课题《导数的几何义》_6

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导数的概念及其几何意义教案

导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。

在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。

2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。

导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。

二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。

对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。

通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。

2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。

对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。

通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。

三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。

通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。

2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。

导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。

导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。

结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。

通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。

导数的几何意义说课稿及教学反思

导数的几何意义说课稿及教学反思上传: 董永芳更新时间：2012-5-4 17:38:16课题：导数的几何意义教材：北师大版选修2-2各位老师，大家好！今天我说课的题目是《导数的几何意义》，下面我将从四个个方面来阐述我对这节课的教学认识，分别是，教学背景分析、教法学法分析、和教学过程与设计.首先，我对本节课的教学背景进行一些分析：在这里我分四小点进行说明.一教学背景分析1、教材的地位与作用导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 在前面几节课里学生对导数的概念已经有了充分的认识，本节课教材从形的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义。

通过本节的学习，可以帮助学生更好的体会导数是研究函数的单调性、变化快慢等性质最有效的工具。

本节课所蕴含的数形结合，逼近的数学思想方法也是非常重要的。

所以本节内容无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，在整章内容中起着承前启后的作用.1.学情分析：在学习变化率时，学生知道了对于一次函数来说它的导数就是它的斜率，学生会很自然的思考导数在函数图像上是不是有很特殊的几何意义。

而且刚刚学过了圆锥曲线，学生对曲线的切线的概念也有了一些认识。

这为学习新知识奠定了很好的基础。

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3、教学目标：（1）知识与技能:通过实验探究理解导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点的切线方程。

（2)过程与方法：经历导数的几何意义的形成过程，培养学生分析、抽象、概括等思维能力，体会导数的思想及内涵，完善对切线的认识和理解，了解科学的数学思维方法。

(3)情感态度与价值观：渗透逼近、数形结合、以直代曲等数学思想，激发学生学习兴趣，引导学生领悟特殊与一般、有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受数学的统一美，意识到数学的应用价值根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4、教学的重点、难点教学重点：导数的几何意义、切线方程的求法以及“数形结合，逼近”的思想方法。

导数的概念和几何意义

导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。

它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。

首先，我们来了解导数的概念。

在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。

具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。

这个极限值即为导数。

在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。

具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。

这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。

如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。

以一个简单的例子来说明导数的几何意义。

考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。

这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。

比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。

我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。

通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。

导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。

如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。

如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。

此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。

另外，导数还可以用于判断函数的连续性。

导数的概念及其几何意义教案

导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。

本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。

一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。

具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。

导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。

二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。

对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。

那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。

通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。

切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。

我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。

三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。

下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。

2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。

求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。

3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。

通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。

《导数的概念及其几何意义》典型例题

《导数的概念及其几何意义》典型例题深研1 导数的几何意义1.可导函数在0x x =处切线的斜率为此处函数的导数值.2.根据导数值的变化可确定原函数图象的变化情况. 考向1 由切线确定导数值例1（★）如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+,点P 的横坐标是4,则(4)(4)f f +'=_______________.解析 ∵函数()f x 的图象在点P 处的切线为29y x =-+, ∴2(4)k f '=-=切.又 ∵点P 在切线29y x =-+上,∴(4)1f =,∴(4)(4) 1.f f +'=-① 答案 1-考向2 由切线特点确定函数图象②例2（★）已知函数()y f x =的图象如图所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是___________.（填序号）解析由()y f x =的图象及导数的几何意义可知,当x ＜0时,()f x '＞0；当x ＝0时,()f x '＝0；当x ＞0时,()f x '＜0,故②符合. 答案 ② 方法技巧①1.由切线方程可确定函数()y f x =在0x 处的导数值,即()0f x k '=切. 2.切点为切线与曲线的公共点. 即时训练1.（1）（★★）已知函数()f x 在R 上可导,其部分图象如图所示,设(2)(1)21f f a -=-,则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a '<'<B.(1)(2)f a f '<<'C.(2)(1)f f a '<'<D.(1)(2)a f f <'<'解析由题中图象可知,在区间(0,)+∞上,函数()f x 增长得越来越快,∴(1)f '(2)f <',∵(2)(1)21f f a -=-,∴通过作切线与割线可知(1)(2)f a f '<<',故选B.答案 B 方法技巧②导数的符号、曲线的升降、切线的斜率、切线的倾斜角之间的关系即时训练2.（★）()()()y f x y g x y h x ===，，的图象如图1所示：而图2是其对应导数的图象：则()y f x =的导数图象对应___________；()y g x =的导数图象对应___________；()y h x =的导数图象对应___________.解析由导数的几何意义,知()f x 图象上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,故()y f x =的导数图象对应B ；()y g x =图象上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故()y g x =的导数图象对应C ；()y h x =图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故()y h x =的导数图象对应A. 答案 B ；C ；A深研2 求曲线的切线方程由于可导函数()f x 在0x x =处切线的斜率为0()f x ',从而可用点斜式确定切线方程.考向1 求过曲线上一点的切线方程例3（★★）求曲线213y x x=+-在2x =处的切线方程. 解析设()y f x =,则21()3f x x x=+-.2222(2)(2)11(2)32322114()224().2(2)14.2(2)y f x f x x x x x xx x x yx x x ∆=+∆-⎛⎫=+∆+--+- ⎪+∆⎝⎭=∆+∆+-+∆∆=∆+∆+∆∆∴=+∆-∆+∆-∵当x ∆无限趋近于0时,y x ∆∆无限趋近于115444-=, ∴曲线()y f x =在2x =处的切线斜率为154. 又2x =时,32y =,∴切点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴曲线在2x =处的切线方程为315(2)24y x -=-, 即154240x y --=.考向2 求过曲线外一点的切线方程例4（★★）求曲线2y x =过点（3,5）的切线方程.思路分析先判断点（3,5）是否在曲线上,不在曲线上则需设切点坐标为（0x ,20x ）,再利用（3,5）与（0x ,20x ）连线的斜率等于0()f x '建立方程求0x ,从而确定切线斜率.解析因为点（3,5）不在曲线上,所以设切点坐标为（0x ,20x ）, 又()()()220000lim lim 22x x x x x f x x x x x∆→∆→+∆-'==+∆=∆,故切线斜率为02x ,则切线方程为()20002y x x x x -=-, 因为点（3,5）在切线上,所以()2000523x x x -=-,解得01x =或05x =,则切点坐标为(1,1)或(5,25),故切线方程为12(1)y x -=-或2510(5)y x -=-, 即210x y --=或10250x y --=. 主编点评求过某点的曲线的切线方程④时,需先设切点（0x ,0y ）,再对()y f x =求导得出切线斜率()0f x ',从而得到含参的切线方程0y y -=()()00f x x x '-,最后代入已知点,从而求出切点坐标以及切线方程.即使已知点在曲线上,也不能按在某点处的切线方程求解,否则易漏解.⑤ 方法技巧③求曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程,其切线只有一条,点()00,P x y 在曲线()y f x =上,且是切点.切线方程为()()000y y f x x x -='-.如图1,在点()00,P x y 处的切线为1l ,如图2,在点()00,P x y 处的切线为(22l l 与曲线()y f x =有两个公共点不影响结果).即时训练3.（★★）已知3()21f x x x =-+,求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程.解析因为330()2()121()lim x x x x x x x f x x ∆→∆+-∆++-+-'=∆3220()3()32lim x x x x x x xx∆→∆+⋅∆+⋅∆-∆=∆ 220lim ()332x x x x x ∆→⎡⎤=∆+⋅∆+-⎣⎦ 232x =-,所以(1)321f '=-=, 所以切线的方程为1y x =-, 即10x y --=. 知识补充④求曲线()y f x =过点()00,P x y 的切线方程的步骤第一步：设出切点坐标()()11,P x f x '；第二步：写出过()()11,P x f x '的切线方程()()()111y f x f x x x -='⋅-；第三步：将点P 的坐标()00,x y 代入切线方程,求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程()()11y f x f x -='()1x x ⋅-,由此即可得过点()00,P x y 的切线方程. 误区警示⑤此处点()00,P x y 可以在曲线()y f x =上,也可以不在曲线()y f x =上.如图1,过点()00,P x y (不在曲线()y f x =上)的切线12l l ，,如图2,过点(0P x ,0y )(在曲线()y f x =上)的切线34l l ，.即时训练4.（★★）求过点（-1,-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.解析 33002()()2limlim x x y x x x x x x y x x∆→∆→∆+∆-+∆-+'==∆∆2220lim 233()23x x x x x x ∆→⎡⎤=--∆-∆=-⎣⎦. 设切点坐标为()3000,2x x x -,则切线方程为()320000223()y x x x x x -+=--.∵切线过点(1,2)--,∴()()32000022231x x x x --+=---,即320230x x +=,解得00x =或032x =-, ∴切点坐标为(0,0)或33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭,当切点坐标为(0,0)时,切线斜率2k =,切线方程为20x y -=；当切点坐标为33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时,切线斜率23192324k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭,切线方程为192(1)4y x +=-+,即194270x y ++=. 综上可知,过点(1,2)--且与曲线32y x x =-相切的直线方程为20x y -=或19x +4270y +=.考点3 导数几何意义的综合应用求解导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导,利用题目所提供的直线的位置关系、斜率的范围等条件求解相关问题,此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 考向1 求切点坐标⑥例5（★★）在曲线2y x =上取一点,使得在该点处的切线；（1）平行于直线45y x =-；（2）垂直于直线2650x y -+=；（3）倾斜角为135︒.分别求出满足上述条件的点的坐标.思路分析先求函数的导函数()f x ',再设切点()00,P x y ,由导数的几何意义知切点()00,P x y 处的切线的斜率为()0f x ',最后根据题意列方程,解关于0x 的方程即可求出0x ,又点()00,P x y 在曲线2y x =上,易得0y .解析设()y f x =,则2200()()()()lim lim x x f x x f x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆lim(2)2x x x x ∆→=+∆=.设()00,P x y 是满足条件的点.（1）因为点P 处的切线与直线45y x =-平行,所以024x =,解得0x 2=,所以04y =,即(2,4)P .（2）因为点P 处的切线与直线2650x y -+=垂直,且直线265x y -+0=的斜率为13, 所以01213x ⋅=-,解得032x =-,所以094y =,即39,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）因为点P 处的切线的倾斜角为135︒,所以切线的斜率为tan1351︒=-,即021x =-,解得012x =-,所以014y =,即11,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.⑦知识补充⑥根据切线斜率求切点坐标的步骤（1）设切点坐标为()00,x y ；（2）求导函数()f x '；（3）求切线的斜率()0f x '；（4）由斜率间的关系列出关于0x 的方程,解方程求0x ；（5）由点()00,x y 在曲线()f x 上,将()00,x y 代入解析式求0y ,即得切点坐标. 知识补充⑦求解本题注意方程思想的应用.切点坐标()00,x y 有两个变量,因此需建立两个方程求解. 即时训练5.（★）已知曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标.解析设点P 的坐标为()300,x x ,∵()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆22300033()()lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆ 22000lim 33()x x x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆⎣⎦ 203x =,2033x =,解得01x =±,∴点P 的坐标是(1,1)或(1,1)--. 考向2 切线围成的三角形的面积问题例6（★★）已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(1,0)处的切线,2l 为该曲线的另一条切线,且12l l ⊥. （1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.解析（1）因为()2200()()22lim lim x x x x x x x x y y x x∆→∆→+∆++∆--+-∆'==∆∆21x =+,所以12113x y ='=⨯+=,所以直线1l 的方程为3(1)y x =-,即330x y --=. 设直线2l 与曲线22y x x =+-切于点()2,2B b b b +-,则2l 的方程为2(21)2y b x b =+--.因为12l l ⊥,所以1213b +=-,所以23b =-,所以直线2l 的方程为12239y x =--,即39220x y ++=.（2）由（1）知,联立330,39220,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得1,65.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线1l 和2l 的交点坐标为15,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.又易知1l 、2l 与x 轴的交点的坐标分别为22(1,0),03⎛⎫- ⎪⎝⎭、,所以所求三角形的面积125512523212S =⨯⨯-=.主编点评本题求解时应抓住两切线斜率的关系及切线斜率与导数的关系,构建方程组求解. 方法技巧求切线围成的三角形的面积时,关键是准确求得切线方程,然后分析围成的三角形的特点,进而求其面积.6.（★★）求曲线1(0)y x x x =->上一点()00,P x y 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点,A B O 、是坐标原点,若△OAB 的面积为13,则0x =_____________.解析 ∵1(0)y x x x=->， ∴011lim x x x x x x x y x∆→⎡⎤⎛⎫+∆--- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦'=∆011()lim x x x x x x x x∆→⎡⎤⎛⎫+∆-+- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦=∆ 0()lim x x x x x x x∆→∆∆++∆=∆ 01lim 1()x x x x ∆→⎡⎤=+⎢⎥+∆⎣⎦ 211x=+, ∴切线的斜率为2011x +,则切线的方程为()00200111y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭, 令0x =得02y x =-,令0y =得02021x x x =+,∴△OAB 的面积020********x S x x =⨯⨯=+,解得0x =(负根舍去).答案考向3 根据切线求参数值例7（★★）设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.思路分析先利用定义求导,结合二次函数求最值,最后结合切线斜率求a . 解析 ∵32()()()()9()1y f x x f x x x a x x x x ∆=+∆-=+∆++∆-+∆--()()3222391329(3)()()xax x x ax x x a x x +--=+-∆++∆+∆, ∴22329(3)()y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆, ∴22220()lim 329399333x y a a a f x x ax x x ∆→∆⎛⎫'==+-=+---- ⎪∆⎝⎭. 由题意知()f x '的最小值是12-,∴29123a --=-,即29a =,∵0a <,∴3a =-.⑨ 主编点评本题得到()f x '的表达式是关于x 的二次函数,从而可利用二次函数求最值. 方法技巧⑨当题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时,可利用导数的定义与几何意义迅速获解.遇到“切线的斜率最小、最大”问题时,通常只需求出导函数,再求其最值即可解决.即时训练⑦（★★）已知函数3()1f x x ax =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(1,1)-,求a 的值.解析函数3()1f x x ax =++的导函数为3320()()11()lim 3x x x a x x x ax f x x a x∆→⎡⎤+∆++∆+---⎣⎦'==+∆, ∴(1)3f a '=+,而(1)2f a =+,∴切线方程为2(3)(1)y a a x --=+-,∵切线方程过点(1,1)-,∴12(3)(11)a a --=+--,解得5a =-.。

专题06 导数的几何意义-2019年高考数学(理)母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷，理数6】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】e ln 1,xy a x '=++1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【名师点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷，理数14】曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】3-【解析】()e 1e x x y a ax =++'，则()012f a =+=-'，所以3a =-，故答案为：3-．【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．【命题意图】本类题通常主要考查导数的几何意义，切线方程的不同形式的求解．【命题规律】导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等．【答题模板】1．求曲线y=f （x ）的切线方程若已知曲线y=f （x ）过点P （x 0，y 0），求曲线过点P 的切线方程．（1）当点P （x 0，y 0）是切点时，切线方程为y–y 0=f'（x 0）（x–x 0）．（2）当点P （x 0，y 0）不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P'（x 1，f （x 1））；第二步：写出过点P'（x 1，f （x 1））的切线方程y–f （x 1）=f'（x 1）（x–x 1）；第三步：将点P 的坐标（x 0，y 0）代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y–f （x 1）=f'（x 1）（x–x 1）可得过点P （x 0，y 0）的切线方程． 2．根据切线的性质求倾斜角或参数值由已知曲线上一点P （x 0，y 0）处的切线与已知直线的关系（平行或垂直），确定该切线的斜率k ，然后利用导数的几何意义得到k=f'（x 0）=tan θ，其中倾斜角θ∈[0，π），进一步求得倾斜角θ或有关参数的值．3．已知切线的斜率求切点已知斜率k ，求切点（x 1，f （x 1）），应先解方程f'（x 1）=k 得出x 1，然后求出f （x 1）即可．【经验分享】利用导数的几何意义求曲线的切线方程的问题的关键就是抓住切点，首先要分清题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”．（1）求曲线y ＝f （x ）在0x x 处的切线方程可先求0()f 'x ，再利用点斜式写出所求切线方程；（2）求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再求切线方程．总之，求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．【方法总结】导数的几何意义蕴含着“逼近”和“以直代曲”的思想方法，对后面即将学习的利用导数研究函数的性质有至关重要的作用，同时导数的几何意义的应用即利用导数的几何意义求解曲线的切线方程问题是本课的重点和难点．有关切线方程的问题有以下四类题型：类型一：已知切点，求曲线的切线方程，此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f 'x ，并代入点斜式方程即可．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程，此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程，过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程，此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．1．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学】设曲线(e 1)xy a x =--在点(0,0)处的切线方程为y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2D ．32．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】函数()ex xf x =在2x =处的切线方程为 A ．2234e e y x =- B ．2238e e y x =- C ．2214e ey x =-+D ．21ey x =-3．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】若函数()2ln 21f x x x bx =+--的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b 的取值范围为 A ．（－∞，4） B ．（－∞，4］C ．（4，＋∞）D ．（0，4）4．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】若函数()3=ln f x x x x +-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角是A ．π6B ．π3 C ．2π3D ．5π65．【四川省华蓥市第一中学2019届高三入学调研考试数学】已知函数()()ln 1cos f x x x ax =+⋅-在()()0,0f 处的切线倾斜角为45o，则a =A ．2-B ．1-C ．0D ．36．【云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学】曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为A B ．2 C ．4D ．87．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为A ．B ．3+C ．6+D ．8．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知函数()2ln f x x a x b =++在点1x =处的切线方程为42y x =-，则a b +=__________．9．【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试数学】曲线()2af x x x=+在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +-=垂直，则实数a =__________．10．【四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学】若函数()()311f x x t x =+--的图象在点()()1,1f --处的切线平行于x 轴，则t =__________．11．【四川省宜宾市第四中学2019届高三12月月考数学】已知函数()31f x x ax =++的图象在点()()1,1f 处的切线过点()1,1-，则a =__________．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】曲线2e 24x y x x =+-在1x =处的切线方程是__________．13．【贵州省2019届高三普通高等学校招生适应性考试数学】曲线3113y x x =++在点()01，处切线的方程为__________．14．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】曲线2ln(1)y x =+在点(1,0)处的切线方程为__________．。

导数的概念及其几何意义学案

《导数的概念及其几何意义》学案一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度．加速度．光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1．导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一．只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点．写切线．跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决．2．求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)是自变量x 在处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时， 3．导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x 的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时，特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1．导数的定义与瞬时速度的关系例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2．（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度；（2）求在t=1时的瞬时速度；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2．理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ；⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数； ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解．()()()()()()!50124950,0,50215010=⨯⨯⨯⨯→∆∆→∆∆+-∆+-∆+-=∆∆+-∆+-∆+=∆∆L L L xy x x x x x x x x x y ，即()!500f ,=⑵ 由自变量左．右趋近0时，变化率趋近2或0，不趋近某一个确定的常数，由导数的定义，则0处的导数不存在；⑶ 自变量从左．右趋近0时，其变化率趋近唯一的常数0，由导数的定义知，在x=0处有导数其值为0．3．导数的几何意义的理解和灵活应用例3 在曲线32+=x y 的图象上取一点P （1，4）及附近一点()y x ∆+∆+4,1，求（1）x y ∆∆ （2）xy x ∆∆→∆时，0的值；（3）过点P （1，4）的切线方程简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？其唯一的常数的几何意义为过该点的切线的斜率．（1）()()x x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆211；（2）220→∆+=∆∆→∆x xy x 时，；（3）又（2）知过点P （1，4）的切线的斜率为2，故过点P （1，4）的切线方程()022,124=+-∴-=-y x x y 4．高考中对导数几何意义的考查例4（03高考天津）设()c bx ax x f ,a ++=>20，曲线()x f y =在点P ()()00x f ,x 处切线的倾斜角的取值范围为，求P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围．简析：导数的几何意义为曲线上该点的切线的斜率，原函数求导化归导函数函数在区间上的值域解决．()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+∴∈++=a ,a b ax a b x ,,b ax ,b ax x f ,2102221022000 ．注：认识“函数在一点的导数”和“导函数”，“导数”三个概念的联系和区别，本题利用这种关系简化解决问题，应积累这种学习体验．例5（03高考）已知抛物C 1 x x y 22+=和C 2a x y +-=2，如果直线L 同时是C 1和 C 2的切线，称L 是C 1和 C 2公切线，问a 取何值时，C 1和 C 2仅有一条公切线？写出公切线方程简析：把握公切线的意义，公切线并非过同一点．设l 与相切于点),(211x x P ，与相切于))2(,(222--x x Q ．对x y C 2':1=，则与相切于点P 的切线方程为)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -= ① ，对)2(2':2--=x y C ，则与相切于点Q 的切线方程为))(2(2)2(2222x x x x y ---=-+，即4)2(2222-+--=x x x y ②，∵两切线重合，∴ ⎩⎨⎧-=---=4)2(22222121x x x x ，解得⎩⎨⎧==;2,021x x 或⎩⎨⎧==0221x x ， ∴直线方程为y=0或y=4x-4．例6 （04浙江20 ）曲线x e y -=在点()t e t M -, 处的切线L 与x 轴．y 轴所围成的三角形的面积的最大值．简析：导数几何意义切入，数形结合法调动思维的灵活性，化归函数的最值，再用导数的单调性解决最值．例7（04天津）已知函数f(x)=ax 3+bx 2-3x 在1±=x 处取得极值．⑴ 讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；⑵ 过点A （0，16）作曲线y= f(x)的切线，求此切线的方程简析：函数是实数集上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，待定系数法确定参数，从而确定表达式，利用导数研究单调性和求切线方程具有“操作性”．⑴ 易求 f ，(x)=3ax 2+2bx-3，由导数与极值的关系，1，-1为f ，(x)=3ax 2+2bx-3=0的两根，则3a+2b-3=0，3a-2b-3=0，解得a=1，b=0，则f(x)=x 3-3x ，由()()1x 10113132>-<∴>-+=-=或x ,)x (x )x (x f ,，易知函数f ，(x)在()1-∞-,上递增，在上递减，在上递增，所以f(-1)=2是函数f(x)的极大值，f(1)=-2是函数f(x)的极小值；⑵ 注意点A （0，16）不在曲线f(x)=x 3-3x 上的特点，设切点M （x 0，y 0），则y 0= x 03-3x 0，过切点的直线斜率为3(x 02-1)，切线方程为 y-y 0=3(x 02-1)(x-x 0)过点A （0，16），则易求x 0==-2．故切点为（-2，-2），切线方程为 9x-y+16=0．注：“过点P”与“点P 处的切线”是不同的．。

导数的几何意义教案及说明

导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。

3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。

c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。

4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。

b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。

二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。

2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。

3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。

b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。

4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。

b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。

三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。

2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。

3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。

b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。

4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。

b. 练习使用导数解决优化问题。

四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。

2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。

3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。

导数的几何意义及导数公式

导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。

导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。

本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。

一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。

而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。

导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。

如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。

导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。

2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。

如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。

导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。

通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。

二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。

下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。

2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

这是指数函数的导数公式。

3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。

- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。

-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。

- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

导数的几何意义教案(后附教学反思

导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。

2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。

2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。

3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。

2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。

引导学生直观理解导数的几何意义。

4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。

5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。

2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。

3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。

4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。

5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。

专题06 导数的几何意义

专题06 导数的几何意义1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. 2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =-- 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--． 4.【2014广东理10】曲线25+=-xey 在点()0,3处的切线方程为 .【答案】53y x =-+或530x y +-=. 【解析】55x y e -'=-，所求切线的斜率为55y e =-=-，故所求切线的方程为35y x -=-，即53y x =-+或530x y +-=. 【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,3处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率． 5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-．【考点定位】导数与切线斜率．【名师点晴】导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题.归纳起来常见的命题角度有： 1求切线方程；2求切点坐标；3求参数的值.6.【2017山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率()2f ππ'=，由点斜式写出直线方程.（Ⅱ）写出函数2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，求导数得到'()h x ()()2sin x e a x x =--，由于x e a -的正负与a 的取值有关，故可令()sin m x x x=-，通过应用导数研究()m x 在R 上的单调性，明确其正负.然后分以下情况讨论()h x 极值情况：(1)当0a ≤时.(2)当0a >时.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln xa =，2=0x①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.7.【2017北京，理19】已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式()()()000y f f x '-=-；（Ⅱ）设()()h x f x '=，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调减求函数的最大值()00h =，可以知道()()0h x f x '=≤恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为()e cos xf x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值. 8.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值；（2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.试题解析：（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a 解得e b a ==,2；（2）由（Ⅰ）知ex xe x f x+=-2)(.由)1()(12--+-='x xe x ex f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号.令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x ex g .所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．9. 【2014福建,理20】（本小题满分14分）已知函数()ax e x f x-=（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.（I ）求a 的值及函数()x f 的极值；（II ）证明：当0>x 时，x e x <2；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x ce x <2. 【答案】（I ）2a =,极值参考解析;（II ）参考解析;（III ）参考解析【解析】试题分析：（I ）由函数()ax e x f x-=（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.所以求函数()x f 的导数,即可求出a 的值.再根据函数()x f 的导数地正负,即可得函数()x f 的极值.（II ）当0>x 时，x e x <2恒成立,等价转换为函数的最值问题.令2()xg x e x =-,通过求函数()g x 的导数求出最值即可得到结论.（III ）对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x ce x <2.由（II ）得到函数的单调性当1c ≥时,即可找到00x =符合题意.当01c <<时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到0x 的值.即可得到结论.试题解析：解法一:（I ）由()xf x e ax =-，得'()xf x e a =-.又'(0)11f a =-=-,得2a =.所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值.（II ）令2()x g x e x =-,则'()2xg x e x =-.由（I ）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增,又(0)10g =>,因此,当0x >时, ()(0)0g x g >>,即2x x e <.（III ）①若1c ≥,则x x e ce ≤.又由（II ）知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<,令11k c=>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=.所以当2x >时,'()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <. 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x x ce <. 解法二: （I ）同解法一. （II ）同解法一.（III ）对任意给定的正数c ,取0x =由（II ）知,当0x >时, 2x e x >,所以2222()(),22x xx x x e e e =⋅>⋅当0x x >时, 22222241()()()222xx xx x x e e e x c c=⋅>⋅>=,因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x x ce <. 解法三: （I ）同解法一. （II ）同解法一.（III ）首先证明当(0,)x ∈+∞时,恒有313x x e <.证明如下:令31(),3x h x x e =-则2'()x h x x e =-.由（II ）知,当0x >时, 2x x e <.从而'()0,()h x h x <在(0,)+∞单调递减,所以()(0)10,h x h <=-<即313x x e <.取03x c =,当0x x >时,有23113x x x e c <<.因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x x ce <.注:对c 的分类不同有不同的方式，只要解法正确，均相应给分.考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题把导数的几何意义、极值、不等式证明结合在一起考查，综合性强，难度大，后两问涉及到不等式证明，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.10.【2014高考重庆理第20题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分）已知函数22()(,,)xx f x aebe cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定,a b 的值；（Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性；（Ⅲ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,1a b ==；（Ⅱ）增函数；（Ⅲ）()4,+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由22()(,,)xx f x aebe cx a b c R -=--∈()2222x x f x ae be c -'⇒=+-因为()f x '是偶函数，所以()()f x f x ''-=，又曲线()yf x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -，所以有()04f c '=-，利用以上两条件列方程组可解,a b 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ），()22x x f x e e c -'=+-，当3c =时，利用()f x '的符号判断()f x 的单调性；（Ⅲ）要使函数()f x 有极值，必须()f x '有零点，由于224x x e e -+≥，所以可以对c 的取值分类讨论，得到时满足条件的c 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）对()f x 求导得()2222x x f x ae be c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即()()2220x x a b e e --+=，因220x x e e -+>，所以a b = 又()022f a b c '=+-，故1,1a b ==. （Ⅱ）当3c =时，()223xx f x ee x -=--，那么()22223310x x f x e e -'=+-≥=>故()f x 在R 上为增函数.（Ⅲ）由（Ⅰ）知()2222xx f x ee c -'=+-，而22224x x e e -+≥=，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意()22,220xx x R f x ee c -'∈=+->，此时()f x 无极值；当4c =时，对任意0,x ≠()222240xx f x ee -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2xe t =，注意到方程220t c t+-=有两根，1,20,t => 即()0f x '=有两个根111ln 2x t =或221ln 2x t =. 当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>从而()f x 在2x x =处取得极小值. 综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为()4,+∞.考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的的单调性、切线、函数的值域，等价转化，综合性强，属于较难题，第二问，需用基本不等式判断导数的符号，再利用导数研究函数的单调性即可．第三问，要注意分类计论，要求学生有较强的推理能力和计算能力． 11.【2015北京理18】（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在0x =处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在()01x ∈，成立，可用作差法构造函数1()ln 1x F x x+=-32()3x x -+，利用导数研究函数F(x)在区间（0，1）上的单调性，由于()0F x '>，()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数k 作讨论，首先[0,2]k ∈符合题意，其次当2k >时，不满足题意舍去，得出k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数k 进行分类讨论研究.12.【2015课标1理21】（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数. 【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==. 因此，当34a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线. ……5分（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点. 当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点. 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0单调递减，在1）单调递增，故当x()f x取的最小值，最小值为f 14.①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分段函数的零点，试题新颖.对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程.13.【2015天津理20】（本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性； (II)设曲线()yf x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.【解析】(I)由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤. (III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.。

教学设计：导数的概念和几何意义

导数的概念和几何意义一、教学目标一知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵2．通过函数图象直观了解导数的几何意义（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题二、教学重点导数的定义与求导的方法三、教学难点对导数概念的理解四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f（）；（2）f（d）－f（）；（3）dx fdxf)()(-+；（4）当d趋于0时，dx fdxf)()(-+趋于一个确定的常数师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义（二）探求新知 1增量、变化率的概念对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从0变化为1时，相应的函数值有0变为1，其中1－2叫做自变量的增量，记为△，1－0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△，则).()(01x f x f y -=∆叫做函数的变化率（或函数在步长为△的差商）★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限 ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限 2．导数定义设函数在包含0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数在=0处的导数或微商，记做)('x f上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商 ★)('x f 也是关于的函数，叫做函数的导函数 3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）令△→0，差商→)(0'x f 4．导数的几何意义函数)(x f y =在点0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （0，）处的切线的斜率)(0'x f5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）试问哪个企业的治污效果较好分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t即排污量相同，但是考虑到一开始有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有10212010111)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大即企业甲的治污效果要好一些例2 投石入水，水面产生圆形波纹区圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图），计算：（1）半径r 从a 增加到ah 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。

导数的几何意义,曲线的切线方程

导数的几何意义一、导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数)(0'x f ，表示曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-二、题型讲解题型一、求曲线在某点处的切线方程例题1.曲线x x y 12+=在点（1,2）处的切线方程为。

【答案：1+=x y 】练习1.1.曲线12++=x xe y x在点（0,1）处的切线方程为。

【答案：13+=x y 】练习1.2.曲线)1ln 3(+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为。

【答案：34-=x y 】练习1.3.曲线3x y =在点（1,1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形面积为。

【答案：38】练习1.4.曲线xe y =在点（2，2e ）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为。

【答案：22e 】题型二、过某点作曲线的切线方程例题2.过原点作曲线xe y =的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为。

【答案：（1，e ）,e 】练习2.1.已知曲线2)(3+-=x x x f C ：。

求经过点)2.1(M 的曲线C 的切线方程。

【答案：x y 2=或4941+-=x y 】练习2.2.过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程。

【答案：x y 22-=或x y 22=】练习2.3.过点)2,0(M 作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程。

【答案：023=+-y x 或02=--y x 】练习2.4.已知曲线3431:3+=x y C ，求过点)4,2(P 的曲线的切线方程。

【答案：044=--y x 或02=+-y x 】题型三、已知曲线的切线方程，求曲线方程例题3.在平面直角坐标系中，若曲线xbax y +=2（b a ,为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是。

导数的概念及几何意义

专题五：导数的概念及几何意义【学习目标】 1．知识与技能（1）理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的实际意义．（2）通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会求一些简单的初等函数在某点的切线方程．2．过程与方法经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．3．情感、态度与价值观领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．【要点梳理】要点一：导数的概念 1．导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近．（5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．要点二：导数的几何意义已知点00(,)P x y是曲线=()y f x上一定点，点00(,)Q x x y y+∆+∆是曲线=()y f x上的动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ的斜率．如图所示：当点Q无限接近于点P，即0x∆→时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线．也就是：当0x∆→时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率．即：00()()lim lim()x xf x x f xyk f xx x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P处的切线：点P在曲线上，在点P处作曲线的切线（P是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点P处的切线：点P位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P即可），数量不唯一．如图2，无论点P在曲线上还是曲线外，过点P都可以作两条直线1l、2l与曲线相切．()'f x‘表示曲线=()y f x在x x=处的切线的斜率，即()'=tanf xα‘（α为切线的倾斜角）（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．【典型例题】类型一：导数定义的应用例1．用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．举一反三：【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．已知函数()24f x x=，求()f x '．举一反三：【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3．若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．举一反三：【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+x f x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．举一反三：【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．举一反三：【变式1】已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线．求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=．（1）求曲线过点()10A ，的切线方程；（2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．【变式2】质点按规律()21s t at =+做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）．若质点在 2 s t =时的瞬时速度为8 m / s ，求常数a 的值．【巩固练习】一、选择题1．已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（） A ．)()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量 B ．xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率 C ．)(x f 在点0x 处的导数记为y ' D ．)(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '2．设()4f x ax =+，若'(1)2f =，则a =（）A ．2B ．－2C ．3D ．－33．曲线2122y x =-在点3(1,)2-处切线的倾斜角为（） A ．1 B ． 4π C ． 54π D ．－4π4．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则(5)f 及'(5)f 分别为( )A ．3，3B ．3，－1C ．－1，3D ．－1，－15．已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则其切线方程有（） A ．1条 B ．2条 C ．多于2条 D ．不确定 6．在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8m/s g =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8m/s =，则下列说法正确的是（）A ． 0～1 s 时间段内的速率为9.8m/sB ．在1～1+△t s 时间段内的速率为9.8m/sC ．在1 s 末的速率为9.8m/sD ．若△t ＞0，则9.8m/s 是1～1+△t s 时段的速率；若△t ＜0，则9.8m/s 是1+△t s ～1时段的速率．二、填空题7．曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为3x +y +3=0，则0'()f x ________0．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）8．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f = ；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆= ．9．已知函数()y f x =在x =x 0处的导数为11，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆________．10．在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线的方程为________．11．若抛物线y =x 2―x +c 上一点P 的横坐标是―2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．三、解答题12．如果曲线y =x 2+x ―3的某一条切线与直线y =3x +4平行，求切点坐标与切线方程． 13．曲线24y x x =-+上有两点A （4，0）、B （2，4）．求：（1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行？若存在，求出C 点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由． 14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x （单位： h ）时，原油温度（单位：C ︒）为()()801572≤≤+-=x x x x f ．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．15．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ．(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．数学试题答案【典型例题】类型一：导数定义的应用例1．【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值．【解析】先求增量：(1)(1)1y f x f ∆=+∆-====再求平均变化率：y x ∆=∆求极限，得导数：01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；（3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．举一反三：【变式1】【解析】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴ 2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆， ∴()'1=f -()00'(1)limlim 3=3x x yf x x ∆→∆→∆==-∆∆．【变式2】【解析】 ∵22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，∴263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆， 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=． ∴函数2()3f x x =在1x =处的导数为6 ．【变式3】【解析】∵2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，∴23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆， ∴00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆．例2．【解析】先求增量：2222444(2)()()x x x y x x x x x x ∆+∆∆=-=-+∆+∆，再求平均变化率：224(2)()y x x x x x x ∆+∆=-∆+∆．求极限，得导数：23004(2)8'limlim ()x x y x x y x x x x x∆→∆→∆+∆==-=-∆++∆．【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导．举一反三：【变式1】【解析】∵y ∆==，∴y x ∆==∆==∴321lim 2x y x -∆→'===-．【变式2】【解析】∵y ∆=∴yx ∆=∆==∴'()limx f x y ∆→'==．当2x =时，1'(2)4f ==．例3．【思路点拨】【解析】根据导数定义：0000[()]()'()limk f x k f x f x k→+--=-（这时增量x k ∆=－），所以000()()lim2k f x k f x k →--000[()]()1lim 2k f x k f x k →+--⎧⎫=-⋅⎨⎬-⎩⎭000[()]()1lim21221.k f x k f x k →+--=-⋅-=-⨯=-【思路点拨】（1）有一种错误的解法：根据导数的定义：0000()()'()limk f x k f x f x k→--=（这时增量x k ∆=），所以 000000()()()()11limlim 21222k k f x k f x f x k f x k k →→----==⨯=．（2）在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆也必须选择与之相对应的形式．利用函数()f x 在0x x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．举一反三：【变式1】【答案】（1）00(1)(1)1(1)(1)1limlim '(1)1222x x f x f f x f f x x →→+-+-===（2）00(12)(1)(12)(1)lim2lim 2'(1)42x x f x f f x f f x x→→+-+-===【变式2】【答案】()()()()()()[]00000000000000000()()lim()()lim()()lim21lim 2lim 1()2'()22'()2x x x x x f x x f x x xf x x f x x f x x f x x xf x x f x xf x x f x x x x f x af x a∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆--∆+∆--∆∆-∆-∆-∆-=-=-∆∆--∆=-==-==【变式3】【答案】原式0000()()()()lim2h f x h f x f x f x h h→+-+--=000000()()()()1lim lim 2h h f x h f x f x h f x h h →→+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦0000()()1'()lim 2h f x h f x f x h -→--⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦[]0001'()'()'()2f x f x f x =+=．类型二：求曲线的切线方程例4．【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P （1，2）处的切线的斜率等于函数21y x =+在1x =处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程．【解析】先求切线的斜率()'1f ：()()22001+111lim lim x x x y x x∆→∆→⎡⎤∆++∆⎣⎦=-∆∆ ()0lim +2=2x x ∆→=∆，由条件可知()1=2f ，由点斜式可得，过点P 的切线方程为：22(1)y x -=-，即2y x =．【总结升华】求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率．（2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =．举一反三：【变式】【答案】先求2'|x y =：∵22211(2)2+4222(2)x y x x x x x -∆⎛⎫∆=+∆+-=∆+∆+ ⎪+∆+∆⎝⎭，∴142(2)y x x x ∆-=+∆+∆+∆， ∴001115limlim(4)4=2(2)44x x y y x x x ∆→∆→∆-'==+∆+=-∆+∆．再求2|x y =：22119|=25=22x y =++．由点斜式得切线方程：()915--224y x =，即15480x y -+=．例5．【思路点拨】本题要分点(1,1)P 是切点和(1,1)P 不是切点两类进行求解．【解析】第一步：先求导函数．00()()limlimx x f x x f x xy y x ∆→∆→+∆-∆∆'==∆ ()()33322330222()lim3+3+=lim=lim 3+3+3=3x x x x x xxx xx x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆-∆=+∆∆∆∆∆第二步：验证点(1,1)P 是否在曲线上．由于()11f =，所以P 在曲线上．第三步：分类讨论． ①若点P 是切点，则切线的斜率为()'13f =，于是切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-；②若点P 不是切点，设切点为()()3000,1x x x≠．则切线的斜率为()200'3f x x =，于是切线方程为：320003()y x x x x -=- ．由于切线经过点(1,1)P ，于是有3200013(1)x x x -=-，整理得：()()()()()()32322322200000000000023+1=22++1=221=21+11x x x x x x x x x x x x ()()2000=121x x x ()()200=12+1=0x x ，解得012x =-或01x =（舍去）．所以切线方程是131+(+)842y x =，即3144y x =+．综上所述，所求切线方程为32y x =-或3144y x =+．【思路点拨】求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立；（3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．举一反三：【变式1】【解析】先求导函数：20()lim33x yf x x x∆→∆'==-∆．再验证：3(2)232=2f =-⨯，所以点(2,2)在函数()f x 图象上．最后讨论：（1）当点(2,2)是切点时，切线的斜率为(2)9f '=，则切线方程为：9160x y --=．（2）当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为3000(,3)x x x -．则切线的斜率为200()33f x x '=-（02x ≠），所以切线方程为()320000(3)=33()y x x x x x ----．代入点(2,2)得：()3200002(3)=33(2)x x x x ----整理得：0432030=+-x x ⇒0)2)(1(200=-+x x ⇒10-=x ，此时切线方程为2=y ．综上所述，所求的切线方程为9160x y --=或2y =．【变式2】【解析】()200()()11'=limlim =x x f x x f x y x x x x x∆→∆→+∆--=-∆+∆ （1）由于点A 不在曲线上，设切点坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线的斜率为21'|=x a y a =-，切线方程为211()y x a a a-=--，将()10A ，代入，得12a =．所以所求的切线方程为44y x =+ ．（2）令2113x -=-，解得x =所以斜率为13-的切线的切点为3⎭或3⎛- ⎝⎭．所以所求的切线方程为133y x =-+或133y x =--．【变式3】【答案】 0(2+)(2)'(2)limx f x f f x∆→∆=∆3230(2)2(2)(2)(282)=lim x x a x b x a a b a x∆→+∆++∆++∆+-+++∆20lim 1286()128x a b x x a b ∆→⎡⎤=+++∆+∆=++⎣⎦ 0g(2+)g(2)g '(2)limx x x ∆→∆=∆220(2)3(2)2(2322)=lim x x x x∆→+∆-+∆+--⨯+∆ 0lim(1)1x x ∆→=+∆=由条件可知：(2)0f =且'(2)'(2)f g =⇒2,5a b =-=，所以切线l 的方程：2y x =-．类型三：导数的实际应用例6．【思路点拨】【解析】()0(2)(2)'2limt T t T T t∆→+∆=∆()0012012015152+57=lim 120=lim 77+120=49t t t tt ∆→∆→⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪∆+⎝⎭⎝⎭∆∆ ()()1202=C /min 49T '︒ 表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以()120C /min 49︒ 的速度下降．【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢．举一反三：【变式1】【解析】00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆ 220000000011[()()][]2212v t t a t t v t at tv at a t+∆++∆-+=∆=++∆ 2s t ∴=的瞬时速度是02v a +．【变式2】【答案】质点 2 s t =时的瞬时速度为()'28s =．∵()222(2)2(2)1214()s s t ―s a t ―a a t a t ∆=+∆=+∆+⨯=∆+∆－， ∴4sa a t t∆=+∆∆． ∴()0'2lim4t ss a t∆→∆==∆，所以48a =，即a =2．【巩固练习】【答案与解析】 1．【答案】 C【解析】正确的写法应该是0'|x x y = 2．【答案】 A【解析】 ∵00(1)(1)'(1)lim lim 2x x f x f a xf a x x∆→∆→+∆-∆====∆∆，∴a=2，故选A ． 3．【答案】B【解析】∵y ′＝220011()2(2)122lim lim()2x x x x x x x x x ∆→∆→+∆---=+∆=∆∴切线的斜率1'|x k y ==＝1．∴切线的倾斜角为4π，故应选B ．4．【答案】B【解析】由题意易得：f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，故应选B ． 5．【答案】B【解析】由定义求得y ＇=3x 2，设切点为300(,)x x ，由2031x =，得03x =±，即在点⎝⎭和点39⎛-- ⎝⎭处有斜率为1的切线，故有两条． 6．【答案】 C 【解析】0(1)(1)lim'(1)t s t s v s t∆→+∆-==∆，即s （t ）在t=1 s 时的导数值．由导数的物理意义，得9．8 m / s是物体在t=1 s 这一时刻的速率．故选C ．7．【答案】＜【解析】由题知0'()f x 就是切线方程的斜率，即0'()3f x =-，故0'()0f x <． 8．【答案】 2， 2【解析】由图可知：f (0)=4，f (4)=2; f (x )=-2x +4，带入可得． 9．【答案】－11 【解析】∵0000()()'()lim11x f x x f x f x x ∆→-∆-==-∆，∴0000()()lim '()11x f x x f x f x x∆→-∆-=-=-∆ 10．【答案】3x －y －11=0【解析】由导数的定义知y ＇=3x 2+6x +6=3(x 2+2x +1)+3=3(x +1)2+3，所以当x =－1时，斜率有最小值为3．又因为当x =－1时，y =－14，所以切线方程为y +14=3(x +1)，即y =3x －11．11．【答案】4【解析】∵y ＇=2x －1，∴2'|5x y =-=-．又P （－2，6+c ）， ∴652c+=--，即c=4． 12．【解析】∵切线与直线y =3x +4平行，∴切线的斜率为3．设切点坐标为（x 0，y 0），则0'|3x x y ==．又22000000()()()()33f x x f x x x x x x x y x x x +∆-+∆++∆---+∆==∆∆∆200()221x x x xx x x∆+∆+∆==∆++∆．当Δx →0时，021yx x∆→+∆， ∴2x 0+1=3从而x 0=1．代入20003y x x =+-得y 0=－1．∴切点坐标为（1，―1）．切线方程为y +1=3(x ―1)，即3x ―y ―4=0．13．【解析】（1）∵40224AB k -==--， ∴割线AB 所在直线方程是y =―2(x ―4)，即2x +y ―8=0．（2）由导数定义可知y ＇=―2x +4，―2x +4=―2， ∴x =3，y =－32+3×4=3．∴在曲线上存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行，C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0．14．【解析】在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f根据导数定义0(2)()f x f x fx x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x xx +∆-+∆+--⨯+=∆=∆- 所以00(2)limlim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在第2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．15．【解析】(1)32320()3()33''()lim33x x x x x x xy f x x x ∆→+∆-+∆-+===-∆则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率1'(1)0k f ==，∴所求直线方程为y ＝－2．(2)设切点坐标为3000(,3)x x x -，则直线l 的斜率20'()k f x =2033x =-∴直线l 的方程为32000(3)(33)()y x x x x x --=--又直线l 过点P (1，－2)，∴3200002(3)(33)(1),x x x x ---=--∴32000032(33)(1),x x x x -+=--解得x 0＝1(舍去)或012x =-．故所求直线斜率209334k x =-=-，于是：9(2)(1)4y x --=--，即9144y x =-+．。

导数的概念及几何意义

导数的概念及几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点上的变化率。

导数的几何意义是一个函数在其中一点上的斜率或切线的斜率。

假设有一个函数y=f(x)，表示自变量x与因变量y之间的关系。

在函数图像上，选取其中一个点P(x,f(x))，然后再选取另一个与点P非常接近的点Q(x+△x,f(x+△x))。

△x表示x的一个小的增量。

这两个点的连线被称为割线，割线的斜率可以表示为：斜率=(f(x+△x)-f(x))/△x当△x逐渐接近于0时，割线的斜率会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在点P处的导数。

数学表达式可以表示为：f'(x) = lim(△x→0) (f(x + △x) - f(x)) / △x导数也可以用微分法的符号(dx / dx)表示。

导数可以表示函数的变化率，即在特定点上函数的斜率。

导数的值可以为正、负或零。

导数的几何意义是函数的图像在其中一点上的切线的斜率。

切线是函数图像上与这个点非常接近的直线。

切线的斜率与点的导数值相等。

当导数值大于0时，说明函数图像在该点上是递增的，切线是向上的。

当导数值小于0时，说明函数图像在该点上是递减的，切线是向下的。

当导数值等于0时，说明函数图像在该点上是平的，切线是水平的。

导数还可以提供其他有用的几何信息。

例如，函数在其中一点上的导数值越大，函数曲线在该点附近弯曲得越急。

函数的导数也可以帮助确定函数的拐点。

拐点是函数图像的曲线从凹向上凸或从凸向上凹的点。

导数的计算方法有很多种。

有些函数可以通过求导公式直接计算导数，这些被称为可导函数。

例如，如果函数是关于x的幂函数，如f(x) =x^n，其中n是一个常数，那么它的导数可以通过将指数降低1并将结果乘以原指数来计算，即f'(x) = nx^(n-1)。

还有一些常见的函数，如正弦函数、余弦函数和指数函数，它们也有特定的求导公式。

除了直接求导的公式之外，还可以使用导数的基本性质来求导。

导数的几何意义教案

导数的几何意义教案教案标题：导数的几何意义教案目标：1. 理解导数的几何意义及其在几何中的应用。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 能够将导数应用于解决几何问题。

教学重点：1. 导数的几何意义。

2. 导数的计算方法。

3. 导数在几何中的应用。

教学难点：1. 理解导数的几何意义。

2. 能够将导数应用于解决几何问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、导数的几何意义的示意图。

2. 学生准备：几何工具、笔记本。

教学过程：Step 1: 引入导数的概念（10分钟）1. 教师通过示意图或实际物体展示，引导学生思考两点间的斜率和变化率的概念。

2. 引导学生思考斜率和变化率的关系，并引出导数的概念。

Step 2: 导数的几何意义（20分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释导数的几何意义是函数图像上某一点处的切线斜率。

2. 引导学生思考导数与函数图像的变化趋势之间的关系。

3. 引导学生通过观察导数的正负和零点，理解函数图像的增减性和极值点。

Step 3: 导数的计算方法（20分钟）1. 教师介绍导数的计算方法：使用极限定义或基本导数公式。

2. 通过示例演示如何计算导数，并引导学生进行练习。

Step 4: 导数在几何中的应用（20分钟）1. 教师通过几何问题的实例，展示导数在几何中的应用。

2. 引导学生通过计算导数，解决几何问题，如求切线方程、判断函数图像的凸凹性等。

Step 5: 总结与拓展（10分钟）1. 教师与学生一起总结导数的几何意义及应用。

2. 鼓励学生思考导数在其他学科中的应用，如物理、经济等领域。

教学延伸：1. 学生可以通过绘制函数图像和计算导数，进一步加深对导数的几何意义的理解。

2. 学生可以选择一个几何问题，应用导数的知识进行解决，并进行展示和分享。

教学评估：1. 教师通过课堂练习和问题解答，检查学生对导数的几何意义的理解情况。

2. 学生完成课后作业，包括计算导数和应用导数解决几何问题。

教学反思：本节课通过引入导数的概念，结合几何意义和应用，帮助学生理解导数的几何意义。