专题：关于函数不动点的研究及其应用

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不动点原理及其应用

题目：不动点原理及其应用摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。

在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。

关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用AbstractIn this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.目录引言 (1)1.压缩映射原理 (1)1.1压缩映射原理（距离空间） (1)1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7)2.Schauder不动点定理 (9)3不动点定理的应用 (11)总结 (12)参考文献 (14)引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。

不动点及其应用

不动点及其应用（艾华升编）一.函数的不动点：对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点。

求下列函数的不动点：(1) 12)(-=x x f(2) 1)(2--=x x x f(3) x x f lg 9)(+=二．不动点与高考例1（02年春季京皖高考题）：对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点。

已知函数).0(),1()1()(2≠-+++=a b x b ax x f（1）当2,1-==b a 时，求)(x f 的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）3)(2--=x x x f ，因为0x 为不动点，所以002003)(x x x x f =--=，解得：10-=x 或30=x 。

-1和3是函数的两个不动点。

（2）因为函数)(x f 恒有两个相异的不动点，所以方程x b x b ax x f =-+++=)1()1()(2，也就是 0)1(2=-++b bx ax 对任何实数b 恒有两个不相等的实数根。

即：0)1(42>--b a b 对任意的R b ∈恒成立。

这个不等式可化为0442>+-a ab b ，所以016)4(2<-a a ，解得：10<<a 。

例2.（2006年重庆高考题）已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-22)(])([。

（1）若3)2(=f ，求)1(f ；（2）若a f =)0(，求)(a f ；（3）设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求)(x f 的解析表达式。

解（3）因为对任意R x ∈，有x x x f x x x f f +-=+-22)(])([. 又因为有且只有一个实数x 0,使得00)(x x f =。

不动点定理的实际应用

不动点定理的实际应用
不动点定理是数学中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。

以下是一些不动点定理的实际应用：
1. 经济学：在经济学中，不动点定理被用来研究经济模型的稳定性和均衡性。

例如，它可以用于分析市场竞争、价格形成等问题。

2. 计算机科学：在计算机科学中，不动点定理被用来研究迭代算法的收敛性和稳定性。

例如，它可以用于分析搜索算法、图像处理算法等问题。

3. 物理学：在物理学中，不动点定理被用来研究量子力学中的对称性和守恒定律。

例如，它可以用于分析粒子的运动轨迹、能量转换等问题。

4. 工程学：在工程学中，不动点定理被用来研究控制系统的稳定性和性能优化。

例如，它可以用于分析飞机的姿态控制、机器人的运动规划等问题。

不动点定理在各个领域都有着广泛的应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具和方法。

不动点方法的实际应用

不动点方法的实际应用不动点方法是数学中一个重要的工具，用于求解各种问题，特别是在非线性分析和迭代计算中。

传统的不动点方法通常关注找到一个函数的不动点，即满足f(x) = x 的点x。

然而，这种方法在某些情况下可能受到限制，因此需要进行推广。

以下是关于不动点方法推广的详细解释：一、推广背景在实际应用中，许多问题不能仅仅通过找到一个不动点来解决。

例如，在经济学、物理学、工程学等领域，可能需要找到满足特定条件的多个不动点，或者需要处理更为复杂的映射关系。

因此，有必要对传统的不动点方法进行推广，以适应更广泛的问题和应用场景。

二、推广目的推广不动点方法的主要目的是扩展其应用范围和提高求解效率。

通过引入新的概念、技巧和方法，可以处理更为复杂和多样化的问题。

此外，推广后的方法还可以提供更多的求解策略和灵活性，以便更好地适应不同的实际需求。

三、具体方法步骤推广不动点方法的具体步骤可以根据不同的推广方向和问题特性而有所不同。

以下是一些常见的推广方法和步骤：1.引入参数化不动点：在传统的不动点方法中，不动点是固定的。

然而，通过引入参数化不动点的概念，可以将不动点表示为一个参数化的函数或方程。

这样，就可以通过调整参数来找到满足特定条件的多个不动点。

2.拓展映射类型：传统的不动点方法通常关注单一映射的不动点。

然而，通过拓展映射类型，可以处理更为复杂的映射关系。

例如，可以考虑多值映射、集值映射或非线性映射等。

这些拓展使得不动点方法能够应用于更广泛的问题和领域。

3.结合其他数学工具：不动点方法可以与其他数学工具相结合，以提供更强大的求解能力。

例如，可以与微积分、线性代数、拓扑学等相结合，形成更为复杂和高效的不动点求解方法。

这些结合可以根据具体问题的特性进行选择和应用。

四、应用范围和优势推广后的不动点方法具有更广泛的应用范围和优势。

首先，它可以应用于更多领域的问题求解，如经济学中的均衡问题、物理学中的相变问题、工程学中的优化问题等。

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are ,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.定义设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =.对此定义,有以下理解.1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x .2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach 不动点定理及其应用相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时,()ερ<n m x x ,.则称点列{}n x 为基本点列或Cauchy 点列.如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =，则称x 是T 的不动点.Banach 不动点定理定理 1.2.1[3]设X 是完备的距离空间，距离为ρ.T 是由X 到其自身的映射，且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得x x T =.证明在X 中任意取定一点0x ,令01Tx x =，12Tx x =，…，n n Tx x =+1，… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=； ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=； ……………………… 于是()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+， ,3,2,1=n()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤()()()0000,1,11Tx x Tx x np n ρθθρθθθ-≤--=. 又10<≤θ,故(),0∞→→n n θ即{}n x 是基本点列.由于X 完备,所以由定义1.1.1知{}n x 收敛于X 中某一点x .另外,由()(),,Tx Ty x y ρθρ≤知,T 是连续映射.在n n Tx x =+1中,令,∞→n 得x x T =,因此x 是T 的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y 使y T y =,则()()(),,,,y x y T x T y x θρρρ≤=考虑到10<≤θ,则有(),0,=y x ρ即y x =.定理 1.2.2[3]设T 是由完备距离空间X 到其自身的映射,如果存在常数:1o θθ≤<以及自然数0n 使得(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤(,)x y X ∈ ()1那么T 在X 中存在唯一的不动点.证明由不等式()1,0n T 满足定理1.2.1的条件,故0n T 存在唯一的不动点0x .现在证明0x 也是映射T 唯一的不动点.事实上10000()()()n n n T Tx T x T T x Tx +===可知,0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00Tx x =,故0x 是映射T 的不动点.若T 另有不动点1x ,则由01111111n n n T x T Tx T x Tx x --=====知1x 也是0n T 的不动点.仍由唯一性,可得10x x =.Banach 不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程()()()()ds s x s t K t f t x ba ⎰+=,λ ()2其中()t f 是[]b a ,上的已知连续函数,()s t K ,是定义在矩形区域b s a b t a ≤≤≤≤,上的已知连续函数,证明当λ足够小时（λ是常数）,()2式在[]b a ,上存在唯一连续解.证明在[]b a C ,内规定距离()()()1212,max a t by y y x y x ρ≤≤=-令 ()()()()()ds s x s t K t f t Tx ba⎰+=,λ则当λ充分小时,T 是[][]b a b a C C ,,→的压缩映射. 因()()()()()1212,max a t bTx Tx Tx t Tx t ρ≤≤=-()()()()()()()()121212max ,max ,,,ba t baba tb aK t s x s x s dsK t s x s x s ds M x x λλλρ≤≤≤≤=-≤-≤⎰⎰其中()max ,ba t baM K t s ds ≤≤=⎰,从而当1M λ<时,T 是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一()[]b a C t f ,∈解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,00y y y x f dx dyx x ()3 其中()2R C f ∈,且()y x f ,关于y 满足Lipschitz 条件,即存在0>L 使()()'',,y y L y x f y x f -≤-，R y y x ∈',, ()4则初值问题()3在R 上存在唯一解.证明微分方程(3)等价于积分方程 ()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0,0，取0>δ,使.1<δL 在[]δ+00,x x C 上定义映射()()()(),,00dt t y t f y x T xx ⎰+=φ则由(4)式得ϕφT T -=()()()()0max ,,xx x x x f t t f t t dt δϕφ≤≤+⎡⎤-⎣⎦⎰ ()()000maxxx x x x L t t dt δϕφ≤≤+≤-⎰,ϕφδ-≤L []δϕφ+∈00,,x x C ，已知1<δL ,故由定理 1.2.1知存在唯一的连续函数[],,000δφ+∈x x C 使,00φφT =即()()()dt t t f y x xx ⎰+=0000,φφ，且()x 0φ在[]δ+00,x x 上连续可微，且()x y 0φ=就是微分方程()2在[]δ+00,x x 上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f 是[]b a ,上的压缩映射,则对[]b a x ,1∈∀,由递推公式()n n x f x =+1确定的数列{}n x 收敛,且n n x x ∞→=lim 0为f 的唯一不动点.例 1.3.2.1[5]证明：若()x f 在区间[]r a r a I +-=,上可微,()1<≤'a x f 且()()r a a a f -≤-1，任取I x ∈0.令()()()n n x f x x f x x f x ===+11201,,, ,则**lim ,n n x x x →∞=为方程()x f x = 的根（即*x 为()x f 的不动点）.证明已知I x ∈0,设I x n ∈则()()(){}()a a f a x f a a f a f x f a x n n n -+-≤-+-=-+ξ'1（),(a x n ∈ξ）由已知得 ()r r a ar a x n =-+≤-+11即I x n ∈+1,从而得知,一切I x n ∈.由微分中值定理,存在ξ在n x 与1+n x 之间,即I ∈ξ使得()()()()10,11'11<<-≤-≤-=----+a x x a x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ.这表明()n n x f x =+1是压缩映射,所以{}n x 收敛.又因()x f 连续.在()n n x f x =+1里取极限知{}n x 的极限为()x f x = 的根.例 1.3.2.2[9]设[];3,2,22,1,0,2121 =-=∈=-n x a x a a x n n 求证数列{}n x 收敛并求其极限.证明易知20ax n ≤≤.则我们在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上考虑函数()222x a x f -=,对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0,21a x x 有()()21212122122122122x x a x x x x x x x f x f -≤+-=-=- []()1,0∈a .即()x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上的压缩映射.从而{}n x 收敛于方程的解.设22020x a x -=得110-+=a x .1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理 1.3.3.1[6-7]设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f ,异号,则()x f 在[]b a ,内至少存在一点c 使得()0=c f .定理 1.3.3.2[6-7]设()x f 是定义在[]b a ,上的连续函数,其满足()b x f a ≤≤，则在[]b a ,上至少存在一个不动点0x ,即()00x x f =.例 1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设：对椅子和地面做一些假设：1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4）椅子转动时中心不动.模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD ,对角线AC 与x 轴重合,椅子绕中心点O 旋转角度θ后,正方形ABCD转至D C B A ''''的位置,所以对角线AC 与x 轴夹角θ表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数.设()θf 为C A ,两脚与地面距离之和，()θg 为D B ,两脚与地面距离之和.由假设2）知,()θf 和()θg 都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的θ，()θf 和()θg 中至少有一个为零.即()θf ()θg =0，当0=θ时不妨设()()0,0>=θθf g .从而数学问题就转化为求证存在0θ,使x()()000==θθg f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ.模型求解：令()()().θθθg f h -=因()()()0222,0000<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=πππg f h g f h .则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ使(),00=θh 即()()000==θθg f .1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组b Cx x +=其中()ij c C =是n n ⨯方阵，()Tn b b b b ,,,21 =是未知向量,证明：若矩阵C 满足1sup 1,1,2,,nij ij c i n =<=∑，则方程b Cx x +=有唯一解.证明设X 是n R （或n C ）,定义度量()i i ni y x y x -=≤≤1max ,ρ,则X 是完备的度量空间.作映射.,,:X x b Cx Tx X X T ∈+=→若()(),,,,,,,,2121X y y y y X x x x x Tn Tn ∈=∈=则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=≤≤i j ij n j i j ij n i b y c b x c Ty Tx 11max ,ρ()()y x a y x c y x c nj ij ni j j n j ij ni ,,max max 1111ρρ=≤-≤∑∑=≤≤=≤≤而,1max 11<=∑=≤≤nj ij ni c a 所以T 是X 上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的n R x ∈*,使得b Cx x +=**.2 Leray —Schauder 不动点定理相关概念定义2.1.1[3]称映射:f U Y →在0x U ∈处连续,是指对任给0ε>,存在0δ>,当x U ∈且0x x δ-<时,恒有0()()f x f x ε-<.若f 在U 内每一点连续,则称f 在U 上连续.定义 2.1.2[4]设,X Y 为线性赋范空间,D X ⊂,称映射:F D Y →为紧映射,如果F 将D 中的任何有界集S 映成Y 中的相对紧集()F S ,即()F S 是Y 的紧集.如果映射F 是连续的,则称F 为紧连续映射,或全连续映射.定义 2.1.3[3]设M 是U 的一个子集,如果对任意的M y y ∈21,以及满足10≤≤α的任意实数α,元素21)1(y y αα-+仍属于M ,则称M 是U 的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M 是U 中的闭凸集.Leray —Schauder 不动点定理及应用定理2.2.1（Brouwer 不动点定理）设Ω是n R 中的有界闭凸子集，Ω∂表示Ω的相对边界；设),(n R C f Ω∈并且满足Ω⊂Ω∂)(f .则在Ω上必有不动点.例2.2.1 设B 是实2l 空间的闭单位球,令B B f →:为(),,,,1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ξξx x f ().B x k ∈=ξ则f 在B 上连续,但f 在B 上却没有不动点（否则，存在B x ∈，使()x x f =.由此推得,,,11221 ξξξ=-=x 再由2l x ∈得0=x ,这又导致()()x x f ≠= ,0,0,1，得到矛盾）.在应用中,常常涉及到无穷维空间（如[][]b a L b a C ,,,2）上的算子,由上例可知，Brouwer 不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer 不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”，则可利用Leray —Schauder 度理论,就可以说明下述结论.定理2.2.2（Schauder 不动点定理）设D 是实Banach 空间E 中的非空紧凸集,D D A →:连续,则A 在D 上必有不动点.定理2.2.3（Leray —Schauder 不动点定理）设D 是实Banach 空间E 中的非空有界闭凸集,若算子D D A →:全连续,则A 在D 上必有不动点.例2.2.1考察Urysohn 积分方程()()(),,x t k t s x s ds Ω=⎰ ()5解的存在性,其中Ω是n R 中的有界闭集,()u s t k ,,在R ⨯Ω⨯Ω上连续,并满足()R u s t u u s t k ∈Ω∈+≤,,,,,βα ()6 这里().1,0,0<Ω>>m ββα证明方程()5在Ω上必有连续解.证明令)()(:Ω→ΩC C A 为()()()(),,Ax t k t s x s ds Ω=⎰，则可知A 是全连续算子.令{},|)(,)(1)(γβαγ≤Ω∈=Ω-Ω=x C x D m m 则D 是)(ΩC 中的有界闭凸集,且当D x ∈是,由()6得()()()ds s sx t k t Ax ⎰Ω≤,()()ds s x ⎰Ω+≤βα Ω+Ω≤m x m βαγβγα=Ω+Ω≤m m 故,γ≤Ax 此即D Ax ∈.由定理 2.2.3知,A 在D 上必有不动点,即存在D x ∈使()()(),,,x t k t s x s ds Ω=⎰因此x 是方程()5在Ω上的连续解. 3 总结不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.参考文献[1]吴翊，屈田兴.应用泛函分析[M].长沙：国防科技大学出版社，2002.[2]程其蘘,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]王声望,郑维行等. 实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2003.[4]钟承奎，范先令等.非线性泛函分析引论[M].兰州：兰州大学出版社，2004.[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[6]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[7]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]张卿.压缩映象原理的证明及应用[J].衡水学院学报，2008.。

数学论文关于函数不动点的性质及应用

. - 2021届本科毕业论文(设计) 题目：关于函数不动点的性质及应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生：帕孜丽娅·阿布都热习题指导教师：塔实甫拉提副教授辩论日期：2021年5 月5 日--XX师大学教务目录引言11 函数不动点的根本概念11.1 函数不动点的定义与定理及推论12 函数不动点的性质22.1不动点的不唯一33 函数不动点的应用43.1 求函数的不动点43.2 利用函数不动点求函数解析式73.3 利用函数不动点解方程83.4 利用函数不动点求数列通项93.5 利用函数不动点求函数极限114 总结13参考文献13致13关于连续函数的不动点及应用摘要：不动点定理是20世纪数学开展中的重大课题，其影响普及整个数学界。

此定理涉及数学分析、拓扑学、非线性分析等多种问题，运用不动点定理，可以解决数学中出现的许多问题，简单、方便、实用。

本论文以介绍布劳威尔不动点定理为主线，详细研究迭代法的思想，简介不动点定理的起源和根本容，考虑了连续函数和单调函数的不动点问题，最后研究了不动点定理在数列极限中的应用。

关键词：不动点定理；迭代法；函数；数列极限。

引言不动点定理的产生是数学开展史上的一次重大突破，它涉及诸多数学分支，其应用十分广泛，相关领域的研究至今仍呈现勃勃生机。

数学中的许多重要的定理，如隐函数定理、微分方程解的存在性定理等，都可以用不动点定理给出简洁的证明。

本论文简单粗浅地介绍了对不动点定理的认识、理解，以及它的应用。

1 函数不动点的根本概念1.1 函数不动点的定义与定理及推定义1.1.1 对函数)(x f ，假设存在实数0x ，满足00)(x x f =，那么称0x 为)(x f 的不动点。

对此定义有两方面的理解：〔1〕代数意义：假设方程x x f =)(有实数根0x ，那么)(x f y =有不动点0x ；〔2〕几何意义：假设函数)(x f y =与x y =有交点),(00y x ，那么0x 为)(x f y =的不动点。

不动点的性质与应用

不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点.例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点.二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。

把使得f (f (x ))=x 成立的x 称为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }，（1）请证明：A ⊆B ；（2）2()(,)f x x a a R x R =-∈∈，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围.例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈，使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点；若存在0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).①112-、是函数2()21f x x =-的两个不动点；②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2()21f x x =-共有三个稳定点；⑤()f x =例7、设函数())f x a R =∈.若方程f (f (x ))=x 有解,则a 的取值范围为( )A.1(,]4-∞B. 1[0,]8C. 1(,]8-∞ D.[1,+∞)例8：已知()bx x x f -=3，若()x f 在[1,)+∞上单调．（1）求b 的取值范围；（2）已知()bx x x f -=3，若设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．例9：已知()()20f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根。

不动点的性质与应用

不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ，故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况；综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。

不动点理论及其应用

不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。

这个重合点就是一个不动点。

函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。

二、压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。

这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。

定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。

X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ，满足下面三个条件：（1）。

0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ，当且仅当 y x =；（2）。

),(),(x y y x ρρ=；（3）。

),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤，（X ,,∈∀z y x ）。

这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。

定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。

定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ，使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。

三、在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。

函数的不动点有大用

函数的不动点有大用1神马叫不动点？对于函数y=f(x)，方程f(x)=x的根称为函数f(x)的一阶不动点.方程f(f(x))=x的根成为函数f(x)的二阶不动点.依此类推，可以定义函数的n阶不动点.一阶不动点就称为不动点，二阶不动点也称为稳定点.2求不动点和稳定点看栗子.1.求函数f(x)=2x-1的不动点和稳定点.求不动点.令2x-1=x，解答x=1.所以函数f(x)的不动点是1.求稳定点.令2（2x-1)-1=x，解得x=1.所以函数f(x)的稳定点是1.2.求函数f(x)=-x的不动点和稳定点.求不动点.令-x=x，解得x=0.所以函数f(x)的不动点是0.求稳定点.令-(-x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意实数.3.求函数f(x)=-1/x的不动点和稳定点.求不动点.令-1/x=x，方程无实数解.所以函数f(x)没有不动点.求稳定点.令-1/(-1/x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意不为零的实数.咦，怎么有时不动点和稳定点一样，有时又不同呢？为回答这个疑惑，我们讲两个小结论.3不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点先证明前半句话.再证明后半句话.举个反例即可.比如2是函数f(x)=-x的稳定点，但不是函数f(x)=-x的不动点.（就是上面第2个函数的例子）4若函数f(x)单调递增，则它的不动点和稳定点等价下面做等价条件的证明.5高考题实战2013年四川高考理科数学卷第10题.本题是选择压轴题，考察了函数的稳定点问题.经过简单分析发现，函数f(x)为单增函数，所以我们可以把稳定点问题转化为不动点问题.不动点法应用很广，比如在数列中，求复杂数列的通项公式时，经常用到不动点法.。

数学中不动点理论及其应用分析

数学中不动点理论及其应用分析不动点理论是数学中一个重要的概念和工具，被广泛应用于不同的学科和领域，例如动力系统、函数方程、微分方程、经济学等。

本文将对不动点理论进行详细分析，并探讨其在数学中的应用。

不动点是指一个函数中的某个点，在施加函数变换后，其值保持不变。

即对于函数f(x)，若存在x使得f(x) = x，则x即为f的不动点。

不动点理论主要关注寻找函数的不动点，并研究其性质和存在条件。

在数学分析中，不动点理论由Banach不动点定理和Brouwer不动点定理两大支柱构成。

Banach不动点定理也被称为压缩映射原理，它是20世纪最重要的数学发现之一，为数学中不动点理论的研究奠定了基础。

Banach不动点定理的核心思想是基于完备度的概念。

如果在某个度量空间中，存在一个压缩映射，即满足d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x, y)(0＜q＜1)，其中d(x, y)代表x和y之间的距离，则这个压缩映射必有一个不动点。

换句话说，如果将一个空间的点映射到自身，并且映射过程中距离会不断缩小，那么必然存在一个点保持不变，这个点即为不动点。

Brouwer不动点定理则更加普遍，它适用于拓扑空间中的紧集合。

该定理表明，任何连续映射都至少有一个不动点。

虽然定理的证明相对复杂，但其结论确实深刻而重要。

不动点理论在数学的各个领域都有广泛的应用。

其中，动力系统是其中之一。

动力系统研究的是在时间推移下，系统如何演化的数学模型。

通过不动点理论，我们可以确定系统演化的稳定状态，即系统的不动点。

不动点的稳定性分析在动力系统研究中起着至关重要的作用。

不动点理论还被应用于函数方程和微分方程的研究。

对于给定的方程，通过找到方程的不动点，可以解决方程的存在性及唯一性问题。

这对于数学建模和分析具有重要意义。

此外，不动点理论还在经济学、物理学等学科中有广泛的应用。

在经济学中，通过构建经济模型的不动点，可以研究经济系统的平衡状态和稳定性。

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素．则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈∀∈x x T ，以及 ()[]()1,01∈∀<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<X ∈∀θy x ，得证．定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点．证任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛<即所以ρ．证毕．注（i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得（4）此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解*x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aa xTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ，此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5）的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2π=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少．如设(]1,0=X ，定义T 如下：2xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件．如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ，（6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ，（7）该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<<a ，即不满足压缩映射的条件．定理 1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈∃a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈∀有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证只需证明(),,B x B B T ∈∀⊂ ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ⊂∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ，（8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限．定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈∀-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈∀<≤∈∃使得则{}n x 收敛．证 ①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛．证只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+∃n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根．注该题体现了不动点定理证明方程解的存在性．例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈∀+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证 ① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<k x x kk n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->∀∀∃>∀+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()()""""*>≥可该为会自动满足()I x ∈∀1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证（分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =． ② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈∀<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ∃与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=<c c c c x c c c x f )0(>∀x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c x c x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ，（10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛． ② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证（1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证（利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明 ①b ∃使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><g g ，故g 在（0，1）内有唯一零点b （即f 的不动点）．② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<x g ，即),(x x f x <．证毕．4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性．例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμϕd x t k t t x b a )(),()()(⎰+=，（11）其中[]b a L ,2∈ϕ为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞<⎰⎰ττdtd t k ba b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证令τττμϕd x t k t t Tx ba )(),()()(⎰+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(⎰⎰⎰≤⎰⎰ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(⎰⎰⎰=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12<⎰⎰=dtd t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -⎰⎰⎰≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ⎰⎰=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ϕτττμ+⎰= （12）对任何[]b a C ,∈ϕ以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=⎰τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]⎰-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-⎰=-++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-⎰≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性．例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,⨯上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +⎰=τττλ，（14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +⎰=τττλ （15）当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()⎰-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,max max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -⋅⎰⋅≤≤≤),(y x M ρλ⋅≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ⎰=≤≤．故当λ1<M 时，T 是压缩映射，此时根据定理1，方程对任一[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=⎰τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ⋅-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(⎰+=λ []()1,0∈t 的连续解．解法一据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =⎰+=λ，其中⎩⎨⎧≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ⎰+==λ)(1t x n +()()()∑⎰=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-⎰= )2(≥n ，从而 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ，故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→⎰+==λλ法二令ds s x t y t)()(0⎰=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程⎩⎨⎧=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16）易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-⎰=λ再令 ()()()()()()⎰-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0⎰=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0⎰+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-⎰+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性．例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==⨯ （20）可知，当n i a aii nji j ij,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nnRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性．例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =，（21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线．证微分方程（21）加上初值条件00y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00⎰+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=⎰000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]⎰-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()⎰-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。

关于函数的不动点

关于函数的不动点在数学中，函数的不动点是指一个函数的输入和输出相等的点。

换句话说，如果一个函数f在一些点x处的值等于x本身，那么x就是函数f的不动点。

在形式化的表示中，可以用f(x)=x来表示。

不动点在很多数学理论和应用中都有重要的意义，在探索函数的性质、解方程、优化问题等方面都有广泛的应用。

首先，不动点理论是函数分析、拓扑学和离散动力系统等领域的重要研究内容之一、在函数分析中，不动点定理是一个重要的工具，它可以帮助我们证明函数的连续性、存在性和唯一性等性质。

其中，著名的Banach不动点定理是函数分析中的一个重要结果，它指出了完备度量空间中的压缩映射必然存在不动点。

通过不动点定理，我们可以解决一些方程和优化问题，如求解方程f(x) = x的解、求解方程组、寻找最优解等。

其次，不动点还在离散动力系统的研究中起到重要的作用。

离散动力系统是指在离散时间点上由函数迭代产生的动力学系统。

这些离散动力系统可以通过不动点来描述。

例如，一个动力系统可以用差分方程f(x)来表示，如果在x处的函数值等于x本身，那么x就是这个动力系统的不动点。

离散动力系统的稳定性、吸引子等性质可以通过不动点的性质来研究和分析。

此外，在数值计算和优化问题中，不动点也起到关键的作用。

例如，在迭代算法中，通过迭代产生的序列可以看作是函数的不动点的逼近值。

当迭代到一些值时，如果该值与下一次迭代产生的值相差很小，那么该值可以近似地看作函数的不动点。

通过不动点的逼近，我们可以解决一些数值计算问题，如求函数的根、求解方程组、求极值等。

除了在数学领域中的应用，不动点还在计算机科学和信息论等领域有广泛的应用。

在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于程序语言的语义分析、类型推导、程序验证等方面。

通过不动点理论，我们可以定义各种语言的语义，并进行形式化的推理和验证。

在信息论中，不动点也被用于描述和分析数据压缩算法、信道编码等问题。

通过不动点的性质，我们可以找到效率更高的数据压缩算法和信道编码方案。

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。

（一）、压缩算子:1、定义：设（1)X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。

若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.2、性质：压缩算子T 是连续的证：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例:11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )（二）、不动点定理1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；（2):T X X →的压缩算子.则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。

（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。

但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。

初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。

（4）误差估计①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。

此方法有时理论上分析困难。

设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。

不动点和压缩影射的原理及其应用（5篇）

不动点和压缩影射的原理及其应用（5篇）第一篇：不动点和压缩影射的原理及其应用不动点和压缩影射的原理及其应用摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。

关键词：不动点压缩影射递推数列应用自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。

而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。

今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。

不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。

而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。

然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。

建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。

1不动点和压缩映像定义及原理定义1设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*则称x *是T的一个不动点。

定义2设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c，0第二篇：管理学原理简答精华压缩1、计划工作程序：①估量机会②确定目标③确定前提条件④确定可供选择的方案⑤评价各种方案⑥选择方案⑦制订派生计划⑧用预算形式使计划数字化。

2、内部提升制优缺点：优点：1.由于对机构中的人员有较充实可靠的资料，可了解候选人的优缺点，以判断是否适合新的工作。

2.组织内成员对组织的历史和现状比较了解，能较快地胜任工作。

3.可激励组织成员的进取心，努力充实提高本身的知识和技能。

4.工作有变换机会，可提高组织成员的兴趣和士气，使其有一个良好的工作情绪。

5.可使过去对组织成员的训练投资获得回收，并判断其效益如何。

缺点：1.所能提供的人员有限，尤其是关键的管理者，当组织内有大量空缺职位时，往往会发生“表黄不接”的情况。

不动点函数系列专题

什么是不动点？x x f =)(或x x f f f =))((ΛΛ不动点问题：一般地，函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使得00)(x x f =成立，则称0x 为函数)(x f 的不动点，即一阶一不动点。

（1）代数意义：若方程00)(x x f =有实根0x ，则00)(x x f =有不动点0x ；（2）几何意义：若函数)(x f y =与x y =的图像有交点),(00y x ，则0x 为函数)(x f y =的不动点。

二阶不动点：一般地，函数)(x f 的定义域为D ，使得00))((x x f f =成立，则称0x 为函数)(x f 的二阶不动点。

（1）若函数)(x f 有一阶不动点，则必有二阶不动点，即00)(x x f =，则00))((x x f f = （2）若函数)(x f 为单增函数，)(x f 的二阶不动点也一定是一阶不动点，即：00))((x x f f =，则00)(x x f =（3）若函数)(x f 为连续函数，)(x f 有二阶不动点，则必有一阶不动点，即：00))((x x f f =，则''00)(x x f =；但0x 与'0x 不一定相同。

例：1)2(,2)1(==f f 。

则2))2((,1))1((==f f f f高阶不动点：若有00))((x x f f f =ΛΛ，称0x 为函数)(x f y =的n 阶不动点。

解题原则：)(x f 连续，则必有00)(x x f =————一般的不动点函数统一解题原则。

例1、（四川高考）设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围为_______________例2、设函数a x x f -=)(（R a ∈），若方程x x f f =))((有解，则a 的取值范围为_______________例3、已知函数c bx ax x f ++=2)(，（0≠a ），方程x x f =)(无实根，则下列命题：（1）x x f f =))((也一定没有实数根；（2）若0<a ，则必存在实数0x ，使得00))((x x f f >；（3）若0>a ，则不等式x x f f >))((对一切实数x 都成立；（4）若0=++c b a ，则不等式x x f f <))((对一切实数x 都成立；其中正确的是：________________。

一次分数函数及不动点的应用

一次分数函数及不动点的应用一次分数函数是一类重要的二元余弦型函数，它将复平面上的一条直线映射到数轴上的一段区间，其变换结果能很好地反映出原函数的性质，在数学及其他学科领域中有重要的应用，例如在分析复变函数时可以用到一次分数函数，这样就可以很好地描述复变函数的行为、特性及类似物。

一次分数函数的基本表达式为：y = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c和d是常数。

它的函数图像具有一条开放的抛物线，其上端点位于原点，下端点位于抛物线上的另一点，这说明它是一个开放的函数。

抛物线的导数可以被表达为：dy/dx = (ad - bc)/(cx + d)^2，由此可知，当c＝0时，一次分数函数的导数为常数，此时抛物线变成一条直线，即斜率为常数，在x轴上可以看到不动点。

由此可见，不动点是一次分数函数中最重要的性质。

不动点在各学科领域中有着重要的应用，这主要归功于收敛性质。

它可以用来描述许多实际科学问题，例如函数在收敛条件下的行为，电力调度中的负荷预测，复变函数的稳定性等。

此外，它还可以用于解决统计学中的分组问题，最大似然估计，热力学和熵的计算等等。

一次分数函数在微积分、工程学和几何学等学科中也有重要的应用。

在微积分中，它是用来解决具有特殊几何性质的问题，如定积分、解微分方程等。

在工程学中，它可以用来处理复杂的函数关系，如磁性调节器、滤镜设计等。

在几何学中，它可以用来计算复形的面积、体积和矩形的面积等。

综上所述可以看出，一次分数函数及不动点在数学及其他学科都有重要的应用，它们在解决复杂函数关系时非常有用，为我们提供了非常有效的方法。

特别是不动点，它可以帮助我们分析函数的收敛性，提供了一种重要的工具来分析实际科学问题。

不动点奇函数

不动点奇函数在数学领域中，不动点指的是一个函数中的某个点，当输入该点时，函数的输出值与输入值相等。

也就是说，如果对于函数f(x)，存在一个点c，使得f(c)=c，那么c就是函数f(x)的不动点。

奇函数是指具有对称性质的函数，即f(x)=-f(-x)。

换句话说，对于奇函数来说，当自变量的值发生变化时，函数值也会发生相应的变化，并且变化的趋势是对称的。

不动点和奇函数在数学中都有重要的应用和研究价值。

下面将分别介绍不动点和奇函数的特性及应用。

不动点的特性和应用不动点在数学中具有广泛的应用，尤其在函数分析和微分方程等领域中被广泛研究和应用。

不动点的存在性是很关键的。

根据不动点定理，如果一个函数满足某些条件，那么它必然存在不动点。

这个定理有很多不同的形式和推广，比如Banach不动点定理和Brouwer不动点定理等。

这些定理为函数的研究提供了强有力的工具和方法。

不动点在解方程和求根等问题中具有重要意义。

例如，在计算机科学中，不动点迭代法被广泛应用于求解非线性方程和优化问题。

通过不断迭代函数的不动点，可以逐步逼近方程的解。

这种方法简单而有效，被广泛应用于实际问题的求解中。

不动点还在动力系统和混沌理论等领域中发挥着重要作用。

动力系统是研究物理系统演化规律的数学分支，而混沌理论则是研究非线性系统中的混沌现象。

不动点是动力系统中的一个关键概念，它描述了系统在某些条件下的稳定状态。

奇函数的特性和应用奇函数是一类特殊的函数，具有对称性质和一些独特的特性。

奇函数在数学和物理学中都有广泛的应用。

奇函数具有对称性质，这使得它们在研究对称性问题时非常有用。

例如，在物理学中，奇函数经常出现在对称体系中，比如球对称体系和空间反演对称体系。

奇函数的出现与系统的对称性密切相关，对于研究系统的性质和行为具有重要意义。

奇函数在傅里叶级数展开和信号处理中也有重要应用。

根据奇偶性质，任何一个函数都可以分解为奇函数和偶函数的线性组合。

这种分解方法被广泛应用于信号处理和图像处理等领域，可以有效地降低计算的复杂度和提高处理的效率。

专题：关于函数不动点的研究及其应用

关于函数不动点的研究及其应用相关概念：定义：一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点；说明：（1）不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==xy x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标（2）稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.（3）令()0f x t =，则()()00f t x x t =≠，故函数()y f x =有两个二阶不动点0,x 则二元方程()()00f x t f t x =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即点()()00,,,t x x t 都在函数()y f x =图象上，所以()y f x =得二阶不动点就是函数()y f x =图象上关于直线y x =对称两点的横坐标。

（4）若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点，但稳定点不一定就是不动点，但若函数()y f x =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。

（证明）相关习题：1.（2013年四川文科）.设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若存在]1,0[∈b 使b b f f =))((成立，则a 的取值范围是（）A. ],1[eB. ]1,1[+eC. ]1,[+e eD.]1,0[分析：题目的等价于()y f x =存在二阶不动点]1,0[∈b ，而易知()y f x =在定义域内为单调递增函数，故二阶不动点与一阶不动点等价，进而转化为()y f x =存在一阶不动点]1,0[∈b ，即[]0,1x ∃∈，使得x a x e x f x =-+=)(在]1,0[∈x 有解,整理可得，2x x e a x -+=，在]1,0[∈x 有解令2)(x x e x g x -+=，]1,0[∈x∵021121)(=-+>-+='x e x g x ，∴)(x g 在]1,0[∈x 单调递增 1)0(=g ，e g =)1(，],1[e a ∈，故选择A变式：（2013四川理科）设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是（）A. ],1[eB. ]1,1[1--eC. ]1,1[+eD. ]1,1[1+--e e2.如果函数()()2f x x a a R =+∈的二阶不动点恰是它的一阶不动点，求实数a 的取值范围。

专题：关于函数不动点的研究及其应用

不动点原理及其应用

不动点及其应用

不动点定理的实际应用

不动点方法的实际应用

不动点定理及其应用

数学论文关于函数不动点的性质及应用

不动点的性质与应用

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不动点理论及其应用

函数的不动点有大用

数学中不动点理论及其应用分析

不动点定理及其应用

关于函数的不动点

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