6-4最大流问题

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运筹试题

一、回答下面问题(每小题3分)

1.在单纯形法计算中,如果不按最小比值规则确定换基变量,则在下一个解中一定会出现。

2. 原问题无界时，其对偶问题，反之，当对偶问题无可行解时，原问题。

3．已知y0为线性规划的对偶问题的最优解，若y0>0，说明在最优生产计划中对应的资源。

4．已知y0为线性规划的对偶问题的最优解，若y0=0，说明在最优生产计划中对应的资源。

5．已知线形规划问题的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题的最优解一定是

。

6．m个产地n个销地的产销平衡运输问题的模型其决策变量的个数是个；基变量的个数是个；决策变量的系数列向量的特点是。

7．用位势法求解运输问题，位势的含义是；行位势与列位势中有一个的取值是任意的，这是因为。

8.用割平面法求解整数规划，割平面割去了；但未割去

。

9．按教材中的符号写出最大流问题的数学模型。

10．什么是截集，何谓最小截集？

二、（10分）

下表是用单纯形法计算到某一步的表格，已知该线性规划的目标函数值为z=14

表1

c j x1x2x3x4

x3 x1

1/5

1σj b-1f g

（1）求a—g的值；（8分）

（2）表中给出的解是否为最优解。（2分）

三、（每小题6分共12分）

车间为全厂生产一种零件，其生产准备费是100元，存贮费是0.05元／天·个，需求量

为每天30个，而且要保证供应。

（1）设车间生产所需零件的时间很短（即看成瞬时供应）；

（2）设车间生产零件的生产率是50个／天。

要求在（1）（2）条件下的最优生产批量Q*，生产间隔期t*和每天的总费用C*。

Lingo教案

第Ⅱ部分运筹学实验

§1 LINGO快速入门

一、LINDO/LINGO软件简介

LINDO和LINGO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件，这源于芝加哥大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包.

LINDO用于求解线性规划和二次规划.目前LINGO除了具有LINDO的全部功能外，还可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解以及代数方程求根等.

LINDO和LINGO软件的最大特色是可以求解决策变量为整数的优化问题，而且执行速度很快. LINGO实际上是一种最优化问题的建模语言，简单易学、包括许多常用的函数可调用，并提供与其它数据文件的接口，易于输入、求解和分析大规模最优化问题. 由于这些特点，LINDO和LINGO软件在教学、科研、工业、商业和服务等领域得到广泛应用.

本章着重在Microsoft Windows系统下，介绍lingo9.0在运筹学中的使用和课本中相关问题求解的LINGO实现.

二、LINGO软件的安装

LINGO软件的安装非常简单，在Windows系统下双击运行安装光盘（或其它源）中的安装程序setup.exe，接受安装协议，选择安装目录,选择默认的LINGO 语法(recommended)，最后完成（finish）安装.

安装完成后，第一次运行LINGO软件，这时提示要输入密码，输入正版的密码输入，即可以使用LINGO软件；当然可以选择测试/试用（demo）版本，这时求解变量不能超过300个.运行成功后得到如下窗口：

运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)

链，圈，连通图(P231)
图中某些点和边的交替序列，若其中各边互不相同，且对任意Vi-1,Vi 和vi+1均相邻称为链。用μ表示：
{v0 , e1 , v1 ,, ek , vk }
起点与终点重合的链称作圈。如果每一对顶点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图，否则称图不连通。
e1
e2
e4 v1e3
Chapter11 图与网络分析 ( Graph Theory and Network Analysis )
本章主要内容：
图与网络的基本概念与模型最短路问题最小生成树问题最大流问题最小费用最大流问题
高等课堂
图与网络的基本概念与模型
汉汉阳
江
汉口
长江
您能从武汉理工大学出发走过
每座桥且只走一次然后回到学
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
高等课堂 9
图与网络的基本概念与模型
网络（赋权图）(P232)
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标
wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。
权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。
端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有
的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显然是二边之和（如AB∪AC）。

网络流——求网络最大流

• 算法思想:最大流问题实际上是求一可行流{fij}，使得v(f达到最大。若给了一个可行流f，只要判断 N中有无关于f的增广路径，如果有增广路径，改进f，得到一个流量增大的新的可行流；如果没有增广路径，则得到最大流。 • 从一个可行流(一般取零流)开始，不断进行以下的标号过程与调整过程，直到找不到关于f的可增广路径为止。
3.可行流与最大流
• 在运输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个显然的要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧的容量)；二是中间点的流量为 0，源点的净流出量和汇点的净流入量必相等且为这个方案的总输送量。因此有： (1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E， (2)守恒条件对于中间点：流入量=流出量；对于源点与汇点：源点的净流出量vs(f)=汇点的净流入量（-vt(f)）的流f，称为网络N上的可行流可行流，并将源点s的净流量可行流称为流f的流值v(f)。网络N中流值最大的流f*称为N的最大流最大流。最大流
Init; {输入图的矩阵} Main;
Success ford(del)
If success then print Else fulkerson(del)
success
ford(var a:integer):boolean
lt[s].l s i check If i=0 then exit; For j 1 to n If (lt[j].l=0)and(g[i,j].c<>0) or g[j,i]<>0) If g[i,j].f<g[i,j].c then lt[j].l i if g[j,i].f>0 then lt[j].l -i; lt[p] 1 lt[t].L<>0 逆推求a

运筹学-网络流问题(名校讲义)

[例5-14]图5-38所示图G中，已给出现有流（边旁边的前后
两个数字分别表示容量和实际流量），试用标号法求出
最大流。
v1 • 16,15
14,14
3,1
•
x
15,9 v•2
12,10
v•513,12 v6•
6,3 7,5
22,22
9,9
5,5 6,6
•y
[解]
v•3 4,3 v•4
19,10
图 5-38
• 任意边e (S，S)为零边
定理3 设f和K分别是图G的一个流和一个割，且满足等式 V(f) = C(K)。则：f和K必分别是图G的最大流和最小割。
§2 最大流与最小割（6）
3．增广链及应用定理 ①有关术语和定义
i) 若G中有u到v的有向边(u，v)，则称(u，v)为Q的前向边。
ii)若G中有v到u的有向边(v，u)，则称(v，u)为Q的后向边。
•
v2 13,7
•v5
图 5-35
知l(Q1)=0，因此，Q1为f的饱和链。
§2 最大流与最小割（8）
2) 取Q2=xv2 v5 v4 v3y，则知： ·前向边为(x，v2)，(v2，v5)和(v3，y)，其l值为l(x，v2)=2，l(v2，
v5)=6，l(v3，y)=6。 ·后向边为(v4，v5)和(v3，v4)，其l值为l(v4，v5)=3，l(v3，v4)=3。

运筹学第六章图与网络分析

一、网络最大流中有关概念
⑴ 有向图：含有以箭头指示方向的边的网络图。 ⑵ 弧：有向图上的边称为弧。用（vi,vj）表示。 ⑶ 弧的容量：弧上通过负载的最大能力，简称容量。以cij表示。 ⑷ 流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。
⑸ 可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件： ① 容量限制条件：对所有的弧，0 fijcij ② 中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之间多于一条边，则称为多重边。
(v2,1) v1
9(5)
(v1,v13)
(0,+∞)
vs
5(3)
6(0)
vt
Baidu Nhomakorabea
(vs,1) v2
9(9)
v4
最大流量：fmax=14 最小割集：｛(v3, vt), (v2, v4)｝
§6.6 网络模型的实际应用
例1：王经理花费12000元购买了一台微型车，以后年度的维护费用取决于年初时汽车的役龄，如表示。为避免使用旧车带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车，购买新车使用的方案，旧车的预计收入如表示。为简化计算，假定任何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费用最小（购置费+维护费-卖旧车收入）。

运筹学之习题

运筹学习题

1 •某商业集团公司在Ai, A2, As 三地设有三个仓库，它们分别存40, 20, 40个单位产品，而其零售店分布在地区Bp i=l, 5,他们需要的产品数量分别是25, 10, 20, 30, 15个单位，产品从Ai 到Bj 的每单位装运费列于下表:

Bi B ： Bs B 4 B 5

Ai 55 30 40 50 40

A 2 35 30 100 45 60 As 40

95 35 30

试建立装运费最省调运方案的数学模型。

2•某饲养场所用混合饲料山n 种配料组成，要求这种混合饲料必须含有m 种不同的营养成分，并且每一份混合饲料中第i 种营养成分的含量不能低于bj 。已知每单位的第j 种配料中所含第i 种营养成分的量为atj,每单位的第j 种配料的价格为Cj 。在保证营养的条件下，应如何配方，使混合饲料的费用最省。试建立这个营养问题的数学模型，然后将其化成标准形式的线性规划问题。

3 •用图解法求解下列线性规划问题:

4 •用单纯形法求解下列线性规划问题:

5 •用两阶段法求解下列问题: (1)

min %, + 3X 2

X 2>2

min x } + 2X 2

si. 2x t +5X 2 > 12 ⑵ < x } + 2X 2 < 8 0<x,

<4 0 < x. < 3

min (1)

x { -x 2 +2X 3 < 10 s.t. ⑵

x {+x 2- x 3 < 20 Z = 3X {+X 2+ X 3 + x 4 -2%| + 2X 2 + x 3 =4 3x } + x 2 +X 4=6 Xj noj = i23

运筹学上机试题5-图论

四、图论

1、求下图中从v1到v3最短路。

v 1

v 3

v 5

从节点 1到节点3的最短路 *************************

起点终点距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6

此问题的解为:7 2、最小生成树

电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。

v 1

v 2

v 3

v 4v 5v 6

v 7v 8v 9

v 10v 11v 12

v 13v 14v 15

此问题的最小生成树如下：

*************************

起点终点距离

---- ---- ----

1 4 1

1 2 2

2 5 2

5 8 1

5 6 2

6 3 1

8 7 2

8 9 3

9 12 2

12 11 4

11 10 1

10 13 3

13 14 1

14 15 3

此问题的解为:28

3、最短路问题

例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。

从节点 1到节点2的最短路

*************************

起点终点距离

---- ---- ---- 1 2 4

此问题的解为:4

1到3没有路

1到4没有路

从节点 1到节点5的最短路

*************************

起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1

此问题的解为:1

从节点 1到节点6的最短路

*************************

最大流算法

实例
复杂度分析
�
设图中弧数为 m,每找一条增广轨最多需要进行 2m次弧的检查。如果所有弧的容量为整数，则最多需要 v(其中v为最大流)次增广，因此总的计算量为 O(mv)。
procedure maxflow; {最大流} var i, j, delta, x : integer; last : tline; {可改进路中的前趋} check : array[0 .. maxn] of boolean; { 检查数组} begin repeat fillchar(last, sizeof(last), 0); fillchar(check, sizeof(check), false); last[1] := maxint; repeat i := 0; repeat inc(i) until (i > n) or (last[i] <> 0) and not check[i]; {找到一个已检查而未标号的点} if i > n then break; for j := 1 to n do if last[j] = 0 then if flow[i, j] < limit[i, j] then last[j] := i {正向弧} else if flow[j, i] > 0 then last[j] := -i; {反向弧} check[i] := true; until last[n] <> 0;

中南大学现代远程教育平台—运筹学课程作业答案

《运筹学》作业答案

作业一

一、是非题：

1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。（√）

2.线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。（╳）

3.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。（√）

4.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。（√）

5.单纯形法计算中，如果不按最小比值规划选出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。（√）

6.线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。（╳）

7.若线性规划问题具有可行解，且可行解域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。（╳）

8.对一个有n个变量，m个约束的标准型线性规划问题，其可行域的顶点数恰好为

C个。（╳）

9.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。（√）

10.求Max型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。（√）

二、线性规划建模题：

1.某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。已知：从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车，并使总运费最少

最大流最小割定理

逆向割边：23
s1
6
4
4
1
2
2 1
3 3
4
5
3
3
4
2
5 t
◆ 割CUT（S,T）中所有正向割边的容量和称为割 CUT（S,T）的容量。不同割的容量不同。
容量为：3+4=7
s1
6
4
4 1
2
21
3 3
4
5
3
3
4
2
5t
割的容量：4+4=8
割的正向流量：4+2=6 逆向割的流量：1
s1
6
4
4
2
2 1
3 3
如做实验E2：需要仪器I2 和I3，与t组成集合T。 S与不做的实验E1和没用的仪器I1组成集合S。构成割：CUT(S,T) 净收益： E2:25-（6+7）=12 同理 : E1：10-（5+6）= -1 E1+E2：（10+25）-（5+6+7）=17
仪器 5 6 7 I3 I1 I2 实验
净收益=所有实验收入-相应实验方案割的容量
EjT
p C p p C
j k j j Ik T j 1 EjS Ik T m m j 1 EjS Ik T j 1
m
k
pj ( pj Ck ) pj cut ( S , T )

水力学教程第6章

第六章明渠恒定均匀流

人工渠道、天然河道以及未充满水流的管道等统称为明渠。明渠流(Open

Channel Flow) 是一种具有自由表面的流动，自由表面上各点受当地大气压的作用，其相对压强为零，所以又称为无压流动。与有压管流不同，重力是明渠流的主要动力，而压力是有压管流的主要动力。

明渠水流根据其水力要素是否随时间变化分为恒定流和非恒定流动。明渠恒定流动又根据流线是否为平行直线分为均匀流和非均匀流。

明渠流动与有压管流的一个很大区别是：明渠流的自由表面会随着不同的水流条件和渠身条件而变动，形成各种流动状态和水面形态，在实际问题中，很难形成明渠均匀流。但是，在实际应用中，如在铁路、公路、给排水和水利工程的沟渠中，其排水或输水能力的计算，常按明渠均匀流处理。此外，明渠均匀流理论对于进一步研究明渠非均匀流也具有重要意义。

§6-1 概述

1．明渠的分类

由于过水断面形状、尺寸与底坡的变化对明渠水流运动有重要影响，因此在水力学中把明渠分为以下类型。

(1) 棱柱形渠道和非棱柱形渠道凡是断面形状及尺寸沿程不变的长直渠道，称为棱柱形渠道，否则为非棱柱形渠道。前者的过水断面面积A仅随水深h变化，即A=f(h);后者的过水断面面积不仅随水深变化，而且还随着各断面的沿程位置而变化，即A=f(h, s) , s为过

水断面距其起始断面的距离。

(2) 顺坡(正坡) 、平坡和逆坡(负坡)渠道

明渠渠底线(即渠底与纵剖面的交线)上单位长度的渠底高程差，称为明渠的底坡(Bottom slope)，用i表示，如图6-1a，1-1和2-2两断面间，渠底线长度为A s,该两断面间渠底高程差为(a i-a2)= △ a,渠底线与水平线的夹角为B ,则底坡i 为。

运筹学：动态规划、图与网络优化习题与答案

一、判断题

1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。（）

正确答案：×

2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。（）

正确答案：×

3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。（）

正确答案：√

4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。（）

正确答案：×

二、选择题

1.关于图论中图的概念，以下叙述（）正确。

A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。

B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。

C.图中任意两点之间必有边。

D.图的边数必定等于点数减1。

正确答案：B

2. 关于树的概念，以下叙述（）正确。

A.树中的点数等于边数减1

B.连通无圈的图必定是树

C.含n个点的树是唯一的

D.任一树中，去掉一条边仍为树。

正确答案：B

3. 一个连通图中的最小树（）。

A.是唯一确定的

B.可能不唯一

C.可能不存在

D.一定有多个。

正确答案：B

4.关于最大流量问题，以下叙述（）正确。

A.一个容量网络的最大流是唯一确定的

B.达到最大流的方案是唯一的

C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案

D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。

正确答案：D

5. 图论中的图，以下叙述（）不正确。

A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。

B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。

C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。

D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。只要不改变点与点的连接关系。

算法分析与设计最大流问题

算法分析与设计题目：最大流算法

院系：软件工程

班级：软件11-2班

姓名：慕永利

学号： 23 号

1算法提出背景............................................................................................................................- 3 - 2 问题实例及解决.......................................................................................................................- 3 - 3算法论述....................................................................................................................................- 4 -

3.1、可行流..........................................................................................................................- 4 -

3.2 最大流..........................................................................................................................- 5 -

教程：最大流-最小割定理

推论1 推论1：如果f是网络中的一个流，CUT（S,T）是一个割，如果f是网络中的一个流，CUT（S,T）是一个割，那的值不超过割CUT S,T）的容量。 CUT（么f的值不超过割CUT（S,T）的容量。推论2：推论2 网络中的最大流不超过任何割的容量
定量2 定量2：在任何网络中，如果f是一个流，CUT（S,T）是一个割，在任何网络中，如果f是一个流，CUT（S,T）是一个割，的值等于割CUT S,T）的容量，那么f是一个最大流， CUT（且f的值等于割CUT（S,T）的容量，那么f是一个最大流， CUT（S,T）是一个最小割（容量最小的割）。 CUT（S,T）是一个最小割（容量最小的割）。
割 1 2 3 4
正 6 5 5 5
逆 1 0 0 0
4
2
4
33
4
5
3
4
s1
6
21
1
3
4
2
5t
定理一：定理一：如果f是网络中的一个流，CUT（S,T）是任意一个割，如果f是网络中的一个流，CUT（S,T）是任意一个割，那的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。么f的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。
证明：证明：令割CUT（S,T）的容量为C，所以流f的流量也为C。令割CUT（S,T）的容量为C 所以流f的流量也为C CUT 假设另外的任意流f1，流量为c1，假设另外的任意流f1，流量为c1，根据流量不超过割的 f1 c1 容量， c1<=c,所以是最大流。所以f 容量，则c1<=c,所以f是最大流。假设另外的任意割CUT（S1,T1），容量为c1，假设另外的任意割CUT（S1,T1），容量为c1，根据流量 CUT ），容量为c1 不超过割的容量，所以有c1>=c, c1>=c,故 CUT（S,T）是最小割。不超过割的容量，所以有c1>=c,故，CUT（S,T）是最小割。

最小费用最大流问题经典.ppt

(2,2)
(3,0)
vt (v3 ,1)
(2,1)
v3 (v2 ,1)
(3,3) vs
(5,1)
v2 (4,3) (1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
精心整理
Back 15
continued
(3)流的调整
增广链(vs , v1, v2v3 , vt )中，
(3,0)
(2,2) v3
v2 (4,3) v4
(3,3)
(5,3)
vs
(0,)
(1,0) (1,0)
(3,0)
vt
(2,2)
(5,2)
精心整理
v1 (vs ,3) (2,2)
v3
Back 16
continued
标号过程无法继续下去,算法结束. 此时的可行流即为所求的最大流.最大流量为
最小截集:
__
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则算法结束,此时的可行流就是最大流.
精心整理
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是