b ＝－14.⎧⎨⎩。
九年级数学二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c的图象 方程ax2+bx+c=0的
和x轴交点
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点
方程有两个不相等 的实数根
b2-4ac > 0
y .o . x
y
只有一个交点
方程有两个相等 的实数根
b2-4ac = 0
o
x
没有交点
y
方程没有实数根 b2-4ac < 0 o
x
中考链接： （2009肇庆市）已知一元二次方程x²+px+q+1=0=的一根为 2．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△ ＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
探究点三：二次函数图像与系数之间的关系
方程可以看成是对于二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）， 当y=0时，函数即可化为一元二次方程ax2＋bx＋c=0，这 时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标
y=ax2+bx+c的 方程ax2+bx+c=0
图象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
只有一个
交点
方程有两个 不相等的实 数根 方程有两个 相等的实数 根
图象与x轴有两个交点；
（2）△＝b2-4ac=62-4×(-1) ×(-9）=0，函 数的图象与x轴有一个交点； （3）△=b2-4ac=62-4×3×11=-96＜0，函 数的图象与x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中常见的概念。
它们在数学中具有重要的地位和应用价值。
本文将探讨二次函数和一元二次方程的定义、特点、图像以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指一元二次方程的解所构成的函数。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a≠0。
根据一元二次方程的解的性质，二次函数的定义域为实数集R，而值域则取决于抛物线的开口方向和顶点高低。
当a>0时，抛物线开口向上，最值在顶点处取得；当a<0时，抛物线开口向下，最值为负无穷或正无穷。
二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。
根据顶点坐标和对称性，可以进一步得到二次函数的对称轴方程和顶点形式方程。
二、一元二次方程的定义和特点一元二次方程是指未知数只有一个，其次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a≠0。
一元二次方程的解为x=（-b±√（b^2-4ac））/2a，根据根的性质可知，一元二次方程的解的个数和判别式的大小有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程无实数解。
一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，如物体自由落体、抛体运动、二次函数的最值等等。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间存在紧密的联系。
一元二次方程的解对应于二次函数的零点，即二次函数与x轴的交点。
对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，可以通过求解一元二次方程ax^2+bx+c=0来确定二次函数的零点。
而解一元二次方程得到的解又可以构成一元二次函数的图象上的点。
具体而言，当一元二次方程有两个不相等的实数解时，也就是判别式大于0时，对应的二次函数与x轴有两个交点，即抛物线与x轴相交于两点；当一元二次方程有两个相等的实数解时，也就是判别式等于0时，对应的二次函数与x轴有一个交点，即抛物线与x轴相切于一个点；当一元二次方程无实数解时，也就是判别式小于0时，对应的二次函数与x轴没有交点，即抛物线不与x轴相交。
22.2二次函数与一元二次方程
2
2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2 x m x m 上 0 2 1 m 1 m
2 2 2 2 2
即 m m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
(1) 没有公共点 (2)有一个公共点
(3)有两个公共点
没有实数根 有两个相等的实数根
有两个不等的实数根
2 2 2
解:
(1)抛物线y x x 2与x轴有两个公共点 , 它的横坐标 2, 1 , 当x取公共点的横坐标时 , 函数的值是0.由此得出方程x x 2 0 根是 x1 2, x2 1. (2)抛物线y x 6 x 9与x轴有一个公共点 , 这点的横坐标是 3.当 x 3时, 函数的值是0.由此得出方程x 6 x 9 0有两个相等的 实数根 x1 x2 3. (3)抛物线y x x 1与x轴没有公共点 ,由此可知, 方程
即：y=0 。
-1 A 0
y B
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
D x
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m。
观察
下列二次函数的图象与 x轴有公共点吗? 如果有, 公共点的横坐标是多少 ?当x取公共 点的横坐标时 , 函数的值是多少?由此, 你能 得出相应的一元二次方 程的根吗? (1) y x x 2 ( 2) y x 6 x 9 (3) y x x 1
2 2
2Hale Waihona Puke (2)二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种 :
二次函数与一元二次方程的根与系数关系
二次函数与一元二次方程的根与系数关系二次函数和一元二次方程在数学中都是重要的概念，并且它们之间存在着密切的联系。
在本文中，我们将探讨二次函数与一元二次方程的根与系数之间的关系，并研究它们之间的一些特性。
一、二次函数的定义与一元二次方程的定义首先，我们先来了解二次函数和一元二次方程的定义。
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a≠ 0。
二、二次函数的图像与一元二次方程的根的关系二次函数的图像是抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
一元二次方程的根就是方程的解，也就是使得方程等式成立的x 值。
根据二次函数的图像性质，我们可以得出以下结论：1. 当二次函数的抛物线与 x 轴相交时，方程有两个实根；2. 当二次函数的抛物线与 x 轴相切时，方程有一个实根；3. 当二次函数的抛物线与 x 轴无交点时，方程没有实根。
因此，通过观察二次函数的图像，我们可以确定一元二次方程的根的情况。
三、二次函数的系数与一元二次方程的根的关系接下来，我们来研究二次函数的系数与一元二次方程的根之间的关系。
1. 根据一元二次方程的求根公式可知，方程的根的判别式 D = b^2 - 4ac。
判别式 D 的值能够决定方程的根的性质。
具体来说：a) 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；b) 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；c) 当 D < 0 时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
2. 通过对比二次函数和一元二次方程的一般形式可知，二次函数的系数与一元二次方程的根之间存在着如下关系：a) 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；b) 一元二次方程的根与顶点坐标的关系为 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关联。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指具有一元二次项的函数，通常表示为f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。
1. 零点：二次函数的零点是函数图像上与x轴交点的x值。
通过求解f(x) = 0的一元二次方程，可以找到二次函数的零点。
2. 领域：二次函数的定义域是所有实数，范围则由抛物线的开口方向和顶点的纵坐标决定。
3. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，恒过于顶点，可由方程x = -b/2a求得。
4. 函数值：给定x的值，可以通过代入函数表达式计算得到对应的y值。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
1. 解的个数：一元二次方程的解的个数可能为0、1或2个，具体取决于方程的判别式Δ的值。
若Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；若Δ < 0，则方程无实数解，只有复数解。
2. 解的性质：一元二次方程的解对应于二次函数的零点，也就是函数图像与x轴的交点。
三、二次函数和一元二次方程之间存在着密切的联系。
具体来说，可以通过以下几点来说明它们的关系：1. 零点与方程的根：二次函数的零点对应于一元二次方程的根。
当二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点为x1和x2时，对应的一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，并且方程的解为x1和x2。
2. 方程与函数图像的交点：一元二次方程的解对应于二次函数图像与x轴的交点。
如果一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个实根x1和x2，那么二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像将与x轴相交于点(x1,0)和(x2,0)。
二次函数结合一元二次方程
二次函数结合一元二次方程二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们在代数学和几何学中有着重要的应用和意义。
首先，让我们来了解一下二次函数。
二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上的（a > 0）或开口向下的（a < 0）。
二次函数的图像对称于抛物线的顶点，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知实数且a ≠ 0。
一元二次方程的解是使方程成立的实数值，通常是通过求根公式或配方法来求解。
一元二次方程的解可以有两个实根、一个实根或者没有实根，具体取决于方程的判别式（b^2 4ac）的值。
二次函数和一元二次方程之间存在着密切的联系。
事实上，二次函数的图像与一元二次方程的解是有关的。
具体来说，二次函数的图像与一元二次方程的解有以下关系：1. 如果一元二次方程有两个实根，那么二次函数的图像与 x 轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的两个实根。
2. 如果一元二次方程有一个实根，那么二次函数的图像与 x 轴有一个交点，这个交点的横坐标就是方程的实根。
3. 如果一元二次方程没有实根，那么二次函数的图像与 x 轴没有交点，也就是没有实根。
反过来，我们也可以通过观察二次函数的图像来判断一元二次方程的解的情况。
例如，如果二次函数的图像开口向上，并且与 x 轴有两个交点，那么对应的一元二次方程就有两个实根。
总之，二次函数和一元二次方程是密切相关的，通过研究二次函数的图像，我们可以获得一元二次方程的解的信息。
对于二次函数和一元二次方程的进一步研究，可以涉及到二次函数的性质、最值问题、图像的平移和缩放等内容。
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二次函数与一元二次方程教学设计阜南县地城镇中心学校：王道华教材分析：本节是初中九年级《数学》下册第二章第八节的第一课时，这一章是初中数学代数中的重点内容。
先让学生认识二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，进而认识它的图像是抛物线以及抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征。
在研究图像的过程中也穿插了实际应用问题，把图像直观与实际意义相联系，让学生更深刻的理解二次函数的性质，进而将前面学过的一元二次方程与二次函数紧密地联系在一起，建立了方程与函数的数学模型，可以将前面的知识和刚学过的函数知识紧密的联系起来，起到承前启后的作用，让学生更深刻地去体会方程与函数之间的关系。
因此，本节在本章中占有很重要的地位，也是考察学生的思维以及综合应用数学的能力，更让学生明白数学知识前后是紧密相连的而不是割裂的。
一．教学目标1．知识目标1) 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2)理解二次函数与横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
3)理解一元二次方程的根就是二次函数与（为实数）的交点的横坐标。
[设计意图]依据课标要求理解函数与方程之间的关系，同时体现课标精神——师生互动，探究总结，注重知识的形成过程，从而加深对知识的理解。
这个目标的实现与完成主要在课堂练习1中体现。
2．能力目标1) 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生有效的合作探究能力以及与同伴交流的能力。
2)渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力。
3．情感态度价值观目标1)渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点。
2)在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，让学生体会数学之间的紧密联系，感受数学知识之间的内在联系，体会他在生活中的作用，培养他们勇于探索创新及实事求是的科学学习精神。
二．教学重点1.理解二次函数的图像和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
2.理解方程何时有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根。
[设计意图]本节课目的明确，由课题可知重点是学习二者之间的关系，据此制定此重点。
三．教学难点探索二次函数与一元二次方程之间的关系。
[设计意图]探究对于初中九年级学生来说，由于他们的认知水平以及对知识的综合应用能力有限，因此成为难点。
四．教法设计分组探究——引导——学生归纳——教师总结（议一议）这一环节中用到分组探究法，（3）小问中教师引导学生归纳，最后教师总结。
复习一元二次方程与二次函数这一部分学生归纳，教师总结方法再次运用。
五．学法指导学生在学习本节时应积极参与课堂，积极与同伴交流，在交流与探究的过程中掌握所学知识，学生应该认真复习一元二次方程与二次函数知识，为本节课的探究打下基础。
在探究过程中学生应提高探究效率，少说一些与主题无关的话，不会的问题能听取同伴的讲解。
六．教具使用三角尺，多媒体课件。
本节涉及到图像用多媒体课件展示可以做到直观，印象深，帮助学生很好的理解。
七．课时安排1课时（40分钟）八．教学程序设计创设情境，导入新课——师生合作，探究新知——启发引导，归纳总结——反馈应用，巩固提高——注重实效，回顾小结过程九．教学过程及步骤1．创设问题情境，导入新课（5分钟）(多媒体课件展示)师：我们知道，竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度，一个小球从地面被以的速度竖直向上抛起（用多媒体演示）小球的高度与运动时间的关系如下图：那么：与的关系式是什么？小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。
师：请同学们思考一下回答。
生1：由题知其中、，代入可得：。
师：很好！这位同学思路很清楚而且运算能力也很强，回答很准确。
师：前面大家刚学过二次函数的图像和性质，请大家来说一说的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是什么？生：它的开口方向向下因为，对称轴为，顶点坐标为师：这位同学回答很棒，看来前面的知识掌握不错。
师：小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法生2：由图像知时小球落地。
师：还有别的方法吗？生3：小球落地时，把代入中解出，是小球没抛出时的时间，故舍去。
所以。
师：你回答太棒了大家给他鼓掌师：与轴交点的横坐标为0和8，方程的根为，二者有什么关系？对于其他的函数与方程有类似的关系吗？那么我们一起去探索。
[设计意图] 通过上抛问题情境使学生初步感受二次函数与一元二次方程之间的关系，顺利导入新课。
2．师生合作，探究新知师：同学们，我们要探索二次函数与一元二次方程的关系，首先让我们一起来回顾一下二次函数与一元二次方程的有关知识。
师：哪位同学来说一下二次函数的定义和性质？生：形如（）的函数叫做二次函数，开口向上。
开口向下，当时就得到与轴的交点。
师：回答很棒，哪位同学说一下一元二次方程的解法有几种？生：有四种，分别是直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。
师：很好！下面我们将他们对比总结如下：Ø复习旧知识（5分钟）[设计意图]再现所学知识，前后对比复习，加深学生印象，为下面的探索奠定基础。
（多媒体展示出来）Ø探究新知识（15分钟）用多媒体课件展示课本中的《议一议》，同时思考下面三个问题：1) 每个图像与轴有几个交点？2) 一元二次方程，有几个根，验证一下有根吗？3) 二次函数的图像与轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系？师：同学们观察二次函数的图像与轴交点的横坐标与方程的根由什么关系？生：相同。
师：再观察二次函数和的图像与轴交点的横坐标与对应的方程有入上关系吗？生：有，和上面的关系一样。
3．启发引导，归纳总结师：谁能用自己的语言描述一下上述关系，这个规律对所有的二次函数都成立吗？生：关系是函数与轴交点的横坐标就是方程的根；都成立。
师：很好，表述很准确。
生：由上表我还发现：，令，得到这个方程有几个根，就与轴有几个交点。
若方程无解，则函数与轴无交点。
师：很好，大叫表现棒极了！下面我们一起总结一下这个规律。
结论：二次函数的图像与轴交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点。
当二次函数的图像与轴有交点时，交点的横坐标就是当时得到的一元二次方程的根。
[设计意图]充分体现课改精神：师生互动，相互交流合作，注重知识的形成过程，培养学生合作交流能力，同时也渗透重要的数学思想——由特殊—一般。
<想一想>本节一开始的问题中何时小球离地面60米？你是如何知道的？（3分钟）生1：看图像，2秒和6秒时离地面60米。
师：为什么有两个？生2：一个是上升过程中达到60米，一个是下降过程中达到60米。
生3：把代入中可得。
师：同学们掌握太棒了！老师感到很高兴！[设计意图]再次让学生体会一元二次方程的根就是函数与的交点横坐标。
4．反馈应用，巩固提高（8分钟）判断下列二次函数图像与轴的交点个数，并写出交点坐标，做草图验证。
（1）（2）（3） (4)解：（1）令，则：方程无实数解图像与轴无交点。
剩下的三道题由学生上黑板完成。
（过程略）[设计意图]巩固所学知识，并且会用知识解决交点问题，同时反馈学生掌握情况。
方程的根与的图像有什么关系？试把方程的根在图像上表示出来（用多媒体展示）。
（3分钟）生：老师我发现这个方程就是把函数中的得到的，这个方程的根就是函数与直线的交点的横坐标。
师：回答很好，我们把解题过程写出来。
（图形多媒体展示）解：所以的图像与的交点的横坐标为和。
[设计意图]此题难度比练习1较大，重在给学有余力的同学以引导启发，激发他们学习数学的兴趣，激起他们探索数学知识之间联系以及奥秘的欲望。
同时与《想一想》前后呼应，围绕重点，突破难点。
5．注重实效，回顾小结（1分钟）二次函数与轴交点的个数与的根的个数相同。
二次函数与轴交点横坐标就是的根。
[设计意图]再次将课程中知识系统化，便于理解记忆，起到画龙点睛的作用。
十．教学评价1．教学过程完成后进行反思是每一个老师提高自身水平的一个途径。
2．教学过程中师生互动，课堂紧凑，及时给学生以肯定和表扬，增强学生自信心，教师还可以从学生的回答中了解学生所学知识的情况，提高师生之间的了解程度。
3．精心预设，重视生成，有未预料到的问题出现时应与学生讨论，不应草草带过。
点评：创设适宜的问题情境，增强学生“做数学”的动力。
适宜的问题情境能激发学生的学习欲望，能有效地调动学生以积极的态度去尝试解决面临的问题，能较好的引导学生主动投入到学习活动中。
该设计中创设了“抛球”的问题，注重了从新知出发，联系学生关注的问题，激发了学生学习的动力。
合作交流，有效探索，适时引导。
新课程倡导自主探索、合作交流的学习方式。
如何改变学生的学习方式始终是我们广大教师要思考的问题。
通过本节设计感到合理的设计会让探索活动更深入，精心的预设可使学生“做数学”活动更精彩。
猜想、探索和交流是本节重要的学习方法。
在学习中学生也许会遇到不能理解“一元二次方程的根就是二次函数与（为实数）交点的横坐标”，也许不知道如何归纳总结“二次函数与一元二次方程之间的关系”……这些都需要教师相信学生，并予以恰当的启发、引导、纠正，但绝不要简单得代替。