2019学年高中数学 第二章 几个重要的不等式章末质量评估 北师大版选修4-5
最新学年高中数学 第二章 几个重要的不等式章末质量评估 北师大版选修4-5(考试必备)
第二章 几个重要的不等式(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.已知a ，b ，c 都是正数，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.(a ＋b ＋c )2≥3 B.a 2＋b 2＋c 2≥2 C.1a ＋1b ＋1c≤2 3D.a ＋b ＋c ≤13abc解析 用3(ab ＋bc ＋ca )≤(a ＋b ＋c )2≤3(a 2＋b 2＋c 2)易得. 答案 A2.若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A.16B.8C.4D.非上述情况解析 y ＝x ＋1x ＋16x ＋1x，令t ＝x ＋1x >2(因x >1).∴y ＝t ＋16t ≥216＝8.当且仅当t ＝16t，即t ＝4时取等号.答案 B3.若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A.2 B.32 C. 3D.53解析 (1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3 因此，a ＋b ＋c ≤ 3. 当且仅当a1＝b1＝c1，即a ＝b ＝c ＝13时取等号. 答案 C4.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，A ＝a 3＋b 3＋c 3，B ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则A 与B 的大小关系为( ) A.A ≥B B.A ≤BC.A ＝BD.A 与B 的大小不确定解析 取两组数：a ，b ，c 与a 2，b 2，c 2，显然a 3＋b 3＋c 3是顺序和，a 2b ＋b 2c ＋c 2a 是乱序和，所以a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，即A ≥B . 答案 A5.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n>n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是( ) A.1 B.大于1且小于10的某个自然数 C.10 D.11答案 C6.已知函数f (x )＝22－x ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝f (1)，当n ≥2时，S n －2f （a n ）＝12(n 2＋5n －2)，则通过计算a 1，a 2，a 3的值，猜想{a n }的通项公式a n 等于( ) A.n ＋1 B.n －1 C.n ＋2 D.n －2答案 A7.设a ，b ，c ，d 为正数，a ＋b ＋c ＋d ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋d 2的最小值为( ) A.12 B.14 C.1D.34解析 由柯西不等式(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(12＋12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2，因为a ＋b ＋c ＋d ＝1，于是由上式得 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥1，于是a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝14时取等号.答案 B8.设a 1，a 2，a 3为正数，m ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，n ＝a 1＋a 2＋a 3，则m 与n 的大小关系为( ) A.m ≤n B.m ≥n C.m >nD.m ＝n解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得： a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 1＋a 2＋a 3.故选B. 答案 B9.用数学归纳法证明“1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ”时，由n ＝k的假设证明n ＝k ＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( )A.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1B.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2 C.1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1 D.1k ＋2＋…＋12k ＋1＋12k ＋2答案 D10.用数学归纳法证明命题“1＋12＋13＋…＋12n >n2 (n ∈N ＋)”时，命题在n ＝k ＋1时的形式是( )A.1＋12＋13＋…＋12k ＋1>k ＋12B.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12C.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2>k ＋12D.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>k ＋12答案 D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11.用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是________.解析 当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3. 答案122＋132＋142＋…＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋312.设x 2＋2y 2＝1则u (x ，y )＝x ＋2y 的最小值是________；最大值是________.解析 由柯西不等式，有|u (x ，y )|＝|1·x ＋2·2y |≤1＋2·x 2＋2y 2＝3得u min ＝－3，u max ＝3分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33时取得. 答案 － 3313.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c 的最小值是________.解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c ，∴1a ＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥9＋1＝10.答案 1014.设实数a 1，a 2，a 3满足条件a 1＋a 2＋a 3＝2，则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1的最大值为________. 解析 由柯西不等式，(a 21＋a 22＋a 23)(12＋12＋12) ≥(a 1＋a 2＋a 3)2＝4，于是a 21＋a 22＋a 23≥43.故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1＝12[(a 1＋a 2＋a 3)2－(a 21＋a 22＋a 23)]＝12×22－12(a 21＋a 22＋a 23)≤2－12×43＝43. 答案 4315.函数y ＝cos 2x (1＋sin x )的最大值为__________.解析 y ＝(1－sin 2x )(1＋sin x )＝(1－sin x )(1＋sin x )·(1＋sin x )＝ 4(1－sin x )·1＋sin x 2·1＋sin x 2≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋1＋sin x 33＝4×827＝3227 等号成立⇔1－sin x ＝1＋sin x 2⇔sin x ＝13.答案322716.已知函数f (x )＝2xx ＋2，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (a n －1) (n >1，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为__________. 答案 a n ＝2n ＋1三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 17.利用柯西不等式解方程：21－x ＋2x ＋3＝15. 解 由柯西不等式(21－x ＋2x ＋3)2＝(21－x ＋2·x ＋32)2≤[22＋(2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－x ）2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322 ＝6×⎝⎛⎭⎪⎫1－x ＋x ＋32＝6×52＝15.等号成立⇔1－x2＝x ＋322⇔1－x 4＝x ＋322⇔x ＝－23.经检验，x ＝－23为原方程的根.18.已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 根据所证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ，由排序原理：顺序和≥乱序和，得bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ， ∵a ，b ，c 为正数，∴abc >0，a ＋b ＋c >0.于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .19.设a 1，a 2，…，a n 是几个不相同的正整数，用排序不等式证明：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn2.证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1<b 2<…<b n ，因b 1，b 2，…，b n 是互不相同的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n .又因为1>122>132>…>1n 2，故由排序不等式；得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b n n 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.20.已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N ＋)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)Y 6＝{1，2，3，4，5，6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1，2，3，4，5，6；若a ＝2，则b ＝1，2，4，6； 若a ＝3，则b ＝1，3，6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a.若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b.若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；c.若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；d.若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；e.若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立；f.若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立.综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．63．随机变量ξ的分布列如下：其中是互不相等的正数，则的取值范围（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭4．函数2cos y x =+ ）A B ．5C ．4D5．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．97．函数y ＝的最大值为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．128．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．39．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．2710．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( ) A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++<11．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4712．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．734二、填空题13．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++ (n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________.14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．设x ，y ，z________．16．已知22221x y a b+= (a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．17．已知 O 为坐标原点，圆M ：()2211x y ++=， 圆N ：()2224x y -+=．,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S 的最大值为_______． 18．实数x ，y ，z 满足2224270x y z x z ++++-=，则x y z ++的最大值为__________．19．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是____20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知,a b 为实数，且满足223412a b +≤.证明：（1）ab ≤ （2）24a b +≤.22．柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++，当且仅当1212nna a ab b b ===时取等号. （1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++=，求证：12212211111x xx x x x n+++≥++++(并写出等号成立条件). 23．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=. （1）证明：22224x y z ++≥. （2.24．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 25．已知()2()f x x m m m R =-+∈.（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.求m 的值；（2）在（1）的条件下，若,,a b c ∈R 且345a b c m ++=，求证：491681345a b c++≥. 26．已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32++≥+++a b c b c a c a b .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nxy ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】解：由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故选：B. 【点睛】考查柯西不等式求最值，基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意1a b c ++=且,,0a b c >，利用柯西不等式得到13E ξ>，再计算1E ξ<，得到答案. 【详解】根据题意：1a b c ++=且,,0a b c >，()()()222222222211133a b c a b c E a b cξ++++++=++=≥，故13E ξ≥， 当13a b c ===时等号成立，故13E ξ>.2221E a b c a b c ξ=++≤++=，当2a a =，2b b =，2c c =时等号成立，,,a b c 是互不相等，故1E ξ<.综上所述：1,13E ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D . 【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．A解析：A 【分析】利用柯西不等式进行求最值. 【详解】2cos 2cos y x x =+=+==，即tan x = 故选：A. 【点睛】本题考查柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造柯西不等式的模型.5．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D6．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =，(3,b x =-，然后进行求解即可 【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =，(3,b x =-，则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当a b 时，即0=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题8．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++【详解】由柯西不等式得()()()2222222211111xy z x y z ++++≥++==，则22213x y z ++≥，当且仅当13x y z ===时，等号成立，因此，222x y z ++的最小值为13，故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ）A ．14B ．114C ．29D ．1292．已知实数,,x y z 满足236x y z ++=，则222x y z ++的最小值是( )A B ．3C ．187D ．63．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ） A ．3B ．6C ．9D ．274．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A B C ．1D ．25．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++6．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．37．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =8．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．479．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．73410．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n11．设a ， b ， c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a b c ++ 的最大值是( ) A ．1B ．3C ．3D ．912．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47二、填空题13．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++ (n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________. 14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 16．已知2211M x y y x =-+-，则M 的最大值为___．17．实数x ，y ，z 满足2224270x y z x z ++++-=，则x y z ++的最大值为__________．18．函数321452y x x =-+-的最大值为__________． 19．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____． 20．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．三、解答题21．已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4． （1）求a b c ++的值； （2）求2221149a b c ++的最小值． 22．（Ⅰ）若,a b ∈R ，且满足32b a +=，证明：2262b a +≥；（Ⅱ）若,a b ∈R ，且满足1123b c a ++=222623b c a ++≥.23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥. 25．已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32++≥+++a b c b c a c a b . 26．已知x ，y ，z 均是正实数，且2229436x y z ++=，求证7x y z ++≤．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.2．C解析：C 【分析】由柯西不等式得()()()222222212323x y z x y z ++++≥++， 即可算出答案.【详解】由柯西不等式得()()()222222212323xy z x y z ++++≥++，则2222(23)361814147x y z x y z ++++≥==，当且仅当“123x y z==”时取等号.故222x y z ++的最小值是187. 故选：C 【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】利用条件构造柯西不等式22222221(3)()[1()1]492z x y z x y ++++≤++，即可求出结论.【详解】根据柯西不等式可得：222222219(23)()[1()1]994244x y x y z z ++≤+=⨯+++=33x y z ∴++≤，当且仅当43x y z ==，即414,,339x y z ===时，等号成立. 故选:A. 【点睛】本题考查应用柯西不等式求最值，属于基础题.4．A解析：A 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()()(21f x cosx=+=当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++， 当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项， 故选：B ． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳） 在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
高中数学北师大版选修4-5第二章几个重要的不等式课件-(共5份打包)
1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件时取 等号？
提示：当向量(a，b)与向量(c，d)共线，即ad－bc＝0，也 就是ad＝bc时取等号．
若实数 m，n，x，y 满足 m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则
mx＋ny 的最大值是( )
A．a＋2 b
B． ab
C．
a2＋b2 2
解：由柯西不等式，得 4a＋1＋ 4b＋1＝1· 4a＋1＋1· 4b＋1
≤ 12＋12[ 4a＋12＋ 4b＋12] ＝ 24a＋1＋4b＋1＝ 2×6＝2 3， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b＝12时等号成立． 故 4a＋1＋ 4b＋1的最大值为 2 3.
1．柯西不等式强调的是两个正项与另外两个正项之间的 关系，对不符合形式的式子要从整体上进行拆分，“拼” “合”“变式”，转化为某两项间的关系，进而利用不等式求 最值或取值范围．
利用柯西不等式求最值
若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及取得最小值时 x，y的值．
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3x＝4y时等号成立． 因为 3x＋4y＝2，所以 25(x2＋y2)≥4，
即 x2＋y2≥245. 由33x＝x＋4y4，y＝2，得xy＝ ＝228655.， 故当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
∴a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
b1－c2＝4.
【点评】 利用柯西不等式证明某些不等式比较方便，但 技巧性很强，关键是在结构上灵活凑出柯西不等式的形式．
1．已知a，b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)． 求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 5．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②a b c ++≥③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．73410．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则222a b b c a c+++++ 的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．911．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 12．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47二、填空题13．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______. 14．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++________．15．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.16．函数()f x =______________.17．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．18．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为_______.19．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________．20．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________．三、解答题21．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．22．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M .（1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．25．已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 26．已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．B解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.9．C解析：C 【解析】由柯西不等式，可得))][()22222223321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ． 10．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 12．C解析：C 【解析】 试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.二、填空题13．【分析】利用柯西不等式及和差角公式即可得答案；【详解】由以上两式中等号成立分别当且仅当此时所以所求式子的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用考查逻辑推理能力运算求解能力综合【分析】利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案； 【详解】2[sin sin()]ααβ++2(sin sin cos cos sin )ααβαβ=+⋅+⋅=2[sin (1cos )cos sin ]αβαβ⋅++⋅22222(sin cos )[(1cos )sin ]22cos 4cos 2βααβββ≤+++=+=，由(0.)(0,)22ββππ∈⇒∈， ∴[sin sin()]sin ααββ++⋅≤22sin cos4sincos 222ββββ⋅⋅=⋅8=≤=，以上两式中，等号成立分别当且仅当sin cos1cos sin ααββ=+，221sin cos 222ββ=，此时2arctan 2αβ==，所以所求式子的最大值为9，. 【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.14．【分析】根据积和结构条件利用柯西不等式求解注意柯西不等式中等号成立的条件即可【详解】因为所以又由柯西不等式得：当且仅当取等号设则所以故答案为：【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用还考查了运算求解的能 解析：12【分析】根据“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可. 【详解】因为22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，所以()()()2222222400a b cx y z ax by cz ++++=++=，又由柯西不等式得：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++，当且仅当a b cx y z==取等号，设a b ck x y z ===， 则,,a kx b ky c kz === 所以12a b c x y z ++=++.故答案为：12【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】利用等体积转化法求出M 到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC 两两垂直可得平面设M 到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M 到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解. 【详解】由PA 、PB 、BC 两两垂直，可得PA ⊥平面PBC ，设M 到三个侧面,,PAB PAC PBC 的距离分别为,,x y z ，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBC A PBC V V V x y z V ----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯ 化简得3444x y z ++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z ++++≥++，即2221641x y z ++≥，当且仅当344x y z ==，即1216,4141x y z ===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解． 【详解】 因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立． 所以函数()f x =【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题． 17．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可.详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,mx ny ∴+mx ny ∴+点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 18．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不 解析：815【解析】分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=， 即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭ ；令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤， 解得111 416t ≤≤，所以328 cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815． 点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.19．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v++≥,当且仅当x =0y =或0x =，y =2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1. 20．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为解析：12129【解析】 2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以22212129x y z ++≥，当且仅当234x y z ==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129． 三、解答题21．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ，即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.22．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【分析】 （1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，15(2)22x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立， 当2x >时，135(2)2,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111423a b c++=. 又因为 22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.23．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果.【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立， 当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14， 当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可. （2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++- ⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】（1）左边()2223a b c =++， 由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==）， 即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x=，1b y =，1c z =，则1xyz =， 所以()()()222111x y z a b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++， 则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭ ()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立） 所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++， 故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号）， 则原不等式得证．【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.25．详见解析【分析】由x ，y ，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【详解】因为x ，y ，z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数，由柯西不等式得()()()214191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++= ⎪+++++++⎡⎭⎤⎣⎦+⎝， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立． 因为11131112x y z ++≤+++， 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++≥⨯=， 所以4910x y z ++≥．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．26．（1）1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭； （2）914【分析】（1）对()212f x x x =-+-分三种情况讨论去绝对值号，然后解不等式.（2）根据（1）先求出的m 值，用柯西不等式即可.【详解】解：（1） ()133,21212=1,2233,2x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当2x ≥时，334x -≥，解得73x ≥． 当122x <<时，14x +≥，解得x ∈∅． 当12x ≤时，334x -+≥，解得13x ≤-． 综上，原不等式的解集为1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭．（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴32m =．∴233a b c ++=． 由柯西不等式，有()()()222222212323a b ca b c ++++≥++， ∴222914a b c ++≥． 当且仅当23b c a ==，即314a =，37b =，914c =时，等号成立． ∴222a b c ++的最小值为914． 【点睛】考查有两个绝对值号的不等式的解法以及用柯西不等式证明不等式，中档题.。
2019最新高中数学 第二章 几个重要的不等式阶段质量评估 北师大版选修4-5
阶段质量评估(二) 几个重要的不等式A 卷 (时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设n ∈N ＋， 则4n与3n 的大小关系是( ) A ．4n>3n B ．4n＝3n C ．4n <3nD ．不确定解析：4n＝(1＋3)n，由贝努利不等式，得(1＋3)n≥1＋n ·3＝1＋3n >3n ，即4n>3n . 答案：A2．用数学归纳法证明“1＋123＋133＋…＋1n 3<2－1n (n ≥2，n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋123<2－12B ．1＋123＋133<2－13C ．1＋123<2－13D ．1＋123＋133<2－14解析：∵n ≥2，n ∈N ＋，∴第一步应验证当n ＝2时，1＋123<2－12.答案：A3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )( ) A ．大于零 B ．大于或等于零 C ．小于零D ．小于或等于零解析：设a ≥b ≥c >0，则a 3≥b 3≥c 3. 依据排序不等式，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .又ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . 所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ， 即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 答案：B4．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A ．78215B ．15782C ．3D ．253解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16()3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1， 所以3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.答案：B5．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现选择商店中单价为5元、3元、2元的商品作为奖品，则至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元D ．340元解析：由排序不等式，可知逆序和最小． ∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)． 答案：C6．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值分别为( ) A ．53，109，56 B ．2029，3029，4029 C ．1，12，13D ．1，14，19解析：当且仅当x 2＝y 3＝z4时取到最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.答案：B 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 7．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________. 解析：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2，当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时取等号．故x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为4.答案：48．已知a ∈(0，＋∞)，x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，…，x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为________.解析：∵x ＋1x≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3， ∴x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋x n ＋…＋x n ＋a x n ≥(n ＋1)n ＋1x n ·x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n＝n ＋1.∴a ＝n n(n ∈N ＋)． 答案：n n (n ∈N ＋)9．设x 1，x 2，…，x n 为不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是_________.解析：设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足a 1<a 2<…<a n ，故a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .又1>122>132>…>1n2，所以x 112＋x 222＋x 332＋…＋x n n 2≥a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2≥ 1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.答案：1＋12＋13＋…＋1n三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分10分)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋9y ＋25z≥81.证明：由柯西不等式，得(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＋25z ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x＋y ·9y＋z ·25z 2＝81，当且仅当x 1x ＝y 9y ＝z25z，即x ＝19，y ＝13，z ＝59时取等号．所以1x ＋9y ＋25z≥81.11．(本小题满分12分)设x >0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n. 证明：当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n，由顺序和≥逆序和，得1×1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥(n ＋1)x n.①因为x ，x 2，x 3，…，x n,1为序列1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由乱序和≥逆序和，得1·x ＋x ·x 2＋…＋xn －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n.②将①和②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. ③当0<x <1时，1>x >x 2>…>x n. ①②仍然成立，于是③也成立． 综上，原不等式成立．12．(本小题满分13分)已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z25x ＋4y ≥5；(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值． (1)证明：根据柯西不等式，得 [(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2. 因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)解：根据平均值不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2×3x 2＋y 2＋z 2， 当且仅当x 2＝y 2＋z 2时等号成立． 根据柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32) ≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100， 当且仅当x 5＝y 4＝z3时等号成立．所以x 2＋y 2＋z 2≥2.综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18，当且仅当x ＝1，y ＝45，z ＝35时等号成立．所以9x 2＋9y 2＋z 2的最小值为18.B 卷 (时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x ＋y2·2y＋3z·z 32＝9.答案：D2．用数学归纳法证明“122＋132＋142＋…＋1n ＋2>12－ 1n ＋2”时，假设当n ＝k 时不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是( ) A ．122＋132＋…＋1k ＋2>12－1k ＋3 B ．122＋132＋…＋1k ＋2>12－1k ＋2 C ．122＋132＋…＋1k 2>12－1k ＋1D ．122＋132＋…＋1k －2>12－1k解析：当n ＝k ＋1时，不等式变为122＋132＋…＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋＋2. 答案：A3．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．n C ．nD ．2解析：由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2， 即1×1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2. ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1. 故所求的最大值为1. 答案：A4．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1，则2x ＋3y的最小值为( )A ．5＋ 6B ．5－ 6C ．5＋2 6D ．5－2 6解析：2x ＋3y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3y 2[]x2＋y2≥⎝⎛⎭⎪⎫2x·x ＋3y·y 2＝(2＋3)2＝5＋26，当且仅当y ∶x ＝3∶2时取等号． ∴2x ＋3y的最小值为5＋2 6.答案：C5．用数学归纳法证明“对任意x >0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1x n －4＋1x n －2＋1x n ≥n ＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( )A ．1B ．2C ．1,2D ．以上答案均不正确解析：当n ＝1时，左边＝x ＋1x ，右边＝1＋1，而x ＋1x≥2，即当n ＝1时不等式成立． 答案：A6．设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( ) A ．1333B ．1332C ．13D ．613解析：(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫132≥a ·3＋2b ·1＋3c ·132＝(3a ＋2b ＋c )2， 当且仅当a3＝2b 1＝3c13时取等号． ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323，即3a ＋2b ＋c ≤1333.又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13.故3a ＋2b ＋c 有最大值1333.答案：A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 7．函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2的最小值是________. 解析：由柯西不等式，得y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1sin α·1cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋22，当且仅当1cos α＝1sin α，sin 2α＝1，即α＝π4时等号成立．答案：3＋2 28．已知数列{a n }的各项均为自然数且它的前n 项和为S n ，a 1＝1.若对所有的正整数n ，有S n ＋1＋S n ＝(S n ＋1－S n )2成立，通过计算a 2，a 3，a 4，可归纳出S n ＝________.解析：由已知，得S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1. ∴当n ≥2时，S n ＋S n －1＝a 2n . 两式相减，得a n ＋1＋a n ＝a 2n ＋1－a 2n . ∴a n ＋1－a n ＝1.∴数列{a n }为等差数列，公差d ＝1. ∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n . ∴S n ＝n n ＋2. 答案：n n ＋29．三角形的三边a ，b ，c 对应的高为h a ，h b ，h c ，r 为三角形内切圆的半径．若h a ＋h b＋h c 的值为9r ，则此三角形为________三角形．解析：记三角形的面积为S ，则2S ＝ah a ＝bh b ＝ch c . 因为2S ＝r (a ＋b ＋c )， 所以h a ＋h b ＋h c ＝2S 1a ＋1b ＋1c＝r (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c . 由柯西不等式，得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 所以h a ＋h b ＋h c ≥9r .故当h a ＋h b ＋h c ＝9r 时，三角形为等边三角形． 答案：等边三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x＋4y＋4z 2的最小值．(1)证明：因为x >0，y >0，z >0，所以由柯西不等式，得[(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2. 因为x ＋y ＋z ＝1， 所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥x ＋y ＋z 2y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y ＝13.(2)解：由平均值不等式，得 4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2. 因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34. 故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立．所以4x＋4y＋4z 2的最小值为3 2.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且关于x 的不等式f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解：因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为 {x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)，知1a ＋12b ＋13c ＝1.又a ，b ，c ∈(0，＋∞)， 由柯西不等式，得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.12．(本小题满分13分)已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145(n ∈N ＋)． (1)求数列{b n }的通项；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b n (其中a >0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．解：(1)设数列{b n }的公差为d ， 由题意，得10×1＋－2·d ＝145.∴d ＝3，b n ＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋13n －2＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2， 13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1. 因此，要比较S n 与13log a b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2与33n ＋1的大小．取n ＝1，有(1＋1)>33×1＋1. 猜想取n ≥1，n ∈N ＋，有(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2>33n ＋1.下面用数学归纳法说明：①当n ＝1时，已验证不等式成立． ②假设当 n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立， 即(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2>33k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋－2> 33k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1＝33k ＋13k ＋1·(3k ＋2)．∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33k ＋13k ＋1k ＋3－(33k ＋4)3＝ k ＋3－k ＋k ＋2k ＋2＝9k ＋4k ＋2>0，∴33k ＋13k ＋1·(3k ＋2)>33k ＋4 ＝3k ＋＋1.∴(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋－2> 3k ＋＋1.这说明，当n ＝k ＋1时不等式也成立．初高中精品文档欢迎使用下载！ 由①②，知对一切n ∈N ＋，不等式(1＋1)1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2>33n ＋1都成立． 再由对数的性质，可得当a >1时，S n >13log a b n ＋1； 当0<a <1时，S n <13log a b n ＋1.。
高中数学 北师大版选修4-5几个重要的不等式第二章
§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式学习目标1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.预习自测1.柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号成立⇔ad＝bc.2.柯西不等式的向量形式设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.自主探究1.如何证明：a1，a2，b1，b2∈R时，(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2?提示(a21＋a22)(b21＋b22)－(a1b1＋a2b2)2≥0⇔a21b21＋a22b22＋a21b22＋a22b21－a21b21－a22b22－2a1b1a2b2≥0⇔a21b22－2a1b1a2b2＋a22b21≥0⇔(a1b2－a2b1)2≥0.上式中等号成立⇔a1b2＝a2b1.2.设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？提示∵cos〈α，β〉＝α·β|α||β|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22，∴cos2〈α，β〉＝（a1b1＋a2b2）2（a21＋a22）（b21＋b22）≤1，即(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2， a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|.∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ (λ≠0).典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y ). 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11， ∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.【反思感悟】 柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2⇔a 21＋a 22b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|，应用时关键是对已知条件的变形.1.已知a ，b ，c ，d ∈R ，x >0，y >0，且x 2＝a 2＋b 2，y 2＝c 2＋d 2，求证：xy ≥ac ＋bd .证明 由柯西不等式知：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2＝x 2·y 2＝xy . ∴xy ≥ac ＋bd .【例2】 (二维形式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，用代数的方法证明x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.证明 (x 21＋y 21＋x 22＋y 22)2＝x 21＋y 21＋2x 21＋y 21x 22＋y 22＋x 22＋y 22≥x 21＋y 21＋2|x 1x 2＋y 1y 2|＋x 22＋y 22 ≥x 21＋y 21－2(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 22＋y 22＝x 21－2x 1x 2＋x 22＋y 21－2y 1y 2＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2【反思感悟】 在平面中设α＝(x 1，y 1)，β＝(x 2，y 2)，则α±β＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，由向量加法的三角形法则知：|α|＋|β|≥|α＋β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1＋x 2）2＋（y 1＋y 2）2，由向量减法的几何意义知：|α|＋|β|≥|α－β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.2.利用柯西不等式证明：a 2＋b 28≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 42. 证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 42＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 42≤(a 2＋b 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝a 2＋b 28. 知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值. 解 函数的定义域为{x |1≤x ≤5}.y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63当且仅当55－x ＝2x －1 即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3.【反思感悟】 解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值.解 2x 2＋3y 2＝[(2x )2＋(3y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×65≥65⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·132＝65(x ＋y )2＝65.课堂小结1.二维形式的柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时等号成立.2.推论：(1)(a ＋b )·(c ＋d )≥(ac ＋bd )2；(2)a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|； (3)a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1|＋|a 2b 2|.3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|，当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1)a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1＋b 1）2＋（a 2＋b 2）2(或a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥ （a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2)；(2)（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2.随堂演练1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解 (a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). 当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3时等号成立.2.写出空间代数形式的三角不等式. 解 有两种形式分别对应定理3、定理4.定理3为a 21＋a 22＋a 23＋b 21＋b 22＋b 23≥（a 1＋b 1）2＋（a 2＋b 2）2＋（a 3＋b 3）2 定理4为（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（a 3－b 3）2＋ （b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2＋（b 3－c 3）2 ≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2＋（a 3－c 3）2. 3.已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1. 求证：ax ＋by ＋cz ≤1. 证明 由柯西不等式得：(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2.∵a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，∴|ax ＋by ＋cz |≤1. ∴ax ＋by ＋cz ≤1.一、选择题 1.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 只能取数，不能为代数式. ③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β. 其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.0个解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a ，b ，c ，d 是实数，没有其取值限制. 答案 A2.函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值是( ) A.20 B.25 C.27D.18解析 y ＝2x ＋91－2x ＝[2x ＋(1－2x )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋91－2x＝[(2x )2＋(1－2x )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫91－2x 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·2x ＋1－2x 91－2x 2＝(2＋3)2＝25. 答案 B3.设a 、b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( ) A.P >Q B.P ≥Q C.P <QD.P ≤Q解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2，∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b .又∵a ≠b ，而等号成立的条件是a b ·a ＝ba ·b ，即a ＝b ，∴a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q . 答案 A 二、填空题4.设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值是________. 解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 答案 25.若a 2＋b 2＋c 2＝2，x 2＋y 2＋z 2＝4，则ax ＋by ＋cz 的取值范围是__________. 解析 ∵(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2， ∴(ax ＋by ＋cz )2≤8，∴－22≤ax ＋by ＋cz ≤2 2. 答案 [－22，22]6.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________. 解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5. 答案5三、解答题7.若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点. 解 由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1， ∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号.由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16.8.设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值. 解 ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， ∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b 的最小值为2.9.已知a 2＋b 2＝1，a ，b ∈R ，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1. 证明 ∵(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ) ＝1·1＝1，∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.1.2 一般形式的柯西不等式学习目标1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.预习自测1.定理2，设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立.2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.3.推论设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时“＝”成立.自主探究1.由二维的柯西不等式的向量式|α||β|≥|α·β|，你能推导出二维的柯西不等式的代数式吗？提示 设α＝(a 1，a 2)，β＝(b 1，b 2)，则α·β＝a 1b 1＋a 2b 2代入向量式得：(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2.当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立.2.在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a 1，a 2，a 3)，β＝(b 1，b 2，b 3)， 则α·β＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3代入向量式得(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当α与β共线时，即存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立.3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？提示 柯西不等式的一般形式为：若a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 都为实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，证明如下：若a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则不等式显然成立，故设a 1，a 2，…，a n 至少有一个不为零，则a 21＋a 22＋…＋a 2n >0.考虑二次三项式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2＋2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )＝(a 1x ＋b 1)2＋(a 2x ＋b 2)2＋…＋(a n x ＋b n )2≥0. 对于一切实数x 成立，设二次三项式的判别式为Δ，则Δ4＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0. 所以(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12()b 21＋b 22＋…＋b 2n 12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |a1 b1＝a2b2＝…＝a nb n.等号成立⇔典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明 2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ 1a ＋b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ 1b ＋c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ 1c ＋a 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b＋b ＋c · 1b ＋c＋c ＋a · 1c ＋a 2 ＝(1＋1＋1)2＝9.∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立.【反思感悟】 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数.求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.证明 由柯西不等式得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3(b 1＋b 2＋b 3) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋a 3b 3·b 32＝(a 1＋a 2＋a 3)2.∴a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值. 解4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1＝4a ＋1·1＋4b ＋1·1＋4c ＋1·1 ≤(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)12(12＋12＋12)12 ＝7×3＝21.当且仅当4a ＋11＝4b ＋11＝4c ＋11时取等号. 即a ＝b ＝c ＝13时，所求的最大值为21.【反思感悟】 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值. 解 根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.知识点3 利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝94，－8x ＋6y －24z ＝39.解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ≥(－8x ＋6y －24z )2.①∵(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2]＝94×(64＋36＋576)＝392，又(－8x ＋6y －24y )2＝392， ∴(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝(－8x ＋6y －24z )2， 即不等式①中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 x －8＝y 6＝z －24， 它与－8x ＋6y －24z ＝39联立，可得 x ＝－613，y ＝926，z ＝－1813.【反思感悟】 利用柯西不等式解方程，关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：21－2x ＋4x ＋3＝15. 解 ∵21－2x ＋4x ＋3＝22－4x ＋1·4x ＋3 ≤2－4x ＋4x ＋3·2＋1＝5·3＝15. 又由已知21－2x ＋4x ＋3＝15.所以等号成立， 由等号成立的条件2－4x ·1＝4x ＋3· 2 得：2－4x ＝8x ＋6，∴x ＝－13， 即方程的解为x ＝－13.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法；教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面也有广泛的应用.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证： (a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明 由三角形中的正弦定理得sin A ＝a2R ， 所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2于是左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2. 故原不等式获证.2.已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证： 1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 (12＋12＋…＋12)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2.∴n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2∴1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .一、选择题1.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( ) A.9 B.3 C.3 D.1解析 [(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.又∵a ＋b ＋c ＝3，∴1a ＋1b ＋1c ≥3，最小值为3. 答案 B2.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A.1B.nC.nD.2解析 由柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2得1·1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.所求的最大值为1. 答案 A3.已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C.1，12，13D.1，14，19解析 x 2＋y 2＋z 2＝（x 2＋y 2＋z 2）（22＋32＋42）29≥（2x ＋3y ＋4z ）229＝10029，当且仅当⎩⎨⎧x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k时，等号成立，则4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝1029，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.选B.答案 B 二、填空题4.已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________.解析 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2 ∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1655.设a ，b ，c ＞0且a ＋b ＋c ＝A (A 为常数).则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c （a ＋b ＋c ）A≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2A ＝9A . 答案 9A 三、解答题6.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值.解 由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2 解得，1≤a ≤2当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2.b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1. 7.设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 证明 ∵a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)， ∴[(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1 ≥(a 1－a 2·1a 1－a 2＋a 2－a 3·1a 2－a 3＋…＋a n －a n ＋1·1a n －a n ＋1)2＝n 2>1. ∴(a 1－a n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1.即1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1a 1－a n ＋1，故1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 8.设P 是△ABC 内的一点，x ，y ，z 是P 到三边a ，b ，c 的距离.R 是△ABC 外接圆的半径，证明：x ＋y ＋z ≤12R·a 2＋b 2＋c 2. 证明 由柯西不等式得， x ＋y ＋z ＝ax 1a ＋by 1b ＋cz1c≤ax ＋by ＋cz1a ＋1b ＋1c .设S 为△ABC 的面积，则 ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2abc 4R ＝abc2R ， x ＋y ＋z ≤ abc 2Rab ＋bc ＋caabc＝12R ab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，故不等式成立.9.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.§2 排序不等式学习目标1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.预习自测1.定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc ，此式当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号.2.定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ， 则 (顺序和) a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥ (乱序和) a 1b j 1＋a 2b j 2＋…＋a n b jn ≥ (逆序和) a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1，2，…，n 的任一排列方式.上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号.自主探究1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？提示 有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系.与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应的只有一种.由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案.根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元.2.设有两组实数，a 1<a 2<a 3，b 1<b 2<b 3，设c 1、c 2、c 3是b 1、b 2、b 3的任一个排列，作和a 1c 1＋a 2c 2＋a 3c 3，你能猜测和的最大值及最小值分别是怎样的和式吗？ 提示 由问题1我应得到启发，和最大的应该为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，和最小的应该是a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1.3.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需要t i 分，假设这些t i 各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最小？这个最少的总时间等于多少？(根据排序原理回答)提示 不妨设t 1<t 2<…<t 10，∵1<2<3<…<10，由排序原理知逆序和最小，即10t 1＋9t 2＋…＋t 10最小，所以按注水时间由小到大的顺序注水，则他们10人等候的总时间最小，最少的总时间为10t 1＋9t 2＋…＋t 10.典例剖析知识点1 利用排序原理证明不等式【例1】 已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 根据所需证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c ，bc ≤ca ≤ab .由排序原理：顺序和≥乱序和，得： bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b . 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，因为a ，b ，c 为正数，所以abc >0，a ＋b ＋c >0， 于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .1.已知a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ). 证明 令S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，则 S ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， S ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n b 2， ……S ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1，将上面n 个式子相加，并按列求和可得nS ≥a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) ∴S ≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) 即(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).【例2】 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2.证明 ∵12<22<32<…<n 2，∴112>122>…>1n 2.设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列， 即c 1<c 2<c 3<…<c n ，根据排序原理中，逆序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1，2，…，n ， ∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n 2 ＝1＋12＋…＋1n ，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn 2.2.设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a ncn≥n .证明 不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n 的一个排序，故由排序原理：逆序和≤乱序和 得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n.即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n . 知识点2 利用排序原理求最值【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值. 解 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3.即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.3.设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b）的最小值.解令S＝1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b），则S＝（abc）2a3（b＋c）＋（abc）2b3（a＋c）＋（abc）2c3（a＋b）＝bca（b＋c）·bc＋acb（a＋c）·ac＋abc（a＋b）·ab，由已知可得：1a（b＋c）≥1b（a＋c）≥1c（a＋b），ab≤ac≤bc，∴S≥bca（b＋c）·ac＋acb（a＋c）·ab＋abc（a＋b）·bc＝ca（b＋c）＋ab（a＋c）＋bc（a＋b）又S≥bca（b＋c）·ab＋acb（a＋c）·bc＋abc（a＋b）·ac＝ba（b＋c）＋cb（a＋c）＋ac（a＋b），两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·31abc＝3.∴S≥32，即1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b）的最小值为32.课堂小结排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结论的结构特征，从而分析出要用排序原理中逆序和≤乱序和，或是乱序和≤顺序和，或者逆序和≤顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.随堂演练1.利用排序原理证明：若a1，a2，…，a n为正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥n1a1＋1a2＋…＋1a n.证明不妨设a1≥a2≥a3≥…≥a n>0，则有1a1≤1a2≤…≤1a n由排序不等式，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1ann≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a n n ， 即n n ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a n n ，∴a 1＋a 2＋…＋a nn≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n. 2.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c .求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c . 证明 ∵a ≥b ≥c ≥0，∴a 3≥b 3≥c 3，∴a 3b 3≥a 3c 3≥b 3c 3， ∴1a 3b 3≤1a 3c 3≤1b 3c 3，又a 5≥b 5≥c 5，由排序原理得： a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 5a 3b 3＋b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3(顺序和≥乱序和)， 即a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3， 又∵a 2≥b 2≥c 2，1a 3≤1b 3≤1c 3由乱序和≥逆序和得：a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c . ∴a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A.ax ＋by ＋cz B.az ＋by ＋cx C.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz解析 法一 用特值法进行验证.令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B. 法二 由顺序和≥乱序和≥反序和.可得az ＋by ＋cx 最小. 答案 B 二、填空题2.设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正数，那么P ＝a 1＋a 2＋…＋a n 与Q ＝a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1an＋a 2na 1的大小关系是________.解析 假设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ，则1a n ≥1a n －1≥…≥1a ≥1a 1，并且a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ，P ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2n a n，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理P ≤Q . 答案 P ≤Q 三、解答题3.设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n，由排序原理：乱序和≥逆序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .4.设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序原理：顺序和≥乱序和. ∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ；aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB ； aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC .上述三式相加得 3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c ). ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c3，即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )，∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.5.设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2， 由排序原理：顺序和≥逆序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2b ，c 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a ， 三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2). 又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ， ∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.6.设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c . 据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c 上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3lg(abc ).故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.7.设x i ，y i (i ＝1，2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列.求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1 (x i －z i )2. 证明 要证∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2只需证∑ni ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑ni ＝1x i z i . 因为∑n i ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑ni ＝1x i y i. 而上式左边为乱序和，右边为顺序和. 由排序不等式得此不等式成立.故不等式∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2成立. 8.已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ， ∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c ) >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 又∵a 2>b 2>c 2，a >b >c ，∴a 2b ＋b 2a <a 3＋b 3，b 2c ＋c 2b <b 3＋c 3. 即a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b <a 3＋2b 3＋c 3，所以有2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).§3 数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法学习目标1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.预习自测1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n 取初始值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n 0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.自主探究1.为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？提示 这是因为第一步首先验证了n 取一个值n 0，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n 0成立，根据假设和合理推证，证明出n ＝k ＋1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立，这就一定有n ＝2成立；n ＝2成立，则n ＝3也成立；n ＝3成立，则n ＝4也成立.如此反复，以至对所有n ≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.2.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？ 提示 不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.3.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？提示 第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.典例剖析知识点1 利用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n （n ＋1）2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×（1＋1）2＝1，∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k （k ＋1）2.那么，当n ＝k ＋1时，则有：12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1k （k ＋1）2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k（k ＋1）（k ＋2）2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.【反思感悟】 利用数学归纳法证明等式的关键是当n ＝k ＋1时利用假设n ＝k 成立进行转化证明，要分清楚增加的几项分别是什么.1.用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立. (2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2.上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立. 【例2】 证明12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12. ∴当n ＝1时，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1＝右边. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立.解 不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，等式成立，就是 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N ＋都成立.【反思感悟】 在推证“n ＝k ＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n ＝k 时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－122＝34， 右边＝2＋12×2＝34，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k . 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·k 2＋2k （k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）， 即n ＝k ＋1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n (n ≥2)，原等式成立.知识点2 用数学归纳法证明不等式【例3】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2).证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立. (2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立.由(1)、(2)知原不等式在n ≥2时均成立.【反思感悟】 (1)由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.3.1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1 (n ∈N ＋).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴左边≥右边，即命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2＝3k 2k ＋1＋1k 2＋2k ＋1≥3k 2k ＋1＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k （2k ＋3）＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（3k ＋3）（2k ＋1）（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k ＋32k ＋3＝3（k ＋1）2（k ＋1）＋1. 由(1)(2)知原不等式在n ∈N ＋时均成立.课堂小结1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：(1)当n ＝k ＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.(2)由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n ＝k 时的结论作为条件应用上.随堂演练1.用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 3答案 C2.用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22 (n ∈N ＋)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( ) A.k 2＋1 B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D3.已知a 1＝2，a n ＋1＝2＋a n ，n ∈N ＋，求证：a n <2. 证明 (1)n ＝1时，∵a 1＝2，∴a 1<2. (2)假设n ＝k (k ≥1)时，a k <2，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2＋a k <2＋2＝2. 故n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)知，n ∈N ＋时，a n <2都成立.一、选择题 1.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12nf(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2，选D.答案 D2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，a n＋1＝a2，∴左边应为1＋a＋a2，故选C.答案 C3.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k ＋1”左边需增乘的代数式是()A.2k＋1B.2k＋1 k＋1C.2(2k＋1)D.2k＋2 k＋1解析n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1). n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).∴增乘的代数式是（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1)，选C.答案 C二、填空题4.数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________.解析a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想a n＝n2.答案 a n ＝n 25.记凸k 边形对角线的条数为f (k )(k ≥4)，那么由k 到k ＋1时，对角线条数增加了________条.解析 ∵f (k )＝12k (k －3)，f (k ＋1)＝12(k ＋1)(k －2)，f (k ＋1)－f (k )＝k －1. 答案 k －16.在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n .通过求a 2，a 3，a 4猜想a n 的表达式是________.解析 13＋a 2＝2(2×2－1)a 2，a 2＝115， 13＋115＋a 3＝3(2×3－1)a 3，a 3＝135， 13＋115＋135＋a 4＝4(2×4－1)a 4，a 4＝163， 猜想a n ＝1（2n ）2－1.答案 a n ＝1（2n ）2－1三、解答题7.求证：(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1) (n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2， ∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋ )时，等式成立.即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)成立. 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2(k ＋1)－1]. 即n ＝k ＋1时等式成立.由(1)、(2)可知对任意n ∈N ＋，等式都成立. 8.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋).。
2018_2019学年高中数学第二章几个重要的不等式章末复习课件北师大版选修4_5
a12 b12 c12 跟踪训练 2 设 a，b，c 为正数，求证： bc ＋ ca ＋ ab ≥a10＋b10＋c10. 证明 由a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c，
1 1 1 于是 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab.
12 12 12
a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 由排序不等式，得 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a . 1 1 1 11 11 11 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤c， 11 11 11 11 11 11 a b c a b c 再次由排序不等式，得 a ＋ b ＋ c ≤ b ＋ c ＋ a . 12 12 12 a b c 由①②得 bc ＋ ca ＋ ab ≥a10＋b10＋c10.
当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时等号成立.
2.排序不等式
定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc. 当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号. 定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn， 则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥ (乱序和) a1bj ＋a2bj ＋＋anbj ≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.
解答
反思与感悟 利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变 量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中，利用柯西不等式或 排序不等式处理往往比较容易. (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件， 不能忽略.
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式课件北师大版选修4_5
• (2)数学归纳法适用范围：可用于证明与
____________有关的命题．
正整数
• 2．数学归纳法证明命题的步骤
•
(1)验证当n取__第_一__个_值__n0_____ 正确．
(如n0＝1或2等)时命题
• (_2n_＝)_假k_＋_设1__当__n_＝__k时(k∈命N题＋也，正k≥确n．0)时命题正确，证明当
• 【点评】 应用数学归纳法证明代数恒等式的关键 是在运用归纳假设，分析p(k)与p(k＋1)的差异及联系， 利用拆、添、并、放等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)， 再进行局部调整，也可考虑寻求两者的结合点，以 便顺利过渡，利用归纳假设，经过恒等变形，得到 结论需要的形式．
1．用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1(其中 n∈N＋)．
中，从n＝k到n＝k＋1，只用拼凑的方法，有时也行 不通．因为对不等式来说，它还涉及放缩的问题， 它可能需通过放大或缩小的过程，才能利用上归纳 假设．因此，我们可以利用比较法、综合法、分析
法等来分析从n＝k到n＝k＋1的变化，从中找到放缩 尺度，准确地拼凑出所需要的结构．
2．用数学归纳法证明：1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12>1 (n≥2，n∈N＋)．
• 3．数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明， 既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的综合性， 其中用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出 证明是常见题型．
解：计算，得 S1＝89，S2＝2245，S3＝4489，S4＝8801. 猜测 Sn＝2n2＋n＋112－2 1(n∈N＋)．证明如下：
(1)当 n＝1 时，结论显然成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即 Sk＝2k2＋k＋112－2 1， 那么当 n＝k＋1 时， Sk＋1＝Sk＋2k＋81k2＋21k＋32 ＝2k2＋k＋112－2 1＋2k＋81k2＋21k＋32
高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式 北师大版选修4-5
(乱序和) a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥ (逆序和) a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1. 其中 j1，j2，…，jn 是 1，2，…，n 的任一排列方式.上式当且仅当 a1＝a2＝…＝an(或 b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号.
2.已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c.求证：ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥ 1a＋1b＋1c. 证明 ∵a≥b≥c≥0，∴a3≥b3≥c3，∴a3b3≥a3c3≥b3c3， ∴a31b3≤a31c3≤b31c3，又 a5≥b5≥c5，由排序原理得： ba3c53＋ab3c53＋ac3b5 3≥aa3b5 3＋bb3c53＋ac3c5 3(顺序和≥乱序和)， 即ba3c53＋ab3c53＋ac3b5 3≥ab23＋bc32＋ac23，
上述两式相加得：2b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥3. 即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 当且仅当 a＝b＝c 时，b＋a c＋c＋b a＋a＋c b取最小值32.
3.设0<a≤b≤c且abc＝1. 试求a3（b1＋c）＋b3（a1＋c）＋c3（a1＋b）的最小值. 解 令 S＝a3（b1＋c）＋b3（a1＋c）＋c3（a1＋b）， 则 S＝a（3（abb＋c）c）2 ＋b3（（aab＋c）c）2 ＋c3（（aab＋c）b）2
§2 排序不等式
学习目标 1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的
研究过程. 2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.
预习自测 1.定理 1：设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d，那么
_a_c_＋__b_d_≥__a_d_＋__b_c，此式当且仅当 a＝b(或 c＝d)时取“＝”号. 2.定理 2：(排序不等式)设有两个有序实数组
2019-2020最新高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评11排序不等式北师大版选修4_5
【答案】 a3＋b3≥a2b＋ab2
7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________ s.
【解析】 等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．
＋＋≥a10＋b10＋c10.
【证明】 由对称性，不妨设a≥b≥c>0，
于是a12≥b12≥c12，≥≥，
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
＋＋≥＋＋＝＋＋.①
又因为a11≥b11≥c11，≤≤.
再次由排序不等式：逆序和≤乱序和，得
＋＋≤＋＋.②
所以由①，②得
＋＋≥a10＋b10＋c10.
10．已知0<α<β<γ<，求证：
≥Rsin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.
【答案】 C
3．设a，b，c是正数，则aabbcc________(abc).
【解析】 不妨设a≥b≥c>0，
则lg a≥lg b≥lg c，据排序不等式有：
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
【答案】 B
2．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为( )
A．P≥QB．P＝Q
C．P≤QD．不能确定
【解析】 不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有
Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(答案解析)(3)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D2．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．3．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．95．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．276．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,497．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．23C ．611D ．118．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．6C ．11D ．6119．设a ， b ， c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1的最大值是( )A ．1B C ．3D ．910．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=（ ）A ．14B ．13C ．12D ．3411．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14 C ．1 D ．3412．若,,a b c R +∈，且1a b c ++= ）A ．2B ．32C D ．53二、填空题13．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______. 14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．函数y =______.16．函数y =的最大值为________． 17．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____ 18．若x+y+z+t=4,则x 2+y 2+z 2+t 2的最小值为____.19．实数x ，y ，z 满足2224270x y z x z ++++-=，则x y z ++的最大值为__________．20．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1________．三、解答题21．已知,,a b c 是正实数，且满足123b ca ++=． （1）是否存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =，试说明理由；（2 22．已知函数222()23n n f x x x +=-+，(其中*n N ∈).（1）求()f x 的最小值()g n ；（2）当4n ≥，*n N ∈时，试比较()g n 与2(2)22n n n -⋅+的大小，并证明你的结论. 23．已知x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z++=．证明：（1）1111263xy yz xz++≤； （2）222499x y z ++≥．24．已知函数()2||f x x =．（1）求不等式()1f x >的解集； （2）若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 25．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）若()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()()2113f x x =+. （1）求()()9f x f x +-的最小值M ；（2）若正实数a 、b 、c 满足()()()f a f b f c M ++=，求证：6a b c ++≤.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．C解析：C 【分析】利用柯西不等式，即可求出13a b +++的最大值. 【详解】 由题意，()()()213111318a b a b +++≤++++=，当且仅当13a b +=+时等号成立，∴当72a =，32b =时， 故13a b +++的最大值为32. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.3．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ， 其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数． 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.5．B解析：B 【分析】利用柯西不等式22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（求解. 【详解】由题得22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（， 所以2943),4x y z ⋅≥++（ 所以-3≤x+y+3z≤3.所以+3x y z +的最大值为3. 故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】由柯西不等式可知：（x+y+z ）2≤（2x 2+y 2+3z 2）（2+12+2）， 故2x 2+y 2+3z 2≥611，即：x 2+2y 2+3z 2的最小值为611. 故答案为C.8．D解析：D 【解析】()22221123123x y z y ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭()2222161,231111123x y z x y z =++=∴++≥=++，当且仅当362,,111111x y z ===时等号成立，22223x y z ∴++的最小值611，故选D.9．B解析：B 【解析】由柯西不等式得()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，2313∴≤⨯=，当且仅当13a b c===时等号成立，B.10．C解析：C【解析】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz⎛⎫⎛⎫++++≥++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b cx y z==时等号成立，2222221040a b c x y z++=++=，,20ax by cz++=∴等号成立111222a b cx y z∴==12a b cx y z++∴=++故答案选C11．B解析：B【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c d a b c d++++++≥+++，因为1a b c d+++=，于是由上式得()222241a b c d+++≥，于是222214a b c d+++≥，当且仅当14a b c d====时取等号，故选B．考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．12．C解析：C【解析】试题分析：(()()22221111113a b c ≤++++=，因此，≤==13a b c ===时取等号，故选C ． 考点：柯西不等式．二、填空题13．【分析】利用柯西不等式及和差角公式即可得答案；【详解】由以上两式中等号成立分别当且仅当此时所以所求式子的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用考查逻辑推理能力运算求解能力综合【分析】利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案； 【详解】2[sin sin()]ααβ++2(sin sin cos cos sin )ααβαβ=+⋅+⋅=2[sin (1cos )cos sin ]αβαβ⋅++⋅22222(sin cos )[(1cos )sin ]22cos 4cos 2βααβββ≤+++=+=，由(0.)(0,)22ββππ∈⇒∈， ∴[sin sin()]sin ααββ++⋅≤22sin cos4sincos 222ββββ⋅⋅=⋅8=≤=， 以上两式中，等号成立分别当且仅当sin cos1cos sin ααββ=+，221sincos 222ββ=，此时αβ==，，. 【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.14．2【分析】根据题意得到再由柯西不等式即可求出结果【详解】因为均为非负数且则所以由柯西不等式可得：所以；当且仅当即由解得：即时等号成立故答案为：2【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值熟记柯西不等式即解析：2 【分析】根据题意得到()()()1419118a b c +++++=，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则()()()1419118a b c +++++=， 所以由柯西不等式可得：()()()()21419111123361111a b a b c c ⎛⎫++≥++=⎡⎤ ++++⎪⎣⎦+++⎝+⎭， 所以11136211118a b c ++≥=+++；==12233a b c +=+=+， 由12233494a b c a b c +=+=+⎧⎨++=⎩解得：2120a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即12,,02a b c ===时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.15．3【分析】化简函数利用柯西不等式即可求解【详解】由题意函数当且仅当取等号即即时取等号所以函数的最大值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中解答中合理变形熟练应用柯西不等式解析：3 【分析】化简函数1y ==.【详解】由题意，函数1y =3≤==1=12242x x -=+，即0x =时取等号， 所以函数的最大值为3． 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中解答中合理变形，熟练应用柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16．10【分析】直接利用柯西不等式求解即可【详解】由柯西不等式有当且仅当时取等号即函数y ＝43的最大值为10故答案为：10【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用考查运算求解能力属于基础题解析：10 【分析】直接利用柯西不等式求解即可． 【详解】由柯西不等式有，10≤==，当且仅当=”时取等号，即函数y ＝的最大值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．17．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y +≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．4【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2+t2的最小值即可【详解】(x2+y2+z2+t2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t)2=16当且仅当x=y=z=t=1时解析：4 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2+t 2的最小值即可. 【详解】(x 2+y 2+z 2+t 2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t )2=16, 当且仅当x=y=z=t=1时等号成立, 故x 2+y 2+z 2+t 2的最小值为4. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．3【解析】分析：由可得换元后利用柯西不等式求解即可详解：可得设可得当且仅当时的最大值为此时由此可得的最大值为故答案为点睛：本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求解析：3 【解析】分析：由2224270x y z x z ++++-=，可得()()2222112x y z ++++=，换元后利用柯西不等式求解即可.详解：2224270x y z x z ++++-=，可得()()2222112x y z ++++=，设2,,1x w y v z u +==+=，可得()()2222222112x y z w v u ++++=++=，3x y z w v u ∴++=++-，()()()222222211136w v u wv u ++≤++++=，66w v u ∴-≤++≤，当且仅当，2w v u ===时，w v u ++的最大值为6， 此时21x y z +==+，由此可得x y z ++的最大值为633-=，故答案为3.点睛：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.20．【解析】分析：根据柯西不等式将原式进行配凑并结合已知条件加以计算即可得到的最大值详解：根据柯西不等式可得当且仅当即时的最大值为18因此的最大值为点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题在解题的过解析：【解析】分析：根据柯西不等式2222222112233123123()()()x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑，并结合已知条件1a b c ++=最大值.详解：根据柯西不等式，可得22(111=222222(111]≤++++3[3()3]18a b c =+++=，13a b c ===时，2的最大值为18，=.点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.三、解答题21．（1）不存在，理由见解析；（2【分析】（1）由已知可知012ba <+<，再利用基本不等式知12ab <，故不存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =. （2）利用柯西不等式即可求解. 【详解】（1）不存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =，理由如下： 由,,a b c 是正实数，且满足123b ca ++=，012b a ∴<+<， 21122222424b a b ab a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=⋅≤⨯<⨯=，即12ab < ∴不存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =. （2）由柯西不等式，得2222211623b ca⎛⎛⎫⎡⎤=≤++⋅++=⎪⎣⎦⎝⎭⎝≤==时，等号成立又123b ca++=，可知123,,632a b c===时，等号成立【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项积的最小值：二维不等式：()()22222()a b c d ac bd++≥+，当且仅当ad bc=时，等号成立；一般不等式：222111n n ni i i ii i ia b a b===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当1212nnaa ab b b===时，等号成立. 22．（1）()32n ng n=-；（2）2()(2)22ng n n n>-⋅+，证明见解析．【分析】（1）由二次函数的性质求得最小值()g n；（2）用数学归纳法证明2()(2)22ng n n n>-⋅+．【详解】（1）由题意22nx=时，min()32n nf x=-，即()32n ng n=-；（2）4n≥时，2()(2)22ng n n n>-⋅+，下面用数学归纳法证明：（i）4n=时，44()3265g n=-=，2(2)2264nn n-⋅+=，2()(2)22ng n n n>-⋅+成立，（ii）假设n k=时，命题成立，即232(2)22k k kk k->-⋅+，则1n k=+时，11312(1)323(32)3223[(2)22]2k k k k k k kg k k k++++=-=-+⨯->⨯-⋅++2123(2)262(2)2(1)26k k k kk k k k k+=-⋅++=-⋅+-⋅+,因为4k≥，所以1211212 (2)2(1)26(2)222(1)[(1)2]22(1)k k k k kk k k k k k k ++++ -⋅+-⋅+>-⋅+++=+-⋅++所以1n k=+时命题为真，综上当4n≥时，2()(2)22ng n n n>-⋅+．【点睛】比较与正整数有关的两数的大小方法：（1）作差法，作差后与0比较大小；（2）函数法，作差后引入函数，利用函数的单调性得出大小关系；（3）放缩法，利用不等式的性质证明大小关系；（4）数学归纳法法，取特殊值，归纳出大小后肜数学归纳法证明． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥三式相加，结合题设条件，即可求解；（2）由乘“1”法，结合柯西不等式证明，即可证明. 【详解】（1）由基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥， 所以22211111224933x y z xy yz xz⎛⎫++≥++⎪⎝⎭． 当且仅当11123x y z ==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz ++≥++，又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz ++≤． （2）由题意知222111149x y z++=， 可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=．当且仅当23x y z ==时等号成立，所以222499x y z ++≥． 【点睛】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理运用均值不等式和柯西不等式是解答的关键，属于中档题． 24．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可. (2)代入可得1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】(1)化简得|3|2||1x x -->①当0x ≤时，()3(2)3f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤； ②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即331x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--， 不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， 所以1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎣⎦ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦2211196(149)333⎡≥⨯⨯=++=⎢⎣. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题型. 25．（1）43；（2）1a ≥-或3a ≤-. 【分析】（1）运用柯西不等式变形为()()()()()2222222111111111x y z x y z ⎡⎤++-++++≥-++++⎣⎦求最值；（2）运用柯西不等式求()()()22221x y z a -+-+-的最小值，由题意可知，最小值大于等于13，求a 的取值范围. 【详解】（1）,,x y z ∈R ，且1x y z ++=，由柯西不等式可得：()()()()()22222221111111114x y z x y z ⎡⎤++-++++≥-++++=⎣⎦，可得()()()22241113x y z -++++≥，即()()()222111x y z -++++的最小值为43； （2）由柯西不等式可得()()()()()()2222222211121212x y z a x y z a a ⎡⎤++-+-+-≥-+-+-=+⎣⎦； 可得()()()()22222213a x y z a +-+-+-≥，即()()()22221x y z a -+-+-的最小值是()223a +，若()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，则()22133a +≥， 即21a +≥或21a +≤-，解得:1a ≥-或3a ≤-.【点睛】本题考查柯西不等式的运用，求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题型. 26．（1）9M =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()0f x ≥，可得()()()()99f x f x f x f x +-=+-，由绝对值三角不等式可得所求最小值M ；（2）由条件可得()()()22211127a b c +++++=，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证. 【详解】 （1）由()()21103f x x =+≥， 可得()()()()()()9999f x f x f x f x f x f x +-=+-≥-+=，当且仅当()09f x ≤≤时，等号成立，因此，()()9f x f x +-的最小值9M =； （2）由a 、b 、c 均为正数，且()()()9f a f b f c ++=，即()()()22211127a b c +++++=，由柯西不等式可得()()()()()22222221111113a b c a b c ⎡⎤+++++++≥+++⎣⎦，当且仅当111a b c +=+=+，即当2a b c ===时，等号成立，39a b c ∴+++≤==，因此，6a b c ++≤. 【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.。
高中数学 第二章 几个重要的不等式章末复习提升 北师大版选修4-5
(2)解 ba11＝1·1＋111＝1＋1＝2； ba11ba22＝ba11·ba22＝2·21＋122＝(2＋1)2＝32； ba11ba22ba33＝ba11ba22·ba33＝32·31＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：ba11ba22… …bann＝(n＋1)n.(*2) 下面用数学归纳法证明(*2).
于是a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 d＋d＋2 a≥a＋b1＋6c＋d，
等号成立⇔
a1＋b＝
b1＋c＝
c1＋d＝
d＋a 1
a＋b b＋c c＋d d＋a
⇔a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a⇔a＝b＝c＝d.
因题设 a，b，c，d 不全相等，
故a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 d＋d＋2 a>a＋b1＋6c＋d.
即 3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 设 3x＋1＝k， 则 x＝k－3 1，y＝k－3 2，z＝k－3 3. 代入 x＋y＋z＝1，得 k＝3. ∴x＝23，y＝13，z＝0 时取等号.
专题三 利用排序不等式证明不等式 【例 3】 设 a，b，c 为正数，求证：
2b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥bb2＋ ＋cc2＋cc2＋ ＋aa2＋aa2＋＋bb2. 证明 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c， 故 a2≥b2≥c2，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b，
专题六 与数列通项有关的归纳、猜想、证明
【例 6】 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋1nnan(n∈N＋)，e 为自然对数的底数. (1)求函数 f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较1＋1nn与 e 的大小； (2)计算ba11，ab11ab22，ba11ba22ba33，由此推测计算ba11ba22… …bann的公式，并给出 证明； (3)令 cn＝(a1a2…an)1n，数列{an}，{cn}的前 n 项和分别记为 Sn， Tn，证明：Tn<eSn.
最新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(含答案解析)
一、选择题1．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤2．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A ．21-B ．2C ．21+D ．53．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9B ．3C ．1D ．274．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．275．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．46．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．477．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．7348．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．23C ．611D ．119．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n10．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．3411．84．不等式的解集为（ ）A ．[-4，2]B ．C ．D ．12．若23529x y z ++=，则函数213456u x y z +++ ） A 5B ．215C ．230D 30二、填空题13．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________. 14．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______.15．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____.16．已知22221x y a b+= (a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．17．若,,x y z R ∈，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为________. 18．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x yxy 2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____19．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________． 20．已知x 、y 、z ∈R ，且2x+3y+3z=1，则x 2+y 2+z 2的最小值为____．三、解答题21．已知,,a b c 是正实数，且满足123b ca ++=． （1）是否存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =，试说明理由； （2a b c22．已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值． 23．已知函数2()692||f x x x x =-+．（1）求不等式()1f x >的解集； （2）若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 24．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =，（1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．25．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤，求证11131112a b c ++≥+++. 26．已知a 、b 、c ∈R +，且6a b c ++=. （1）当5c =时，求221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值； （2）证明：222242a b b c c +-+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.2．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.3．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4．B解析：B 【分析】利用柯西不等式22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（求解. 【详解】由题得22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（， 所以2943),4x y z ⋅≥++（ 所以-3≤x+y+3z≤3.所以+3x y z +的最大值为3. 故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案. 【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.6．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 7．C解析：C 【解析】由柯西不等式，可得))][(()222222223323213x z x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当23323x y z==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ．解析：C 【解析】由柯西不等式可知：（x+y+z ）2≤（2x 2+y 2+3z 2）（2+12+2）， 故2x 2+y 2+3z 2≥611，即：x 2+2y 2+3z 2的最小值为611. 故答案为C.9．C解析：C 【解析】 由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C. 10．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．11．A解析：A【解析】试题分析：由于|x-1|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，由此求得不等式136x x -++≤的解集．|x-1|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，故只有当[]4,2x ∈-时，不等式|x-1|+|x+3|≤6成立，故选A ． 考点：绝对值不等式解析：C 【解析】试题分析：由柯西不等式可得2222111213456111x y z ≤+++++++）（）（）∵2x+3y+5z=29，∴2111120≤），∴μ≤∴μ=值为C ． 考点：二维形式的柯西不等式．二、填空题13．【分析】直接利用柯西不等式得到答案【详解】根据柯西不等式：故当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式求最值也可以利用均值不等式三角换元求得答案【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()222222412x y y x y y -+-+=≥，故2x y +≤当22x y y -=，即x =y =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.14．【分析】利用柯西不等式及和差角公式即可得答案；【详解】由以上两式中等号成立分别当且仅当此时所以所求式子的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用考查逻辑推理能力运算求解能力综合【分析】利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案； 【详解】2[sin sin()]ααβ++2(sin sin cos cos sin )ααβαβ=+⋅+⋅=2[sin (1cos )cos sin ]αβαβ⋅++⋅22222(sin cos )[(1cos )sin ]22cos 4cos 2βααβββ≤+++=+=，由(0.)(0,)22ββππ∈⇒∈， ∴[sin sin()]sin ααββ++⋅≤22sin cos4sincos 222ββββ⋅⋅=⋅8=≤=， 以上两式中，等号成立分别当且仅当sin cos1cos sin ααββ=+，221sincos 222ββ=，此时αβ==，，. 【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.15．【分析】建系不妨设则再利用柯西不等式将所求转化为利用换元法求出最大值最小值显然为共线方向时取得【详解】不妨设由已知得令则又显然当向量反向时最小即此时综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量数量解析：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】建系，不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，则a b ⋅mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ⋅(1)mx ny m x ny x x =+=-++≤=x ，令[0,2]t =∈221111(1)2222x t t t =-=--+≤，又显然当a ，b 向量反 向时，a b ⋅最小，即(2,0)a =-，(2,0)b =，此时4a b ⋅=-，综上，a b ⋅的取值范围是14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.16．a2＋b2≥(x ＋y)2【解析】【分析】首先分析题目由已知判断a2＋b2与(x ＋y)2的大小关系可得然后应用柯西不等式即可得到答案【详解】∵∴a2＋b2＝＝(x ＋y)2故答案为：a2＋b2≥(x ＋y解析：a 2＋b 2≥(x ＋y )2【解析】 【分析】首先分析题目，由已知22221(0)x y a b a b +=>>，判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系，可得22222222()()x y a b a b a b+=++，然后应用柯西不等式即可得到答案.【详解】∵22221x y a b+=， ∴a 2＋b 2＝2222222()()[()()]x y x ya b a b a b a b++≥⋅+⋅＝(x ＋y )2，故答案为：a 2＋b 2≥(x ＋y )2. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式比较两个式子的大小的问题，在解题的过程中，注意应用题中的条件对式子进行转化，属于简单题目.17．4【分析】根据条件及所求式子的特征可利用柯西不等式即可求得的最小值【详解】由柯西不等式可知即所以当且仅当时即当时等号成立即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式在求最值中的应用属于基础题解析：4 【分析】根据条件及所求式子的特征,可利用柯西不等式,即可求得222x y z ++的最小值. 【详解】由柯西不等式可知()()()222222221222x y z x y z ++++≥++，即()222936x yz ⨯++≥，所以2224x y z ++≥，当且仅当22226x z y x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩时，即当4323x z y ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 即222x y z ++的最小值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了柯西不等式在求最值中的应用，属于基础题.18．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为 解析：12129【解析】2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以22212129x y z ++≥，当且仅当234x y z==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129． 20．【解析】试题分析：利用题中条件：2x+3y+3z=1构造柯西不等式：（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z ）2进行计算即可解：∵22+32+32=22∴22（x2+y2+z2 解析：【解析】试题分析：利用题中条件：“2x+3y+3z=1”构造柯西不等式：（x 2+y 2+z 2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z ）2进行计算即可． 解：∵22+32+32=22，∴22（x 2+y 2+z 2）=（x 2+y 2+z 2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z ）2=1 可得：x 2+y 2+z 2≥，即x 2+y 2+z 2的最小值为．故答案为．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．三、解答题21．（1）不存在，理由见解析；（26【分析】（1）由已知可知012ba <+<，再利用基本不等式知12ab <，故不存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =. （2）利用柯西不等式即可求解. 【详解】（1）不存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =，理由如下： 由,,a b c 是正实数，且满足123b c a ++=，012ba ∴<+<， 21122222424b a b ab a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=⋅≤⨯<⨯=，即12ab < ∴不存在满足已知条件的,a b ，使得12ab =. （2）由柯西不等式，得22222()1231(2)(3)62323b c b c a b c a a ⎛⎛⎫⎡⎤=≤++⋅++= ⎪⎣⎦ ⎝⎭⎝≤==时，等号成立 又123b c a ++=，可知123,,632a b c ===时，等号成立【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项积的最小值：二维不等式：()()22222()a bcd ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立；一般不等式：222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当1212nna a ab b b ===时，等号成立. 22．12 【分析】由题意直接根据三阶的柯西不等式求解即可． 【详解】解：,,a b c 均为正实数，149()a b c a b c ⎛⎫∴++++ ⎪⎝⎭()222=++222⎛⎫ ⎪++ ⎪⎝⎭2≥2(123)36=++=， （当且仅当22249b c a ==时取等号），又3a b c ++=，14912a b c++≥∴， 即149a b c++的最小值为12． 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式，属于中档题． 23．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】(1)化简得|3|2||1x x -->①当0x ≤时，()3(2)3f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤； ②当03x <<时，()33f x x =-， 由()1f x >，即331x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--， 不满足()1f x >，此时不等式无解； 综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， 所以1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎣⎦ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦2211196(149)333⎡≥⨯⨯=++=⎢⎣. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题型. 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可.（2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x yy z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++- ⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明.【详解】（1）左边()2223a b c =++，由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==），即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x=，1b y =，1c z =，则1xyz =，所以()()()222111x y za b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++，则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立）所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++， 故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号），则原不等式得证． 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题. 25．见解析 【分析】由题意可得(1)(1)(1)6a b c +++++≤，再由柯西不等式可得111[(1)(1)(1)]9111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥ ⎪+++⎝⎭，即可得证.【详解】证明：3a b c ++≤，∴(1)(1)(1)6a b c +++++≤，由柯西不等式得111[(1)(1)(1)]111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥⎪+++⎝⎭223=， ∴111993111(1)(1)(1)62a b c a b c ++≥≥=++++++++． 【点睛】本题考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题. 26．（1）最小值为9；（2）证明见解析. 【分析】（1）依题意，1a b +=，将目标式化简可得21ab+，再利用基本不等式求最值即可； （2）将不等式左边化简可得()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，运用柯西不等式即可得证. 【详解】（1）当5c =时，1a b +=，∴222222111111a ba b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111a a b b a b -+-+=()()1121a b abab++==+，又1a b =+≥（当且仅当a ＝b 时取等号），则14ab ≤， ∴221121119a b ab ⎛⎫⎛⎫--=+≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9； （2）证明：()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，由柯西不等式有，()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤+-+-++≥+-+-⎣⎦（当且仅当12a b c =-=-时取等号），∴2222(3)(1)(2)3a b c a b c ++-+-+-≥，又6a b c ++=，∴()()222123a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当a ＝1，b ＝2，c＝3时取等号）. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题.。
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第二章 几个重要的不等式(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.已知a ，b ，c 都是正数，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.(a ＋b ＋c )2≥3 B.a 2＋b 2＋c 2≥2 C.1a ＋1b ＋1c≤2 3D.a ＋b ＋c ≤13abc解析 用3(ab ＋bc ＋ca )≤(a ＋b ＋c )2≤3(a 2＋b 2＋c 2)易得. 答案 A2.若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A.16B.8C.4D.非上述情况解析 y ＝x ＋1x ＋16x ＋1x，令t ＝x ＋1x >2(因x >1).∴y ＝t ＋16t ≥216＝8.当且仅当t ＝16t，即t ＝4时取等号.答案 B3.若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A.2 B.32 C. 3D.53解析 (1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3 因此，a ＋b ＋c ≤ 3. 当且仅当a1＝b1＝c1，即a ＝b ＝c ＝13时取等号. 答案 C4.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，A ＝a 3＋b 3＋c 3，B ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则A 与B 的大小关系为( ) A.A ≥B B.A ≤BC.A ＝BD.A 与B 的大小不确定解析 取两组数：a ，b ，c 与a 2，b 2，c 2，显然a 3＋b 3＋c 3是顺序和，a 2b ＋b 2c ＋c 2a 是乱序和，所以a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，即A ≥B . 答案 A5.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是( )A.1B.大于1且小于10的某个自然数C.10D.11答案 C6.已知函数f (x )＝22－x ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝f (1)，当n ≥2时，S n －2f （a n ）＝12(n 2＋5n －2)，则通过计算a 1，a 2，a 3的值，猜想{a n }的通项公式a n 等于( ) A.n ＋1 B.n －1 C.n ＋2 D.n －2答案 A7.设a ，b ，c ，d 为正数，a ＋b ＋c ＋d ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋d 2的最小值为( ) A.12 B.14 C.1D.34解析 由柯西不等式(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(12＋12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2，因为a ＋b ＋c ＋d ＝1，于是由上式得 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥1，于是a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝14时取等号.答案 B8.设a 1，a 2，a 3为正数，m ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，n ＝a 1＋a 2＋a 3，则m 与n 的大小关系为( ) A.m ≤n B.m ≥n C.m >nD.m ＝n解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得： a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 1＋a 2＋a 3.故选B. 答案 B9.用数学归纳法证明“1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ”时，由n ＝k 的假设证明n ＝k ＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( ) A.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1B.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2C.1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1 D.1k ＋2＋…＋12k ＋1＋12k ＋2答案 D10.用数学归纳法证明命题“1＋12＋13＋…＋12n >n2 (n ∈N ＋)”时，命题在n ＝k ＋1时的形式是( )A.1＋12＋13＋…＋12k ＋1>k ＋12B.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12C.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2>k ＋12D.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>k ＋12答案 D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11.用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是________.解析 当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3. 答案122＋132＋142＋…＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋312.设x 2＋2y 2＝1则u (x ，y )＝x ＋2y 的最小值是________；最大值是________.解析 由柯西不等式，有|u (x ，y )|＝|1·x ＋2·2y |≤1＋2·x 2＋2y 2＝3得u min ＝－3，u max ＝3分别在⎝⎛⎭⎪⎫33，33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33时取得. 答案 － 3313.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c 的最小值是________.解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c ，∴1a ＋1b ＋1c≥3＋2＋2＋2＝9，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥9＋1＝10. 答案 1014.设实数a 1，a 2，a 3满足条件a 1＋a 2＋a 3＝2，则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1的最大值为________.解析 由柯西不等式，(a 21＋a 22＋a 23)(12＋12＋12) ≥(a 1＋a 2＋a 3)2＝4，于是a 21＋a 22＋a 23≥43.故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1＝12[(a 1＋a 2＋a 3)2－(a 21＋a 22＋a 23)]＝12×22－12(a 21＋a 22＋a 23)≤2－12×43＝43. 答案 4315.函数y ＝cos 2x (1＋sin x )的最大值为__________.解析 y ＝(1－sin 2x )(1＋sin x )＝(1－sin x )(1＋sin x )·(1＋sin x )＝ 4(1－sin x )·1＋sin x 2·1＋sin x 2≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋1＋sin x 33＝4×827＝3227 等号成立⇔1－sin x ＝1＋sin x 2⇔sin x ＝13.答案322716.已知函数f (x )＝2xx ＋2，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (a n －1) (n >1，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为__________. 答案 a n ＝2n ＋1三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 17.利用柯西不等式解方程：21－x ＋2x ＋3＝15. 解 由柯西不等式(21－x ＋2x ＋3)2＝(21－x ＋2·x ＋32)2≤[22＋(2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－x ）2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322 ＝6×⎝⎛⎭⎪⎫1－x ＋x ＋32＝6×52＝15. 等号成立⇔1－x 2＝x ＋322⇔1－x 4＝x ＋322⇔x ＝－23.经检验，x ＝－23为原方程的根.18.已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 根据所证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ，由排序原理：顺序和≥乱序和，得bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ， ∵a ，b ，c 为正数，∴abc >0，a ＋b ＋c >0.于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .19.设a 1，a 2，…，a n 是几个不相同的正整数，用排序不等式证明：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2.证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1<b 2<…<b n ，因b 1，b 2，…，b n 是互不相同的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n .又因为1>122>132>…>1n 2，故由排序不等式；得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b n n 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.20.已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N ＋)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)Y 6＝{1，2，3，4，5，6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1，2，3，4，5，6；若a ＝2，则b ＝1，2，4，6； 若a ＝3，则b ＝1，3，6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a.若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b.若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；c.若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；d.若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；e.若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立；f.若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立.综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。