3.2一元二次不等式的解法(一)学案

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教学设计3：3.2 一元二次不等式及其解法

3.2一元二次不等式及其解法教学目标知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.教学重点1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.教学过程导入新课师分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式.解分式不等式，切忌去分母.1.解不等式：-x 2+5x ＞6({x |2＜x ＜3}).2.解不等式：x 2-4x +4＞0({x |x ∈R ,x ≠2}).3.解不等式：x 2+2x +3＜0(Δ=-8＜0,x ∈∅).4.解不等式：253＞+-x x （{x |-13＜x ＜-5}）. 师写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.推进新课师思考一下如何解下面这个不等式：解关于x 的不等式a (x -ab )＞b (x +ab ). 生将原不等式展开，整理得(a -b )x ＞ab (a +b ). 讨论：当a ＞b 时，b a b a ab x -+)(＞,∴x ∈(ba b a ab -+)(,+∞).当a =b 时，若a =b ≥0时x ∈∅；若a =b ＜0时x ∈R. 当a ＜b 时，b a b a ab x -+)(＜,∴x ∈(-∞, ba b a ab -+)().例1：解关于x 的不等式x 2-x -a (a -1)＞0.生原不等式可以化为(x +a -1)(x -a )＞0，若a ＞-(a -1),即a ＞21,则x ＞a 或a ＜1-a .∴x ∈(-∞,1-a )∪(a ,+∞). 若a =-(a -1),即a =21,则(x -12)2＞0.∴x ∈{x |x ≠21,x ∈R }.若a ＜-(a -1),即a ＜21,则x ＜a 或x ＞1-a .∴x ∈(-∞,a )∪(1-a ,+∞). 师引申：解关于x 的不等式(x -x 2+12)(x +a )＜0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x 2-x -12)(x +a )＞0.②相应方程的根为-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：（ⅰ）当-a ＞4，即a ＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |-3＜x ＜4或x ＞-a }.（ⅱ）当-3＜-a ＜4，即-4＜a ＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |-3＜x ＜-a 或x ＞4}.（ⅲ）当-a ＜-3，即a ＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |-a ＜x ＜-3或x ＞4}.（ⅳ）当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |x ＞-3}.(ⅴ)当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |x ＞4}.师变题：解关于x 的不等式2x 2+kx -k ≤0.师此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k 2+8k =k (k +8).(1)当Δ＞0,即k ＜-8或k ＞0时，方程2x 2+kx -k =0有两个不相等的实根. 所以不等式2x 2+kx -k ≤0的解集是{x |4)8(4)8(++-≤≤+--k k k x k k k };(2)当Δ=0，即k =-8或k =0时，方程2x 2+kx -k =0有两个相等的实根，所以不等式2x 2+kx -k ≤0的解集是{4k-}，即{0,2}；(3)当Δ＜0,即-8＜k ＜0时，方程2x 2+kx -k =0无实根，所以不等式2x 2+kx -k ≤0的解集为. 练习：解不等式：mx 2-2x +1＞0.师本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m 与0的大小，又由Δ=4-4m =4(1-m ),故又要讨论m 与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m =4(1-m ), ∴当m ＜0时,Δ＞0,此时mmx m m x --=-+=111121＜. ∴解集为{mm x m m x ---+=1111＜＜ }. 当m ＝0时，方程为-2x +1＞0,解集为{x |x ＜21}, 当0＜m ＜1时,Δ＞0，此时mmx m m x --=-+=111121＞, ∴解集为{mm x m m x x ---+=1111＜或＞}.当m ＝1时,不等式为(x -1)2＞0, ∴其解集为{x |x ≠1};当m ＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.师小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. 教师精讲对应的一元二次方程有实数根1-a 和a ,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好. 知识拓展例2：关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜-2或x ＞21－}，求关于x 的不等式ax 2-bx +c ＞0的解集. 师由题设a ＜0且25-=-a b ，1=a c ，从而ax 2-bx +c ＞0可以变形为02＜acx a b x +-，即x 2-25x +1＜0.∴21＜x ＜2.∴原不等式的解集为{x |21＜x ＜2}. 引申：已知关于x 的二次不等式ax 2+(a -1)x +a -1＜0的解集为R ，求a 的取值范围.师原不等式的解集为R ，即对一切实数x 不等式都成立，故必然y =ax 2+(a -1)x +a -1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a ＜0且Δ＜0. 生由题意知，要使原不等式的解集为R ，必须⎩⎨⎧∆,0,0＜＜a即⇔⎩⎨⎧---0)1(4)1(02＜＜a a a a ⇔⎩⎨⎧--012302＞＜a a a 313110-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-＜＜或＞＜a a a a ∴a 的取值范围是a ∈(-∞,31-). 师本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a =0的情况，但对本题讲a =0时式子不恒成立.（想想为什么）师变题：若函数f (x )=kx 2-6kx +(k +8)的定义域为R ，求实数k 的取值范围.显然k =0时满足.而k ＜0时不满足102)8(43602≤⇒⎩⎨⎧≤+-=∆k k k k k ＜＞. ∴k 的取值范围是 [0,1]. 合作探究例3：若不等式13642222＜++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 生 ∵⇔++-+--⇔-++++⇔++++03643)3(220136422136422222222＞＜＜x x kx k x x x k kx x x x k kx x 2x 2-2(k -3)x +3-k ＞0(∵4x 2+6x +3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k -3)x +3-k ＞0对x 取任何实数均成立.∴Δ= [-2(k -3)]2-8(3-k )＜0⇔k 2-4k +3＜0⇔1＜k ＜3.∴k 的取值范围是（1，3）. 师逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 例4：当m 取什么实数时，方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于 1. 解：设方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0的两根为x 1，x 2. ① 若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0有两个正根，则需满足：⎪⎩⎪⎨⎧⇔+≥∆0002121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---≥---0450420)5(16)2(2＞＞m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+-52084202＞＜m m m m⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤521416＞＜或m m m m m ∈∅. ∴此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能有两个正根. ②若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0有一正根和一负根，则需满足：⇔⎩⎨⎧∆0021＜＞x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧----0450)5(16)2(2＜＞m m m m ＜5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5).③若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------⇔⎪⎩⎪⎨⎧+∆045042)5(16)2(0002121＜＞＞＜＞＞m m m m x x x x m ＜2.∴此时m 的取值范围是(-∞,2). ④若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0的两根都大于1，则需满足：⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+---≥∆0)1()1(0)1)(1(02121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-≥+-0460432084202＜＞m m m m m ∈∅.∴此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能两根都大于1. 师说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习：1.关于x 的方程mx 2+(2m +1)x +m =0有两个不等的实根，则m 的取值范围是（） A. (41-,+∞)B.(-∞, 41-) C. [41-，+∞）D.( 41-,0)∪(0,+∞) 【解析】由m ≠0且Δ＞0，得m ＜41-，∴选D. 【答案】D2.若不等式ax 2+5x +b ＞0的解集为{x |31＜x ＜21}，则a 、b 的值分别是__________. 【解析】由⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•=+=+∆21312131002121x x x x a ＞＜⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-∆6165500a b a a ＞＜⎩⎨⎧-=-=.1,6b a 【答案】-6，-13.若方程x 2-(k +2)x +4=0有两负根，求k 的取值范围. 解：要原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)1(22121＞＜x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k 12101213k k k k k k ≠-⎧⎪-≤≤⎪⎪⎨-⎪⎪-⎪⎩＞或＜＞或＜所以-2＜k ＜-1或32＜k ＜1. ∴实数k 的取值范围是{k |-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}. 4.已知不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x -1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 解：若a 2-1=0，即a =1或a =-1时，原不等式的解集为R 和{x |x ＜21}；若a 2-1≠0，即a ≠±1时，要使原不等式的解集为R ，必须⇔⎩⎨⎧∆-0012＜＜a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-----0)1)(1(4)1(01222＜＜a a a -53＜a ＜1. ∴实数a 的取值范围是(53-,1)∪{1}=(53-,1］. 方法引导讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.课堂小结1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围；（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳整合，作出结论.3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风. 布置作业（1）已知不等式x 2+5x +m ＞0的解集为{x |x ＜-7或x ＞2}，求实数m 的值.（2）已知关于x 的二次不等式px 2+px -4＜0对任意实数x 都成立，求实数p 的范围. （3）若y =ax 2+bx +c 经过(0，-6)点，且当-3≤x ≤1时，y ≤0，求实数a ,b ,c 的值. （4）已知方程2(k +1)x 2+4kx +3k -2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）m =-14 （2）{p |-16＜p ＜0} （3）a =2,b =4,c =-6（4）解：要使原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)122121＞＜（x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--≤≤--≠13210121＜或＞＜或＞k k k k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜1.∴实数k 的取值范围是{k |-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}.板书设计。

高中数学《3.2 一元二次不等式及其解法(一)》教案新人教A版必修5

福建省长乐第一中学高中数学必修五《3.2 一元二次不等式及其解法（一）》教案教学要求：正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法.教学难点：理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-二、讲授新课：1、教学不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”⑤ 简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。

2、教学例题：① 出示例1：求不等式244150x x --≤的解集.（解方程 → 给出图象 →学生板演）② 变式训练：求不等式244150x x -->的解集.③ 变式训练：求不等式244150x x -+->的解集.④ 出示例2：求不等式223x x -+< （方程的解→函数草图→观察得解）⑤ 出示例3：已知220ax x c ++>的解集为1132x -<<，试求,a c 的值，并解不等式220cx x a -+-> （将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来）⑥ 变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.3、小结：不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集情况，解一元二次不等式的三步曲.三、巩固练习：1、求不等式2610x x --≤的解集.2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、作业：教材P90 1、4题.。

《3.2 一元二次不等式》教学案

3.2一元二次不等式第1课时《一元二次不等式的解法》教学案教学教法分析●三维目标1.知识与技能(1)通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；(2)掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；(3)会解含参数的一元二次不等式和可化为一元二次不等式的不等式；(4)培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力．2.过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．3．情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育；(2)创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用.●重点、难点重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，学会解一元二次不等式，突出体现数形结合的思想．难点：含参数的一元二次不等式解法．对于本节内容而言，学生学习不会感到太大的困难，但要理解掌握本节内容所涉及的数学知识和方法，则要经历观察、思考、归纳、比较、探究的过程．含参数的一元二次不等式的解法是学生学习本节课的难点，为突破此难点学习时应采取由易到难，由浅入深的方法，先从简单的讨论开始，再进行复杂的讨论．教学方案设计●教学建议一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则需要经历观察、思考、探究的过程，教学中要遵循人们认识事物的一般规律——从特殊到一般，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观性，借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数图象上任意一点P(x，y)在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，归纳出一般的一元二次不等式解集的求法．本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间，帮助学生了解知识形成的过程，加深对知识的理解，领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法．●教学流程观察下列不等式：(1)x2＞0；(2)－x2＋3x≤0；(3)x2－3x＋2＞0.上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？【提示】各有一个未知数，未知数的最高次数为2.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．【问题导思】1．二次函数y＝x2－2x的图象与二次方程x2－2x＝0的根有何内在联系？【提示】零点的横坐标是方程的根．2．当x满足什么条件时，函数y＝x2－2x的图象在x轴上方？【提示】x＞2或x＜0.3．能否根据问题2得出不等式x2－2x＞0的解集？【提示】能，解集为{x|x＞2或x＜0}．4．不等式x2－2x＜0的解集呢？【提示】{x|0＜x＜2}．课堂互动探究例(1)2x 2－3x －2＞0；(2)x 2－3x ＋5＞0；(3)－6x 2－x ＋2≥0；(4)－4x 2≥1－4x ；(5)2x 2－4x ＋7＜0；(6)x 2－6x ＋9＞0.【思路探究】化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集【自主解答】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25＞0，∴方程2x 2－3x －2＝0的两根是－12，2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞2或x ＜－12. (2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0，∴不等式x 2－3x ＋5＞0的解集为R .(3)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＞0， ∴方程6x 2＋x －2＝0的两根是－23，12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. (4)原不等式可化为4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＜0，∴不等式2x 2－4x ＋7＜0的解集为∅.(6)∵原不等式可化为(x －3)2＞0. ∴原不等式的解集是{x |x ∈R ，且x ≠3}．规律方法1．本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会．2．一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分．变式训练解下列不等式．(1)x 2＞14＋5x ；(2)－x 2＋7x ＞6；(3)x 2＋x ＞－14.【解】 (1)先将不等式化为x 2－5x －14＞0，∵方程x 2－5x －14＝0⇔(x －7)(x ＋2)＝0，其根为x 1＝－2，x 2＝7.结合二次函数y ＝x 2－5x －14的图象易得不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞7}．(2)先将不等式化为x 2－7x ＋6＜0，即(x －1)(x －6)＜0，∴1＜x ＜6，故不等式的解集为{x |1＜x ＜6}． (3)原不等式化为x 2＋x ＋14＞0，∵方程x 2＋x ＋14＝0的判别式Δ＝0，∴方程有两相等实根，为x 1＝x 2＝－12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠－12.【思路探究】当a ＝0时，不等式的解集→ a ＜0时，不等式的解集→a ＞0时不等式的解集【自主解答】若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，即x ＞1.若a ＜0，原不等式可化为(x －1a )(x －1)＞0，即x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式可化为(x －1a )(x －1)＜0.(*) 其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 (1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a ＞1时，由(*)式可得1a ＜x ＜1； (3)当0＜a ＜1时，由(*)式可得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜1a 或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |1a ＜x ＜1}．规律方法1．含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论．互动探究若把题目中的条件“a ∈R ”改为“a ＜1”解集又怎样？【解】 (1)若a ＝0，则原不等式可化为－x ＋1<0，即x >1；(2)若a <0，则原不等式化为(x －1a )(x －1)>0，即x <1a 或x >1；(3)若0<a <1，则原不等式的解为1<x <1a . 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a 或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }.(1)2x 2－3x ＋1≤12；(2)x ＋1x －2≤2.【思路探究】 (1)化为同底→利用y ＝2x单调递增→转化为一元二次不等式 (2)移项→通分→等价转化为一元二次不等式【自主解答】 (1)原不等式可转化为2x 2－3x ＋1≤2－1，∴x 2－3x ＋1≤－1，即x 2－3x ＋2≤0，∴不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．(2)移项，得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简，得－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －2≠0，∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．规律方法1．通过本例可以看出：指对数不等式和分式不等式都可以转化为一元二次不等式进行求解．2．分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．变式训练解下列不等式：(1)log 2(x 2－5x －4)＞1；(2)x ＋21－x ＜0.【解】 (1)原不等可转化为：log 2(x 2－5x －4)＞log 22.∴x 2－5x －4＞2，x 2－5x －6＞0， ∴(x ＋1)(x －6)＞0，∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}．(2)原不等式可化为：x ＋2x －1＞0.它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －＞0，x －1≠0，∴x ＜－2或x ＞1，∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}.易错易误辨析忽略二次项系数的符号导致错误典例解不等式－6x 2－x ＋2≥0.【错解】 ∵方程－6x 2－x ＋2＝0的两个根为x 1＝－23，x 2＝12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12或x ≤－23. 【错因分析】没有注意到二次项系数小于0这个情况，此时应先把二次项系数化为正数，再进行求解．【防范措施】解一元二次不等式时应先看二次项系数，当二次项系数为正时，可以按照“当不等式＞0，解在两根之外，当不等式＜0，解在两根之间”这一规律写出解集．当二次项系数为负时要先化成正数，再进行求解．【正解】不等式可转化为6x 2＋x －2≤0. ∵方程6x 2＋x －2＝0的两个根为x 1＝－23，x 2＝12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12.1．基础知识： (1)一元二次不等式；(2)一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系． 2．基本技能：(1)一元二次不等式的基本解法； (2)含参数的一元二次不等式的解法； (3)可化为一元二次不等式的不等式的解法． 3．思想方法： (1)分类讨论思想； (2)转化与化归思想；(3)函数与方程思想.当堂双基达标1．下列不等式：①x 2＞0；②－x 2－x ≤5；③ax 2＞2；④x 3＋5x －6＞0；⑤mx 2－5y ＜0；⑥ax 2＋bx ＋c ＞0.其中是一元二次不等式的有________．(填序号)【解析】由一元二次不等式的定义判断：③、⑥中最高次项是二次项但其系数为参数a ，当a ＝0时就不是一元二次不等式；④的最高次项为三次项不符合；⑤中含有x ，y 两个未知数也不符合．故只有①②是一元二次不等式．【答案】 ①②2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是________．【解析】不等式对应方程2x 2－x －1＝0可化为 (x －1)(2x ＋1)＝0，故两根为x 1＝－12，x 2＝1， ∴原不等式解集为{x |x ＜－12或x ＞1}．【答案】 {x |x ＜－12或x ＞1}3．不等式(x ＋1)(2－x )≤0的解集是________．【解析】不等式左边是两个一次式联乘积，而第二个一次式中x 项系数为负，所以展开后二次项系数为负，故应先化为(x ＋1)(x －2)≥0再求解集．【答案】 (－∞，－1]∪[2，＋∞)4．(原创题)若0＜a ＜1，求不等式x 2－(a ＋1a )x ＋1≥0的解集．【解】原不等式可化为(x －a )(x －1a )≥0，∴对应方程(x －a )(x －1a )＝0两根分别为：x 1＝a ，x 2＝1a . 又∵0＜a ＜1，∴1a ＞a ，∴原不等式解集为(－∞，a ]∪[1a ，＋∞).课后知能检测一、填空题1．(2013·如皋高二检测)不等式(x －1)(x －3)＞0的解集为________．【解析】不等式对应方程(x －1)(x －3)＝0两根为x 1＝1，x 2＝3，故不等式解集为{x |x ＜1或x ＞3}．【答案】 (－∞，1)∪(3，＋∞)2．(2013·济宁高二模拟)不等式－x 2＋4x ＋5＜0的解集为________．【解析】二次项系数为负，故两边同乘－1化为x 2－4x －5＞0，即(x ＋1)(x －5)＞0. 对应方程两根分别为x 1＝－1，x 2＝5，故不等式解集为{x |x ＜－1或x ＞5}．【答案】 (－∞，－1)∪(5，＋∞)3．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝________.【解析】由x 2＜4，∴－2＜x ＜2；由x 2－2x －3＜0，即(x ＋1)(x －3)＜0，∴－1＜x ＜3. ∴M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}．【答案】 (－1，2)4．(2013·盐城高二检测)下列不等式中，解集是∅的是________．(填序号)①2x 2－3x ＋2>0；②x 2＋4x ＋4≤0； ③4－4x －x 2<0；④－2＋3x －2x 2>0.【解析】计算Δ，结合二次函数图象知④的解集是∅. 【答案】 ④5．不等式2x －13x ＋1＞1的解集是________．【解析】原不等式可化为2x －13x ＋1－1＞0， ∴2x －1－3x －13x ＋1＞0，即－x －23x ＋1＞0，∴x ＋23x ＋1＜0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ＋＜0，3x ＋1≠0.∴－2＜x ＜－13.【答案】 (－2，－13)6．不等式2x 2－2x －3＜(12)3(x －1)的解集为________．【解析】 ∵2x 2－2x －3＜(12)3(x －1)，∴2x 2－2x －3＜23(1－x )，∴x 2－2x －3＜3－3x ，即x 2＋x －6＜0，解得－3＜x ＜2.【答案】 (－3，2)7．不等式log 2(x 2－1)＜2的解集为________．【解析】 ∵log 2(x 2－1)＜2，∴log 2(x 2－1)＜log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜4，x 2－1＞0，∴⎩⎨⎧－5＜x ＜5，x ＞1或x ＜－1，∴1＜x ＜5或－5＜x ＜－1。

教学设计6：§3.2 一元二次不等式及其解法

§3.2 一元二次不等式及其解法教学目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.教学知识总结知识点一分式不等式的解法思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？【答案】等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式. 梳理一般的分式不等式的同解变形法则：(1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二一元二次不等式恒成立问题思考 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？【答案】x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2,3]上的图象恒在x 轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x －1>0的解集的子集.梳理一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方.区间[a ，b ]是不等式f (x )>0的解集的子集.恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：≥f (x )恒成立⇔ ≥f (x )max ；≤f (x )恒成立⇔ ≤f (x )min .知识点三含参数的一元二次不等式的解法思考解不等式－x 2＋3x －2<0第一步需要干什么？解ax 2＋3x －2<0呢？【答案】解－x 2＋3x －2<0，第一步先把二次项系数化为正数：x 2－3x ＋2>0. 解ax 2＋3x －2<0，由于不知道a 的正负，故需要分a >0，a ＝0，a <0讨论.梳理解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.题型探究类型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 跟踪训练1 解下列不等式.(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0. 解得⎩⎨⎧ x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 类型二不等式恒成立问题例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0. (2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 .【答案】(－∞，－5]【解析】构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5. 类型三含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}.当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解.综上，当a <0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，解集为∅.达标检测1.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2【答案】D【解析】由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.2.不等式x －1x －2≥0的解集为( ) A.[1,2] B.(－∞，1]∪[2，＋∞)C.[1,2)D.(－∞，1]∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1. 3.当不等式x 2＋x ＋z >0恒成立时，z 的取值范围为 .【答案】⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】由题意知Δ<0，即1－4 <0，得z >14，即 ∈⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 4.解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.解方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .因为函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以①当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}；②当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }.课堂小结1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.。

一元二次不等式及其解法(优秀教案1)

一元二次不等式及其解法（第一课时）一、课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法四、教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系（完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三）合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1）类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2）当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

一元二次不等式的解法(一)学案+作业

第一课时一元二次不等式及其解法一．学习目标1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)二、一元二次不等式的概念及形式1．概念：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．三、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”的关系1．一元二次不等式的解集的概念：若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．2．三个“二次”的关系：课前练习题1．不等式x2≤1的解集是()A．{x|x≤1}B．{x|x≤±1}，C．{x|－1≤x≤1}D．{x|x≤－1}2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．R，C．{x|x≠1}D．{x|x>1或x<－1}3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234 y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．四．题型探究（一）．解一元二次不等式例1：解不等式:(1)2x2－3x－2＞0；(2)－3x2＋6x－2＞0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2＞0.总结1．在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集．2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集.（二）．解含参一元二次不等式例2：解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)分析：解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．总结：1．解含有参数的一元二次不等式时，可根据一元二次不等式解集的结构确定其相应的分类标准进行分类讨论并求解不等式．2．对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．一般地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于0、等于0、小于0.对于形如ax 2＋bx ＋c ＞0的不等式划分标准有几种类型：①a ＞0，a ＝0，a ＜0；②Δ＝0，Δ＜0；③若x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.练习解关于x 的不等式“ax 2－x ＞0”（三）．三个“二次”的关系的应用例3：若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0|－13≤x ≤，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析：一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．总结：已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．练习：（1）已知不等式ax 2＋5x ＋c ＞0|13＜x ，求a ，c 的值．（2）已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值．(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.课堂小结：1．对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的求解，要善于联想两个方面的问题：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点及图象．(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．2．含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论．3．“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围.五．作业1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于()A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |x ＜0或x ＞2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}2．已知二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ，b 的值为()A ．a ＝－1，b ＝－2B ．a ＝－2，b ＝－1C ．a ＝b ＝－12D ．a ＝1，b ＝23．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A ．(－1,1)，B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)，D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a 的解集为()|x <a 或x >1a B ．{x |x >a }，|x <1a或x >a|x <1a5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m 的值为________．6．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是________．7．已知函数f (x )x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．8．解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.9．已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0|－12＜x ＜13qx 2＋px ＋1＞0的解集．10.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.。

32一元二次不等式及其解法导学案参考修改模板范本

3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅。

3.2 一元二次不等式及其解法(1)学案

3.2 一元二次不等式及其解法（1）一、直接目标1．从实际问题中建立一元二次不等式；2．能把一元二次不等式的解的类型归纳出来；3．会解简单的一元二次不等式。

二、课前预习1．在坐标纸中画出一次函数y=3x－15的图象；2．当x取什么值的时候，y=3x－15的值（l）等于0；（2）大于0；（3）小于0。

3．你可以用几种方法求解上题？4．（1）一元一次方程的解与相应一次函数的图象的零点有什么关系？（2）一元一次不等式的解集与相应一次函数的图象又有什么关系？三：情景导入某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家服务公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如图所示，即在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算;一般一次上网时间为不超过17小时的整数时间）。

那么一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A上网费用小于或等于公司B所需费用？公司A：1.5x问题1：公司B的收费的费用是如何计算的？问题2：请你给一元二次不等式下一个定义吗？四：小组合作探究一：（阅读教材P76—P77第三段，回答下列问题）(1)一元二次方程x2-5x=0与二次函数y=x2-5x的零点有什么关系？(2) 不等式x2-5x≤0与二次函数y=x2-5x的图象有怎样的关系？小组合作探究二：（阅读教材P77第四段起，回答下列问题）（1）怎样确定一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集呢？（2）请把下表补充完整：五：典例分析学生自学P78例1，例2，问题：1．总结解一元二次不等式中的解题步骤及注意事项？变式训练：P80 1．（1）（3）（5）（7）六：当堂测试:求下列不等式的解集：⑴-2x2+x-5<0；⑵x2-x+14>0; (3)12x2-31x+20>0八．课后作业：基础题：P80习题3.2 A组第1、2 题提高题：已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为{x∣-2<x<3} ，求a，b的值。

学案5：3.2 一元二次不等式及其解法

3.2 一元二次不等式及其解法学习目标：1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.学习过程：一、一元二次不等式的解法例1：求下列不等式的解集(1)－2x2－x＋1>0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.总结一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．变式训练1：求下列关于x的不等式的解集．(1)－x2＋7x>6；(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.二、解含参数的一元二次不等式例2：解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．总结解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．变式训练2：解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.三、一元二次不等式与一元二次方程的关系例3：若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．总结利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．变式训练3：已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中0<α<β，a <0，求cx 2＋bx ＋a >0的解集．课堂小结：1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式． 2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0))的解集为{x |x <x 1或x >x 2}(或{x |x 1<x <x 2} (x 1<x 2))，可得出x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根．随堂练习：1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}2．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)3．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19C ．559D ．不存在4．若函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 5．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．6．解关于x 的不等式：ax 2－2x ＋1>0.参考答案学习过程：例1：解：(1)由－2x 2－x ＋1>0，得2x 2＋x －1<0，因式分解得(x ＋1)(2x －1)<0， ∴－1<x <12.即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12.(2)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0. 即解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 变式训练1：解：(1)∵－x 2＋7x >6，∴－x 2＋7x －6>0.∴x 2－7x ＋6<0，∴(x －1)(x －6)<0. ∴1<x <6，即不等式的解集是{x |1<x <6}．(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0，因式分解得(x －m )[x －(m ＋1)]<0. ∵m <m ＋1，∴m <x <m ＋1.即不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．例2：解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a 或x ≤－1；当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a .综上所述，当a >0时解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当a ＝0时解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .变式训练2：解：将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．例3：解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.变式训练3：解：∵α、β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝ca .∵a <0，∴cx 2＋bx ＋a >0同解变形为c a x 2＋bax ＋1<0.由根与系数关系将α、β代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1<0. 即αβ⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，由0<α<β，可知1α>1β. 所以不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1β<x <1α.随堂练习： 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A【解析】由已知方程有两实数根得：Δ≥0，解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19， ∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.4．【答案】a >12【解析】f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .∴a >0且Δ＝1－4a 2<0，∴a >12.5．解：∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧13－12＝－p 13×⎝⎛⎭⎫－12＝q，∴⎩⎨⎧p ＝16q ＝－16，∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0，∴－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 6．解：①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1>0，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12；②当a <0时，Δ＝4－4a >0，此时不等式为x 2－2a x ＋1a <0，由于方程x 2－2a x ＋1a ＝0的两根分别为1－1－a a ，1＋1－a a ，且1－1－a a >1＋1－aa ，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎪⎫x |1＋1－aa<x <1－1－a a ； ③当a >0时，若0<a <1，则Δ>0，此时不等式即x 2－2a x ＋1a >0.∵1－1－a a <1＋1－a a ，∴当0<a <1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－1－a a 或x >1＋1－a a . 若a ＝1，则不等式为(x －1)2>0，∴当a ＝1时，不等式解集为{x |x ∈R 且x ≠1}；若a >1时，则Δ<0，不等式解集为R .综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＋1－a a <x <1－1－a a ；当a ＝0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1－1－a a 或x >1＋1－a a ；当a ＝1时，不等式的解集为{}x | x ∈R 且x ≠1；当a >1时，不等式的解集为R .。

高中数学学案 3.2 一元二次不等式及其解法(1)

高中数学学案 3.2 一元二次不等式及其解法(1) 靳寺职中高二数学3.2 一元二次不等式及其解法（1）课前预习学案【知识准备】1．我们把，并且不等式，称为一元二次不等式． 2．不等式ax?3?0的解集是．3．若将不等式?x2?bx?c?0的二次项系数化为正数，则不等式化为．【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式． 2．探究方程的根与二次函数的零点的关系． 3．探究不等式x2?5x?0的解集．【提出疑惑】1．不等式x2?5x?0与x2?5x?0的解集之间有什么关系？规律是什么？2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式x2?5x?0与二次函数y?x2?5x 的零点为例进行探究．3．如何将不等式ax2?bx?c?0(a?0)进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法； 2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)与ax2?bx?c?0(a?0)？ 2．如何解一般的一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)？【合作探究】1．探究不等式x2?5x?0与二次函数y?x2?5x的零点之间的关系．2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格 ??0 ??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?c (a?0)的图象一元二次方程 ax?bx?c?0 ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集 2 无实根 ?b?xx???? 2a?? ? 2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．第 1 页共 3 页靳寺职中高二数学3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．例1(课本第78页)求不等式4x2?4x?1?0的解集．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式?x2?2x?3?0．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“?”：A?axbx2?c??0(或?0) (a?0)．②计算判别式?，分析不等式的解的情况：�。

人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 －＋＋＋ x －2 －－＋＋ x －3 －－－＋(x －3)(x －2)·(x －1) －＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}．一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项调整前调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0，即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0，解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0，即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二设lg x －1＝t ，则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三解方程lg x －1＝3－lg x ，解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数．且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )，则10≤x ≤100.方法四令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )．即lg x －1≤3－lg x 成立．由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2，解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1，其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

【新课标必修】《一元二次不等式及其解法(一)》同步学案

3.2一元二次不等式及其解法(1)一、课前预习新知（一）、预习目标：初步理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。

会求一元二次不等式的解法。

（二）、预习内容：阅读教材填空：回答下列问题：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：x =2、一元二次不等式的概念：理解：1）、只含有个自变量；2）、自变量最高次数为次；3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与,,,c b a △的关系：4、若)0(2≠++=a c bx ax y ，02>++c bx ax ，即y 0，即函数图象在x 轴的________02<++c bx ax ，即y 0，即函数图象在x 轴的________02=++c bx ax ，即y 0，即_________________________ 5、三个“二次”的关系0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程20ax bx c ++= )0(≠a有两相异实根1212, ()x x x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 无实根 20ax bx c ++>(0)a >的解集20ax bx c ++<(0)a >的解集02≥++c bx ax(0)a >的解集02≤++c bx ax6、解不等式（1）、0152>-+x x （2）、032<--x x二、课内探究新知（一）、学习目标1 正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。

熟练掌握一元二次不等式的解法。

学习重点：一元二次不等式的解法学习难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系。

．（二）、学习过程1．核对预习学案中的答案2．思考下列问题观察要解得不等式x 2-5x ≤0，左边代数式是哪个函数的解析式？左边代数式的值是0是不等式变成了什么形式？你能借助由“三个一次”的联系解一次不等式的方法尝试找到“三个二次”的联系，求解一元二次不等式吗？求不等式x 2-5x ≤0的解集。

高中数学 3.2一元二次不等式的解法(1)导学案(无答案)苏教版必修5

（1）；（2）．
6．不等式的解集为__________________________________．
7．已知一元二次方程的解根是，，且，
那么的解集是__________________________________________．
8．解下列不等式：
（1）；（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）；
（3）；（4）．
9．求下列函数的定义域：
【课堂研讨】
例1解下列不等式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
利用一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系求解不等式。
例2.解不等式：．
例3.求下列函数的定义域.
(1). ; (2).
解决与一元二次不等式求解有关的问题。
小结：1.当时，一元二次不等式（或）的解集
与二次函数图象及一元二次方程的解的关系：
根的情况
2.公式法（请自己总结）.
【学后反思】
课题：3.2一元二次不等式的解法（1）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．解下列不等式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．函数的定义域为_________________________．
3.设集合，，则 =
【课后巩固】
1．不等式的解集是
课题：3.2一元二次不等式的解法（1）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】学习目标：
1、通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2、会解一元二次不等式。
【课前预习】课前预习
1．一元二次不等式和相应的二次函数是否有内在的联系？
2．一元二次不等式的定义：

3.2一元二次不等式及其解法(一)教学设计

（ 2 ）以上三个
环节借助二次
（1）回忆旧知，寻找方不等式的方法。函数图象的直案观性，引导学生（4）学生先自主探究课本上包含引
观察一元二次不等式 x -20x+84≤0 左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？一
2 2
例在内的三道例题，学习其规范的解题格式，并思考解一元二次不等式的一般步骤。在教师的引导下，展开课堂讨论，师生共同总结出解一元二次不等式的四个步骤。
1.课前要做好解一元二次方程的复习工作，在课堂练习中我发现有些学生并不是不知道解一元二次不等式的方法，而是解不出一元二次方程，这要求我们在课前要做好充足的复习工作 2.课后要加强对以下几个问题的指导，（1）对二次项系数小于 0 的一元二次不等式求解问题的归纳；（2）对一些同学提出的用等价转换思想求一元二次不等式的问题八、板书设计（本节课的主板书）
2
看一看
变一变
（1）方程 x -20x+84=0 的根是（2）不等式 x -20x+84≥0 的解集
2
是（3）不等式 x -20x+84≤0 的解集是
2
化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了△>0、△=0、
（3）类比讨论，获得解法
环节四：ห้องสมุดไป่ตู้
△<0 对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性。
3. 求不等式 log2x2≤log2(3x+4) 的运算错误等做详细点评。
4.求函数 y= x 2 - 4 的定义域.
并能结合函数定义域和对数函数等内容，可以有效帮助学生实现知识间的融会贯通。
4.总结—反思