第三章 3.2 空间向量与垂直关系 (共91张PPT)

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3.2第2课时 空间向量与垂直关系-PPT文档资料

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样证明两条直线互相垂直?
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答案 一般有以下三种思路证明两条直线垂直 (1)转化为向量垂直问题,即证明两直线的方向向量垂 直;
(2)证明两条直线所成的角为 90° ; (3)转化为证明线面垂直,既先证线面垂直,再运用线 面垂直的性质.
空间直角坐标系, 则 A1(a,0,a),C1(0,a,a).
设 AE=BF=x,
∴E(a,x,0),F(a-x,a,0). → ∴A1F=(-x,a,-a), → C1E=(a,x-a,-a). → → ∵A1F· C1E=(-x,a,-a)· (a,x-a,-a)
=-ax+ax-a2+a2=0, → → ∴A1F⊥C1E,即 A1F⊥C1E.
∴平面 GBD 的一个法向量为(1,-1,2), → 显然A1O=(-1,1,-2)=-n, → ∴A1O∥n,∴A1O⊥平面 GBD.
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研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
小结
本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立坐标
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系,用坐标表示向量或用基底表示向量,证法的核心是利 用向量的数量积或数乘运算.
3.2 第2课时
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小结
证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系
→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
跟踪训练 1 在棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中, E、 F 分别是 AB、 BC 上的动点, 且 AE=BF, 求证: A1F⊥C1E. 证明 以 O 为坐标原点建立如图所示的
如图,以 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系. 则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0), → → ∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4), → → ∴AC· BC1=0.∴AC⊥BC1.

空间向量与垂直关系课件

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0,BD1 AC,BD1 AC.
2
EB1
( 1 ,1 ,1), 22
BD1
EB1
1
1 2
Байду номын сангаас
1
1 2
11
0, BD1
EB1,
BD1
EB1.
2.如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,假设在线段SD上存
在一点F,使AE⊥CF,设SD=AB=1,则F(0,0,z),C(0,
1,CF 0,1,z.
(2)坐标法. 方法一:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0; 方法二:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
【拓展提升】 1.利用空间向量证明面面垂直的方法 (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面 垂直进而转化为线线垂直问题. (2)直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而 得到两个平面垂直.
2.向量法证明空间几何问题的两种基本思路 思路一:用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断; 思路二:用向量的坐标表示几何量,共分三步: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表 示问题中所涉及的量,把立体几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系. (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明:PA∥平面EDB. (2)证明:PB⊥平面EFD.

2019人教A版高中数学选修2-1课件:第三章3-2第2课时空间向量与垂直关系

2019人教A版高中数学选修2-1课件:第三章3-2第2课时空间向量与垂直关系

[变式训练]如图,△ABC 中,AC=BC,D 为 AB 边 中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 在 CD 上,求证:AB⊥ PC. → → → 证明:设CA=a,CB=b,OP=v. 由条件知,v 是平面 ABC 的法向量, 所以 v· a=0,v· b=0,
因为 D 为 AB 的中点, → 1 所以CD= (a+b), 2 因为 O 在 CD 上, → → λ 所以存在实数 λ,使CO=λCD= (a+b), 2 因为 CA=CB,所以|a|=|b|,
1 1 1 → - a+ b+ c= 所以 AB1·MN=(a+c)· 2 2 4
1 1 1 - + cos 60°+ =0. 2 2 4 → ⊥MN → ,所以 AB ⊥MN. 所以AB 1 1
法二(坐标法). 设 AB 中点为 O,作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,
1 M , 4
3 ,0. 4
1 3 1 → → =(1,0,1), 所以MN=- , , ,AB 1 4 4 4
→ ·AB → =-1+0+1=0. 所以MN 1 4 4 → ⊥AB → ,所以 AB ⊥用空间向量判断空间两直线垂直的方法 1. 基向量法: (1)取三个不共线的已知向量(通常是它 们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底; (2)把两直线的方向向量用基底表示;
2.空间中直线、平面垂直关系的证明方法 (1)线线垂直.
(2)线面垂直. 方法一:根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直; 方法二:证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (3)面面垂直. 方法一:根据判定定理证明线面垂直; 方法二:证明两个平面的法向量垂直.
1.若平面α,β 的法向量分别为a=(-1,2,4),b =(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为( A.10 B.-10 1 C. 2 ) 1 D.- 2

空间向量与垂直关系-ppt课件

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(2)A→1E=(1,1,-2) A→C1·A→1E=(2,2,2)·(1,1,-2) =2×1+2×1+2×(-2) =0 ∴A→C1⊥A→1E,∴AC1⊥A1E.
如 下 图 , 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , M 、 N 分 别 为 AB 、 B1C 的 中 点.试用向量法判别MN与平面A1BD的位置 关系.
证法二:设AB中点为O,作OO1∥AA1. 以O为坐标原点,建立如图所示的空间 直角坐标系. 由已知得A -12,0,0 ,B 12,0,0 , C0, 23,0,N0, 23,14, B112,0,1,
∵M为BC中点, ∴M14, 43,0. ∴M→N=-14, 43,14,A→B1=(1,0,1), ∴M→N·A→B1=-14+0+14=0. ∴M→N⊥A→B1, ∴AB1⊥MN.
证明: 以A为原点,AB,AD,AA1所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系A-xyz.设正方体的棱长为2,则 A(0,0,0),
B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(1,1,0),C1(2,2,2). (1)A→C1=(2,2,2),B→D=(-2,2,0) A→C1·B→D=(2,2,2)·(-2,2,0) =2×(-2)+2×2+2×0=0 ∴A→C1⊥B→D,∴AC1⊥BD.
[解题过程] 证法一:如图,建立空间直角坐标 系.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), A1(0,0, 3),C1(0,1, 3), ∵D为BC的中点, ∴D点坐标为(1,1,0), ∴B→C=(-2,2,0),A→D=(1,1,0), A→A1=(0,0, 3),
∵B→C·A→D=-2+2+0=0,B→C·A→A1=0+0+0=0, ∴B→C⊥A→D,B→C⊥A→A1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1, 又AD∩AA1=A,∴BC⊥平面ADA1, 而BC⊂平面BCC1B1. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

3.2.2空间向量与垂直关系.ppt

3.2.2空间向量与垂直关系.ppt

4
224
所以
AB1

MN

a

c


(
1 2
a

1 2
b

1 4
c)

1 1 cos 60 1 0.
22
4
所以 AB1 MN,所以AB1⊥MN.
【一题多解】(坐标法). 设AB中点为O,作OO1∥AA1. 以O为坐标原点,分别以OB,OC,OO1所在的直线为x轴,y 轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得
上的中点,N是侧棱CC1上的点B1⊥MN.
【证明】(基向量法).设 AB a,AC b,AA1 c, 则由已知条件和正三棱柱的性质,得
|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0,
AB1

a

c,AM

1 2
a

b,
AN b 1 c,MN AN AM 1 a 1 b 1 c,
2.把本例中三棱柱的底面改为等腰直角三角形且 AC⊥BC,除AB,A1B1外其他棱长仍为2.点M,N分别为A1B和 B1C1的中点. 求证:MN⊥平面A1BC.
【证明】如图所示建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A1(0,2,2),B(2,0,0), M(1,1,1),N(1,2,0). 所以CA1=(0,2,2), CB =(2,0,0),MN =(0,1,-1),
1 x y 2 0,
联立得 x y,
z 1 0,
所以x=-
1 2
,y=
1 2
,z=1,
所以点M的坐标为( 1 , 1 ,1).
22
答案: ( 1 , 1 ,1)

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系课件人教A版选修2_1.ppt

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系课件人教A版选修2_1.ppt

利用空间向量证明线面垂直的方法有两种:一是利用判定定 理,即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内 两条相交直线的方向向量垂直;二是求平面的法向量,验证直线 的方向向量与平面的法向量平行.
类型一 利用空间向量证明线线垂直 【例 1】 如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形, PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.求证: 无论点 E 在边 BC 上的何处,都有 PE⊥AF.
【分析】 只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即 可.
方法二:因为点 E 在边 BC 上,可设B→E=λB→C, 于是P→E·A→F=(P→A+A→B+B→E)·12(A→P+A→B) =12(P→A+A→B+λB→C)·(A→B+A→P) =12(P→A·A→B+P→A·A→P+A→B·A→B+A→B·A→P+λB→C·A→B+λB→C·A→P)=12 (0-1+1+0+0+0)=0, 因此P→E⊥A→F. 故无论点 E 在边 BC 上的何处,都有 PE⊥AF.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后,可以选择基向量法 也可用坐标法,熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1,若侧棱 C1C 的 中点为 D,求证:AB1⊥A1D.
证明:设 AB 中点为 O,作 OO1∥AA1,以 O 为坐标原点, OB,OC,OO1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系,则
法二:同法一得A→B1=(0,2,2),A→C=(-2,2,0), E→F=(-1,-1,1). 设平面 B1AC 的法向量 n=(x,y,z), 则A→B1·n=0,A→C·n=0,
即2-y+2x2+z=2y0=,0, 取 x=1,则 y=1,z=-1, ∴n=(1,1,-1),∵E→F=-n, ∴E→F∥n,∴EF⊥平面 B1AC.

空间里的垂直关系课件

空间里的垂直关系课件

总结与应用
总结
垂直关系是空间中重要的概念,它们存在于日 常生活中的各个领域,以及科学、工程和数学 的研究中。
应用
通过理解和应用垂直关系,我们可以更好地理 解和解释事物之间的垂直位置和相对关系。
空间里的垂直关系ppt课件
在这个PPT课件中,我们将深入探讨空间中的垂直关系。从定义到应用,从数 学表达到性质,让我们一起通过实例来理解和应用垂直关系。
空间的定义
空间是我们生活中的基本概念,代表着我们所存在的物质维度。它可以是三维的,也可以是更高维度的。在空 间中,我们可以观察到各种关系和规律。
垂直关系的概念
1 什么是垂直关系?
垂直关系表示两个事物或元素之间的竖直方 向上的相对位置。
2 为什么垂直关系重要?
垂直关系有助于我们理解物体的高度、深度 和层次结构,以及它们在空间中的相对位置。
垂直关系在日常生活中的应用
城市天际线
高楼大厦在城市中形成了壮观的 垂直关系,展示了人类的建筑和 工程能力。
楼梯
树木
楼梯是连接不同楼层的垂直通道, 使我们能够便捷地在空间中垂直 移动。
树木的分层结构和不同高度的树 冠形成了自然界中的垂直关系, 营造出美丽的风景。
垂直关系的数学表达
1 直线的斜率
在二维平面中,两条垂直直线的斜率乘积为-1。
2 向量的垂直性
两个向量垂直的条件是它们的内积等于零。
垂直关系的性质
垂直的直角
两条相交直线的内角和为90度, 形成垂直的直角。
垂直的投影
一个物体沿着垂直方向的投影 是它在垂直平面上的影子。
垂直的比例
两个物体相似且比例相等时, 它们在垂直方向上的对应线段 也相似且比例相等。
通过实例理解垂直关系

3.2.2空间向量与垂直关系.ppt

3.2.2空间向量与垂直关系.ppt

A( 1 ,0,0),B( 1 ,0,0),
2
2
C(0,
微课堂·微思考 【思考】用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键 是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后 把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
【自我总结】
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
(1)证明两直线所成的角为
线线 90°.
两直线的方向向
垂直 (2)若直线与平面垂直,则此直 量互相垂直
向量法
对于直线l,m和平面α ,β 面 (1)若l⊥α ,l⊂β ,则α ⊥β . 面 (2)若l⊥α ,m⊥β ,l⊥m,则 垂 α ⊥β . 直 (3)若平面α 与β 相交所成的
二面角为直角,则α ⊥β
证明两个平面的 法向量互相垂直
【自我检测】 1.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α 的法 向量为n=(-2,0,4),则 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α 斜交
【解析】1.设M(x,y,z),又 AB =(-1,1,0), AM=(x,y,z-1),CM =(x-1,y-2,z+3), 由点M在直线AB上得 AB与AM 共线, AM AB, 即x=-λ,y=λ,z-1=0,
又CM⊥AB,向量 CM与向量AB 的数量积为0,
即 CM· AB =0,得-(x-1)+(y-2)=0,
2
所以 AB CP,所以AB⊥PC.
【方法技巧】 利用向量法证明线线垂直的依据和关键点
(1)依据: 转化为证明直线的方向向量垂直,即证明它们的方向向 量的数量积为0.
(2)关键: 建立恰当的空间直角坐标系,正确地表示出点的坐标, 进而求直线的方向向量.

高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课件 新人教A版选修2-1

高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课件 新人教A版选修2-1
例1 如图所示,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD= 1,AA1=2,点P为DD1的中点,求证:直线PB1⊥平面 PAC.
栏 目 链 接
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9
证明:依题设,以 D 为坐标原点,如图所示,建立空间直角坐标系
Dxyz,则 C(1,0,0),P(0,0,1),A(0,1,0),B1(1,1,2),
于是C→A=(-1,1,0),C→P=(-1,0,1),P→B1=(1,1,1),
∴C→A·P→B1=(-1,1,0)·(1,1,1)=0,
C→P·P→B1=(-1,0,1)·(1,1,1)=0,
栏 目
故C→P⊥P→B1,C→A⊥P→B1,即 PB1⊥CP,PB1⊥CA,
链 接
又 CP∩CA=C,且 CP⊂平面 PAC,CA⊂平面 PAC.
栏 目 链 接
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11
证明:方法一 设A→B=a,A→D=c,A→A1=b, 则E→F=E→B1+B→1F=12(B→B1+B→1D1)=12(A→A1+B→D)= 21(A→A1+A→D-A→B)=12(-a+b+c). 因为A→B1=A→B+A→A1=a+b, 所以E→F·A→B1=21(-a+b+c)·(a+b) =21(b2-a2+c·a+c·b)=21(|b|2-|a|2+0+0)=0. 所以E→F⊥A→B1,即 EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C=B1,所以 EF⊥平面 B1AC.
B121,0,1,∵M 为 BC 中点,


∴M14, 43,0,∴M→N=-14, 43,14,A→B1=(1,0,1),
链 接
∴M→N·A→B1=-41+0+41=0,∴M→N⊥A→B1,∴AB1⊥MN.

空间向量与垂直关系 课件

空间向量与垂直关系 课件

形.∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰
当的空间直角坐标系,求平面DEF的法向量.z
【解题指南】解答本题的关键是
依据平面PAB⊥平面ABCD,寻找并
证明平面ABCD的垂线,建立恰当
的空间直角坐标系.
x
y
【解析】因为PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 ABCD=AB,PF⊂平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD,因为AB=BC,∠ABC=60°, 所以△ABC是等边三角形,所以CF⊥AB. 以F为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所示).
所以 AB1 1,2, 3 ,BA1 1,2, 3 ,BD 2,1,0.
方法一:因为 AB1 BA1 =1×(-1)+2×2+(- 3 )× 3 =0.
AB1 BD =1×(-2)+2×1+(- 3 )×0=0. 所以 AB1 BA1,AB1 BD, 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
【方法技巧】
1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两不共线向量,.
(3)列方程组:由
n
AB 0,
列出方程组.
n AC 0
(4)解方程组:
n AB 0,
n AC 0
(5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
空间向量与垂直关系
探究点1 垂直关系:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ,
(1) l m a b a b 0.
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力。心有猛虎,细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的,潜能是逼出来的,习惯是养成的,我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持,要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
以胜利,也可以失败,但你不能屈服。越是看起来极简单的人,越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱,才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪,那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁,只要再前进一步,就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷,用悲伤让你了解 什么叫幸福,用噪音教会你如何欣赏寂静,用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折,才唱出一支美妙的歌通过云端的道路,只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人,心里必须充满光明。骄傲,是断了引线的风筝,稍纵即逝;自卑,是剪了双翼的飞鸟,难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧,九百九十九次落空了,还有一千次呢。只有创造,才是真正的享受,只有拼搏,才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂,无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你,这个人就是你自己。谁不虚伪,谁不善变,谁都不是谁的谁。又何必把一些人, 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样,外面很硬,内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠,却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平,而是相对 公平。在一个天平上,你得到越多,势必要承受更多,每一个看似低的起点,都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵,不去听那些熙熙攘攘的 声音;这个世界上没有不苦逼的人,真正能治愈自己的,只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情,要等到你渐渐清醒了,才明白它是个错误;有些东 西,要等到你真正放下了,才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题,它只是把原来怎么也想不通的问题,变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多,那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志,莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望,让我们忘记昨天的痛! 如果你不努力争取你想要的,那你永远都不会拥有它。过去属于死神,未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道,都充满坎坷。所有的胜利,与征服自己 的胜利比起来,都是微不足道。我已经看见,多年后的自己。自信!开朗!豁达!努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候,翻脸不如翻身,生气不如争气。成长道路谁都会受伤,我们才刚刚起航,必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中,我学会了坚
脚踏实地过好每一天,最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼,我怎么能输。只要学不死,就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格, 性格决定命运。不曾扬帆,何以至远方。人生充满苦痛,我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下,又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来,所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅,我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗,不抱有一丝幻想,不放弃一点机会,不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢,这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力,越幸运。每一个不起舞的早晨,都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流,活鱼逆流而上。墙高万丈,挡的只是不来的人,要来,千军万马也是挡不住的既然选择远方,就注定风雨兼程。漫漫长路,荆棘丛生,待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志,无高不可攀。人的才华就如海绵的水,没有外力的挤压,它是绝对流不出来的。流出来后,海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命,感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题,生命的意义;赞颂真善美,批判假恶丑。记住精彩的瞬间,激动的时刻,温馨的情景, 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己,幸福无比,善待别人,快乐无比,善待生命,健康无比。一切伟大的行动和思想,都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候,要紧闭你的嘴,免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋,孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康,没有一个敌人比得上病魔,与其为病痛暗自流泪,不如运动健身为生命添彩。有什么别有病,没什么别没钱,缺什么也别缺 健康,健康不是一切,但是没有健康就没有一切。什么都可以不好,心情不能不好;什么都可以缺乏,自信不能缺乏;什么都可以不要,快乐不能不要;什么 都可以忘掉,健身不能忘掉。选对事业可以成就一生,选对朋友可以智能一生,选对环境可以快乐一生,选对伴侣可以幸福一生,选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量,大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力,尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境,其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时,心态也决定了一个人的视野、事业和成就,甚至一生。每一发奋努力的背后,必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样,比操劳更 消耗身体。所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是微不足道。所有的失败,与失去自己的失败比起来,更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上,虽然有不少寒冷,不少黑暗,但只要人与人之间多些信任,多些关爱,那么,就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情,能了解 别人心灵活动的人,永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗,他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助,也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老,回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵,昨天的太阳,晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事,明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄,便要学会寡言,每一句话都要有用,有重量。喜怒不形于色,大事淡然,有自己的底线。趁着年轻, 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练,才会让你真正学会谦恭。不然,你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感,迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态, 是时候对自己说:不为模糊不清的未来担忧,只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中,拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它,勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药,而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格,就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的,渴望被理解,又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的,也可以是苦的,但不能是没味的。你可
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