北京市各地市年高考数学最新联测验题分类汇编圆锥曲线

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2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题

圆锥曲线小题一、选择题1．(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A2．(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3．(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p．故选：C ．4．(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．5．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A解析：5ca=，c ∴=，依据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．6．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B ．7．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )A ．4B C ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 8．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C的离心率为()( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以OF 为直径的圆的半径，∴A 为圆心||2c OA =．∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =，故选A ．9．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =，故选D ．10．(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，)的左、右OP ，则C 的离心率为 ( )A B ．2CD【答案】C解析：法一：依据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==-所以223c a =，所以e =C ．12．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由余弦定理得1PF =，所以(2)P c ，而(,0)A a -，由已知AP k =，得4a c =，即14e =，故选D ．13．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A．y = B．y =C．y = D．y = 14．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A ．32B ．3C．D ．4【答案】B解析：双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F 的直线为：)2y x =-，则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得：(3,N ，则3MN ==，故选B ．15．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ． 16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A．3B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R a =，该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===，整理可得223a b =所以c e a ==3==，故选A ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ( ) A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =，可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>，且24531λλλ+=⇒=，故所求双曲线C 的方程为：22145x y -=，故选B ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( )A ．2BCD．3【解析】解法一：常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=，解得2e =．解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =．解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=，可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =．解法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =．解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵ cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1，则22a 所以1a ，248c ，所以2c ，所以2e故选Ａ．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0,22A x ，52p D ⎛-⎝，点(0,22A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。

北京市各区高三文科数学分类汇编----圆锥曲线

北京市各区高三文科数学分类汇编----圆锥曲线选择填空部分（2017年朝阳期末）6. 已知双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是双曲线上的一点，且|1MF |3=，|2MF |=1，︒=∠3021F MF ，则该双曲线的离心率是（ D ）A ．13-B ．13+C ．213+D ．13+或213+ (2017年东城期末) （6）过抛物线24yx =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（ B ）（A ）有且仅有一条（B ）有且仅有两条（C ）有无穷多条（D ）不存在（12）双曲线22217x y a -= )0(>a 的右焦点为圆22(4)1x y -+=的圆心，则此双曲线的离心率为 43 .(2017年海淀期末) 2. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为 ( B ) A.12B.1C.2D.39. 已知双曲线22:14y C x -=，则双曲线C 的一条渐近线的方程为_____2y x =_______. (2017年西城期末) 4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ B ）（A ）0x ±=（B 0y ±=（C ）30x y ±=（D ）30x y ±=11．已知圆22(1)4x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__2__．(2017年丰台期末) 10. 设双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，如果12||||10PF PF -=，那么该双曲线的渐近线方程为 45y x =±． (2017年石景山期末) 7．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为（ C ）A ．12B ．1C ．2D ．412．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是____(_____．(2017年昌平期末) (13) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的渐近线的方程为____3y x =±____ ；该双曲线的离心率为____3____ . (2017年通州期末) 11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()2,2，则双曲线的离心率等于___.(2017年房山期末) 2．抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（ A ）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（2，0）D ．（0，2）（2017年朝阳一模）（6）设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为3，那么=PF （ A ）（A ） 8 （B ） 16 （C ）34 （D ）38(2017年东城一模) （11）如果直线l ： 1 (0)y kx k =->与双曲线221169x y -=的一条渐近线平行，那么k = _34_ ． (2017年海淀一模) 11. 若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p =_4__．(2017年西城一模) 3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（ C ）（A ），(0, （B ），(（C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-(2017年丰台一模) 10. 抛物线22y x =的准线方程是 12x =- ．(2017年石景山一模) 11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ． (2017年平谷一模) 11.已知双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线方程为20y x +=，则a 12（2017年朝阳二模）（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 3 ；该双曲线的渐近线方程为y = ．(2017年东城二模) 13．已知双曲线G 以原点O 为中心，过4)点，且以抛物线C ：24y x =的焦点为右顶点，那么双曲线G 的方程为 2214y x -= ． (2017年海淀二模) 9. 双曲线2219y x -=的实轴长为__2__.(2017年西城二模) 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（ C ）（A ）1±（B ）2±（C ）4± （D ）8±(2017年丰台二模) 9. 双曲线2214xy -=的焦点坐标为 (50)±, ．(2017年顺义二模) 12. 若抛物线28y x =上的点P 到焦点的距离为6，则P 到y 轴的距离是___4____．解答题部分（2017年朝阳期末） 19. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0)A -,(2,0)B 连线的斜率乘积为12-，记点P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若曲线C 上的两点,M N 满足//OM PA ,//ON PB ，求证：OMN ∆的面积为定值. 解：（Ⅰ）设(,)P x y ，则1222y y x x ⨯=-+-，整理得22142x y +=(2)x ≠±. …………………………………………………5分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为12-.当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON 的斜率为2±，设直线OM 的方程是y x =，由2224,,2x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =1y =±.取M，则1)N -. 所以OMN ∆.当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+.由22,240y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得，222(21)4240k x kmx m +++-=.因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222164(21)(24)0k m k m ∆=-+->，解得22420k m -+>.设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+；所以MN ===设点O 到直线MN 的距离为d，则d =.所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①. 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为12-，所以121212y y x x =.所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2224=.24m k m -- 由22241242m k m -=--，得2221k m +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②.由①②，得12OMNS d MN ∆=⨯⨯==…………………………13分 (2017年东城期末) （19）（本小题14分）已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点为F ，离心率12e =，点(0,D 在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于,A B 两点，DAF ∆的面积为DAF S ∆，DBF ∆ 的面积为DBF S ∆，且:2:1DAF DBF S S ∆∆=，求直线AB 的方程.【解析】（Ⅰ）因为12b e ==，所以2a =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线AB 的方程为1(0)x ty t =+≠，代入22143x y +=，整理得22(34)690t y ty ++-= 因为直线AB 过椭圆的右焦点，所以方程有两个不等实根．设1122(,),(,)A x y x y ，则439,436221221+-=+-=+t y y t t y y ，因为:2:1DAF DBF S S ∆∆=，所以2AF FB =，所以122y y =-，解得t =， ∴直线AB 的方程为1552+±=y x (2017年海淀期末) 19. （本小题满分 13 分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>l 过椭圆G 的右顶点(2,0)A ，且交椭圆G 于另一点C . （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B ，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）由题设可得2c e a a ===，解得c = 因为222a b c =+，所以1b ==，所以椭圆G 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）法1：以AC 为直径的圆经过点B 等价于0BC BA ⋅=.由题设可得(0,1)B ，所以()2,1BA =-，(),1C C BC x y =-，所以210C C BC BA x y ⋅=-+=.又(,)C C C x y 在椭圆G 上，所以2214C C x y +=，由2221,44C C C C y x x y =+⎧⎨+=⎩可得217160C C x x +=，解得0C x =或1617C x =-，所以(0,1)C 或1615(,)1717C --，所以，直线l 方程为220x y +-=或31060x y --=.（丢一解扣一分）法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为()2y k x =-，由22(2),44y k x x y =-⎧⎨+=⎩可得()222214161640k x k x k +-+-=. 0,∆>2216414C A k x x k -=+，又因为2A x =，所以228214C k x k -=+.由题设可得以AC 为直径的圆经过点(0,1)B 等价于0BC BA ⋅=. 所以212(2)10C C C C BC BA x y x k x ⋅=-+=--+=，即222043014k k k +-=+. 解得12k =-或310k =.所以，直线l 方程为220x y +-=或31060x y --=. .（注：丢一解，总体上只扣1分） (2017年西城期末) 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=-，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=-，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以22002021y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分]=4．所以OE OF ⋅为定值．[14分](2017年丰台期末) 19.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 且斜率为1的直线交椭圆于,M N 两点，P 是直线4x =上任意一点. 求证：直线,,PM PF PN 的斜率成等差数列. 解：（Ⅰ）由已知得：2a =，12c a =，所以 23b = 所以椭圆的标准方程为22143x y += ……………………4分（Ⅱ）设11(),M x y ，22(),N x y ，(4),P n设直线MN 的方程为：1y x =- ……………………6分由221143y x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得：27880x x --= ……………………7分1287x x +=， 1287x x ⋅=- ……………………8分1212211212()(4)+()(4)+ =44(4)(-4)PM PNy n y n y n x y n x k k x x x x ------+=---……………9分1212121212128()4(2)+2()=4()16n n x x x x x x x x x x x x -+-+--+-++8241688+7777 =8321677n n -----+23n =因为 3PFnk =，所以2PF PM PN k k k =+ ……………………12分所以直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列. ……………………13分(2017年石景山期末) 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线AB '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．解：（Ⅰ）因为点(2,0)在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =所以1b ==．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠．……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-，所以121212()42x x x x n x x -+==+-．………13分所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………14分(2017年昌平期末) (20)(本小题满分14分)(2,0)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为21,F F ，且经过点)5,0(P ，离心率为32，过点1F 的直线l 与直线4=x 交于点A . （I ）求椭圆C 的方程；（II ）当线段A F 1的垂直平分线经过点2F 时，求直线l 的方程；（III ）点B 在椭圆C 上，当OB OA ⊥，求线段AB 长度的最小值. (20)(本小题满分14分)解:（I）由2222,3.b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得3,2.a c =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为15922=+y x . ……………4分（II ）法一设),4(y A ，)0,2(1-F ，因为线段A F 1的垂直平分线经过点2F ，所以A F F F 221=. 由22)24(42y c +-==，解得32±=y .所以直线l 的方程为)2(33+±=x y . ……………9分（II ）法二设过点)0,2(1-F 的直线l 的斜率为k ，显然k 存在. 则直线l 的方程为(2)y k x =+. 所以(4,6)A k .设1AF 的中点00(,)P x y . 则0024061,322kx y k -++====. 所以(1,3)P k . 因为21PF F A ⊥，所以30112k k -⋅=--.所以k =.所以直线l 的方程为)2(33+±=x y . ……………9分（III ）点B 在椭圆C 上，设[)(]5,00,5),,( -∈n n m B ，),4(y A .因为OB OA ⊥，所以0OA OB ⋅=，即04=+ny m . 因为点B 在椭圆C 上，所以15922=+n m . 222222168)()4(y ny n m m y n m AB +-++-=-+-=2228168y m n m m ++++-= 22216y n m +++=222)4(16nm n m -+++= 2222)51(91616)51(9nn n n -⨯+++-= 5195414422--=n n，设2t n =，(]0,5t ∈设144419()55t g t t =--. 因为21444'()05g t t -=-<，所以()g t 在(]0,5上单调递减.所以当5t =，即n =时，21min =AB . ……………14分(2017年通州期末) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 1，C 2均为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率均为2，其中C 1的焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，C 2的左右顶点坐标为()2,0-，()2,0.（Ⅰ）求椭圆C 1，C 2的方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2相交于A，B，C，D四点，如图所示，试判断AC和BD解：（Ⅰ）设椭圆1C的焦距为12c，长轴为12a，短轴为12b，设椭圆2C的焦距为22c，长轴为22a，短轴为22b，依题意得111222111221caca b c，222222222222caaa b c，解得：1121ab2222ab，所以椭圆1C的标准方程为2212xy，所以椭圆2C的标准方程为22142x y.……………………….4分（Ⅱ）AC BD.……………………….5分①当直线l的斜率不存在时，显然有AC BD.……………………….6分②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y kx m，设点A坐标为11,x y，点B坐标为22,x y，点C坐标为33,x y，点D坐标为44,x y，将直线l的方程与椭圆1C方程联立可得2212y kx mxy，.…………….8分消去y得222124220k x kmx m，所以有122412kmx x k ，.……………………….9分将直线l 的方程与椭圆2C 方程联立可得22142ykx m x y ，消去y 得222124240k x kmxm ，所以有122412kmx x k ，.……………………….11分所以有弦AD 的中点与弦BC 的中点重合，.……………………….13分所以有AC BD .……………………….14分(2017年房山期末) 20．已知两定点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），曲线C 上的动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8，直线MF 2与曲线C 的另一个交点为P ．（Ⅰ）求曲线C 的标准方程；（Ⅱ）设点N （﹣4，0），若S：S=3：2，求直线MN 的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵F 1（﹣2，0），F 2（2，0），∴|F 1F 2|=4， ∵|MF 1|+|MF 2|=8＞4，∴曲线C 是以F 1，F 2为焦点，长轴长为8的椭圆．曲线C 的方程为+=1．（Ⅱ）由题意知直线MN 不垂直于x 轴，也不与x 轴重合或平行．设M （x M ，y M ），P （x P ，y P ），直线MN 方程为y=k （x +4），其中k ≠0．由，得（3+4k 2）y 2﹣24ky=0．解得y=0或y=．依题意，x M =y M ﹣4=．因为S △MNF2：S △PNF2=3：2，所以=，则=．于是，所以，因为点P 在椭圆上，所以3（）2+4（）=48．整理得48k 4+8k 2﹣21=0，解得或k 2=﹣（舍去），从而k=．（）所以直线MN 的方程为y=（x +4）．（2017年朝阳一模）（19）（本小题满分14分）过点的直线l 与椭圆22:13x C y +=相交于,E F 两点,自,E F 分别向直线作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）当直线的斜率为1时，求线段EF 的中点坐标；（Ⅱ）记，的面积分别为，.设，求的取值范围.解：（Ⅰ）依题意，直线的方程为，由221,330y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得. 设，线段EF 的中点为，则，， .所以. ………………6分（Ⅱ）设直线的方程为，由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩ 得223)220m y my ++-=（，显然. 设,则12223m y y m -+=+,12223y y m -=+. .(1,0)A 3x =l 1AEE ∆1AFF ∆1S 2S 12S S λ=λl 1y x =-2230x x -=1122(,)(,)E x y F x y 、00(,)M x y 1232x x +=034x =00114y x =-=-31(,)44M -l 1x my =+m ∈R 1122(,),(,)E x y F x y 1112(3,),(3,)E y F y因为 2222226222(3)3m m m m m ++-=⋅++22236(3)m m +=+ 22233(3)3m m =-+++. 因为211(0,]33m ∈+，所以实数的取值范围是2(0,]3. ………………………………………14分(2017年东城一模) （19）（本小题13分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y W a b a b的左右两个焦点为12,F F ，且122F F =，椭圆上一动点P 满足12PF PF +=（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点1F 作直线1l 与椭圆W 交于点,A C ，过点2F 作直线21l l ⊥，且2l 与椭圆W 交于点,B D ，1l 与2l 交于点E ，试求四边形ABCD 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由已知，222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y += ，离心率3c e a == . ……………………4分（Ⅱ）由题意可知12EF EF ⊥，由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心，半径为1点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=四边形12112211(3)(3)22S S x y x y λ==-⋅-12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++λ当直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直时，例如AC 为长轴，BD x ⊥轴时把1x =代入椭圆方程，可求得y =||BD =，又||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD == 当直线12,l l 的斜率都存在时，设直线1:1,(0)l x my m =-≠，设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.221)23m AC m +==+ 同理，由21:1l x x m =-+可求得221)23m BD m +=+2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +==⨯=++++++===-<++++++四边形综上，四边形ABCD 面积的最大值为4，此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直. (13)(2017年海淀一模) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点.M 判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 19.解：(Ⅰ) 由||4,AB =得2a =.又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）法1：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行，AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06AP y k =，114MQ y k x =-,则01164y yx =-① 直线PB 方程为0(2)2y y x =-，由点M 在直线PB 上，则011(2)2y y x =-② - ①②联立，0101(2)264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y +=，所以132y =±，即3(1,)2M ±，将其代入①，解得03y =±，所以(4,3)P ±.法2：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k = . 显然直线MB 存在斜率且斜率不为0，设11(,)M x y ，设直线MB 方程为2x ty =+(0)t ≠.由22234120x ty x y =+⎧⎨+-=⎩ 得22(34)120t y ty ++=，又因为(2,0)B ，所以121234ty t -=+， 211268234t x ty t -+=+=+，所以2226812(,)3434t tM t t -+-++.24x ty x =+⎧⎨=⎩，所以2(4,)P t .所以2163APt k t==，因为APMQ k k =，所以22212134683434t t t t t -+=-+-+，解得23t =±，所以(4,3)P ±.法3：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =，显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 则(2)4y k x x =+⎧⎨=⎩，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又因为(2,0)B ，所以632PB kk k ==. 所以直线PB 方程为3(2)y k x =-，223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消y ，2222(121)484840k x k x k +-+-=.又因为(2,0)B , 所以212482121k x k +=+，即212242121k x k -=+，所以112123(2)121ky k x k -=-=+.所以22224212(,)121121k kM k k --++. 由APMQ k k =可得22212612124264121k kk k k -+=--+，解得12k =±,所以3(1,)2M ±，(4,3)P ±，法4：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =. 设点11(,)M x y ，(4,)P t .过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==，所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =，代入椭圆方程，求得132y =±，所以(4,3)P ±.(2017年西城一模) 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分] 所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分](2017年丰台一模) 19.（本小题共14分）已知(01)P ,是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，点P 到椭圆C的两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两点，直线P A 与直线4x =交于点M ，是否存在点A ，使得12ABP ABM S S ∆∆=？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>过点P （0,1）可得b =1，又点P到两焦点距离和为可得a =，所以椭圆C 的方程2212xy +=. ……………………4分（Ⅱ）设A （m ,n ），依题意得：直线PA 的斜率存在，则直线PA 的方程为：11n y x m-=+ ，令x =4，441n y m -=+，即M 4441n m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭,，又12ABP ABM S S ∆∆=等价于13PAPM=且点A 在y 轴的右侧，从而143A PM Px x m x x =-=-，因为点A 在y 轴的右侧，所以143m = ，解得 43m =,由点A 在椭圆上，解得：13n =±,于是存在点A （43，13±），使得12ABP ABM S S ∆∆=. ……………………14分(2017年石景山一模) 19．（本小题共13分）已知函数()xf x e =．（Ⅰ）过原点作曲线()y f x =的切线，求切线方程；（Ⅱ）当0x >时，讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数．解：（Ⅰ）由题意，设切点为00(,)M x y ，由题意可得0000'()0y f x x -=-，即00x x e e x =，解得01x =，即切点(1,)M e .所以010e k e -==-，所以切线方程为y ex =. ……………..........…5分（Ⅱ）当 0,0x m >>时，曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 的公共点个数即方程2)(mx x f =根的个数.由2()f x mx =得2xe m x=．令2()x e g x x =，则4(2)'()x xe x g x x-=，令'()0g x =，解得2x =. 随x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：其中2g(2)4e =.所以g(2)为2()xe g x x=在(0,)+∞的最小值．所以对曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数，讨论如下：当2(0,)4e m ∈时，有0个公共点；当24e m =时，有1个公共点；当2(,)4e m ∈+∞时，有2个公共点. ……………..........…13分(2017年平谷一模) 19.（本小题共13分）已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 经过点EO 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.（Ⅰ）解：离心率为3c a =，所以2223c a =，故2213b a =，椭圆C 为2222113x y a a += 把点E 带入得226, 2a b==，所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）解：由题意，直线的斜率存在，设点，则线段的中点的坐标为且直线的斜率C 22162x y +=l 000(,)(0)P x y y ≠AP D 03(2x +AP 003AP y k x =-由点关于直线的对称点为，得直线，故直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为：， ………9分令，得，则，由，得，化简，得. …………11分所以. ………12分当且仅当，即时等号成立.所以………… 13分（2017年朝阳二模）（19）（本小题满分14分）已知椭圆W ：22214x y b+=(0)b >的一个焦点坐标为0). （Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =2221b a c =-=.则椭圆W 的方程为2214x y +=. 离心率2c e a ==. …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，则C 0(,1)1x y --． (3,0)A l P l AP ⊥l 0031APx k y --=D l 000033()22y x x y x y -+-=-0x =2200092x y y y +-=220009(0,)2x y B y +-2200162x y +=220063x y =-20023(0,)2y B y --20023||||2y OB y --=003||2||y y =+≥=003||2||y y =0[y =||OB又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-， 000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-．因为点M 在椭圆W 上，则220014x y +=，所以220044x y =-．则200014(1)x OE GE y y ⋅=-+-0011y y =--+0=．因此OE GE ⊥．故90OEG ∠=． ……………14分(2017年东城二模) 20．（本小题14分）已知椭圆22:1(0)E mx y m +=>.（Ⅰ）若椭圆E的右焦点坐标为0)，求m 的值；（Ⅱ）由椭圆E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以(0,1)B 为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求m 的取值范围.解：（Ⅰ）椭圆E 的方程可以写成2211x y m+=，焦点0)在x 轴上，所以21a m =，21b =222113c a b m =-=-==，求得14m =. ……………………4分（Ⅱ）设椭圆E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA ，BC ，设11(,)A x y ，22(,)C x y显然BA 与BC 不与坐标轴平行，且10BA BC k k ⋅=-<∴可设直线BA 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BC 的方程为11y x k=-+，由2211mx y y kx ⎧+=⎨=+⎩消去y 得到22()20m k x kx ++=，所以122k x m k -=+求得1||0|BA x -=同理可求2||0|BC x =-= 因为ABC ∆为以(0,1)B ||||BA BC =，=，整理得3232320()()0(1)()0mk k k m mk m k k m k k k -+-=⇒---=⇒---=22(1)(1)(1)0(1)[(1)]0m k k k k k k mk m k m -++--=⇒-+-+=所以1k = 或2(1)0mk m k m +-+=，设2()(1)f k mk m k m =+-+ 因为以(0,1)B 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于k 的方程2(1)0mk m k m +-+=有两个不同的正实根1x ，2x ，且都不为1 1212221(1)0(1)0,310001,01010(1)4013f m m m m m x x m m x x m m m ⎧≠⇒+-+≠⇒≠⎪⎪-⎪+>⇒->⇒<<⎪∴⎨⎪>⇒>⎪⎪∆>⇒∆=-->⇒-<<⎪⎩，恒成立所以实数m 的取值范围是1(0,)3. ……………………14分(2017年海淀二模) 20.（本小题满分14分）已知1(1,0)F -,2(1,0)F 分别是椭圆C :2221(03x y a a +=>）的左、右焦点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若,A B 分别在直线2x =-和2x =上，且11AF BF ⊥. (ⅰ) 当1ABF ∆为等腰三角形时,求1ABF ∆的面积； (ⅱ) 求点1F , 2F 到直线AB 距离之和的最小值. 解：（Ⅰ）由题意可得231a -=，所以24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，即3mn = ① (ⅰ) 因为11AF BF ⊥，所以当1ABF ∆为等腰三角形时，只能是11||||AF BF =化简得228m n -= ②由①②可得3,1,m n =⎧⎨=⎩或3,1,m n =-⎧⎨=-⎩所以1111||||52ABF S AF BF ∆==. (ⅱ)直线:(2)4n mAB y x m -=++，化简得()42()0n m x y m n --++=，由点到直线的距离公式可得点1F , 2F 到直线AB 距离之和为12d d +=+因为点1F , 2F 在直线AB 的同一侧，所以12d d +== 因为3mn =，所以2226m n mn +≥=，12d d +==所以12d d +=当m n ==m n ==1F , 2F 到直线AB 距离之和取得最小值.(2017年西城二模) 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点P ．直线y m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ．因为椭圆C 的离心率是2，所以 2222222112c a b b a a a -==-=，即 222a b =．[ 1分]由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分]（Ⅱ）将2y x m =+代入22142x y +=，消去y整理得2220x m +-=．[ 5分] 令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<．设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB==[ 6分]点P到直线0x +=的距离为d =．[ 7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅|m ==，[ 8分]当且仅当m =S =所以PAB △．[ 9分] （Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k +==[11分]由（Ⅱ）得122(1)((y x y -+-12211)(1)(x m x m x=+-++-1212(2)()1)x m x x m+-+--22)(2)()1)m m m=-+---=，所以直线PA，PB的倾斜角互补．[13分]所以12∠=∠，所以PMN PNM∠=∠．所以||||PM PN=．[14分](2017年丰台二模) 19.（本小题共14分）已知椭圆C：22143x y+=，点P(40),，过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与P A相切的圆，必与直线PB相切.解：（Ⅰ）由椭圆C：22143x y+=得：24a=，23b=，222431c a b=-=-=所以1c=，椭圆C的离心率为12ca=.……………………4分（Ⅱ）因为1c=，所以点F（1,0），当直线l斜率不存在时，直线l的方程：1x=，A，B两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PA与直线PB关于x轴对称，所以，点O到直线PA与直线的距离PB相等，所以，以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切…………………6分当直线l斜率存在时，设直线l的方程：(1)y k x=-，11()A x y，，22()B x y，由22(1)3412y k xx y=-⎧⎨+=⎩得：2222(34)84120k x k x k+-+-=2122834kx xk+=+，21224123kx x-⋅=.……………………8分1111(1)44PAy k xkx x-==--，PBk.……………………10分1212121212(1)(1)[25()8]44(4)(4)PA PB k x k x k x x x x k k x x x x --⋅-+++=+=----22221282440(8)34340(4)(4)k k k k k x x --+++==--.……………………12分所以，APO BPO ∠=∠，于是点O 到直线PA 与直线的距离PB 相等，故以坐标原点O 为圆心与PA 相切的圆，必与直线PB 相切.……………………14分（也可以用点O 到直线PA 与直线的距离PB 的距离相等来证明）(2017年顺义二模) 20.（本小题满分14分）已知椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的方程,（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且直线l 与直线4=x 相交于点S . 试问：在坐标平面内是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.20.解：（Ⅰ）由点⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆上得，221914a b+=-----------------------①----------1分依题设知2a c =，则223b c =---------------------------------------②----------2分②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为13422=+y x .---------------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 消去y 得()0124834222=-+++m kmx x k . 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，-------------------------------------------------------------------------5分即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ---------③----6分此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以⎪⎭⎫⎝⎛-m m k P 3,4.----------7分由⎩⎨⎧+==m kx y x 4得()m k S +4,4.-------------------------------------------------------8分假设平面内存在定点满足条件，不妨设为点A .由图形对称性知，点A 必在x 轴上.-------------------------------------------------9分设()0,1x A ，则由已知条件知AT AS ⊥,即0=•对满足③式的k m ,恒成立.-----------------------------------------10分因为()m k x +-=4,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m x mk3,41，由0=•得：0312********=+++-+-mkx x m kx m k ，整理得()034441211=+-+-x x mkx --------------------④-----------------------12分由②式对满足①式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=+-=-0340441211x x x ，解得11=x .故平面内存在定点()0,1，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------14分。

2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线

2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）若抛物线22y px 的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为。

2.（2011年北京高考真题数学(文)）已知双曲线2221y x b （b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x ，则b = . 3.（2010年北京高考真题数学(文)）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。

4.（2009年北京高考真题数学(文)）椭圆22192x y 的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF ，则2||PF ；12F PF 的大小为 . 5.（2014年北京高考真题数学(文)）设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C 的方程为 . 6.（2015年北京高考真题数学(文)）已知（2，0）是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．22221x y a b 221259x y 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ，联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。

北京市各地市2013年高考数学-最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线

……………………12 分
所以直线 l 的方程为 x 2y20 或
x 2y 2 0……………………………13 分 19．（北京市丰台区 2013 年高三第二学期统一练习
一理）（本题 13 分）已知以原点为对称中心、F(2,0)
17
为右焦点的椭圆 C 过点 P(2 ， 2 ) ，直线 l ： y=kx+m(k≠0)交椭圆 C 于不同的两点 A、B。（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）是否存在 k 的值，使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q（0,3），若存在求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由。
14
1９.（本小题满分 14 分）解：（I）设椭圆的焦距为 2c ，因为 a 2 ， c 2 ，所以 c 1，所以 b 1.
a2
15
综上， 2 r 3 ………………14 分 19．（北京市丰台区 2013 年高三第二学期统一练习一文）（本题 13 分）已知椭圆 C： x2 y2 1（ a b 0 ）的
a2 b2
右焦点为 F(2,0)，且过点(2， 2 ).直线l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点。（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M （ 1 ,0 ），求直线l 的方程.
2
16
解
得
，
k 2 , ……………………………………………… 2
13
19. (北京市海淀区 2013 年 4 月高三第二学期期中练习理)（本小题满分 14 分）
已知圆：（）.若椭圆： M
(x 2)2 y2 r2
r0
C
x2 a2
y2 b2
1
（ a b 0）的右顶点为圆 M 的圆心，离心率为 2 . 2

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线22221x y ab（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3（B ）2 （C ）5（D ）62.已知椭圆22:12xC y的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ，线段AF 交C 于点B ，若3FAFB ,则||AF =(A).2(B). 2 (C).3(D). 33.过双曲线22221(0,0)x y abab的右顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12ABBC ，则双曲线的离心率是()A ．2B ．3C ．5D ．104.已知椭圆22221(0)x y abab的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BFx 轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2APPB ，则椭圆的离心率是（）A ．32B ．22C ．13D ．125.点P 在直线:1l y x 上，若存在过P 的直线交抛物线2yx 于,A B 两点，且|||PA AB ，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6.设双曲线12222by ax 的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45 B. 5 C.25 D.57.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)yax a 的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.24yx B.28yx C. 24yx D. 28yx8.双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rr yx相切，则r=（A ）3（B ）2 （C ）3 （D ）69.已知直线)0)(2(kx k y 与抛物线C:x y82相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

历年高考数学圆锥曲线试题汇总(总20页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）62.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 33.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．104.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（）A ．32 B ．22 C ．13 D ．125.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. 45B. 5C. 25D.57.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x =D. 28y x =8.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）69.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

北京各城区高三上学期期末圆锥曲线汇编及答案

圆锥曲线一．选填练习1．“10m >”是“”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B（C ）23或23- （D ）26或26- 3. 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 4.在极坐标系Ox 中，方程sin ρθ=表示的曲线是(A) 直线(B) 圆(C) 椭圆(D)双曲线5.若x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =-的最大值是(A) 2- (B) 1- (C) 1(D) 26.设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（A（B（C或（D或 8．已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知点()2,1A -，点),(y x P 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩ O 为坐标原点，那么⋅的最小值是A. 11B. 0C. 1-D. 5- 10．在极坐标系中，已知点A 是以2,6π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆上的点，那么点A 到极点的最大距离是_____.11．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞12．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）413.已知点F 为抛物线C ：()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是（A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个（B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个（D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个14.点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是______________ .（11）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．15.过双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OF OA 21=，则此双曲线的离心率为 (A)2 (B)3 (C) 2(D)516.能够说明“方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是．17. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 .19. ．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是．20．若变量x ，y 满足约束条件40,540,540,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为．21．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b = ；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为．（写出一个答案即可）22．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．二．大题练习（本小题14分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率等于2，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2.本小题13分）已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.3．CY （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个焦点坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．4. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.（本小题13分）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P . （Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.6. （本小题14分）已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.7．SJS （本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.8．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值.9．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =+C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．10．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．圆锥曲线答案一．选填练习1. A2. D3. C4. B5. D6. A7. D8. B9. C 10. 3 11 B 12. D13. C 14.2 15. C 16. (,1]{2}[3,)m ∈-∞+∞17. B 18. y x =± 19. 22122x y -= 20. 8 21. 1，222x y -=等22.2二．大题练习1.（本题满分共14分）解：（I）由题意得221,21.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于“QF 平分MQN ∠”，且12,x t x t ≠≠，又等价于“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，① ②Q-，.所以(20)Q-，也使得点F到直线QM，QN的距离相等.当直线MN的斜率不存在时，存在(20)Q-，，使得点F到直线QM，QN的距离总相等.故在x轴上存在定点(20)2（共13分）解：（Ⅰ）由题意，得解得．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，则．当时，点，点坐标为或，．当时，直线的方程为．即，直线的方程为．点到直线的距离为，．所以，．又，所以且，当且仅当，即时等号成立，综上，当时，取得最小值1.3. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==.所以椭圆C 的方程为2215x y +=. （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，所以||||FG DN =.所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，所以11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.所以22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+- 所以2F y y =. 所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. 4. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FTMN .（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)NN NN y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02NNx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02N Ny y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分 5. （本小题13分）解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==椭圆C的短轴长为2b =离心率为c e a ==.……………..5分（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分 PM PN ⋅1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0<……………..1 故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<= ……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T ky k x k =-=-+222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++ 22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++ 此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++6. （本题共14分）解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=， -------------32222==a c e ，故36=e . -----------------（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧=-+=+023322y x my x ，得到03122=-+m x x 12-4，依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， ------------------------6分12|PQ x x =-==， ------------------------7分原点到直线l 的距离2=d所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅== ------------------------9分解得 73m =>1，故椭圆方程为223177x y +=. ------------------------1 （Ⅲ）直线l 的垂线为:ON y x =， ------------------------由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ， ------------------------12分因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1. ------------------------14分7．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ………2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ……4分椭圆方程为2211612x y +=…………5分（Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，,PA PB 斜率之和为0 …………6分设PA 斜率为k ，则PB 斜率为k - …………7分设PA 方程为3(2)y k x -=-，与椭圆联立得223(2)3448y k x x y -=-⎧⎨+=⎩代入化简得：2222(34)8(32)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=(2,3)P ，128(23)234k k x k-+=+ 同理228(23)234k k x k ++=+，2122161234k x x k -+=+，1224834kx x k --=+ 21122112()412AB y y k x x k k x x x x -+-===--即直线AB 的斜率为定值12.8．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ……… 2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ………4分椭圆方程为2211612x y +=……… 5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x yB x y………6分设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= ………8分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+1216||2x x =⨯⨯-==………13分当0t =时，S最大为 ………14分 9.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得2a =，c e a ==，所以c =．[ 2分] 因为222a b c =+，[ 3分] 所以1b =，[ 4分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[ 5分]（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分] 所以直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分]由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+．[ 9分]所以||MN =.=．[10分]因为 ||||PA MN =，所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =k =[13分] 经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =，或k =[14分]10．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．[ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[ 3分] 设椭圆C 的半焦距为c，则c =[ 4分]所以椭圆C的离心率c e a ==[ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分] 所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得002, 3x t y t =-=-．[10分]将上式代入220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11 整理得2528360t t -+=，解得185t =，或2t =．[13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．[14分 11. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =，所以1b =，2c a =……………………2分所以由222a b c =+，得2 2.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-= 显然0.∆>设点()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+……………………7分因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++= 所以()2222224220.1212k k k k km km k k -⋅-++=++ 所以2420.12k km k-+=+……………………12分所以420.k km -+=因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分。

北京版高考数学分项汇编专题09圆锥曲线含解析文

【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编专题09 圆锥曲线（含解析）文1. 【2020高考北京文第3题】“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【2021高考北京文第7题】双曲线x 2－2y m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞23. 【2020高考北京文第8题】4. 【2007高考北京文第4题】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的核心为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点别离为M N ，，假设12MN F F ≤2，那么该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，5. 【2005高考北京文第9题】抛物线y 2=4x 的准线方程是；核心坐标是．6. 【2021高考北京文第9题】假设抛物线y 2＝2px 的核心坐标为(1,0)，那么p ＝__________；准线方程为__________．7. 【2020高考北京文第13题】椭圆22192x y +=的核心为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .8. 【2020高考北京文第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，核心与椭圆221259x y +=的核心相同，那么双曲线的核心坐标为__________；渐近线方程为__________．9. 【2021高考北京文第10题】设双曲线C 的两个核心为()2,0-，()2,0，一个极点式()1,0，则C 的方程为 .考点：本小题要紧考查双曲线的方程的求解、,,a b c 的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.10. 【2020高考北京文第10题】已知双曲线2221(0)yx bb-=>的一条渐近线的方程为2y x=，那么b= .11. 【2005高考北京文第20题】（本小题共14分）如图，直线l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部份记为W1，右半部份记为W2．（I）别离用不等式组表示W1和W2；（II）假设区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设只是原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2别离交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．12【2006高考北京文第19题】椭圆C : 12222=+by a x (a >b >0)的两个核心为F 1、F 2,点P 在椭圆C 上,且PF 1⊥F 1F 2,|PF 1|=34,|PF 2|=314. (1)求椭圆C 的方程;(2)假设直线l 过圆x 2+y 2+4x -2y =0的圆心M ,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.13.【2007高考北京文第19题】（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）假设动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．14.【2020高考北京文第19题】（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>的离心率为63，右核心为(22,0)。

北京历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线

北京历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线（2008-2018）试题1、7．（5分）（2008北京）过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2、8．（5分）（2009北京）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”3、4．（5分）（2008北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线4、13．（5分）（2009北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ，∠F1PF2的大小为．5、13．（5分）（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．6、14．（5分）（2011北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是．7、12．（5分）（2012北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．8、6．（5分）（2013北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A ． y =±2xB ．C ．D ．9、7．（5分）（2013北京）直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（） A ． B ． 2 C ． D ．10、11．（5分）（2014北京）设双曲线C 经过点（2，2），且与﹣x 2=1具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为．11、10．（5分）（2015北京）已知双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a= ．12、13．（5分）（2016北京）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a= ．13、（9）（5分）（2017北京）若双曲线221y x m-=m =_________.14、（14）（5分）（2018北京）已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=。

北京市高考数学总复习：圆锥曲线

2021年北京市高考数学二轮解答题专项复习：圆锥曲线
1．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：
x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P (√62，12)在椭圆C 上，且|PF l |+|PF 2|＝2√2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 2的直线l 椭圆C 于M ，N 两点，记直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 方程．
2．已知椭圆C ：
x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，过椭圆右焦点的最短弦长是√2，且点在(√22，√32)在椭圆上．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P 满足：OP →=OM →+2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与直线ON 的斜率之积为−12
，求点P 的轨迹方程并判断是否存在两个定点A 、B ，使得|P A |+|PB |为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由．
3．已知动圆C 的圆心为点C ，圆C 过点P （3，0）且与被直线x ＝1截得弦长为4√2．不过
原点O 的直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，且|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|．
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）求三角形OAB 面积的最小值．
4．已知椭圆C ：x 2
a +y 2
b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22
，短轴一个端点与右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 过点P （0，3）且与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值．。

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