甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高三9月月考数学试题
《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e x f x --=-1()f x =-，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =______________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=．【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式；（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；（2）奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．2．判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 3．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 4．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 5．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．6．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 7．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 8．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 9．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 10．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 12．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 13．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -=C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解． 【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，利用当0＜x＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④ ，为非奇非偶函数； 故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断 与 的关系． 29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 ， ．若偶函数 满足 （其中 ， 为常数），且最小值为1，则 ______________． 【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定 ，利用基本不等式求最值，确定 的值，即可得到结论． 【解析】由题意， ， ， 为偶函数， ， ， ， ， ， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________．【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f=，则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
《高考真题》专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-．若(l n2)8f =，则a =______________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中 ，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x =C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数， 当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增， 且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可． 【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】 【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()233f ===， ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解． 【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足 ，代入函数求值即可． 【解析】 对一切 且 恒成立．恒成立，恒成立．， ．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当时， ，则______________． 【答案】【分析】根据 是周期为4的奇函数即可得到 ＝f (﹣8 )＝f ( )＝﹣f ()，利用当0＜x ＜2时，＝4x，求出，再求出 ，即可求得答案．【解析】∵ 是定义在R 上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系．29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________． 【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=， 可得(4)0f =，则20191(1)(2)(019))(2i f i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f =+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f ++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数 与 都是定义在 上的奇函数，当 时， ，则的值为______________． 【答案】2【分析】根据题意，由 是定义在R 上的奇函数可得 ，结合函数为奇函数，分析可得 ，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得 的值，相加即可得答案． 【解析】根据题意 是定义在R 上的奇函数，则 的图象关于点（﹣1，0）对称， 则有 ，又由 是R 上的奇函数，则 ，且 ，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案
数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。
2020年高考理科数学之高频考点解密17 直线与方程(解析版)
解密17直线与方程考点1 直线方程题组一直线的倾斜角与斜率调研1 已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则1sin22α=A．310B．35C．−310D．110【答案】A【解析】直线3x -y +1=0的倾斜角为α，∴tan α=3， ∴22211sin cos tan 33sin22sin cos 22sin cos tan 19110a αααααααα=⋅====+++. 故选A ．调研2 已知直线l 平分圆22:6620C x y x y +-++=的周长，且直线l 不经过第三象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围为A ．90135⎡⎤⎣⎦o o， B ．90120⎡⎤⎣⎦o o， C ．60135⎡⎤⎣⎦o o ，D ．90150⎡⎤⎣⎦o o ，【答案】A【解析】圆22:6620C x y x y +-++=的标准方程为()()223316x y -++=，故直线l 过圆C 的圆心()3,3-，因为直线l 不经过第三象限，结合图象可知，tan 1θ≤-，90,135θ⎡⎤∈⎣⎦o o.故选A ．调研3 若点A(2，2√2)在抛物线C:y 2=2px 上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A ．4B ．3C ．D 【答案】C【解析】将A 坐标代入抛物线方程得(2√2)2=2p ⋅2，p =2，故焦点坐标F(1，0)，直线AF 的斜率为2√2−02−1=2√2，故选C ． 题组二 直线的方程调研4 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为A ．230x y +-=B ．230x y -+=C ．230x y --=D ．230x y -+=【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2，∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（x ﹣1），即x ﹣2y +3=0． ∵AC =BC ，∴ABC △的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此ABC △的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0． 故选D ．【名师点睛】本题考查了欧拉线方程的概念，等腰三角形的性质，三角形的外心、重心、垂心的性质，考查了推理能力与计算能力，本题解题的关键是利用好欧拉线的几何性质实现几何问题的代数化.调研5 若直线ax +by =ab(a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为 A ．1 B ．4 C ．2 D ．8【答案】B【解析】因为直线ax +by =ab 过点(1，1)，所以a +b =ab ，1a +1b =1，因为直线在x 轴的截距为b ，在y 轴上的截距为a ，所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为a +b ，a +b =(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√b a ∙ab =4，所以当a =b =2时取最小值，最小值为4，故选B ．调研6 已知实数m ，n 满足2m −n =1，则直线mx −3y +n =0必过定点________________． 【答案】(−2，−13)【解析】由已知得n =2m −1，代入直线mx −3y +n =0得mx −3y +2m −1=0， 即(x +2)m +(−3y −1)=0，由{x +2=0−3y −1=0 ，解得{x =−2y =−13，∴直线必过定点(−2，−13)．☆技巧点拨☆1．解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯. 2．求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况.考点2 直线的位置关系题组一 垂直与平行的判定调研1 已知直线l 的倾斜角为2π3，直线1l 经过(P -，(),0Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则实数m 的值为 A ．─2B ．─3C ．─4D ．─5【答案】D【解析】∵11l l k k ⋅==-，∴5m =-，故选D ．调研2 过点(2，1)且与直线3x −2y =0垂直的直线方程为 A ．2x −3y −1=0 B ．2x +3y −7=0 C ．3x −2y −4=0 D ．3x +2y −8=0【答案】B【解析】设要求的直线方程为2x +3y +m =0，把点（2，1）代入可得4+3+m =0，解得m =-7． 可得要求的直线方程为2x +3y −7=0. 故选B ．调研3 m =4是直线mx +(3m −4)y +3=0与直线2x +my +3=0平行的 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】当m =4时，两直线方程分别为：4x +8y +3=0，2x +4y+3=0，满足直线平行； 当m =0时，直线方程分别为：y =34，x =−32，两直线不平行；当3m -4=0，即m =43时，直线方程分别为x =−94，2x +43y +3=0，两直线不平行； 由直线mx +（3m −4）y +3=0与直线2x +my +3=0平行，可知两直线斜率相等， 即−m 3m−4=−2m ，解得m =2或m =4；当m =2时，两直线重合，故“m =4”是“直线mx +（3m −4）y +3=0与直线2x +my +3=0平行”的充要条件． 故选C ．调研4 已知0b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线210x b y --=互相垂直，则ab 的最小值为 A ．1 B ．2C ．D ．【答案】B【解析】由题知，b ＞0，且两条直线的斜率存在，因为直线2(1)20b x ay +++=与直线210x b y --=互相垂直，所以2210b ab （）+-=，当且仅当b =1时取等号. 故选B.☆技巧点拨☆由两直线平行或垂直求参数的值在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.题组二 距离问题调研5 当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为A B ．0 C ．1- D ．1【答案】C【解析】直线120mx y m -+-=过定点Q (2，1)，所以点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，PQ C ． 调研6 若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 A ．3 2 B ．2 2 C ．3 3D ．4 2【答案】A【解析】依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线， 则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0， 根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.调研7 若直线1:240l x y -+=与2:430l mx y -+=平行，则两平行直线1l ，2l 间的距离为______.【解析】若直线l 1：x ﹣2y +4＝0与l 2：mx ﹣4y +3＝0平行，则有43124m -=≠-，求得m ＝2， 两直线即 l 1：2x ﹣4y +8＝0与l 2：2x ﹣4y +3＝0， 则两平行直线l 1，l 22=，☆技巧点拨☆在运用两平行直线间的距离公式：d =一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．题组三 对称问题调研8 已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0【答案】A【解析】由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1， 所以直线l 的斜率k ＝1PQk -＝1. 又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 故选A.调研9 若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点 A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(2,4)- D ．(4,2)-【答案】B【解析】直线1:(4)l y k x =-恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2).☆技巧点拨☆对于对称问题，要分清是轴对称还是中心对称，解决的根本办法是转化为点与点之间的对称，利用坐标转移法．题组四 直线方程与线性规划问题调研10 设点()()1,0,2,1A B ，若直线10ax by +-=与线段AB 有一个公共点，则22a b +的最小值为________________． 【答案】15【解析】因为直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，所以点()()1,0,2,1A B 在直线1ax by +=的两侧，所以()()1210a a b -+-≤，即10210a a b -≤⎧⎨+-≥⎩或10210a a b -≥⎧⎨+-≤⎩，画出它们表示的平面区域，如图所示，22a b +表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线210a b +-=的距离即原点O 到区域内的点的距离的最小值，因为d ==22a b +的最小值为215d =.调研11 已知实数x 、y 满足{2x +y −2≥0x −2y +4≥03x −y −3≤0 ，若y ≥k(x +1)−1恒成立，那么k 的取值范围是A ．[12，3] B ．(−∞，43] C ．[3，+∞) D ．(−∞，12]【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，则由图象知x ≥0，由不等式≥k(x +1)−1恒成立， 得k （x +1）≤1+y ，即k ≤y+1x+1，设z =y+1x+1，则z 的几何意义是区域内的点到定点A （﹣1，﹣1）的斜率， 由图象知AN 的斜率最小，此时z 的最小值为z =0+11+1=12，即k ≤12， 即实数k 的取值范围是（﹣∞，12]，故选D ．☆技巧点拨☆本题考查了简单的线性规划的应用，其中解答中涉及二元一次不等式组所表示的平面区域，函数的最值及其几何意义等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，其中准确把握点与直线的位置关系，找到平面区域内的“界”是解答此类问题的关键．1．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考）直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行，则a 的值为 A ．12B ．12或0 C ．0D ．－2或0【答案】A【解析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行，则1()2(1)0a a a ⨯---=，解得0a =或12a =， 又0a =Q 时，直线10x -=与10x -+=表示同一条直线，故12a =.故选A ．2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学）当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为 A ．3 B ．0 C ．1-D ．1【答案】C【解析】直线120mx y m -+-=可化为()21y m x =-+，故直线过定点()2,1Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故2111,132PQ m k m m m -⋅=⋅=⋅=-=--，故选C ． 3．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）过点（1，0）且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是 A ．x -2y -1=0 B ．x -2y +1=0 C ．2x +y -2=0D ．x +2y -1=0【答案】A 【解析】设与直线平行的直线方程为20(2)x y c c -+=≠-，将点代入直线方程，可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．4．（福建省福州市师范大学附中2019-2020学年高三上学期期中数学）“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1a =时，直线(21)10a x ay +++=的斜率为3-，直线330ax y -+=的斜率为13， 两直线垂直；当0a =时，两直线也垂直，所以“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的充分不必要的条件，故选A ． 5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019-2020学年高三上学期第三次模拟数学）已知圆C 的方程为226290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到点M 的最小距离为A．2 B．2C．2D ．12【答案】C【解析】因为圆C 的方程为226290x y x y +-++=，所以其圆心坐标为(3,1)C -， 又M 在直线10x y +-=上，所以求圆心C 到点M 的最小距离，即是求圆心C 到直线10x y +-=的距离d ，由点到直线的距离公式可得2d ==故选C. 6．（广东省广东实验中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学）已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则21x y x +++的取值范围是A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题得不等式组对应的可行域如图所示，211(1)111(1)x y x y y x x x +++++--==+++--，(1)(1)y x ----表示可行域内的点(x ,y )和点D （-1，-1）的连线的斜率，由图可知，max min 1(1)0(1)12,0(1)1(1)2BD CD k k k k ----======----，所以21x y x +++的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为B.7．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【答案】D【解析】因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=或4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=分别平行时，23m =，或43-，直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点时，23m =-，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，故选D ． 8．（江西省名师联盟2019届高三5月内部特供卷）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A 1-B ．1C ．D【答案】A【解析】设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为2(,)22a b +，AA bk a 2'=-， 故•(1)122322ba ab ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A '到军营最短的距离， 则“将军饮马”11-=-，故选A ．9．（广西柳州市高级中学2019-2020学年高三上学期第二次统测数学）设,x y 满足约束条件2103230360x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z =的最小值为A ．1B．5CD【答案】D【解析】作出约束条件2103230360x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，如图所示，由图知z =的最小值为原点(0,0)到直线210x y -+=的距离，5=.故选D．10．（湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学）已知P是椭圆22:14x yEm+=上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为1k，()212k k k≠，若12k k+的最小值为1，则实数m的值为A．1B．2C．1或16D．2或8【答案】A【解析】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y--，''00'0012',y y ykx x xkyx-+==-+，则''00''21y y y yx x x xk k+=+-+-+≥===，1m∴=，故选A.11．（湖北省武汉市武昌区2019届高三五月调研考试数学）已知点(3,3)P-，过点(3,0)M作直线，与抛物线24y x=相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，则12k k+=_________.【答案】-1【解析】设直线x＝my+3，联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣12＝0，设A（214y，y1），B（224y，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣12，则121212222212123341241212123344y y y yk ky y y y----+=+=+++++11212148124121441212y y y y ---=+++=2111221141241212y y y y y ---+=-++1． 故答案为﹣1．12．（四川省南充高中高2019-2020学年高三上学期第四次月考数学）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12l l 和，分别交曲线C 于点,A B 和,K N ．设线段AB ，KN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【解析】（1）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离. 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为：24y x =.（2）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 交于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k kk k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=.于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .13．（宁夏石嘴山市第三中学2019-2020学年高三第四次高考适应性考试数学）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2，右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点P Q 、，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值.【解析】（1）由题意可知22c =，故1c =， 又ce a=，∴a =1b =， ∴椭圆方程为2212x y +=．（2）由题意得，当直线PQ 的斜率不存在时，不符合题意；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ的方程为(y k x =，即y kx =--由2212y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得())2222124820k x k k x k k +-++++=，∵直线与椭圆交于两点，∴()4810k ∆=-+>，解得18k <-． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则)212212k k x x k++=+，2122482·12k k x xk++=+，又)A，∴12421AP AQ k x k x x x k k k +-+====.即直线AP ，AQ 的斜率之和为定值.14．（广东省百校联考2019届高三高考模拟）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点()23P ，在椭圆C 上，且PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于A B ，两点，交直线8x =于点M ．判定直线PA PM PB ，，的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【解析】（1）因为点()23P ，在椭圆C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =， 由22224914a b a b +=-⎧⎪⎨⎪⎩=，得221612a b ==⎧⎪⎨⎪⎩，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为()2y k x =-，令8x =，得M 的坐标为()86k ，． 由()22116122x y y k x +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得()()222243161630k x k x k +-+-=． 设()()1122A x y B x y ，，，，则()22121222163164343k k x x x x k k -+==++，．① 设直线PA PM PB ，，的斜率分别为123k k k ，，， 从而12123123363122822y y k k k k k x x ---====----，，． 因为直线AB 的方程为()2y k x =-，所以()()112222y k x y k x =-=-，， 所以()1212121212121212123341132322222224y y y y x x k k k x x x x x x x x x x ⎛⎫--+-+=+=+-+=-⨯ ⎪-------++⎝⎭．② 把①代入②，得()221222221644323211633244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++． 又312k k =-，所以1232k k k +=， 故直线PA PM PB ，，的斜率成等差数列．1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=u u u u v u u u vA ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点(2,0)-且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+，与抛物线2:4C y x =联立，消去x 可得2680y y -+=，解得(1,2)M ，(4,4)N ，又(1,0)F ，所以(0,2)FM =u u u u v ，(3,4)FN =u u u v ，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选D ．2．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.3．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+22222212244448816k k k k ++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号．故选A ． 4．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．（2018新课标全国Ⅰ理科）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________________． 【答案】6【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由32z x y =+可得3122y x z =-+，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由220x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ，此时max 3206z =⨯+=．6．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y =-的最小值为________________． 【答案】5-【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小， 所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 7．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．323AP PB =u u u r u u u r由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.8．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==. 因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±. 当t =0时，S =3；当1t=±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.9．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，，P 4（1C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=. （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t），（t，）.则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.10．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠． 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--． 将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=． 所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+， 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．11．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ， 则222212121,14343y x y x +=+=． 上述两式相减，并由1221y x y k x -=-可得1122043y x y k x +++⋅=． 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =， 从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ， 同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ， 故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r 成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ．① 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+， 代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||d =．。
2018-2019学年甘肃省兰州一中高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年甘肃省兰州一中高一(下)期中数学试卷(解析版)2018-2019学年甘肃省兰州一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若角420°的终边上所在直线上有一点（-4，a），则a的值是（）A. 4√3B. −4√3C. ±4√3D. √33.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A. 49B.13C.29D.194.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A. 0B. 2C. 4D. 145.圆x2+y2-4x=0在点P（1，√3）处的切线方程是（）A. x+√3y−2=0B. x−√3y+2=0C. x−√3y+4=0D. x+√3y−4=06.设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是（）A. 13B. 13.5C. 14D. 14.57.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y=1的概率为（）A.16B.536C.112D.128.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y^=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心(x−,y−)C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg9.点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. (x−2)2+(y+1)2=1B. (x−2)2+(y+1)2=4C. (x+4)2+(y−2)2=1D. (x+2)2+ (y−1)2=110.在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A. 16B.13C.23D.4511.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.1512.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A. 7B. 9C. 10D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有______个．14.已知图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随同地措施1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗．则可以估计出阴影部分的面积约为______．15.如果执行如图的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输出A，16.17.18.据的平均数、中位数、众数；（3）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？19.已知圆C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点，（1）求y−2x−1的最大、最小值；（2）求x-2y的最大、最小值．20.已知函数f（x）=-x2+ax-b．（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．（2）若a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，求f（1）＞0成立时的概率．21.已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，∴sinθcosθ＜02cosθ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0∴θ是第二象限的角．故选：B．根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值大于0，余弦值小于0，得到角是第二象限的角．本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围．2.【答案】B【解析】解：420°终边在第一象限，而点（-4，a）在420°终边所在直线上，所以（-4，a）在第三象限；所以有：tan（420°-180°）=；得到a=-4，故选B．先确定420°终边所在直线，进而确定所求点坐标．本题主要考查了用诱导公式化简求值的问题．属基础题．3.【答案】D【解析】解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P（A）=故选：D．先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数4.【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a 的值为2．本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：圆的标准方程为（x-2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），∵直线和圆相切于点P（1，），∴CP的斜率k==-，则切线斜率k=，故切线方程为y-=（x-1），即x-y+2=0，故选：B．根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1圈：S=1×3，i=5，第2圈：S=1×3×5，i=7，第3圈：S=1×3×5×7，i=9，第4圈：S=1×3×5×…×9，i=11，第5圈：S=1×3×5×…×11，i=13，第6圈：S=1×3×5×…×13，i=15，退出循环其中判断框内应填入的数要大于13且小于等于15，则在横线①上不能填入的数是选A，故选：A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．本题考查循环语句．解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵log2X Y=1∴Y=2X，满足条件的X、Y有3对而骰子朝上的点数X、Y共有36对∴概率为=故选：C．先转化出X、Y之间的关系，计算出各种情况的概率，然后比较即可．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．8.【答案】D【解析】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x-85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170-85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．根据回归方程为=0.85x-85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x-4）2+（2y+2）2=4，化简得（x-2）2+（y+1）2=1．故选：A．设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．10.【答案】C【解析】解：设AC=x，则BC=12-x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12-x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选：C．设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题11.【答案】B【解析】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．共5组随机数，∴所求概率为=0.25．故选：B．由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．12.【答案】C【解析】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21．由451≤30n-21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21，由451≤30n-21≤750 求得正整数n的个数．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．13.【答案】15【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3，∵红球有21个，∴黑球有0.3×=15，故答案为：15．在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1-0.42-0.28，得到结果．本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．14.【答案】33【解析】解：∵矩形的长为12，宽为5，则S矩形=60∴==，∴S阴=33，故答案：33．由已知中矩形的长为12，宽为5，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积．本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，构造关于S阴影的方程，是解答本题的关键．15.【答案】30【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数，其中A为a1，a2，…，a N中最大的数，B为a1，a2，…，a N中最小的数，可得：A-B=98-68=30．故答案为：30．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a N中最大的数A和最小的数B，即可计算得解．本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于基础题．16.【答案】(512，34]【解析】解：可化为x2+（y-1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x-2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（-2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP ==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．17.【答案】解：（I ）抽样比为621+14+7=17，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×17=3，14×17=2，7×17=1（II ）（i ）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a 、b ，大学记为A 则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a }，{1，b }，{1，A }，{2，3}，{2，a }，{2，b }，{2，A }，{3，a }，{3，b }，{3，A }，{a ，b }，{a ，A }，{b ，A }，共15种（ii ）设B ={抽取的2所学校均为小学}，事件B 的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种， ∴P （B ）=315=15 【解析】（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i ）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii ）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题18.【答案】解：（1）由题意，x −=16（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，y −=16（90+84+83+80+75+68）=80； ∵y =x +，=-20 ∴80=-20×8.5+， ∴=250 ∴=-20x +250． （2）设工厂获得的利润为L 元，则 L =x （-20x +250）-4（-20x +250）=-20(x −334)2+361.25， ∴该产品的单价应定为334元时，工厂获得的利润最大． 【解析】（1）利用回归直线过样本的中心点（，），即可求出回归直线方程；（2）设工厂获得利润为L 元，利用利润=销售收入-成本，建立函数关系，用配方法求出工厂获得的最大利润．本题考查了回归分析，考查了二次函数的应用问题，是基础题目．19.【答案】解：（1）作出频数分布表，如下：分组频数 频率[0，0.5） 4 0.04 [0.5，1） 80.08[1，1.5）150.15[1.5，2）220.22[2，2.5）250.25[2.5，3）140.14[3，3.5）60.06[3.5，4）40.04[4，4.5]20.02合计100 1.00（2）由频率分布表画出频率分布直方图，如下：由频率分布直方图得这组数据的平均数为：x−=0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25 +2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02．∵[0，2）的频率为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49，[2，2.5）的频率为0.25，∴中位数为：2+0.5−0.490.25×0.5=2.02，众数为：2+2.52=2.25．（3）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．【解析】（1）由100位居民的人均月用水量（单位：t）的分组及各组的频数能作出频数分布表．（2）由频率分布表能画出频率分布直方图，由频率分布直方图能求出这组数据的平均数、中位数、众数．（3）大约有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．本题考查频率分布表、频率分布直方图的作法，考查平均数、中位数、众数的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布表、频率分布直方图的性质的合理运用．20.【答案】解：（1）设k=y−2x−1，则y-2=kx-k，即直线方程为kx-y+2-k=0，∵P（x，y）为圆C上任一点，∴则圆心（-2，0）到直线的距离d==≤1，即|2-3k|≤√1+k2，平方得8k2-12k+3≤0，解得3−√34≤k≤3+√34，故y−2x−1的最大值为3+√34，最小值为3−√34；（2）设b =x -2y ，j 即x -2y -b =0， ∵P （x ，y ）为圆C 上任一点， ∴则圆心（-2，0）到直线的距离d =|−2−b|√1+22=|b+2|√5≤1，即|b +2|≤√5， 则-2-√5≤b ≤√5-2，即x -2y 的最大值为√5-2，最小值为-2-√5． 【解析】（1）设k=，利用直线和圆的位置关系即可得到结论；（2）设z=x-2y ，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆心到直线的距离d≤r 是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a ，b 都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的 基本事件总数为N =5×5=25个 函数有零点的条件为△=a 2-4b ≥0，即a 2≥4b∵事件“a 2≥4b ”包含：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）∴事件“a 2≥4b ”的概率为p =1225；（2）f （1）=-1+a -b ＞0，∴a -b ＞1则a ，b 都是从区间[0，4]任取的一个数，有f （1）＞0，即满足条件：{0≤a ≤40≤b ≤4a −b ＞1转化为几何概率如图所示， ∴事件“f （1）＞0”的概率为p =12×3×34×4=932【解析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a ，b 都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为5×5个，函数有零点的条件为△=a 2-4b≥0，即a 2≥4b ，列举出所有事件的结果数，得到概率．（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a ，b 满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．22.【答案】解：（1）由{(x −1)2+(y +1)2=12y=kx+1，消去y 得到（k 2+1）x 2-（2-4k ）x -7=0，∵△=（2-4k ）2+28k 2+28＞0，∴不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l被圆C截得的弦长|AB|=√1+k2|x1-x2|=2√8−4k+11k21+k2=2√11−4k+31+k2，令t=4k+31+k2，则有tk2-4k+（t-3）=0，当t=0时，k=-34；当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，解得：-1≤t≤4，且t≠0，则t=4k+31+k2的最大值为4，此时|AB|最小值为2√7，则直线l被圆C截得的最短弦长为2√7．【解析】（1）联立直线l与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式恒大于0，得到不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），表示出直线l被圆C截得的弦长，设t=，讨论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线与圆的交点，两点间的距离公式，根的判别式，以及一元二次方程的性质，是一道综合性较强的试题．。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（ ） A ．3B ．3.5C ．4D ．52．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若50,a =则9S =（ ） A ．5- B ．0 C ．5 D ．93．下列说法中：（1）某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖（2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37（3）若事件,,A B C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=（4）若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 互为对立事件正确的说法有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．34．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，且数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞- B ．(2)-∞-, C ．(2,)-+∞D ．(3,)-+∞5．设m 、n 为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）A ．若m 上有两个点到平面α的距离相等，则m αPB ．若m α⊥，n β⊂，则“m n ∥”是“αβ⊥”的既不充分也不必要条件C ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若m 、n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n α∥，则αβ∥6．在四面体ABCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为50°，M ，N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为（ ） A ．25°或50°B ．25°或65°C ．50°D ．65°7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ） A ．圆台的母线长是20 B ．圆台的表面积是1100πC ．圆台的高是D 8．已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ） A ．2-B ．52-C ．3-D ．4-二、多选题 9．已知复数2i1iz =-，则下列结论不．正确的是（ ） A ．z 在复平面对应的点位于第二象限 B ．z 的虚部是i C ．1i z =+D ．2z =10．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ）A ．事件甲与事件丙是互斥事件B ．事件甲与事件丁是相互独立事件C ．事件乙包含于事件丙D ．事件丙与事件丁是对立事件11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等三、填空题12．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A ，B ，C 这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A ，B 至少有一所被选择的概率为．136cos 5x x -=，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是.四、解答题15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.(1)证明：1//CD 平面1A BD ； (2)求二面角1A BD A --的正弦值.16．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a 、b 的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224b c a +-=，12ABC S =△. (1)求tan A ；(2)若D 在边BC 上且2BD DC =，AC =AD 的长.18．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段DE 的长.19．如果数列{}n a 满足：1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+且()12313N ,n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，则称{}n a 为n 阶“归化”数列.(1)若某3阶“归化”数列{}n a 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；(2)若某11阶“归化”数列{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式； (3)若{}n a 为n 阶“归化”数列，求证12311111.2322n a a a a nn+++⋅⋅⋅+≤-。
甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
兰州一中2020-2021-2学期高一年级期中考试试题参考答案数学命题：何乃文 审题：陈小豹本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将两个数1,2a b ==交换，使2,1a b ==，下列语句正确的是（ ）.A ．=,=a b b aB ．=,=b a a bC ．=,=,=a c c b b aD ．=,=,=c b b a a c 2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B ．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C ．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D ．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”3．已知实数,x y 满足22430x y x +-+=,则 ）AB ．C ．1D ．24．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A ．55件B ．40件C ．33件D ．22件5．某公司在2016－2020年的收入与支出如下表所示：根据表中数据可得回归方程为ˆ0.8a yx =+，依此估计2021年该公司收入为8亿元时支出为（ ） A ．4．2亿元B ．4．4亿元C ．5．2亿元D ．5．4亿元6．下列各数中最大的数是（ ） A ．()985B ．()6210C ．()41000D ．()21111117．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和298．我校高中数学兴趣小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x ，y ）()01,01x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ） A ．3.19B ．3.16C ．3.14D ．3.119.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） A ．40.6, 1.1B ．48.8, 4.2C ．81.2, 44.4D ．78.8, 75.610．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x +y =a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为（ ）A ．[-B ．(,)-∞-⋃+∞C ．(-D ．(-11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（ ） A ．1318B ．1118C ．718D ．1212．曲线1y =与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．5012⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．5+12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， C ．1334⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．53124⎛⎤⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个容量为n 的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n ＝________. 【答案】16014．下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是_______【答案】515．由点(1,3)P -向圆222220x y x y ++--=作的切线方程为___________． 【答案】1x =或3490x y ++=16．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (3,0),C (0,a )，D (0,a +2)，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．（注：PA 表示点P 与点A 之间的距离）【答案】1⎡⎤-⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）同学小王通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书. 求小王周末不在家看书的概率.解析：∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，……………3分 去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116， ……………6分 ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.故小王周末不在家看书的概率：1316 ……………10分18．（本小题12分）已知直线:30l kx y k --=与圆22:8290M x y x y +--+=.（Ⅰ）求证：直线l 必过定点，并求该定点； （Ⅱ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时，求k 的值.【解析】（Ⅰ）证明：直线l 方程可化为：()30k x y --=， 对上式中，当3,0x y ==时，不论k 取何值，等式恒成立，所以直线l 恒过点()3,0A .……………4分（Ⅱ）将圆M 的方程化为：()()22418x y -+-=，圆心为()4,1M ，半径r =由（Ⅰ）知，直线l 恒过点()3,0A ，当圆M 截直线l 所得弦长最小时，则MA 垂直于直线l ， ……………8分 即1MA k k ⋅=-.()4,1M ，()3,0A ，10143MA k -∴==-，1k ∴=- 所以当圆M 截直线l 所得弦长最小时，k 的值为1- .……………12分 19．（本小题12分）一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：（1）2只球都是红球的概率 （2）2只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？【解析】记两只白球分别为1a ，2a ；两只红球分别为1b ，2b ；两只黄球分别为1c ，2c 从中随机取2只的所有结果为()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，()12,b b ，()11,b c ，()12,b c ，()21,b c ， ()22,b c ，()12,c c 共15种（1）2只球都是红球为()12,b b 共1种，概率115P =……………4分 （2）2只球同色的有：()12,a a ，()12,b b ，()12,c c ，共3种，概率31155P ==……………8分 （3）恰有一只是白球的有：()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，共8种，概率815P =; 2只球都是白球的有：()12,a a ，概率115P =……………12分 所以：“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍 20．（本小题12分）某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元/吨．(Ⅰ)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数(x 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．()i 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率； ()ii 试预测该企业3年的总净利润.(3年的总净利润3=年销售利润一投资费用)【解析】(Ⅰ)年销量的平均数0.11200.21600.32000.252400.15280206(x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=吨)． (Ⅱ())i 该产品的销售利润为1万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，∴年销售利润不低于220万的概率0.30.250.150.7P =++=．()ii 由(Ⅰ)可知第一年的利润为：2061206(⨯=万元)，第二年的利润为：()0.11200.21600.32000.42401200(⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元)， 第三年的利润为：()0.11200.21600.72001184(⨯+⨯+⨯⨯=万元)，∴预测该企业3年的总净利润为：206200184300290(++-=万元)．21．（本小题12分）我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆1C :221x y +=，直线:340l x y m -+=.（Ⅰ）若直线l 关于圆1C 的距离比2λ=，求实数m 的值；（Ⅱ）当0m =时，若圆2C 与y 轴相切于点()0,3A ，且直线l 关于圆2C 的距离比65λ=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由.【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：25m =，所以10m =±（Ⅱ）当0m =时，直线:340l x y -=，圆2C 与y 轴相切点于(0,3)A所以可设2C ：222()(3)x a y a -+-=3126545a a a -=⇒=-或43①当4a =-时，2C ：22(4)(3)16x y ++-=两圆的圆心距5d =，两圆半径之和为145+=，因此两圆外切 ②当43a =时，2C ：22416()(3)39x y -+-=两圆的圆心距48433d =-+=大于两圆的半径之和47133+=，因此两圆外离 22．（本小题12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（Ⅰ）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（Ⅱ）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈， 3.79244e ≈，5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【解析】（Ⅰ）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，故气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．。
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案解析)
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}ln 4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{5}B ．{1,2,3}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}2．已知31cos(),cos()55αβαβ-=-+=，则sin sin αβ=（）A ．35-B ．25-C ．25D ．353．已知命题p ：“tan 2α=”，命题q ：“3cos25α=-”，则命题p 是命题q 的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均为x 轴正半轴，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan2αβ+=（）A ．3-或13B ．3或13-C ．3-D ．135．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．(]0,1B ．40,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭6．当x θ=时，()26sin2sin cos 3222x x xf x =+-取得最大值，则tan θ=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-7．已知23ln 2,2ln 3,3ln a b c πππ===,则()A ．b c a>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()()()2,42f x g x f x g x ''+=--=，若()g x 为偶函数，则()()20222024f g '+=（）A ．0B ．1C ．2D ．4二、多选题9．先将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2g x ⎤∈⎥⎝⎦D ．其图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称10．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．1x =是()f x 的的极小值点B ．(2)(2)4f x f x ++-=-C ．当π02x <<时，()2(sin )sin f x f x >D ．不等式4(21)0f x -<-<的解集为{}12x x <<11．在ABC V 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（）A ．若CD 是高，则1514CD =B ．若CD 是中线，则2CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若3CD =，则D 是线段AB 的三等分点三、填空题12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．13．已知a 、b 、c 分别为ABC V 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC V 面积的最大值为．14．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点且212x x ≥，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数′的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值.16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos 7B b B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin cos sin2cos sin 1cos2A A BA A B+=-+．(1)若π3C =，求A 的大小；(2)求222c a b+的取值范围．18．设函数2π()(sin cos )sin 22f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 单调递减区间.(2)已知函数21π()()1sin 26g x f x x ⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦，①证明：函数()g x 是周期函数，并求出()g x 的一个周期；②求函数()g x 的值域.19．已知函数()ln(1)sin f x x x λ=+-．(1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当1λ=时，判断函数()f x 在π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上零点的个数；(3)已知()()21e xf x ≥-在[0,π]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：题号12345678910答案B BBCBDACABBC题号11答案BC1．B【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==-=<，则{1,2,3}A B ⋂=.故选：B.2．B【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式化简，再将两式相减可求得结果.【详解】由3cos()5αβ-=-，得3cos cos sin sin 5αβαβ+=-，由1cos()5αβ+=，得1cos cos sin sin 5αβαβ-=，所以3142sin sin 555αβ=--=-，得2sin sin 5αβ=-，故选：B 3．B【分析】根据万能公式得到方程，求出tan 2α=±，从而得到命题p 是命题q 的充分不必要条件.【详解】22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++，解得tan 2α=±，故,p q q p ⇒⇒，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.故选：B 4．C【分析】先由三角函数的定义求得1tan 2,tan 2αβ==-，根据角终边经过的点和正切值的范围，缩小,αβ的范围，利用和角公式和倍角公式，求得tan 2αβ+的值并检验即得.【详解】依题意，1tan 2,tan 2αβ==-，由tan 2α=>可得ππ+2π2π,Z,32m m m α<<+∈由1tan 2β=->可得5π2ππ2π,Z,6n n n β+<<+∈则()()7π3πππ,1224m n m n αβ+++<<++,Z m n ∈（*），因12tan tan 32tan(+)=11tan tan 412()2αβαβαβ-+==--⨯-，不妨设tan 2t αβ+=，则有22314t t =-，解得3t =-或13t =，由（*）知2αβ+是第二或第四象限角，故tan32t αβ+==-.故选：C.5．B【分析】先由π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得ππππ,3323x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，根据题意得πππ23ω+≤，进而可得ω的取值范围.【详解】因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππππ,3323x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，所以πππ23ω+≤，解得43ω≤.又因为0ω>，所以403ω<≤.故选：B 6．D【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，求得其取得最大值时x 的取值情况，再其正切值即可.【详解】因为()26sin2sin cos 3222x x xf x =+-()31cos sin 3x x =-+-(),tan 3,,22x ππϕϕϕ⎛⎫=+=-∈- ⎪⎝⎭，故当()f x 取得最大值时，若x θ=，则2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则11tan tan 2tan 22tan 3k ππθπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7．A【分析】构造函数ln ()xf x x=,利用其单调性即可比较a ,b ,c 的大小.【详解】3ln 2a π=，2ln 3b π=，6ln c π=，设ln ()xf x x =，21ln ()x f x x -'=,令()0f x '=,得e x =，当(0,e),()0,()x f x f x '∈>单调递增，当(e,),()0,()x f x f x '∈+∞<单调递减，所以ln 3ln ln 4ln 2342ππ>>=，所以ln 33ln ππ>,即2ln 36ln ππ>,所以b c >，所以2ln ln 2ππ>,即6ln 3ln 2ππ>,所以c a >，所以b c a >>.故选：A 8．C【分析】根据()g x 为偶函数，得出()g x '为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出()f x ，()g x '的周期即可求解.【详解】依题意，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x =-，所以()()g x g x '=--'，所以()g x '为奇函数且()00g '=，因为()()()()2,42f x g x f x g x ''+=--=，令2x =，则有()()()()2222422f g f g ''⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得()22f =，因为()()42f x g x '--=，所以()()42f g x x +--='，又()()g x g x '=--'所以()()42f x g x ++='由()()()()242f x g x f x g x ⎧+=⎪⎨++=''⎪⎩，得()()4f x f x =+，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()202222f f ==，由()()()()242f xg x f x g x ''⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，得()()40g x g x '+-='，又()()g x g x '=--'，所以()()4g x g x -='-'，所以()()4g x g x '=+'所以()g x '是以4为周期的周期函数，所以()()202400g g ='='，所以()()()()2020222024202f g f g +=''+=+=.故选：C.9．AB【分析】利用给定变换求出函数()g x 的解析式，根据2πT ω=可判断A ；利用整体代换的方法，根据x 的范围，求出π26x -的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B 和C ；根据πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()g x 的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，可判断D.【详解】将()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到sin 2y x =，再把图象向右平移π12个单位长度，得到ππsin 2sin 2126y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到()πsin 216g x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=.对于A ，2ππ2T ==，故A 正确；对于B ， sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππππ2,66322x ⎛⎫⎛⎫-∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()πsin 216g x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2636x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π1sin 2,162x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴()π3sin 21,262g x x ⎛⎫⎛⎤-+∈ ⎪ ⎥⎝⎝=⎭⎦，故C 错误；对于D ，当π12x =时，函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足ππ20126⨯-=，∴函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎝⎭关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，∴()πsin 216g x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=关于点π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：AB.10．BC【分析】对于A ：求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；对于B ：根据解析式代入运算即可；对于C ：分析可得20sin sin 1x x <<<，结合()f x 的单调性分析判断；对于D ：取特值检验即可.【详解】对于选项A ：因为()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，当()1,3x ∈时，′<0；当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，′>0；可知()f x 在(),1∞-，()3,∞+上单调递增，在()1,3上单调递减，所以1x =是函数()f x 的极大值点，故A 错误；对于选项B ：因为()()()()2222(1)2(1)24f x f x x x x x ++-=+-+---=-，故B 正确；对于选项C ：因为π02x <<，则0sin 1x <<，且()2sin sin sin 1sin 0x x x x -=->，可得20sin sin 1x x <<<，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2sin sin f x f x >，故C 正确；对于选项D ：对于不等式()4210f x -<-<，因为()7254,028f ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，即94x =为不等式()4210f x -<-<的解，但()91,24x =∉，所以不等式()4210f x -<-<的解集不为{}|12x x <<，故D 错误.故选：BC.11．BC【分析】分别求CD 为高线，中线，角平分线及等分线时CD 的长.【详解】由题，2222223571cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，所以2π3C =，若CD 是高，112π735sin 223ABC S CD =⨯⨯=⨯⨯⨯△，得CD =A 错误；若CD 是中线，1()2CD CA CB =+ ，所以21119259253()424CD ⎡⎤=⨯++⨯⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦，所以2CD =，故B 正确；若CD 是角平分线，则+= ACD BCD ABC S S S ，即1π1π12π5sin 3sin 53sin 232323CD CD ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，得158CD =，故C 正确；若D 为线段AB 的三等分点，2133CD CA =+ 或1233CD CA CB =+，2414110625953(99929CD =⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，或214413125953()99929CD =⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，所以3CD =或3，故D 错误.故选：BC.【点睛】根据D 在AB 的位置，可用CA ，CB 表示CD，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.12．【详解】试题分析：解直角三角形AOC ，求出半径AO ，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC ⊥AB ，C 为垂足，并延长OC 交于D ，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt △AOC 中，r=AO==，从而弧长为α×r=2×=，故答案为．考点：弧长公式．13【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 4222S bc A =≤⨯⨯ABC V14．2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值的定义整理方程，整理等式表示函数，利用函数单调性求得值域，可得答案.【详解】因为()21e 12x f x ax =-+，所以()e x f x ax -'=.因为函数()21e 12x f x ax =-+有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程e 0x ax -=的两个根，则有11e xax =，所以11ln ln a x x +=，同理可得22ln ln a x x +=.设()212x t t x =≥，则21x tx =，由22ln ln a x x +=，则11ln ln a tx tx +=，即11ln ln ln a t x tx ++=，由11ln ln a x x +=，则11ln ln ln a t x a tx ++-=，即11ln t x tx +=，所以()1ln 21tx t t =≥-，令()()ln 21t g t t t =≥-，则()()()()22111ln 1ln 11t t t t t g t t t ----'==--，令()()11ln 2h t t t t =--≥，则()221110th t t t t -'=-=<在[)2,+∞上恒成立，所以()h t 在[)2,+∞上单调递减，所以()()1121ln 2ln 2022h t h ≤=--=-<，所以()0g t '<在[)2,+∞上恒成立，所以函数()g t 在[)2,+∞上单调递减，所以()()2ln 2g t g ≤=，又()0g t >，所以()0ln 2g t <≤，又()1ln 21tx t t =≥-，所以10ln 2x <≤.由11ln ln a x x +=，则()111ln ln 0ln 2a x x x =-<≤，令()()ln 0ln 2F x x x x =-<≤，则()1110x F x x x-'=-=<在(]0,ln 2上恒成立，所以函数()F x 在(]0,ln 2上单调递减，所以()()()ln 2ln 2ln ln 2F x F ≥=-，即()ln ln 2ln ln 2a ≥-，所以()()ln 2ln 2ln ln 2ln ln 2e 2e ln 2ea -≥==，即实数a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.15．(1)π()2sin(2)6f x x =-(2)2825【分析】（1）由函数()f x 与()f x '的图象可得，2,2A ω==，再通过()f x 图象过点π(,0)12，得到（2）根据倍角公式对()65f α=进行化简即可求解.【详解】（1）()cos()f x A x ωωϕ=+'，由图象可以得到：2,2A ω==，因为()f x 图象过点π(,0)12，ππ22ϕ-<<，所以π2π12k ϕ⨯+=，所以π6ϕ=-，所以π()2sin(2)6f x x =-.（2）由6()5f α=，得π3sin(2)65α-=，π()4cos(2)6f x x '=-，ππ(2)4cos(4)123f αα'-=-2ππ4cos 2(2)4[12sin (2)]66αα=-=--2825=.16．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC .【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos 7B B b B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin B =，则7sin sin sin 7b a BA A ==，解得sin A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin B =得2，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C==⨯⨯ 选择③sin c A =c =5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，则1115sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△17．(1)5π24A =(2)1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据题中已知条件利用正切函数化简或逆用余弦函数两角和差公式从而可求解.（2）由（1）及正弦定理把边化成角，再利用辅助角公式及函数求导求出范围从而求解.【详解】（1）方法一：2tan 12sin cos πtan tan 1tan 2cos 4A B B A B A B +⎛⎫=⇒+= ⎪-⎝⎭，由ABC V 为锐角三角形且π3C =，所以π2π5π4324A B A A +==-⇒=．方法二：2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin cos sin 2cos cos A A B B BA B A BA AB B+==⇒+-()()()cos sin sin cos cos sin tan 1A B A B B A B A B A =-⇒-=-⇒-=．由ABC V 为锐角三角形且π3C =，所以π2π5π,4324B A B A A -=+=⇒=．（2）由（1）知()π3π,π244B AC A B A =+=-+=-，由正弦定理知：()22222222223π1sin 2sin 2cos 2sin 42ππsin sin sin sin 1cos 21cos 24222A A A c C a b AB A A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===++⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+，所以()2222sin 2cos 22sin 2cos 2A A c a b A A+=++-．令sin 2cos 2A A t -=，则212sin 2cos 2A A t -=，所以()()()22222242222422t t c t f a b t t λλλ-+++--⎛⎫===-++= ⎪+++⎝⎭，其中2t λ=+．又由ABC V 为锐角三角形，ππ042B A <=+<，3ππππ024284C A A <=-<⇒<<，πsin2cos224t A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ππ84A <<，所以ππ20,44A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()π20,14t A ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()22,3t λ=+∈，()2210f λλ=-+<'，所以()f λ在()2,3上单调递减，则()1,13f λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．即222c a b +的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．18．(1)()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)①证明见解析，π；②⎡⎢⎣⎦【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数，然后结合正弦函数的性质求出函数的单调递减区间；（2）①先求出()2sin 2sin g x x x =，然后结合诱导公式得()()πg x g x +=，.②由题意，根据周期性先求出函数在一个周期的值域即可，求导函数，结合余弦函数的性质求得函数的单调性，然后利用单调性求解值域即可.【详解】（1）22()sin cos 2sin cos cos 2f x x x x x x=++1πsin 2212sin 2212sin 2123x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，得π7πππ,1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间是()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）①221π1ππ()()1sin 2sin 2()11sin 26263g x f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=--⋅=-++-⋅ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦2sin 2sin x x =，()()()()22πsin πsin 2πsin sin 2g x x x x x g x ⎡⎤+=++==⎣⎦，故π的是函数()g x 的一个周期．（答案不唯一）②()()222222()2sin 3cos sin 2sin 4cos 12sin (2cos 1)(2cos 1)g x x x x x x x x x '=-=-=+-，由于π是函数()g x 的一个周期，不妨设[0,π]x ∈，当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x >'单调递增，当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x <'单调递减，当2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x >'单调递增.又因为()()22π2π0π0,,32283228g g g g ⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯==⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，据此可得：[][]maxmin (),()g x g x =()88g x ⎡∈-⎢⎥⎣⎦.19．(1)(1)0x y λ--=(2)有且仅有一个零点(3)[1,)-+∞【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得斜率，即可得直线方程，（2）求导，根据()f x 在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增．结合零点存在性定理可得π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有且仅有一个零点；进而根据[π,)+∞上无零点即可求证，（3）构造函数()2e sin ln(1)2x g x x x λ=-++-，求导，对λ进行分类讨论，结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）()cos 1f x x x λ=-+'，则()0cos 11f x x λλ=-='-+，(0)0f =，故切线方程为(1)0x y λ--=（2）当1λ=时，()ln(1)sin f x x x =+-，则1()cos 1f x x x '=-+，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1cos 0,01x x -≥>+，所以()0f x '>，即()f x 在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增．又ln 110,()ln(1)022f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有且仅有一个零点；当[π,)x ∈+∞时()ln(1)sin ln(1)10f x x x =+->π+->，所以在[π,)+∞上无零点．综上，()f x 在π,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上有且仅有一个零点．（3）由()()21e x f x ≥-，即()ln(1)sin 21e xx x λ+-≥-，整理得2e sin ln(1)20x x x λ-++-≥，令()2e sin ln(1)2x g x x x λ=-++-，则()2e cos 1xg x x x λ=-++'，当0λ≥时，对任意[0,π]x ∈有cos [1,1]x ∈-，又2e 2,01xx λ≥≥+，所以()0g x '>，此时()g x 在[]0,π上单调递增，故()(0)0g x g ≥=，符合题意．当0λ<时，令()()h x g x '=，则2()2e sin (1)xh x x x λ'=+-+，所以，在[0,π]x ∈上()0h x '>恒成立，即()()h x g x '=在[]0,π上单调递增．又()()01,π2e 11xg g λλπ=+=++'+'．当10λ+≥，即10λ-≤<时，在[]0,π上有()0g x '≥，此时()g x 在[]0,π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意．当10λ+<，即1λ<-时，若()0g π'>，即()()π12e 11xλ-++<<-，由零点存在定理，存在0(0,π)x ∈使()00g x '=，故∈0,0上()0g x '<．所以()g x 在∈0,0上递减，此时()0(0)0g x g <=，不合题意．若(π)0g '≤，即()()π12e 1xλ≤-++，此时对,π[]0x ∀∈恒有()0g x '≤且不恒为0．即()g x 在[]0,π上单调递减，所以()()π00g g <=，不合题意．综上，λ的取值范围是[1,)-+∞．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
甘肃省兰州市第一中学高二物理3月月考试题
兰州一中 2018-2019-2 学期 3 月月考试题高二物理说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
满分100 分，考试时间100 分钟。
．。
第Ⅰ卷（选择题共48 分）一、选择题（本题共12 题，每题4分，共48 分。
1-8 题为单选题，每题只有一个正确选项；9-12 题为多选题，每题有两个或两个以上的选项是正确的）1．穿过一个单匝闭合线圈的磁通量始终为每秒均匀增加2Wb，则（）A．线圈中感应电动势每秒增加2 V B．线圈中感应电动势每秒减少2 VC．线圈中感应电动势始终为2 V D．由于线圈有电阻，线圈中感应电动势小于2 V2. 如图，在匀强磁场中，MN、PQ 是两条平行金属导轨，而a b、cd 为串有电压表和电流表的两根金属棒，当两棒以相同的速度向右运动时（）A.电压表有读数，电流表有读数B.电压表无读数，电流表无读数C.电压表有读数，电流表无读数D.电压表无读数，电流表有读数3. 两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻是细金属环电阻的一半，磁场垂直穿过粗金属环所在的区域，当磁感应强度均匀变化时，在粗环内产生的电动势为E，则a b两点间的电势差为（）A．E B．E2 3C．2ED．E34. 一个匝数为100 匝，电阻为0.5 Ω的闭合线圈处于某一磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，从某时刻起穿过线圈的磁通量按图示规律变化。
则线圈中产生交变电流的有效值为( )A. 52A B. 2 5A C. 6A D. 5A5．如图，在方向垂直于纸面向里的匀强磁场中有一个U形金属导轨，导轨平面与磁场垂直，金属杆P Q 置于导轨上并与导轨形成闭合回路P QRS，一圆环形金属线框T位于回路围成的区域内，线框与导轨共面。
现让金属杆PQ 突然向右运动，在运动开始的瞬间，关于感应电流的方向，下列说法正确的是( )A. PQRS 中沿顺时针方向，T 中沿逆时针方向 B. PQRS 中沿顺时针方向，T 中沿顺时针方向 C.PQRS 中沿逆时针方向，T 中沿逆时针方向 D. PQRS 中沿逆时针方向，T 中沿顺时针方向6. 在图示电路中，L 是一个不计直流电阻的电感线圈，直流电源1的电压值与交流电源2的电压有效值相等，S 是单刀双掷开关，C 是电容器，A、B 是完全相同的小灯泡，则下列正确的是（）A. 开关S与2接通后，灯B发光，而灯A不发光B. 开关S与1接通后，灯B的亮度比开关与2接通稳定后灯B的亮度低C. 开关S与1接通时，灯B逐渐变亮D. 若将交流电源2换成一个既含有高频信号又含有低频信号的信号源，则当开关与2接通时，通过灯B的主要是高频信号7．如图，变压器原线圈接电压一定的交流电，在下列措施中能使电流表示数增大的是（）A. 只将S1 从2拨向1B. 只将S2 从4拨向3C. 只将S3 从闭合改为断开D. 只将变阻器R3的滑动触头上移8．如图甲所示，光滑导轨水平放置在与水平方向夹角为60°的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定图甲中B的方向为正方向)，导体棒a b 垂直导轨放置且与导轨接触良好，除电阻R 的阻值外，其余电阻不计，导体棒a b 在水平拉力作用下始终处于静止状态，规定a→b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为拉力的正方向，则在0～t1 时间内，能正确反映流过导体棒ab 的电流I 和导体棒a b 所受水平拉力F随时间t变化的图象是( )9. 如图，两同心圆环A、B 置于同一水平面上，其中B为均匀带负电绝缘环，A 为导体环。
甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高一生物5月月考试题(1)
兰州一中高一年级5月月考试题生物说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（每题2分，共60分，每题只有一个选项正确)1、下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是A．大肠杆菌的细胞中不存在既含有蛋白质又含有核酸的结构B．乳酸菌和酵母菌在无氧条件下细胞内物质氧化过程完全相同C．甲状腺能够接受促甲状腺激素的调节与其细胞膜上的糖蛋白无关D．真核细胞的细胞骨架与细胞运动以及物质运输等生命活动有关2、有种细菌会在人类的细胞之间快速传递,使人患脑膜炎，其原因是该菌通过分泌InIC蛋白抑制人细胞膜表面的Tuba蛋白的活性，使细胞膜更易变形而有利于细菌的转移,下列说法正确的是A．Tuba蛋白和InIC蛋白的合成均需通过内质网的加工B．该菌以需要消耗能量的胞吞方式进入人体细胞C．该细菌和酵母菌一样,不具有由核膜包被的细胞核D．该菌细胞内同时含有核酸和蛋白质的结构有核糖体和染色体3、用丙酮从口腔上皮细胞中提取脂质,在空气—水界面上铺成单分子层，测得单分子层面积为S1，设细胞膜表面积为S2，则S1与S2关系最恰当的是A。
S1＜2S2B。
S1＝2S2C。
S1＞2S2D。
S2＜S1＜2S24、下列关于细胞结构和生理过程的叙述中，正确的是A. 分泌蛋白的合成与分泌过程中有核糖体、内质网、溶酶体及线粒体等细胞器参与B. 细胞核能进行遗传信息的传递，是细胞代谢的主要场所C. 生物膜之间可通过具膜小泡的转移实现膜成分的更新D。
合成固醇类激素的分泌细胞的内质网一般不发达5、对绿色植物细胞某细胞器组成成分进行分析，发现A、T、C、G、U五种碱基的相对含量分别约为35%、0、30%、20%、15%，则该细胞器是A．进行有氧呼吸的主要场所B．合成蛋白质的场所C．与有丝分裂有关D．吸收并转换光能，完成光合作用6、科学家将变形虫切成两半,一半有核,一半无核.无核的一半不能摄取食物，对外界刺激不再发生反应。
专题03 导数及其应用选择填空题(解析版)
f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；
②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x ，
∴f（x）在（0， ）上递减，在（ ，+∞）递增，
又f（x）只有一个零点，
∴f（ ） 1＝0，解得a＝3，
f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，
∴切线方程为：y＝3x．
故答案为：y＝3x．
12．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x，
若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，
•常见基本初等函数的导数公式：
(C)0(C为常数)；(xn)nxn1,nN；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axlna(a0,且a1)；
(lnx) ；(logax) logae(a0,且a1)
•常用的导数运算法则：
法则1：[u(x)v(x)]u(x)v(x).
法则2：[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x).
【解答】解：由y＝f（x） 在[﹣6，6]，知
f（﹣x） ，
∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C
又f（4） ，因此排除A，D．
故选：B．
3．【2019年新课标1理科05】函数f（x） 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（x） ，x∈[﹣π，π]，
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题51 双曲线(解析版)
考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =， 因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上） 又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =． 故e 53=． 故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。
2020年高考理科数学之高频考点解密19 椭圆(解析版)
解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A B 7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMF a c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 C．3D．3【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y ab ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D 【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ．则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,3D ．1(,]32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =， 点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=，12111e e ∴-=，即2121e e e =+，2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b =1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y 0x 0−3，∴mn =−y 02x2−9，又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b 2=1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24．11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________． 【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a=√a2−b 2a>√32，即得a 2>4b 2；当a <b时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF . 【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a 2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2. ∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛⎝⎭A，1,3⎛- ⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u r u u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题43 直线、平面垂直的判定与性质(解析版)
考点43 直线、平面垂直的判定与性质1．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,1m AB m AB m AB⋅===⋅，得13λ=或1λ=-（舍去）， ∴PF =2．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，侧面11B C CB ⊥底面ABC ，E ，F 分别为棱BC 和11A C 的中点.（1）求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求证：平面AEF ⊥平面11BCCB . 【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）取11A B 的中点G ，连接BG ，FG ，在111A B C ∆中，因为F ，G 分别为11A C ，11A B 的中点， 所以11//FG B C ，且1112FG B C =， 在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ， 又E 为棱BC 的中点， 所以//FG BE 且FG BE =， 从而四边形BEFG 为平行四边形， 于是//EF BG ，又因为BG ⊂面11ABB A ，EF ⊄面11ABB A ， 所以//EF 平面11ABB A .（2）证明：在ABC ∆中，因为AB AC =，E 为BC 的中点， 所以AE BC ⊥，又因为侧面11B C CB ⊥底面ABC ，侧面11BCC B 底面ABC BC =，且AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥平面1BCC B ， 又AE ⊂面AEF ，所以平面AEF ⊥平面1BCC B .3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA ＝，D 是棱AB 的中点．（1）求证：11BC CD 平面A ； （2）求证：11BC AC ⊥． 【答案】(1)见详解；（2）见详解.【解析】（1）连接AC 1，设AC 1∩A 1C ＝O ，连接OD ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．-中，底面ABCD是正方形，AC 4．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥P ABCD与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若AB=，求证：CG⊥平面PBD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD 面ACE OE = //PD OE ∴O 为BD 中点 E ∴为PB 的中点（2）在四棱锥P ABCD -中，AB =四边形ABCD 是正方形 2O C A B ∴= P C O C ∴= G 为PO 中点 C G P O ∴⊥ 又PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD P C B D∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC又CG ⊂平面PAC B D C G∴⊥ ,PO BD ⊂平面PBD ，PO BD O =CG ∴⊥平面PBD5．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,PB BC PD CD ⊥⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BE C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】（1）证明：∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又,BC PB AB PB B ⊥⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理,CD PA BC CD C ⊥⋂=， ∴PA ⊥平面 ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,1,2,0,0A C E B ，设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，又()()0,1,1,2,0,0AE AB ==uu u r uu u r，20n AE y z n AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1,1y z =-=，得()0,1,1m =-. 同理()1,0,2n =r 是平面BCE 的一个法向量，则cos<,m n m n m n ⋅>===r r r r r r ∴二面角A BE C --. 6．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小． （2）求二面角A PD C --的正弦值．【答案】（1）45︒（2）4【解析】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ， ∴PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt PAB 中，AB PA =，故45APB ∠=︒． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45︒．（2）在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由条件AC CD ⊥，PAAC A =，∴CD ⊥平面PAC ．又∵AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥．由PA AB BC ==，60ABC ∠=︒，可得AC PA =． ∵E 是PC 的中点，∴PC AE ⊥．又∵CD PC C ⊥=，∴AE ⊥平面PCD ． 过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示．∵AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， ∴AM PD ⊥．∴AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知∵30CAD ∠=︒，∴设1CD =，则PA AC ==2AD =，PC =PD =Rt PAC △中，122AE PC ==．在Rt ADP 中，∵AM PD ⊥，∴••AM PD AP AD =，得7AM =．在Rt AEM 中，sin 4AE AME AM ∠==．所以二面角A PD C --的正弦值为4． 7．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ【解析】证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MNBC =，12EF BC =， ∴ 四边形EFMN 是平行四边形，∵ EF BE ⊥，⊥EF DE ，BE EF E ⋂=，∴ EF BDE ⊥平面，∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥， 在DFC ∆中，DF FC =，又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MFMN M =，∴MF BCD ⊥平面．解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E ⋂=， ∴ DE BEF ⊥平面，以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设2BC =，则()000E ，，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-， 设面EMF 的法向量(),,m x y z =，则00m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =， 同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =， 设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3cos m n m nθ⋅==⋅，∴ 二面角E MF C --8．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2) 4【解析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ，所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒， 所以，12AO PA =，PO PA =，因为，PA =，所以，BO PA =. 以OA ，OD uuu r，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系 记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A，(0,B ，(1,0,0)C -，D，P，1(,0,22H -，所以，(0,,0)3BD =，3(,0,22AH =-，(1,3AD =- 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即033022y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =(2,0,23)n =， 记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||4||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==.所以，AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为4. 9．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==，（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为30，求锐二面角1A A C B --的大小． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60.【解析】（Ⅰ）如图，取1A B 的中点D ，连接AD .因为1AA AB =，所以1AD A B ⊥. 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面111A ABB A B =，得AD ⊥平面1A BC .又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥ 又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11ABB A ，又AB Ì侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．(Ⅱ)由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -.设BC a =，则()0,2,0A ，()0,0,0B ，(),0,0C a ，1(0,2,2)A ，(,0,0)BC a =，1(0,2,2)BA =，(,2,0)AC a =-，1(0,0,2)AA =.设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由1BC n ⊥，11BA n ⊥，得0220xa y z =⎧⎨+=⎩.令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-. 设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则30θ=， 所以111sin 302AC n AC n a ⋅===，解得2a =， 即(2,2,0)AC =-.又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得2(1,1,0)n =. 设锐二面角1A A C B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α⋅===， 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得60α=. ∴锐二面角1A A C B --的大小为60.10．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=，4AB =，DE AB ⊥ 于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED ∆'，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面A ED '⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值； （Ⅲ）设F 为线段A D '上一点，若//EF 平面A BC '，求DFFA '的值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）1 【解析】（Ⅰ）在菱形ABCD 中，因为DE AB ⊥，所以DE AE ⊥，DE EB ⊥．所以A E DE '⊥．因为A E BE '⊥，DE BE E ⋂=，DE Ì平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ， 所以A E '⊥平面BCDE ．因为A E '⊂平面A ED '， 所以平面A ED '⊥平面BCDE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A E DE '⊥，A E BE '⊥，DE BE ⊥，如图建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E ，()2,0,0B，()D,()C ,()0,0,2A ， 所以()0,0,2AE =-，()2,0,2BA '=-,()2,BC =．设平面A BC '的法向量(),,n x y z =，由0n BA n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩所以x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =-，则x z ==.所以(3,n =-．所以()3n ==，又2A E'= ,23A E n '⋅=-，所以cos ,72A En A E n A E n'⋅'<>===-'.所以直线A E '与平面A BC '所成角的正弦值为7． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()0,2DA '=-,()0,ED =设()0,,2DF mDA m '==-，则(),2EF ED DF m =+=．因为//EF 平面A BC '，所以0EF n ⋅=uu u rr ，即()()0120m ⨯-+=． 所以12m =，即12DF DA '=．所以1DFFA ='．11．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】证明（1）因为PC P 平面α，平面α平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.12．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）如图，ABC ∆，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BE =..（Ⅰ）证明：EF ⊥平面PBE ；（Ⅱ）设N 为线段PF 上动点，求直线BN 与平面PCF 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ. 【解析】（Ⅰ）E,F 分别为AB ,AC 边的中点,所以EF BC ‖因为90,ABC ︒∠= ,EF BE EF PE ∴⊥⊥又因为BE PE E ⋂= ，所以EF ⊥平面PBE ． （Ⅱ）取BE 的中点O,连接PO,由（1）知EF ⊥平面PBE ,EF ⊂平面BCFE ，, 所以平面PBE ⊥平面BCFE 因为PB=BE=PE,所以PO BE ⊥, 又因为PO ⊂平面PBE,平面PBE 平面BCFE=BE所以PO BCFE ⊥ .过O 作OM//BC 交CF 于M,分别以OB ，OM ，OP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.111310,0,,2,0,1,0,2,,,1,2222222P C F PC PF ⎛⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ N 为线段PF 上一动点设(,,)N x y z =,由,(01)PN PF λλ=≤≤得1,,(1),,,(1)2222N BN λλλλλλ⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面PCF 的法向量为(,,)m x y z =则120020102x y z PC m PF m x y z ⎧+-=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪-+=⎪⎩ 即取(m =-设直线BN 与平面PCF 所成角θsin |cos |||||5BN m BNBN BN m θ⋅=<⋅>===⋅⋅≤=直线BN 与平面PCF13．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在三棱柱ABC A B C '''-中平面ABC ⊥平面ACC A ''，AB BC CA AA '===，D 是棱BB'的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）若60A AC ︒'∠=，求二面角A CD B ''--的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 5. 【解析】（1）取,AC A C ''的中点,O F ,连接OF 与'AC 交于点E ，连接DE ，,OB B F ',则 E 为OF 的中点，////OF AA BB '' ,且OF AA BB ''==，所以BB FO '是平行四边形.又D 是棱BB '的中点，所以//DE OB .侧面AA C C ''⊥底面ABC ，=AC AA C C ABC ''⋂面面，且OB AC ⊥ ，OB ABC ⊂面， 所以OB ⊥平面ACC A '' ，得DE ⊥平面ACC A ''，又DE Ì平面DA C '， 所以平面DA C '⊥平面ACC A ''.（2）连接A O '，因为60A AC '∠=，所以A AC '∆是等边三角形，设2AB BC CA AA '====. 故A O '⊥ 面ABC ，由已知可得A O OB '== .以,,OB OC OA ' 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则())()(0,1,0,,0,1,0,A BC A '-，()BC =，(BB AA ''==设平面BCC B ''的法向量为(),,m x y z = 则0,0m BC m BB ⋅=⋅=，所以0y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1,1x y z ===- ，所以()1,3,1m =- 设平面A CD '的法向量为()''',,n x y z=(0,1,A C '= ,()1113,1,00,222CD CB BB ⎛'=+=-+=- ⎝⎭⎭则'0,0n AC n CD ⋅=⋅=，所以0102y yz ''''⎧=⎪-'+=，取'''0,1x y z ===，()0,3,1n = 故cos ,5m n == ，因为二面角'A CD B '--为锐角，所以其余弦值为5.14．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）在三棱柱ABC A B C '''-中，AB BC CA AA '===，侧面ACC A ''⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）若60A AC '∠=，求二面角A BC B '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）-【解析】解：（1）取,AC A C ''的中点,O F ，连接OF 与C A '交于点E ，连接,,DE OB B F '. 则E 为OF 的中点， 因为三棱柱ABC A B C '''-，所以////OF AA BB ''，且OF AA BB ''==， 所以四边形BB FO '是平行四边形. 又D 是棱BB '的中点，所以//DE OB . 因为侧面AA C C ''⊥底面ABC ，且OB AC ⊥， 所以OB ⊥平面ACC A '' 所以DE ⊥平面ACC A '' 又DE Ì平面DA C '， 所以平面DA C '⊥平面ACC A ''（2）连接A O '，因为60A AC '∠=，所以A AC '∆是等边三角形，故A O '⊥底面ABC 。
甘肃省兰州市天庆实验中学2018-2019年八年级下学期第一次月考数学试卷【Word解析版】
2018-2019 学年天庆第二学期八年级第一次月考试卷详解一．选择题（共 12 小题）1．如图，在∆ABC 中， ∠A = 36︒ ， AB = AC ， BD 是∆ABC 的角平分线．若在边 AB 上截取BE = BC ，连接 DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【解答】解： AB = AC ，∴∆ABC 是等腰三角形； AB = AC ，∠A = 36︒ ， ∴∠ABC = ∠C = 72︒ ，BD 是∆ABC 的角平分线，∴∠ABD = ∠DBC = 1ABC = 36︒ ，2 ∴∠A = ∠ABD = 36︒ ，∴BD = AD ，∴∆ABD 是等腰三角形；在∆BCD 中， ∠BDC =180︒ - ∠DBC - ∠C =180︒ - 36︒ - 72︒ = 72︒ ，∴∠C = ∠BDC = 72︒ ， ∴BD = BC ，∴∆BCD 是等腰三角形；∴BD = BE ，∴∆BDE 是等腰三角形；∴∠BED = (180︒ - 36︒) ÷ 2 = 72︒ ，∴∠ADE = ∠BED - ∠A = 72︒ - 36︒ = 36︒ ，∴∠A = ∠ADE ，BE = BC ，⎨m + 2 > 0 ∴DE = AE ，∴∆ADE 是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有 5 个．故选： D ．【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形， 不要遗漏．2．在平面直角坐标系中，若点 P (m - 1, m + 2) 在第二象限，则m 的取值范围是( )A ． m < -2B ． m >1C ． m > -2D ． -2 < m < 1【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m 的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意，得： ⎧m -1 < 0 ， ⎩解得-2 < m < 1 ， 故选： D ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据点的坐标特点列出关于m 的不等式组．3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45︒ ”，应先假设这个直角三角形中 ( )A ．有一个锐角小于45︒B ．每一个锐角都小于45︒C ．有一个锐角大于45︒D ．每一个锐角都大于45︒【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45︒ ”时， 应先假设每一个锐角都大于45︒ ． 故选： D ．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．如图，在∆ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF =∠DFE ；（2）AE =AF ；（3）AD 平分∠EDF ；（4）EF 垂直平分AD ．其中正确的有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：AB =AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴∆ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，BD =CD ，∠BED =∠DFC = 90︒∴DE =DF∴AD 垂直平分EF∴（4）错误；又AD 所在直线是∆ABC 的对称轴，∴（1）∠DEF =∠DFE ；（2）AE =AF ；（3）AD 平分∠EDF ．故选：C ．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角” ) 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一” ) ．5．下列不等式变形正确的是( )A．由a >b ，得ac >bcC．由-1>-1 ，得-a>-aB．由a >b ，得a - 2 <b - 2D．由a >b ，得c -a <c -b 2 2【分析】分别利用不等式的基本性质判断得出即可．【解答】解：A 、由a >b ，得ac >bc(c > 0) ，故此选项错误；B 、由a >b ，得a - 2 >b - 2 ，故此选项错误；C 、由-1>-1 ，得-a>-a(a > 0) ，故此选项错误；2 2D 、由a >b ，得c -a <c -b ，此选项正确．故选：D ．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式基本性质是解题关键．9(x -1)⎨⎨6．一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西40︒ 的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西20︒ 的方向行驶 40 海里到达C 地，则 A 、C 两地相距( ) A ．30 海里 B ．40 海里 C ．50 海里D ．60 海里【分析】由已知可得∆ABC 是等边三角形，从而不难求得 AC 的距离． 【解答】解：由题意得∠ABC = 60︒ ， AB = BC ，∴∆ABC 是等边三角形， ∴ A C = AB = 40 海里．故选： B ．【点评】本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明∆ABC 是等边三角形是解题的关键．7．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 7 棵，还剩 9 棵，若每人平均植树 9 棵， 则有 1 名同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )【分析】不到 8 棵意思是植树棵树在 0 棵和 8 棵之间，包括 0 棵，不包括 8 棵，关系式为： 植树的总棵树 (x - 1) 位同学植树的棵树，植树的总棵树< 8 + (x - 1) 位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．【解答】解： (x - 1) 位同学植树棵树为9 ⨯ (x - 1) ，有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．植树的棵数为(7 x + 9) 棵，∴可列不等式组为：⎧7x + 9 ，⎩7x + 9 < 8 + 9(x -1)⎧7x + 9 - 9(x -1) 即 ⎩7x + 9 - 9(x -1) < 8．故选： C ．【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”是解决本题的突破点．3⎨x - m > 1 1 1 0 0 8．如图∠AOP = ∠BOP =15︒ ， PC / /OA ， PD ⊥ OA ，若 PC =10 ，则 PD 等于( )A ．10B ． 5C ．5D ．2.5【分析】根据平行线的性质可得∠AOP = ∠BOP = ∠CPO =15︒ ，过点 P 作∠OPE = ∠CPO 交于 AO 于点 E ，则∆OCP ≅ ∆OEP ，可得 PE = PC = 10 ，在Rt ∆PED 中，求出∠PEA 的度数，根据勾股定理解答． 【解答】解： PC / /OA ，∴∠CPO = ∠POA ， ∠AOP = ∠BOP = 15︒ ，∴∠AOP = ∠BOP = ∠CPO = 15︒ ，过点 P 作∠OPE = ∠CPO 交于 AO 于点 E ，则∆OCP ≅ ∆OEP ，∴PE = PC =10 ，∠PEA = ∠OPE + ∠POE = 30︒ ，∴ PD = 10 ⨯ 1= 5 ．2故选： C ．【点评】本题利用了：1、两直线平行，内错角相等；2、三角形的外角与内角的关系；3、全等三角形的判定和性质．9．不等式组⎧x + 5 < 5x + 1的解集是 x > 1，则m 的取值范围是( )⎩A ． mB ． mC ． mD ．m【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出 m 的范围。
甘肃省酒泉市敦煌市青海油田第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
甘肃省酒泉市敦煌市青海油田第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =IA ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ） A．y =B ．3y x x =-C ．1y x=-D．y =3．函数1()ln(1)f x x =+A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]二、多选题4．若0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．22ac bc > CD ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、单选题 5．函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ） A ．4 B．3 C．D．36．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()1,+∞B ．()1,8C ．()4,8D ．[)4,87．已知偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+且在[]0,2上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则()()20142015f f +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若()12,0,x x ∀∈+∞且12x x >，都有()()1122120x f x x f x x x ->-，则不等式()()114x f x --<的解集为（ ）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．(),3-∞C ．()1,3-D ．()1,-+∞四、多选题9．下列有关命题的叙述，其中正确的是（ ）A ．若不等式230ax bx ++>的解集为{13}xx -<<∣，则1a b += B ．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”成立的充分不必要条件 C ．命题():1,log 00,1a p x a a x ∀≥≥>≠，则:1,,log 0a p x x ⌝∃<< D ．命题2:,40q x x x a ∃∈++<R 是真命题，则实数4a >. 10．若正实数,a b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．12a b +的最小值为8B ．ab 的最小值为18CD ．224a b +的最小值为1211．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 在(1,0]-上单调递增，(1)(1)f x f x +=-，且图象关于点(2,0)对称，则下列结论正确的是（ ）A ．(0)(2)f f =B ．()f x 的最小正周期2T =C ．()f x 在(1,2]上单调递减D ．(2021)(2022)(2023)f f f >>五、填空题12．函数()212log 2y x x =+-的单调增区间.13．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是.14．已知函数()23,021,0x x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()()221630f x a f x a +-⋅-=有4个不同的实根，则实数a 的取值范围.六、解答题15．在①411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭､②{}2230A x x x =--<∣､③{12}A x x =-<∣这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．设集合__________，集合()(){}()22101B xx m x m m =---<≠∣， (1)当0m =时，求A B ð；(2)若设:;:p x A q x B ∈∈，若q 是p 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 16．若二次函数()y f x =对任意()y f x =都满足()()11f x f x +=-，其最小值为1-，且有()00f =(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2f x a ax >-；(3)设函数()()()g 23x f x a x =--+，求()g x 在区间[]1,1-的最小值.17．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X 名，求X 的分布列与数学期望． 参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 临界值表：18．已知定义域是R 的函数()()212xf x a a =-∈+R 是奇函数. (1)求a 的值(2)先判断函数()f x 单调性并证明；(3)若对于任意()1,3t ∈，不等式()()22230f t kt f t -+-<恒成立，求k 的范围.19．2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：(1)计算x y ，的相关系数r （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和()5k k ≥个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p ，当k 取多少时，p 最大？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，$ay bx =-$，()()niix x y y r --∑1.732．。
2019届甘肃省兰州市第一中学高三12月月考英语试卷(解析版)
兰州一中 2018—2019第一学期高三年级月考试题英语试题(考试时间100分钟，试卷满分120分)第Ⅰ卷选择题（共三节满分70分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
AMembershipAll you need to do is fill out the order form at the bottom of the page, select your first order from our book list and then post the completed form back to us.Special offers for new membersAs a special offer, you may choose any reduced-price books from our new members’ book list, to the value of 100 yuan in total. Tick the box on your form to order a free watch. Join before the end of this month and you receive another free book carefully chosen by our staff. Order an audio-book from the many on offer, at half the recommended retail price.When you’ve joinedAs a member you get around 50% off the pu blisher’s price of every book you buy, and what’s more, they come straight to your door. Your free club magazine arrives once a month to keep you up to date with the latest best-sellers we’ve added to our list. On the Internet, you can find all our titles for the year at our exclusive members’ website. Our website also has a book swap service where members can request or offer books for exchange.Being a memberAll you have to do is order four books during your first year. After that, you can decide on the number of books you wish to take. In each of your monthly club magazines, our experienced staff choose a “Book of the Month” for you, which is offered at an extra-special price. If you do not want this book, just say so in the space provided on the form and send it back to us. We always send the book if we do not receive this form.Once we receive your order, your books are delivered within one week. And remember, you have up to a fortnight to decide if you wish to keep the books you have ordered. If they a ren’t what you expected just end them back!1. How can you become a member of the Metropolis Book Club?A. By ordering a watch free of charge.B. By sending the advertisement to the club.C. By returning the completed order form.D. By choosing books with special prices. .2. What information does the monthly magazine give members?A. The percentage saved on each book.B. The names of all the books sold by the club.C. The list of the newest books available to buy.D. The books that can be swapped by club members.3. What can we infer from the last part of the passage?A. At least four books should be bought each year.B. Members need to buy the “Book of the Month”.C. The more books bought, the higher the member’s grade.D. Members can look at the books before they buy them.【答案】1. C 2. C 3. D【解析】本文是一则广告，主要介绍了如何成为网站会员以及成为会员的优惠措施等信息。
专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(原卷版)
专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-．若(l n2)8f =，则a =______________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．（2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -．8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．13．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．27．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．29．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．110．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－213．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________．21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数 等于______________．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当时， ，则______________． 28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：① ；② ， ， ；③ ；④ ． 其中是偶函数的有______________．（填序号）29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 ， ．若偶函数 满足 （其中 ， 为常数），且最小值为1，则 ______________． 30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数 与 都是定义在 上的奇函数，当 时， ，则的值为______________．。
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兰州第一中学2019学年高三9月月考数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1. 答选择题前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔准确涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3. 考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分.4. 考试结束后，监考员将答题卡收回，试卷由考生自己保管.第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 2.命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤53.设f ：x →x 2是集合A 到B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 只可能是A ．∅或{1}B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1}或{2} 4.函数y = |lg （x -1）| 的图象是5.函数lg(1)lg(1)y x x =-++的图象关于A ．直线0y =对称 B. 直线0x =对称 C.点(0,0)对称 D.点(1,1)对称6.已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(8.5)f 等于 A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-C7.方程125x x -+=的解所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8.函数y =x 2＋x (－1≤x ≤3 )的值域是A. [0,12]B. ]12,43[C. [21-,12] D . ]12,41[- 9.已知二次函数y ＝x 2－2a x ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是 A ．2≤a ≤3 B ．a ≤2或a ≥3 C ．a ≤－3或a ≥－2 D ．－3≤a ≤－2 10.已知2log 0.3a =，0.32b=，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是A. a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D. a c b >>11.给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x ；⑤f (x )=1x．其中满足条件 f 12()2x x +>12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12.已知函数)(x f 为偶函数，当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ，则(1)0f x -<的解集是A ．()0,2-B ．()0,2C ．()0,1-D ．[]2,1第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，q ：2∈{x |x 2<a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是 .14.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为____________． 15.若二次函数()21111fx a x b x c =++和()22222f x a x b x c =++使得()()12f x f x +在(),-∞+∞上是增函数的条件是 ．16.已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．三、解答题：（本题共5小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}， (1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分14分）已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且非p 是非q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分14分）函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.20．（本小题满分14分）某服装批发商场经营的某种服装，进货成本40元/件，对外批发价定为60元/件．该商场为了鼓励购买者大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过50件时，只享受批发价；一次购买超过50件时，每多．购买1件，购买者所购买的所有．．服装可在享受批发价的基础上，再降低0.1元/件，但最低价不低于50元/件．（1）问一次购买多少件时，售价恰好是50元/件？（2）设购买者一次购买x 件，商场的利润为y 元（利润=销售总额－成本），试写出函数y =f(x)的表达式．并说明在售价高于50元/件时，购买者一次购买多少件，商场利润最大．21. （本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝f (x )＋ax －6ln x ，其中a ∈R.(1)当a ＝1时，判断f (x )的单调性；(2)若g (x )在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；(3)设函数h (x )＝x 2－mx ＋4，当a ＝2时，若∃x 1∈(0,1)，∀x 2∈[1,2]，总有g (x 1)≥h (x 2)成立，求实数m 的取值范围.甘肃省兰州一中2019届高三第一次月考数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：5. 答选择题前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔准确涂写在答题卡上.6. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.7. 考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分. 8. 考试结束后，监考员将答题卡收回，试卷由考生自己保管.第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 ( C ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2. 命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( C )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤53.设f ：x →x 2是集合A 到B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 只可能是 ( A )A ．∅或{1}B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1}或{2}4.函数y= |lg （x-1）| 的图象是 （C ）5.函数lg(1)lg(1)y x x =-++的图象关于 ( B )A ．直线0y =对称 B. 直线0x =对称 C.点(0,0)对称 D.点(1,1)对称6.已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(8.5)f 等于 （ A ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-7.方程5x 21x =+-的解所在的区间是 （ C ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C8.函数y=x 2＋x (－1≤x ≤3 )的值域是 ( D )A. [0,12]B. ]12,43[C. [21-,12] D .]12,41[- 9.已知二次函数y ＝x 2－2a x ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是(B) A ．2≤a ≤3 B ．a ≤2或a ≥3 C ．a ≤－3或a ≥－2 D ．－3≤a ≤－2 10.已知2log 0.3a =，0.32b=，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是 （ D ）A. a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D. a c b >>11.给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=；⑤f (x )=1x．其中满足条件 f 12()2x x +>12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 ( A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12.已知函数)(x f 为偶函数，当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ，则(1)0f x -<的解集是（B ）A ．()0,2-B ．()0,2C ．()0,1-D ．[]2,1 第II 卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，q ：2∈{x |x 2<a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是____ a >414. 如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为_2，12，－12，－2．15.若二次函数()21111fx a x b x c =++和()22222f x a x b x c =++使得()()12f x f x +在(),-∞+∞上是增函数的条件是120a a +=且120b b +>．16.已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ 7 ． 三、解答题：（本题共5小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，(1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分14分） 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且非p 是非q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．∴A21．（本小题满分14分）某服装批发商场经营的某种服装，进货成本40元/件，对外批发价定为60元/件．该商场为了鼓励购买者大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过50件时，只享受批发价；一次购买超过50件时，每多．购买1件，购买者所购买的所有．．服装可在享受批发价的基础上，再降低0.1元/件，但最低价不低于50元/件．（1）问一次购买多少件时，售价恰好是50元/件？（2）设购买者一次购买x件，商场的利润为y元（利润=销售总额－成本），试写出函数y=f(x)的表达式．并说明在售价高于50元/件时，购买者一次购买多少件，商场利润最大．3.已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝f(x)＋ax－6ln x，其中a∈R.(1)当a＝1时，判断f(x)的单调性；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；(3)设函数h(x)＝x2－mx＋4，当a＝2时，若∃x1∈(0,1)，∀x2∈[1,2]，总有g(x1)≥h(x2)成立，求实数m的取值范围.·11·。