误区2.3 对定积分概念或几何意义理解不清致误-高三数学跨越一本线 Word版含解析

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对定积分思想的理解

对定积分思想的理解定积分思想是数学中研究积分的重要方法，它是由正面函数相关的概念和结果所构成的理论体系。

它是从定积分开始推演发展起来的，因此它比较集中着重于定积分问题的解决。

定积分思想的基本概念是函数的变换，它把函数的表达式从原始的函数形式转换成其它形式，以发现函数的特性和性质，比如通过定积分思想可以转换函数，然后用新的函数解决原来的积分问题。

换句话说，定积分思想是把定积分方面的问题转换成另一种形式来解决。

定积分思想的一般过程包括变换函数，定义新的函数，计算新函数的积分，根据变换关系，把得到的结果转换成原始函数的积分等步骤。

这些步骤可以根据定积分所面临的问题各不相同。

定积分思想的两个重要概念是分离变量和换元法。

分离变量是把复杂的积分区间拆分成若干个简单的积分区间，然后分别计算每个区间的积分值，然后求和得到总积分值。

换元法就是将定积分改写成一个新的定积分，这个新的定积分比原来的定积分更容易求解，或者说更容易得到正确的结果。

定积分思想在数学中具有重要意义，它不仅可以解决数学定积分问题，而且还可以研究物理中的定积分问题，比如动能定理、牛顿第二定律等。

它的发展也为实用性的应用打开了大门。

定积分思想已经有着悠久的历史，早在古希腊哲学家阿基米德时期就有了它的发展，后来，人们开始用不同的方法来研究定积分思想，比如分离变量和换元法，这些方法为研究定积分思想提供了新的突破。

在当今社会，定积分思想的应用越来越广泛，它在许多不同的领域都有着重要的作用，比如机械工程中定积分思想的应用，能够有效的计算出机械系统的运动特性，为研究机械设备提供了重要的参考。

在经济学中，定积分思想可以帮助研究价格波动状况，从而推算出消费者的消费行为。

此外，定积分思想在物理学上也有其重要应用，如研究爆炸波所需要的积分方法等。

总之，定积分思想是数学研究定积分的重要方法，它不仅可以为解决物理、机械和经济问题提供有力的支持，而且在当今社会，也受到了广泛的应用。

对于定积分的理解和认识

对于定积分的理解和认识一、什么是定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于计算曲线下面的面积。

在数学上，定积分可以看作是一个区间内函数值的加权平均值。

它可以用来求解许多实际问题，如物理学中的速度、加速度、质心等问题。

二、定积分的定义定积分的定义可以通过极限来进行表述。

假设有一个函数f(x)，我们要求解它在[a,b]区间内的定积分，则可以将[a,b]区间划分成n个小区间，并假设每个小区间长度为Δx。

那么我们可以将[a,b]区间内f(x)函数所对应的曲线下面的面积近似地表示为：S ≈ f(x1)Δx + f(x2)Δx + ... + f(xn)Δx其中，xi表示每个小区间中任意一点。

当n趋向于无穷大时，这个近似值就会越来越接近真实值。

因此，我们可以用极限来表示这个面积：S = lim(Δx→0) Σf(xi)Δx这里，lim表示取极限。

三、定积分与不定积分不同于定积分需要具有上下限和被积函数，不定积分只需要被积函数即可。

不定积分的结果是一个函数，而定积分的结果是一个数值。

不定积分可以看作是对原函数的求解，而定积分则是对曲线下面的面积进行求解。

四、定积分的性质1. 反比例如果将被积函数f(x)乘以一个常数k，则其定积分也会乘以k。

∫kf(x)dx = k∫f(x)dx2. 线性性如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的和或差的定积分等于它们各自的定积分之和或差。

∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫[f(x)-g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx3. 区间可加性如果将一个区间[a,b]划分成两个子区间[a,c]和[c,b]，则整个区间[a,b]上的定积分等于两个子区间上的定积分之和。

∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx五、如何计算定积分在实际计算中，我们通常使用牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等方法来计算定积分。

误区2.3 对定积分概念或几何意义理解不清致误-2016届高三数学跨越一本线(原卷版)

2016届高三数学跨越一本线精品误区三：对定积分概念及几何意义理解不清致误定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少，安排的课时比较少，教学中对其重视不够，致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用面积法求积分, 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．下面对这几类典型问题进行扼要剖析, 供同学们参考.一、求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.【例1】【2016届湖北省龙泉中学、宜昌一中高三10月联考】4cos 2cos sin xdxx x π+⎰= （）A ．1)B 1C 1D ．2【小试牛刀】【2015届海南省嘉积中学高三下学期大测】定积分sin cos x x dx π-⎰的值是（）A ．2+B ．2C ．2D ．二、不会用面积法求积分根据定积分的几何意义,我们可以用定积分求曲边多边形的面积,反过来,我们也可以通过求曲边多边形的面积来求定积分,特别是被积函数的原函数不易求的,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.【例2】【2016届宁夏银川一中高三上学期第一次月考】2222π=--⎰-dx x x m,则m 等于A ．-1B ．0C ．1D ．2【小试牛刀】【2016届黑龙江牡丹江一中高三10月】．三、对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．定积分的主要应用是求曲边多边形的面积,其步骤是：（1）画图；（2）求交点坐标,分出函数的上下关系；（3）分割曲边梯形,根据交点坐标,分成几个部分；（4）对每个部分求积分,找出每个部分的面积,然后相加【例3】抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为__________．【小试牛刀】【2016届河北省正定中学高三上学期期中】由直线20x y +-=,曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________．【迁移运用】1．【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若12()2()f x x f x dx =+⎰,则1()f x dx ⎰＝（）A ．－1B ．－13 C ．13D ．1 2．【2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考】由曲线x y 1=,直线21=x ,2=x 及x 轴所围成图形的面积是（） A ．2ln 21 B ．2ln 2 C ．415 D ．417[ 3.【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．4D ．24．【2016届山东省乳山市一中高三10月月考】曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．292e B ．23e C ．2e D ．212e 5．【2016届辽宁省五校协作体高三上学期期初考】由曲线1xy =,直线,3y x x ==及x 轴所围成的曲边四边形的面积为（） A ．116 B ．92 C ．1ln 32+D ．4ln 3-6．【2016届学年江西省新余一中等校高三联考】已知()0012=+⎰dx mx x,则实数m 的值为（）A ．13- B ．23-C ．1-D ．2- 7.若函数f (x ),g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝0,则称f (x ),g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数,给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ,g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1,g (x )＝x －1；③f (x )＝x ,g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83D.16239．【2016届辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】由直线0x =, 23x π=,0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于．10．【2016届山东省实验中学高三第二次诊断性考试】设⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=],1(,1]1,0[,)(2e x xx x x f e (为自然对数的底数),则dx x f e)(0⎰的值为．11．【2016届江西省临川一中高三上学期期中】函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于．12.设a >0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a ,y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,则a ＝________． 13.⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________．14.⎠⎛1e 1x dx ＋⎠⎛－224－x 2dx ＝____________．：。

对于定积分的理解和认识

对于定积分的理解和认识什么是定积分定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下面积。

在数学中，定积分可以理解为将一个曲线所围成的区域的面积进行划分，然后通过无限细分的方法来求得这个面积。

同时，定积分也是微分学中积分的一个重要形式。

定积分的含义定积分的含义可以从以下两个方面来解释：1.函数围成的面积：定积分可以用来计算曲线和x轴之间的面积，这个面积可以根据函数的图像进行计算。

例如，我们可以根据函数的正负以及变化趋势来判断曲线和x轴之间的面积是正面积还是负面积。

2.函数的累积：定积分也可以理解为函数的累积过程。

当我们对一个函数进行积分时，实际上是在计算这个函数的无限小的微元的和。

这种操作可以用来求解函数的平均值、质量、总和等问题。

定积分的计算方法定积分的计算可以通过以下几种方法进行：1.几何法：几何法是通过图像来进行计算的一种方法。

例如，对于一个简单的函数，我们可以通过将其图像绘制在坐标系中，然后计算曲线下面的面积来得到定积分的结果。

2.分割法：分割法是将所要计算的区域进行无限细分，然后计算每个细分区域的面积，并将其相加。

这种方法可以适用于各种函数，但需要一定的数学知识和技巧。

3.换元法：换元法是通过引入新的自变量进行计算的一种方法。

通过合适的变量代换，可以将原来的函数转化为一个更简单的形式，从而更容易进行计算。

4.定积分的性质：定积分具有几个重要的性质，例如线性性、区间可加性、保号性等。

利用这些性质，可以简化定积分的计算过程。

定积分的应用领域定积分在各个科学领域中都有广泛的应用。

下面列举了一些常见的应用领域：1.物理学：定积分在物理学中有着广泛的应用，例如计算质点在力场中的位移、动能和势能的计算等。

2.工程学：定积分在工程学中也有着广泛的应用，例如计算机械工程中物体的质量、密度和体积分布等。

3.经济学：定积分在经济学中用于计算供给曲线和需求曲线之间的面积，从而得到市场的总供给和总需求。

4.计算机科学：定积分在计算机科学中被广泛用于数值计算、图像处理和模拟等领域。

2017届高三数学误区：2.3-对定积分概念或几何意义理解不清致误

高考数学一轮总复习积分与定积分的常见错误与解析

高考数学一轮总复习积分与定积分的常见错误与解析积分与定积分在高考数学考试中占据着重要的位置。

然而，由于积分与定积分的概念较为抽象，经常会引发一些常见的错误。

本文将对高考数学一轮总复习中与积分与定积分相关的常见错误进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。

1. 混淆积分与求和许多同学在计算积分时，常常将其与求和混淆。

积分是对函数在某个区间上的连续值进行求和的过程，而不是简单地对一组数值进行求和。

一个常见的错误是在进行积分计算时忘记加上微元符号“dx”，或者将它们错误地写成“∆x”。

解析：积分的本质是对函数曲线下面的面积进行求和，而不是对一组离散的数值求和。

在计算积分时，务必牢记加上微元符号“dx”，并正确运用积分的定义和性质。

2. 式子的不正确分解有些同学在遇到较复杂的函数式子时，常常将其不正确地分解，导致计算结果错误。

例如，在计算一定积分时，将被积函数错误地分解成两个互相独立的部分。

解析：正确分解被积函数是计算积分的关键步骤。

在分解过程中，应根据需要运用函数的性质，将其分解成更简单的形式，使得计算更加容易。

同时，要注意避免将不同区间上的积分误认为是互相独立的。

3. 忽略常数项在计算定积分时，有些同学经常会忽略掉函数中的常数项，从而导致最终结果错误。

这种错误通常出现在没有进行恰当的变量代换时。

解析：在计算定积分时，常数项是不容忽视的。

要通过变量代换等方法将常数项纳入计算，并在计算过程中对常数项进行正确处理。

4. 使用错误的积分公式使用错误的积分公式是一个常见的错误，特别是在遇到非常规的函数时。

有些同学可能会仅仅凭借模仿或记忆错误公式的方法计算积分。

解析：掌握正确的积分公式对于解决问题至关重要。

在积分计算中，需要熟练掌握常用的基本积分公式，并能够根据具体函数的特点选择合适的公式进行计算。

5. 积分上下限错误在计算定积分时，有些同学常常出现上下限设置错误的情况。

他们可能会将上下限的顺序写反，或者将变量混淆。

高考数学复习点拨：走出定积分运用的误区

走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果)(x f 是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=)(x f ，那么⎰badx x f )(=)()(a F b F -．例1．计算⎰+212)1(dx x x ．错解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+=|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)21(3133-+)21(2-－)211(-=－629．错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是⎰badx x f )(=|)(bax F =)()(a F b F -，而不是⎰badx x f )(=)()(b F a F -．正解：⎰+212)1(dx x x =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)12(3133-+)12(2-－)121(-=629．评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．2．几何意义出错我们知道，当函数)(x f 在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x轴，函数)(x f 的图象以及直线x=a ，x=b 之间各部分面积的代数和．例2．如图，函数)(x f y =在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为（） A ．⎰badx x f )( B ．⎰c adx x f )(－⎰bcdx x f )(C ．―⎰cadx x f )(―⎰b cdx x f )( D ．―⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(错解：选择答案：A 或B 或C ．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错．根据微积分的几何意义，若0)(≥x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =⎰badx x f )(；若0)(≤x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =－⎰badx x f )(．正解：如图所示，在[a ，c ]上，0)(≤x f ；在[c ，b]上，0)(≥x f ；所以函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的阴影部分的面积S =―⎰cadx x f )(+⎰bcdx x f )(，故选择答案：D ．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足24100)(t t a -=，求火箭前s 5内的位移．错解：由题设知，⎰=50)()5(dt t a s =⎰-502)4100(dt t =|503)34100(t t -=35345100⨯-⨯=31000，即火箭前s 5内的位移为31000．错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v （t ）（v （t ）≥0）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s=⎰badt t v )(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v ，等于其加速度函数a =a （t ）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即v =⎰badt t a )(．正解：由题设知，00==t t ，0)0(=v ，0)0(=s ，所以⎰-=t dt t t v 02)4100()(=334100t t -，那么⎰=50)()5(dt t v s =⎰-503)34100(dt t t =|5042)3150(t t -=33125，即火箭前s 5内的位移为33125．评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v （t ），再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．。

高考数学易犯的错误(2)

高考数学易犯的错误（2）
21.定积分几何意义不明致误。

22.忽视角的范围。

23.图像变换方向把握不准。

24.忽视正。

余弦函数的有界性。

25.解三角形时出现漏解或增解。

26.向量加减法的几何意义不明致误。

27.忽视平面向量基本定理的使用条件致误。

28.向量的模与数量积的关系不清致误。

29.判别不清向量的夹角。

30.忽略an＝sn—sn—1的成立条件。

31.等比数列求和时，忽略对q是否为1的讨论。

32.数列项数不清导致错误。

33.考虑问题不全面而导致失误。

34.用错位相减法求和时处理不当。

35.忽视变形转化的等价性。

36.忽视基本不等式应用条件。

37.不等式解集的表述形式错误。

38.恒成立问题错误。

39.目标函数理解错误。

40.由三视图还原空间几何体不准确致误。

41.空间点，线，面位置关系不清致误。

42.证明过程不严谨致误。

43.忽视了数量积和向量夹角的关系而致误。

44.忽视异面直线所成角的范围而致错。

45.用向量法求线面角时理解有误而致错。

46.弄错向量夹角与二面角的关系致误。

47.解折叠问题时没有理顺折叠前后图形中的不变量和改变量致误。

48.忽视斜率不存在的情况。

49.忽视圆存在的条件。

50.忽视零截距致误。

高中数学“定积分”易错题型例析

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高中数学“定积分”易错题型例析
作者：饶智荣
来源：《福建中学数学》2014年第09期
高考全国统一考试大纲和福建省考试说明都将“定积分”这一知识内容的要求层次界定“了解”，但近几年高考试题每年都有对“定积分”知识点进行考查的题目，使“定积分”知识点成为
了“冷点”中的“热点”，它给学生提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识.因教材中安排“定积分”的课时少，教学中对其重视不够，导致学生对定积分概念及其几何意义理解不够透彻，对微积分基本定理应用不够熟练，对公式的记忆不准确、不熟练，从而导致在解题中出现一些错误.下面通过具体例题，对“定积分”知识点中的易错题型作些分析.。

定积分的几何、物理意义

定积分的几何、物理意义定积分是微积分中的重要概念，它在几何和物理学中具有重要的意义。

在本文中，我们将探讨定积分的几何和物理意义，并解释这些概念在不同领域中的应用。

定积分的几何意义在几何学中，定积分可以理解为曲线下面的面积。

假设我们有一个函数 f(x)，它表示一个曲线在 x 轴上方的部分。

我们可以通过定积分来计算这个曲线下面的面积。

定积分的几何意义可以通过以下公式表示：定积分的几何意义公式定积分的几何意义公式其中，a 和 b 是积分的上下限。

这个公式告诉我们，定积分是将函数 f(x) 的值乘以一个微元 dx，并将它们加起来，最后得到的结果是曲线下面的面积。

定积分的几何意义在计算不规则形状的面积时非常有用。

通过将不规则形状分割成无限小的矩形，我们可以用定积分精确地计算出这个形状的面积。

这种方法被广泛应用于计算几何中的曲线、曲面和体积。

定积分的物理意义在物理学中，定积分具有许多重要的应用。

下面我们将介绍一些常见的物理意义。

1. 速度和位移假设一个物体在不同的时间点的速度被函数 v(t) 描述。

为了计算物体在给定时间间隔内的位移，我们可以使用定积分。

定积分的物理意义是将速度函数 v(t) 乘以微元 dt，并将它们加起来，得到位移的值。

公式如下：速度和位移的定积分公式速度和位移的定积分公式其中，v(t) 是速度函数，t1 和 t2 是时间的上下限。

这个公式告诉我们，位移等于速度乘以时间的累积。

2. 功和能量在物理学中，功是力在物体上所做的功。

假设一个物体在不同的位置点的力被函数 F(x) 描述。

为了计算力在给定位置间隔上所做的功，我们可以使用定积分。

定积分的物理意义是将力函数 F(x) 乘以微元 dx，并将它们加起来，得到功的值。

公式如下：功和能量的定积分公式功和能量的定积分公式其中，F(x) 是力函数，x1 和 x2 是位置的上下限。

这个公式告诉我们，功等于力乘以位移的累积。

功和能量之间有一个重要的关系。

误区对向量数量积理解错误高三数学跨越一本线

2017届高三数学跨越一本线精品误区一：对向量数量积理解错误平面向量的数量积是向量知识中的重要内容, 向量的数量积公式为cos a b a b θ⋅=，在利用向量数量积数量积公式进行计算时,常出现的一个错误是向量夹角出错，，因此充分理解向量夹角的概念是解决数量积问题的关键,本文先从三个方面阐述向量夹角经常出错的地方，最后再对向量数量积中其他容易出错的地方进行曝光，以引起同学们注意．一、忽视向量的方向致使夹角位置找错向量的夹角是有方向的，两个非零向量的夹角指的是，将两个向量起点重合时所成的角．【例1】【2016届湖南省长沙市一中高三上学期月考】等边三角形ABC 的边长为1,c AB b CA a BC ===,,，那么a c c b b a ⋅+⋅+⋅等于( ） A ．3 B ．—3C ．23D ．23-【分析】利用数量积定义，各向量模长确定，故只需确定其夹角即可,由向量夹角定义得向量,a b 的夹角为120︒,向量,b c 的夹角为120︒，向量,c a 的夹角为120︒．【解析】因为向量,a b 的夹角为120︒,向量,b c 的夹角为120︒,向量,c a 的夹角为120︒，所以有311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=-，故选D ．【点评】正三角形的内角是60︒，向量,a b 、,b c 、,c a 的夹角均为120︒，本题解题时容易把三角形的内角当成向量的夹角,导致错误,误选C ．【小试牛刀】在△ABC 中，AB ＝5,BC ＝7，AC ＝8,则BC AB ⋅的值为（）A ．79B ．69C ．5D ．—5 【答案】C【解析】在△ABC中,由余弦定理可得2222223781cos 22377AB BC AC B AB BC +-+-===-⨯⨯,所以()1cos 5757AB BC AB BC B ⋅=⋅⨯-=⨯⨯=。

定积分的几何意义

定积分的几何意义定积分是微积分的一个重要概念，与导数一样，也是牛顿和莱布尼茨在17世纪中期发明的。

定积分可以用于计算曲线下面积、曲线长度、体积、质量、质心等几何量，因此在几何中具有重要的意义。

首先，我们先来考虑较为简单的几何问题：曲线下的面积。

假设有一个函数f(x)，定义在闭区间[a, b]上，现在我们要计算这个函数所定义的曲线和x轴以及直线x=a, x=b所围成的图形的面积。

我们将x轴的分成n个等分，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

然后在每个小区间内选择一个任意点xi（在第i个小区间内）进行计算，将这个点的纵坐标f(xi)和小区间的宽度Δx相乘得到该小矩形的面积。

最后，将所有小矩形的面积相加并取极限即可得到曲线下的面积。

形式化表示为：曲线下的面积= lim[n→∞] Σ[i=1, n] f(xi)Δx，其中Δx=(b-a)/n。

这个过程其实就是将曲线下的面积近似地等分成n个小矩形，然后对每个小矩形的面积进行求和。

当n趋于无穷大时，这个近似过程无限细化，得到的面积也就趋近于准确值。

除了曲线下的面积，定积分还可以用于计算曲线的弧长。

同样以一个函数f(x)为例，现在我们要计算它所定义的曲线从x=a到x=b的弧长。

同样地，我们将x轴的分成n个等分，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

然后在每个小区间内选择一个任意点xi进行计算，这个点对应的坐标为(x,y)=(xi, f(xi))。

接下来，计算这些点之间的距离，将它们相加即得到曲线的弧长。

形式化表示为：曲线的弧长= lim[n→∞] Σ[i=1, n] √(Δx)^2 + (Δy)^2，其中Δx=(b-a)/n，Δy=f(xi)-f(xi+1)。

同样地，当n趋于无穷大时，这个近似过程无限细化，得到的弧长也就趋近于准确值。

除了面积和弧长，定积分还可以用于计算曲线围成的旋转体体积。

以函数f(x)为底，x=a到x=b的曲线段为母线，围绕x轴旋转一周所形成的体积就是通过定积分计算得到的。

定积分和二重积分的几何意义

定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

例如，对于函数y=x + 1，x∈[0,2]，∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1，x = 0，x = 2和x轴围成的梯形的面积。

2. 当函数y = f(x)≤0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

例如，对于函数y=-x，x∈[0,1]，∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2)，其绝对值(1)/(2)就是由y =-x，x = 0，x = 1和x轴围成的三角形的面积。

3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。

例如，对于函数y=sin x，x∈[0,2π]，∫_{0}^2πsin xdx=0，这是因为sin x在[0,2π]上，x轴上方和下方的图形面积相等。

二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0，(x,y)∈ D时（D为积分区域）- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶，以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。

例如，对于z = x^2+y^2，D为x^2+y^2≤1的圆形区域，∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶，以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。

2. 当z = f(x,y)≤0，(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶（此时z值为负），以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。

对定积分应用的理解和认识

对定积分应用的理解和认识定积分的正式名称是黎曼积分，用黎曼自己的话来说定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。

即由 y=0, x=a ,x=b, y=f(X)所围成图形的面积。

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n 份，用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n →+∞时所有这些矩形面积的和。

习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx 是相等的。

但是必须指出，即使Δx 不相等，积分值仍然相同。

我们假设这些“矩形面积和S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1),那么当n →+∞时，Δx 的最大值趋于0，所以所有的Δx 趋于0，所以S 仍然趋于积分值.一、定积分的理解1.定积分的性质设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有性质1 线性()()[]()()()为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰+⎰=+⎰ ()()()()[]()()dx x g x f dx x g x f dx x f A dx x Af b a b a b a b a b a ⎰±⎰=±⎰⎰=⎰⇔且性质2 区间可加性()()()()都成立或或不论b ac c b a b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<<<<<⎰+⎰=⎰性质3 保号性若()()0,0≥⎰<≥dx x f b a x f b a 则有且性质4 不等式若()()()()()dx x g dx x f b x a x g x f b a b a ⎰≤⎰≤≤≤则有,性质5 绝对值不等式 ()()()b a dx x f dx x f ba b a <⎰≤⎰性质6 估值不等式()()()[]则有上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,≤≤≤≤ ()()()a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤-2.积分中值定理若ƒ (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b ]，使()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ 3.定积分的换元法⎰⎰⎰+=⋅=c x d x f A dx x x f A dx x g )]([)([)(')]([)(ϕϕϕϕ⎰⎰⎰=⋅=⋅=bab abab a x AF x d x f A dx x x f A dx x g |)]([)]([)]([)(')]([)(ϕϕϕϕϕ注：1.用凑微分法尽量不要引入新的变量,否则积分上下限要改变.2.用凑微分时不变积分基本公式一定要熟()()()()[]()()C t F dt t t f dtt dx t x dx f +⎰==⎰易积出令..''ϕϕϕϕ 条件：x=ψ(t)具有连续的导数ψ′(t)()()()()[]()()βαβαϕϕϕϕ1..''t F dt t t f dtt dx t x dxx f b a =⎰==⎰令条件：（1）ψ(α)=a ，ψ(β)=b ，（2）x=ψ(x)具有连续的导数ψ′(t)且a ≤ψ(t)≤b(α≤t ≤β)4.定积分的分部积分法()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰-=⎰.条件：u=u （x ），v=v （x ）在[a ，b]上具有连续导数注：u （x ）v （x ）上不要忘记写上[]b a5．利用简化定积分计算的公式（１）．奇偶函数在关于原点对称区间上的积分设ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则有()()()()()图示是奇函数，当是偶函数，当⎩⎨⎧⎰=⎰--x f x f dx x f dx x f aa a a,0,2 （２）. wallis 公式()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------⎰⎰为偶数，当为奇数，当n n n n n n n n n n xdx xdx n n ,2.21,23,1,1.3223,12cos 1sin 2020πππ注wallis 公式在计算［０，2π］上正弦或余弦函数高次方的积分非常方便。

求定积分的几大误区

走出误区数学ZO U C H U W U QU求定积分的几大嘉鱼一中罗来国误区总体来说，学习定积分要理解定义、回归意义、活用性质、总结方法.然而，由于定积分符号高度抽象、思想深刻以及目前所学有限，学习中会遇到许多困难.下面就同学们经常遇到的一些问题加以剖析.一、忽视符号的含义由于定积分是高度符号化的形式，其中包含着较多的内涵，需要认真领会.例1求定积分∫-22k dx .误解∫-22k dx =1x 2|2-2=0.正解∫-22k dx =k ∫-22dx =k x |2-2=4k .剖析积分变量是x ，而不是k (k 是参数）.因此也就弄清被积函数到底是什么.理解∫abf (x )dx =limn →+∞∑i =1nf (x i )△x 很有必要.可以认为∫abf (x )dx 表达简洁，而lim n →+∞∑i =1nf (x i )△x 更能直接反映定积分的内涵；一个注重形式，一个反映本质.所以理解符号要首先理解定义，关注定义的背景来源.二、忽视几何意义定积分作为新概念被引入，最直观的解释就是其几何意义，也是我们求定积分的一个基本的有效方法.因为它更本质化、更直观形象，所以要经常回归到这一思路解题.例2求定积分∫024-x 2dx .由于很难找到被积函数f (x )=4-x 2的原函数，所以陷入困境.结合定积分的几何意义不难得知，该定积分其实是求圆x 2+y 2=4在第一象限内的面积，∫024-x 2dx =14π·22=π.此外，将其推广并变式如下：例3求∫-a(a >b >0).解∫-a=b a ∫-a aa 2-x 2dx=b a ×12πa 2=πab 2.进一步思考可以发现∫-a表示的几何意义就是椭圆x 2a 2+y 2b2=1的上半部分的面积，从而我们也得到椭圆的面积公式πab .同时启示我们，被积函数f (x )=m 2-n 2x 2的定积分都可以变形为f (x )=再将其转化为圆的面积这一几何意义求解.三、忽视被积函数的化简.目前所学习的定积分基本不涉及复杂函数的定积分，因为更多的技巧要大学微积分的知识才能解决，所以如果不能直接找出被积函数的原函数，可以试图对其先化简，再作处理.例4求∫0π2sin 2x2d x .走出误区数学Z O U C H U W U Q U分析由于一时间找不到sin 2x的原函数，故解不出来，而几何意义又很难发现.结合三角函数知识，可以对sin 2x2先化简，目的是化简成能直接找到原函数的类型.解∫π2sin 2x 2d x =∫0π21-cos x 2d x=12(x -sin x )|π20=π-24.同学们可以思考以下两个问题：求下列定积分：①∫0π2(cos 2x 2-sin 2x2)d x ；②∫49x (1+x )dx.点拨如果找原函数困难、几何意义又不明显时，不妨先对被积函数化简，使之成为基本初等的被积函数.四、缺乏讨论，陷入困境定积分与导数是互逆运算，所以求定积分的过程就是找原函数的过程，但有些函数在整个区间内不存在原函数，那么就要对区间分段讨论使之具有原函数.例5求∫-11|x |dx .分析显然不存在函数的导数为||x ，这样只要去掉绝对值符号就可以找到原函数.解∫-11|x |dx =∫-10(-x )dx +∫01x dx =-12x 2|0-1+12x 2|10=1点评遇到含绝对值的函数或分段函数的定积分一般要分段分开求积分，这样可以更方便找到其原函数.五、陷入机械运算、不能活用性质定积分有丰富的性质，除一些基本的运算性质外，还有奇偶函数在对称区间上的定积分性质等，解题时灵活运用往往会事半功倍.例6求∫-π2π2sin x cos x dx.解y =sin x cos x 是éëêùûú-π2,π2上的奇函数，故∫-π2π2sin x cos x dx =0.试求∫-a a(x cos x -5sin x +2)dx.六、求面积理解不到位定积分∫a bf (x )dx 的几何意义：仅当f (x )>0时，表示曲边梯形的面积；而f (x )<0时以及多种形状的曲边图形面积都可以从这个基本的几何意义出发得到理解，并最终转化为这种类型求解.例7求由曲线y =x ,y =2-x ,y =-13x 所围成图形的面积.分析先画图，再求交点坐标以确定积分上下限，然后对照图形，将面积用定积分表示出来，最后再求积分.解S =∫01[x -(-13x )]dx +∫13[(2-x )-(-13x )]dx=∫01(x +13x )dx +∫13(2-23x )dx=(23x 32+16x 2)|10+(2x -13x 2)|31=23+16+(3-53)=136点拨从中可以看出关键是要将图形分割成最基本的曲边图形，目前除图甲类型外，还有图乙类型.即如图所示的曲边图形求面积.通过对各种情况的讨论，结合面积割补方法以及转化为曲边梯形面积.总可以得到，若f (x )>g (x )，则面积S =∫a b[f (x )-g (x )]dx ,而与f (x )、g (x )的符号无关.x最后，提醒同学们求定积分关键是要理解定积分的定义.弄清楚积分的背景，此外适当总结归纳一些常见性质、方法，才可以以不变应万变.。

高考数学一轮总复习积分与定积分应用常见错误与解题技巧

高考数学一轮总复习积分与定积分应用常见错误与解题技巧一. 积分与定积分应用的概念和基本原理在高考数学中，积分与定积分应用是一个重要的考点。

积分是微积分的一个重要概念，它可以用来求解曲线下的面积、曲线的长度、空间曲面的面积和体积等问题。

定积分应用则是积分的一种具体应用形式，用于解决实际问题。

二. 常见错误分析1.忽略曲线方程的定义域限制在解题过程中，有时候我们会遇到曲线方程具有一定的定义域限制的情况，这时候我们需要仔细分析曲线方程的定义域，并在进行积分计算的时候切不可忽略它。

否则，我们很可能得到错误的结果。

2.未进行合理的变量代换变量代换是积分计算中的一个重要技巧，可以帮助我们简化计算过程。

然而，有些同学在解题时未能进行合理的变量代换，导致计算变得繁琐，错误率增加。

因此，在解题过程中要善于运用变量代换，合理简化计算。

3.错误地确定积分上下限在定积分应用问题中，我们需要根据实际问题来确定积分的上下限。

但有些同学在此过程中容易出错，导致结果不准确。

因此，在解题过程中，我们要仔细分析问题，并确定积分的正确上下限。

三. 解题技巧总结1.合理利用换元法换元法在解决积分计算问题中是非常常见的技巧。

我们可以通过合理的换元，将积分转化为容易计算的形式，从而简化计算过程。

在进行换元时，要根据问题的特点选择合适的代换变量，并注意变量的变化范围。

2.注意积分上下限的确定积分上下限的确定是定积分应用问题中关键的一步。

在确定上下限时，要根据问题的要求来选择合适的区间，并注意区间的取值范围。

如果确定不准确，很可能得到错误的结果。

3.提炼问题核心在解决定积分应用问题时，有时候问题比较复杂，涉及多个因素。

为了避免计算过程的复杂性，我们可以尝试提炼出问题的核心内容，化繁为简。

通过将问题简化，可以更容易找到解题的思路和方法。

四. 练习题示例1.已知一条曲线的方程为y = x^2 - 2x + 1，求曲线与x轴所围成的面积。

解题思路：首先，我们需要确定曲线与x轴的交点，即解方程x^2 - 2x + 1 = 0。

2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理.doc

2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面为大家带来2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。

高考数学知识点：定积分的概念及几何意义定积分的定义：设函数f(x)在[a，b]上有界(通常指有最大值和最小值)，在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间(i=1，2，，n)，记每个小区间的长度为(i=1，2，，n)，在上任取一点i，作函数值f(i)与小区间长度的乘积f(i)(i=1，2,高考学习方法，，n)，并求和，记=max{△xi;i=1，2，，n }，如果当0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。

定积分的几何意义：定积分在几何上，当f(x)0时，表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)0时，表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值;一般情况下，表示介于曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。

定积分的性质：(1)(k为常数);(2);(3)(其中a定积分特别提醒：①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：②定义中区间的分法和的取法是任意的2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理为大家带来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。