NA序列部分和的完全收敛性的等价关系

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NA序列对数律的收敛性

NA 序列对数律的收敛性梁汉营苏淳(中国科学技术大学统计与金融系,合肥230026)摘要通过对NA 序列对数律收敛速度的研究,得到了与独立同分布(iid)实值随机变量序列极为类似的结果,作为推论,得到了NA 阵列有界对数律的一个充分性结果,同时肯定地回答了Gut 于1980年对iid 实值随机变量序列的一个猜想,在弱于苏淳和秦永松的矩条件下,得到其定理1的强收敛性结果.关键词 NA 序列对数律收敛性设{X n ,n \1}为一随机变量序列,记S n =E ni =1X i ,L (x )=max(1,log x ).NA(Negatively associated)随机变量在可靠性理论、多元统计分析及渗透理论等方面有广泛的应用,这个概念是Joag_Dev 和Proschan 于1983年提出的[1].近年来Matula [2],Rous 2sas[3],苏淳[4~7],Shao 1)等人在这方面有过很多研究.Gut [8]于1980年猜想如下结果:定理A 设{X ,X n ,n \1}为实值iid 对称的随机变量序列,若对某G >0,有EX 2(L (X ))-1+G<],则P E >0,( )E ]n=11n P (S n \E (nL (n))1/2)<];( )E]n=11nP max 1[k [nS k \E (nL (n ))1/2<].反之( )]( )]EX 2/L (X )<]且EX =0.1997年苏淳和秦永松[6]证明了下述结果:定理B 设{X n ,n \1}为零均值的NA 序列,对某随机变量X ,P (X n \x )[P (X \x ),P x >0,P n \1.若EX 2<],则对任何A >0,有S n =o(n 1/2ln A n), a.s.本文一律用C 表示正常数,其值在不同之处可表示不同的值.首先对NA 序列证明与Lai [9]关于iid 序列的一个类似结果:定理1 设r >2,{X,X n ,n \1}为同分布的NA 序列,记S (k)n =S n -X k .则存在某个M >0使得下列条件等价:( )E [X 2/L(X )]r /2<]且EX =0;( )E ]n=1n r/2-2PMax 1[k [nS (k)n \3E (nL (n))1/2<] P E >M;1)Shao Q M.A comparison theorem on maximal inequalities between negatively associated an d i ndependent random variables.Ann Probab,to appear1919( )E ]n=1nr/2-2P Max 1[k [nS k\E (nL(n))1/2<] P E >M.注1 若{X n }为iid 随机变量序列,M =(r -2)EX 2,则Lai [9]于1974年证明过此结论,在定理1中,( )不同于iid 情形.下面对NA 序列证明并改进与定理A,B 相应的结果:定理2 设{X ,X n ,n \1}为同分布的NA 序列.对任何A >0,存在0<G [1满足2A +G -1>0.若EX 2(L (X ))-1+G<]且EX =0,则P E >0,有( )E ]n=11n P (S n \E #n 1/2ln A n )<];( )E ]n=11n P max 1[k [n S (k)n \E #n1/2ln An <];( )E]n=11nP max 1[k [nS k \E #n 1/2ln A n <].反之( )]( )]EX 2(L (X ))-2A<]且EX =0.其中S (k)n =S n -X k .注2 从证明过程可知,上面定理1中的NA 序列用{X nk ,1[k [n ,n \1}并且对某随机变量X ,P (X nk \x )[CP(X \x )(P x >0)的NA 阵列来代替,可得与( )]( )的相类似的结果,此时EX =0改为EX n =0.下面记S nk =E ki =1X ni .于是得推论1 设{X nk ,1[k [n ,n \1}为零均值的NA 阵列,存在某随机变量X 使得P (X nk\x )[CP (X \x ),P x >0.若E (X 4/(L(X ))2)<],则存在M >0,有lim sup n y ]S nnnL(n)[M, a.s.. 推论2 设{X n ,n \1}为零均值的NA 序列,对某随机变量X,P(X n \x)[CP (X \x ),P x >0.对任何A >0,存在0<G [1满足2A +G -1>0.若EX 2(L(X ))-1+G<],则S n =o(n 1/2ln A n), a.s.. 注3 显然EX 2(L(X ))-1+G<]弱于EX 2<],从而推论2是对定理B 的一个实质性改进.引理11) 设{X j ,1[j [n}为零均值的NA 变量,方差有限,记B n =E nj =1EX 2j ,则对任何x >0,A >0和0<B <1,有Pmax 1[k [nS k\x [2P (max 1[k [nX k>A )+21-B exp -x 2B 2(A x +B n )1+23ln 1+A x B n .定理1的证明先证( )]( )记K n =52E n /L(n),Q n =E4nL (n )并记X (1)nj =-K n I (X j <-K n )+X j I (X j [K n )+K n I (X j >K n ),1)参见1919页脚注1)1920X (2)nj =(X j -K n )I (K n <X j <Q n ),X (3)nj =(X j +K n )I (-K n >X j >-Q n ),X (4)nj =(X j +K n )I (X j [-Q n )+(X j -K n )I (X j \Q n ).S (i )nk =E kj =1X (i )nj ,i =1,2,3,4,1[k [n.于是显然有S k =E 4i =1S (i )nk ,1[k [n.则E ]n=1nr /2-2P (max 1[k [n S k\E (nL (n ))1/2)[E ]n =1nr /2-2P max 1[k [nS (1)nk\E 4#(nL(n))1/2+E ]n =1nr/2-2P max 1[k [nS (2)nk\E 4#(nL(n))1/2+E ]n=1n r/2-2Pmax 1[k [nS (3)nk \E4#(nL(n))1/2+E ]n =1nr /2-2P max 1[k [nS (4)nk\E 4#(nL(n))1/2¦I 1+I 2+I 3+I 4.由E [X 2/L (X )]r/2<],易证I 4=E ]n=1nr/2-1P(X >Q n )[E ]n=1nr/2-1P(X 2/L(X )\Cn)[E [X 2/L(X )]r/2<].由X (2)nj 的定义可知S (2)nk \0.于是从NA 序列的定义有I 2=E ]n =1n r /2-2P (max 1[k [nS (2)nk\Q n )[E ]n=1nr/2-2PE nj =1X (2)nj \Q n[E ]n =1n r /2-2P (至少有两个j,使X (2)njX 0)[E ]n =1nr /2-2E1[i<j [nP (X i >K n ,X j >K n )[E ]n =1n r /2P 2(X >K n )[E ]n=1nr /2P 2(X 2/L (X )\Cn /(L (n ))2)[E ]n =1n-r/2(L (n ))2r <].同理知S (3)nk [0,类似有I 3=E ]n=1nr/2-2P (S (2)nk <-K n )<].由EX =0及E[X 2/L(X )]r/2<]得max 1[k [nES (1)nk /(nL (n ))1/2[n(nL (n))1/2[K n P(X >K n )+E X I (X >K n )]y 0 (n y ]).为此,欲证( )成立,只需证明I *1¦E ]n =1n r /2-2Pmax 1[k [nS (1)nk -ES (1)nk \E5#(nL (n ))1/2<].事实上,利用引理1,取A =5E n/L (n ),x =E5nL (n),B =12,并注意到1921max 1[k [n X (1)nk-EX (1)nk[2K n =A,B n =E nk=1E (X (1)nk-EX (1)nk )2[nEX 2,I *1[4E ]n=1nr/2-2exp -1/2#E 2/25#nL (n)2(n +nEX 2)[E ]n=1nr/2-2-E 2/100(1+EX 2)<].这里取M =10(r -2)(1+EX).( )]( )类似于文献[5]中定理的证明.现证( )]E[X 2/L(X )]r/2<].由于S (n)n =S n -1,n \2,所以由( )可得E ]n=1nr/2-2P(S n \E (nL (n ))1/2)<], 某E >0.(1)又X k =S n -S (k)n [S n +S (k)n ,于是从( )和式(1)得E ]n =1nr /2-2P (max 1[k [nX k\E (nL (n))1/2)<], 某E >0.(2)式(2)蕴涵E ]m=02m(r/2-1)P (max 1[k [2m X k\E (2m L (2m ))1/2)<], 某E >0.(3)注意max 2m-1[k<2m P (max 1[k [nX k\E (nL (n))1/2)[P (max 1[k [2m X k\E (2m-1L (2m-1))1/2),所以由式(3)可推得P (max 1[k [nX k\E (nL(n))1/2)y 0 某E >0,n y ],(4)由文献[7]中引理3,式(4)蕴涵对较大的n ,nP(X\E (nL (n ))1/2)[CP (max 1[k [nX k\E (nL (n))1/2),从而由式(2)得E ]n=1nr /2-1P (X \E (nL (n ))1/2)<],这显然等价于E [X 2/L(X )]r /2<].下面证明EX =0.由上面的证明可知E X <],于是由文献[7]中的推论3知E ]n=11nP (S n -nEX \E n)<],P E >0.(5)又由已知推得E]n=11nP (S n \E n )<],P E >0.(6)显然式(5)和(6)蕴涵EX =0.定理2的证明 ( )]( )显然成立.类似于文献[5]中定理的证明可得( )]( ).为此只需证明( )成立.选取0<B [A 且满足2(A -B )+G -1\0,记K n =n1/2lnA -Bn.令Y ni =-K n I (X i <-K n )+X i I (X i [K n )+K n I (X i >K n ),则{Y ni ,1[i [n ,n \1}仍为NA 序列并记S nk =E ki =1Y ni ,T nk =S k -S nk .于是1922E ]n=11n P (max 1[k [n S k \E #n1/2ln An )=E ]i=0E2i+1-1n =2i1n P (max 1[k [n S k\E #n 1/2ln A n )[E]i=0max 2i [n <2i+1Pmax 1[k [nS nk \E2#n 1/2ln A n +E]i=0max 2i [n<2i+1P max 1[k [nT nk \E2#n 1/2ln A n ¦J 1+J 2.由EX 2(L (X ))-1+G<]知E ]k=12k #k 2(A -B )+G -1P(X 2(L(X ))-1+G\2k #k 2(A -B )+G -1)=E ]k=12k#k2(A -B )+G -1E ]m=kP(2m#m2(A -B )+G -1[X 2(L (X ))-1+G<2m+1#(m +1)2(A -B )+G -1)=E ]m=1P (2m#m2(A -B )+G -1[X 2(L(X ))-1+G<2m+1#(m +1)2(A -B )+G -1)E mk=12k#k2(A -B )+G -1[C E ]m=12m #m 2(A-B )+G -1P (2m #m 2(A -B )+G -1[X 2(L (X ))-1+G<2m+1#(m +1)2(A -B )+G -1)[CEX 2(L (X ))-1+G<].(7)利用式(7),并注意2(A -B )+G -1\0得J 2[C E ]i=12i P (X >2i /2ln A -B 2i )[C E ]i=12i P (X 2(L(X ))-1+G\2i #i 2(A -B )+G -1)[C E ]i=12i #i 2(A -B )+G -1P (X 2(L(X ))-1+G\2i #i 2(A -B )+G -1)[CEX 2(L (X ))-1+G<].由EX =0,利用分部积分法有max 1[k [nES nk /n 1/2ln A n [n n 1/2ln A n[n 1/2ln A-B nP(X >n 1/2ln A -B n)+EXI (X >n 1/2ln A -Bn)][n ln B n 2P (X >n 1/2ln A -B n )+Q ]1P (X >y #n 1/2ln A -B n )d y[n ln B n2P (X 2(L (X ))-1+G\Cn ln2(A -B )+G -1n)+Q ]1PX 2(L(X ))-1+G\Cy 2#n ln 2(A -B )+G nL (y )+L(n)d y[Cln2A -B +G -1n 1+Q]1L (x )y 2+1y 2d y y 0,(n y ]).于是,为证J 1<],只需证明1923J *1¦E]i =0max 2i [k<2j+1P (max 1[k [nS nk -ES nk\E #n 1/2ln A n )<],P E >0.事实上,对正整数q,因为E Y nkq=K q n P (X >K n )+E X q I (X[K n )=K q n P (X 2>K 2n )+Q K 2nxq/2d (-P (X 2>x ))=q2Q K 2nxq/2-1P (X 2>x )d x.(8)因此利用文献[4]中的定理2,选取p >max 2,1A ,22A +G -1,并注意式(8),J *1[C E ]i=1max 2i[n<2i+1n -p/2ln -pan Enk=1E Y 2nk p /2+E n k =1EY nkp[C E]i=1max 2i [n<2i+1n-p/2ln-p AnnQK2nP (X 2>x )d xp/2+nQK 2nx p/2-1P(X 2>x )d x[C E ]i=1i-p AQ2i+1l n2(A -B )2i+1P(X 2>x )d xp /2+CE ]i=12-i (p/2-1)#i-p AQ2i+1ln2(A -B )2i+1x p /2-1P (X 2>x)d x¦J 3+J 4.由EX 2(L (|X |))-1+G<]并注意p2(2A +G -1)>1及式(7)有J 3[CE ]i =1i-p A+CE ]i=1i-p AE ik=1Q 2k+1l n2(A -B )2k+12kln2(A -B )2kP (X 2>x )d xp /2[C +C E ]i=1i-p AE i k =12k #k 2(A -B )P(X 2>2k ln 2(A -B )2k)p /2[C +C E ]i=1i-p A Eik =12k #k 2(A -B )+G -1P (X 2(L (X ))-1+G\2k #k 2(A-B )+G -1)#k 1-G p/2[C +C E ]i=1i -p2(2A +G -1)[EX 2(L (X ))-1+G ]p /2<].类似地J 4[C E ]i=12-i (p/2-1)#i -p AQ2i+1l n 2(A-B )2i+1x p/2-1P (X 2>x )d x[C E ]i=12-i (p/2-1)#i-p A+C E ]i=12-i (p/2-1)#i-p AE ik=1Q 2k+1ln2(A -B )2k+12kl n2(A -B )2kx p /2-1P (X 2>x)d x[C +C E ]i =12-i(p /2-1)#i-p AE ik=1(2k ln 2(A -B )2k )p /2P(X 2>2k ln 2(A-B )2k)=C +CE ]k=1(2kln2(A -B )2k )p/2P (X 2>2kln2(A -B )2k)E ]i =k2-i (p/2-1)#i-p A1924[C +C E ]k=12k #k -p BP (X 2(L(X ))-1+G\2k #k 2(A -B )+G -1)[C +CEX 2(L (X ))-1+G<].反之,( )]( )类似于文献[5]中定理的证明.( )]EX 2(L(X ))-2A<]及EX =0类似于定理1( )y ( )的证明即可得证.推论2的证明由定理2的( )得]>E]n =11n P (max 1[k [n S k\E #n 1/2ln A n )=E ]i=0E2i[n<2i+11n P (max 1[k [n S k\E #n 1/2ln A n )\12E ]i =1P (max1[k [2iS k \E #2(i+1)/2ln A 2i+1).由此得max 1[k [2i S k 2i /2ln A 2iy 0 a.s. i y ],从而max 2i[n<2i+1S n n 1/2ln A n [2A +1/2max 1[k [2i+1S k2(i+1)/2ln A 2i+1y 0 a.s. i y ],即S n =o(n1/2ln An) a.s..致谢本工作为国家自然科学基金(批准号:19671078)和国家教委博士点基金及中国科学院特支经费资助项目.参考文献1 Joag_Dev K,Proschan F.Negative association of random variables with applications.Ann Statist,1983,11:286~2952 Matula P.A note on the almost sure convergence of s ums of negativel y dependence random variables.Statist Probab Lett,1992,15:209~2133 Roussas G G.Asymptotic normality of random fields of positively or negatively as sociated processes.J Multi v Analysis,1994,50:152~1734 苏淳,赵林城,王岳宝.NA 序列的矩不等式与弱收敛.中国科学,A 辑,1996,26(12):1091~10995 Su Chun (苏淳).A theorem of Hsu_Robbins type for negatively associated sequence.Chinese Sci B ull,1996,41(6):443~4466 苏淳,秦永松.NA 随机变量的两个极限定理.科学通报,1997,42(3):243~2467 苏淳,王岳宝.同分布NA 序列的强收敛性.应用概率统计,1998,14(2):131~1408 Gut A.Convergen ce rates for probabilities of moderate devi ations for sums of random variables with multidimensional i ndices.Ann Probab,1980,8(2):298~3139 Lai T L.Limi t th eorems for delayed sum s.Ann Probab,1974,2:432~440(1998201221收稿)1925。

不同分布NA序列加权和完全收敛性

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应用数学
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＡＰＰＬＩＡＴＡＣＡＣ
２０，５３１６ｌＯ０２１（）：Ｏ～ｌ
不同分布ＮＡ序列加权和的完全收敛性
蔡光辉
（江大学西溪校区数学系，江杭州３Ｏ２）浙浙１Ｏ８
定理１设｛， ≥ １是ＮＡ随机变量序列，Ｘ一０ＥＸＸｉ）Ｅ，一１ｉ１ … ，．存在随机，一，ｎ若
摘要：文讨论了不同分布ＮＡ随机变量序列加权和的完全收敛性，得了较［］中本获７
的定理１及定理Ａ更为一般的完全收敛性，得到了完全收敛速度与矩条件之间的并
等பைடு நூலகம்价关系．
０ｉ１…，则还有Ｅ Ⅱ －（，一，ｍ，（厂ｘ，Ｊ∈Ａ）≤ ＩＥｘ，）Ｉ（ｆ（ ∈Ａ）．）
ｉ＝ｌｆｌ＝
本文中恒记Ｃ一 ∑ ｎＳ一 ∑ ｎｘ，为实数，一Ｓ一Ⅱｘ，《” ，越ｓ ” 表示” ” Ｏ．
称随机变量ｘ ”，（Ｘ ≥ ２）为ＮＡ（ｇｔｅｙＡｓｏｉｔｄＮｅａｉｌｓｃａｅ）的，果对于集合｛，，ｖ如１ … ）
中的任何两个不相交的非空子集Ｔ和Ｔ，有Ｃｖｆ（， ∈ Ｔ）ｆ（，都ｏ（。Ｘｉ。，２Ｘ， ∈ Ｔ） ≤ ０其），

《商丘师范学院学报》(自然科学)2008年总目次

王平（．１）９０５
配位超分子［（ｈｎ：ｌ］ｃＨｃＨ的合成、Ｍｎｐｅ）Ｃ．６５００结构半正奇异多点边值问题的正解 ……… 徐娟娟，平（．１）康９０９及表面光一电性能 ……… 牛淑云，张丽，晶（．０）用广义逆刻画斜幂等阵的性质 ………………………… 金３０１基于节能一减排的我国工业行业分类研究 ……… …… 陈孝娟，张伟，郭文彬（．２）９０５孙根年（．ｏ）Ｌ拓扑空间中的０紧性 … … 闺彪，春花，３ｏ７一一何孟广武（．２）９Ｏ８湖南省莽山地区蝗虫的调查 ……… 郑哲民，谢令德（．ｏ）６ｏ１类ｐ）Ｌａｅ程解的存在性 …… ……………… （一印ｌｃ方樱桃坏死环斑病毒研究进展 ………… 王关林，郑玮（．０）６ｏ６元春梅，钦福（．３）孙９０１壳寡糖和聚丙烯酸的自组装行为 … … … … … … … … … Ｔｉ０ｉｎ１ｓｓｆｒｄｓｒｔｉｅｅｃｑａｉｎｍｅｄｍａｎａａｖｉｌｉｃｅｅｄｆｒｎｅｅｕｔｏ０ｆ曾尔曼，杨雪慧，陈丹梅，（．０）等９０１０ｉｃｅｅ１ｅｒｓｓｅｃｎｒｌｂｅＤｂｅｓＩｓａ＿ｎｄｓｒｔｉａｖｔｍｏｔ＿ｌｌｍｌｍ’ ｌｅＩｈｎ０ａｅｃ应用ＡＥＭ模型计算金属钛菁化合物的电荷分布 … ＢＥＤＮｈ —ｉ．ＩＧＹ，ＥＬｉ９Ｏ４ＥＧＳｕｘａＤＮｕＧｅ（．３）ｎ张莹，东霞，忠志（．０）赵杨９０５致光滑空间增生的李普希兹算子的一种迭代方法氧空位对Ｆ掺杂ｚＯ的铁磁性的影响 ……………… ｅｎ韩云芷（．３）９０８

NA序列加权和的完全收敛性

ｍｕ推论设｛ｎｎ）Ｎ￣ｌ０ｐ＜ｌｓｎ－ｘ，是Ａ）Ｊ＜，２．ｉｐ１
—
ＥＩｘＩ，
（
）
０，ｍｘＳ一则ａ（￣
）
０ｎ ÷ 。，－ｏ・
推论２设｛１Ｎｘ，）Ａ序列，ｎ是
相交子集与Ａ均有Ｃｖｆ（ ∈ ）ｘ，，２０，其中，，是使上式有意义且对各变元非降（２ｏ（￣，，ｘｉＬ（，∈Ａ）．）ｉ２＝１或同时
对各变元非升）函数。的称随机序列｛ｎ１是Ｎ的，如果对任意ｎ２Ｘ，：…，ＮＡ的。Ｘ，）Ａ，，Ｘ是Ｘ
ｋ１
性。
２主要结果及证明
定理１｛，）ＮＡ序列，｛ｎ１是满足条件设ｘｎ１是ｎａ，）ｎ。ｌＯｎ＇）＿（－ｐ的常数列，０Ｐ＜／＜２，若
一
ｌ￣ｉｕｍｓｐ
１
ＥＩｋ。Ｉｘｌｘ）Ｘ（ｋ２Ｉ
厂（＇）是Ｎ埘ｘ，∈ 『仍Ａ的．引理２设｛ｎ１是Ｎｘ，≥ ｝Ａ零均值序列，０２，且ＥＩ＜ｏ＝１，ｎ，则有＜ＰＩｏｘ，ｉ， …，２
Ｅ。）ｃＥｌＸ
证明：当０Ｉ，由Ｊｎｅ＜Ｐ时ｅｓｎ不等式得
ＥｍＳＩ＝（。ｘ。 ≤ （Ｉｊ）Ｅｍｘａｘ￣ａ）Ｅ
当１２，由文［】＜Ｐ时２定理２可得．
（ｘ。）Ｅ。ｃＩ・。）（ｘＩ）ＺＥＩｘ

随机变量的几种收敛及其相互关系

论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。

概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。

主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。

给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。

本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。

关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 Sn (x) xn ,
0,
和函数 S(x) lim Sn (x)
n
1,
0 x 1 x 1
该和函数在 x＝1 间断.
又如, 函数项级数
因为对任意 x 都有:
sin n2x n2
1 n2
(n 1, 2, )
所以它的收敛域为(, ) , 但逐项求导后的级数
1 n2
收敛, 由Weierstrauss判别法知所给级数
在(, )上一致收敛 .
说明: Weierstrauss判别法不仅能判别级数的一致收
敛性, 而且能判别其绝对收敛性.
当不易观察到不等式 un (x) an 时，可利用导数求
an sup un (x)
xI
例如, 级数
n1
nx 1 n5x2
nx 1 n2
x2
在(0,1)和(1,
)上是否一致收敛？
解： x,
lim
n
fn ( x)
0.
当1 x 时,
nx
nx 1 1
fn ( x) f ( x) 1 n2 x2 n2 x2 nx n
n sup
x(1, )
fn(x)
f (x)
10 n
一致收敛
当0 x 1时,
而n sup
x
lim
n x0
Sn (x)d
x
x
x0
S ( x) d
x
根据级数的一致收敛性, 0, N N( ),使当
n > N 时, 有
S(x) Sn (x)
ba
于是, 当 n > N 时, 对一切 x0, x [a,b] (x0 x), 有

级数等价的条件

级数等价的条件级数等价是数学中一个重要的概念，它描述了两个级数在某种意义上“相等”的关系。

在本文中，我们将讨论级数等价的条件，并通过具体的例子来加深理解。

我们来定义什么是级数。

级数是由一列数相加而得到的无穷和。

形式上，一个级数可以表示为S=∑an，其中an是级数的通项。

级数等价即指两个级数在求和过程中得到相同的结果。

我们来看一下级数等价的条件。

首先，两个级数必须具有相同的通项。

这是因为级数的求和过程依赖于通项的性质，如果两个级数的通项不同，那么它们的求和结果也必然不同。

两个级数的部分和序列必须收敛到相同的极限。

部分和序列是级数求和过程中的中间结果，它表示了级数截止到某一项的和。

如果两个级数的部分和序列收敛到不同的极限，那么它们的求和结果也将不同。

两个级数的收敛性质必须相同。

具体来说，如果一个级数收敛，那么与它等价的级数也必须收敛；反之亦然。

这是因为级数的收敛性质与其部分和序列的极限有着密切的关系，如果两个级数的收敛性质不同，那么它们的求和结果也将不同。

两个级数的等价性是一个相互的关系。

如果级数A等价于级数B，那么级数B也等价于级数A。

这是因为级数等价的定义是对称的，不存在先后顺序的差别。

现在我们通过一个例子来加深理解。

考虑级数A=1+1/2+1/4+1/8+...和级数B=1+1/3+1/9+1/27+...，它们的通项分别为an=1/2^n和an=1/3^n。

首先，我们可以观察到两个级数具有相同的通项，即它们的通项都是一个等比数列。

其次，我们可以计算出级数A的部分和序列为Sn=2-1/2^n，级数B的部分和序列为Sn=3/2-1/2^n。

可以发现，当n趋向于无穷大时，级数A和级数B的部分和序列都收敛到2。

因此，我们可以得出结论，级数A等价于级数B，并且它们的和都是2。

级数等价的条件包括相同的通项、相同的部分和序列极限以及相同的收敛性质。

通过理解和运用这些条件，我们可以判断两个级数是否等价，并求出它们的和。

随机变量序列的几种收敛性及其关系000

本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。

高等数学第2章第2节收敛数列的性质

§２收敛数列的性质引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限．２有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛．３保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注在应用保号性时，经常取2'aa =．４保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则l i m l i m n n n n a b →∞→∞≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具．下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６极限的四则运算法则定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有 lim lim lim nn n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例；例3 求 nn n n n 113lim++∞→例4 求 65214lim 22-++∞→n n n n类似可求 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.例6求n .例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭ . 二数列的子列１．引言极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”．２．子列的定义定义１设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．注若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．例7 证明 }2{sinπn 发散．作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。

NA序列部分和的矩完全收敛性

NA序列部分和的矩完全收敛性
王定成; 赵武
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】2006(021)004
【摘要】讨论了NA序列部分和的矩完全收敛性,在一定条件下获得了NA序列矩完全收敛的充要条件,显示了矩完全收敛和矩条件之间的关系,将独立同分布随机变量序列矩完全收敛的结果推广到NA序列,得到了与独立随机变量序列情形类似的结果.
【总页数】6页(P445-450)
【作者】王定成; 赵武
【作者单位】成都电子科技大学应用数学学院四川成都 610054; 成都电子科技大学管理学院四川成都 610054
【正文语种】中文
【中图分类】O211
【相关文献】
1.φ͂混合序列部分和的完全收敛性质 [J], 王瑶;黄海午
2.行(ρ)混合阵列部分和最大值的矩完全收敛性 [J], 夏宝飞;吴群英;郭津
3.(φ)混合随机变量序列最大部分和的完全收敛性 [J], 黄敏
4.WOD随机变量序列的完全收敛性和矩完全收敛性 [J], 章茜; 蔡光辉
5.AANA序列加权和的完全收敛性和矩完全收敛性 [J], 高萍
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序列的收敛性与子序列的收敛性

序列的收敛性与子序列的收敛性摘要:本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass 定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。

关键词: 序列；子序列；收敛；极限1 引言在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系;本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。

2 序列和子序列的定义及其相互关系2.1 序列和子序列的定义定义：若函数f 的定义域为整个全体正整数集合N +，则称 :f N R +→ 或 (),f n n ∈N + 为序列。

因为正整数集合N +的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列)(n f 也可以写为1234,,,,,,na a a a a 或者简单地记为{}n a ，其中n a 称为该序列的通项。

序列可分为有界序列，无界序列，单调序列，常序列或周期序列等。

从序列{}n a 中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序列中的顺序排成一列： 1n a ，2n a ，，k n a ，又得一个新的序列{}k n a ，称为原来序列的子序列。

易见{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，所以总有k n k >，事实上{}n a 本身也是{}n a 的一个子序列，且是一个最大的子序列（k n =k 时）。

2.2序列与子序列之间的若干关系定理1（Bolzano-Welerstrass ）：若序列{}n a 有界，则必存在收敛子序列{}kn a ，若序列{}n a 无界，则必存在子序列{}k n a ，使kn a∞→（或k n a -∞→）.证明：（1）不妨设{}n a 中有无限多个不同的项，否则结论显然成立．用有限覆盖定理(见注释①)来证明结论．设序列{}n a 为一有界序列，则存在,m M ，使 n m a M ≤≤ ()1,2,n =下面先证明在[],m M 中存在一点c ，使该点任一邻域内有{}n a 中的无穷多项．用反证法,若此断言不成立，则对任意[],a m M ∈都存在一邻域(),a a a a δδ-+，0a δ≠在此邻域内它有{}n a 中的有限项，()[]{},,,a a a a a m M δδA =-+∈构成[],m M 的一开区间覆盖．由有限覆盖定理,存在有限子覆盖，即存在*j a ()1,2,,j k = ，使 []()****1,,jjk j j a aj m M a a δδ=⊂-+依反证假设，()****1,jjk jj a a j aa δδ=-+ 中至多含有{}na 的有限项与()1,2,n m a M n ≤≤= 矛盾．据以上证明，存在()11,1n a c c ∈-+，又在11,22c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中，存在一项2n a 使21n n >，否则与c 的任何邻域中有{}n a 的无穷项矛盾，同样我们可以在11,33c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中找到一项3n a ，使32n n >> 在11,c c k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中找到一项k n a 使1k k n n ->> ，最终得到一个序列{}k n a 满足：（i ） {}k n a 是{}n a 的子序列（ii ） 1k n a c k-<于是，由（i ）和（ii ）知，k n a 是n a 的收敛子序列．（2）另外对于无界序列{}n a ，则可以利用序列无界定义，类似（1）后面一部分可以证明出存在子序列{}k n a ∞→.例1：对于有界序列(){}1k-，它存在子序列(){}21k-收敛于1，当k →∞.例2：对于无界序列{}n ，它的一切子序列都发散到+∞.以上是关于序列与其子序列在序列有界和无界的情况下进行的关系探讨，进一步对于单调有界序列分析，我们有如下定理：定理2：若{}n a 为单调有界序列，{}k n a 为{}n a 的一个子序列，且有k n a a →，()k →∞则有n a a → ()n →∞．证明：由于{}n a 是单调有界序列，可根据序列单调有界定理(见注释②)知道，{}n a 收敛，而lim n n a →∞存在，现假设记为b ，即l i m n n a b →∞=，由定义，对0ε∀>，∃1N ，使当1n N >时候，有2n a b ε-<由于{}k n a 是{}n a 的子序列，且k n a a → ()k →∞，故对上述0ε>，∃2N >0，使当k n >k >2N 时，就有2k n a a ε-<又取{}12max ,N N N =，当k N >时，就有2k n N >，于是有：2k n a b ε-<由k k k k n n n n b a b a a a b a a a -=-+-<-+-=k k n n a b a a -+-22εε<+=ε即有 a b =成立，所以lim n x a a →∞=成立.例 3设序列n a =，{}2k a 为{}n a 的一个子序列且有22k a →，()k →∞, 则有2n a → ()n →∞.3 序列与子序列的三个定理定理3：序列{}n x 收敛于a 的充要条件是它的任何子序列{}k n x 也都收敛于同一个极限a ．证明：依题意，设lim n n x a →∞=，{}k n x 为{}n x 的一个子序列，于是对于任给的0ε>，存在N ，使得n N >当时就有n x a ε-<，因为{}k n x 是{}n x 的子序列，故有k n k ≥，所以当k N >时, k n N >, 从而有：k n x a ε-<按照序列极限定义知lim n n x a →∞=,即{}k n x 收敛且与{}n x 的极限相同．反之若序列{}n x 的任一子序列都收敛，且有相同的极限a ，因为{}n x 本身为自己的一个子序列，所以有lim n n x a →∞=.定理4：序列{}n a 收敛的充要条件是奇子序列{}21k a -与偶子序列{}2k a 都收敛，且它们的极限相等.证明：根据定理3，序列{}n a 的奇子序列{}21k a -与偶子序列{}2k a ，且它们的极限相等.设212lim lim k k k k a a a -→∞→∞==.根据序列极限的定义，即1121222,21,.0,,2,.k k k N k k a a k N k k a a εεε-⎧∃∈∀->-<⎪∀>⎨∃∈∀>-<⎪⎩有有{}12max ,.N k k ∃=于是，n N ∀>，有 n a a ε-<，即 lim n n a a →∞=. （证毕）定理5：若序列{}n x 收敛于a 的充要条件是{}n x 的任一子序列{}k n x 中必有子序列{}'n k x ,使得'n k x a →()k →∞.证明：由定理3我们可以知道: 若序列{}n x 收敛于a ，则它的任何子序列{}k n x 也都收敛于同一个极限a ，由题意必要性得证.已知序列{}n x 的任一子序列{}kn x 中必有子序列{}'n kx,使得'n kxa →()k →∞，则由定理3有n k x a →()k →∞.用反证法,假设lim n x x a →∞≠则必然存在00ε>，对于任意自然数N ，都有00n >时,有00n x a ε-≥当1N =时，11n >，使 10n x a ε-≥ 当1N n =时，有12n n >，使 20n x a ε-≥ …………当1k N n -=时，有1k k n n ->，使0k n x a ε-≥ …………由此可以得到{}n x 的一个子序列{}k n x ，它的每一项k n x 都满足0k n x a ε-≥，故{}k n x 不收敛于a ，且{}k n x 中不存在收敛于a 的子序列, 这与已知矛盾，因此lim n n x a →∞=成立。

随机变量的几种收敛及其相互关系

论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。

主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。

给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。

关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

序列的有界性与收敛性不一定等价

序列的有界性与收敛性不一定等价序列是数学中的一个重要概念，它是按照一定次序排列的一组数的集合。

在序列的研究中，有界性和收敛性是两个重要的概念。

然而，有界性和收敛性并非总是等价的，即一个序列有界不一定收敛，一个收敛序列也不一定有界。

本文将从数学角度对序列的有界性与收敛性进行详细讨论，并通过具体例子加以说明。

一、有界性与收敛性的定义在开始讨论有界性与收敛性的关系之前，我们先来明确这两个概念的定义。

1. 有界性：对于序列 {an}，如果存在一个正数 M，使得对于所有的正整数 n，有|an| ≤ M 成立，则称序列 {an} 有界。

2. 收敛性：对于序列 {an}，如果存在一个实数 a，对于任意给定的正数ε（ε > 0），都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 |an - a| < ε 成立，则称序列 {an} 收敛于 a。

有界性和收敛性的定义都与数列中的各项与某个数之间的距离有关。

有界性要求数列的每一项都要在某个范围内，而收敛性要求数列中的项逐渐逼近某个固定的数。

二、有界性与收敛性的关系尽管有界性和收敛性都是针对数列的性质，但它们之间并没有必然的联系。

也就是说，一个序列有界不一定收敛，一个收敛序列也不一定有界。

下面我们通过具体例子分别来说明这两种情况。

1. 有界但不收敛的序列：考虑序列 {(-1)^n}，即 (-1)^1, (-1)^2, (-1)^3, ...，其中 n ∈ N。

显然，这个序列的每一项都是 -1 或者 1，即 {1, -1, 1, -1, ...}。

这个序列是有界的，因为对于所有的项，有 |(-1)^n| = 1 ≤1 成立。

然而，这个序列并不收敛，因为它不会趋于任何一个固定的数，可以说它的极限不存在。

2. 收敛但不一定有界的序列：考虑序列 {1/n}，即 1/1, 1/2, 1/3, ...，其中 n ∈ N。

可以证明，这个序列收敛于 0，即lim(n→∞) 1/n = 0。

概率论中几种收敛及其联系1

概率论中几种收敛及其联系西北师范大学数学与应用数学专业甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数概率随机变量收敛分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。

所以首先需要建立必要的概率不等式。

我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。

随机变量序列完全收敛的等价及充分条件

□
由 Borel-Cantelli 引理知 X n c.c.→ X ⇒ X n a.s.→ X ，但 X n a.s.→ X ⇒/ X n c.c.→ X ，如下例。
例 3.1 设 ξ ,ξ1,ξ2, 是独立同分布的随机变量序列， ξ 服从双边 Pareto 分布，其密度函数为
DOI: 10.12677/aam.2018.76080
<
1 k +1 2
所以
∑ ( ) ∑ ( ) Nk
P Xn − X >ηk
n= Nk −1+1
∞
≤
P Xn − X >ηk
n= Nk −1+1
<1 k2
令 N0 = 0 ，有
∑ ∑ ( ) ∑ ∞ Nk
P Xn − X >ηk < M1
k = 1 n= Nk −1+1
+
∞ 1 <∞ k= 1 k 2
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应用数学进展
袁代林
{ } ∞
lim
n→∞
P
m=n
Xm − X
>ε
=
0, ∀ε > 0
(5)
P
∞ ∞ ∞ =k 1 =n 1 m= n
Xm
−
X
>
1 k
= 0
(6)
lim
k→∞
∞ ∞ P
=n 1 =m n
Xm
−
X
>
1
k
= 0
(7)
lim
k →∞
lim
n→∞
P
袁代林
关键词
完全收敛，等价条件，充分条件
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序列与级数的收敛性与收敛域

序列与级数的收敛性与收敛域序列和级数是数学中的重要概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。

了解序列和级数的收敛性及其收敛域对于数学学习和应用都具有重要的意义。

本文将介绍序列和级数收敛的定义及其相关性质，并探讨收敛域的概念及其计算方法。

一、序列的收敛性序列是由一系列数字按照一定的顺序排列而成的集合。

对于序列来说，我们关注的是其中的数字是否趋向于某个确定的极限值。

定义：序列{an}称为收敛的，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n大于N时，|an-a|小于ε。

根据这个定义，我们可以通过判断序列的极限是否存在来确定其收敛性。

当序列收敛时，它的极限值是唯一的，我们可以用lim an表示。

除了收敛序列外，还存在发散序列，即不存在极限的序列。

二、级数的收敛性级数是将一个序列的项进行求和的过程，通常以∑an表示。

对于级数来说，我们关注的是对于不同的n值，前n项和是否趋近于一个确定的值。

定义：级数∑an收敛，如果它的部分和序列{Sn}收敛。

其中，Sn=∑(k=1 to n)ak。

级数的收敛性与其部分和序列的收敛性有密切的关系。

如果级数收敛，则它的部分和序列也收敛。

三、收敛域当我们研究幂级数时，会涉及到收敛域的概念。

幂级数是一种特殊的级数形式，其项可以表示为x的幂次。

定义：对于幂级数∑(k=0 to ∞)akx^k，存在一个正数R，使得当|x|<R时，级数绝对收敛；当|x|>R时，级数发散。

在收敛域内，幂级数可以表示为函数的形式。

而在收敛域外，幂级数失去了求和的意义。

计算收敛域的方法有多种，我们常用的方法是利用比值判别法和根值判别法。

比值判别法适用于绝对值包含有n次幂的幂级数，根值判别法适用于绝对值包含有n次根的幂级数。

四、收敛性与收敛域的应用序列和级数的收敛性与收敛域的研究，在数学分析、泰勒级数展开、函数逼近等学科中有着重要的作用。

在实际问题中，我们常常需要判断序列和级数的收敛性，以确定其数值是否趋近于某个极限值。

函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

n来自1二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不

na序列部分和的收敛性质

na序列部分和的收敛性质
现在越来越多的人开始关注Tina序列的收敛性质，Tina序列是
一种数字序列，在数学领域中用来研究进行递归计算，提出算法等方
面十分有用。

Tina序列是一种由上古文明平衡值（BV）表示的连续序列，Tina序列有规律性和可预测性，在理论和实际中都很受欢迎。

Tina序列收敛性是指序列中前面几个数之和接近后面单个数之和。

Tina序列的收敛性能有直观地展示序列本身的收敛性特征。

Tina 序列的收敛性是由满足BV公式的连续迭代结果的特性所决定的：BV＝
1/2*（BV^2-1），它对数字序列的关联性有着普遍性和实用性。

在计
算机科学领域，Tina序列收敛性被认为是近期科学家要研究的一个重
要课题。

Tina序列的收敛性可以用统计形式表示，如均值和方差。

除了通过统计学的衡量，还可以使用特定的数学方法，例如单调函数、极限、导数等来测量Tina序列的收敛性。

一般而言，如果序列的收敛性越高，它将更加稳定，这将有利于序列的收敛性。

因此，Tina序列的收敛性可以用来度量序列本身的性质，并可以应用于相关算法的实践性研究。

其收敛性及其它性质也可以在应用程
序中发挥作用，以完成某些更复杂的计算任务。

在许多应用场景中，Tina序列的收敛性都被用来解决一些问题，如优化问题、系统校正、
最优机器学习等。

综上所述，Tina序列的收敛性是一个非常重要的话题，它可以给科学家提供一些有用的信息，帮助他们进行更有效的研究。

科学家可
以通过对Tina序列的收敛性的讨论来更好地理解数学研究和编程安全，以期利用它解决现实生活中的问题。

函数列的收敛与一致收敛

函数列的收敛与一致收敛函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。

但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“？着-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。

本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推进，使得这部分内容更易学习并掌握。

实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。

下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。

一、收敛的几个定义实数列的收敛性定义定义1：设xn是实数序列，a是实数，若对任意给定的正数？着，都存在相应的正整数N，使得当nN时，恒有xn-a？着，则称实数列xn收敛于a，记为limxn→∞=a，或简记为xn→a（n→∞）。

几何上，xn→a的意思是：数轴上跳动的点xn与定点a之间的距离，随着n的无限变大而无限变小，无论？着是怎样小的数，做点a的？着邻域（a-？着，a+？着），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有极限ex，这个序列的特点是每一项都是函数，极限也是x的函数，这样构成的序列就不是实数序列了，而是函数序列，可以记为：fn（x），收敛定义如下：定义2：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若？坌x∈E，函数列fn（x）收敛于f（x），则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f（x）是函数列fn（x）的极限函数。

定义2也可以用“？着-N”语言描述：设函数列fn（x）每一项fn （x）及函数f（x）均在数集E上有定义，对？坌x∈E，？坌？着0存在正数N，使得当nN时，总有fn（x）-f（x）？着，则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f（x）是函数列fn（x）的极限函数，记为limf（x）→∞=f（x）。