第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题

合集下载

高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法正确的个数是()①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3B．2C．1 D．0【解析】①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．【答案】C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b ＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．【答案】C4．如图2119所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2119A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】B5．如图2120，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()图2120A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E 是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．【答案】C二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2224，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2224【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN＝C1M＝21A1C1＝21AC，所以N为AC的中点．9．如图2225，平面EFGH分别平行于CD，AB，E，F，G，H 分别在BD，BC，AC，AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形．(2)设DE＝m，EB＝n，求矩形EFGH的面积．图2225【解】(1)证明：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形．由CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF为CD和AB所成的角．又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形．(2)由(1)可知在△BCD中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n，所以CD EF ＝DB BE .又CD ＝a ，所以EF ＝m ＋n n a . 由HE ∥AB ，所以AB HE ＝DB DE .又因为AB ＝b ，所以HE ＝m ＋n mb .又因为四边形EFGH 为矩形，所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝m ＋n m b ·m ＋n n a ＝(m ＋n2mn ab .10．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n【解析】对于A ，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确；对于B ，如图(2)所示，此时m ，n 是异面直线，而n 与α平行，故B 不正确；对于D ，如图(3)所示，m 与n 相交，故D 不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2226，三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .图2226【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

【优质文档】第2章点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷及参考答案

第3页
19．如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA⊥底面 ABCD ，E 是 PC 的中点．已知 AB＝ 2， AD ＝ 2 2， PA＝2.求： (1) 三角形 PCD 的面积； (2) 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
20．如图所示， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO⊥底面 ABCD ，底面边长为 a， E 是 PC 的中点．
8．如图所示，在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，若 E 是 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于 (
)
A ． AC
B ．BD
C． A1D
D ． A1D 1
8 题图
9 题图
9．如图所示，将等腰直角△ ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，此时∠ B′ AC＝
60 °，那么这个二面角大小是
(1) 求证： PA∥面 BDE ； (2) 求证：平面 PAC⊥平面 BDE ； (3) 若二面角 E－ BD － C 为 30°，求四棱锥 P－ABCD 的体积．
21．如图，四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA⊥底面 ABCD ， AC ＝2 2， PA＝2， E 是 PC 上的一点， PE＝ 2EC. (1) 证明： PC⊥平面 BED ； (2) 设二面角 A－ PB－ C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
时，有 A1C⊥ B1D1( 注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况
)．
15 题图
16 题图
16．如图所示，已知矩形 ABCD 中， AB＝ 3，BC＝ a，若 PA⊥平面 AC，在 BC 边上取点 E，使 PE⊥ DE ，则满足条件的 E 点有两个时， a 的取值范围是 ________．

点、直线、平面之间的位置关系单元测试(含解析)

第二章点、直线、平面之间的位置关系单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分) 1．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )． A ．两条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 2．下列命题中，正确的是( )．A ．平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB ．过平面α外一点P 有且只有一个平面β和平面α垂直C ．直线l ∥平面α，直线l ⊥平面β，则α⊥βD ．垂直于同一个平面的两个平面平行3．设P 是△ABC 所在平面α外一点，H 是P 在α内的射影，且P A 、PB 、PC 与α所成的角相等，则H 是△ABC 的( )．A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 4．已知二面角α-l -β的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m 、n 所成的角为( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )．A ．1C.2D.126．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )． A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 7．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )．B ．18．如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )．A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部9．已知二面角α-AB -β的平面角是锐角θ，面α内有一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ＝( )．A.34B.35C.7D.710．下列命题中错误．．的是( )． A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β11．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点．将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°12．如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确．．．的是( )．A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13．如图所示，A ，B ，C ，D 为不共面的四点，E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上．(1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在直线__________上； (2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在直线__________上．14．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线AC 、BD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为__________．15．已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起使二面角A -BD -C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离为__________．16．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m ，n ∥m 且n α⊄，n β⊄，则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是__________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)三、解答题(本大题共6个小题，共计74分)17．(12分)如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.18．(12分)如下图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.(1)求证：平面P AB⊥平面PBC；(2)若PC＝2，求△PBC的面积．19．(12分)如图是一个棱长为1的正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN、PQ画出来，并解答下列问题：(1)MN和PQ所成角的大小；(2)四面体M-NPQ的体积．20．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝(1)证明：P A∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．21．(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．22．(14分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．答案与解析1.答案：D解析：A 错，因为两条直线可能为异面直线，B 与A 相同也不正确，C 错，三点若在同一条直线上不行．2.答案：C解析：A ：若α∩β＝l ，且α与β不垂直时，在α内有一条直线α⊥l ，则a 也垂直于β内所有与l 平行的直线，故A 错误；B ：一本书竖直立在桌面上，过书脊上一点有很多平面与桌面垂直；D ：教室内相邻两面墙都与地面垂直，而这两个平面相交，故选C.3.答案：B解析：由题意知Rt △PHA ≌Rt △PHB ≌Rt △PHC ，得HA ＝HB ＝HC ，所以H 是△ABC 的外接圆圆心．4.答案：B解析：本题考查二面角的概念，易知m 、n 所成的角与二面角的大小相等，故选B. 5.答案：B解析：取SA 的中点H ，连接EH 、FH .因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，在△EFH 中，应用勾股定理得EF 6.答案：B解析：对于A ：若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊂α可能成立，l ⊥α不一定成立，A 错误，对于B ：若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，正确．同理对于C 、D 可判定错误 .7.答案：D解析：如图，AB ＝1，∠B 1AB ＝60°，B 1B ＝A 1A A 1C 1与底面ABCD 的距离即为1A AD. 8.答案：A解析：∵BA ⊥AC ，BC 1⊥AC ，BA ∩BC 1＝B ，∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，且交线是AB .故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 上的射影H 必在交线AB 上．9.答案：D解析：如图，过C 作CE ⊥β，垂足为E ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接EF ，则∠CFE ＝θ为二面角α-AB -β的平面角，且CE ＝3，CF ＝4.∴tan CE EF θ===＝. 10.答案：D解析：A 选项正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B 正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C 正确，设α内a ⊥r ，β内b ⊥r ，α∩β＝l ，则a ∥b ，所以a ∥β，根据线面平行的性质定理，所以a ∥l ，所以l ⊥r .D 错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.11.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图所示，HG 与IJ 为一对异面直线，过点D 分别作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD ，所以∠ADF 即为所求．因此，HG 与IJ 所成角为60°.12.答案：D解析：∵EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，∴EH ∥B 1C 1. ∴EH ∥平面BCGF .∵FG ⊂平面BCGF ， ∴EH ∥FG ，故A 对．∵B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，EF ⊂平面A 1B 1BA ， ∴B 1C 1⊥EF .则EH ⊥EF .由上面的分析知，四边形EFGH 为平行四边形，故它也是矩形，故B 对．由EH ∥B 1C 1∥FG ，故Ω是棱柱，故C 对，选D. 13.答案：(1)BD (2)AC 解析：(1)若EH ∩FG ＝P ，那么点P ∈平面ABD ，P ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .(2)若EF ∩GH ＝Q ，则Q ∈平面ABC ，Q ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴Q ∈AC .14.答案：20或4解析：若P 在α、β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则PA ABPC CD=，可求得CD ＝20；若P 在α、β之间，可求得CD ＝4.15.答案：2解析：设AC ∩BD ＝O ，则翻折后AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 即为二面角的平面角，则∠AOC ＝120°，且AO ＝1，所以d ＝1×sin 60°16.答案：②④解析：①中n 可能只与α、β中的一个相交，但不垂直；③m 只要是斜线就有可能．17.证明：(1)如图所示，连接EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点．∴EH ∥BD ，同理FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥BD ，同理GH ∥AC .又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH ，∴AC ⊥BD . 18.(1)证明：∵平面P AC ⊥平面ABC ，且其交线为AC ，P A ⊥AC ，P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AB ⊥BC ，AB ∩P A ＝A ，AB ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AB .∴BC ⊥平面P AB .而BC ⊂平面PBC ，∴平面P AB ⊥平面PBC .(2)解：由(1)得，BC ⊥平面P AB ， ∴BC ⊥PB ，即∠PBC ＝90°，由已知PC ＝2，得AC 222BC AC =＝＝.在Rt △PBC 中，PB ==.∴Rt △PBC 的面积1122S PB BC ⨯=＝＝. 19.解：如图：(1)如图，连接MC 、NC 、MN ，可得PQ ∥NC ，则∠MNC (或其补角)就是异面直线MN 和PQ 所成的角，因为△MNC 是等边三角形，所以∠MNC ＝60°，即异面直线MN 和PQ 所成的角等于60°.(2)因为正方体的棱长为1，所以V 正方体＝1，所以--·1136M NPQ Q PMN MNP V V S MQ ＝＝＝. 20.(1)证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝H ，连接EH ，在△ADC 中，∵AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ， ∴H 为AC 的中点．又E 为PC 的中点，∴EH ∥P A ，又HE ⊂平面BDE ，PA BDE ⊄平面， ∴P A ∥平面BDE . (2)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，由(1)知，BD ⊥AC ，PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .(3)解：由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，∴∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝可知DH ＝CH ＝2，2BH ＝在Rt △BHC 中，t 13an C CBH H BH ∠=＝. 即直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13. 21.(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CE .因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD . 又P A ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面P AD . (2)解：由(1)可知CE ⊥AD . 在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以·11522·21121ECD ABCD ABCE S S S AB AE CE DE ⨯⨯⨯ 四边形矩形＝＋＝＋＝＋＝. 又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，所以-1151336·52P ABCD ABCD V S PA ⨯⨯=四棱锥四边形＝＝. 22.解：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，3BE =.于是，在Rt △BEM 中，s 23in E EBM M BE ∠=＝，即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(a) (b)(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE . 因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B .因此四边形B 1BGF 是平行四边形．所以B 1F ∥BG .而11B F A BE ⊄平面，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .。

高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试(一)

数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.面α⋂面β=l ，A α∈，B α∈，AB ⋂l =D ，C β∈，C l ∉，则平面ABC 与平面β的交线是()A .有无数条B .有两条C .至多有两条D .有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A.)π１ B.4π C.3πD.5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .10B .5-C .5D .54.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC=BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是()A.梯形B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，Q 为AD 中点，点M 在线段PC 上，且PM tPC =，0t >，试确定实数t 的值，使得//PA 面MQB .A .14B .1C .23D .136.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点，点,D F 分别为,AC AB 上的动点，且GD EF ⊥，则线段DF 的最小值为A .12B .1C D .二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7.设a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，有以下结论：(1)当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成30角.(2)当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角.(3)直线AB 与a 所成角的最小值为45 .(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60.则正确结论的序号为A (1)B(2)C(3)D(4)8.一张A4纸的长宽之比为，E ，F 为AD ，BC 的中点.现分别将ABE ∆，CDF ∆沿BE ，DF 折起，且A ，C 在面BFDE 同侧，下列命题正确的是()(1)A ,G ,H ,C 四点共面.(2)当面ABE //面CDF 时，AC //面BFDE .(3)当A ，C 重合于点P 时，面PDE ⊥面PBF .(4)当A ，C 重合于点P 时，设面PBE ⋂面PDF =l ，则l //面BFDE .A (1)B(2)C(3)D(4)三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BA 1=C 1D =5，C 1A 1=BD =，DA1=BC 1=.则三棱锥B -A 1DC 1的体积为________10.已知点E ,F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AA 1点，且12AE AB =，113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点，且1//PB 面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β;③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β;④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n.其中正确的命题是________和________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 为1CC 中点，F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB ⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403(1)求棱A 1A 的长;(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积.数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试答案一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1选D 2选C 3选C 4选C 5选D 6选C二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7选B ，C 8选A BCD三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9.20解析：111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ，易求得5a =，4b =，3c =.所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=.10.无数条解析：取113BH BB =，连接FH ，则//FH AB .在线段1D E 上取113OE D E =，在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ，在段1D E 上任取一点M ，过点M 在面1D HE 中，作//HO MG ，交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ，交1C F 于N ，连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ，又MN ⊂面MNG ，所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点，故与面ABCD 平行的直线MN有无数条.11.11333⎡⎢⎣⎦，.解析：取112AM MA =，连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形，所以1//B M DF .取11D C 中点N ，连接1,B N MN ，则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ，连接MG ，则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B NGM 的交线上，即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是11333⎡⎢⎣⎦，.12(3)和(4)①不正确，面α，β可能相交.②不正确，当直线m ，n 平行时，α，β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m ，n 相交时，α∥β.③正确，根据面面平行的定义可知l 与β无公共点，即可知l ∥β.④正确，因为α∩β=l ，可知l ⊂α，又因为l ∥γ，γ∩α=n ，则m ∥n.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分)证明：如图所示，易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ，1111CB A B B ⋂=，所以BE ⊥面11A B C .由于1A C ⊂面11A B C ，所以BE ⊥1AC .又BD ⊥CA ，BD ⊥1A A ，1CA A A A ⋂=，所以BD ⊥面1A AC .由于1A C ⊂面1A AC ，所以BD ⊥1AC .由于BE BD B ⋂=，所以1AC ⊥面EBD ，所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB.连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB.而DO∩DE=D ，故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角.由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°.不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=3.在Rt △DOE 中，DO=DE·sin 60°=32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO=DO AD =322=34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.15(本小题满分18分)(1)设A 1A=h ，因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为403，所以V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1-V B−A 1B 1C 1=403即S 四边形ABCD ·h-13·S △A 1B 1C 1·h=403，即2×2×h-13×12×2×2×h=403解得h=4.所以棱A 1A 的长为4.(2)如图，连接D 1B ，设D 1B 的中点为O ，连接OA 1，OC 1，OD.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，所以A 1D 1⊥平面A 1AB.因为A 1B ⊂平面A 1AB ，所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=12D 1B.同理OD=OC 1=12D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1D 12+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24，所以S 球=4π·(OD 1)2=4π·(D 1B 2)2=π·D 1B 2=24π.故经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为24π.。

点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)

第二章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△P AB，△P AD，△P AC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM()A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案 A9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案 D11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE .∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ，V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224.∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案异面14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________；(2)∠BAC＝________.解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a .∴BD ＝CD ＝22a .∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°.答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则：①四边形BFD ′E 一定是平行四边形；②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解析如图所示：∵BE ＝FD ′，ED ′＝BF ，∴四边形BFD ′E 为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD ′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ，∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点．(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形，∴S 正方形ABCD ＝1，S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22.故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2.19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A 1M A 1B ，∴MP ∥AA 1∥BB 1， ∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN ， ∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC ＝AN AC ＝23a2a ＝13，NP ＝13a ，同理MP ＝23a . 又MP ∥BB 1，∴MP ⊥面ABCD ，MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN ＝49a 2＋19a 2＝53a .20．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，P A垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC 为正三角形， ∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ， ∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AE . ∴P A 2＝PE 2－AE 2＝2，即P A ＝ 2. 正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2.(2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高P A ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32，∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·P A ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC . ∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2， ∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形． ∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A ＝A ，∴AC ⊥平面P AB .。

【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上，由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线． 8．证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α，由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13．证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1，又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．

必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题

直线、平面之间的位置关系单元测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（） A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．0.5倍2.多面体的直观图如右图所示，则其正视图为（）3.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）教材A ．三角形的直观图可能是一条线段B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形C ．正方形的直观图是正方形D ．菱形的直观图是菱形 4.若l 、a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（） A ．l a l a αα⊂⇒∥,∥ B ．a a b b αα⇒∥,∥∥ C ．,a b a b αα⊥⇒⊥∥ D ．a a ααββ⇒∥,∥∥5.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 6.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.07.平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行8. 如图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）A ．1∶6B ．1∶5C ．1∶2D ．1∶3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在对应题号后的横线上。

9.圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积．．．为 10.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为.ABC DABCCAB11.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中（侧棱垂直于底面）， ∠ABC = 90°，且AB = BC = AA 1，则BC 1与面ACC 1A 1所成的角的大小为 .12.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断：① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：若______________________________________.13．已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 . 三、解答题：本大题共5小题，共68分。

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；（2）三条两两相交的直线在同一平面内；（3）有三个不同公共点的两个平面重合；（4）两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为（）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为。

第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》一、选择题1．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。

其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直．其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ． ①是假命题，②是真命题C ． ①②都是真命题D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，其中，可以判定α与β平行的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件时，有β//m ；（ii ）当满足条件时，有β⊥m （填所选条件的序号）2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号） 3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)5．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线② 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα⊂,则//m β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、计算题1．如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ；（Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。

高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试卷及答案

B．平面 ADC ⊥平面 BDC D．平面 ADC ⊥平面 ABC
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．直线 l 与平面 α所成角为 30°， l∩α＝ A， m? α， A m ，则 m 与 l 所成角的取值范围是 ________ ． 14．如图所示，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，M 、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若∠ B1MN 是直角，则∠ C1MN 等于 ________．
A．1 条
B．2 条
C． 3 条
D．4 条
7．如图， A 是平面 BCD 外一点， E、 F 、G 分别是 BD、 DC、 CA 的中点，设过这三点的平
面为 α，则在图中的 6 条直线 AB、AC、AD 、BC、CD 、DB 中，与平面 α平行的直线有（）
A．0 条
B．1 条
C． 2 条
D．3 条
D．如果平面 α不垂直于平面 β，那么平面 α内一定不存在直线垂直于平面 β 4．已知 α、β是两个平面，直线 l ， l ，若以① l⊥ α；② l ∥β；③ α⊥β中两个为条件，
另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（
）
A ．①③ ? ②；①② ? ③
B．①③ ? ②；②③ ? ①
C．①② ? ③；②③ ? ①
8．已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 内的射影为△ ABC
的中心 O，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为（
）
A． 1 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 2 3
9．等腰 Rt△ABC 中， AB＝BC ＝1， M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，

(完整版)第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试(含答案

第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试时间：90分钟满分:150分班级姓名学号得分123456789101112一选择题 (每题5分总分60分）1.下列命题：①如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32。

在空间中，下列命题正确的是（）A。

垂直于同一条直线的两直线平行 B。

平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行 D。

垂直于同一平面的两条直线平行3。

分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A.一定平行B。

一定相交C.一定异面D.相交或异面4。

如图，用符号语言可表示为( )A。

α∩β＝m,n⊂α，m∩n＝A B。

α∩β＝m，n∈a,m∩n＝AC。

α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D。

α∩β＝m，n∈a,A∈m，A∈n5.下列命题中正确的个数是（)①一个平面长4米,宽2米；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．A．0 B．1 C．2 D．36.下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( ）A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行7.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（）①平面PAB⊥平面PBC②平面PAB⊥平面PAD③平面PAB⊥平面PCD④平面PAB⊥平面PACA。

①② B.①③ C.②③ D.②④8.已知三条相交于一点的线段PA PB PC、、在同一平面内，P在平面ABC外，PH 平、、两两垂直,且A B C面ABC于H,则垂足H是ABC△的( ）A．外心 B．内心 C．垂心D．重心9.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( ）A。

必修2第二章“点直线平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的)1.假设直线l 不平行于平面α，那么以下结论成立的是（）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出以下命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；（2）三条两两相交的直线在同一平面内；（3）有三个不同公共点的两个平面重合；（4）两两平行的三条直线确信三个平面．其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，假设AB AD AC CB CD BD =====，那么AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出以下命题：（1）直线l 与平面α不平行，那么l 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线l 与平面α不垂直，那么l 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线,a b 不垂直，那么过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直；（4）假设直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，那么a 和c 共面其中错误命题的个数为（）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，假设PA PB PC ==，那么点O 是ABC ∆的（）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC = AB CD A 1B 1C 1D 11C BD C --的大小为（）A ．300B.450C.600D.9008.已知直线,,a b c 及平面,αβ，以下命题正确的选项是（）A.假设,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.假设,//b a b α⊂ ，那么//a αC.假设//,a b ααβ=，那么//a b D.假设,a b αα⊥⊥，那么//a b9.平面α与平面β平行的条件能够是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，那么在那个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 别离是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，假设AC BD a ==，且AC与BD 所成的角为90，那么四边形EFGH 的面积是． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间必然点，那么在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，别离交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，别离交于B D ，两点，假设698PA AC PD ===，，，那么BD 的长为。

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试卷

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能答案 D解析两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝2，所以∠BDE＝60°.3．已知一个四棱锥的三视如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1答案 A解析由三视图知，该几何体为底面是矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中四个侧面全是直角三角形，所以该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数为4.4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D答案 D解析∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β答案 B解析若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B.6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC.又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．7．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB ＝2，AC＝BD＝1，则CD等于()A．2 B. 3 C. 2 D．1答案 C解析如图，连接BC，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC.∴△ABC为直角三角形，∴BC＝22－12＝ 3.在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝1，∴CD＝(3)2－1＝ 2.8．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案 D解析∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.∴AB⊄β，l⊂β.∴AB∥β.故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．9．已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α答案 C解析 A 选项中直线a 还可能在平面α内，所以错误；B 选项中直线a 与b 可能平行，还可能异面，所以错误；C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确；D 选项中直线a 还可能在平面α内，故错误．10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 答案 B解析如图所示，作PO ⊥平面ABC ，则O 为△ABC 的中心，连接AP ，AO .S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若AB ＝BC ，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则下列结论中成立的是( )①EF 与BB 1垂直； ②EF ⊥平面BCC 1B 1； ③EF 与C 1D 所成的角为45°； ④EF ∥平面A 1B 1C 1D 1.A ．②③B ．①④C ．③D ．①②④解析显然①④正确，②③错误．12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1－BD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 A解析如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.因为AB＝AD＝23，所以AC⊥BD，又易知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OC1，所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．因为在△COC1中，OC＝6，CC1＝2，所以tan∠COC1＝3 3，所以二面角C1－BD－C的大小为30°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.答案②④14．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC 与平面ABC的位置关系是________．答案垂直解析∵P A＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上．又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.15．如图所示，若正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则P A与BE所成的角为________．解析如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥P A ，∴所求的角为∠BEO .由所给条件易得OB ＝62，P A ＝2，∴OE ＝12P A ＝22. ∵P －ABCD 为正四棱锥，∴OB ⊥OE ， ∴在Rt △OBE 中，tan ∠BEO ＝OBOE ＝3，∴∠OEB ＝60°.16.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．答案 (6，＋∞)解析由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥平面P AE ，又AE ⊂平面P AE ， ∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD ，即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并证明．解直线MN ∥平面A 1BC 1.证明如下：∵MD /∈平面A 1BC 1，ND /∈平面A 1BC 1，∴MN ⊄平面A 1BC 1.如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB .∴四边形NO 1BM 为平行四边形，∴MN ∥BO 1. 又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.18．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，F A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°. (1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF .(1)解因为四边形ADEF 是正方形，所以F A ∥ED ，故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为F A ⊥平面ABCD ，所以F A ⊥CD ，故ED ⊥CD . 在Rt △CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝22，所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝223.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明如图，过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.又因为CD⊥F A，F A∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．20．(12分)如图所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ； (2)求证：AC ⊥平面EBC ； (3)求该五面体的体积． (1)证明连接AE .∵四边形ADEB 为正方形， ∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， GF ∥AC .又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC .(2)证明 ∵四边形ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .∵CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC . 又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面EBC . (3)解取AB 的中点N ，连接CN . ∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB .又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12.∵五面体C －ABED 是四棱锥，∴V 四棱锥C －ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.21．(12分)如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为CD 的中点，以AE 为折痕，把△DAE 折起到△D ′AE 的位置，且平面D ′AE ⊥平面ABCE . (1)求证：AD ′⊥BE ；(2)求四棱锥D ′－ABCE 的体积；(3)在棱ED ′上是否存在一点P ，使得D ′B ∥平面P AC ，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明根据题意可知，在长方形ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形， ∴∠DEA ＝∠CEB ＝45°， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE .∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ，且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D ′AE ，∵AD ′⊂平面D ′AE ， ∴AD ′⊥BE .(2)解取AE 的中点F ，连接D ′F ，则D ′F ⊥AE . ∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ，且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴D ′F ⊥平面ABCE ，∴V D ′－ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24.(3)解如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D ′E 上存在点P ，使得D ′B ∥平面P AC ，连接PQ .∵D ′B ⊂平面D ′BE ，平面D ′BE ∩平面P AC ＝PQ ，∴D ′B ∥PQ ， ∴在△EBD ′中，EP PD ′＝EQQB .∵在梯形ABCE 中，EQ QB ＝EC AB ＝12，∴EP PD ′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′，∴在棱ED ′上存在一点P ，且EP ＝13ED ′，使得D ′B ∥平面P AC .22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．(1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .又因为AC ∩P A ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，又因为PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，AC EC＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .又P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC⊥平面P AB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝P A2＋AD2＝2 2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝ 2.设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝dPD＝1 2.所以PD与平面PBC所成的角为30°.。

点、直线、平面之间的位置关系测试题

《2.1 点、直线、平面之间的位置关系》测试题一、选择题1.(2011四川)，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ).A.⊥，⊥?∥B.⊥，∥?⊥C.∥∥?，，共面D.，，共点?，，共面考查目的：考查空间中直线与直线的位置关系及有关性质.答案：B.解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线有可能相交或异面，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.2.若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ).A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分考查目的：考查空间平面的位置关系和空间想象能力.答案：C.解析：如图所示，三个平面，，两两相交，交线分别是，，，且∥∥.观察图形，可得，，把空间分成7部分.3.(2010重庆文)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点( ).A.只有1个B.恰有3个C.恰有4个D.有无穷多个考查目的：考查异面直线的概念、性质和空间想象能力.答案：D.解析：可以将异面直线放在正方体中研究，显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D.也可以在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等.二、填空题4.(2010江西改编)过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作_______.A.1条B.2条C.3条D.4条考查目的：考查空间直线所成的角概念与求法.答案：8.解析：如图，连结体对角线，显然与棱AB、AD，所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连结，则与棱BC、BA、所成的角都相等，∵∥，BC∥AD，∴体对角线与棱AB、AD、所成的角都相等，同理，体对角线、也与棱AB、AD、所成的角都相等，过A点分别作、、的平行线都满足题意，故这样的直线可以作4条.5.正方体中，P、Q、R分别是AB、AD、的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 .考查目的：考查空间几何的公理３，判断空间点线的共面关系.答案：六边形.解析：如图，作RG∥PQ交于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交于F，连接QF，FG，∴截面为六边形PQFGRE.6.(2012安徽文)若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则____________(写出所有正确结论编号).①四面体每组对棱相互垂直②四面体每个面的面积相等③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长考查目的：考查空间直线与直线的位置关系.答案：②④⑤.解析：①连接四面体每组对棱中点构成菱形；②四面体每个面是全等三角形，面积相等；③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于；④连接四面体每组对棱中点构成菱形，菱形对角线垂直平分；⑤连结四面体棱的中点可得，该三角形三边分别等于长度的一半.三、解答题7.正方体中，E、F分别是AB和的中点．求证：⑴E，C，，F四点共面；⑵CE，，DA三线共点.考查目的：考查空间几何公理，会证明共线、共面问题.解析：⑴如图，连接EF，，.∵E、F分别是AB、的中点，∴EF∥.又∵∥，∴EF∥，∴E、C、、F四点共面.⑵∵EF∥，EF＜，∴CE与必相交.设交点为P，则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面.又∵平面ABCD∩平面＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、、DA三线共点.8.A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.⑴求证：直线EF与BD是异面直线；⑵若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角.考查目的：考查异面直线的判定，求异面直线所成角的基本方法.答案：⑴略；⑵.解析：⑴假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾，故直线EF 与BD是异面直线. ⑵如图，设G为CD的中点，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF 与EG所成的，即等于异面直线EF与BD所成的角.同理即为异面直线AC和BD所成的角，又∵AC⊥BD，∴为直角，在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG ＝，即异面直线EF与BD所成的角为.。

必修2第二章点直线平面之间的位置关系测试题

(2)三条两两相交的直线在同一平面内; (4)两两平行的三条直线确定三个平面.C . 2D . 3《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的) 1. 若直线I 不平行于平面：•，则下列结论成立的是()A. i 内所有的直线都与I 异面B.:-内不存在与I 平行的直线C. 内所有的直线都与I 相交D. 直线I 与平面:-有公共点 2. 给出下列命题:(1) 和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; (3 )有三个不同公共点的两个平面重合；其中正确命题的个数是( ) A . 0B . 13. 空间四边形 ABCD 中，若AB =AD = AC =CB =CD = BD ，则AC 与BD 所成角为()A. 300B. 450C. 600D. 90°4. 给出下列命题：(1) 直线I 与平面:-不平行，则I 与平面〉内的所有直线都不平行； (2) 直线I 与平面:不垂直，则I 与平面〉内的所有直线都不垂直； (3) 异面直线a, b 不垂直，则过直线 a 的任何平面与直线 b 都不垂直; (4) 若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.35 .正方体ABCD -ABQQ j 中，与对角线 AC 1异面的棱有( )条A.3B.4C.6D.86.点P 为，ABC 所在平面外一点， PO 丄平面ABC ，垂足为O ，若PA 二PB 二PC ，则点O 是A . 300 B.45 0 C.600 D.90BA.若a 二很，b 二很，c _ a,c _ b，贝U c _ ：B. 若b 二卅，a〃b ，贝U a//:C.若a//：•,：• P| - =b，则a//bD. 若a _ ,b _ ：•，则a//bA..工内有无穷多条直线与|.-平行;B. 直线I 〃 : , l // ■:C.直线m二很，直线n二,且m //, n // ：■D. :-内的任何直线都与一：平行10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中:①BM与ED平行. ②CN与BE是异面直线.③CN与BM成60?角. ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是A.①②③ E.②④C.③④D.②③④9.平面〉与平面1平行的条件可以是（二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11 .已知两条相交直线 a , b , a //平面「则b与〉的位置关系是________ 12.空间四边形ABCD中，E ,F ,G , H分别是AB , BC , CD , DA的中点，若AC二BD二a ,且AC与BD所成的角为90，则四边形EFGH的面积是_______________13 .如图，ABC是直角三角形，MABC =90’ , PA _平面ABC，此图形中有____ 个直角三角形.14.已知a, b是一对异面直线，且a, b成70角，p为空间一定点，则在过P点的直线中与a, b所成的角都为70的直线有 ___________ 条.15.已知平面-// :, P是平面：外的一点，过点P的直线m与平面：分别交于A, C两点，过点P的直线n与平面〉，一：分别交于B, D两点，若PA = 6, AC =9, PD =8，则BD 的长为<UIC<IC<IC12 3 4<U<IC<IC<IC5 6 7 8《选修2-1》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题答题卡考号 ______ 姓名 ________________ 得分 ________________、选择题（共50分）9丈cB 巨IZD io A E B 空匚D二、填空题（共2 5分11. _______________________________ ; 12 . _______________________________________ ; 13. _____________________________ ;14._:15..三、解答题：（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 •如图，PA 丄平面 ABC , AB_BC .求证：平面PBC 丄平面PAB17 .如图，已知正方形ABCD与ADEF边长都为1，且平面ADEF丄平面ABCD , G, H是DF, FC的中点.(1)求异面直线AF与CE所成角的大小;(2)求证：GH //平面CDE ;18.如图，PA 丄平面ABC , AE_PB , AB _ BC , AF _ PC , PA 二AB 二BC=2・(1)求证：平面AEF丄平面PBC ;(2)求二面角P-BC-A的大小；B19•如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD是平行四边形，M, N分别是AB , PC的中点.20. 如图，在长方体ABCD —A1B1C1D1中，AB = 2,E为D1C1的中点，连结ED, EC, EB和DB .(1) 求证：平面EDB丄平面EBC;(2) 求二面角E —DB —C的正切值.求证：MN// 平面PAD .BB L BC= 1,A(第20题)o21 .在四面体 ABCD中，△ ABC与厶DBC都是边长为4的正三角形.(1) 求证：BC丄AD ;(2) 若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A — BC — D的正弦值;D (3) 设二面角A— BC— D的大小为已猜想二为何值时，四面体A — BCD的体积最大.(不要求证明)(2)三条两两相交的直线在同一平面内; (4)两两平行的三条直线确定三个平面. 《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题答案、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的) 1. 若直线I 不平行于平面：•，则下列结论成立的是()DA. i 内所有的直线都与I 异面B.:-内不存在与I 平行的直线C. 内所有的直线都与I 相交D. 直线I 与平面:-有公共点 2. 给出下列命题:(1)和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内;(3 )有三个不同公共点的两个平面重合；C. 2D. 3CD = BD ，则AC 与BD 所成角为()D 600D. 900(1) 直线I 与平面:-不平行，则I 与平面〉内的所有直线都不平行； (2) 直线I 与平面:不垂直，则I 与平面〉内的所有直线都不垂直； (3) 异面直线a, b 不垂直，则过直线 a 的任何平面与直线 b 都不垂直； (4) 若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为( )D A.0B.1C.2D.35 .正方体ABCD -ABQQ j 中，与对角线 AC 1异面的棱有( )条CA.3B.4C.6D.86•点P 为，ABC 所在平面外一点， PO 丄平面ABC ，垂足为0，若PA 二PB 二PC ，则点0是人ABC 的( )BD 1C 1A.内心B.外心C.重心D. 垂心A 1/7.如图长方体中，AB=AD=2品,CG = 逅, 则二面角D■■By ./ C其中正确命题的个数是( )A A. 0B. 13.空间四边形ABCD 中，若 AB =AD = AC =CBA. 300B. 450C.4.给出下列命题:A.若 a 二很，b 二很，c _ a,c _ b ，贝U c _ ：B.若 b 二卅，a 〃 b ，贝U a//: C.若 a //：•,：• P| - =b ，则 a//bD.若a _ ,b _ ：•，则 a//bA..工内有无穷多条直线与|.-平行;B.直线I 〃 : , l // ■:C.直线m 二很，直线n 二,且m //D.:-内的任何直线都与一：平行10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中:①BM 与ED 平行. ②CN 与BE 是异面直线.③CN 与BM 成60?角. ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 A.①②③E.②④C.③④D.②③④ .b 〃二，或b 与a 相交.条.49.平面〉与平面1平行的条件可以是（二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11 .已知两条相交直线 a , b , a //平面「则b 与〉的位置关系是12.空间四边形 ABCD 中，E , F , G , H 分别是AB , BC , CD , DA 的中点，若AC 二BD 二a ,且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是13 .如图，ABC 是直角三角形，• ABC =90；, PA _平面ABC ，此图形中有个直角三角形.4 14.已知a, b 是一对异面直线，且 a , b 成70、角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a, b 所成的角都为70的直线有15. 已知平面'-//:, P 是平面：外的一点，过点 P 的直线m 与平面：分别交于A , C 两点，过点P的直线n与平面分别交于B, D两点，若PA = 6, AC =9, PD =8，则BD24的长为_____________ . 24或2-.5三、解答题：(本大题共5个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.如图，PA 丄平面ABC, AB_BC.P 求证：平面PBC丄平面PAB证明：••• PA丄平面ABC \ \••• PA 丄BC 4 分(或平面PAB丄平面ABC )V CA ••• AB 丄BC B• BC丄平面PAB 8 分•平面PBC丄平面PAB 12分17 .如图，已知正方形ABCD与ADEF边长都为1，且平面ADEF丄平面ABCD , G, H是DF, FC的中点.(1)求异面直线AF与CE所成角的大小;(2)求证：GH //平面CDE ;18•如图，PA 丄平面ABC , AE_PB , AB _ BC , AF _ PC , PA 二AB 二BC=2.(1)求证：平面AEF丄平面PBC ;(2)求二面角P-BC-A的大小；B19•如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD是平行四边形，M, N分别是AB , PC的中点. 求证：MN// 平面PAD .证明：如图，取CD的中点E，连接NE , ME 2分••• M，N分别是AB，PC的中点，••• NE// PD , ME// AD , 4 分•/ NE 二平面PAD, ME 二平面PAD 6 分••• NE// 平面PAD , ME// 平面PAD . 8 分又NE^ME 二E ,•平面MNE//平面PAD , 10分又MN二平面MNE ,• MN// 平面PAD . 12 分20.如图，在长方体ABCD —A1B1C1D1中，AB= 2, BB1=BC= 1, E 为D^i 的中点，连结ED , EC,EB 和DB.(1) 求证：平面EDB丄平面EBC;(2) 求二面角E —DB —C的正切值.A\证明：(1)在长方体ABCD —A1B1C1D1中，AB = 2, BB1= BC= 1 , E 为D1C1 的中点.• △ DD1E为等腰直角三角形，/ D1ED = 45°同理/ 6EC= 45°• • DEC =90 ，即DE 丄EC. 3 分在长方体ABCD- ABGD中,BC丄平面D1DCC1 ,又 DE 二平面 D1 DCC1,•BC 丄 DE . 5 分•DE丄平面EBC . 6分•••平面DEB过DE,•平面 DEB丄平面 EBC . 7分(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO丄DC于O. 9分在长方体 ABCD — ABQD1 中，•••面 ABCD 丄面 D1DCC1 ,11V ABCDS AOD BC OA OD BC sin AOD = 8sin 二 3 6••• EO 丄面ABCD .过 O 在平面 DBC 中作 OF 丄DB 于F ，连结EF,••• EF 丄 BD . / EFO 为二面角E — D B — C 的平面角. 11分1 利用平面几何知识可得 OF = 1, V5 又 OE= 1, 所以，tan. EFO =.即二面角E — DB — C 的正切值是.5 13分21 .在四面体 ABCD 中，△ ABC 与厶DBC 都是边长为4的正三角形. (1)求证：BC 丄AD ; (2)若点D 到平面ABC 的距离等于3,求二面角A — BC — D 的正弦值； B L(3)设二面角A — BC — D 的大小为 ’猜想二为何值时, 四面体 A — BCD 的体积最大.(不要求证明) DC（第21题）证明：(1)取BC 中点O,连结AO, DO . •••△ ABC ,△ BCD 都是边长为4的正三角形,• A0丄 BC, DO 丄 BC,且 AOA DO = O , • BC 丄平面 AOD . 又 AD 平面AOD , 4分 • BC 丄 AD . 解：(2)由(1)知/ AOD 为二面角A — BC — D 的平面角,设/ AOD =二则过点 D 作DE 丄AD ，垂足为 E. •/ BC 丄平面 ADO ，且BC 二平面ABC,•平面 ADO 丄平面 ABC .又平面 ADO 门平面ABC = AO, • DE 丄平面ABC .•线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE = 3. 10分又 DO=乎 BD = 2 .3 , 在 Rt △ DEO 中，sin* DEDO3故二面角A — BC — D 的正弦值为 —.212分 ⑶当 * 90时，四面体 ABCD 勺体积最大.14分。