19-20学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课堂检测素养
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2
4．1 指数4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．3.掌握幂的运算.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点一n次方根及根式预习教材，思考问题如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在,(2)根式①定义：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋)(ⅰ)(na )n ＝a .(ⅱ)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.知识点二 指数幂及运算 知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1amn＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[自主检测]1．已知x 5＝6，则x 等于( )A.6B.56C ．－56D ．±56答案：B2．234化成根式形式为( )A.324B.423C.432D.243答案：B3．(0.027)－23的值是( )A.1009B.9100C.103D.310解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝10.32＝10.09＝1009. 答案：A4．当8<x <10时，x －82＋x －102＝________.解析：由8<x <10， 得x －82＋x －102＝|x －8|＋|x －10|＝(x －8)＋(10－x )＝2. 答案：2授课提示：对应学生用书第51页探究一 利用根式的性质化简求值[例1](1)化简a ＋41－a 4的结果是( )A ．1B ．2a －1C ．1或2a －1D ．0(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( )A ．(6a －6b )6＝a －b B.8a 2＋b 28＝a 2＋b 2C.4a 4－4b 4＝a －b D.10a ＋b 10＝a ＋b(3)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[解析](1)a ＋41－a 4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C.(2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.[答案](1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．若n <m <0，则 m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n 解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝m ＋n2－m －n 2＝|m ＋n |－|m －n |.∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0，∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化 [例2]用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)：(1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3) a a ；(4)y 2xx 3y3y 6x 3.[解析](1)a 2·a ＝a 2·a12＝a 2＋12＝a 52.(2)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(3) a a＝(a·a12)12＝(a32)12＝a34.(4)y2xx3y3y6x3＝y2xx3y⎝⎛⎭⎪⎫y6x313＝y2xx3y·y2x＝y2xx2·y12＝⎝⎛⎭⎪⎫y2x·xy1212＝y54＝y4y.(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的X围，以防错解．1．2－23等于( )A.322B.223C．－322D.1322答案：D2．计算：23×31.5×612＝________.解析：23×31.5×612＝2×312×⎝⎛⎭⎪⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.答案：6探究三 指数幂的运算[例3]计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤140.02723＋50×0.001 634－12. [解析](1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简求值：(1)0.000 1－14＋2723－(4964)－12＋(19)－1.5；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.解析：(1)原式＝(0.14)－14＋(33)23－[(78)2]－12＋[(13)2]－32＝0.1－1＋32－(78)－1＋(13)－3 ＝10＋9－87＋27＝3147.(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.授课提示：对应学生用书第52页一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值．[解析]∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)，由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47，∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322. 2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析]∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a 12＋a －12＞0，∴a 12＋a －12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题 常用指数幂的变换技巧则a k 积：3k 乘方：(a k )3＝a 3k[典例] 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：c ＝a ＋b.[证明]令3a ＝4b ＝6c ＝t ，则.因为3×2＝6，所以，即1a ＋12b ＝1c，所以2c ＝2a ＋1b.。
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案(含解析)新人教B版
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当n a 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②nan＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(na )n与na n中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝n a m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的m n有什么规定？提示：m n为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数． 知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s＝__ar ＋s__．(2)(a r )s ＝__a rs__． (3)(ab )r＝__a r b r__．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题┃┃典例剖析__■典例1 (1)求使等式a －3a 2－9＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号． [解析] (1)a －3a 2－9＝a －32a ＋3＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]．(2)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． ┃┃对点训练__■1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；(2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6x －26＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6x －26＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化┃┃典例剖析__■典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ；(2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．┃┃对点训练__■2．(1)用根式表示下列各式：x 35 ；x －13 ； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35 ＝5x 3；x －13 ＝13x．(2)①b 3a 2·a 2b 6＝b 3a 2·a b 3＝a －12 ． ②a －4b23ab 2＝a －4b 2·ab213 ＝a －4b 2a 13 b 23 ＝a －113 b 83 ＝a －116 b 43 ．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用┃┃典例剖析__■典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×－14×－56·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．┃┃对点训练__■ 3．化简与求值(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·a－5－12 ·a －1213．[解析] (1)原式＝(－1) －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32 ·a －23 )13 ·[(a －5)－12 ·(a －12 )13] 12 ＝(a 0) 13 ·(a 52 ·a －23 )12＝(a －4) 12 ＝a －2．易错警示┃┃典例剖析__■典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14 ＝1 (－a)4．。
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
xn＝a
[0，＋∞) 被开方数
R 根指数
a a |a|
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
分
数
指 负分数指数幂
数
幂
性质
0的正分数指数幂等于___0___，0的负分数指 数幂__无_意__义___
(2)将已知的式子反复利用完全平方ห้องสมุดไป่ตู้式，将x的指数升高，再代入 求值．
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指 数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号， 则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表 示．
答案：A
答案：B
答案：ABD
答案：C
课堂探究·素养提升
【答案】 D
－a π－3
方法归纳
根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化 简，化简时要结合条件或分类讨论．
由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y 两种情况．
利用根式与分数指数 幂的性质意义化为根式 或分数指数幂．
答案：C
答案：C
状元随笔 (1)①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化 成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0 ＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成 幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)， 再算乘除，最后算加减．
2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版
m
[微思考] 在分数指数幂与根式的互化公式 a n ＝n am中，
为什么必须规定 a>0?
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即n am＝a n
＝0，无研究价值．
m
3
②若 a<0，a n ＝n am不一定成立，如(－2) 2 ＝2 －23无意
义，故为了避免上述情况规定了 a>0.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算 新课程标准 1．理解 n 次方根和根式的概念，掌握根式的性质、根式与分数 指数幂之间的相互转化．
m
2．通过对有理数指数幂 a n (a>0 且 a≠1；m，n 为整数且 n>0) 含义的认识，了解 指数幂的拓展过程．掌握分数指数幂的运 算性质．
m2－2mn＋n2等于 A．2m
B．2n
()
C．－2m
D．－2n
解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，
∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.
故原式＝－2m.
答案：C
题型二 分数指数幂的运算
[学透用活]
[典例 2] 计算下列各式(式子中字母都是正数)：
2
(1)(0.027)
3
＋12275
[解]
(1)
3
a·4
1
a＝a 3
1
·a 4
＝a
7 12
.
1 11
7
(2)原式＝a 2 ·a 4 ·a 8 ＝a 8 .
23
13
(3)原式＝a 3 ·a 2 ＝a 6 .
(4)原式＝(a
1 3
)2·a
1 2
·b
2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.1指数函数的概念课件新人教A版必修第一册
知识点一 指数函数的定义 函数__y_＝__a_x __ (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量．定 义域为 R.
跟踪训练 1 (1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，则实数 a 的取
值范围是________；
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·( 2)x
②y＝2x－1
③y＝π2x
④y＝xx
⑤y＝3
1 x
⑥y
1
＝x 3 .
解析：(1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，
[教材解难]
规定底数 a>0 且 a≠1 的理由 (1)如果 a＝0，则当当xx><00时时，，aaxx恒无为意0义；. (2)如果 a<0，比如 y＝(－2)x，这时对于 x＝12，14，18，116，…在 实数范围内函数值不存在． (3)如果 a＝1，那么 y＝1x＝1 是常量，对此就没有研究的必要．
取值范围是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C.12，1
D．(－∞，1)
(2)指数函数 y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么 f(4)·f(2)等于 ________．
【解析】 (1)由已知，得 0<2a－1<1，则12<a<1，所以实数 a
的取值范围是12，1. (2)设 y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以 a－2＝14，所以 a＝2， 所以 f(4)·f(2)＝24×22＝64. 【答案】 (1)C (2)64
新教材高考数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性
第1课时 指数函数的性质与图像课 标 解 读课标要求 核心素养1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法.(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图像,并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质.(重点)1.通过指数函数概念的学习,培养数学抽象的核心素养.2.借助指数函数的图像与性质的学习,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,依此类推. 问题1:1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞?分裂x 次得到多少个细胞? 答案 22=4个,2x个.问题2:分裂多少次可得到16个呢?如何求解? 答案 设分裂y 次,由2y=16,得2y=24,解得y=4.1.指数函数的定义一般地,函数①y=a x称为指数函数,其中a 为②常数,a>0且a≠1. 思考:指数函数中为什么规定a>0且a≠1?提示 ①如果a=0,那么当x>0时,a x恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,a x无意义;②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,那么x=12,14,…时,该函数无意义;③如果a=1,那么y=1x是一个常量,没有研究的价值.为了避免上述各种情况的出现,所以规定a>0且a≠1. 2.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像和性质a>10<a<1图像性 质定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点③(0,1)函数值 的变化当x>0时, ④y>1; 当x<0时, ⑤0<y<1当x>0时,⑥0<y<1; 当x<0时,⑦y>1单调性在R 上是⑧增函数在R 上是⑨减函数探究一 指数函数的概念例1 (易错题)函数y=(a-2)2a x是指数函数,那么( )A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a≠1易错辨析:忽视指数函数对底数、系数的要求致误.要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件.答案 C解析 由指数函数的定义知{(a -2)2=1,a >0,a ≠1,解得a=3. 易错点拨判断函数是指数函数时需抓住四点(1)底数是大于0且不等于1的常数. (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上. (3)a x的系数必须为1.(4)等号右边不是多项式,如y=a x+1(a>0且a≠1)不是指数函数.1.(1)假设函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,那么f(x)= .(2)函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,那么实数a 的取值范围是 . 答案 (1)3x(2)(12,1)∪(1,+∞)解析 (1)由题意设f(x)=a x(a>0且a≠1),那么f(2)=a 2=9,所以a=3,所以f(x)=3x.(2)由题意可知{2a -1>0,2a -1≠1,解得a>12且a≠1,所以实数a 的取值范围是(12,1)∪(1,+∞).探究二 指数函数的图像例2 (1)①y=a x;②y=b x;③y=c x;④y=d x的函数图像如下图,那么a,b,c,d 与0和1的关系是( )A.0<a<b<1<c<dB.0<b<a<1<d<cC.0<b<a<1<c<dD.1<a<b<c<d(2)函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)满足f(1)>1,假设函数g(x)=f(x+1)-4的图像不过第二象限,那么a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(2,5]C.(1,2)D.(1,5] 答案 (1)B (2)B解析 (1)由指数函数的图像可知,当底数大于1时,函数为增函数,并且底数越大图像上升得越快,因此得到c>d>1;当底数大于0且小于1时,函数为减函数,并且底数越大图像下降得越慢,因此得到1>a>b>0,所以0<b<a<1<d<c.应选B.(2)因为f(1)>1,所以a-1>1,即a>2,因为函数g(x)=f(x+1)-4的图像不过第二象限,所以g(0)=a 1-1-4≤0,所以a≤5,所以a 的取值范围是(2,5].思维突破处理指数函数图像问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图像过定点(0,1).(2)巧用图像变换:函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).2.(1)(多选)在同一平面直角坐标系中画出函数y=a x,y=x+a的图像,其中可能正确的是( )(2)函数y=a-|x|(0<a<1)的图像是( )答案(1)CD (2)A解析(1)函数y=x+a单调递增,且a为直线y=x+a在y轴上的截距,又当a>1时,函数y=a x单调递增,当0<a<1时,函数y=a x单调递减.应选项C、D中的图像符合条件,应选CD.(2)y=a-|x|=(1a )|a|,易知函数为偶函数,∵0<a<1,∴1a>1,故当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数有最小值,最小值为1,应选A.探究三求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域例3 求函数y=0.31a-1的定义域、值域.解析由x-1≠0得x≠1,所以函数的定义域为{x|x≠1}.由1a-1≠0得y≠1,所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}.思维突破指数函数y=a x与y=f(x)的复合方式主要是y=af(x)和y=f(a x ).函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,求与指数函数有关的函数的值域时,要达到指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.3.(1)(变条件)函数改为y=3a1+3a,求此函数的定义域、值域;(2)(变条件)函数改为y=4x-2x+1,求此函数的定义域、值域. 解析 (1)∵对一切x∈R,3x≠-1,∴函数的定义域为R. y=1+3a -11+3a=1-11+3a ,∵3x >0,1+3x>1, ∴0<11+3a<1,∴-1<-11+3a<0,∴0<1-11+3a<1,∴函数的值域为(0,1).(2)函数的定义域为R.y=(2x )2-2x+1=(2a -12)2+34,∵2x>0,∴2x=12,即x=-1时,y 取得最小值,最小值为34,∴函数的值域为[34,+∞).1.以下函数一定是指数函数的是( ) A.y=2x+1B.y=x 3C.y=3·2xD.y=3-x答案 D2.指数函数y=a x与y=b x的图像如下图,那么( )A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<1答案 C 函数y=a x的图像是下降的,所以0<a<1;函数y=b x的图像是上升的,所以b>1.3.a取任意正实数,函数f(x)=a x+1-2的图像都恒过定点( )A.(-1,-1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(-1,-3)答案 A4.如果函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(2,9),那么实数a= .答案 3解析指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(2,9),∴9=a2,解得a=3.5.函数y=(13)a在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,那么m+n的值为. 答案12解析因为y=(13)a在[-2,-1]上为减函数,所以m=(13)-1=3,n=(13)-2=9,所以m+n=12.直观想象——数形结合思路的理解与应用假设曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,求b的取值范围.素养探究:指数函数问题比较抽象,解题时尽量先借助函数图像将问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想使问题灵活直观,过程中表达直观想象核心素养.解析作出曲线|y|=2x+1与直线y=b,如下图,由图像可得,假设曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,那么b应满足的条件是b∈[-1,1].直线y=2a 与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点,求实数a 的取值范围. 解析 y=|2x-1|={1-2a ,x <0,2a -1,x ≥0,函数图像如下:由图可知,要使直线y=2a 与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点, 需0<2a<1,即0<a<12.故实数a 的取值范围是0<a<12.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=a x-a -1(a>0,且a≠1)的图像可能是( )答案 D 函数y=a x-a -1的图像是由函数y=a x的图像向下平移1a个单位长度得到的,A 项显然错误;当a>1时,0<1a <1,平移距离小于1,所以B 项错误; 当0<a<1时,1a >1,平移距离大于1,所以C 项错误.应选D.2.函数y=√a a -1的定义域是(-∞,0],那么a 的取值范围是( ) A.a>0 B.a<1 C.0<a<1D.a≠0答案 C 由a x-1≥0,得a x≥a 0. ∵函数的定义域为(-∞,0], ∴a 的取值范围是0<a<1.3.一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年的价值降低b%,那么n 年后这批设备的价值为( ) A.na(1-b%)万元 B.a(1-nb%)万元 C.a[1-(b%)n]万元D.a(1-b%)n万元答案 D 一年后这批设备的价值为a-ab%=a(1-b%)万元,两年后这批设备的价值为a(1-b%)-a(1-b%)b%=a(1-b%)2万元,……,n 年后这批设备的价值为a(1-b%)n万元,应选D. 4.假设函数f(x)=a 2a 2-3x +1在(1,3)上是增函数,那么关于x 的不等式a x-1>1的解集为( )A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x>0}D.{x|x<0}答案 A ∵y=2x 2-3x+1的图像的对称轴是直线x=34,且开口向上, ∴函数f(x)在(1,3)上递增,根据复合函数同增异减的原那么,知a>1, 又a x-1>1=a 0,∴x -1>0,解得x>1,应选A.5.(原创题)函数f(x)={3a -12,x ≥1,4-a +1,x <1,那么f [a (-12)]的值为 .答案 15解析 由题意得,f (-12)=4-(-12)+1=3,那么f [a (-12)]=f(3)=33-12=15.6.定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x+2(a>0,且a≠1).假设g(2)=a,那么a= ,f(2)= . 答案 2;154解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由f(x)+g(x)=a x-a -x+2,①得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a -x-a x+2,② ①+②,得g(x)=2; ①-②,得f(x)=a x-a -x. 又g(2)=a,∴a=2, ∴f(x)=2x-2-x, ∴f(2)=22-2-2=154.7.x∈[-3,2],求f(x)=14a -12a +1的最小值与最大值.解析 f(x)=14a -12a +1=4-x-2-x+1=2-2x-2-x+1=(2-a -12)2+34,∵x∈[-3,2],∴14≤2-x≤8,当2-x=12,即x=1时,f(x)有最小值,且最小值为34,当2-x=8,即x=-3时,f(x)有最大值,且最大值为57.8.(多选)假设函数f(x)=a x+b-1(a>0,a≠1)的图像经过第一、三、四象限,那么一定有( ) A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0答案 AD ∵函数f(x)=a x +b-1(a>0,a≠1)的图像经过第一、三、四象限, ∴{a >1,a -1<-1,解得a>1且b<0,应选AD.9.定义一种运算:g☉h={a (a ≥a ),a (a <a ),函数f(x)=2x☉1,那么函数y=f(x-1)的大致图像是( )答案 B f(x)={2a (x ≥0),1(a <0),∴f(x -1)={2a -1(x ≥1),1(a <1),应选B.10.函数f(x)=a x-1-2(a>0且x≠1)的图像恒过定点 ,f(x)的值域为 . 答案 (1,-1);(-2,+∞) 解析 由x-1=0得x=1, f(1)=a 0-2=1-2=-1,即函数f(x)的图像恒过定点(1,-1). ∵a x-1>0,∴a x-1-2>-2, ∴f(x)的值域为(-2,+∞).11.方程|2x-1|=a有唯一实数解,那么a的取值范围是.答案a≥1或a=0解析作出函数y=|2x-1|的图像,如图,由题意知,直线y=a与函数y=|2x-1|的图像的交点只有一个,∴a≥1或a=0.12.函数y=f(x)的定义域为(1,2),那么函数y=f(2x)的定义域为.答案(0,1)解析由函数的定义,得1<2x<2⇒0<x<1,所以y=f(2x)的定义域为(0,1).)a,那么:13.设f(x)=3x,g(x)=(13(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图像;(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?解析(1)函数f(x),g(x)的图像如下图:)-1=3;(2)f(1)=31=3,g(-1)=(13)-π=3π,f(π)=3π,g(-π)=(13)-a=3m.f(m)=3m,g(-m)=(13从以上计算的结果看,当两个函数的自变量的取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,两函数的图像关于y轴对称.14.函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为[-1,1].(1)求3a的值及函数g(x)的解析式;(2)试判断函数g(x)的单调性;..专心. (3)假设方程g(x)=m 有解,求实数m 的取值范围.解析 (1)因为f(x)=3x ,所以f(a+2)=3a+2=32·3a =18, 所以3a =2,所以g(x)=(3a )x -4x =2x -4x .(2)g(x)=2x -4x =-(2x )2+2x ,x∈[-1,1],令2x =t,那么t∈[12,2], 所以g(x)=μ(t)=-t 2+t=-(a -12)2+14在t∈[12,2]上单调递减,又t=2x单调递增,所以g(x)在x∈[-1,1]上单调递减.(3)由(2)知g(x)=μ(t)=-t 2+t=-(a-12)2+14在t∈[12,2]上单调递减,所以g(x)∈[-2,14],即m∈[-2,-14]. 故实数m 的取值范围是[-2,-14].。
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课时素
实数指数幂及其运算(15分钟30分)1.错误!未找到引用源。
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+(2019)0= ( )A.6B.7C.8D.错误!未找到引用源。
【解析】选B.错误!未找到引用源。
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=2+4+1=7.2.(2020·某某高一检测)下列各式计算正确的是( )A.(-1)0=1B.错误!未找到引用源。
·a2=a(a>0)C.错误!未找到引用源。
=8D.a6÷a2=a3【解析】选A.(-1)0=1,A正确;错误!未找到引用源。
·a2=错误!未找到引用源。
,故B错;错误!未找到引用源。
= 错误!未找到引用源。
≠8,C错;a6÷a2=a4,D错.3.化简错误!未找到引用源。
(其中a>0,b>0)的结果是()A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
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【解析】选C.错误!未找到引用源。
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,则实数a的取值X围是 ( )A.a∈RB.a=错误!未找到引用源。
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【解析】选D.左边=错误!未找到引用源。
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,所以|2a-1|=1-2a,即2a-1≤0.所以a≤错误!未找到引用源。
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新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课件新人教A版必修第一册
指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
m
规定：an
＝__n__a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
分数 指数
1
负分数指数幂
规定：a－mn
＝
1
m
＝___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
an
幂
n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0_____，0 的负分数指数
(1)a±2a12
1
b2
＋b＝ a ±b ；
1 2
1 2
2
(2)a－b＝ a ＋b a －b ； 1
1 1
1
2
2
2
2
3
(3)a2
＋b23
＝ a ＋b (a－a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)；
3
(4)a2
－b23
＝ a －b (a＋a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)．
易错警示 忽视条件限制致误 已知 x∈[1，2]，化简：(4 x－1)4＋6 (x2－4x＋4)3＝________．
1．(题型 2)下列运算结果中，正确的是
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
()
【答案】A 【解析】a2a3＝a2+3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，( a－1)0＝1， 若成立，需要满足 a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是 A．故选 A．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
第4章 4.1 4.1.2 指数函数的性质与图像-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册课
角度二 指数函数性质的简单应用
【例 3】 (1)已知 a＝1.50.5，b＝0.51.5，c＝0.50.5，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
(2)使不等式 92x－1＜3 成立的 x 的集合是( )
A.－∞，78 C.78，＋∞
B.－∞，34 D.34，＋∞
(1)B (2)A [(1)a＝1.50.5＞1,0＜0.51.5＜0.50.5＜1， 所以 a＞c＞b. (2)不等式即 34x－2＜3 ， 可得 4x－2＜23， 解得 x＜78.]
(2)已知 a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a＜c＜b
B．b＞a＞c
C．b＜a＜c
D．c＞b＞a
(1)A (2)B [(1)因为 1＞a＝0.40.3＞0.30.3＞b＝0.30.4，c＝0.3－0.2 ＞1，
所以 b＜a＜c. (2)a＝0.52.1∈(0,1)，b＝20.5＞1，c＝0.22.1， 0．52.1＞0.22.1， 所以 a＞c，所以 b＞a＞c.]
并能根据指数函数的图像说明指 理素养.
数函数的性质．(重点)
情 境
导
学
探 新
知
将一张报纸连续对折，折叠次数 x 与对应的 层数 y 之间存在什么关系？对折后的面积 S(设原 面积为 1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 x＝1 x＝2 x＝3 ……
对应层数 y＝2＝21 y＝4＝22 y＝8＝23
高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算
4.1.1 实数指数幂及其运算课标解读课标要求核心素养1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点)1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作±.1.有关幂的概念一般地,a n中的a 称为①底数,n称为②指数.2.根式的相关概念和性质(1)根式的概念:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得x n=a,则③x称为a的n 次方根;当有意义的时候,④称为根式,n称为⑤根指数,a称为⑥被开方数.(2)根式的性质:(i)()n=⑦a.(ii)=思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示a为正数:a为负数:零的n次方根为零,记为=0.3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当有意义时,规定=⑧;当没有意义时,称没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂=(a>0),=()m =⑨负分数指数幂a-s =⑩(a s有意义且a≠0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:a s a t=a s+t;(a s)t=a st;(ab)s=a s b s.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂一般地,无理指数幂a t(a>0,t是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂a t 都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.探究一n次方根的化简与求值例1 (易错题)化简:(1);(2)()2++(a-1≥0).解析(1)=|3-π|=π-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数a∈Rn为偶数±[0,+∞)1.已知-3<x<3,求-的值.解析原式=-=|x-1|-|x+3|,∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4,∴原式=探究二根式与指数幂的互化例2 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-=(-x(x>0)B.=(y<0)C.=(x>0)D.=-(x≠0)(2)用指数幂的形式表示(x>0,y>0).答案(1)C解析(1)A选项,-=-(x>0);B选项,=(y2=-(y<0);C选项,=(x-3=(x>0);D选项,=(x≠0).故C正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.===.解法二:由外向里化为分数指数幂.===·=.思维突破(1)记结论:=和==(a>0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.2.化简:(1)(a>0);(2)(2)(-6)÷(-3).解析(1)===(=.(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]·=4ab0=4a.探究三指数幂的化简与求值例3 已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析∵(x+x-1)2=x2+x-2+2,∴x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可.3.(1)(变结论)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(变条件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,∴x4+x-4=47,∴(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=±3.(2)∵(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,∴x2+x-2=11.1.下列各式正确的是( )A.=-3B.=aC.()3=-2D.=2答案 C2.已知a>0,则=( )A. B.C. D.答案 D =,则===.故选D.3.化简(a3÷()(a>0,b>0)结果为( )A.aB.bC.D.答案 A 原式=÷()==a.故选A.4.化简:(x>0,y>0)= .答案2x2y解析∵x>0,y>0,∴==(24·x8y4=2x2y.5.若10m=2,10n=3,则103m-n= .答案解析由已知得103m=(10m)3=23=8,∴103m-n==.逻辑推理——指数运算与均值不等式的应用已知a>0,b>0,若2a·2b=2,则ab的最大值是.审:由指数运算法则以及2a·2b=2,可得a+b=1,再根据均值不等式ab≤,当且仅当a=b时取得最大值得出答案.联:求积的最值,会联想到基本不等式,那就需要和为常数,这个和刚好由指数运算求得.解:∵函数g(x)=2x,且有g(a)·g(b)=2,∴①2=2a·2b=2a+b,∴a+b=1,∵a>0且b>0,∴②ab≤=,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.思:从已知条件中解出字母的值,然后代入求值,这种方法一般是不可取的,应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值,体现了数据分析、逻辑推理的核心素养.设x∈R且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是( )A.2B.5C.6D.7答案 D ∵x+x-1=3,∴当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,……则x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是7.——————————————课时达标训练—————————————1.计算:++(2019)0=( )A.6B.7C.8D.答案 B2.下列各式正确的是( )A.=aB.a0=1C.=-4D.=-π答案 D 对于A,当a为负数时等式不成立,故不正确;对于B,当a=0时,a0无意义,故不正确;对于C,=4,故不正确.故选D.3.若(3-2x有意义,则实数x的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.∪C. D.答案 C 要使(3-2x=有意义,需使3-2x>0,解得x<,即实数x的取值范围是.故选C.4.化简(2a-3)·(-3a-1b)÷(4a-4)=( )A.-b2B.b2C.-D.答案 A 原式==-b2.5.设α,β是方程2x2+3x+1=0的两根,则的值为( )A.8B.C.-8D.-答案 A 由题意可知α+β=-,则====8,故选A.6.(x>0)用分数指数幂表示为.答案解析=(x·=·=·==.7.化简:(1)π0+2-2×= ;(2)()4()4(a>0)= .答案(1)(2)a4解析(1)π0+2-2×=1+×=1+×=.(2)()4()4=()4()4=()4()4=a2×a2=a4.8.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,①由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,②由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.计算下列各式的值:(1)(×(÷;(2)2(×)6+(-4×-×80.25+(-2019)0.解析(1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.(2)原式=2(×)6+(×-4×-×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.10.(多选)下列各式中正确的是( )A.=n7B.=C.=(x+yD.=答案BD =n7m-7,A错误;==,B正确;=(x3+y3,C错误;=(=(=,D正确.故选BD.11.x=1+2b,y=1+2-b,则y=( )A. B.C. D.答案 D ∵x=1+2b,∴2b=x-1.∴y=1+2-b=1+==.12.化简(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)的结果是( )A.(1-)-1B.(1-)-1C.1-D.(1-)答案 B 因为(1+)(1-)=1-,故将原式化为分数形式,并且分子、分母同乘(1-),得原式===(1-)-1.故选B.13.已知实数x满足x2-3x+1=0,则x2+x-2= ;= .答案7;4解析因为实数x满足x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,两边平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又===x+x-1+1=4.14.若x>0,y>0,且x--2y=0,求的值.解析∵x--2y=0,x>0,y>0,∴()2--2()2=0,∴(+)(-2)=0,由x>0,y>0得+>0,∴-2=0,∴x=4y,∴==.15.若a,b,c为正实数,a x=b y=c z,++=0,则abc= .答案 1解析设a x=b y=c z=k,则k>0,则a=,b=,c=,因此abc===k0=1.16.已知实数x,y满足(x+2y)3+x3+2x+2y=0,则x+y-1= .答案-1解析因为(x+2y)3+x3+2x+2y=(2x+2y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2]+2(x+y)=2(x+y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2+1] =2(x+y)(x2+2xy+4y2+1)=2(x+y)[(x+y)2+3y2+1]=0,又易知(x+y)2+3y2+1>0,所以x+y=0,所以x+y-1=-1.。
新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第四章 指数函数、对数函数与幂函数(6课时)
（4）图象的应用——数形结合
例6
四 指数函数的单调性及其应用
（1）利用指数函数的单调性研究最值问题
例7
1. 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）＝min{2x，x+2，10-x}（x≥0）
，则f（x）的最大值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
2.
（2）利用指数函数的单调性比较大小
知识梳理 一、指数函数的概念
二、指数函数的性质与图像
指数函数y＝ax（a>0且a≠1）具有下列性质： （1）定义域是 实数集R . （2）值域是（0，+∞），因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图 像一定在x轴的上方. （3）函数图像一定过点（0，1） . （4）当a>1时，y＝ax是 增 函数； 当0<a<1时，y＝ax是 减 函数.
1.
2.
五 指数幂等式及幂的方程问题
例5
1.
2.
解决有关幂的综合问题的方法与技巧 要观察、分析，并对所给条件进行适当的加工、处理、变形，以便运用公式 和幂的有关性质进行化简、求值，同时还要注意方程思想、整体代入思想、 化归与转化思想、换元法等数学思想方法的运用.
小结
1.根式.
记忆口诀 正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生. 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同. 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
学习目标
重点：分数指数幂的概念及指数幂的运算性质. 难点：1.根式的概念及根式的有关性质.
新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数1
已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图象关于y轴对称,且y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上单
调递减,求满足
(a
1)
m 3
<
(3
2a)
m 3
的a的取值范围.
思路点拨
由幂函数的性质确定参数m的值,再由函数的单调性解不等式.
解析 因为幂函数y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上单调递减,
2 |实数次幂函数的性质 一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0):当a>0时,它在[0,+∞)上有定义且递增, 值域为② [0,+∞) ,函数图象过(0,0)和(1,1)两点;当a<0时,它在(0,+∞)上有定义 且递减,值域为③ (0,+∞) ,函数图象过点(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与 x轴正向无限接近.
解得 2 <a< 3 或a<-1,
32
故a的取值范围是 a a<-1或 2 <a<函数y=xα的图象是一条直线. ( ✕ )
提示:当α=0时,幂函数y=xα的定义域为{x|x∈R,且x≠0},因此其图象不是一条直线.
5.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则在定义域内y随x的增大而增大. ( ✕ )
提示:幂函数y=
1 x
的图象关于原点对称,但它不是定义域内的增函数.
所以3m-9<0,
解得m<3.
又m∈N+,
所以m=1或m=2.
因为幂函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,
所以3m-9为偶数,
故m=1,
则原不等式可化为(a+1
)
1 3
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案(含解析)新人教B版
4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,a n中的a 称为 ,n 称为 .(2)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a ,如果存在实数x ,使得 ,则x 称为a 的n 次方根.①0的任意正整数次方根均为 ,记为 .②正数a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 .③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 .(3)当√a n 有意义的时候,√n n称为 ,n 称为 ,a 称为 . 一般地,根式具有以下性质:①(√n n )n=a.②√n n n ={n ,当n 为奇数时,|n |,当n 为偶数时.(4)一般地,如果n 是正整数,那么:当√n n有意义时,规定n 1n = ;当√a n没有意义时,称n 1n 没有意义.对于一般的正分数n n,也可作类似规定,即n nn = = .但值得注意的是,这个式子在n n不是既约分数(即m ,n 有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s 是正分数,a s有意义且a ≠0时,规定a -s= . (5)有理数指数幂的运算法则:a s a t= ,(a s )t= ,(ab )s= . 点拨(1)在(√a n )n 中,当n 为奇数时,a ∈R;当n 为偶数时,a ≥0.但在√n n n中,a ∈R . (2)分数指数幂n nn 不可以理解为n n个a 相乘. 2.实数指数幂一般地,当a>0且t 是 时,a t 是一个确定的实数.因此,当a>0时,t 为 时,可以认为实数指数幂a t都有意义.课堂探究例1 用根式的形式表示下列各式(x>0). (1)n 25;(2)n -53.要点归纳 在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1 用根式表示n -12n 23(x>0,y>0).例2 计算下列各式的值:(1)√√3103√93; (2)52+√3×125-√33.变式训练2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0. (1)√n 65; (2)√3; (3)√n 3n 24; (4)√(-n )6.要点归纳 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a ≤0时,n nn 有时有意义,有时无意义.如(-1)13=√-13=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在nn 取任何有理数时,n nn 都有意义,所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3 化简下列各式: (1)5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);(2)n +n -1+2n 12+n -12.变式训练3 化简:(18)-12×(-76)0+80.25×√24+(√23×√3)6.核心素养专练1.化简√a √a 3= . 2.已知3a=2,3b=15,则32a-b= .3.√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33= .4.求值:(1)(√2-1)0+(169)-12+(√8)-43;(2)0.027-13-(-16)-2+2560.75-13+(19)0.5.化简:√n 72√n -33÷√√n -83√n 153÷√√n -3√n -13.参考答案自主预习1.(1)底数 指数 (2)x n=a ①0 √0n=0②相反数 n 次算数根 √n n -√n n没有意义③√n n 正数 负数(3)根式 根指数 被开方数 (4)√n n (√n n)n √n n n1n n(5)a s+ta sta sb s2.无理数 任意实数 课堂探究例1 (1)√n 25(2)√3变式训练1√23√n例2 (1)3 (2)25变式训练2 (1)n 65(2)n -23(3)n 34n 12(4)a 3例3 (1)24n 16(2)n 12+n -12变式训练3 110+2√2 核心素养专练1.√n2.203.-64.(1)2 (2)325.n 16第1课时学习目标通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂n n n(a>0,a ≠1;m ,n 为整数,且n>0)、实数指数幂a x (a>0,a ≠1;x ∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:a m a n = ,(a m )n = ,(ab )m = ,a -n= . 如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根;分情况讨论:当a>0,a=0,a<0时,a 的平方根的情况. 如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.如:(±2)2=4, 就叫4的平方根,√9= ;33=27,3就叫27的 ,√83= .课堂探究任务一 类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义 思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的 次方根.②依此类推,若存在实数根,使得x n =a ,则x 称为a 的n 次方根.当√a n 有意义的时候,√n n称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数. 方程x n=a 根的情况如何分类呢? 当n 为奇数时,n 次方根情况如何?例如:①√273= ,√-273= .②记n 次方根x= . 当n 为偶数时,正数a 的n 次方根情况如何?例如:①(±3)4= ,81的4次方根就是 .②记n 次方根x= .思考下面两个问题1.根据n 次方根的定义,当n 为奇数时,是否对任意实数a 都存在n 次方根?n 为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题? 要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a 的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个. 学生举例并总结根式的性质-n (n <0).知识应用例1 (1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√164的运算结果是±4;③当n 为大于1的奇数时,√n n对任意实数a 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,√n n只有当a 大于等于0时才有意义,其中正确的是 .(2)求值化简:√(-n )33;√(-7)44;√(3-π)66;√(n -n )2(a<b ).任务二 阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质 (√n )2=a 1=(n 12)2能成为(a m )n =a mn的特例吗?√n √n =√nn 能成为a m b m=(ab )m的特例吗?m ,n 能是分数吗?可以是实数吗?观察(√5)2=51=(512)2,所以512应该是5的算术平方根.一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定n 1n=√a n; 当√n n没有意义时,称n 1n 没有意义. 规定n n n=√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -nn =n n n =√nn n (a>0,m ,n ∈N *,n>1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.√n n n= (a>0,m ,n ∈N *,n>1);√n 23= ;√n3= .(2)求值:6413;9-32.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .① ② ③任务三 分数指数幂的运算例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·√n = ,a 3·√a 23= ,√a √a = (式中a>0).例3 求值:2723;16-34;(614)32;(2549)-32. 变式训练化简:①√n 2√n (a>0);②√n (√n 25)2(x ≠0);③(n 23n 14)3;④(n 12+n 12)2.课堂练习1.√a 3·√-n 6的值为( )A.-√-nB.-√nC.√-nD.√n 2.625的4次方根是( ) A.5B.-5C.±5D.253.下列结论中,正确的命题的个数是( )①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√n n n=|a|;③函数y=(x -2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√a n )n 与√n n n相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√33·√34·√274;(2)√(8n3125n 3)46. 作业布置1.课本P 8练习A 第3,4题,练习B 第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√(-3)44的值是( ) A.3B.-3C.±3D.812.化简(√-n )2是( ) A.-bB.bC.±bD.1n3.化简√(n -n )66= .4.计算:(√-53)3= ;√34 .5.化简a+√(1-n )44的结果是( )A.1B.2a-1C.1或2a-1D.06.如果a ,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( )A.√n 33+√n 2=a+bB.(√|n |+√n )2=a 2+b 2+2√nnC.√(n 2+n 2)44=a 2+b 2D.√n 2+2nn +n 2=a+b7.当8<x<10时,√(n -8)2-√(n -10)2= .8.若√n 2-2n +1+√n 2+6n +9=0,则y x= .9.若(|x|-1)-13有意义,则x ∈ . 10.化简:(1)(3649)32;(2)√n 2n √n 3n √nn 3.11.计算1612+(181)-0.25-(-12)0的值.12.若√n 2-2n +1=a-1,求a 的取值范围.13.化简下列各式.(1)√4-2√3; (2)√n +2√n -1.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习复习根式的性质及分数指数幂的意义分数指数幂的意义n n =√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -n =n n n=√n n n (a>0,m ,n ∈N *,n>1). 任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .①② ③自我检测1.下列各式正确的是( )A.√(-3)2=-3B.√a 44=aC.√22=2D.√(-2)33=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-√n =(-x )12(x>0) B.√y 26=n 13(y<0)C.n -34=√(1x )34(x>0)D.x -13=-√x 3(x ≠0)3.求值:2723+16-12-(12)-2-(827)-23.课堂探究任务一 典型例题例1 求证:如果a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n>n 1n.推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s. 利用例1的结论可以证明(课后练习) (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s>1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s>a t. 应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与(12)√3. 任务二 例2 计算下列各式的值.(1)√√3103√93;(2)52+√3×125-√33.跟踪练习1.(-338)-23+(0.002)-12-10×(√5-2)-1+(√2-√3)0.2.(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75.例3 (1)化简下列各式.①5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);②4n 23n -13÷(-23n -13n -13).(2)已知n 12+n -12=3,求下列各式的值:①a+a -1; ②a 2+a -2; ③n 32-n -32n 12-n -12.跟踪练习化简:(1)(2m 2n -35)10÷(-n 12n -3)6;(2)n +n -1+2n 12+n -12.任务三 情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p 1,p 2,…,p n 之间的关系,即p=√(1+p 1)(1+p 2)…(1+p n )n -1.课堂练习1.若n 12+n -12=√6,求n +n -1-1n 2+n -2-2的值. 2.若3x=a ,5x=b ,则45x=( ) A.a 2bB.ab 2C.a 2+bD.a 2+b 23.√-83的值是 .课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习): (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t. 2.课本P 13习题4-1A 第1,3题,4-1B 第1,2题.核心素养专练1.已知x 5=6,则x 等于( )A.√6B.√65C.-√65D.±√652.(√24)4运算的结果是( ) A.2B.-2C.±2D.不确定3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A.√n 24B.√n 3C.√n 6D.√-n 54.下列各式化简错误的是( ) A.n -25n 13n 115=1 B.(a 6b -9)-23=a -4b 6C.(n 14n -13)(n 14n 23)(n -12n 23)=y D.-15n 12n 13n-3425n -12n 13n 54=-35ac5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√n =(-x )12(x ≠0) B.n -13=-√x 3C.(x y )-34=√(y x )34(x ,y ≠0) D.√n 26=n 13(y<0)6.化简:(1119)12-[3(π2)0]-1·(181)14+(5116)-0.25-13-(110)-1·0.02713.7.已知x=a -3+b -2,求√x 2-2a -3x +a -64的值.8.已知x+x -1=3,求下列各式的值:(1)x 12+n -12,(2)n 32+n -32.9.探究:当√n n n +(√n n)n =2a 时,实数a 和整数n 所应满足的条件.参考答案第1课时 自主预习略 课堂探究略 课堂练习1.A2.C3.A4.(1)3√33 (2)425a 2b -2 核心素养专练略第2课时 自主预习略 自我检测1.C2.C3.3 课堂探究例1 求证:如果是a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n >n 1n . 证明:假设n 1n ≤n 1n ,即 n 1n <n 1n 或n 1n =n 1n .根据不等式的性质与根式的性质,得a<b 或a=b. 这都与a>b 矛盾,因此假设不成立,从而n 1n >n 1n . 推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s .证明:设s=n n (m ,n 为正整数).因为a>b>0,所以n 1n >n 1n>0. 根据不等式的性质,得(n 1n )n>(n 1n )n>0. 所以n n n >n n n ,即a s >b s.应用:比较大小 ①< ②< ③> ④<例2 (1)3 (2)25 跟踪练习1.-1679 2.2716例3 (1)①24n 16 ②-6a(2)①7②47③8跟踪练习(1)210m17n12(2)n12+n-12课堂练习2.A3.-21.4核心素养专练略。
高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件新人教A版必修第一册
课堂检测•固双基
1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是( A ) A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂 B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂 C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂 D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
2．计算 A. 2 C．2
[解析]
的结果是( D ) B．－ 2
(3)由于
，所以有
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
[归纳提升] 解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但 有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形， 构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地 求出代数式的值． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中 a>0，b>0)：
对点练习❶ 计算下列各式： [解析]
题型二
指数幂运算的条件求值问题
典例 2 已知
＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
.
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
[解析] (1)将
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，即 a＋a－1＝
7. (2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
[分析] 根据已知条件3a＝4b＝6c，设一个参数t，用含t的式子表示
a，b，c，从而找到a，b，c之间的关系．
[解析] 令 3a＝4b＝6c＝t(t>0)，则 3＝ ，2＝
因为 3×2＝6， 即1a＋21b＝1c，所以2c＝2a＋1b.
[归纳提升] 对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同 底，利用指数幂相等的规律进行证明．解决此类问题的关键是通过指数 运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能使 问题迅速得到解决．
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新
1
1
【解析】(1) (x 2 y=2x)2+y+2 =x 1y 8,
所以
1
1
x2 y2＝3
2.
(2)
1
(x 2
=y 12x)2+y-2
=x6y ,
又x<y,所以
1
1
x2 y2＝
6.
(3)x-y=
1 1 1111
111
( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 ＝ ( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) ＝ 3 2 （ 6 ） ＝ 3 2 2 2 2 3 2 ＝ 6 3 .
【解题策略】
根式与分数指数幂的互化技巧
熟记互化公式
m
n a m＝a n
(a>0,m,n∈N*,n>1)是解决根式与分数指数幂的互化问
题的关键所在.
类型三 分数指数幂的化简问题(数学运算)
角度1 式子化简
【典例】
(a
2 3
b
1
1
)2
a
1 2
b
1 3
=________.
6 ab5
【思路导引】先将分母的根式化为分数指数幂,再利用分数指数幂的运算法则
1
x2
)x2=12 x+2+x-1=5,
所以
1
1
x2 x 2
5,
所以
3
x2
3
x2
(x(x12 -1x+12x)-1)
= 5 (3-1)=2 .5 答案: 2 5
备选类型 整体代入法(数学运算)
【典例】1.已知x= 1 ,y= 2 ,求
x
y
x
y