第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析1
厚壁筒的塑性应力分析
高压容器筒体的结构与强度设计----------厚壁圆筒的弹性应力分析厚壁容器承受压力载荷时产生的应力具有如下特点：1、薄壁容器中的应力只考虑经向和周向两向应力，忽略径向应力。
但厚壁容器中压力很高，径向应力则难以忽略，应考虑三向应力分析。
2、在薄壁容器中将二向应力视为沿壁厚均匀分布薄膜应力，厚壁容器沿壁厚出现应力梯度，薄膜假设不成立。
3、内外壁间的温差随壁厚的增大而增加，由此产生的温差应力相应增大，厚壁容器中的温差应力不应忽视。
（一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力(1)几何方程图中所示单元体两条圆弧边的径向位移分别为w和w+dw，可导出其应变表达式为：径向应变（1）周向应变对第二式求导并变换得：（2）物理方程按广义虎克定律可表示为：（3）（4）同时对（3）式的第二式求导，可得：另将（4）式代入（2）式得：由这两个式相等可得：（5）（2）平衡方程得：（6）为消去将（5）式代入（6）式得：由该微分方程求解便可得s r通解，再将s r代入（6）得：，仅有内压作用时，上式可以简化，即著名的拉美公式（Lame）（3）分布规律（二）单层厚壁圆筒的位移表达式由（1）式和（3）式可得，开口厚壁筒的径向位移封闭厚壁筒的径向位移当采用过盈配合的热套筒时需要计算在内压或外牙作用下的直径变化量ΔD。
圆筒在任意半径r处的直径变化量可由下式导出：两端开口的ΔD两端封闭的ΔD（三）单层厚壁圆筒中的温差应力(1)温差应力方程对无保温层的高压容器，若内部有高温介质，内外壁面必然形成温差，内外壁材料的热膨胀变形存在相互约束，变形不是自由的，导致温差应力。
1、内壁温度高于外壁时(称为内加热)，内层材料的自由热膨胀变形大于外层，但内层变形受到外层材料的限制，因此内层材料出现了压缩温差应力，而外层材料则出现拉伸温差应力。
2、当外加热时，内外层温差应力的方向则相反。
可以想象，当壁厚愈厚时，沿壁厚的传热阻力加大，内外壁的温差也相应增大，温差应力便随之加大。
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析一、应力分析方法1.在应力分析中，通常采用静力学的方法，根据力学定律对厚壁圆筒进行应力分析。
2.厚壁圆筒的应力分析可以分为轴向应力、周向应力和切向应力三个方向上的应力分析。
二、应力计算公式1.轴向应力：σa=(P·r)/t其中，σa表示轴向应力，P表示圆筒受到的内外压力，r表示圆筒内径，t表示圆筒壁厚。
2.周向应力：σc=(P·r)/(2t)其中，σc表示周向应力。
3. 切向应力：τ = (P · ri) / t其中，τ 表示切向应力，ri 表示圆筒中心点到任意一点的径向距离。
三、实例分析假设有一个内径为 10cm，外径为 15cm，壁厚为 2cm 的厚壁圆筒，内外压力分别为 5MPa 和 10MPa。
现对该厚壁圆筒进行应力分析。
1.轴向应力：根据公式σa = (P · r) / t，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t =2cm，计算得σa = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σa =(10×7.5) / 2 = 37.5MP a。
2.周向应力：根据公式σc = (P · r) / (2t)，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t= 2cm，计算得σc = (5×7.5) / (2×2) = 9.375MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σc =(10×7.5) / (2×2) = 18.75MPa。
3.切向应力：根据公式τ = (P · ri) / t，代入 P = 5MPa，ri = 7.5cm，t =2cm，计算得τ = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，ri = 7.5cm，t = 2cm，计算得τ =(10×7.5) / 2 = 37.5MPa。
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
未来发展方向和前景展望
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汇报人：XX
有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型
厚壁圆筒的弹塑性分析
厚壁圆筒的弹塑性分析姓名：王海萍学号：2011200147指导老师：丹丹时间：2012-2-12一、 问题描述内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p （如图1（a ）），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b ））。
随着压力p 的增加，圆筒内的θσ及r σ都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其z σ也在增加。
当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。
当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。
为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设2/1=ν。
（a ） （b ）图1 厚壁圆筒二、 弹性分析1.基本方程平面轴对称问题中的未知量为r σ，θσ，r ε，θε，u ，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为0=-+rdr d r r θσσσ （1） 几何方程为dr du r =ε，ru=θε （2） 本构方程为()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=r r r E Eνσσενσσεθθθ11（3）边界条件为r r F s =σσ ，在力的边界σS 上 （4）2.应力的求解取应力分量r σ，θσ为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=221221r C C r C C r θσσ （5）如图1（a ）所示内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外表面处受外压p ，内表面没有压力，相应的边界条件为0==ar rσ ，p br r-==σ将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为2221a b p b C --=，22222ab pb a C -= 则应力分量为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222222222211r a a b p b r a a b pb r θσσ （6） 上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。
基于ANSYS厚壁圆筒的弹塑性应力分析
基于ANSYS厚壁圆筒的弹塑性应力分析摘要：利用ANSYS有限元软件对厚壁圆筒进行弹塑性应力分析，得到厚壁圆筒的径向应力切向应力与半径的变化规律。
ANSYS有限元结果与通过理论公式计算出的解析解吻合。
说明力学模型的建立是可行的,计算结果是可信的,为厚壁圆筒在冲击内压作用下弹性阶段的设计计算提供了依据。
论文关键词：厚壁圆筒,ANSYS,弹塑性应力分析厚壁圆筒是最简单的高压与超高压设备,是工程中经常使用的一种结构。
爆轰自增强技术可以成功的对这类设备进行自增强处理,从而提高其静强度和疲劳强度。
在爆轰载荷的作用下筒壁,特别是内壁处的应力、位移、速度随时间的变化规律是我们关心的问题之一。
本文采用通用有限元分析软件ANSYS,对厚壁圆筒进行极限应力分析，就其工程应用意义上来说是很重要的[1] [2]。
2问题描述及解析解图1所示为钢制厚壁圆筒，其内径=50mm,外径=100mm,作用在内孔上的压力=375MPa,无轴向压力，轴向长度视为无穷。
材料的屈服极限=500MPa，无强化，弹性模量E=206GPa,泊松比μ=0.3。
图1 厚壁圆筒问题根据材料力学的知识，此时圆筒内部已发生屈服，根据V onMises屈服条件，弹性性区分界面半径可由下式计算得到【3】[5]将上式中的个参数的值代入，可解出=0.08m。
则加载时，厚壁圆筒的应力分布为弹性区（≤r≤）塑性区（≤r≤）将两式代入数值，可得，，处切向应力分别为202MPa、473MPa、369MPa。
弹性区（≤r≤）塑性区（≤r≤）将两式代入数值，可得，，处的残余应力分别为-422MPa、153MPa、119MPa。
3厚壁圆筒的有限元分析3.1 有限元模型的建立将圆筒简化为平面应变问题，同时为减少节点和单元数量以加快计算速度，利用几何模型和载荷的均匀对称性，故选取圆筒截面的四分之一建立几何模型进行求解[4] [6]，简化后几何模型如图2所示：图2 简化几何模型3.2 网格划分建立几何模型后，需要对其进行单元划分，单元的选取和划分非常重要，它关系到求解的收敛性和精确性。
厚壁圆筒的弹塑性分析
厚壁圆筒的弹塑性分析姓名：王海萍学号：2011200147指导老师：丹丹时间： 2012-2-12一、 问题描述内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p （如图1（a ）），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b ））。
随着压力p 的增加，圆筒内的θσ及r σ都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其z σ也在增加。
当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。
当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。
为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设2/1=ν。
（a ） （b ）图1 厚壁圆筒二、 弹性分析1.基本方程平面轴对称问题中的未知量为r σ，θσ，r ε，θε，u ，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为0=-+rdr d r r θσσσ （1） 几何方程为dr du r =ε，ru=θε （2） 本构方程为()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=r r r E Eνσσενσσεθθθ11（3） 边界条件为r r F s =σσ ，在力的边界σS 上 （4）2.应力的求解取应力分量r σ，θσ为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=221221r C C r C C r θσσ（5）如图1（a ）所示内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外表面处受外压p ，内表面没有压力，相应的边界条件为0==ar rσ ，p br r-==σ将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为2221a b p b C --=，22222ab p b a C -=则应力分量为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222222222211r a a b p b r a a b pb r θσσ （6）上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。
弹性力学 (2)
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析1.只受内压作用：（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中θσ为拉应力，r σ为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而z σ介于θσ和r σ之间，即2r z θσσσ+=，且沿壁厚均匀分布。
（2）在筒体内壁面处，θσ、r σ的绝对值比外壁面处为大，其中θσ具有最大值，且恒大于内压力i p ，其危险点将首先在内壁面上产生。
（3）θσ沿壁厚分布随径比K 值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即2()1()2io r R r R K θθσσ==+=。
显然，不均匀度随2K 成比例，可见K 值愈大，应力分布愈不均匀。
当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。
由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K 值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。
为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。
2.往往采用组合圆筒或单层厚壁圆筒自增强处理技术，以提高筒体的弹性承载能力。
3.温差应力：厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。
（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差t ∆成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。
（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向应力与径向应力之和，即t t t z r θσσσ=+ ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向应力分别相等，且最大应力发生在外壁面处。
（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。
第二章_厚壁圆筒的弹塑性应力分析1
c3
2
E
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c1
1
E
c3
1
E
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c2
1
E c4
1
E
Ri2 Ro2 ( pi po ) Ro2 Ri2
（c）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
d d rd d rr 1 r(r) (2-10)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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二、厚壁圆筒的应力和位移解
本节采用位移法求解在均匀内、外压作用下的厚壁
圆筒。将几何方程式代入物理方程式，得出用位移 分量表示的物理方程
r
E
du (
1 dr
（2-20）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（3）两端封闭同时受轴向刚性约束的筒体（高压管 道或厚壁圆筒无限长）
轴向变形受到约束，
z 0
z 2C32Ri2R po2 i R Ro i2 2po
C1
(12E)(1)C3
(12)(1)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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z 2c3 E Z
c3
E 1
Z c1 1 2
c4
1
E
c2
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（2-14）
厚壁圆筒的弹塑性分析
dσ r + σ r − σ θ = 0
dr
r
由上面两式可得
σθ −σr
=
2 3
σ
s
= 1.155σ s
σ r = C −1.155σ s ln r
由于在 r= rp 处压力为 q ，即σ r r=rp = −q ，代入可得 C = −q + 1.155σ s ln rp ，代入σ r
表达式，并利用屈服条件求得σ θ ，即塑性区（ a ≤ r ≤ rp ）的应力分量为
= − rp2b2 p p − q b 2 − rp2
1 r
+
rp2 q − b 2 p p b 2 − rp2
⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（15）
σr
=
−43; 1.155σ s
ln
rp r
⎫ ⎪⎪
σθ
=
−1.155σ
s
ln
rp a
+
1.155σ
s
⎜⎜⎝⎛
ln
rp r
− 1⎟⎟⎠⎞⎪⎪⎭⎬
图 6 厚壁圆筒的有限元网格 当 p = 80 时， p < pe ，圆筒处于弹性状态，计算结果如图 7，可以看出整个 模型处于弹性状态没有塑性应变。
9
（a） Mises 应力分布云图
（b） 塑性应变分布云图 图 7 弹性状态计算结果 当 p = 120 时， pe < p < pl ，圆筒处于弹塑性状态，计算结果如图 8，可以 看出模型内壁附近部分处于弹性状态没有塑性应变，而外壁附近部分处于塑性状 态，有塑性应变。
q
=
1.155σ
s
ln
rp a
（13）
在弹性区的 r= rp 处刚达到屈服，由屈服条件 σ θ − σ r
第二章_厚壁圆筒的弹塑性应力分析1
即
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z
Ri2pi Ro2po Ro2 Ri2
c3
（2-19）
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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由式（2-14）的第三式、式（2-15），并代
入c3 、c4 值，得
z
1 2
E c3
（2-23）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（2）厚壁圆筒仅作用内压( pi 0, p00)时
r
K
pi 2
1
(1
R
2 o
r2
)
K
pi 2
1
(1
R
2 o
r2
)
z
pi K 2 1
（2-24）
uE r(K pi21 )(12)r2(1)R o 2（2-25）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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由几何变形关系，可求得线段 PA的正应变 r 为
(d ruudru)dr
r
PA PA PA
r dr
u r
线段Pz C 的P 正C P 应 变C P C z为(d zww d zzdzw )dzw z
u 1 2(R i2p i R o 2p o )r 1 R i2 R o 2 (p i p o )
E R o 2 R i2
E (R o 2 R i2 )r
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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厚壁圆筒的弹塑性分析
外压厚壁圆筒的弹塑性分析姓名： 黄达飞学号：SQ10018014012 指导老师： 林智育时间： 2011-6-25一、 问题描述内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p （如图1（a ）），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b ））。
随着压力p 的增加，圆筒内的θσ及r σ都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其z σ也在增加。
当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。
当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。
为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设2/1=ν。
（a ） （b ）图1 厚壁圆筒二、 弹性分析1.基本方程平面轴对称问题中的未知量为r σ，θσ，r ε，θε，u ，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为0rdr d r r =-+θσσσ （1） 几何方程为dr du r =ε，ru=θε （2） 本构方程为()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=r r r E Eνσσενσσεθθθ11（3）边界条件为r r F s =σσ ，在力的边界σS 上 （4）2.应力的求解取应力分量r σ，θσ为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=221221r C C r C C r θσσ （5）如图1（a ）所示内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外表面处受外压p ，内表面没有压力，相应的边界条件为0==ar rσ ，p br r-==σ将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为2221a b p b C --=，22222ab p b a C -= 则应力分量为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222222222211r a a b p b r a a b pb r θσσ （6） 上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。
厚壁圆筒的弹塑性分析
厚壁圆筒的弹塑性分析弹塑性分析是一种结构分析方法，适用于材料在一定强度范围内既具有弹性行为又具有塑性行为的情况。
厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于工程中，如汽车零部件、压力容器等。
本文将介绍厚壁圆筒的弹塑性分析方法，并结合一个具体的例子进行说明。
厚壁圆筒的弹性分析是指在圆筒内外受到压力作用时圆筒的变形和应力分布的计算。
在弹性阶段，材料的应力-应变关系是线性的，可以通过胡克定律描述。
在塑性阶段，材料的应力-应变关系是非线性的，需要采用本构关系来描述。
首先，我们来介绍圆筒的几何参数。
厚壁圆筒可以由内外半径分别为R1和R2的圆柱体围成，圆柱体的高度为h。
此外，圆筒的材料有一个屈服强度σy，用于描述材料的塑性行为。
对于厚壁圆筒，弹性阶段的计算相对简单。
在内外压力P的作用下，圆筒的应变可以通过应力与材料的弹性模量E之间的关系得到。
圆筒的轴向应变εr可以通过胡克定律得到：εr=σr/E其中，σr是圆筒轴向应力，E是材料的弹性模量。
圆筒的周向应变、轴向切变应变可以根据几何关系得到。
在弹性阶段，应力满足柯西－格林弹性方程：σr=λ(εr+εθ)+2μεrσθ=λ(εr+εθ)+2μεθτrz = μ(εr - εθ)其中，λ和μ是材料的拉梅常数，可以通过杨氏模量E和泊松比ν计算得到。
当圆筒的应力达到屈服强度σy时，就进入了塑性阶段。
在塑性阶段，应力与应变之间的关系通过本构关系来描述。
常用的本构关系包括线性硬化本构关系、塑性截面变形本构关系等。
本文以线性硬化本构关系为例进行说明。
线性硬化本构关系假设材料的塑性应变是线性增加的。
圆筒中心的塑性应力σp和塑性应变εp可以通过以下方程计算：σp=σyεp=(σr-σy)/E*H其中，E*是圆筒在弹性阶段的等效弹性模量，H是圆筒的等效刚度。
对于给定的压力P，可以通过迭代法来确定圆筒的应力和应变分布。
首先假设圆筒是在弹性阶段，在初始状态下计算应力和应变分布。
然后，通过本构关系计算塑性应力和塑性应变分布。
过程设备设计第二章【压力容器应力分析】2.2【厚壁圆筒应力分析】
仅受外压 pi=0 任意半径 r 内壁处 r=Ri 处
2 po K 2 1 Ri 2 K 2 1 r
外壁处 r=Ro
po
K 2 1 po 2 K 1
r
pi
pi
0
2 pi 2 K 1
0
2 Ro 1 2 2 K 1 r
2 ln K r K r 1 Et t 径向热应力 r 2 21 ln K K 1 Et 1 2 ln K r 2 t 轴向热应力 z 2 21 ln K K 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，
假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
Ri2 pi R02 p0 pi Ri2 p0 R02 z 2 2 2 R0 Ri R0 Ri2
＝ A （2-25）
t
筒体内外壁的温差， t t i t 0
R0 Ri
R0 r
K ——筒体的外半径与内半径之比 K
Kr——筒体的外半径与任意半径之比， K r
厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， Et 表中 Pt 21
厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-2 厚壁圆筒中的热应力
（2－33）
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r Ri 时， r pi ； 当 r R0 时， r p0 。
2 pi Ri2 p0 R0 A 2 R0 Ri2
由此得积分常数A和B为：
第二章-2 厚壁圆筒应力分析
10
过程设备设计
d r d r r 2 3 0 dr dr
2
求解得到
边界条件为：
B r A 2 r
当 r Ri 时 当 r Ro 时
pi A po A
d r r r dr
2. 2 厚壁圆筒应力分析
B A 2 r
r pi r po
求解方程:用应力表示变形协调方程，并与平衡方程联立求解 A。应力表示变形协调方程：由物理方程得到
d 1 d d r 1 ( r z ) r 1 r ( z ) E E dr E dr dr 1 1 r { r r } { r } E E d 1 由变形协调方程得到 ( r ) dr r d d r 1 ( r ) dr dr r
( r d r )( r dr )d r rd 2 dr sin
d 0 2
r rd r drd d r rd d r drd r rd drd 0
r
2015/10/29
r
d r dr
一个方程，两个量，求解需 要补充方程
2.2.1 单层厚壁筒中的弹性应力
由平衡关系得到 2 2 z (R0 Ri2 ) Ri2 pi Ro po Ri2 pi Ro2 po z ( R02 Ri2 )
2 pi K 2 po pi Ri2 po Ro 2 2 K 2 1 Ro Ri
r
为压应力（负值）。
分布规律： σz 均匀分布， σθ、 σr 成 1/r2 的变化，r 增大，应力减
厚壁圆筒的弹塑性分析
理想弹塑性材料 幂强化材料
弹性分析 弹塑性分析 全塑性分析 残余应力
§5－1 理想弹塑性材料厚壁圆筒分析
一、弹性分析
1.
基本方程
应力分量： sr(r),sq (r) , trq = tqr =0 应变分量： er(r) , eq (r), g rq = g qr=0 位移分量 平衡方程： u(r), v=0
塑性区的应力分量： r 1 r2 sr s s l n r 2 2b 2 ss r2 r sq 1 2ln 2 2 b r
ss
a
b
sr
p
r
三、全塑性分析
r ＝b
p p s s ln b a
p
ss
r 1 2 ln 2 2 b a
内表面产生压缩的切向残余应力，当再次加载时，产生的 切向应力被抵消一部分，可提高圆筒的弹性极限压力。 液压自紧（密封） 机械自紧（冲头挤扩） 爆炸自紧（研究阶段） 自紧或自增强工序
五、位移分量（平面应变状态）
(1 )a 2 p b 2 u ( 1 2 ) r 1. 弹性阶段： 2 2 E (b a ) r
du u , εθ dr r 1 εr σ r σ θ E 1 εθ σ θ σ r E εr
s r s r s q 0 r r
a
p1
b
p2
边界条件：
（不计体力）
sr sr
r a r b
p1 p2
几何方程：
本构方程：
一、弹性分析
b2 1 r 2
06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
因为“弹性筒”内壁面同时也是“塑性筒”的外 壁面，所以在交界面上( r=Rc )，也满足 Mises 条件
r R
c
r r R
c
2 s 3
联立上述三式，得到弹、塑性区界面压力pc的另一表达 式如下
pc
s R R
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
（2）高压厚壁筒提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
下图为经过自增强处理后，单层厚壁筒中的应力 分布情况。自增强法最早出现于20世纪初，首先应用 于炮筒的制造。目前已经应用于石油化工中的高压及 超高压容器、超高压管道、超高压压缩机气缸等。
残余应力的计算是依据“卸载定理”的，参见教 材。该部分须掌握残余应力的分布图。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（1）爆破过程 OA：弹性变形 AB：进入屈服 BC：屈服并强化 CD：爆破 pc:塑性垮塌压力， 工程上称为爆破 压力。
2.3.3 屈服压力和爆破压力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（2）理想弹塑性材料
2.3.2 弹塑性应力
对于理想弹塑性材料，忽略材料的硬化阶段，同 时认为材料的屈服极限为常数。
2.3 厚壁圆筒应力分析
（3）塑性失效准则
2.3.2 弹塑性应力
筒体为理想弹塑性材料，当屈服区扩展至外壁 面，使筒体整体屈服，此时承受的内压力为筒体承 受的最高极限载荷。 （4）屈服条件 当材料从弹性阶段进入理想塑性阶段时，应满 足一定的条件，以此来判定材料是否进入屈服阶段， 此条件称为“屈服条件”（屈服失效判据）。 常用的屈服条件有：Tresca屈服条件和Mises 屈服条件。
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（d）
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将c1、c2 值代入式（2-13），得两端封闭的 厚壁圆筒的位移表达式
2 2 1 2 ( Ri2 pi Ro po )r 1 Ri2 Ro ( pi po ) u 2 2 2 E E Ro Ri ( Ro Ri2 )r
第二章 厚壁圆筒的弹 塑性应力分析
7/26/2013
第一节 厚壁圆筒的弹性应力分析
如图所示的内半径为 Ri ，外半径为 R0 的厚壁圆 柱形筒体，承受内压为 pi ，外压为 p0 。
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 2
在P点处用相距d r的两个同心圆柱面，互成 d角的两个相邻纵截面及相距dz 的两个水 平面截取一个微小扇形六面体，如下图所 示。
(2-4)
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 12
对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒 体的几何形状、载荷、支承情况沿z轴没有 变化，所有垂直于轴线的横截面在变形后 仍保持为平面，则
zr 0， zr 0
，
即 u 只决定于r， w只决定于z。
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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２. 几何方程
在r - z平面内，沿r和z方向取微小长度PA = dr， PC = dz。假设变形后P，A，C分别移动到P，A， C。
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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由几何变形关系，可求得线段 PA的正应变 r 为
P A PA r PA (d r u u d r u) d r r u dr r
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析 Page - 10
由此，空间轴对称的几何方程为
u r r u r w z r w u rz r z
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(2-2)
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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３．物理方程
1 r ( z ) E 1 ( r z ) E 1 z z ( r ) E 2(1 ) zr zr E
即为著名的拉美（ Lame）方程式。
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析 Page - 22
轴向应力 z 、轴向应变 z 和径向位移分 量u，根据端部支承条件不同，分两种情况 讨论： （1）两端不封闭(开口)的筒体(如炮筒，热套 的筒节等） 轴向变形无约束，轴向应力为零，即
z 0
d d r 1 d ( ) dr E dr dr
将以上两式代入式（2-7），得到以应力分量表示的变 形协调方程
d d r 1 ( r ) dr dr r
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
(2-10)
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二、厚壁圆筒的应力和位移解
2 2 Ri2 pi Ro po Ri2 Ro ( pi po ) r 2 2 2 Ro Ri ( Ro Ri2 )r 2 2 2 Ri2 pi Ro po Ri2 Ro ( pi po ) 2 2 2 Ro Ri ( Ro Ri2 )r 2
（2-16）
式中
E Z c1 c3 1 1 2 E c4 c2 1
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（2-15）
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当厚壁圆筒同时承受均匀内压 pi 和均匀外 压 po 时，其边界条件为
r Ri , r pi r R0 , r p 0
（2-18）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（2）两端封闭的筒体（筒体端部有端盖） 轴向应力由轴向平衡条件求得
( Ro2 Ri2 ) z Ri2 pi Ro2 po
即
Ri2 pi Ro2 p o z c3 2 2 Ro Ri
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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一、 厚壁圆筒 基本方程
1．平衡方程
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 4
F
( r
r
0
r d d r )( r d r ) d d z r r d d z 2 d r d z sin r 2 zr ( zr d z )r d r d zr r d r d K r r d r d d z 0 z
在r- 的平面内，沿r和方向取微元线段PA
= d r，PB = rd，变形后，P，A，B分别移 动到P，A，B。由于对称性，P点和B点 移到P点和B的位移分量均为 u ，A点移到 A点的位移分量为
u u dr r
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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P ' B ' PB (r u) d r d u PB r d r
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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下面列出厚壁圆筒各种受力情况（两端封闭）弹性 状态下的应力及位移计算公式
E r ( r e) 1 1 2 E ( e) 1 1 2 E z ( z e) 1 1 2
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
(2-8)
或写成
(2-9)
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由式（2-8）可得到
1 r ( r ) E
（2-13）
式中 c1 , c2 为积分常数
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析 Page - 19
将式（2-13）代入式（2-11），得到
c4 r c3 2 r c4 c3 2 r z 2c3 E Z
（2-14）
r
(2-3)
或写成
E ( r e) 1 1 2 E ( e) 1 1 2 E z ( z e) 1 1 2 E zr zr 2(1 )
r
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本节采用位移法求解在均匀内、外压作用下的厚壁 圆筒。将几何方程式代入物理方程式，得出用位移 分量表示的物理方程
E du ( e) 1 d r 1 2 E u ( e) 1 r 1 2 E dw z ( e) 1 d z 1 2
（2-20）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（3）两端封闭同时受轴向刚性约束的筒体（高压管 道或厚壁圆筒无限长）
轴向变形受到约束，
z 0
Ri2 pi Ro2 p o z 2C 3 2 Ro2 Ri2
( 1 2 )( 1 ) ( 1 2 )( 1 ) Ri2 p i Ro2 p o C1 C3 E E Ro2 Ri2 1 1 Ri2 Ro2 ( p i p o ) C2 C4 E E Ro2 Ri2
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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则平衡方程（不计体力）为
d r r 0 dr r d z 0 dz
(2-5)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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几何方程为
du r , dr u , r dw z dz
（2-19）
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由式（2-14）的第三式、式（2-15），并代 入 c3 、 4 值，得 c
1 2 1 2 Ri2 pi Ro2 po z c3 E E Ro2 Ri2 1 2 1 2 Ri2 pi Ro2 po c1 c3 E E Ro2 Ri2 1 1 Ri2 Ro2 ( pi po ) c2 c4 E E Ro2 Ri2
（a）
将边界条件代入式（2-14），得
Ri2 pi Ro2 po c3 Ro2 Ri2 Ri2 Ro2 ( pi po ) c4 Ro2 Ri2
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（b）
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c 将 c3 、 4 值代入式（2-14），得
r
（2-11）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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将上式代入平衡方程式，得
d 2 u 1 du u 2 0 2 dr r dr r d w 0 2 dz
2
（2-12）
它的通解为
c2 u c1r r
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因为 d 值很小, 可取 去高阶微量，得
d d sin 2 2
，化简并略
r zr r Kr 0 r z r z rz rz Kz 0 z r r
(2-1)
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z
F
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rz z ( z d z )r d d r z r dd r ( rz dr )(r d r ) d d z z r rz r d d z K z r d r d d z 0