2021年上海市交大附中高一期末数学试卷
2020-2021年上海市交大附中高一上期末
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期 高一数学期末考试试卷 2021.01（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题卷上）一、填空题：（共12题，前6题每小题满分4分，后6题每小题满分5分）1.已知集合{1},{}.A xx B x x a =<=>∣∣如果,A B =R 那么实数a 的取值范围是_________ 【答案】(,1)-∞ 【解析】因为AB =R ，所以(,1)a ∈-∞2.若幂函数()y f x =的图像过点(2,4),则表达式()f x =_________ 【答案】2()f x x =【解析】令幂函数,()k f x x =代入(2,4),解得2k =，所以2()f x x =直角三角形ABC 中，C 为直角，M 是BC的中点，若sin 10BAM ∠=，则sin BAC ∠= 3.已知正实数,a b 满足4ab a b =+,则ab 的最小值为_________ 【答案】16【解析】4ab a b =+≥=4,16ab ≥≥，当且仅当8,2a b ==时等号取到，所以ab 的最小值为16 4.函数2log (1)y x =-的定义域为_________【答案】(1,2)(2,3]【解析】由已知得，2(1,2)(2,3]log (1)03010x x x x --≥⎧⎪->⇒∈⎨≠⎪⎩5.若方程2240x x +-=的两根分别为, αβ、则1i11i αβ+∞=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑________【答案】1【解析】因为112142αβαβαβ+-+===- ，所以ii111111211212i i αβ+∞+∞==⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑6.某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定: 年度考核合格的员工，从下一年 一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入.员工老 魏自2005年一月以来一直在该单位供职，历年考核都为合格，且同一年内月工资收入 相同,2005 年的月工资收入为5000.00元, 则2021年一月该贝工的月工资收入为 _________元.（结果按进一法保留两位小数） 【答案】14760.82元.（14760.93也正确）【解析】1650001.0714760.82⋅=元.（14760.93也正确）7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知484,16,S S ==则20S =_________【答案】100 【解析】因为841,248S S ==，根据n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，知20520S =，所以20100S = 8.已知函数|1|||y x x a =++-的图系关于直线1x =对称，则该函数的最小值是_________ 【答案】4【解析】有(1)12a +-=，所以3,()13a f x x x ==++-，所以()(1)(3)4,f x x x ≥++-+=当(1)(3)0x x +-+≥时等号取到，所以最小值为49.函数3ay x x=+在(0,3)上为严格减函数的一个充分但非必要条件是_________ 【答案】见解析【解析】填写[243,)+∞的任何一个真子集或任何一个元素均可.10.已知定义域为R 的函数()y f x =是奇函数，在(0,)+∞上是严格增函数且.(3)0.f =不等式(1)()0x f x -<的解集是_________【答案】(3,0)(1,3)-【解析】由已知得函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且在(0,)+∞上是严格增函数， 则其在区间(,0)-∞上递增，(0)0,f = 又因为(3)0,f =则()y f x =在(,3)-∞-上()0f x <,在(3,0)-上，()0f x > 在(0,3)上()0f x <,在(3,)+∞上，()0f x >所以10(1)()0()0x x f x f x ->⎧-<⇒⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩ 则有(3,0)(1,3)x ∈-11.设等差数列{}n a 的前n 项和为45,10,15,n S S S ≥≤则4a 的最大值是_________【答案】4【解析】414610S a d =+≥，所以1235a d +≥；5151015S a d =+≤，所以123a d +≤ 所以()()411133233354a a d a d a d =+=+-+≤⋅-= 当4510,15S S ==时等号取到，所以4a 的最大值是4.12.若函数()y f x =的表达式2()1(f x tx x =++常数),t ∈R 对于任意两个不同的1x 、2,x 当12,[2,2]x x ∈-时，均有()()1212(f x f x k x x k -≤-为常数,)k ∈N 成立，如果满足条件的最小自然数k 为4,则实数t 的取值范围是_________ 【答案】3113,,4224⎡⎫⎛⎤--⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【2010崇明高考模拟理科14改数据】()()()()221111121212121tx x tx x f x f x k t x x x x x x +-+-≥==++--因为满足条件的最小自然数k 为4，所以对一切12,[2,2]x x ∈-成立， 且存在12,[2,2]x x ∈-使()1231t x x ≥++不成立，所以“441t ≥⋅+”且4(4)1t ≥⋅-+”且“341t <⋅+或3(4)1t <⋅-+ ” 所以“33,44t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”且“11,,22t ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭” 所以t 的取值范围是3113,,4224⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.对于任意,x ∈R 函数()y f x =表示22,1,43x x x x -+-+中的较小者，则函数()y f x =的零点有（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【答案】B【解析】作出三个函数的图像，利用数形结合求函数的零点.14.设54log 6,log 5,a b ==则用,a b 表示lg 24=（ ）(A)3142a ab +- (B)2221ab b ++ (C)321ab a b ++ (D)233a bb++【答案】B【解析】5551log 2log 3,log 22a b +==，所以51log 32a b=- 所以55555log 24log 33log 222lg 24log 101log 221ab b ++===++，故选B15.如图，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1),若函数(0x y a a =>且1)a ≠ 及 log (0b y x b =>且1)b ≠的图像与线段OA 分别交于M N 、,且O M N 、、、A 的横坐标恰好构成等差数列，则a 、b 满足(A)1a b << (B)1b a << (C)1b a >> (D)1a b >>【答案】A【解析】1313a =，所以127a =；22log ,33b =所以2323b =，所以3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以1a b <<，选A16.已知(),bf x ax x=+对任意的非零实数,,,,,a b m n p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是()(A){}1,1- (B){}1,2- (C){}1,2,3 (D){}1,2,4,8【答案】C【解析】本题考察含参问题的解集令2[()]()0m f x nf x p ++=的解为12,y y因为2()ax bf x x+=，所以令2()g x ax b =+ ，其对称轴为0x =其中2[()]()0m f x nf x p ++=的解x 个数为0,1,2,3,4中一种情况根据二次函数对称性，解集中元素应该为对称分布. A ：关于对0x =对称；B ：关于12x =对称；C ：关于2x =对称；D ：不对称 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知，集合A 是函数(0)12xay a =>+的反函数的定义域;集合{}31B b x x b =-+-≥，对一切x ∈R 成立}.若,AB =∅求实数a 的取值范围.【解析】因为12x +的取值范围是(1,)+∞， 所以函数(0)12xay a =>+的值域为(0,)a ， 所以，反函数的定义域为(0,)A a =由3131(3)(1)2x x x x x x -+-=-+-≥-+-=当且仅当(3)(1)0x x --≥时等号成立，所以min (|3||1|)2x x -+-=所以{|3|1B b x x b =-+-≥∣对一切x ∈R 成立{}}2b b =≤ 使A B =∅的实数a 不存在，所以，实数a 的取值范围为∅18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥.(I)求{}n a 的通项公式;(II)等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为,n T 且315,T =又1122,a b a b ++,33a b +成等比数列，求.n T【解析】(I)由121(1)n n a S n +=+≥可得121(2)n n a S n -=+≥ 两式相减得12n n n a a a +-=，所以13(2)n n a a n +=≥又21213a S =+=，所以213a a =故{}n a 是首项为1，公比为3等比数列，所以13n n a -= (II)设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==-， 因为，等差数列{}n b 的各项为正，所以0d > ，所以2d = 所以2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知常数,m ∈R 函数()y f x =的表达式()||4(0)mf x x x x=+-≠. (1)讨论函数()y f x =的奇偶性，给出相应的证明; (2)讨论函数()y f x =的零点个数. 【解析】（1）当0m =时，()4f x x =- 函数()4f x x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞任取(,0)(0,)-∞+∞，都有(,0)(0,)x -∈-∞+∞此时()44()f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数 当0m ≠时，因为(1)4,(1)4f m f m =--=--所以(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）令()0f x =，可得40(0)x x x m x -+=≠ 即4(0)m x x x x =-+≠令22224,0(2)4,0()44,0(2)4,0x x x x x g x x x x x x x x x ⎧⎧-+>--+>⎪=-==⎨⎨+<+-<⎪⎩⎩作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得； 当(,4)(4,)m ∈-∞-+∞时，()y f x =有1个零点；当{4,0,4}m ∈-时，()y f x =有2个零点； 当(4,0)(0,4)m ∈-时，()y f x =有3个零点；注: 题（2）要意识到0x ≠的20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知数列{}n a 的每一项n a 都是正整数，它的前n 项和记作.n S 记集合{,n A x x a n ==∈N ∣且}1,n ≥ 集合{,n S x x S n ==∈N ∣且}1,n ≥如果A S 中的元素至少3个，则称数列{}n a 具有“交和性质”;此时将A S 中的数从小到大排列，组成的数列{}n b 称为{}n a 的交和数列”.(1)若数列{}n a 的通项公式为12,n n a -=判断数列{}n a 是否具有“交和性质", 说明理由.(2)若数列{}n a 的通项公式为2 1.n a n =-求证数列{}n a 具有“交和性质”;并求{}"n a 的交和数列”{}n b 的通项公式;(3)若数列{}n a 为严格增数列且为有穷数列，最大项为660，且数列{}n a 恰具有“交和性质"（即“{}n a 的交和数列”{}n b 恰好只有3项）.试求123b b b ++的最大值.【解析】（1）由12n n a -=，可知21n n S =-n S 均为奇数，仅当1n =时111a S ==成立，当2n ≥时，12n n a -=均为偶数，所以A S 仅有1个元素，（或者AS 没有3个元素）所以，数列{}n a 不具有“交和性质”. （2）由2 1.n a n =-，可知2n S n =当n 为奇数时，2n S n =为正奇数，所以n S A ∈ 当n 为偶数时，2n S n =为正偶数，所以n S A ∉ 所以{2(21),AS x x n n ==-∈N ∣且}1n ≥中至少有3个元素，所以，数列{}n a 具有“交和性质”“{}n a 的交和数列”{}n b 的通项公式2(21)n b n =- （3）设数列{}n a 首项为1a ，因为数列{}n a 的每一项n a 都为正整数，为严格递增数列， 所以21111,,1,1i m a a a a i a a m ≥+≥+-≥+-显然有1113,660b S a b ==≤，设3m b S =，所以1113,660b S a b ==≤ 有21m m m b S S a -≤=-所以123112266026601m m m b b b S a a a a m ++≤-+≤⋅-+≤⋅+- 所以当2121,3,1m b S m a a -===+且321a a =+时，即123219,220,221a a a ===时等号取到，所以123b b b ++最小值为131821．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知()y f x =在定义域R 上是连续不断的函数.对于区间I ⊆R ，若存在,c I ∈使得 对任意的,x I ∈都有()(),f x f c ≤则称函数()y f x =在区间I 上存在最大值M(())M f c =(1)函数2y x mx =+在区间(1,3]存在最大值，求实数m 的取值范围.(2)若函数()y f x =为奇函数，在[0,)+∞上2()2.f x x x =-易证对任意t ∈R ,函数()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值M .试写出最大值M 关于t 的函数关系式()M g t =(3)若对任意,t ∈R 函数()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值M ,设最大值M 关 于t 的函数关系式为().M g t =求证:"()y f x =在定义域R 上是严格增函数”的充要条 件是“()M g t =在定义域R 上是严格增函数". 【解析】（1）设2()f x x mx =+，由二次函数可得，()y f x =在,2m ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦为严格减函数；在,2m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭为严格增函数，当1322m +->时，(1)(3)f f >，函数()y f x =在(1,3]不存在最大值， 当1322m +-≤时，(1)(3)f f ≤，函数()y f x =在(1,3]存在最大值(3)M f =，根据1322m +-≤，得4m ≥-，所以实数的取值范围[4,)-+∞.（2）任取(,0]x ∈-∞，有[0,)x -∈+∞，因为函数()y f x =为奇函数， 所以()22()()()2()2f x f x x x x x =--=----=--所以函数()y f x =为(,1]-∞-严格增函数，在[]1,1-上为严格减函数，在[1,)+∞上为严格增函数.所以当(,1]t ∈-∞-时，()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值2()2M f t t t ==--； 当[]1,1t ∈-时，()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值(1)1M f =-=； 当[1,)t ∈+∞时，考察2()2f t t t =-与(1)1f -=， 令221t t -<，解得(1t ∈-+所以，当[1,1t ∈+时，(1)1M f ==当[1)t ∈++∞时，2()2M f t t t ==-综上，最大值M 关于t的函数关系式222,(,1]()1,[1,12,[1)t t t M g t t t t t ⎧--∈-∞-⎪⎪==∈-+⎨⎪-∈+∞⎪⎩（3）【必要性】因为“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”所以函数()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值()M f t =，所以()()M g t f t ==，所以()M g t =“在定义域R 上是严格增函数”. 【充分性】任取1212,,,x x x x ∈<R因为“()M g t =在定义域R 上是严格增函数”，有()()12g x g x <（反证法）假设()()12f x f x ≥，根据()()12g x g x ≤，又显然()()11g x f x ≥ 可知函数()f x 在区间[]12,x x 上的最大值()()()()2112g x g x f x f x >≥≥所以，存在[)012,x x x ∈，使得()()02f x g x =，此即存在02x x <，有()()()002g x f x g x ==，与“()M g t =在定义域R 上是严格增函数”矛盾， 所以()()12f x f x ≥不成立，所以有()()12f x f x <.所以“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”.综上，“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”的充要条件是“()M g t =在定义域R 上是严格增函数”.。
上海交通大学附属中学10-11学年度高一上学期期末试卷(数学)
上海交通大学附属中学2021-2021学年度第一学期高一数学期终考试卷本试卷共有22道试题，总分值100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：杨逸峰杨逸峰〔本试卷允许使用计算器，凡属用计算器所得之值，如无特别说明，请准确到小数点后3位〕一、填空题〔本大题总分值42分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分。
1、 集合A ={x ∣|x -1|>1}，那么A =R____________。
2、 不等式lg(1)1x -<的解集是_________。
〔用区间表示〕3、 过点P (4，2)的幂函数是________函数。
〔填“奇函数〞、“偶函数〞、“非奇非偶函数〞、“既奇又偶函数〞〕4、 假设函数y =A ，值域为B ，那么A ∩B =____________。
5、 函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，假设16mn =〔m ，n ∈R +〕，那么11()()f m f n --+的值为______________。
6、 函数2lg(82)y x x =+-的单调递增区间是__________。
7、 给出函数1()x x f x e e -=+，假设0()()f x f x ≥对一切x ∈R 成立，那么0x =________。
8、 设2()lg2x f x x +=-，那么2()()2x f f x+的定义域为_________。
9、 假设函数()f x 〔x ∈R 〕的图像关于点M (1，2)中心对称，且()f x 存在反函数1()f x -，假设(4)0f =，那么1(4)f -=___________。
10、用二分法求得函数f (x )=x 3+2x 2+3x +4在(-2，-1)内的零点是_______。
〔准确到0.1〕11、函数223y x x =-+在区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，那么实数m 的取值范围是______________。
上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________； 【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可 详解：由三角函数的周期公式可知： 函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即2222ax x ax x -=--， 整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =． 故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】 【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去） 那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==， 所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα． 故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________． 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞， 综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________． 【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ， 此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭， 因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ， 令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2， 故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>． 其中所有正确命题的序号是_____________． 【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=， 所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=， 由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =， 所以圆心角为 2lr=， 故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和 和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数 故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件 【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )， 即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围： 和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+， 右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+， 所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值． 和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解； 小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增； 又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝ 所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=； 若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解； 若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解； 若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解； 若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”． 【答案】（1）证明见解析； （2）0a =，0b ≥，R c ∈； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+， 对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+， 因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >， 因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+， 所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<， 对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =， 对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+， 并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数， 即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立， 且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。
【数学】上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)
上海交大附中2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（第1-6 题每题 4 分，第7-12 题每题 5 分，满分54 分）2．已知函数f（x）＝ax2+2x 是奇函数，则实数a＝．4．方程lg（2x+1）+lg x＝1 的解集为．6．若集合A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}，B＝{y|y2＝1，y∈R}，则A∩B＝．7.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝．8.已知函数（f x）＝a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为．10．给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是①存在实数α，使sinαcosα＝1；⑤若α，β 是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11．某同学向王老师请教一题：若不等式x﹣4e x﹣a ln x≥x+1 对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，且g（x）＝x﹣4ln x在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是．1．函数的最小正周期T＝．3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x| ＞0}，则A∩B＝．5．设函数，那么f﹣1（10）＝．9．已知函数f（x）＝a sin x+cos x在上的最小值为﹣2，则实数a的值为．②存在实数α，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；16．设函数f （x ）＝2x ﹣2﹣x + ，x ∈R ，对于实数a 、b ，给出以下命题：1 12 2 2 1 2 21 2 2 1 2 21 2 1 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 12. 设二次函数 f （x ）＝mx 2﹣2x +n （m ，n ∈R ），若函数 f （x ）的值域为[0，+∞），且二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）13. 一个扇形的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，则它的圆心角是（）弧度A ．2B ．3C ．4D ．514. 对于函数 f （x ）＝a sin x +bx +c （其中，a ，b ∈R ，c ∈Z ），选取 a ，b ，c 的一组值计算f （1）和 f （﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（ ）A ．4 和 6B ．3 和 1C ．2 和 4D ．1 和 2g （x ）图象有且仅有两个不同的公共点 A （x ，y ），B （x ，y ），则下列判断正确的是（ ）A ．当 a ＜0 时，x 1+x ＜0，y +y ＞0 C ．当 a ＞0 时，x 1+x ＜0，y +y ＜0B ．当 a ＜0 时，x 1+x ＞0，y +y ＜0 D ．当 a ＞0 时，x 1+x ＞0，y +y ＞0命 题 p ：a +b ≥0； 命题 p ：a ﹣b 2≥0； 命题 q ：f （a ）+f （b ）≥0．下列选项中正确的是（）A ．p 、p 中仅 p 是 q 的充分条件C ．p 、p 都不是 q 的充分条件三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）B ．p 、p 中仅 p 是 q 的充分条件 D.p 、p 都是 q 的充分条件（1） 求实数 a 的取值范围；（2） 求证：函数 y ＝f （x ）是奇函数但不是偶函数．f （1）≤2，则+的取值范围为．15．设函数f （x ）＝ ，g （x ）＝ax 2+bx （a ，b ∈R ，a ≠0）若y ＝f （x ）的图象与y ＝ 17．（15分）已知函数的定义域为集合A ，集合B ＝（a ，a +1），且B A ．18．（15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B 在直径上，点C、D 在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S＝g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC＝x（cm），矩形ABCD的面积为S＝f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．（1）解方程：cosh（x）＝2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）＝，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x 的方程sinh（t）+cosh（x）＝a 有解，求实数a 的取值范围．19．（15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828）．[0 a ][a 2a ] 20．（15 分）对闭区间 I ，用 M I 表示函数 y ＝f （x ）在 I 上的最大值．（3）已知 f （x ）＝sin x ，若有且仅有一个正数 a 使得 M＝kM成立，求实数 k 的取值， ，范围．21．（16 分）定义域为R 的函数 y ＝f （x ），对于给定的非空集合A ，A R ，若对于A 中的任意元素 a ，都有 f （x +a ）≥f （x ）成立，则称函数 y ＝f （x ）是“集合 A 上的 Z ﹣函数”．（1）给定集合 A ＝{﹣1，1}，函数 y ＝f （x ）是“集合 A 上的 Z ﹣函数”，求证：函数 y ＝f （x ）是周期函数；（2）给定集合 A ＝{1}，g （x ）＝ax 2+bx +c ，若函数y ＝g （x ）是“集合 A 上的 Z ﹣函数”，求实数 a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合A ＝[0，1]，函数 y ＝h （x ）是“集合A 上的 Z ﹣函数”，求证：“y ＝h （x ）是周期函数”的充要条件是“y ＝h （x ）是常值函数”．（1）对于 ，求M [1，4] 的值；（2）已知 ，且y ＝f （x ）偶函数，，求b﹣a 的最大值；【参考答案】一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分） 1．π【解析】由三角函数的周期公式可知，2．0【解析】由奇函数定义有 f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则 f （﹣1）＝a ﹣2＝﹣f （1）＝﹣（a +2），解得 a ＝0． 3．{x |﹣1＜x ＜2}∴A ∩B ＝（﹣1，2）＝{x |﹣1＜x ＜2}， 故答案为：{x |﹣1＜x ＜2}. 4．{2}【解析】∵lg （2x +1）+lg x ＝1，∴lg （x （2x +1））＝lg10，5．3【解析】令 f （t ）＝10，则 t ＝f ﹣1（10），当 t ＜0 有 2t ＝10⇒t ＝5，不合，当 t ≥0 有 t 2+1＝10⇒t ＝﹣3（舍去）或 t ＝3， 那么 f ﹣1（10）＝3，故答案为：3． 6．{1}【解析】函数 y ＝3cos2πx 与 y ＝3x 的图象如图，所以 A ＝{x |3cos2πx ＝3x ，x ∈R }＝{x 1，x 2，1}，B ＝{y |y 2＝1，y ∈R }＝{﹣1，1}， 所以 A ∩B ＝{x 1，x 2，1}∩{﹣1，1}＝{1}．故答案为{1}．函数y ＝ sin2x 的最小正周期为T ＝ ＝π，故答案为：π．【解析】∵集合A ＝{x ||x |＜2}＝（﹣2，2），B ＝{x | ＞0}＝（﹣1，+∞），∴ ，解得：x ＝2．故答案为：{2}．7．18．[2，+∞）【解析】函数 f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞0 且 a ≠1）中， 令 x +1＝0，得 x ＝﹣1，所以 f （﹣1）＝1﹣2＝﹣1， 即 f （x ）的图象过定点（﹣1，﹣1）；由 f （x ）的图象不经过第四象限，则 f （0）＝a ﹣2≥0， 解得 a ≥2，所以 a 的取值范围是[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 9．﹣2①若 a ≥0，则 y ＝a sin x ≥0，y ＝cos x ≥0，f （x ）≥0，与题意不符；10．③④【解析】对于①，由 sin α•cos α＝1，得 sin2α＝2，矛盾；①错误．对于⑤，不妨取 β＝60°，α＝390°，α＞β 但是 sin α＜sin β．∴⑤不正确． 故③④正确，故答案为：③④．【解析】BM ＝MN ＝NA ，点A （1，0），B （0，1），所以M ，N ，分别代入y ＝x α，y ＝x β，，，故答案为： 1.【解析】∵函数f （x ）＝a sin x +cos x 在 上的最小值为﹣2，②若a ＜0，则y ＝a sin x 与y ＝cos x 均在 上单调递减，∴f （x ）＝a sin x +cos x 在 上单调递减，∴f （x ） min ＝f （ ）＝a ＝﹣2，符合题意，故答案为：﹣2．对于②，由 ，得 sin （α+ ）＝ ，矛盾；②错误．对于③， ＝sin （﹣2x ）＝cos2x ，是偶函数；③正确． 对于④，将 代入到得到sin （2×+）＝sin＝﹣1，是函数的图象的一条对称轴方程．④正确．0 0 11．（﹣∞，﹣4]函数 h （x ）＝x ﹣4ln x 在（1，+∞）有零点，设为 x 0，令 h ′（x ）＞0，解得：x ＞4，令 h ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜4， 故 h （x ）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增， 而 h （1）＝1，h （4）＝4﹣4ln4＜0，故 1＜x ＜4，∵ln x ＞0，∴a +4≤0，故 a ≤﹣4，故 a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]， 故答案为：（﹣∞，﹣4]． 12．[1，13]【解析】二次函数 f （x ）＝mx 2﹣2x +n （m ，n ∈R ），若函数 f （x ）的值域为[0，+∞），则Δ＝4﹣4mn ＝0，解得：mn ＝1，且 m ＞0，故答案为：[1，13]．二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分） 13． A【解析】x ﹣4e x ﹣a ln x ≥x +1，即 ﹣a ln x ≥x +1，令f （x ）＝ ﹣a ln x ﹣x ﹣1，（x ＞1），则h （x 0）＝x 0 ﹣ 4ln x 0 ＝ 0，则x 0 ＝ 4ln x 0，则 ＝ ，h ′（x ）＝1﹣ ＝ ，故f （x 0 ）＝﹣a ln x ﹣x ﹣1＝ 0 0﹣a ln x ﹣4ln x ﹣1＝﹣（a +4）ln x ≥0， 0 0 0又f （1）＝m ﹣2+n ≤2，n ＝ ，则m + ≤4，∴ + ＝ + ＝ ＝ ＝m 2+ ﹣1，而由m + ≤4，m ＞0，得2≤m 2+ ≤14，故m 2+ ﹣1的取值范围是[1，13]，即 + 的取值范围是[1，13]，2 1 2 2 1 1 21 2 1 2故选：A ． 14．D【解析】f （1）＝a sin1+b +c ①，f （﹣1）＝﹣a sin1﹣b +c ②， ①+②得：f （1）+f （﹣1）＝2c ，∵c ∈Z ，∴f （1）+f （﹣1）是偶数，故选：D ． 15．B【解析】当 a ＜0 时，作出两个函数的图象，若 y ＝f （x ）的图象与 y ＝g （x ）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，显然 x ＞﹣x ＞0，即 x +x ＞0，﹣y ＞y ，即 y +y ＜0， 同理，当 a ＞0 时，有当 a ＞0 时，x 1+x ＜0，y +y ＞0 故选：B ． 16．D即 g （a ）+h （a ）≥﹣g （b ）﹣h （b ）， 即 g （a ）+h （a ）≥g （﹣b ）+[﹣h （b ）]，①当 a +b ≥0 时，a ≥﹣b ，故 g （a ）≥g （﹣b ），又 h （x ）＞0，故 h （a ）＞﹣h （b ）， ∴此时 f （a ）+f （b ）≥0，可得 p 1 是 q 的充分条件；此时，h （a ）＞0，﹣h （b ）＜0，【解析】设扇形半径r ，弧长l ，则 ，解得r ＝1，l ＝2，所以圆心角为 ＝2．因为函数f （x ）＝ 是奇函数，所以A 与A ′关于原点对称， 【解析】令f （x ）＝g （x ）+h （x ），g （x ）＝2x ﹣2﹣x ，h （x ）＝ ，g （x ）是奇函数，在R 上单调递增，h （x ）是偶函数，在（﹣∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减， 且h （x ）＞0，f （a ）+f （b ）≥0 f （a ）≥﹣f （b ）， ②当a ﹣b 2≥0时，则有：a ≥0， ， ，（i ）当a ≥1时，a ≥，则﹣b ≤a ，故g （a ）≥g （﹣b ）；17．解：（1）由 ＞0得﹣1＜x ＜1， ∴函数的定义域A ＝（﹣1，1）；∴h （a ）＞﹣h （b ），∴f （a ）+f （b ）≥0 成立；（ii ）当 a ＝0 时，b ＝0，f （0）+f （0）＝6≥0 成立，即 f （a ）+f （b ）≥0 成立； （iii ）∵g （x ）在 R 上单调递增，h （x ）在（﹣∞，0）单调递增， ∴f （x ）＝g （x ）+h （x ）在（﹣∞，0）单调递增， ∵f （﹣1）＝0，∴f （x ）＞0 在（﹣1，0）上恒成立； 又∵x ≥0 时，g （x ）≥0，h （x ）＞0，∴f （x ）＞0 在[0，+∞）上恒成立，∴f （x ）＞0 在（﹣1，+∞）恒成立，∴f （a ）＞0，f （b ）＞0，∴f （a ）+f （b ）≥0 成立．综上所述，a ﹣b 2≥0 时，均有 f （a ）+f （b ）≥0 成立，∴p 2 是 q 的充分条件．故选：D ． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）又 B ＝（a ，a +1），且 B A ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）≠f （x ）， ∴函数 y ＝f （x ）是奇函数但不是偶函数． 18．解：如图所示，（1） ①连接 OC ，设∠BOC ＝θ，矩形 ABCD 的 面积为 S ，∴S ＝AB •BC ＝2OB •BC ＝400sin2θ，且当 sin2θ＝1， 故当0＜a ＜1时，a ＜ ＜1，﹣1＜﹣ ，∴ ，解得﹣1≤a ≤0，即a ∈[﹣1，0]；（2）证明：∵f （x ）+f （﹣x ）＝lg+lg＝lg （•）＝lg1＝0，则BC ＝20sin θ，OB ＝20cos θ（其中0＜θ＜ ）；即θ＝时，S 取最大值为400，此时BC ＝10；所以，取BC ＝10 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．②连接OC ，设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S ；则AB ＝2（其中0＜x ＜20），g 0 119．解：（1）cosh （x ）＝2，即：e x +e ﹣x ＝4，（2） sinh （x +y ）＝sinh （x ）cosh （y ）+cosh （x ）sinh （y ），左边等于右边，于是 sinh （x +y ）＝sinh （x ）cosh （y ）+cosh （x ）sinh （y ）成立．因为函数 y ＝e t ，y ＝﹣e ﹣t 均为[0，ln2]上的增函数，所以 a ≥g （t ） ＝ （ ）＝ ， min故实数 a 的取值范围为[1，+∞）．20．解：（1）对任意 x 1，x 2∈[1，2]，且 x 1＜x 2 时， ∴S ＝2x ＝2≤x 2+（400﹣x 2）＝400，当且仅当x 2＝400﹣x 2，即x ＝10时，S 取最大值400；所以，取BC ＝10 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．（2）由（1）知，取∠BOC ＝时，得到C 点，从而截得的矩形ABCD ，此时截得的矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2． 整理得（e x ）2﹣4e x +1＝0，解得：x ＝ln （2±）．理由：左边＝sinh （x +y ）＝ ，右边＝sinh （x ）cosh （y ）+cosh （x ）sinh （y ）＝ × + ×＝ × + ＝ ，（3）因为t ∈[0，ln2]，则1≤e t ≤2，则a ＝sinh （t ）+cosh （x ）＝ + ，所以a ﹣ ＝ ≥ ＝1，当且仅当x ＝0时取等号，则a ≥ +1有解，故函数g （t ）＝ +1在[0，ln2]上为增函数，由，由，所以 在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又，所以M [1，4]5；＝1 2 1 2 3 kM M M 0 k 1 M [0 a ][a 2a ] k kM M M 1 M 对任意 x ，x ∈[2，4]，且 x ＜x 时，（2）由于 y ＝f （x ）是偶函数，所以 ，则，解得 a ＝2；则，因为，所以，故 b ﹣a 的最大值为．（ ）① 当 ＜ ＜ 时，由于 ＝ ，则 ＜ ，所以 ，[0，a ] [a ，2a ] [0，a ] [a ，2a ]若时，有 M＝sin a ，M＝sin2a ＝2sin a cos a ，， ，所以 sin a ＝2k sin a cos a ，得；若 时，有若时，有若时有若时，有因为，，此时 a 无解；，此时 a 有一解；，此时 a 无解；，所以 sin a ＝k ，若时，此时 a 无解；若时，此时 a 无解；若时，此时 a有一解；②当 ≥ 时，由于 ＝ ，则 ≥ ，所以 ，[0，a ] [a ，2a ] [0，a ] [a ，2a ]有，则，∴2ax +a +b ≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴，∴a ＝0，b ≥0，c ∈R ．1 11 11 10 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 121．（1）证明：由题意得对任意 x ∈R ，f （x ﹣1）≥f （x ），可得 f （x ）≥f （x +1），对任意的 x ∈R ，f （x +1）≥f （x ），∴f （x ）＝f （x +1），∴函数 y ＝f （x ）是周期函数．（2）解：由题意可知，对任意的 x ∈R ，g （x +1）≥g （x ），即 a （x +1）2+b （x +1）+c ≥ax 2+bx +c ，（3）证明：若函数 y ＝h （x ）是周期函数，设其周期为 T （T ＞0），∵函数 y ＝h （x ）是集合 Ah 的 Z ﹣函数，则存在 a ∈（0，1），k ∈N *，使得 ka ≤T ≤（k +1）a ， ∴0≤T ﹣ka ≤a ≤1，0≤（k +1）a ﹣T ≤a ＜1， 对任意的 x ∈R ，h （x ）≤h （x +a ）≤•≤h （x +ka ）≤h [（x +ka ）+T ﹣ka ] ＝h （x 0+T ）＝h （x ）， ∴h （x ）＝h （x +a ）＝•＝h （x +ka ）＝h （x +T ）， ∴对任意的 x ∈[x ，x +T ]，h （x ）＝h （x ），对任意的 n ∈Z ，h （x ）＝h （x +nT ），且 R ＝•∪[x ﹣2T ，x ﹣T ]∪[x ﹣T ，x ]∪[x ，x +T ]∪• ， ∴对任意的 x ∈R ，h （x ）＝h （x ）＝C 为常数， 即”y ＝h （x ）是周期函数“⇒”y ＝h （x ）是常值函数“，若函数 y ＝h （x ）是常值函数，对任意的 x ∈R ，a ∈A ，h （x +a ）≥h （x ）成立，即”y ＝h （x ）是常值函数“⇒”y ＝h （x ）是周期函数“，综上，“y ＝h （x ）是周期函数”的充要条件是“y ＝h （x ）是常值函数”．若k ＝1，则M [a ，2a ] ＝ 1得 或等，若 ，则 或，在上，a 必有两解．综上所述：，即k 的取值范围是（ ，1）．且h （x + ）＝h （x ），∴函数y ＝h （x ）是周期函数，。
2021届交大附中高一数学期末试卷(含答案)
交大附中高一期末数学试卷2021.06一. 填空题1. 设复数12i34i z -=+，则z 的共轭复数z 的虚部是 2. 已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则a 在b方向上的数量投影为3. 在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(2,5)-、(1,4)，若点P 满足2AP PB =-，则点P 的坐标为4. 已知sin(2)y x ϕ=+（其中02ϕπ≤<）是偶函数，且在闭区间[0,]2π上是严格减函数，则实数ϕ的值是5. 设||2a = ，||3b = ，|3|6a b -= ，则向量a 与b的夹角,a b 〈〉=6. 已知向量(2,3)a =- ，点(2,1)A -，若向量AB 与a方向相同，且||AB = ，则点B的坐标为7. 复数sin1icos1-的辐角主值是 8. 函数2tan y x ω=（常数0ω>）在开区间2(,)43ππ-上是严格增函数，则实数ω的取值 范围是9. 设直线l 、m 互相垂直于O ，A 、B 是直线l 上的两个定点，满足2AO OB =，C 、D 是直线m 上的两个动点，满足||2CD = ，若AC BD ⋅的最小值是9-，则||AO =10.设z 1、z 2、z 3在复平面上对应的点分别为A 、B 、C，3(12z =，若1||1z =， 21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为轴对称，若11. 如图所示，半径为1的圆O 内接于正方形ABCD ，点P 是圆O 上的一个动点，点P '与P 关于直线AC 成AQ OP '= ，则||PQ的取值范围是12. 设函数()y f x =的定义域为D ，对于非空集合Y ⊆R ，称集合{|(),}x f x Y x D ∈∈为集合Y 的原像集，记作1()f Y -，设2()2sin(3f x x πω=+，[0,]x π∈，其中ω为实常数，且0ω>，若函数()y f x =在集合1([0,2])f -的值域恰为闭区间[0,2]，则ω的取值范围是二. 选择题13. 将函数2sin(23y x π=+的图像向右平移6π单位，再向上平移1单位，所得函数图像对应的函数表达式为（ ） A. 22sin(213y x π=+- B. 22sin(2)13y x π=++ C. 2sin(216y x π=++ D. 2sin 21y x =+14. 如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+，则实数对(,)x y 可以是（ ）A. 13(,)44 B. 13(,44-C. 22(,)33-D. 17(,55-15. 已知1e 、2e 是平面向量的一组基，设非零向量1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+，给出下列两个命题：① a ∥b1221x y x y ⇔=；② 12120a b x x y y ⊥⇔+= . 则（ ）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对 16. 设n 是正整数，分别记方程1n x =、6(1)1x -=的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A 与B ，若存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，则n 的值可以是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3三. 解答题17. 设复数i z a b =+（其中a 、b ∈R ），1i z z k =+，2i z z k =⋅（其中k ∈R ）. （1）设12a b ==，若12||||z z =，求出实数k 的值； （2）若复数z 满足条件：存在实数k ，使得1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚 数根，求符合条件的复数z 的模的取值范围.18. 设函数()y f x =的表达式为()2cos()cos()44f x x x x ππωωω=+-+，其中 常数0ω>.（1）求函数()y f x =的值域；（2）设实数1x 、2x 满足12||2x x ππω-=<，若对任意x ∈R ，不等式12()()()f x f x f x ≤≤ 都成立，求ω的值以及方程()1f x =在闭区间[0,]π上的解.19. 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE 垂直AB 于点E ，PF 垂直BC 于点F .（1）求向量PD 与EF的夹角,PD EF 〈〉 ；（2）设2||PD PC PC PD PC α⋅=-，点Q 满足2PQ PD α-= ， 证明PC α⊥，并求出当点P 运动时，PQ EF ⋅ 的取值范围.20. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(,),∈C ）视为一个向量，记作12(,)z z αz z 12（z z 12=，类比平面向量可以12z z 定义其运算，两个复向量α=(,) 、12(,)z z β''=的数量积定义为一个复数，记作αβ⋅，满足1122z z z z αβ⋅=+''，复向量α的模定义为||α= .（1）设(1i,i)α=- ，(3,4)β= ，求复向量α 、β的模；（2）设α 、β是两个复向量，证明柯西-布涅科夫斯基不等式仍成立，即||||||αβαβ⋅≤⋅；（3）当||||||αβαβ⋅=⋅ 时，称复向量α 与β平行，设(1i,2i)α=+- ，(i,)z β=()z ∈C ，若复向量α 与β平行，求复数z 的值.21. 若定义域为R 的函数()y h x =满足：对于任意x ∈R ，都有(2)()(2)h x h x h ππ+=+， 则称函数()y h x =具有性质P .（1）设函数()y f x =，()y g x =的表达式分别为()sin f x x x =+，()cos g x x =，判断函数()y f x =与()y g x =是否具有性质P ，说明理由；（2）设函数()y f x =的表达式为()sin()f x x ωϕ=+，是否存在01ω<<以及πϕπ-<<，使得函数sin()y x ωϕ=+具有性质P ？若存在，求出ω、ϕ的值；若不存在，说明理由； （3）设函数()y f x =具有性质P ，且在[0,2]π上的值域恰为[(0),(2)]f f π；以2π为周期的函数()y f x =的表达式为()sin(())g x f x =，且在开区间(0,2)π上有且仅有一个零点，求证：(2)2f ππ=.参考答案一. 填空题 1.25 2. 1153. (4,3)4. 2π5. 1arccos4 6. (2,5)- 7. 312π+ 8. 3(0,]49. 2 10. 11. 12. 11[,)6+∞二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. B 三. 解答题17.（1）1-；（2）(0,1) 18.（1）()2sin(26f x x πω=+，值域[2,2]-；（2）1ω=，0x =、3π、π19.（1）2π；（2）(1,1]-20.（1）||α= ，||5β=；（2）略；（3）31i 22z =+ 21.（1）()y f x =不具有性质P ，()y g x =具有性质P ；（2）不存在；（3）略。
2020_2021学年上海宝山区上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海宝山区上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共6小题，共42分）1.【答案】【解析】【踩分点】设集合，且，则实数的取值范围是 ．或因为集合，且，所以或或．当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，所以实数的取值范围为或．故答案为：或．2.【答案】【解析】设，，为正实数，则的最小值为 ．设，，，则，，，则，，，，，当且仅当，即时取得等号，【踩分点】所以的最小值为：．故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若函数的解析式为，则．若为有理数，则，所以，若是无理数，则，则．故答案为：．为有理数为无理数4.【答案】【解析】【踩分点】若函数的解析式为，则．因为，所以，则．故答案为：．5.【答案】【解析】所有到之间且分母不大于的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为 ．结合题意，把分成份，【踩分点】故所求的数在之间，，，故所求的数在之间，而不合题意，故分母小于时均不合题意，故的后一项是．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】已知，为正实数，则的取值范围是 ．．令， ，则．令，化为，解得或（舍去）．∴时，函数单调递减；时，函数单调递增．又，，时，．∴，∴的取值范围是．二、选择题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）7.已知，则“”是“且”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】B 由且，得，所以“”是“且”的必要条件；不妨令，，，，，而，因而“”不是“且”的充分条件．故选．三、解答题8.A.B.C.D.【答案】【解析】已知，为多项式，若，那么的各项系数和可能为（ ）．A 由题意得的表达式是二次式，设，∴，∴，解得，∴．故选．（本大题共3小题，共42分）9.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知为一个给定的实数，函数．若，为正实数，利用单调性的定义证明：“”是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件．若函数，无最小值，求实数的取值范围．证明见解析．．证明：时，，（充分性）：若，设，则，所以，故函数在区间上是严格减函数；（必要性）：若函数在区间上是严格减函数，设，则，因为，，所以，所以．综上，“”是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件．当时，根据对勾函数的性质知，函数在时取得最小值，不符合题意；当时，在上单调递增，没有最小值，符合题意．故．【踩分点】10.【答案】【解析】【踩分点】求证：二次函数可以表示为两个在上严格增的多项式函数的差．证明见解析．∵是在上严格增的多项式函数，且也是在上严格增的多项式函数，显然，二次函数，∴二次函数可以表示为两个在上严格增的多项式函数的差．11.12（1）（2）12（1）（2）【答案】12（1）（2）【解析】若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”．判断下列两个数列是否是跳跃数列：等差数列：，，，，，．等比数列：，，，，，．跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围．不是．是．．根据“跳跃数列”的定义，得：等差数列：，，，，，不是跳跃数列．根据“跳跃数列”的定义，得：等比数列：，，，，，是跳跃数列．①，②，∴①②得：，①若，则，此时；②若，则，此时．若，则，∴；若，则，∴．∴，此时对任何正整数，均有．【踩分点】。
上海交通大学附属中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三数学期末考试试卷(满分150分,120分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上)一､填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,其中1-6题每题填对得4分,7-12题每题填对得5分,否则一律得零分｡1.设A={x|1≤x≤3}, B={x|m+1≤x≤2m+4,m∈R},A⊆B,则m的取值范围是_____.2.已知复数2i zi-=(i是虚数单位),则|z|=_____.3.已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之和,则x=_____.4.若x>1,则函数211x xyx-+=-的最小值为_____.5.方程1g x+1g(7- x)=1的解集为______.6.已知点A(-1,1)､B(2,-2),若直线l:x+my+m=0与线段AB相交(包含端点的情况),则实数m的取值范围是_____.7.函数2()22(0)f x x x x=-+≤的反函数是_____.8.行列式3sin tan()4cos tan()2x xx xππ-+在x∈R中的最小值为_____.9.某小区有8个连在一起的车位,现有4辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法共有____种.10.已知某缺角棱柱的三视图(单位cm)如图所示,则该几何体的体积为____.11.已知平面直角坐标系中两点1212(,)(,)A a aB b b、,O为原点,有12211||,2AOBS a b a b∆=-设112233(,)(,)(),M x y N x y P x y、、是平面曲线2224x y x y+=-上任意三点,则12212332T x y x y x y yx=-+-的最大值为_____.12.由“无穷等比数列各项的和"可知,当0<|x|<1时,有21111nx x xx-+++++=-,若对于任意的10||,2x <<都有220122(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+,则11a =_____.二､选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得5分,否则一律得零分｡13.设a,b 为实数,则"0<ab<1"是“1b a <”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足a b c b a b cc -+≤+-，则角A 的范围是 .(0,]6A π .(0,]3B π π.[,)6C π .{,}3D ππ 15.已知无穷数列{}n a 满足*21||(),n n n a a a n ++=-∈N 且121,(),a a x x ==∈Z若数列{}n a 的前2020项中有100项是0,则下列哪个不能是x 的取值.( )A.1147B.1148C.-1142D.-114316.已知函数22()|6131029f x x x x x =-+--+|,给出下列四个判断:①函数f(x)的值域是[0,2];②函数f(x)的图像是轴对称图形;③函数f(x)的图像是中心对称图形;④方程3[()]2f f x =有实数解｡其中正确的判断有A.1个B.2个C.3个D.4个 三､解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤｡17.(本题满分14分第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图,AB 是圆柱体1OO 的一条母线,已知BC 过底面圆的圆心O 的条直径,D 是圆O 上不与点B,C 重合的任意一点,AB=5, BC=5,CD=3.(1)求直线AC 与平面ABD 所成角的大小;(2)将四面体ABCD 绕母线AB 旋转一周,求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数()33)(x x f x R λλ-=+⋅∈.(1)根据λ的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)若不等式f(x)≤6在x ∈[0,2]上恒成立,求实数λ的取值范围.19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,地面形状如图所示,已知已有两面墙的夹角为π3(即),3ACB π∠=墙AB 的长度为6米(已有两面墙的可利用长度足够大),记∠ABC=θ.(1)若,4πθ=求△ABC 的周长(结果精确到0.01米);(2)为了使小动物能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室面积即△ABC 的面积尽可能大.问当θ为何值时,该活动室面积最大?并求出最大面积.20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线C:22221x y a b-=(a>0,b>0)的右顶点,直线x+2y+1=0与C 的一条渐近线平行.(1)求C 的方程;(2)如图,12F F 、为C 的左右焦点,动点00(,)P x y 0(1)y ≥在C 的右支上,且12F PF ∠的平分线与x 轴､y 轴分别交于点(,0)(55)M m m -<、N ,试比较m 2,并说明理由;(3)在(2)的条件下,设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D ､E 两点,求2F DE ∆的面积最大值.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分8分) 对于一组向量3*12,,,,(,3)n a a a a n n ∈≥N ,令123,n n S a a a a =++++,如果存在({1,2,3,}),p a p n ∈使得||||,p n p a S a ≥-那么称p a 是该向量组的“h 向量”.(1)设*(,)(),n a n x n n =+∈N 若3a 是向量组123,,a a a 的“h 向量”,求实数x 的取值范围;(2)若1*1((),(1))(,3)3n n n a n N n -=-∈≥,向量组123,,,n a a a a 是否存在“h 向量”?给出你的结论并说明理由; (3)已知123a a a 、、均是向量组123,,a a a 的“h 向量”,其中1(sin ,cos ),a x x =2(2cos ,2sin ).a x x =设在平面直角坐标系中有一点列123,,n Q Q Q Q 满足:1Q 为坐标原点,2Q 为3a 的位置向量的终点,且21k Q +与2k Q 关于点1Q 对称,22k Q +与*21(k Q k N +∈)关于点2Q 对称,求20212022||Q Q |的最小值.。
2020-2021学年上学期上海交通大学附属中学高一期末数学加试试卷(2021.1)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期末考试加试试卷(满分100分，60分钟完成答案一律写在答题纸上)一、填空题(前三题每题6分，后三题每题8分，共42分)1.设集合{}260,M x x mx x R =-+=∈∣,且{2,3}MM =，则实数m 的取值范围是____.2.设,,a b c 为正实数，则a b c b c c a a b+++++的最小值为__________. 3.若函数y= f(x)的解析式为()0,?1,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,则[()]f f x =_______. 4.若函数()y f x =的解析式为()f x =则(2021)(2020)(1)(0)(1)(2)(2021)f f f f f f f -+-++-+++++=___________.5.所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则35的后一项为_________.6.已知,a b的取值范围是_____________. 二、选择题(每小题8分，共16分)7.已知0h >,则“||2a b h -<"是“|1|?a h -<且 |1|b h -<的( )(A)充分非必要条件:(B)必要非充分条件:(C)充要条件:(D)既非充分又非必要条件。
8.已知2()34f x x x =-+,()g x 为多项式，若432(())318506948f g x x x x x =++++,那么()g x 的各项系数和可能为( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11三、解答题(共3题，共42分)9.(本题满分16分，其中第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分) 已知a 为一个给定的实数，函数a y x x=+ (1)若1,a t =为正实数，利用单调性的定义证明:“01t <≤"是“函数a y x x =+在区间(0,]t 上是严格减函数”的充要条件:(2)若函数a y x x=+,(0,)x ∈+∞无最小值，求实数a 的取值范围.10.(本题满分10分)求证:二次函数2y x =可以表示为两个在R 上严格增的多项式函数的差11. 若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210(N )*+++-->∈i i i i a a a a i ，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列： ,,,,,54321；② （2）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有，求首项1a 的取值范围.。
2023-2024学年上海交大附中高一下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1交大附中2023-2024学年第二学期高一年级数学期末2024.06一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．平面直角坐标系中，以()2,1−为圆心，且经过原点的圆的方程为__________． 2．*在复数范围内方程2230x x −+=的解为__________．3．*若等差数列{}n a 的前三项依次为1，1a +，3a +，则实数a 的值为__________． 4．若数列{}n a 的前n 项和32n S n n =−，则10a =__________． 5．*已知2a b == ，2a b ⋅= ，则,a b = __________． 6．已知()1,1a=− ，()2,0b = ，则b 在a方向上的投影的坐标为__________． 7．直线1l ：21y x =−与2l ：123yx =+的夹角为__________． 8．*将无限循环小数化为分数：0.31= __________． 9．已知ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2AB AC AO += ，AB AO =，则CA CB ⋅= __________． 10．计算：19791cos180k k =π=∑__________． 11．当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务．平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．已知旧家具的形状为长方体．小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记旧家具在地面的投影为矩形EFGH ，其中宽度 1.2EH =米．请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF 为__________米（结果精确到0.1米）．212．已知n 是大于3的正整数，平面直角坐标系xOy 中，正n 边形12n P P P 内接于单位圆．若集合{}|,1,2,,i S P PO PP i n =≤= ，则集合S 表示的平面区域的面积为__________（结果用n 表示）二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．） 13．已知复数z 满足11z −=，z 的取值范围为（ ） A ．[]0,2B ．()0,2C ．[]0,4D ．()0,414．在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为A ； 将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为B ； 将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为C ． 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B C ==B ．C B A ⊂⊂C ．A B C ⊂⊂D ．B C A ⊂⊂15．已知向量a 、b 、c满足0a b c ++= ，且222a b c << ，则a b ⋅ 、b c ⋅ 、a c ⋅ 中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定16．若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n N ∈，2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a −−−= （其中{}121max ,,,n a a a − 表示121,,,n a a a − 中的最大项），有以下结论： ①若数列{}n a 是常数列，则()0,1n a n N n =∈≥；②若数列{}n a 是公差0d ≠等差数列，则0d <；③若数列{}n a 是等比数列，则公比1q >；④若存在正整数T ，对任意n N ∈，1n ≥，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项．则其中的正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．）17．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分） 已知复数()()22z a a i =−++，其中i 为虚数单位，a R ∈ （1）若16z z ⋅=，求实数a 的值：（2）求2z −的最小值，并指出2z −取到最小值时实数a 的值．18．（本题满分14分，第（1）题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分6分） 已知函数()y f x =，其中()()sin f x x =ω+ϕ，（0ω>，02≤ϕ<π） *（1）若1ω=，0ϕ=，在用“五点法”作出函数()y f x =，[]0,2x ∈π的大致图像的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0 ()f x（2）若2ω=，3πϕ=，写出函数()y f x =的最小正周期和单调增区间．（3）若()y f x =的频率为1π，且()2f x f π≤恒成立，求函数()y f x =的解析式．19．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P 处．20=．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边BC kmAB km=，10界）且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA、OB、OP．记排污管道的总长度为ykm．（1）设BAOθ，将y表示成θ的函数并求其定义域；∠=（2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y最短，并求出此时y的值．420．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）如图，平面直角坐标系xOy中有一张圆形纸片（不计厚度），圆心为坐标原点O，OA是圆形纸片的一条半径，其中点()2,0A，点B是线段OA的中点．在圆形纸片的边界上任取一点P，将纸片对折，使得P与B重合，展开后得到的折痕为线段MN（端点M、N在纸片边界上）：（1）若点P与点A重合，求折痕MN所在直线的方程；（2）若PB OA⊥，且点P在第一象限，求线段MN的长度；（3）求线段MN的长度的取值范围．5621．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分） 若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．（1）若23n a n =+，()3,1n b n N n =∈≥，判断数列{}n a 与{}n b 是否为周期数列（不必说明理由）；（2）若()1sin ,1n n a a n N n +=∈≥，且数列{}n a 为周期数列，求该数列的首项1a ； （3）设函数()y f x =的实数集R ，且()1f x ≤对任意实数x 恒成立．{}n b 是无穷数列，()()1,1n n n a f a b n N n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．7参考答案一、填空题1.()()22215x y ++−=; 2.1±; 3.2; 4.252; 5.3π; 6.()1,1−; 7.;4π 8.3199; 9.3; 10.0； 11.2.6 12.tan4n ππ 二、选择题13.A 14.C 15.B 16.D15．已知向量a 、b 、c满足0a b c ++= ，且222a b c << ，则a b ⋅ 、b c ⋅ 、a c ⋅ 中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定【答案】B 【解析】因为0a b c ++= , 所以()b ac =−+,所以()()()()220a b b c b a c a c a c a c ⋅−⋅=⋅−=−+−=−−> ,所以a b b c ⋅>⋅, 同理可得,a c b c ⋅>⋅,故b c ⋅ 最小.故选B .16．若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n N ∈，2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a −−−= （其中{}121max ,,,n a a a − 表示121,,,n a a a − 中的最大项），有以下结论： ①若数列{}n a 是常数列，则()0,1n a n N n =∈≥；②若数列{}n a 是公差0d ≠等差数列，则0d <；③若数列{}n a 是等比数列，则公比1q >；④若存在正整数T ，对任意n N ∈，1n ≥，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项．则其中的正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】由题意,21120a a a a −=⇒=或212a a =,对于①：若数列{}n a 是常数列, 则21100n a a a a ==⇒==, 故①正确;8对于②: 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列, 则10d a =>或10d a =−<, 若10d a =>, 则{}n a 是递增数列,由{}321122a a a max a ,a a −== , 得{321a a max a −≠,}2a , 故不满足, 若10d a =−<, 则{}n a 是递减数列,{}11121.n n n a a d a max a ,a a −−−=−==…, 故②正确; 对于③: 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列, 则212,2,a a q ==因为10a …,所以{}n a 是递增数列, 则{12max a ,a , .}21112,n n n a a a −−−…==⋅ 所以1221111222,n n n n n a a a a a −−−−−=⋅−⋅=⋅所以{}1121n n n a a max a ,a ,a −−−=…, 故③正确; 对于④：当10a =时, 若存在正整数T , 对任意*n N ∈, 都有n T n a a +=成立,当10a >时, 数列{}n a 不可能为常数列, 故212,a a =此时数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，假设1a 不是数列{}n a 的最大项, 在12,,T a a a …中, 一定存在这一最大项(1,*)i a i T i N <∈…, 由21211121{,,},T T i T a a a a a a max a a a +++−=−=<=…所以假设不成立, 即1a 一定是数列{}n a 的最大项,故④正确.故选D . 三．解答题17.（1）2± （2）1−18.（1）略（2）,T =π增区间51,,1212k k k zπ−ππ+π∈ （3）3sin(2)cos 22y x x =+π=−19.（1）2010sin 10,0cos 4y −θπ=+≤θ≤ θ（2）点O 在AB 的中垂线上，在矩形区域内距离边km 处，使排污管道的总长度y 最短,为10+20．（1）32x =（2（3）21．（1）n a 不是，n b 是（2）0 （3）略。