双复合Poisson时间盈余风险模型

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带干扰的双复合Poisson风险模型

（）２
（）３
不破产概率
（一１）一（）
ｒ ∞ ｒ∞
令ｈ（）ＩｅＦ（），ｈ（）Ｉｅｄｚ一１假定Ｆ（）ｒ一一ｄ１一１ｒ一Ｆ（）（ｚｚ为轻尾分布）．
Ｊ０Ｊ０
引理１Ｓ￡具有以下性质：（）
第１期
令Ｔ表示破产时刻，则
蔡高玉，：干扰的双复合Ｐｉｏ等带ｏｓｎ风险模型ｓ
１１１
ｆｆｔ【（）｝ｉ｛：，￡＜０，ｎＩｘ，若上集空．３ｃ
定义破产概率（＝：］ｔ，￡＜０Ｕ（）））－＇＞ＯＵ（）０一一Ｐ（＜ｃ０一）Ｖ－（－ｄｌＴｘｌ）３Ｕ（，＞０．
（）｛（）具有平稳的独立增量；ｉＳ￡｝
（）Ｅ（）一（１一２２￡；ｉ［￡］１）＞０ｉ（ｉｉ）存在正数ｒ使得Ｅｅ］ｃ．ｉ，［一＜ｘ３
定理１由以上性质可以得出如下结论：
ｌ引
言
在以前研究中，乎所有模型都蕴含这样一个假定：费率为一常数或与索赔到达有关的变量．几保即
保险公司有稳定的顾客群，险公司的顾客群会随着公司的发展而增大，着公司的衰退而减少．是保随但
为了保证保险公司的稳定经营，常要求ＥＳ￡］，通［（）＞Ｏ即单位时间内保费收入大于理赔额，则有
１－ｉｔｚＯ１ｚｚ＞．

带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型的破产概率

带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型的破产概率孙春香【摘要】将经典单一型复合 Poisson风险模型推广到带干扰的两险种复合Poisson-geometric过程。

构造调节系数方程并证明了调节系数的存在唯一性之后，运用鞅方法推导出了该风险模型下保险公司破产概率的表达式和破产概率上界，并给出了当个体理赔额服从指数分布时破产概率的表达式。

%The classic single type of compound Poisson risk model is extended to two compound Poisson-geometric risk models with interference, an adjustment coefficient equation is constructed, and the existence uniqueness of the adjustment coefficient is proved, the representation and the upper bound of the probability of the ruin of insurance companies are derived using the martingale approach, and finally, the representation for ruin probability is given when individual claims conform to exponential distribution.【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P6-10)【关键词】破产概率;Poisson-geometric过程;矩母函数;鞅;标准布朗运动【作者】孙春香【作者单位】淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南 232038【正文语种】中文【中图分类】O211.5经典的风险模型[1-2]仅考虑单一险种，其截止到时刻的风险是一个简单的复合Poisson过程. 随着保险公司经营规模的不断扩大和新险种的开发，多元化经营必然产生，并且每一险种在同一时刻可能有多个顾客要求多项索赔. 因此，考虑双险种乃至多险种风险模型的破产概率问题具有实际意义[3-7]. 而在风险实践中经常会出现散度偏大的现象，因此设定索赔次数服从Poisson-geometric过程[4-7]，以更好地刻画具有免赔额的情形. 文献[4-5]研究了一类单险种复合Poisson-geometric过程的风险理论，推广了经典Poisson过程. 本文将进一步研究双险种复合Poisson-geometric过程下风险模型的破产概率，并用鞅方法推导该风险模型下保险公司破产概率的最终表达式和破产概率上界，给出当个体理赔额服从指数分布时破产概率的显式表达式.对于某种保险来讲，不管是保险公司还是投保人，最关心的就是资产负债配比问题. 我们称资产大于负债的差额为盈余，简化实际情况得出下面经典破产概率模型：其中，是保险公司初始资本，为收取保费率，表示第次索赔额且相互独立同分布于，表示时刻为止发生的索赔次数且为泊松过程. 与独立. 为破产概率.定义1 设，称随机变量是参数为的Poisson-geometric分布，如果满足.注1 当，则Poisson-geometric分布退化为Poisson分布.定义2 设，称为参数为的Poisson-geometric过程. 如果满足：1）；2）具有独立平稳增量；3）对，是参数为的Poisson-geometric分布.由Poisson-geometric过程的定义可知：，. 当时，.注2 当，则Poisson-geometric过程退化为Poisson过程.命题1 如果是参数为的Poisson-geometric过程，则有：其中，.定义3 称模型为带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型，如果：其中，独立同分布且有密度函数，且；独立同分布且有密度函数，且；为一标准布朗运动；是参数为的Poisson-geometric过程，是参数为的Poisson-geometric 过程.定义4 称为安全系数.因为，令，得：.保险公司破产时刻记为，破产概率记为.引理1 设复合索赔过程定义为，则的1）矩母函数为；2）数学期望和方差分别为，.定理1 对于盈利过程，存在函数，且有.证明因为，令，则 .定理2 方程存在唯一正解，称为调解系数.证明因为，，而，.所以为凸函数. 方程至多只有两个解，为平凡解，且在时有唯一极小值点，所以存在唯一正解记为.引理2 为鞅，其中.引理3 为停时.定理3 带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型的破产概率满足不等式证明由引理3知为停时. 对任取的可知也是停时. 由引理2及停时定理可知再由全期望公式可得：；又时，，所以式（1）中令，有. 取，有，所以，其中.定理4 在带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型下，破产概率的最终表达式为证明由定理3及单调有界定理和Lebesgue控制收敛定理即得结论成立.定理5 在带干扰的两险种复合Poisson-geometric风险模型下，当,独立同分布且均服从参数为的指数分布时，破产概率表达式为：其中为方程的唯一正解.证明及的密度函数为，设破产在有限时刻发生，记为恰在之前的盈余量，则事件与等价，其中为导致破产的理赔量..从而 .代入式（2）即得破产概率表达式为当及服从参数为的指数分布时，将矩母函数和代入，得：即为方程的唯一正解.本文讨论带干扰的两险种复合Poisson-geometric过程风险模型下保险公司的破产概率，该模型不同于经典模型，避免了散度偏大现象，且更好地刻画了免索赔情形. 本文所建模型是符合保险实际的，这对保险公式科学预测未来的风险和收益有一定的实际意义. 可以将本文结果推广到多险种的情形，但不存在本质差别. 考虑混合险种即为Poisson-geometric过程，为复合Poisson过程情形下的破产概率将是进一步研究的内容. 另外，也可以考虑基于变利率下双险种模型的破产概率，这将更有实际意义.【相关文献】[1] 成世学，严颖. 数学风险论导引[M]. 北京：世界图书出版公司，1997.[2] 成世学. 破产论研究综述[J]. 数学进展，2002, 31(5): 403-422.[3] 蒋志明，王汉兴. 一类多险种风险过程的破产概率[J]. 应用数学与计算数学学报：2000, 14(1): 9-16.[4] 毛泽春，刘锦鄂. 索赔次数为复合Poisson-geometric过程风险模型及破产概率[J]. 应用数学学报，2005, 26(3): 419-428.[5] 周绍伟. 双复合Poisson-geometric风险模型及破产概率[J]. 山东大学学报，2009, 44(12): 60-63.[6] 牟小青. 复合Poisson-geometric过程的风险模型的破产概率及推广[J]. 统计与决策，2011(20): 14-17.[7] 熊莹盈，高莘莘. 关于复合Poisson-geometric风险模型的破产概率研究[J]. 湖北大学学报，2011, 33(1): 31-35.[8] GRANDELL J. Aspects of risk theory [M]. New York: Springer-verlag, 1991.。

双复合Poisson风险模型下盈余首次达到给定水平的时间分析

经济数学
第２７卷
（ｆ设（（）ｔ０和（（）ｔ０是强度分别为，ｚＰｉｏｉ）『Ｎｌ￡， ≥ ｝Ｎ２， ≥ ｝的ｏｓｎ过程；ｓ
（Ｖ设｛（）ｔｏ，Ｎ￡，≥ ０，Ｙ，一１２ … ）｛ｉ１２ … ）互独立ｉ）Ｎ￡， ≥ ）｛（）ｔ）｛ｉ，，和Ｘ，一，，相
的水平越来越受到人们的关注（文献［］．文针对双复合Ｐｉｏ见５）本ｏｓｎ过程风险模型，用鞅ｓ利论的知识，研究了盈余首次到达给定水平的时刻的拉普拉斯变换式、期望、方差和３阶中心矩．
２双复合Ｐｉｏｏｓｎ过程风险模型ｓ
关键词鞅；停时；风险模型中图分类号Ｆ４０２ｌ８０；１文献标识码：Ａ
引言
在经典的风险理论中，复合Ｐｉｏｏｓｎ风险模型Ｒ（）＋ｃ一 ∑Ｘ是主要的研究对象，ｓ￡一且
一
１
取得了许多经典的结果，参见文献［ —２．许多学者对模型进行了各种各样的推广．１］由于经典风险模型中保险公司按照单位时问常速率ｃ取得保单，且每张保单的保险费也相同．在实际而
第２７卷
第１期
经
济
数
学
Ｖｏ１７，．２Ｎｏ．１Ｍａｒ２０ Nhomakorabea１０．
２１年３月００
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＮＣＳＩＥＣＯＮ０ＭＩＣＳ

具有随机投资组合的双复合Poisson-Geometric过程保险风险模型的研究

具有随机投资组合的双复合Poisson-Geometric过程保险
风险模型的研究
许灏;魏芝雅;彭旭辉
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2022(39)6
【摘要】研究了一个双复合Poisson-Geometric过程保险风险模型,其中保费和索赔的发生均服从复合泊松几何过程。

通过鞅方法和停时的技巧,得到了关于破产概率的Lund�berger不等式,调节系数方程和破产概率的表达式。

生存概率可以作为衡量支付能力的指标,文章得到了无限和有限时间生存概率的微积分方程。

【总页数】11页(P875-885)
【作者】许灏;魏芝雅;彭旭辉
【作者单位】湖南师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211;O213
【相关文献】
1.随机利率下索赔次数服从复合Poisson-Geometric过程的风险模型
2.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型
3.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型
4.考虑随机利率因素的双险种Poisson-Geometric过程模型的破产概率研究
5.一类双险种复合Poisson-Geometric过程风险模型
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变破产下限双poisson风险模型的破产概率

变破产下限双poisson风险模型的破产概率研究了双poisson风险模型在假定变破产下限时的破产概率,得出破产概率所满足的不等式,当破产下限f(t)为线性函数时,破产概率所满足的不等式或解析式。

标签：双poisson风险模型;破产下限;破产概率1 引言在经典的风险模型中,保险公司按照单位时间常数速率取得保单(假定每张保单的保险费相同).但在实际生活中,不同单位时间内所收取的保单数往往不一样,是一个服从某一离散分布的随机变量。

根据实际情形,可将经典的风险模型推广到双poisson风险模型。

定义设u≥0,c>0在给定概率空间(,F,P)上:(1)Y=Y K:k=1,2,3,…是取值于(0,∞)内的独立同分布随机变量;(2)参数分别为α>0,β>0的poisson过程M=M(t):t≥0和N=N(t):t≥0;(3)Y、M和N相互独立,令R1(t)=u+cM(t)-∑N(t)k=1Y k,t≥0则称过程R1(t):t≥0为双poisson风险模型.其中u表示保险公司的初始资本,c表示每张保单的保险费,M(t)表示保险公司在(0,t)时间内收到的保单总数,N(t):t≥0表示理赔到达过程,Y i表示第i次理赔量,R1(t)表示保险公司在時刻t的盈余。

在实际保险业务中,保险公司不会到破产盈余为零时才调整政策或宣布破产,当盈余低于某一限度时,就调整政策,称这一限度为破产下限,假定破产下限为时间t的函数,记为f(t),一般情况f(t)≥0。

则可以定义新模型:R(t)=u+cM(t)-∑N(t)k=1Y k-f(t)(1)其中T u=inft|R(t)0(为了保证保险公司的稳定经营)。

令h(r)=∫∞0e ry dF(y)-1,F t=F s t∶t≥0,F s t=σs(w):w≤t。

2 预备引理引理1M u(t)=exp-ru+S(t)exp rf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r))为F t鞅, 证明E exp-rS(t))=E exp-r((cM(t)-∑N(t)k=1Y k-f(t))=exp rf(t)·E exp-rcM(t)·E exp r∑N(t)k=1Y k=exp rf(t)·expαt(e-cr-1)·expβth(r)=exp{rf(t)+at(e-cr-1)+βth(r)}对w≤t,E[M u(t)|F w s]=E exp-r(u+S(t))exp rf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r)F w s=E exp-r(u+S(w))exp rf(w)+aw(e-cr-1)+βwh(r)·[JP2]exp-r(S(t)-S(w))exp r(f(t)-f(w)+α(t-w)(e-cr-1)+λ(t-w)h(r) |F w s=M u(w)3 主要结果定理1 破产概率满足不等式:ψ(u)≤e-ru·H(r)其中H(r)=sup t≥0exp rf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r)证明设t0t0pT u>t0≥EM u(T u∧t0)|T u≤t0pT u≤t0=EM u(T u)|T u≤t0pT u≤t0(2)则pT u≤t0≤exp-ruEM u(T u)|T u≤t0因EM u(T u)|T u≤t0≥E exp-rf(T u)+αT u(e-cr-1)+βT uh(r)|T u≤t0≥inf0t0pT u>t0(3)以IA表示集合A的示性函数有0≤Ee-R(u-a+S(t0))|T u>t0pT u>t0=Ee-R(u-a+S(t0))IT u>t0≤Ee-R(u-a+S(t0))Iu-a+S(t0)≥0因0≤e-R(u-a+S(t0))Iu-a+S(t0)≥0≤1,且当t0→∞时,u-a+S(t0)→∞,由控制收敛定理得lim t0→∞Ee-R(u-a+S(t0))|T u>t0pT u>t0=0 在(3)式两端令t0→∞得ψ(u)=e-R(u-a)Ee-R(u-a+S(T u))|T u<∞。

双复合Poisson模型下的最优投资和再保险_曾吉相

第2 期
N（ t ）
曾吉相：双复合 Poisson 模型下的最优投资和再保险
－ d∑ （ Z （ i） ∧ ξ（ t i ））
i =1
d r （ t ） = α （ μ － r （ t ）） d t + σ3 d W3 （ t ） 1． 2 HJB 方程 x， r） = E［ u（ X T ）定理 1 记值函数 V（ t，
保费率为 Q（ ξ） = （ 1 + θ） λ2
∫
∞
ξ
（ 1 － G（ z）） dz ，其
中 θ ≥ 0 为保险人安全附加保费率。设保险公司将盈余的 π（ t）份额投入到股票市场，其余 1 － π（ t）份额投入到无风险市场，这里｛ π（ t ）， t ≥ 0 ｝是关于 F = ｛ F t ｝的适应过程，且 E［（ π（ t）） 2 dt］＜ + ∞ 。
Abstract： Utilizing stochastic control theorem and HJB equation， we study the optimal investment and non － proportional reinsurance that the instantaneous rate of investment return follows a Vasieck model and that the stock market has short － selling constraint． By solving the HJB equation， the optimal strategy and value function are given with a closed form under the perturbed binary compound Poisson model． Key words： binary compound Poisson Model； HJB eqation； vasieck model； short － selling constraint； non － proportional reinsurance son 模型下的最优投资策略。 Sheng Liu， Jinxiao ［5 ］ Zhang（ 2005 ）研究了基于复合 Poisson 模型下的有卖空限制的最优投资和非比例再保险问题。 Zhibin Liang（ 2011 ）［6］研究了最优比例再保险和最优投资问题，并且投资回报瞬时率服从 Ornstein － Uhlenbeck 过程。在古典模型中，上述文献假设保险公司以单位时间常数速率收取保费，即保险公司有稳定顾客群。但是，保险公司的顾客群会随着公司的发展而增加，保险公司的顾客群会随着公司的衰退而减在实际中，由于竞争因素、利率因素等少。一方面，

随机利率下的复合Poisson—Geometric风险模型及破产概率

ｔｅｐｅｒｉｇｓｇａｓｏｅｉｕａｃｏａｉｓｉｗｉｌｈｖｒｒｃｉａｉｎｆｃｎｃｈｒｗａｎｎｉｎｌｆｔｎｓｒｎｅｃｍｐｎｅｔｌａｅｍｏｅｐａｔｃｌｓｇｉａｅｈｉ
．
关键词：随机利率；复合Ｐｉｏ— ｅｍｔｃｏｓｎＧｏｅｉ过程；产概率；ｖ过程ｓｒ破ｌｙｅ
ＶａｕｌｅＥｎｇｎｅｉｇｉｅｒｎ
・２・９
随机利率下的复合Ｐｉｏ — ｏｔｉ风险模型及破产概率ｏｓｎＧｅｍｅｒｓｃ
Ｓｕｙｏｏｓｏ－ｍｏｒｃＰｒｃｓｓｏｅｎｎｒｐｃｒｂｂｌｙｔｄｎＰｉｓｎ－ＧｅｔｉｏｅｓＲｉｋＭｄｌａｄＢａｋｕｔｙＰｏａｉｔｉ
中图分类号：８２６Ｆ３．
文献标识码：Ａ
Байду номын сангаас文章编号：０６４１（０００ — ０９０１０ — ３１２１）８０２ — ２
在以前的研究中，大部分的模型都是在常利率条件下建立起来ｅ同样的，ｔ刻资产１则０时刻到达ｅ、；若时，。的，由于在实际中会有一些不确定的经济行为如经济周期，争等竞本文主要讨论了带随机利率的复合ＰｏｓｎＧｏｅｉ风险模ｉｏ — ｅｍｔｃｓｒ的影响，利率若固定的采用一常数可能会带来理论与实际在很大程型，利用Ｙ在跳点处具有马氏性这一性质，出破产概率满足的积导度上的背离．了更准确的研究保险公司的破产问题，为我们将采用分方程，然后又分别对ｆ－０为标准布朗运动和漂移布朗运动时Ｒｔｌ＞以下模型，即在时间（，内到达的索赔次数服从ｐｉｏ — ｅｍｅｉ的破产概率进行了研究。０ｔ１ｏｓｎＧｏｔｃｓｒ分布，而把利率看作线性随机变量．记Ｔｉｆｔｔ０Ｙ＜ｌ示破产发生时刻，对于Ｖｔ０都＝ｎ（：，０表若我们引入随机利率下的复合Ｐｉｏ — ｅｍｅｉ风险模型：ｏｓｎＧｏｔｃｓｒ有Ｙ－０则Ｔ ∞。（＝ｒＴ ∞ ）Ｐ（ｎ）．表示初始盈余为＞，＝Ｕ）Ｐ（＜＝ｒｉｆＹ＜，０）０Ｕ的最终破产概率。Ｙ＝ｄｔ，ｅ１＋ｌＵｊ０【ｅ。ｕＩ下面先给出复合ＰｏｓｎＧｏｔｃ过程的定义。ｉｏ — ｅｍｅｉｓｒ定义１设，＞，ｐｌｈ００＜，称｛（）ｔ０Ｎｔ，－｝为参数，＞Ｐ的复合其中，ｔＹ为时刻资产余额，０时刻的资产余额为Ｙ＝；＝（）０ｕｕｕ０ＰｏｓｎＧｏｔｃ过程，果满足：ｉｏ — ｅｍｅｉｓｒ如ｒ、（）ｔ、

复合广义poisson风险过程的三特征联合分布函数

复合广义poisson风险过程的三特征联合分布函数复合广义Poisson风险过程是一种常见的随机过程模型，用于描述风险事件发生的次数和对外界产生的影响。

它具有三个主要特征：风险强度、风险规模和风险传导。

在探讨其联合分布函数之前，让我们先来了解一下这些特征的含义。

1.风险强度：指的是风险事件发生的速率。

用λ(t)表示时间t上风险事件发生的速率。

2.风险规模：指的是风险事件对外界产生的影响程度。

用Xi表示第i个风险事件对外界的影响大小。

3.风险传导：指的是风险事件之间相互影响。

一个风险事件可能引发其他风险事件的发生。

现在我们开始讨论联合分布函数。

首先，我们需要先定义一些符号。

假设N(t)表示在时间t之前发生的风险事件的总数。

该过程的复合广义Poisson过程的数学表示为：N(t)=ΣNi其中，Ni表示第i个风险事件发生的次数。

在给定时间t上，风险事件总数N(t)的联合分布函数可以用以下公式表示：P{N(t1)=n1, N(t2)=n2, ...,N(tk)=nk}接下来，对于每个时间点ti，我们可以定义一个相关的累积增加过程：S(t)=ΣXi这个过程表示在时间t之前，已经发生的风险事件的总规模。

对于给定的目标时间点tk，依据强度函数λ(t)的不同形式，可以存在多种复合广义Poisson风险过程的特例，如单参数、含有参数变化、含有随机变化等。

在每个特例中，λ(t)的具体形式不同，其联合分布函数也随之变化。

以单参数复合广义Poisson风险过程为例，假设风险强度函数λ(t)是常数λ，且风险事件规模满足相互独立的指数分布，即Xi服从参数为μ的指数分布。

在这种特例情况下，风险事件总数N(t)的联合分布函数可以用以下公式表示：P{N(t1)=n1, N(t2)=n2, ... ,N(tk)=nk} = exp(-λt) *(λt)^n1/n1! * exp(-λt) * (λt)^n2/n2! * ... * exp(-λt) * (λt)^nk/nk!这个公式可以用来计算给定时间点tk上，风险事件总数N(t)以特定次数n1, n2, ..., nk发生的概率。

带干扰的双复合泊松风险模型的近似推广

带干扰的双复合泊松风险模型的近似推广[摘要]引入带干扰的双复合poisson风险模型，接着利用正态近似和平移伽玛近似对模型进行推广，最终得到破产概率的简单计算公式及它的一个上界。

[关键词]盈余过程poisson过程中心极限定理破产概率经典Lundberg-Cramer风险模型假设保险公司单位时间内按常数速率取得保费，但实际中，不同单位时间内到达的保单数是一随机变量，且每一保单收取的保费也不同，故引入双复合poisson风险模型。

另外，投资收益等干扰因素的偏差对保险公司财务稳定也有影响，故加入随机干扰项。

对于业务非常繁多的保险公司来说，可以根据中心极限定理将一段时间内的保费收取总量与索赔总量进行近似推广，使得到的有关破产概率的结论更为简单，对保险业务比较多的公司来说更符合实际。

一、模型的建立定义1设，给定概率空间，令其中：表示保险公司的初始资本；独立同分布随机变量序列：分别表示保单到达时收取的保费和每次发生理赔时的理赔额；是强度分别为的Poisson过程，分别表示到时刻t时收取的保单数和理赔次数，且；为大于0的常数；是一个标准布朗运动，表示不确定收益或损失。

是相互独立的。

则称过程为带干扰的双复合Poisson风险模型，为盈余过程。

设,分别为的阶中心矩。

为了保证公司的稳定经营,假定,即由此定义安全负荷系数：，从而。

实际中单位时间平均收取的保单数远远大于平均理赔次数，即。

二、模型的推广定理2.1（正态近似）对任意给定的，记，根据复合泊松分布的正态近似，有证明对任意给定的,记,则只需证我们有因为，用代替，得由于固定，故。

证毕。

故对任意给定的，都有其中，分别服从均值为，方差为的正态分布。

所以，盈余过程可表示为。

因为相互独立，故则服从均值为，方差为的正态分布。

若的三阶中心矩不为零，即是有偏斜的，则正态近似就不精确，于是可以用以下近似。

定理2.2（平移伽玛近似）对任意给定的，记，根据复合泊松分布的平移伽玛近似，有的近似分布为：证明因为要求满足期望值，二阶，三阶中心矩相等，即故可得，解此方程组，得故服从。

保险与养老金风险模型、投资组合模型

(4)
5、加入超额损失再保险的风险模型
a表示保险公司的预留水平，Yi a min{Yi , a}
保险公司支付给再保险公司的保费为
(1 )(1 E(Yi ))
a
其中 0为再保险公司的安全负荷，一般有在经典模型 (1) 的基础上，保险公司的盈余为
R(t ) (1 )1 (1 ) ( 1 E (Yi )) Yi
保险公司的盈余为满足:
(7) R(t ) x ct Yi 0W (t ) i 1 其中 {W (t ), t 0}是一个标准的Brown运动。
二、养老金问题中几类常用的风险模型
养老金制度是为社会成员提供养老金的社会化制度，基本可以分为以下两种类型：一种是待遇预定计划(Defined Benefit Plan，简称 DB),即预先规定退休后的养老金水平，缴费水平需经过精算估计；另一种是缴费预定计划(Defined Contribution Plan，简称DC)，即预先确定缴费水平，退休后以缴费和投资收益为基础发放养老金。
Baev & Bondarev(2007)研究了风险资产的价格满足O-U 模型时的优化问题，假设风险资产的价格满足：
dS1 (t ) c(t ) S1 (t )dt 1S1 (t )dW1 (t ),
其中c(t ) c X (t ), X (t )满足： dX (t ) X (t )dt dW2 (t ), X (0) 0. 其中 c, 1 , , 均为常数 c 0, 1 0 ； W1 (t ),W2 (t ) 均是标准的Brown运动，满足 cov( W1 (t ),W2 (t )) t , [1,1]. X (t ) 0 可认为此时为牛市， X (t ) 0 为熊市。

带利息力的双复合poisson风险模型的破产概率

Ｍ（）ｆ
Ｇｏ＝０百ｓ表示时刻￡（），Ｘｉ： ∑ ）的总保费收入表示第ｉ次收取保费的时间；
（）＝（ｉ０表示第ｉ的索赔额，６ｙＹ，≥ ）次也是一个独立同分布的随机变量，共同分布为Ｆ（）其，
Ｎ（）ｆ
不同得到了不破产概率的积分方程，用鞅方法得到了破产概率的上界．并
１模型的引入
首先给定一个完备的概率空间（Ｆ，，ｎ，Ｐ）以下所涉及的随机过程和随机变量都定义在这个空间概率上，考虑一下风险模型：
第２第２４卷期
２１００年３月
甘肃联合大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＧａｓａｈｎｖｒｉｙ（ｔｒｌｃｅｃｓｏｒａｎｕＬｉｎｅＵｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅ）ｏＳ
Ｖｏ．４ＮＯ２１２．
Ｍａ．２０ｒ０１
Ⅳ（）ｆ
ｕ（＝ “ ｔ＞Ｙ中ｃ）＋ｃ＋表示保险公司单位时间内收取的保险费率，且假定保费收取过程是时间ｔ的
ｉ。
＝。一
１
线性函数，且保费收取率是固定不变的，在保险公司的实际运行中是不现实的，以不少学者对该而这所
第２期
王华等：带利息力的双复合ｐｉｏｏｓｎ风险模型的破产概率ｓ
２１
定义１定义破产时刻：一ｉｆｔｔ０己（）０，始盈余为Ｕｎ｛／ ≥ ，，￡＜）初的最终破产概率（）不破产 “，概率（）＝１一（）ｔ，时刻之前破产发生的概率（，）时刻ｔ “ ｔ，之前破产不发生的概（， “￡１）一

复合Poisson-Geometric过程风险模型的破产概率满足的Pollazek-Khinchin公式

模型中为保证公司稳定经营设ｃ＜，称其为
１一Ｐ
其中：
（）：∑ （一）ｘ（）１ｐｐ ‘ ，Ｆ
（）＝∑ （一）（）１ｐ一
（）与（）分别表示（）与＾（）的ｋ重卷积．
定义２令
一 —
定义（，）＝Ｅ（（）， “Ｗ［ＵＴ）Ｔ＜∞ Ｉ（）ｏｖ＝ｎ为破产发生时的盈余惩罚期望．］由文献［］２
我们有模型满足的更新方程：
（加＝ｚ））一（ｙｄ “）Ｉ，（）； ‘ ；１一）ｙ
＋（ｙ（一（一）１ “＋ｙ）ｙ）ｄ当 “：０时，模型（）１满足的更新方程变为：
—
４８２．
苎（！
“ （）＝
一（．然显当ｐ＝时）ｏ，
（，）此时上述公式就是经典风险模
［］廖基定，１３龚３朝等．复合Ｐｉｏ —Ｇｏｅｉ风险模型Ｇｒｒｏｓｎｅｍｔｃｓｒｅｅｂ
—
Ｓｉ折现惩罚函数［］应用数学学报，０，０６；０６ｈｕＪ．２７３（）１７０
关键词：破产概率；险模型；风复合Ｐｉｏｏｓｎ—Ｇｏｔｃ过程；ｏａｅｓｅｍｅｉｒＰｌｚｋ—Ｋｉｃｉ式ｌｈｎｈｎ公
中图分类号：０１．２１６文献标识码：Ａ
１模型建立
近年来，越来越多的人对经典风险模型进行了研究，得到许多有用的结论，主要考虑的都是并但赔付服从Ｐｉｏｏｓｓｎ过程的风险模型…．Ｐｉｏ过而ｏｓｓｎ程的期望和方差是相等的，但是在实际情况中方差往往又是大于期望，基于这一点，文献［］出了２提种复合Ｐｉｏ —Ｇｏｅｉｏｓｎｅｍｔｓｒｃ过程，该过程的方差大于等于期望．因此我们考虑赔付为复合ＰｉｏｏｓｎｓＧｏｅｉ过程的风险模型便更具有现实意义．ｅｔｃｍｒ基于上述原因，文考虑如下风险模型：本

复合Poisson-Geometric风险模型的预警区问题

第２９卷第２期２０１２年６月
经
济
数
学
Ｖｏ１２Ｎｏ．９，．２
Ｊ）（ＵＲＮＡＬ０ＦＱＵＡＮＴＩＴＡＴＩ０Ｎ（ＭＩＶＥＥＣ）ＣＳ
Ｊｎｕ．２０１２
复合Ｐｉｏ — ｏｔｉ风险模型的预警区问题ｏｓｎＧｅｍｅｒｃｓ
中图分类号０１＿２ｌ９文献标识码Ａ
ＤｕａｉｎｏｇｔｖｕｐｌｓｆｒａＣｏｐｕｄｒｔｏｆＮｅａｉｅＳｒｕｏｍｏｎＰｏｓｏＧｅｍｍｅｒｃＲｉｋＭｏｅｉｓｎ－ｏｔｉｓｄｌ
融危机可以看到：融保险业是国家的经济命脉，金管
理和控制金融风险意义重大．作为衡量风险大小的一个重要测度工具，产破
对预警区问题，即保险公司（其内部某项业务）或需要多长时间才能从负盈余状态解脱出来的问题（也
ＡｂｔａｔＴｈｕａｉｎｏｅａｉｅｓｒｌｓｏｏｓｒｃｅｄｒｔｏｆｇｔｖｕｐｕｆｃｍｐｕｄＰｉｓｎＧｅｍｍｅｒｃｒｋｍｏｅｓｓｕｉｄｎａｏｎｏｓｏ — ｏｔｉｉｄｌｓｗａｔｄｅ．Ｂｅｍｅｈｙａｎｗｔ —
ＺＨＯＮＧＣｈａ — ｎｏｙａ
（ｃｏｌｆＭａｈｍａｉｓａｄＩｆｒｔｏｅｅｃｓＳｈｏｔｅｔｃｎｎｏｍａｉｎＳｉｎｅ，ＱｕｉｇＮｏｍａｉｅｓｔ。ｉｇ。ｎａ６５１，ｈｎｏｊｎｒｌＵｎｖｒｉｙＱｎＹｕｎｎ５０１Ｃｉａ）

常利力下双复合Poisson风险过程的生存概率

Ｖｏｌ＿３６Ｎｏ．２
Ｊｕｎ，２０１３
常利力下双复合Ｐｏｉｓｓｏｎ风险过程的生存概率
魏广华，高启兵，刘国祥
（１．金陵科技学院基础部，江苏南京２１１１６９）（２．南京师范大学数学科学学院，江苏南京２１００２３）（３．东南大学数学系，江苏南京２１００９６）
ｔｉｍｅａｎｄｉｆｎｉｔｅｔｉｍｅｓｕｒｖｉｖｌａｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ，ｗｅｏｂｔａｉｎｔｈｅｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｉｎｔｅｇｒｏ－ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｈｅｎｔｈｅｐｒｅｍｉｕｍｓｎｄａ
（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａ￣ｅｍａｔｉｅＭＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＮａｎｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００２３，Ｃｈｉｎａ）
ＷｅｉＧｕａｎｇｈｕａ，ＧａｏＱｉｂｉｎｇ，ＵｕＧｕｏｘｉａｎｇ
（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓ，ＪｉｎｌｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１１１６９，Ｃｈｉｎａ）

带干扰的双复合泊松风险模型

独立。
实际背景：ｉ“表示保险公司的初始资本，（）ｃ表示保险公司单位时间征收的保险费率；ｉ） ≥０ｉ（ｉ，≥
１为个体索赔额；ｉ）ｔ，（ｉⅣ（） ≥０表示至时刻￡ｉ￡止索赔次数；ｉ）（ ∑ 表示至时刻￡ｖ止索赔总额；ｖｕ￡（）（表）
张保单的保费，Ｇ表示至时刻￡的总保费收入。假定过程Ｍ与ｃ相互独立，＝｛（）ｔ｝是强度ＮＪｆ ≥０ｖ，
为的齐次泊松过程，即Ｅｔ＝，ｔ表示至时刻￡到的索赔次数，Ｎ（Ｎ（））收Ｙ＝｛ｆ｝相互独立同，≥ｌ是
示保险公司在时刻￡余。盈 ‘
近年来，量文献对（）行了研究，取得了有关破产概率方面的结果，见文【＿ｌ。典风险大１进并参Ｉ３等经模型是假定保险公司按照单位时间常数速率取得保单（张保单的保险费为常数ｃ。但任何风险事业每）
｛（）ｔ｝｛， ≥ｌ，Ｎ（）ｔ｝｛ｉ｝｛（）ｔＭｆ， ≥０，Ｃ，ｉ｝｛ｆ， ≥ｌ，， ≥ｌ，Ｗｆ， ≥０相互独立。｝
保险公司为运作的安全，求（），￣ＥｔＣ一Ｅ（ＥＹ＝（口一ｆｔ０，经典模型相同，要ｆ＞０ＰＭ（Ｅ，Ｎｔ，口ｐ）＞与））１对
＝＋ｆ∑ “ｃ一