含参数的不等式(1)

第21讲含参数的不等式(1)与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型： 第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围.1.解含有参数的不等式如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。

【例1】(2008广东卷,理)设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解】本题可以直接求解,如解法1,也可以根据选项用特殊值排除不符合要求的选项,如解法2,也是对合情推理能力的考查.解法1.()3ax f x ae '=+，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点， 即()3ax f x ae '=+0=，030ax e a =->， 显然有0a <，0301,01, 3.ax ea a<<<-<<-即．故选B.解法2.用特殊值法.设0,a =则31y x =+,没有极值点,排除A,C. 设1,a =-()3,x f x e -'=-13,ln 0,3xex -==<也没有大于零的极值点，排除D.故选B.【例2】解关于x 的不等式: 0452<+-x ax . 【解】首先要对a 进行分类讨论：（1）0=a 时，不等式化为045<+-x ，解得54>x ； （2）0>a 时，a 1625-=∆① a 1625-=∆0>，即16250<<a 时，不等式的解为 aax a a 216255216255-+<<--；② a 1625-=∆0=即1625=a 时，不等式化为02452<⎪⎭⎫⎝⎛-x ，此时无解；③ a 1625-=∆0<即1625>a 时，不等式的解集为空集；（3）0<a 时，a 1625-=∆0>，不等式的解为a a x 216255-+<或aax 216255-->.由以上, 不等式的解集为0<a 时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-a a a a 216255216255, ; 0=a 时，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,54,16250<<a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a a a 216255,216255 2516a ≥时，空集; 解含有参数的不等式的关键是对参数分类,如本题就要先对0=a ,0>a 和0<a 进行第一次分类,再对0,0,0<∆=∆>∆进行第二次分类.【例3】(2005江西卷，理，文)已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x . （1）求函数f (x )的解析式；（2）设1>k ，解关于x 的不等式xkx k x f --+<2)1()(【解】（1）将4,321==x x 分别代入方程0122=+-+x bax x得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+8416939ba ba解得,2,1=-=b a 所以函数f (x )的解析式为()()222≠-=x xx x f （2）就是解含参数k 的不等式,要注意对k 的分类.不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x① 当21<<k 时,解集为).,2(),1(+∞∈ k x②当2=k 时,不等式化为()()0122>--x x ,解集为);,2()2,1(+∞∈ x② 当2>k 时,解集为),()2,1(+∞∈k x .【例4】(2004辽宁卷)解关于x 的不等式|1|10();x a a -+->∈R 【解】由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得解这个不等式取决于1a -的正负。

因而要对a 分类，分为1>a 及1≤a 两种情形. 当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或 【例5】解关于x 的不等式11+>-a x x【解】原不等式化为 01)1(<-+-x a ax ，若0>a ，有11>+a a ，原不等式的解集为 a a x 11+<<； 若0=a ，有011<--x ，原不等式的解集为 1>x ； 若0<a ，有11<+a a ，原不等式的解集为 aa x 1+<或1>x ． 【例6】解关于x 的不等式||x xax >-，其中0a >． 【解】 (1)0>x 时, 不等式化为 02<+-a x x , 考虑判别式 a 41-=∆当041>-a ,即410<<a 时,解为24112411ax a -+<<--; 当041=-a ,即41=a 时,解为空集;当041<-a ,即41>a 时, 解为空集(2) 0<x 时, 不等式化为 02<-+a x x∴>,0a a 41+=∆1>, 解为02411<<+--x a于是, 不等式的解为410<<a 时, 02411<<+--x a或24112411a x a -+<<-- 14a ≥时, 02411<<+--x a【例7】解不等式1232≤---ax ax ,(0>a )【解】 原不等式等价于2321,2321x ax ax a x a --⎧≤⎪⎪-⎨--⎪≥-⎪-⎩；移项，通分得 (3)0,3[(1)]0.x a x ax a x a -+⎧≤⎪⎪-⎨-+⎪≥⎪-⎩①②由已知0>a ， 所以解①得 3+≤<a x a ； 解②得 1+≥a x 或a x <故原不等式的解集为}31|{+≤≤+a x a x 【例8】设()()2212log 210,0x x xy a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦，求使y 为负值的x 德取值范围.【解】本题等价于()2212log 210x x xy a ab b ⎡⎤=+-+<⎣⎦. ①由①得, ()22211xx xa ab b +-+>,即 ()2220xx xa ab b +->,2210x xa ab b ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ② 设(0)xa t tb ⎛⎫=> ⎪⎝⎭, 不等式②化为 2210t t +->,()0t >.解得 1t >或1t <(舍去).下面解1xa b ⎛⎫> ⎪⎝⎭.需要对1,1,1a a ab b b>=<进行讨论.(1) 当0a b >>，即1ab >时,可解得 )log 1ab x >;(2) 当0b a >>，即1ab <时,可解得 )log 1ab x <;(3) 当0a b =>，即1ab=时,可解得 x ∈R .从以上几个例题可以看出,在解含有参数的不等式的时候,关键在于对参数进行分类讨论.2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围.有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系【例1】(2004年上海卷,理)记函数()f x =的定义域为A , ()()()lg 12g x x a a x =---⎡⎤⎣⎦()1a < 的定义域为B .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围. 【解】 (Ⅰ)()x f 的定义域满足不等式3201x x +-≥+, 得101x x -≥+, 1x <-或1x ≥ 即()[),11,A =-∞-+∞.(Ⅱ) 条件B ⊆A 表明,集合B 是集合A 成立的充分条件,首先要求出集合B . 由()()120x a a x --->,得()()120x a x a ---<.∵1a <, ∴12a a +>, ∴()2,1B a a =+.∵B ⊆A , ∴21a ≥或11a +≤-,即12a ≥或2a ≤-, 而1a <,∴112a ≤<或2a ≤-, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(]1,2,12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭. 【例2】(1990年,上海卷) 关于x 的不等式()()212122-≤+-a a x与 ()()0132132≤+++-a x a x(其中R ∈a )的解集依次为A 与B ,求使B A ⊆的a 的取值范围.【解】首先求出解集A 与B .由()()212122-≤+-a a x 得()()()212121222-≤+-≤--a a x a , 122+≤≤a x a .于是 {}1a x .2a2+≤≤=x A , ()[](){}0213≤-+-=x a x x B要确定集合B 就要13+a 与2的大小关系.(1) 当213≥+a ,即31≥a 时, []13,2+=a B若B A ⊆,则应满足222,13 1.a a a ≥⎧⎨+≤+⎩解得 31≤≤a .(2) 当213<+a ,即31<a 时[]31,2B a =+若B A ⊆,则应满足⎩⎨⎧≤++≥.21,1322a a a解得 1-=a .于是,所求的a 的取值范围是{}{}311≤≤-a a【例3】设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-052,0222bx x a x x 的解集,试确定b a ,的取值范围使B A ⊆.【解】本题相当于对所有满足A 的x 的值,都满足B ,为此,设 ()()52,222+-=+-=bx x x g a x x x f .于是有不等式组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-=≤+-=≤+-=≤+-=.05693,05211,0693,0211b g b g a f a f解得 3,3≥-≤b a【例4】已知集合()()(){}0211>++-=x x x x A ,{}02≤++=b ax x x B ,求使{}02>+=x x B A 和{}31≤<=x x B A 同时成立的b a ,的值.【解】本题是寻找使B A 与B A 同时成立的充要条件,为此需要把集合B A ,具体化.()()2,11,A =--+∞由题设条件可知,B 不是空集,可设[]βα,=B 由{}02>+=x x B A 有 ⎩⎨⎧≥-≤≤-.1,12βα由{}31≤<=x x B A 有⎩⎨⎧=≤≤-.3,11βα 所以有 .3,1=-=βα即[]3,1-=B , 因此,().3,2==-=+-=αββαb a【练习题】1. 设抛物线的对称轴平行于y 轴,且过点()1,0和()5,0,若抛物线不通过直线2y x =的上方的点,求其顶点的纵坐标的最大值和最小值.2. 求使不等式()()()()()()()()112233x x x x x x t x t x-++-++-+<-+ 的解集为空集的实数t 的集合.【练习题参考答案】1. 设抛物线方程为()()15y a x x =--,则()226534y ax ax a a x a =-+=--.由题意, 2652ax ax a x -+≤对x ∀∈R 恒成立.即()223150ax a x a -++≤对x ∀∈R恒成立.等价于()220,431200.a a a <⎧⎪⎨∆=+-≤⎪⎩解得3344a --+≤≤, 则顶点的纵坐标4a -满足343a -≤于是,顶点的纵坐标的最大值为3最小值为32. (1) 当29x ≥时,不等式化为 22222149x x xt x -+-+-<-,22414x t <+对t ∀∈R ,不等式恒有解; (2) 当249x ≤≤时,不等式化为22222149x x x t x -+-+-<-,2224x t <+,对t ∀∈R ,不等式恒有解; (3) 当214x ≤<时,不等式化为 22222149x xx t x -+-+-<-,212t >,即212t >时有解, 212t ≤时无解; (4) 当21x ≤时,不等式化为 22222149x xx t x -+-+-<-,22214x t >-,当 212t ≤时,2142t -≥,即2222,1x x >>,与21x ≤矛盾,此时无解;因此,使不等式为空集的t 德取值范围是212t ≤,即{t t -≤≤.。