高中习题数学11-6

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高中数学选择性必修一高考训练练习习题课时作业(十六)

课时作业(十六) 两条直线的交点坐标两点间的距离公式[练基础]1．直线3 x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直2．已知三角形的三个顶点A (2，4)，B (3，－6)，C (5，2)，则过A 点的中线长为( )A ．10B ．210C ．112D ．3103．已知直线l 1：2x －y －2＝0与直线l 2：3x ＋y －8＝0的交点为A ，则点A 与点B (2，3)间的距离为( )A ．13B ．22C ．2D ．14．若三条直线2x ＋ky ＋8＝0，x －y －1＝0和2x －y ＝0交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．3D ．125．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2，3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0，1)6．过两条直线l 1：x ＋y －2＝0与l 2：3x －y －4＝0的交点，且斜率为－2的直线l 的方程为________．7．已知点A (－25 ，3)，在y 轴上有一点B ，且|AB |＝35 ，则点B 的坐标为________．8．设直线l 1：3x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋3y ＋2＝0相交于一点A .(1)求点A 的坐标；(2)求经过点A ，且垂直于直线l 1的直线l 的方程．[提能力]9．已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2 ＋（x －1）2＋y 2 ，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4D ．210．(多选)已知平面上三条直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x －1＝0，l 3：x ＋ky ＝0不能构成三角形，则实数k 的值可以为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．111．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2，3)，则过两点Q (a 1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．12．直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．[培优生]13．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是()A．2 B．22C．23D．4。

高等数学-习题答案 -第一章

习题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =+- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -= 解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ，解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +；当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫= ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？（1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）()()f x g x ==；是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-；不是，因为对应法则不同．（4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞．解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1xy x-=-是单调递减的． 8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数．（3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数；（2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）|sin |y x =；周期函数，周期为π．（2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2．（3）tan y x x =；不是周期函数．（4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos 32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-．解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r =∈．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+，（1）求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2）求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3）求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2）要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1），则只要9997,9n > 取N＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=；（2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>，要使111|0|!!n n n ε-<<＝，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2n ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε-<,则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-,||1n x =，显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤，又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>,存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<,同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=；（2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+；（4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时,对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-<,任给0ε>,要使|0|ε<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=；（2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x a f x b +→=；（4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=．证明: 由于lim ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+． (2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+ 且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭；（4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+；（16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦= 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅．(5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--． (6) 3221lim 53xx x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx =111lim 2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x xx x →+=++．(11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0000lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在． 3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限．解：因为11211111lim lim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=-所以12111lim 1x x x e x -→--不存在。

高中数学练习题及答案

高中数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(2)的值。

A. 9B. 15C. 17D. 192. 一个圆的半径为3，求该圆的面积。

A. 28πB. 9πC. 18πD. 36π3. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5的值。

A. 17B. 14C. 21D. 204. 直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标是什么？A. (-1/2, 0)B. (0, 1)C. (1/2, 0)D. (1, 0)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求三角形的面积。

A. 6B. 3√3C. 4√3D. 5√3二、填空题6. 函数y = 3x^3 - 2x^2 + x - 5的导数是______。

7. 已知抛物线y^2 = 4x，求该抛物线的焦点坐标。

8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

9. 已知一个球的体积为(4/3)π，求该球的半径。

10. 已知正弦函数sin(x)的周期是2π，求余弦函数cos(x)的周期。

三、解答题11. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该函数的极值点。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 2 > 0。

13. 已知点A(1, 2)和点B(4, 6)，求直线AB的斜率和方程。

14. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1恒成立。

15. 已知函数h(x) = √x，求该函数的定义域和值域。

答案：1. B2. A3. A4. A5. B6. 9x^2 - 4x + 17. 焦点坐标为(1, 0)8. 59. √(3/π)10. 2π11. 极小值点x = 1，极大值点x = 512. x < 1/2 或 x > 213. 斜率k = 2，方程为2x - y - 2 = 014. 证明略15. 定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)本试卷涵盖了高中数学的多个知识点，包括函数、导数、不等式、几何图形、三角函数等，旨在帮助学生全面复习和巩固所学知识。

新教材高中数学习题课二随机变量及其分布新人教A版选择性必修第三册

习题课（二）随机变量及其分布一、选择题1．已知事件A 发生时，事件B 一定发生，P (A )＝13P (B )，则P (A |B )等于( )A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 因为P (AB )＝P (A )＝13P (B )，所以P (A |B )＝P AB P B ＝13.2．甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X 表示他的得分，计算X 的均值为( )A ．0.5分B ．－0.5分C ．1分D ．5分解析：选B E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－0.5.3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 3 5 P0.5m0.2则数学期望E (ξ)等于( A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4解析：选D 由题意得m ＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A 因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X＋1)＝4×32＝6.5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127 B.1124 C.827D.924解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝124A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝11025＝14. 答案：148．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X <10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X >30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X <10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X >30)＝1，故P (X >30)＝1－0.3－0.4＝0.3. 答案：0.39．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000,0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X 的期望为2E (ξ)＝200. 答案： 200 三、解答题10．某一射手射击所得环数X 的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.11．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x ；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本容量及x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所以样本容量n ＝20.08＝25，x ＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2，所以ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 26＝115，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P25815115所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×5＋1×15＋2×15＝3.12．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0,5,10,15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14， P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。

汤家凤高数数学课后习题选做(数一同济六版)

《高等数学》(同济六版）课后基础练习习题范围完整版（数学一）2015—03-17 13：21 文都-汤家凤阅读22101《高等数学》(同济六版）课后基础练习习题范围完整版（数学一）第一章函数与极限习题1—5(P49）1（1)~（(14）习题1—6（P56）1（1）~(6)、2（1）～（4)、4(1）~（5）习题1—7（P59）4(1)～(4）习题1-8（P64)3（1）~(4）、4习题1—9（P69）3（1)～(7）、4(1）～（6)习题1—10（P74）1、2、3、5总习题一（P74）2、3（1)（2）、9（1)~（6）、10、11、12、13。

第二章导数与微分习题2—15、6、7、8、9（1）～(6）、11、13、14、15、16、17、18、19、20习题2—22(1)～（10）、3（1)~（3）、5、6（1）～（10)、7（1）～(10）、8（1）~（10）、10（1）～(2）、11（1）~（10)、13、14习题2—31（1）～（12）、3（1）~(2）、4、10（1)~（2）习题2—41(1）~（4）、2、3（1）~（4）、4(1）~（4)、5(1）～(2）、6、7（1）~（2）、8(1)~（4）习题2-52、3（1）~(10)、4（1）～（8）总习题二1、2、3、6、7、8（1）～（5)、9（1）～(2)、11、12（1）~（2)、13、14。

第三章微分中值定理与导数的应用习题3—11、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14习题3—21（1）～(16）、2习题3-31、2、3(1）~（7)、5（1）～（5)、6、8（1)~（4)、9(1）～（6)、10（1）~（3）、12、13、14习题3-51（1）～（10)、2、4（1）～（3）、8、9、10、16习题3—62、3、4总习题三1、2、4、5、6、7、8、9、10（1)～(4）、11（1）~（3）、12、13、14、19、20。

高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)

高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。

15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。

16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。

18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。

高中数学必修一集合习题大全含答案

《集合》练习一一、选择题:(每小题5分共60分) 1．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。

A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或04．若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（）A ．MN M =B ．M N N =C ．M N M =D ．M N =∅5．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（）A ．()5,4B ．()4,5-C ．(){}4,5-D ．(){}4,5-。

6．下列式子中，正确的是（） A ．R R ∈+B ．{}Z x x x Z∈≤⊇-,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}φφ∈7．下列表述中错误的是（）A ．若AB A B A =⊆ 则,B ．若B A B B A ⊆=，则C ．)(B A A)(B A D ．()()()B C A C B A C U U U =8．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（） A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆ 9．已知集合{}2|10,A x x mx AR φ=++==若，则实数m 的取值范围是（）A ．4<mB ．4>mC ．40<≤mD ．40≤≤m10．下列说法中，正确的是（）A.一个集合必有两个子集；B.则,A B 中至少有一个为φC.集合必有一个真子集；D.若S 为全集，且,AB S =则,A B S ==11．若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若()()U B C A C B A U U == 则,φ （2）若()()φ==B C A C U B A U U 则, （3）若φφ===B A B A ，则A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（）A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N φ=二、填空题(每小题4分,共16分)13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人_______。

高中数学练习题及答案

高中数学练习题及答案高中数学练习题及答案数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

以下是店铺为大家收集的高中数学练习题及答案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高中数学练习题及答案11.3 交集、并集若集合A＝{x|x是6的倍数}，B＝{x|x是4的倍数}，则A与B有公共元素吗？它们的公共元素能组成一个集合吗？两个集合A与B的公共元素能组成一个集合吗？若能组成一个集合C，则C与A、B的关系如何？基础巩固1.若集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{1,2,4}则AB＝()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}答案：A2.设S＝{x||x|3}，T＝{x|3x－51}，则ST＝()A. B.{x|－33}C.{x|－32}D.{x|23}答案：C3.已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且AB＝{3}, AUB＝{9}，则A＝()A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}答案：D4.设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则AB为()A.{x＝1，或y＝2}B.{1,2}C.{(1,2)}D.(1,2)解析：AB＝x，y4x＋y＝63x＋2y＝7＝{(1,2)}.答案：C5.已知集合A＝{(x，y)|x，yR且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，yR 且x＋y＝1，则AB的元素个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个解析：由x2＋y2＝1，x＋y＝1x＝1，y＝0或x＝0，y＝1，即AB＝{(1,0)，(0,1)}.答案：C6.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(UA)B 为()A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}答案：C7.已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的'解分别为M和S，且MS＝{3}，则pq＝________.解析：∵MS＝{3}，3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p，q.答案：438.已知全集S＝R，A＝{x|x1}，B＝{x|05}，则(SA)B＝________.解析：SA＝{x|x1}.答案：{x|15}9.设集合A＝{x||x－a|1，xR}，B＝{x|15}，若AB＝，则a的取值范围是________.解析：∵A＝{x|a－1a＋1}，若AB＝，则a＋11或a－1a0或a6.答案：{a|a0或a6}10.设集合A＝{0,1,2,3,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}，那么集合(AC是________.答案：{1,3,7,8}11.满足条件{1,3}A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________个.答案：4能力提升12.集合A＝{x||x|1，xR}，B＝{y|y＝x2，xR}，则AB为()A.{x|－11}B.{x|x0}C.{x|01}D.解析：∵A＝{x|－11}，B＝{y|y0}AB＝{x|01}.答案：C13.若A、B、C为三个集合，且有AB＝BC，则一定有()A.ACB.CAC.AD.A＝答案：A14.设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则UAUB＝________解析：UA＝{c，d}，UB＝{a}，UAUB＝{a，c，d}.答案：{a，c，d}15.(2013上海卷)设常数aR，集合A＝{x|(x－1)(x－a)0}，B＝{x|xa－1}，若AB＝R，则a的取值范围为________.解析：当a1时，A＝{x|x1或xa}，要使AB＝R，则a1，a－112；当a1时，A＝{x|xa或x1}，要使AB＝R，则a1，a－1a1.综上，a答案：{a|a2}16.已知集合A＝{x||x＋2|3，xR}，集合B＝{x|(x－m)(x－2)0}，xR}，且AB＝(－1，n)，求m和n的值.解析：|x＋2|－3x＋2－51，A＝{x|－51}，又∵AB＝(－1，n)，－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，即m＝－1，此时B＝{x|－12}，AB＝(－1,1)，即n＝1.17.设集合P＝{1,2,3,4}，求同时满足下列三个条件的集合A：(1)AP；(2)若xA，则2xA；(3)若xPA，则2xPA.解析：∵21＝2,22＝4，因此1和2不能同时属于A，也不能同时属于UA，同样地，2和4也不能同时属于A和UA，对P的子集进行考查，可知A只能为：{2}，{1,4}，{2,3}{1,3,4}.18.设集合A＝{x|x＋10或x－40}，B＝{x|2aa＋2}.(1)若A，求实数a的取值范围；(2)若AB＝B，求实数a的取值范围.解析：(1)A＝{x|x－1或x4}，∵A，2a2＋a，a＋24或2aa＋2，2a－1.a＝2或a－12.综上所述，实数a的取值范围为aa－12或a＝2.(2)∵AB＝B，BA.①B＝时，满足BA，则2aa＋22，②B时，则2aa＋2，a＋2－1或2aa＋2，2a4.即a－3或a＝2.综上所述，实数a的取值范围为{a|a－3或a＝2}.高中数学练习题及答案21.1 集合的含义及其表示一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？基础巩固1.下列说法正确的是()A.我校爱好足球的同学组成一个集合B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D.数1,0,5，12，32，64， 14组成的集合有7个元素答案：C2.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()A.5个B.4个C.3个D.2个答案：C3.下列四个关系中，正确的是()A.a{a，b}B.{a}{a，b}C.a{a}D.a{a，b}答案：A4.集合M＝{(x，y)|xy0，xR，yR}是()A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第四象限内的点集D.第二、四象限内的点集解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集.答案：D5.若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B6.集合M中的元素都是正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()A.6个B.7个C.8个D.9个解析：由题意可知，集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个.答案：B7.下列集合中为空集的是()A.{xN|x2B.{xR|x2－1＝0}C.{xR|x2＋x＋1＝0}D.{0}答案：C8.设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝()A.－3或－1或2 B－3或－1C.－3或2D.－1或2解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}.a＝－3或2.答案：C9.集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x＝4k ＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()A.a＋bPB.a＋bQC.a＋bMD.a＋b不属于P、Q、M中任意一个解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.答案：B10.由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号).①不超过2的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生.答案：①④⑤11.若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________.解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n＋2N.答案：aA12.集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______.解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.答案：－313.一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M 的元素个数最多为________.答案：7个14.下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号).①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}.答案：③能力提升15.已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值.解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，此时A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意.(2)若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，此时A ＝－34，符合题意.综上所述，a＝1或53.16.若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2014＋b2013的值.解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，a＝1，又a1，故a＝－1.a2014＋b2013＝(－1)2014＋02013＝1.17.设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”.(1)试写出只有一个元素的集合A；(2)试写出只有两个元素的集合A；(3)这样的集合A至多有多少个元素？解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}.(2)若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地出现在A中.同理，2和8,3和7,4和6成对地出现在A中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合.(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}.18.若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，1－1a1＋1a＝a－1a＋1M，1＋a－1a＋11－a－1a＋1＝aM.∵a0且a1，a，1＋a1－a，－1a，a－1a＋1互不相等集合M中至少有4个元素.【高中数学练习题及答案】。

高中数学11章立体几何初步11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积B

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．( ) (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( ) (3)由V 锥体＝13S·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( ) A ．15πB ．30C ．12πD ．36πC [圆锥的高h ＝52－32＝4，故V ＝13π×32×4＝12π.]3．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小为原来的34B ．缩小为原来的23C ．扩大为原来的2倍D ．不变A [设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆锥的体积V ＝13πr 2×h ，当圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12时，圆锥的体积V ′＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×3h ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2×h . 所以圆锥的体积缩小为原来的34.故选A ．]4．若一个球的直径是12 cm ，则它的体积为________cm 3.288π [由题意，知球的半径R ＝6 cm ，故其体积V ＝43πR 3＝43×π×63＝288π(cm 3)．]求柱体的体积【例1】 3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．[解] V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．柱体体积问题的处理方法求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．[跟进训练]1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解] 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝⎛⎭⎪⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2. 求锥体的体积【例2】 111111三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥C A 1B 1C 1的体积之比．[思路探究] AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→ 计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C[解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，∵AB ∶A 1B 1＝1∶2，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB A 1B 1C ＝V 台VA 1ABC VC A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴三棱锥A 1ABC ，B A 1B 1C ，C A 1B 1C 1的体积比为1∶2∶4.割补法与等积法求锥体体积三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．[跟进训练]2．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D ACD 1的体积是( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．1A [三棱锥D ACD 1的体积VD ACD 1＝VD 1ACD ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.] 求台体的体积【例3】 780 cm 2.求正四棱台的体积．[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积．[解] 如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－OE －O 1E 12＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，”求该棱台的体积．[解] 如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt△BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝22－2＝ 2 (cm)．根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－22＝2(cm)．S 上＝22＝4 (cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2823(cm 3)．求台体体积的技巧求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．求球的体积【例4】 AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积．[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截面圆半径和球心距构成的直角三角形．[解] 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3(cm)， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝ 3 (cm)．设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ， ∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝32R ＝ 3 (cm)，∴R ＝2(cm)， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)．即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R ，一般题目不直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意挖掘隐含条件.[跟进训练]3．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.4 [设球的半径为r ，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r . 则有πr 2·6r ＝8πr 2＋3·43πr 3，即2r ＝8，所以r ＝4 cm.] 知识：1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.方法：不规则几何体的体积问题的求解策略：若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式．1．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为( ) A ．43π B ．83π C ．163πD ．323πD [因为球O 的表面积是16π，所以球O 的半径为2，所以球O 的体积为4π3×23＝323π，故选D ．]2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B．2π C．4π D．8π B [设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2.∴4π＝πa 2，a ＝2. ∴V 圆柱＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22×a ＝2π.]3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A ．1∶3∶4B ．1∶3∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶2B [设球的半径为R ，则V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球＝23∶2∶43＝1∶3∶2.]4．如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，CE ＝2EP ，若三棱锥P EBD 的体积为V 1，三棱锥P ABD 的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．13[设四棱锥P ABCD 的高为h ，底面ABCD 的面积为S ，则V 2＝V P ABD ＝13×12Sh ＝16Sh .因为CE ＝2EP ，所以EP ＝13PC ，所以V 1＝V P EBD ＝V E PBD ＝13V C PBD ＝13V P BCD ＝13×16Sh ＝118Sh ，所以V 1V 2＝118Sh16Sh ＝13.]5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积． [解] 如图所示，正三棱锥S ABC ．设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ．∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。

人教版高中数学必修课后习题答案详解

第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r；（2）CB u u u r . 4、（1）c r ；（2）f u r ；（3）f u r ；（4）g u r.练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ；（2）74b a =-r r ；（3）12b a =-r r；（4）89b a =r r .4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -r r ；（2）111123a b -+r r；（3）2ya r . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ；（2）AB u u u r ；（3）BA u u u r；（4）0r ；（5）0r ；（6）CB u u u r ；（7）0r . 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ；（2）102210a b c -+r r r ；（3）132a b +r r；（4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r，34DB a =u u u r r ，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题 B组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.（第11题）（第12题）EHGFC AB乙（第1题）（第4题(2)）BCD（第4题(3)）DCB证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ；（2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ；（4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ；（2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ；（4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线.7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-；故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r ，35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r 2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r ()cos a b a b λλθ⋅=r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r， ∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是a =r或(a =r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是e =r或(e =r . 习题 B 组（P108） 1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--r r，所以()0a b c ⋅-=r r r再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r .3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r.cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r4、AB AC ⋅u u u r u u u r的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥ 证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r，所以AC BD ⊥（第4题）（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.（2）因为1()2AE a b =+u u u r r r所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r；（2）v r 在A v u u r方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u ru u r .4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F uu r 的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r.ODFEABC（第2题）（第4题）设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθu u r ，最大投掷距离为20sin 2v gθu u r .2、解：设1v u r与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r，2v u u r与v r的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v vθθα==u rrr ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r.将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r1133EF a b =--u u u r r r，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u ur r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ；（3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r.6、AB u u u r 与CD u u ur 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u ur 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ==第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r rr r r r .再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r.由于222a b a a b b +=+⋅+r rr r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r（第6题）又a b =r r，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r.由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r所以a b =r r【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r而34EF a =u u u r r，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成90︒+. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r 同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；P 2（第5题）（4）d =第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()444252510πππααα-=+=-+=.3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以81158cos()cos cos sin sin 33317217234πππθθθ-+-=+=-⨯+⨯=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α===又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β===.所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=.练习（P131）1、（1 （2 （3 （4）2-2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ===；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ=-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=.4、解：tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=12(cos )2(sin cos cos sin )2sin()22666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()()()()444525210πππβββ+=+=--+--=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α==-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α===，所以sintan (2)cos ααα==-=. 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒；（4）原式=cos452︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-；（4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=+⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α==又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β==，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+==所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+===-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒ 6、（1）（2）（3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α==又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角 ∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ===-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯.31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒ 13、（1）)6x π+；（23sin()3x π-；（3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-；（5）2；（6）12；（7）sin()αγ+；（8）cos()αγ--；（9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α=∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ==∴sin 22sin cos 2((3ϕϕϕ==⨯⨯=16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=（第12题）17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin α==∴1sin 22sin cos 2(3ααα==⨯⨯=∴78cos(2)cos2cos sin 2sin (444929218πππααα-+=-=---⨯=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin 44x ；（4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略；（6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+；（8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒= 3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+=又tantan 22αβ=tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以，y ；（第4题）第三章复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2 （3）2；（4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin10sin 40(sin 40cos10cos10︒︒︒︒=︒⋅︒︒=2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒=sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 6、（1）95；（2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++=++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为2210、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 444πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=.又由1sin cos 5αα-=，得sin()410πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->. 所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈ 所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)450πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++=可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-=4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x+++==---由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--，5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=. 变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数. 考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +=，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

天津市南开中学2022-2023学年高三上学期统练11数学试题(含答案解析)

天津市南开中学2022-2023学年高三上学期统练11数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,3A =，{}2,5,6B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}4B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．{}1,3,4,5,62．设x ∈R ，则“||1x >”是“01xx >-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数sin 4xx xy e +=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（）A ．30B ．60C ．70D ．1305．已知0.112,2ln ,ln 22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．b a c >>D ．b c a>>6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭7．已知函数()()4cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向右平移()0m m >个单位，所得函数为奇函数，则实数m 的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．512πD ．4π8．若将函数()g x 图象上所有的点向右平移6π个单位长度得到函数()f x 的图象，已知函数()()sin (0,0f x A x A ωϕω=+>>.2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A ．()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值是12B ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心C ．()g x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称9．已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（）A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题10．若复数z 满足(1i)=1+2i(i z -为虚数单位），则复数z 的虚部是___．11．已知22()n x x-的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．12．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，337S a =，则使12764n S >成立的n 的最小值为_____________.13．已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．三、双空题14．为了抗击新冠肺炎疫情，现在从甲医院200人和乙医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率是_____．设3名联络员中甲医院的人数为X ，则随机变量X 的数学期望为__．15．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，2CE EB = ，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得1()2AM k AB AD k R =+∈ ，则AM BC ⋅= ____；若,[0,1]AN AB λλ=∈ ，则AF MN ⋅的最大值为_____．四、解答题16．在ABC ∆中，a，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a =2b =，且sin sin sin()C B A B =+-．(1)求角A ；(2)求边c 的大小；(3)求cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．如图，⊥AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．(1)求证：//BF 平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值．18．在等差数列{}n a 中，24a =，其前n 项和n S 满足2(R)n S n n λλ=+∈.(1)求实数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．已知数列{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S ，11a =，322a a =+，数列{}n b 满足111ni n ib ib +==-∑，且11b =．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求21cos nk k a k π=∑；(3)设231nnn b b c =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：94n T <．20．设函数()ln 4p x x x =+-，()e ()=∈x q x ax a R ，()2()()e =∈xq x h x a R ax ．(1)求函数()()2f x p x x =-的单调区间和极值；(2)若关于x 的不等式|()|()p x q x >的解集中有且只有两个整数，求实数a 的取值范围；(3)方程()4()p x x h x -+=在的实根为0x ，令()()()04,1,x p x x x x F x xh x x x ⎧⎡⎤-+<≤⎪⎣⎦=⎨>⎪⎩，若存在1212(1),,,x x x x ∈+<∞，使得()()12F x F x =，证明()()2012F x F x x <-．参考答案：1．B【解析】由已知集合，根据交补运算求()U A B ⋂ð即可.【详解】由题意知：{1,3,4}U B =ð，而{}1,2,3A =，∴(){1,3}U A B = ð，故选：B 2．A【分析】根据充分必要条件的概念分析题中命题进而判断出结果.【详解】1x >时，1x >或1x <-；01xx >-时，1x >或0x <1x ∴>成立时，01x x >-也成立，但01x x >-成立时，1x >不一定成立“1”x ∴>是“0”1xx >-的充分不必要条件，选项A 正确故选：A.3．A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e +=的定义域为R ，且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ；当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →，结合选项，可得A 选项符合题意.故选：A.4．C【分析】根据频率分布直方图得到标准分不低于70分的企业数为频率，进而得到企业数.【详解】根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业数为频率为()0.010.020.0450.35++⨯=，标准分不低于70分的企业数为为0.3520070⨯=（家）．故选：C 5．B【分析】利用“0,1分段法”来求得,,a b c 的大小关系.【详解】0.10221a =>=，12ln02b =<，()ln 20,1c =∈，所以a c b >>.故选：B 6．A【分析】先得到函数的周期为6，利用()3y f x =+为偶函数，得到()()33f x f x -+=+，将(10)f 化成(2)f ，再比较12,ln 2,2e 的大小关系，最后利用函数的单调性得到()()12ln 2,10,f f f e ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为()()6f x f x +=，所以()f x 的最小正周期6T =，因为()3y f x =+为偶函数，所以()()33f x f x -+=+，所以(10)(4)(2)f f f ==，因为0ln 21<<，1212e <<，且()f x 在(0，3)内单调递减，所以()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.7．C【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可.【详解】因为该函数的最小正周期为π，0ω>，所以22ππωω=⇒=，即()4cos(2)3f x x π=+，将该函数图象沿x 轴向右平移()0m m >个单位得到函数的解析式为()()4cos(22)3g x f x m x m π=-=-+，因为函数()g x 为奇函数，所以有12()()32212m k k Z m k k Z πππππ-+=+∈⇒=--∈，因为0m >，所以当1k =-时，实数m 有最小值512π，故选：C 8．C【分析】根据函数的图形，求得()sin(23f x x π=+，利用三角函数的图象变换得到()sin 2g x x =，结合三角函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()()sin (0,0f x A x A ωϕω=+>>，2πϕ<）的部分图象，可得1A =且35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22T πω==，又由12x π=时，()1f x =，即sin(2)112πϕ⨯+=，解得2,62k k Z ππϕπ+=+∈，因为2πϕ<，可得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，所以()2(sin[2()sin(2)6633g x f x x x ππππ=+=++=+，对于A 中，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，可得52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当5236x ππ+=时，即4x π=时，函数取得最小值51()sin462f ππ==，所以A 正确；对于B 中，当43x π=时，可得4()sin303f ππ==，所以点点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以B 正确；对于C 中，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得2752,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()2sin(23g x x π=+为先减后增的函数，所以C 不正确；对于D 中，当6x π=时，可得2sin(2()66)03g πππ+=⨯=，所以(,0)6π是函数()g x 的对称中心，所以D 正确.故选：C..9．D【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解.【详解】不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫ ⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D10．32##1.5【分析】根据复数的除法运算化简z ，再根据复数的概念可求出结果.【详解】因为(1i)12i z -=+，所以12i (12i)(1i)1i (1i)(1i)z +++==--+13i2-+=，所以复数z 的虚部为32.故答案为：3211．60【分析】根据二项式系数的和的性质，求得6n =，结合二项展开式的通项，即可求解.【详解】由22()n x x-的展开式的二项式系数之和为64，可得264n =，解得6n =，即262()x x -则展开式第三项为22422266662()()(2)60C x C x x x-=-=，所以展开式第三项的系数是60.故答案为：60.12．8【解析】由条件解出12q =，然后求出n S ，然后解出不等式即可【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因为11a =，337S a =，所以2217q q q ++=解得12q =或13-（舍）所以11121211212n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以由12764n S >可得7n >，所以使12764n S >成立的n 的最小值为8故答案为：8【点睛】本题考查的是等比数列基本量的计算，较简单.13．6【分析】利用1x y =+代入变形后根据基本不等式可求出结果.【详解】311y x x y++3y x y x y x x y ++=++311y yx x x y =++++42y x x y =++2≥+=6，当且仅当析23x =，13y =时，等号成立.故答案为：614．142【分析】根据分层抽样得到从甲、乙医院抽取的人数，再根据条件概率可求出这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率；根据古典概型的概率公式求出X 取每个值的概率，再根据数学期望公式可求出结果.【详解】根据分层抽样可知，从甲医院选取4人，从乙医院选取2人，记“这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选”为事件A ，“恰有2人来自乙医院”为事件B ，则3436C ()1C P A =-441205=-=，124236C C 1()C 5P AB ==，所以1()15(|)4()45P AB P B A P A ===.X 的所有可能取值为：1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，3436C 1(3)C 5P X ===，所以131()123555E X =⨯+⨯+⨯=2.故答案为：14；2.15．113169-【分析】取,AB AD 为基底.表示出5162AM AB AD =+ ，13AF AD AB =+ ，5162MN AB AD λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直接进行数量积运算，求出AM BC ⋅ 和AF MN ⋅，即可得到答案.【详解】取,AB AD为基底.设EM mEF =,则()EM m EC CF =+ .因为2CE EB = ，2CF FD = ，所以2233EM m A AB D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以1222121333333m m AM AB BE AB AD m AB AB AD EM AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又12AM k AB AD =+ ，所以213112233m k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：5614k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以5162AM AB AD =+.所以2515151111222262626223AM BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ .即113AM BC ⋅= .因为13AF AD DF AD AB =+=+ ,51516262MN AN AM AB AB AD AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以151362AF MN AD AB AB AD λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦151362AD AB AB λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()221511362AB AB AD AD λλ⎛⎫=-+-⋅- ⎪⎝⎭因为2AB AD == ，60BAD ∠=︒,所以12222AB AD ⋅=⨯⨯= ，所以()()2215145104612123623639AF MN AB AB AD AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-⋅-=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[0,1]λ∈，所以当1λ=时，104639AF MN λ⋅=- 取得最大值169-.故答案为：113；169-16．(1)π3A =(2)3(3)1314【分析】（1）由三角形中常用恒等式化简得到1cos 2A =，从而求出π3A =；（2）在第一问的基础上，利用余弦定理进行求解；（3）余弦定理求出cos B ，从而求出sin 2,cos 2B B ，再用余弦的差角公式进行求解.【详解】（1）由sin sin sin()C B A B =+-可得:[]sin π()sin sin()A B B A B -+=+-，∴sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A B A B B A +=+-，∴2sin cos sin B A B =，又∵()0,πB ∈，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．（2）由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2π44cos73c c +-⨯⨯=2230c c ∴--=，解得：3c =或-1c >Q ∴3c =（3）因为a =2b =，3c =由余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-==，所以sin 7B =，所以sin 22sin cos B B B ==221cos 2cos sin 7B B B =-=，所以πππ1113cos 2cos 2cos +sin 2sin +3337214B B B ⎛⎫-==⨯ ⎪⎝⎭17．(1)证明见解析(2)499【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ADE 的一个法向量以及()0,2,1BF =，进而可证得结论；（2）利用空间向量求线面角的坐标公式即可求出结果；（3）利用空间向量求二面角的坐标公式即可求出结果.【详解】（1）依题意，可以建立以A 为原点，分别以,,AB AD AE的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ，()1,2,1F .因为⊥AE 平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，所以AE AB ⊥，又AD AB ⊥，且AD AE A ⋂=，所以AB ⊥平面ADE ，故()1,0,0AB =是平面ADE 的一个法向量，又()0,2,1BF = ，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE .（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--，设(),,n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令z =1，可得()2,2,1n =r ，设直线CE 与平面BDE 所成角θ，因此有4sin 9||||CE n CE n θ⋅==.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.（3）设(),,m x y z = 为平面BDF 的法向量，则00m BD m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即020x y y z -+=⎧⎨+=⎩.不妨令y =1，可得()1,1,2m =-.由题意，有cos ,9m nm n m n⋅==-⨯由图可知平面BDE 与平面BDF 夹角为锐角，所以平面BDE与平面BDF 18．(1)2n a n=(2)2121n n n +-+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意的1λ=，进而得2d =，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）知1λ=，得112n n n b S -+=，进而得1112(1n n b n n -=--+，利用等比数列的前n 项和裂项求和，即可得到数列的前n 项和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()()2214213a S S λλλ=-=+-+=+，所以34λ+=，所以1λ=.所以112a S ==，所以212d a a =-=.所以()112n a a n d n =+-=.（2）由（1）知1λ=，所以111122n n n nb S --+=⨯=.所以()111112211n n n b n n n n --⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭.所以()0111111122212231n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1211121n n -⎛⎫=-- ⎪-+⎝⎭2121nn n +=-+19．(1)12n n a -=，n b n =，*n ∈N (2)2+2(4)5n -⨯-(3)证明见解析【分析】（1）根据等比数列求出公比，即可求出{}n a 的通项公式，两式相减得{}n b 的递推关系，根据累加法或者函数思想求解.（2）根据数列特征，发现2cos k a k π是等比数列.（3）对231nnn b b c =-进行适当的放缩，运用错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，11a = ，由322a a =+，得22q q =+，0q > ，解得2q =，则1112n n n a a q --==.由11b =，且()*2311123n n b b bb b n N n++++⋅⋅⋅+=-∈，当1n =，121b b =-，即22b =当2n ≥时，211112n n b b b b n --++⋅⋅⋅+=-，又2111121n nn b b b b b n n-+++⋅⋅⋅++=--，两式相减可得()111nn n b b b n+=---方法一：化为21112nn b b bn n +==⋅⋅⋅==+（方法二：化为11n n b n b n++=，累乘）所以n b n =，上式对1n =也成立，所以n b n =，*n ∈N ．（2）设212(4)cos (1)22nnn n n d a n π--==-⋅=21cos =nk k a k π=∑11123114(4)4(4)2+2(4)-4)-4)-4)-4)=225105n n nn ++-------⨯-⎡⎤++++=⋅=⎣⎦ （（（（（3）112231233n n n n n n nc --=≤=-⨯，设0122111111123(1)33333n n n k n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅，则1231111111123(1)333333n n n n n k -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅，两式相减得01231111111132333333n n nk n -=⋅++++⋯+-⋅整理得1113313()23223233n n n n n n k -=-⋅=-+⋅，19931923()4423443nn n n k n -+=-+⋅=-⋅∴则94n n T k ≤<．20．(1)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，极大值为-5，无极小值(2)32ln312ln23e 2e --≤<a (3)证明见解析【分析】（1）由()ln 4f x x x =--，求导，利用极值的定义求解；（2）由()()p x q x >，即ln 4ln 4e e +-+->⇔<x xx x x x ax a x ，令()ln 4x x x h x xe +-=，利用导数法求解；（3）易得001ln x x e=，将证()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，转化为证()()1012F x F x x <-，由01x x <<时，()ln F x x x =，0x x >时，()e xxF x =，转化为证01011122ln e --<x x x x x x ，记()0022ln x xx xm x x x e --=-，利用导数法证明.【详解】（1）解：()ln 4f x x x =--，11()1x f x x x'-∴=-=，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞.()f x ∴的极大值为(1)5=-f ，无极小值.（2）()()p x q x >，即ln 4ln 4e e +-+->⇔<x xx x x x ax a x ，令()ln 4x x x h x xe +-=，则()()()21ln 5xx x x h x x e ++--'=，令()ln 5x x x ϕ=+-，则()x ϕ在()0,∞+上单调递增．又()3ln320ϕ=-<，()4ln410ϕ=->，∴存在()3,4t ∈，使得()0t ϕ=．∴当()0,x t ∈，()0x ϕ<，即()0h x '>，()h x 在()0,t 单调递增；当(),x t ∈+∞，()0x ϕ>，即()0h x '<，()h x 在(),t +∞单调递减.∵()310e =-<h ，()2ln22202e -=<h ，()3ln31303e -=>h ，且当3x >时，()0h x >，又()31e=h ，()()232ln2ln31232e 3e --=>=h h ，()42ln244e =h ，故要使不等式式()()p x q x >解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为：32ln312ln23e 2e --≤<a ．（3）证明：方程()()4p x x h x -+=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即001ln x x e =，要证()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-，当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，()F x 在()01,x 上单调递增.当0x x >时，()e x xF x =，()10e-'=<xx F x ，()F x 在()0,x +∞上单调递减.因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-.即要证01011122ln e --<x x x x x x .记()0022ln e x xx xm x x x --=-，01x x <<.因为001ln e=x x ，所以0000ln e =x x x x ，则()00000ln 0e =-=x x m x x x .()0000022212211ln 1ln e e e---+--'=++=++-x xx x x x x x x x m x x x .设()e=ttn t ，()1e -'=t t n t ，当()0,1t ∈时，()0n t '>.()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1e=n t .且()0n t >，故()10e<<n t ，因为021x x ->，所以002210e e ---<<x x x x .因此()0m x '>，即()m x 在()01,x 上单调递增.所以()()00m x m x <=，即01011122ln e x x x x x x --<.故()()2012F x F x x <-得证.【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口。

高中数学课本课后习题精选高一上试题(共27页)

高中数学课本(kèběn)课后习题精选〔高一上〕一、选择题1．假如X = {}x|x>－1，那么以下正确的选项是〔〕(一上40页例1(1))(A) 0 ⊆ X (B) {0} ∈ X (C) Φ∈ X (D) {0} ⊆ X2 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是(一上43页B组6)(A)0<a≤1 (B) a<1 (C) a≤1 (D) 0<a≤1或者a<03．命题p：“a、b是整数〞，是命题q：“ x 2 + ax + b = 0 有且仅有整数解〞的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件4．假设y = 15x + b与y = ax + 3互为反函数，那么a + b =(A) －2 (B) 2 (C) 425(D) －105．x + x– 1 = 3，那么 + 的值是(A) 3 3 (B) 2 5 (C) 4 5 (D) －4 5 6．以下函数中不是奇函数的是(A) y = (a x + 1)xa x－1 (B) y =a x–a－x2(C) y =| x |x(D) y = log a1 + x1－x7．以下四个函数(h ánsh ù)中，不满足f (x 1 + x 22 )≤f (x 1) + f (x 2)2的是 (A) f (x ) = ax + b(B) f (x ) = x 2 + ax + b (C) f (x ) = 1x(D) f (x ) = － lnx8．数列{a n }的前n 项的和 S n = a n － 1〔a 是不为0的实数〕，那么{a n } (A) 一定是等差数列(B) 一定是等比数列(C) 或者者是等差数列，或者者是等比数列 (D) 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题 9．设A = ，B =，那么A ∩B =_____(一上17页例6)10．不等式x 2－3x －132－x≥1的解集是_______. (一上43页例5(2))11．A = {}x || x －a |< 4 ，B = {}x || x －2 |>3 ，且A ∪B = R ，那么a 的取值范围是________. (一上43页B 组2) 12．函数y =的定义域是______；值域是______. 函数y =1－( 12 )x 的定义域是______；值域是______. (一上106页A 组16)13．数列{a n }的通项公式为a n = pn + q ，其中p ，q 是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？______ 假如是，其首项是______，公差是________. (一上117页116)14．以下(yǐxià)命题中正确的选项是。

高中数学集合练习题160题,包含所有题型,附答案

第一节：集合的含义与表示练习题123 已知集合2=++∈若，则a的值为_______．A a a a A{2,2},34567891011121314151617181920212223242526(2,3]B(2,3]-(2,3]D(2,3]-272{|0}a xxax=，若2∉，则实数a的取值范围是（）B．C．D．(-282{|axxx-=-3,5M∈∉，则实数a的取值范围是（）答案：第二节：集合间的基本关系练习题12345678910111213 B，则a14 B，则实数15 B⊆，求实数161}-，若BD．1718192021222324 A，求a25A⊆，则实数26 A⊆，则实数27R x∈28293031323334353637答案：第三节：集合的基本运算练习题1 B．2 B．为整数集，则A B=（3-D．{1,0,1,2}为整数集，则A B=（）4-1,0}N=（）56 {0,1,2,3,9}B=，求实数7 1}A B=，求+，{3,2,0}8 {3,5}B=，求a的取值．9 1,5,}a，{5}A B=，求10 {1,4}U M =11 R{|0P x =<12 60}x n -+=，且{2,1,4}B =13 {1,2,3,5}B =，则k=______． 14 {1,2,3,4}B =，则m=_______． 15 {0,1,2,3}B =的值为_______．16 ，{5}A B =，求17 4}，{3}A B =，则实数18 ，{2,3}A B =，则19 满足{2}A B =，则实数20 ，若{3}A B =，则实数21 1,3,21}m m --，若{3}B =-22 {3}A B =，则实数a=_______23 ，若{1,2}U A =，则实数m=_______24 {0,1}U A =，则_______． 250}p +=，若{2,3}UM =26 ，且R A B =，求m 的取值范围．27 6}，{|2A B x =-28 230}x -->，若R B =，求29 B =∅，求a 的取值范围．30 1}+，若{|47}A B x x =<<31 B=∅，求321}a≥-，若RB=，则33RB=，则实数的取值范围是（3a≥34 8}，RS T=，则31a-≥或D．35，若A B=∅，则36B=∅，实数[2,)+∞[2,)+∞][2,)+∞[2,)+∞37{|}x x a=≤0}，若M N=∅，则B．0a≥．2a<-38|2x x-≤≤||,}y x x M=∈，若N N=，则实数39B≠∅，则的取值范围为（2,3]4021}-<，若(){UN x=3-41 B≠∅，实数m的取值集合是42*R=∅，则实数2>-D．43 {1,4,5}=，求()UA B．44 {1,4,5}=，求()()U UA B．45 40}ax+=，其中A B A B=，求a的值．4640}ax+=，其中A B=∅且A B A=，47 ()UA=∅，求a的值．48 )UA B．49 {1,3,5,7,9}=，则()UA B=________50 ，则()UA B=（）51 ()UA B=________．52(){4}UA B=，{1,2}B=，则UB=（∅53 ，全集U A B=，则集合()UA B中的元素共有（个545}x≤，则RB=（）3,3)-55，则下列关系中与A B⊆等价的事（）．B A=（B B=（UB=∅（UA=∅）（2）B）（3）（4）．（1）（2）（3D．（2）（3）56 2{|30}x x=+≥，241B x m=-+-，若A B=∅，且B A=，则57 B =∅，B A =，58 B A =，求59的关系是（N N = N N =603}x <<，12}M x x <>或N =∅ R M N =61 22}y b b =-+，A 、B 的关系？62且AB A =，则的值为（或-1或06320}ax -=，满足B B =，则实数64 B A =，则实数65，则下列结论成立的是（）N M = N N = D ．{2}M N =66{|1}x x >，则（）P ⊆ C ．RP Q ⊆ D ．RQ P ⊆67，{2,3,4}N =，则（）．{2,3}M N =D ．{1,4}M N =68{|5x x =-<<，则（） B =∅ R B = ．B A ⊆69 已知集合{20}A x =-<，{|1B x x -<<）B B ．AC ．B =∅70{|4}x x <2{|Q x x =<Q ⊆ B ．P ⊆ C RQ D ．RQ P ⊆71 ,)|}x y x y -，{(3}B x y =+=，求A B ． 72 1}1y=+，求AB ．73 ,)|40}x y x y +=，则A B =______74，则AB =（）．{(0,0),(1,1)} 7521}x x =++，则M N =（ {(0,1),(2,7)}76两个集合的关系是（ 7778 {(2,5)}B =7953}x =-，)B ，则80 A C ．81 M =∅，求8221)(x a -+-B =∅，则832ay a --=B =∅，则a84B =∅，则8512人，学生总数86(){2,3}U B =(){0,6}U A =()(){1,7}U U A B =87 人，物理及格人，化学及格25人，数学物理都及格20人，物理化学都及格人，数理化都不及格10人，学生总数88 8990 91(){2,3}U B =(){0,6}U A =()(){1,7}U U A B =92{1,2,3,4,5}N =，{2,4}UMN =，则N= ）B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}93 {1,2,3,4,5}N ={2,5}UN =94 均为集合U =的子集，且{3}AB =，){9}U B A =，则．{3,7,9}{3,5,9} D ．{3,9}95 3}x ≥，途中阴影部分所表示的集合为（A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}96已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5} 97()I M =∅N =（ 98 B 中有m )()U U A B 中有n 个元素，若AB 非空，则A B 的元）m+n C ．m-n 99C 为三个集合，B B C =，则一定有（．C A ⊆ A C ≠D ．A =∅100 {,}a b ，{,,}B b c d =，则)()U U A B =_______101 ,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合{0,1,3,5,8}A =，集合B =)()U U A B =（ A ．{5,8} B ．{7,9}102设全集{1,2,3,4,5,6}U =A ．M N B ．MN C ．()()U U M N D ．()()U U M N答案：BD2 2,0,}3或23D。

高中数学数列及其极限知识点总结及练习题

高中数学数列及其极限知识点总结及练习题中国魏晋时期的数学家刘徽创「割圆术」﹐利用圆的内接正多边形﹐当边数愈来愈多时﹐会愈靠近圆的面积﹐从而得出了圆周率 π 的近似值。

刘徽采用的「割圆术」﹐其程序蕴含了「无穷」﹑「极限」等数学概念。

例题1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 写出下列各数列的前 8 项。

(1)〈3n －1〉。

(2)〈（－1）n 〉。

(3)〈a n 〉﹐其中 a 1＝1﹐a n ＝a n －1＋n ﹐n 为正整数且 n ≥2。

(4)〈a n 〉﹐其中 a n ＝20＋21＋…＋2n －1﹐n 为正整数。

随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 写出下列各数列的前 6 项：(1)n 1。

(2)〈2n －1〉。

(3)()211nn -+。

(4)〈a n 〉﹐其中 a 1＝1﹐a n ＝a n －1＋n 2﹐n 为正整数且 n ≥2。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------将下列各数列用〈a n 〉表示： (1)等差数列：7﹐10﹐13﹐16﹐…。

(2)等比数列：1﹐－12﹐14﹐－18﹐…。

(3)平方数的倒数所成的数列：11﹐14﹐19﹐…﹐1100。

随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 将下列各数列用〈a n 〉表示：(1)等差数列：7﹐10﹐13﹐16﹐…。

高等数学11-6习题

取 ∑1 ：x 2 + y 2 + z 2 = ε 2 , ( ε 足够小) 外侧， 1 I= ∫∫ + ∫∫ = 3 ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy ε ∑1 − ∑1 ∑ + ∑1
4 3 = 3 ∫∫∫ 3dv = 3 3 πε = 4π ε x 2 + y 2 + z 2 ≤ε 2 ε 3
11-6习题
1(1) .计算I= ∫∫ 4 xzdydz − y 2 dzdx + yzdxdy, ∑ 为x = 0, y = 0,
∑
z = 0, x = 1, y = 1, z = 1所围表面的外侧.
解：I =
∫∫∫ ( 4 z − 2 y + y ) dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ ( 4 z − y ) dz
2 1 y 1 1 y y 2 2 解：I = ∫∫∫ 3x + f ′ + 3 y + f ′ − 2 + 3 z dv z z z y z z Ω
= 3∫∫∫ ( x + y + z ) dv = 3∫ dθ ∫ dϕ ∫ r 2 ⋅ r 2 sin ϕ dr
= −3∫ dθ ∫ ρ 2 ( 4 − ρ 2 ) ρ d ρ = −32π
2π 2 0 0
x2 y 2 y 2 xdydz + ydzdx + zdxdy 6.设 ∑ : 2 + 2 + 2 = 1的外侧，求 ∫∫ , 3 a b c ∑ ( x2 + y 2 + z 2 ) 2
y 2 + z ) − x 2 ( x + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 x y 2 + z 2 − 2 x2 ∂P = = 3 5 2 2 2 ∂x (x + y + z ) ( x2 + y 2 + z 2 ) 2

高中数学计算练习题

高中数学计算练习题一、集合与函数1. 计算下列集合的交集和并集：A = {x | x² 3x + 2 = 0}，B = {x | x² 4x + 3 = 0}2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(2)和f(1)的值。

3. 设函数g(x) = x² 5x + 6，求g(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

4. 计算下列函数的定义域：h(x) = √(4 x²)5. 已知函数f(x) = (x 1) / (x + 2)，求f(x)的值域。

二、三角函数与解三角形6. 已知sinα = 3/5，α为第二象限角，求cosα和tanα的值。

7. 计算sin(π/6 + π/4)的值。

8. 在△ABC中，a = 5, b = 8, C = 120°，求c的长度。

9. 已知tanA = 1/2，求sinA和cosA的值。

10. 计算下列各式的值：(1) cos²30° sin²30°(2) sin(45° + 30°) cos(45° 30°)三、数列11. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n 1，求前10项的和。

12. 计算等差数列5, 8, 11, 14, 的第10项。

13. 已知等比数列的首项为3，公比为2，求前5项的和。

14. 设数列{bn}的通项公式为bn = 3n + 1，求证数列{bn}为递增数列。

15. 计算数列1, 1/2, 1/4, 1/8, 的前n项和。

四、平面向量与复数16. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。

17. 计算向量b = (4, 1)与向量c = (2, 3)的夹角。

18. 已知向量d = (m, 2)，向量e = (3, m)，且向量d与向量e共线，求m的值。

19. 计算复数(1 + i)²的值。

20. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模和辐角。

人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.1.1 第2课时共线向量与共面向量课时练习题

第2课时共线向量与共面向量1．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是() A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案A解析因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．对于空间的任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是() A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案A3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A —→，D 1C —→，A 1C 1—→是() A ．有相同起点的向量B ．等长向量 C ．共面向量D ．不共面向量答案C解析因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →，且AC →＝A 1C 1—→，所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→，即D 1C —→＝D 1A —→＋A 1C 1—→. 又D 1A —→与A 1C 1—→不共线，所以D 1C —→，D 1A —→，A 1C 1—→三个向量共面．4．已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且P A →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为() A.13B ．－13C.12D ．－12 答案A解析P A →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴32－x －16＝1，解得x ＝13. 5．(多选)下列命题中错误的是()A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 C ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面答案BCD 解析显然A 正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故B 错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故C 错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故D 错误．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案23解析CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________. 答案1解析∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2，且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →，即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2，故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0，又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1.8．已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案－1解析由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1.9.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线．解由题意，得ME →＝MD 1—→＋D 1A 1—→＋A 1E —→＝12BA →＋CB →＋13A 1A —→＝BN →＋CB →＋13C 1C —→ ＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →.即ME →＝－NF →，∴ME →与NF →共线．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N —→与A 1B —→，A 1M —→共面．证明∵A 1B —→＝AB →－AA 1—→，A 1M —→＝A 1D 1—→＋D 1M —→＝AD →－12AA 1—→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(AB →＋AD →)－AA 1—→＝23(AB →－AA 1—→)＋23⎝⎛⎭⎫AD →－12AA 1—→ ＝23A 1B —→＋23A 1M —→， ∴A 1N —→与A 1B —→，A 1M —→共面．11．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案C解析若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.12．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y 等于()A.56B.76C.53D.73 答案B解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→，那么M 必()A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内答案C解析PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→ ＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1—→ ＝PB 1—→＋B 1A 1—→＋6BA 1—→－4A 1D 1—→ ＝P A 1—→＋6(P A 1—→－PB →)－4(PD 1—→－P A 1—→) ＝11P A 1—→－6PB →－4PD 1—→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面． 14．有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．答案②③④解析根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．15．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________. 答案215解析根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.16.如图，已知M ，N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(AB →＋AC →＋AD →) ＝13(a ＋b ＋c )， BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →，∴BN →∥BG →.又BN ∩BG ＝B ，∴B ，G ，N 三点共线．。

数学必修三习题答案

数学必修三习题答案【篇一：高一数学必修3全册各章节课堂同步习题(详解答案)】概念班次姓名[自我认知]:1．下面的结论正确的是( ).a. 一个程序的算法步骤是可逆的b. 一个算法可以无止境地运算下去的 c. 完成一件事情的算法有且只有一种 d. 设计算法要本着简单方便的原则 2．下面对算法描述正确的一项是 ( ). a.算法只能用自然语言来描述 b.算法只能用图形方式来表示 c.同一问题可以有不同的算法d.同一问题的算法不同,结果必然不同3．下面哪个不是算法的特征( ) a.抽象性 b.精确性 c.有穷性 d.唯一性4．算法的有穷性是指( )a.算法必须包含输出b.算法中每个操作步骤都是可执行的c.算法的步骤必须有限d.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤,从下列选项中选最好的一种算法() a.s1洗脸刷牙、s2刷水壶、s3烧水、s4泡面、s5吃饭、s6听广播 b.s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c. s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d.s1吃饭同时听广播、s2泡面；s3烧水同时洗脸刷牙；s4刷水壶6.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是( )a.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达b.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1c.方程x2?1?0有两个实根d.求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值,其中正确的顺序是 ( ) a.①②③ b.②③①c.①③②d.②①③[课后练习]:8.若f?x?在区间?a,b?内单调,且f?a??f?b??0,则f?x?在区间?a,b?内( )a.至多有一个根 b.至少有一个根c.恰好有一个根 d.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取a=89 ,b=96 ,c=99；第二步：____①______；第三步：_____②_____；第四步：输出计算的结果.10．写出求1+2+3+4+5+6+?+100的一个算法.可运用公式1+2+3+?+n= 第一步______①_______；第二步_______②________；第三步输出计算的结果.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法.n(n?1)直接计算. 21.1．2程序框图[自我认知]: １．算法的三种基本结构是（）Ａ．顺序结构、条件结构、循环结构Ｂ．顺序结构、流程结构、循环结构Ｃ．顺序结构、分支结构、流程结构Ｄ．流程结构、循环结构、分支结构２．程序框图中表示判断框的是（）Ａ．矩形框Ｂ．菱形框 d.圆形框 d.椭圆形框3.如图(1)、(2),它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图,那么应分别补充的条件为( )⑴333⑵3a.⑴n≥1000 ? ⑵n＜1000 ?b. ⑴n≤1000 ?⑵n≥1000 ?c. ⑴n＜1000 ? ⑵n≥1000 ?d. ⑴n＜1000 ?⑵n＜1000 ?4.算法共有三种逻辑结构,即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构,下列说法正确的是 ( ) a.一个算法只能含有一种逻辑结构 b.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 c.一个算法必须含有上述三种逻辑结构d.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 [课后练习]:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示),该程序框图的功能是( ) a.求输出a,b,c三数的最大数 b.求输出a,b,c三数的最小数3333c.将a,b,c按从小到大排列d.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图(如上图所示),能判断任意输入的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是( )a.m?0?b.x?0 ?c.x?1 ?d.m?1?7.在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断,并根据结果进行不同处理的是哪种结构 ( ) a.顺序结构 b.条件结构和循环结构 c.顺序结构和条件结构 d.没有任何结构?x2?1(x?0)8.已知函数f?x??? ,设计一个求函数值的算法,并画出其程序框图(x?0)?2x?11.1.2程序框图(第二课时)[课后练习]:班次姓名1．如图⑴的算法的功能是____________________________.输出结果i=___,i+2=_____.2．如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出 s=__________. 箭头a指向②处时，输出 s=__________.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132, 则判断中应填a、i≥10？b、i≥11？c、i≤11？ d、i≥12？4.如图(3)程序框图箭头b指向①处时，输出 s=__________. 箭头b指向②处时，输出 s=__________5、如图(5)是为求1~1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。

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