1-初二全等模型讲义-定稿版

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初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

八年级数学寒假班讲义全等三角形的模型学生版

1对3辅导教讲义（4）学员姓名：冯亦龙学科教师：张小臣年级：八年级辅导科目：数学授课日期时间主题全等三角形模型教学内容1．掌握一线三直角、手拉手的三角形全等模型，并会运用解决相关的几何证明问题；2．掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理，并会应用定理解决相关的几何证明问题．在平面直角坐标系中，A（0 ，3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B的坐标；（1）如图1，当点C为直角顶点：B（，）；（2）如图2，当点B为直角顶点：B（，）；（3）如图3，当点A为直角顶点：B（，）．图1 图2 图3案例1：如图，△ABC与△ADE是等边三角形，（1）观察图1，CE 与BD 的数量关系是：，直线CE 与直线BD 的所夹的角度大小为：；（填锐角）（2）如图2和图3，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请选择一个图形说明理由；如果不成立，请写出此时的结论，思考：本题可以理解为△ADE 绕点A 旋转，有2种特殊情况（点D 在AC 和AB 上时）需要学生掌握。

案例2：如图甲，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，问题1：若∠A=40°，求∠NMB 的大小．问题2：如图乙，如果将问题1中∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．问题3：根据问题1，2的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．问题4：如图丙，将问题1中的∠A 改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A 代入一个钝角度数验证你的结论．案例3：如图，△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线相交于点P ，求证：BP 为∠ABC 的平分线。

图3图2图1DBDBDBECAACEACEDBAC DBACE丙乙甲M MNCN CMN CAAABBB案例4：如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上一点，∠ADE 交直线a 于点E ，且∠ADE =60°．（1）若D 在BC 上（如图1）求证：CD +CE =CA ；（2）若D 在CB 延长线上，CD 、CE 、CA 存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．案例5：如图，△ABC 为等边三角形，BF 平分∠ABC ，D 是BF 上的一点，连接AD ，以AD 为边在AD 的左侧作等边△ADE ，连接EB ．（1）如图1，当E 在BD 上时，BE 与ED 的数量关系是；（2）如图2，当E 在直线BD 外时，（1）的结论是否成立，说明理由；（3）当BD 与BA 满足什么条件时，以A ，B ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，直接写出结论．PMBNAC1．在平面直角坐标系中，点P （1，2），当△P AO 是等腰直角三角形，点A 的坐标为（至少写出4个）2．如图，点C 是线段AE 上的一点，在AE 同侧作等边三角形△ABC 和△CDE ，联结AD 、BE ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，BE 与AD 交于点O ，联结PQ ；下列结论：①△ACD ≌△BCE ；②AP=BQ ；③PQ ∥AE ；④∠AOB=60°；⑤DP=QE ．其中正确的结论有，说明理由；3．已知在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 与M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ，你认为BM 与CN 之间有什么关系？试证明你的发现．4．已知△ABC 是等边三角形，四边形ADEF 是菱形，∠ADE =120°（AD ＞AB ）．（1）如图1，当AD 与边BC 相交，点D 与点F 在直线AC 的两侧时，BD 与CF 的数量关系为；（2）将图1中的菱形ADEF 绕点A 旋转α（0°＜α＜180°），如图2； ①判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论； ②若AC =4，AD =6，直接写出CE 的最小值． NMDECAB补充类提高题1．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，∠ABC=∠ADC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论．2．已知，△ABC为等边三角形，点P是射线CM上一点，连接AP，把△ACP绕点A按顺时针方向旋转60°，得△ABD，直线BD与射线CM交于点E，连接AE．（1）如图1，①求∠BEC的度数；②若AE=2BE，猜想线段CE、BE的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若AE=mBE，求BECE的值．（图3）（图2）（图1）．一线三直角模型：图形旋转模型：线段垂直平分线模型：角平分线模型：1．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，∠B=35°，∠BDA=120°，,则∠CAF的度数为（）A、25°B、35°C、45°D、60°2．如图①，E 是AB 延长线上一点，分别以AB 、BE 为一边在直线AE 同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG ，联结AG 、CE ．（1）试探究线段AG 与CE 的数量关系与位置关系：；（2）将正方形BEFG 绕点B 逆时针旋转一个锐角后，如图②，问（1）中结论是否仍然成立，说明理由．3．如图，已知BC > AB ，∠A +∠C =180º，BD 平分∠ABC 。

全等几何模型讲解

常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角;这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类; 1.绕点型手拉手模型1自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060例题讲解：1. 如图所示,P 是等边三角形ABC 内的一个点,PA=2,PB=32,PC=4,求△ABC 的边长;CA BP2. 如图,O 是等边三角形ABC 内一点,已知：∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少3.如图,P 是正方形ABCD 内一点,且满足PA ：PD ：PC=1：2：3,则∠APD= .ABCO4.如图2-1：P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3;求此正方形ABCD面积;2共旋转典型的手拉手模型模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形例题讲解：1. 已知△ABC 为等边三角形,点D 为直线BC 上的一动点点D 不与B,C 重合,以AD 为边作菱形ADEF 按A,D,E,F 逆时针排列,使∠DAF=60°,连接CF. 1 如图1,当点D 在边BC 上时,求证：① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.2如图2,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD 是否成立若不成立,请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系,并说明理由；3如图3,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC 、CF 、CD之间存在的数量关系;2.13北京中考在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α︒<<︒600α,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD;1如图1,直接写出∠ABD 的大小用含α的式子表示；2如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明； 3在2的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求α的值;2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等;例题：1.在等腰直角△ABCD 的斜边上取两点M,N,使得45=︒∠MCN ,记AM=m,MN=x,BN=n, 求证以m,x,n 为边长的三角形为直角三角形;m xnBCAMN2.如图,正方形ABCD 的边长为1,AB,AD 上各存在一点P 、 Q,若△APQ 的周长为2, 求PCQ ∠的度数;D ACBQ P3.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =︒∠,AH EF ⊥,H 为垂足,求证：AH AB =．4. 已知,正方形ABCD 中,∠MAN=45°,∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC或它们的延长线于点M 、N,AH ⊥MN 于点H ．1如图①,当∠MAN 点A 旋转到BM=DN 时,请你直接写出AH 与AB 的数量关系：AH=AB ；2如图②,当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN 时,1中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由,如果成立请证明；3如图③,已知∠MAN=45°,AH ⊥MN 于点H,且MH=2,NH=3,求AH 的长．可利用2得到的结论知：正方形A 5.已BCD 中,∠MACHFE D B AN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC或它们的延长线于点M,N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时如图1,易证BM+DN=MN．1当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时如图2,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系写出猜想,并加以证明．2当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想．6.14房山2模. 边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上如图1,现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB边交DF于点M,BC边交DG于点N.1求边DA在旋转过程中所扫过的面积；2旋转过程中,当MN和AC平行时如图2,求正方形ABCD旋转的度数；的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化请证明你3如图3,设MBN的结论.7. 2011石景山一模已知：如图,正方形ABCD 中,AC,BD 为对角线,将∠BAC 绕顶点A 逆时针旋转α°0＜α＜45,旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q,交BC,CD 于点E 、点F,连接EF,EQ ．1在∠BAC 的旋转过程中,∠AEQ 的大小是否改变若不变写出它的度数；若改变,写出它的变化范围直接在答题卡上写出结果,不必证明； 2探究△APQ 与△AEF 的面积的数量关系,写出结论并加以证明．8．已知在ABC △中,90=∠ACB ,26==CB CA ,AB CD ⊥于D ,点E 在直线CD 上,CD DE 21=,点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点,直线AE 与直线CF 交于N 点. 1如图1,若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________,___________；2在1的条件下,当点F 在线段AD 上,且2AF FD =时,求证：45=∠CNE ；3当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ,使得45=∠CNE ．若存在,请直接写出AF 的长度；若不存在,请说明理由．DCBA9.2014平谷一模241如图1,点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,∠EAF =45°,连接EF ,则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD,交AE 、AF 于点M 、N ,且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=,请证明这个等量关系；2在△ABC 中, AB =AC ,点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2,当∠BAC =60°,∠DAE =30°时,BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是②如图3,当∠BAC =α,0°<α<90°,∠DAE =α21时,BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是___________．参考：1cos sin 22=+αα注意：2222AM BM DM =+A B CD EF 图1B CDE 图2ACDE 图3AMNNM FED CBAM'AB CDEFMN1 在正方形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =90°,∠ABM =∠ADN=45°．把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到M AD '∆．连结M N '．则，，AM AM BM M D =='', ︒=∠='∠45ABM M AD ,BAM M DA ∠='∠．∵∠EAF =45°,∴∠BAM +∠DAN =45°,∠DAM′+∠DAF =45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆． ∴N M '=MN ．在N DM '∆中,︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M , 222''DM DN N M +=∴222BM DN MN += 2① 222EC EC BD BD DE +⋅+=；② 222cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=α3.空翻模型例题：1.如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点点B 除外,作60DMN ∠=︒,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系N E B M A DGNEB M A D【解析】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ,AG AM =,∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠,120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠,而120DGM MBN ==∠∠, ∴DGM MBN ∆∆≌,∴DM MN =．2.如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系N CDE B M A NCDEB M A【解析】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =,∴DG MB =,∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠,∴ADM NMB =∠∠, ∴DGM MBN ∆∆≌,∴DM MN =．3.探究发现如图１,ABC ∆是等边三角形,60AEF ︒∠=,EF 交等边三角形外角平分线CF 所在的直线于点F ．当点E 是BC 的中点时,有AE =EF 成立；数学思考某数学兴趣小组在探究AE 、EF 的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论：当点E 是直线BC 上B ,C 除外任意一点时其它条件不变,结论AE =EF 仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”；“点Ｅ是线段BC 延长线上的任意一点”；“ 点Ｅ是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并进行证明．拓展应用当点E 在线段BC 的延长线上时,若CE = BC ,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出:ABC AEF S S ∆∆的值．4.弦图模型ABBFAB外弦图内弦图总统图例题：1.两个全等的30°,60°三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放,E、A、C在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC．1求证：△EDM≌△CAM；2求证：△EMC为等腰直角三角形．2.如图△ABC中,已知∠A=90°,AB=AC,1D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF2若D,M为AC上的三等分点,如图2,连BD,过A作AE⊥BD于点E,交BC于点F,连MF,判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．3.14朝阳二模已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC．1如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明；2如图2,E是直线BC上的一点,直线AE、CD相交于点P,且∠APD=45°,求证BD=CE．二、对称全等模型下图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称翻折,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等;32P图2图1EDABCFEDB AC例题：1. 如图1,在△ABC 中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC 于D,BD=2,DC=3,求AD 的长．小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB 、AC 为对称轴,画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D 点的对称点为E 、F,延长EB 、FC 相交于G 点,得到四边形AEGF 是正方形．设AD=x,利用勾股定理,建立关于x 的方程模型,求出x 的值．参考小萍的思路,探究并解答新问题：如图2,在△ABC 中,∠BAC=30°,AD⊥BC 于D,AD=4．请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF,求△BGC 的周长．画图所用字母与图1中的字母对应2. 问题：已知△ABC 中,∠BAC =2∠ACB ,点D 是△ABC 内一点,且AD =CD ,BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明. 1当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图.观察图形,AB与AC的数量关系为_______；当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为_________；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.2当∠BAC≠90°时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与1中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.。

第十二章全等三角形常见全等三角形模型复习讲义人教版数学八年级上册

常见全等三角形模型（压轴）三角形全等的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．证明三角形全等的基本思路：全等三角形中常见的基本模型：1手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE =60°；（3）OA平分∠EOF ．拓展图形：结论：（1）AD=BE ；（2）∠ACB=∠AOB ；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE ；（5）AP=BQ ；（6）CO平分∠AOE ；（7）OA=OB+OC；（8）OE=OC+OD．②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD ．③ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）BD⊥CF；（2）BD=CF．2三垂直模型由△AEB≌△BDC导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△ECD导出AE=CD+DE AB=EC+CD BC=AB+CD3等腰直角三角形型定点是斜边中点，BF=AE（AF=CE），动点在两直角边上滚动的旋转全等：结论：（1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；（2）DE⊥DF；（3）S四边形AFDE=1/2S△ABC．例1．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）BH平分∠AHC；（5）△ABG≌△DBF；（6）等边△GBF；（7）GF∥AC.1．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD=CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面（1），（2）中的结论还成立吗？请简单说明理由．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠P AE的度数和E 点的坐标；（3）点C 在y 轴移动的过程中，若∠APB ＝30°，则点P 的横坐标为．例2．如图1，OA ＝1，OB ＝3，以A 为直角顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．（1）求点C 的坐标；（2）如图2，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当点P 向下运动时，以P 点为直角顶点，P A 为腰作等腰Rt △APQ ，过Q 作QE ⊥x 轴于E 点，求PO ﹣QE 的值．1．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（）．A ．50B ．62C ．65D ．682．直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且．（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．3．（1）如图1，OA ＝3，OB ＝6，以点A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC ，则C 点的坐标为；（2）如图2，OA ＝3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，若以P 为直角顶点，P A 为腰作等腰直角△APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP ﹣DE 的值；（3）如图3，点F 坐标为（﹣3，﹣3），点G （0，m ）在y 轴负半轴上，点H （n ，0）在x 轴的正半轴上，且FH ⊥FG ，求m +n 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 为边AC 上一点，连接BE 交y 轴于点F ，交x 轴于点G ，作CD ⊥BE 交BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠A B CEF D D A BC E F AD F CE B 图1 图2 图3BE延长线于点D，且CD=BF，连接AD，CF.（1）求证：△ABF≌△ACD；（2）若∠ACF=2∠CBF，求证：∠ACO=∠FCO；（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（0，2），求OC的长.5．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，AF⊥BD 于E，交BC于F，连接DF．求证：∠ADB=∠CDF．例3．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC∆边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为1/cm s，∠变化吗？若变化，则（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ说明理由，若不变，则求出它的度数；∆是直角三角形？（2）何时PBQ（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP ∠变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．交点为M，则CMQ1．如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG 交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．例4．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N 分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．（1）求证：△ANO≌△BMO；（2）求证：OM⊥ON．（3）当M、N分别在线段AB、AC上移动时，四边形AMON的面积如何变化？1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB．AC于M．N，求证：DM=DN；（2）若DM⊥DN分别和BA．AC延长线交于M．N，问DM和DN有何数量关系，并证明．2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．。

初二数学经典讲义第2讲.全等中的基本模型

满分晋级全等中的基本模型2全等中的基本模型三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第二讲暑期班第四讲秋季班第二讲爸爸怎么样啦？把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本模块一平移型全等知识导航漫画释义知识互联网变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE =【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A夯实基础能力提升F EDB A常见轴对称模型【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【例3】如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．夯实基础能力提升知识导航模块二对称型全等E D NM CB A 4321EDCBAD O FE CBA常见旋转模型：【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=o ； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.能力提升夯实基础知识导航模块三旋转型全等A'B'CBAM D NEC BFA【例4】如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．（2009湖南常德节选）图2图3图1MNM NN MA BCDE ABC D E ABC ED【例5】如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线（如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．（2012平谷二模节选）PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEAB C DEF D辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.能力提升知识导航模块四辅助线添加初步GDABC EF【例7】如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； ⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA【探究对象】常见的全等三角形题目证明思路及辅助线作法【探究目的】除基本模型外，教师可以在常见辅助线版块进行拓展【探究一】证明两条线段相等的步骤：⑴观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等； ⑵若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等； ⑶如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形．【变式一】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？GA NB CD EM M E D C B NA【探究二】在一个图形中有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等，进而创造证明全等的条件．【变式二】如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，过A 作任一条直线AN ，作BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN于E ，求证：DE =BD －CE321N E DC BA【探究三】有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，可归结为“角分垂等腰归”．【变式三】如图，在Rt △ABC 中，AB = AC ，∠BAC =90°，∠1 = ∠2 ，CE ⊥BD 的延长线于E ，求证：BD =2CE【探究四】有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角【变式四】如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠ABC =2∠C ，求证：AB ＋BD =AC ．【变式五】已知，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，∠BAC = 2∠DBC ，求证：∠ABC = ∠ACB ⑵平分二倍角法一：E DC B A 21D C B A DA⑶加倍小角A法二：FDB C【例8】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．探索创新A BCD EF训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．思维拓展训练(选讲)A B C DE OQ P EDCB A M E DC B A训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．F EDC BA【题型一平移型全等巩固练习【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCDE F GGFEDC BA实战演练题型二对称型全等巩固练习【练习2】如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ．⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．题型三旋转型全等巩固练习【练习3】如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．EF 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．（山东省中考题）【练习4】如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由．题型四辅助线添加初步巩固练习 F CBA O HF ED CBA F E D CB A【练习5】如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCBDAFGENMEGFADBCCB(E)A(G)测1.已知，如图：ABC DEF ∠=∠，AB DE =，要说明ABC △≌DEF △ （1）若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为；（2）若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为；测2.已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．测3.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =， OB OD =.求证：AB CD =．课后测FE D C BA OPDB AEDBA第十五种品格：创新创新会更好汉斯是德国的一个农民，他爱动脑筋，所以常常花费比别人更少的力气有更大的收获.一次，又到了土豆收获季节，村里的农民进入了最繁忙的工作期.他们不仅要把土豆从地里收回来，而且还要把土豆按个头分成大、中、小三类.这样劳动量实在太大了，每人都起早摸黑地干，希望能早点把土豆运到城里去卖.汉斯一家与众不同，他们根本不做土豆分拣工作，而是直接把土豆装进麻袋就运走.但是，在向城里运送土豆时，他们不走平坦的公路，而是偏走颠簸不平的山路.数英里路下来，因为车子不断颠簸，小的土豆落到麻袋的最底部，而大的自然就留在了上面.到了市场，汉斯再把大小土豆进行分类出售.由于节省了时间，汉斯的土豆在市场上上市最早，卖出了比别人更理想的价位.俗话说，时间就是金钱，你有没有想到利用一些自然的方法加快你前进的脚步呢？知道事物应该是什么样，说明你是聪明的人；知道事物实际是什么样，说明你是有经验的人；知道怎样使事物变得更好，说明你是有才能的人.今天我学到了。

1-初二全等模型

全等模型【目标】1.知道基本模型的性质和结论，并能给出证明；2.在具体问题中能识别相关模型，并运用模型解题. 【重难点】模型的识别与运用.1.等腰三垂模型-1AB AC,BE AE,CD AD..=⊥⊥ 已知: 结论: 1.__________、__________, 2.__________、__________2.等腰三垂模型-2AB AC,BE AD,CD AC.,.=⊥⊥ 已知: 结论: 1.__________、__________ 2.__________、__________3.等角共顶点模型AB AC,AD AE,1 2.,,.==∠=∠ 已知: 结论: 1.__________________________ 2.__________________________ 3.__________________________4.对角互补(分半)模型112,34180,CD OD,(7ACB).2,,,.∠=∠∠+∠=︒⊥∠=∠ 已知: 结论: 1.__________________________ 2.__________________________ (3.__________________________ 4.__________________________)应用举例1.ABE ACD ABC,ADE .MN BE MC MD;MN BE,AM BE;;A ∆∆∆∆⊥⇔=⊥= 已知: 是等腰直角三角形证明: (1)(2)若证:2 (3)S =S (4)其中一个等腰直角三角形绕点旋转呢?2.ABC,ADE .AC CE.ABC ,AD DE,AC CE.DA DE.c a,b ,D BCd a ,E AD ,ABE .∆∆⊥∆⊥⊥=∠ a.已知: 是等腰直角三角形证明: b.已知: 是等腰直角三角形证明: .中在延长线上呢?.中当在左边时(自己画出图形)求度数3.ABC,ADE .360.ABC ,360.DA DE.,D BC ,E AD ,ABE .∆∆∠=∠=︒∆∠=∠=∠=︒=∠ a.已知: 是等边三角形证明: 2b.已知: 是等边三角形12 证明: c.a b 中在延长线上呢？d.a 中当在左边时(自己画出图形)求度数4.ADB CDF;BD AF DF.∠=∠=+证明: (1) (2)5.ABC ,12,AH BD.BD 2(AH HD).BAC 90,ABC 2C,12,AH BD.BH AC.∆∠=∠⊥=+∠=︒∠=∠∠=∠⊥= a.已知: 是等腰直角三角形证明: b.已知: 证明: 26.BE AE CF;D AC CA BD ABC,BD 2CF.=+∠= 证明: (1) (2) 在()延长线上呢? (3) 若平分证明: 7.ABC ,12,AE BC,GF //BC.AD CF.∆∠=∠⊥=已知: 是等腰直角三角形证明:8.ABC,ADE .1245;A ABC ,,.1245.∆∆∠=∠=︒∆⊥∠=∠=︒ a.已知: 是等腰直角三角形证明: (1)(2) 其中一个等腰直角三角形绕点旋转呢?b.已知: 是等腰直角三角形D 在BA 延长线上BO CD 证明: (1)9.ABC,BDE ME MC.MA MD,MA MD;B ∆∆==⊥ 已知: 是等腰直角三角形,证明: (1)(2)其中一个等腰直角三角形绕点旋转呢?10.ABC ,CF BD.AFB 45;D CA D ∆⊥∠=︒ 已知: 是等腰直角三角形证明: (1)(2)在延长线上呢（如右图: 未标出）?11.DEF AEDF ABC DE DF,DB DC.DE DF;(2)S S ∆∆∆⊥== 已知: 是等腰直角三角形,证明: (1) 面积何时最小? (3) 面积变化吗?ABC ,EDF 120,DA DC.DE DF;(2)BE BF ∆∠=︒==+ 已知: 是等边三角形证明: (1) 是否为定值? (3) 当E 在AB 延长线上时呢?13.ABC BDC 120().DB DC DA;(2) 2.∆∠=︒∠︒+=∠∠已知: 是等边三角形, 或1=60证明: (1) 1=ABC ,BDC 120,EDF 60,DB DC.BE CF EF;(2)AEF (D ABC )E AB F CA ,.∆∠=︒∠=︒=+=∆∆ 已知: 是等边三角形证明: (1)周长是定值么也可考虑在内部时? (3) 在延长线上且在延长线上时(1)中结论还对吗? (4)比较第15题b 和c ，探究类似的问题15.ABCD ,ECF 45.CE BEF,CF DFE;BE DF EF.ABCD ,CF DFE.ECF 45,CE BEF;BE DF EF.ABCD ,BE DF EF .ECF 45,CE ∠=︒∠∠+∠∠=︒∠++∠=︒ = = = a.已知: 是正方形证明: (1)平分(2)平分(3)b.已知: 是正方形平分证明: (1)(2) 平分(3)c.已知: 是正方形证明: (1)(2) BEF;CF DFE.,.∠∠ 平分(3) 平分d.比较第14题（2）和（3）探究类似问题 16.ABC,ADE ,D BA .(1)BE CD;(2)3?;(3)AM AN;(4)CN BM;(5)EM DN;(6)45;(7)OC OA OB ();(8)D BA ∆∆=∠====∠=∠+= 已知: 是等边三角形在延长线上证明: 写出另外两组不在延长线上呢?【例2】已知△ABC 中，∠ACB =90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点，PM 、QN 的中点分别为E 、F 。

人教版八年级上册12.2全等三角形常见模型讲义设计(2021年整理)

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全等三角形常见模型要点梳理要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边类型一:角平分线模型应用1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）角边角（ASA)角角边（AAS)边边边(SSS ）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL ）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等例题解析例1：（1)如图1，在△ABC 中,∠C=90°，AD 平分∠CAB,BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm 。

(2)如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:AP 平分∠BAC 。

图1图2【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ,PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,。

人教版初中数学《全等三角形》中的经典模型

专题12.4 全等三角形中的经典模型【六大题型】【人教版】【题型1 平移模型】 (1)【题型2 轴对称模型】 (3)【题型3 旋转模型】 (5)【题型4 一线三等角模型】 (8)【题型5 倍长中线模型】 (12)【题型6 截长补短模型】 (14)【常见模型】【例1】（2022•义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：△ACF≌△BDE．【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是；（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明．【变式1-2】（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF 的位置，则四边形DECF的周长为cm．【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE ∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【题型2 轴对称模型】【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各内角的度数；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长．【变式2-1】（2022•陇县一模）如图，在△ABC中，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∠DCB＝∠EBC．求证：AD＝AE．【变式2-2】（2022•句容市期末）如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．【变式2-3】（2022•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．【题型3 旋转模型】【例3】（2022•环江县期中）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°．求证：△ABC≌△EAD．证明：∵∠1＝70°，∴（）．又∵∠D＝110°，∴（）．∵AB∥DE，∴ （）．在△ABC 和△EAD 中， {(ㅤㅤㅤㅤ)(ㅤㅤㅤㅤ)AB =AE， ∴△ABC ≌△EAD （AAS ）．【变式3-1】（2022春•济南期末）如图1，△ABE 是等腰三角形，AB ＝AE ，∠BAE ＝45°，过点B 作BC ⊥AE 于点C ，在BC 上截取CD ＝CE ，连接AD 、DE 并延长AD 交BE 于点P ；（1）求证：AD ＝BE ；（2）试说明AD 平分∠BAE ；（3）如图2，将△CDE 绕着点C 旋转一定的角度，那么AD 与BE 的位置关系是否发生变化，说明理由．【变式3-2】（2022•高港区校级月考）已知，如图，AD 、BF 相交于O 点，点E 、C 在BF 上，且BE ＝FC ，AC ＝DE ，AB ＝DF ．求证：（1）AO ＝DO ；（2）AC ∥DE ．【变式3-3】（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1），△ABD不动．（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．【题型4 一线三等角模型】【例4】（2022春•香坊区期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m 上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为BD＝AE，CE与AD的数量关系为CE＝AD；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【变式4-2】（2022春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CF A＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BE CF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【变式4-3】（2022•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F 在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【题型5 倍长中线模型】【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD 的取值范围．【变式5-1】（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于F，求证：∠AEF＝∠EAF．【变式5-2】（2022•浠水县校级模拟）（1）在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是；（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE＝AC，连接并延长BE交AC于点F．求证：AF＝FE．【变式5-3】（2022•丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【变式6-1】（2022•蕲春县期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O．求证：AC＝AE+CD．【变式6-2】（2022•新抚区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB 的中点，DE平分∠ADC．（1）求证：CE平分∠BCD；（2）求证：AD+BC＝CD；（3）若AB＝12，CD＝13，求S△CDE．【变式6-3】（2022•黄石期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．。

人教版八年级数学上册课外辅导专题讲义第12章全等中的基本模型 (1)

模块一平移型全等把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE =能力提升【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A全等中的基本模型FE DCB A模块二对称型全等知识导航常见轴对称模型夯实基础【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．能力提升【例3】如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．E D N M C B A 4321EDCBAD O FE CBA【教师备选】在正ABC △内取一点D ，使DA DB =，在ABC △外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠．模块三旋转型全等知识导航常见旋转模型：夯实基础【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．D E CB AD E C B A A'B'CBA能力提升【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【例4】如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC EDM D NEC BFA【例5】如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线（如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D模块四辅助线添加初步知识导航辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【例7】如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；G D ABC EF⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.【探究对象】常见的全等三角形题目证明思路及辅助线作法【探究目的】除基本模型外，教师可以在常见辅助线版块进行拓展【探究一】证明两条线段相等的步骤：⑴观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等；⑵若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等；⑶如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形．【变式一】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？GA NB CD EM M E D C B NA【探究二】在一个图形中有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等，进而创造证明全等的条件．【变式二】如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，过A 作任一条直线AN ，作BD ⊥AN于D ，CE ⊥AN 于E ，求证：DE =BD －CE321N E DC BA【探究三】有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，可归结为“角分垂等腰归”．【变式三】如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC =90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE【探究四】有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角【变式四】如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C，求证：AB＋BD =AC．EDC BA21D C BA【变式五】已知，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC，求证：∠ABC = ∠ACB ⑵平分二倍角法一：【解析】作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC⑶加倍小角法二：【解析】作∠FBD =∠DBC，BF交AC于FEDC BAFAB CD探索创新【例8】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．【教师备选】已知AB=CD=AE=BC ＋DE =2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积．A BCD EFE D CBA实战演练题型一平移型全等巩固练习【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCDE F GGFEDC BA【点评】此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二对称型全等巩固练习【练习2】如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．FED CB A题型三旋转型全等巩固练习【练习3】如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．【练习4】如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由．题型四辅助线添加初步巩固练习【练习5】如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)F BA O HF ED A课后测测1.已知，如图：ABC DEF ∠=∠，AB DE =，要说明ABC △≌DEF △ （1）若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为；（2）若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为；测2.已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．测3.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =， OB OD =.求证：AB CD =．FEDCBA OPDCB AEDB A参考答案模块一平移型全等【引例】【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =能力提升【例9】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =．在AFC △和DEB △中，AC DB A D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌DEB △(SAS )．另两结论均成立，证明同上．模块二对称型全等知识导航常见轴对称模型夯实基础【例10】⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【解析】⑴D；⑵60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.能力提升【例11】如图，AB AC=，D、E分别是AB、AC的中点，AM CD⊥于M，AN BE⊥于N．求证：AM AN=．【解析】证法一：∵AB AC=，∴ABC ACB∠=∠．∵D、E是AB、AC的中点，∴DB EC=，AD AE=．在DBC△与ECB△中，BC CB=，DBC ECB∠=∠，DB EC=，∴DBC ECB△≌△．∴BDC CEB∠=∠∵ADM BDC∠=∠，AEN CEB∠=∠，∴ADM AEN∠=∠．在AMD△与ANE△中，90M N∠=∠=︒，AD AE=，ADM AEN∠=∠，∴AMD ANE△≌△，∴AM AN=．EDNMCBA4321EDC BADOFECBA证法二：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，∴AD AE =．在DAC △与EAB △中， AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠， ∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠．又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒，在AMC △与ANB △中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠， ∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =．证法三：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴12ADC ABC S S =△△，12AEB ABC S S =△△，AD AE =，∴ADC AEB S S =△△，在ADC △与AEB △中，AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△，∴CD BE =． ∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．【教师备选】在正ABC △内取一点D ，使DA DB =，在ABC △外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠．【解析】如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC △≌△，故30BCD ∠=︒.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，因此BDE BDC △≌△，故30BED BCD ∠=∠=︒.E D N M C B A ED N M C B AD E CB AD E C B A模块三旋转型全等【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒能力提升【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【解析】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=︒,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形． ⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. (找出图中所有的60︒角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明．【例12】如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．A'B'CBAMD NE C BFA图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC ED【解析】⑴CD =BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ， ∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD （SAS ） ∴CD=BE⑵△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌ △ACD （SAS ）， ∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =1122BE CD CN ==又∵AB=AC ，∴△ABM ≌ △ACN （SAS ） ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形．【例13】如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线（如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D【解析】⑴AG CE =成立．∵四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，∴,,GD DE AD DC == ∠GDE =∠90ADC =︒. ∴ ∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC . ∴ △AGD ≌△CED (SAS) ∴ AG CE =⑵由⑴可知△AGD ≌△CED ， ∴∠GAD ＝∠ECD .∵∠EHA ＝∠DHC ，∠DHC ＋∠ECD ＝90°， ∴∠EHA ＋∠GAD ＝90° ∴∠APH ＝90︒. ∴AG CE ⊥．模块四辅助线添加初步【例14】如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【解析】⑴连接BD 、DCDG 垂直平分BC ，故△BDG ≌△CDG （SAS ） ∴BD ＝DC又∵AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故△AED ≌△AFD （AAS ） ∴ED ＝DF故Rt △DBE ≌Rt △DFC （HL ） ∴BE ＝CFGDAB C EFGDABC E F⑵AB +AC ＝2AE2a bAE += 2a bBE -=【例15】如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA【解析】 ⑴ ①方法一：连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠．∴45ABD C ==︒∠∠．∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =．方法二：∵45A DBN ==︒∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠． ∴ADM BDN =∠∠．NMEFDCBA∴ADM BDN △≌△． ∴DM DN =．②四边形DMBN 的面积不发生变化；由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．∴1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．⑵ DM DN =仍然成立，证明：连接DB ．在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =， ∴DB DC =，90BDC =︒∠． ∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠．∴CDN BDM △≌△．∴DM DN =．⑶ DM DN =．【探究一】证明两条线段相等的步骤：【变式一】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？GA NB CD EM M E D C B NA【解析】 DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌（ASA ），∴DM MN =．NME FD CB A N M E F DC BA【变式二】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN 于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE【解析】∵∠BAC=90°，BD⊥AN∴∠1＋∠2 =90°∠1＋∠3=90°∴∠2 =∠3∵BD⊥AN，CE⊥AN∴∠BDA =∠AEC = 90°在△ABD和△CAE中，∠BDA =∠AEC∠2 = ∠3AB = AC∴△ABD ≌△CAE（AAS）∴BD = AE且AD = CE∴AE－AD = BD－CE∴DE = BD－CE【变式三】如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC =90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE【解析】分别延长BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF =∠BEC =90°在△BEF和△BEC中∠1 = ∠2BE=BE∠BEF =∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA)∴CE = FE =12 CF∵∠BAC = 90°, BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90°∠1＋∠BDA = 90°∠1＋∠BFC = 90°∠BDA = ∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC = ∠CAF∠BDA = ∠BFCAB = AC∴△ABD ≌△ACF(AAS) ∴BD = CF∴BD = 2CE321NEDCBAEDCBA21FEDCBA【变式四】如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠ABC =2∠C ，求证：AB ＋BD =AC ．【解析】延长AB 到E ，使BE = BD ，连结DE则∠BED = ∠BDE∵∠ABD =∠E ＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC =2∠C∴∠E = ∠C在△AED 和△ACD 中∠E = ∠C ∠1 = ∠2AD = AD∴△AED ≌△ACD (AAS)∴AC = AE∵AE = AB ＋BE ∴AC = AB ＋BE 即AB ＋BD = AC【变式五】已知，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，∠BAC = 2∠DBC ，求证：∠ABC = ∠ACB ⑵平分二倍角法一：【解析】作∠BAC 的平分线AE 交BC 于E ，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC∵BD ⊥AC∴∠CBD ＋∠C =90°∴∠CAE ＋∠C = 90°∵∠AEC =180°－∠CAE －∠C =90°∴AE ⊥BC∴△ABE ≌△ACE (ASA)∴∠ABC = ∠ACB⑶加倍小角法二：【解析】作∠FBD =∠DBC ，BF 交AC 于F∴△FBD ≌△CBD (ASA) ∴∠BFC =∠C∵∠BFC =∠A +∠ABF ∠ABC =∠FBC +∠ABF ∵∠A = 2∠DBC=∠FBC ∴∠BFC =∠ABC =∠C E 21D CBA ED CBAF ABCD即∠ABC = ∠ACB探索创新【例16】如图所示：AF CD=，BC EF=，AB DE=，A D∠=∠．求证：BC EF∥．【解析】分别连接BF、CE、BE，利用SAS证得ABF△≌DEC△，∴BF CE=，利用SSS证得BFE△≌ECB△，∴BEF EBC∠=∠，∴BC EF∥．【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.【教师备选】已知AB=CD=AE=BC＋DE=2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积．【解析】延长CB至F，使BF=DE，连结AF∵∠ABC＝∠AED＝90°，AB=AE∴△ABF ≌△AED (SAS)∴AF=AD再证△ACF ≌△ACD (SSS)∴S△ACF=S△ACD=12CD AB=2∴S五边形ABCDE =4ABC DEFEDCBAFBACDEABC DEF实战演练题型一平移型全等巩固练习【练习6】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCDE F GGFEDC BA【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =，又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△，∴EG FG =，即BD 平分EF⑵ 仍然成立．证明方法同上，不再赘述．【点评】此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二对称型全等巩固练习【练习7】如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．【解析】⑴△ADC ≌△ABE ，△CDF ≌△EBF ⑵证法一：连接CE ∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴AC=AE ，ACB AED ∠=∠ ∴ACE AEC ∠=∠ ∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠即BCE DEC ∠=∠ FE D CB A FE D C B A∴CF=EF证法二：∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴AC=AE ，AD=AB ，CAB EAD ∠=∠ ∴CAB DAB EAD DAB ∠-∠=∠-∠即CAD EAB ∠=∠∴△ADC ≌△ABE (SAS) ∴CD=EB ，ADC ABE ∠=∠ 又∵ADE ABC ∠=∠ ∴CDF EBF ∠=∠ 又∵DFC BFE ∠=∠∴△CDF ≌△EBF (AAS) ∴CF=EF证法三：连接AF∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴,,90AB AD BC DE ABC ADE ==∠=∠=︒又∵AF AF =∴Rt ABF △≌Rt (HL)ADF ∆ ∴BF DF = 又∵BC=DE∴BC BF DE DF -=- 即CF=EF题型三旋转型全等巩固练习【练习8】如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．【解析】28︒.【练习9】如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由．【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠，∵AF CD ⊥，AH BE ⊥，F EDBA O HF ED CA FEDCBAFEDCBA∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．题型四辅助线添加初步巩固练习【练习10】如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑶ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；⑷ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)【解析】 ⑴BM FN =．∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =．又∵BOM FON ∠=∠，∴OBM OFN △≌△．即BM FN =． ⑵BM FN =仍然成立．理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒．又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．③②①OOCBDAFGE MN NMEGF ADBCCA(G)课后测测4.已知，如图：ABC DEF ∠=∠，AB DE =，要说明ABC △≌DEF △ （1）若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为；（2）若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为；【解析】 ⑴BE=CF 或BC=EF⑵∠A =∠D测5. 已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．【解析】 ∵ADC EDF ∠=∠∴ADE CDF ∠=∠ 在ADE △和CDF △中 DAE DCF AD CD ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE CDF △≌△ ∴DE DF =测6.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =， OB OD =.求证：AB CD =．【解析】证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠在AOB △和COD △中， ,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD △≌△ ∴AB CD =FED C B A OPDCB AF ED C B A。

初二数学秋暑假讲义第02讲.全等中的基本模型教师版

1爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级2全等中的基本模型三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第二讲暑期班第四讲秋季班第二讲2把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE =模块一平移型全等知识导航知识互联网夯实基础FEDCBA3【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =．在AFC △和DEB △中，AC DB A D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌DEB △(SAS )．另两结论均成立，证明同上．知识导航模块二对称型全等能力提升4常见轴对称模型【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【解析】 ⑴D ；⑵60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.【例3】如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．【解析】证法一：∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠． ∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴DB EC =，AD AE =．在DBC △与ECB △中，BC CB =，DBC ECB ∠=∠，DB EC =， ∴DBC ECB △≌△． ∴BDC CEB ∠=∠∵ADM BDC ∠=∠，AEN CEB ∠=∠， ∴ADM AEN ∠=∠．在AMD △与ANE △中，90M N ∠=∠=︒，AD AE =，ADM AEN ∠=∠， ∴AMD ANE △≌△， ∴AM AN =．证法二：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，∴AD AE =．夯实基础能力提升E D N M C B A E DN MCBA 4321EDCBA D O FE CBA5在DAC △与EAB △中，AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠， ∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠．又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒，在AMC △与ANB △中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠， ∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =．证法三：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴12ADC ABC S S =△△，12AEB ABC S S =△△，AD AE =，∴ADC AEB S S =△△，在ADC △与AEB △中，AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△，∴CD BE =． ∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．【教师备选】在正ABC △内取一点D ，使DA DB =，在ABC △外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠．(河南省数学竞赛试题)【解析】如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC △≌△，故30BCD ∠=︒.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，因此BDE BDC △≌△，故30BED BCD ∠=∠=︒.常见旋转模型：知识导航模块三旋转型全等ED N M C B AD E CB AD E C B A6【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【解析】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=︒,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形． ⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. (找出图中所有的60︒角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明．【例4】如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若能力提升夯实基础A'B'CBAM D NEC BFA7不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．（2009湖南常德节选）图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC ED【解析】⑴CD =BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ， ∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD （SAS ） ∴CD=BE⑵△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌ △ACD （SAS ）， ∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =1122BE CD CN ==又∵AB=AC ，∴△ABM ≌ △ACN （SAS ） ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形．【例5】如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线（如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．（2012平谷二模节选）8PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D【解析】⑴AG CE =成立．∵四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，∴,,GD DE AD DC == ∠GDE =∠90ADC =︒. ∴ ∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC . ∴ △AGD ≌△CED (SAS) ∴ AG CE =⑵由⑴可知△AGD ≌△CED ， ∴∠GAD ＝∠ECD .∵∠EHA ＝∠DHC ，∠DHC ＋∠ECD ＝90°， ∴∠EHA ＋∠GAD ＝90° ∴∠APH ＝90︒. ∴AG CE ⊥．辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论. 知识导航模块四辅助线添加初步93. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【解析】⑴连接BD 、DCDG 垂直平分BC ，故△BDG ≌△CDG （SAS ） ∴BD ＝DC又∵AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故△AED ≌△AFD （AAS ） ∴ED ＝DF故Rt △DBE ≌Rt △DFC （HL ） ∴BE ＝CF ⑵AB +AC ＝2AE2a bAE += 2a bBE -=【例7】如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说能力提升GDAB C EFGDABC E F10明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA（海淀区期末考试）【解析】 ⑴ ①方法一：连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠．∴45ABD C ==︒∠∠．∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =．方法二：∵45A DBN ==︒∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠． ∴ADM BDN =∠∠． ∴ADM BDN △≌△． ∴DM DN =．②四边形DMBN 的面积不发生变化；由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．∴1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．⑵ DM DN =仍然成立，证明：连接DB ．在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =，∴DB DC =，90BDC =︒∠．NME FDCB A NMEFDCBA11∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠． ∴CDN BDM △≌△． ∴DM DN =．⑶ DM DN =．【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.【探究对象】常见的全等三角形题目证明思路及辅助线作法【探究目的】除基本模型外，教师可以在常见辅助线版块进行拓展【探究一】证明两条线段相等的步骤：⑴观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等；⑵若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等；⑶如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形．【变式一】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？GA NB CD EM M E D C B NA【解析】 DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌（ASA ），∴DM MN =．【探究二】在一个图形中有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等，进而创造证明全等的条件．【变式二】如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，过A 作N M E F DC BA321NE D CBA任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE【解析】∵∠BAC=90°，BD⊥AN∴∠1＋∠2 =90°∠1＋∠3=90°∴∠2 =∠3∵BD⊥AN，CE⊥AN∴∠BDA =∠AEC = 90°在△ABD和△CAE中，∠BDA =∠AEC∠2 = ∠3AB = AC∴△ABD ≌△CAE（AAS）∴BD = AE且AD = CE∴AE－AD = BD－CE∴DE = BD－CE【探究三】有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，可归结为“角分垂等腰归”．【变式三】如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC =90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE【解析】分别延长BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF =∠BEC =90°在△BEF和△BEC中∠1 = ∠2BE=BE∠BEF =∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA)∴CE = FE =12 CF∵∠BAC = 90°, BE⊥CF∴∠BAC = ∠CAF = 90°∠1＋∠BDA = 90°∠1＋∠BFC = 90°∠BDA = ∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC = ∠CAF∠BDA = ∠BFCAB = AC∴△ABD ≌△ACF(AAS)∴BD = CF∴BD = 2CE【探究四】有二倍角时常用的辅助线EDC BA21FEDC BA1213⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角【变式四】如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠ABC =2∠C ，求证：AB ＋BD =AC ．【解析】延长AB 到E ，使BE = BD ，连结DE则∠BED = ∠BDE ∵∠ABD =∠E ＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC =2∠C∴∠E = ∠C在△AED 和△ACD 中∠E = ∠C ∠1 = ∠2AD = AD∴△AED ≌△ACD (AAS) ∴AC = AE∵AE = AB ＋BE ∴AC = AB ＋BE 即AB ＋BD = AC【变式五】已知，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，∠BAC = 2∠DBC ，求证：∠ABC = ∠ACB ⑵平分二倍角法一：【解析】作∠BAC 的平分线AE 交BC 于E ，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC∵BD ⊥AC∴∠CBD ＋∠C =90°∴∠CAE ＋∠C = 90°∵∠AEC =180°－∠CAE －∠C =90°∴AE ⊥BC∴△ABE ≌△ACE (ASA) ∴∠ABC = ∠ACB⑶加倍小角法二：【解析】作∠FBD =∠DBC ，BF 交AC 于F∴△FBD ≌△CBD (ASA) ∴∠BFC =∠C∵∠BFC =∠A +∠ABF ∠ABC =∠FBC +∠ABF ∵∠A = 2∠DBC=∠FBC ∴∠BFC =∠ABC =∠C即∠ABC = ∠ACB21D C B AE 21D C BA E D CB AFA B CD1415【例8】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．【解析】分别连接BF 、CE 、BE ，利用SAS 证得ABF △≌DEC △， ∴BF CE =，利用SSS 证得BFE △≌ECB △， ∴BEF EBC ∠=∠， ∴BC EF ∥．【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.【教师备选】已知AB=CD=AE=BC ＋DE =2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积．【解析】延长CB 至F ，使BF =DE ，连结AF∵∠ABC ＝∠AED ＝90°，AB=AE ∴△ABF ≌△AED (SAS) ∴AF =AD 再证△ACF ≌△ACD (SSS)∴S △ACF =S △ACD =12CD AB =2∴S 五边形ABCDE =4探索创新A BC D EFED CBAFBACDEA BCD EF16训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠.【解析】利用SAS 证得ABE ACD △≌△，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =，利用AAS 证得BOD COE △≌△，∴OD OE =，利用SAS 证得AOD AOE △≌△， ∴OAD OAE ∠=∠， ∴AO 平分DAE ∠训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．【解析】 ∵BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，∴ABD ACE ∠=∠，∵BP AC =，CQ AB =，∴ABP QCA △≌△，∴AP AQ =，APB QAC ∠=∠． ∵BP AC ⊥，∴90ADP ∠=︒， ∴90APB DAP ∠+∠=︒， ∴90CAQ DAP ∠+∠=︒，即90PAQ ∠=︒， ∴AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【解析】延长AB 、AE ，交直线CD 于F 、G ． ∵ABC AED ∠=∠．∴FBC GED ∠=∠．∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠．∴在BCF △与EDG △中FBC GED BC EDBCF EDG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)BCF EDG △≌△ ∴F G ∠=∠．FC GD =．思维拓展训练(选讲)A B CDE OQP EDCB A M E DC B A G F M ED C B A17∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =∴在AMF △与AMG △中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AMF AMG △≌△ ∴180902AMF AMG ︒∠=∠==︒， ∴AM CD ⊥训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．F ED C BAABC F DE【解析】连接AC 、AD ．∵AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED = ∴ABC AED △≌△， ∴AC AD =又∵F 为CD 的中点， ∴FC FD =∴ACF ADF △≌△ ∴AFC AFD ∠=∠ 即AF BE ⊥．题型一平移型全等巩固练习实战演练18【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCE F GGFEC BA【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =，又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△，∴EG FG =，即BD 平分EF⑵ 仍然成立．证明方法同上，不再赘述．【点评】此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二对称型全等巩固练习【练习2】如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．【解析】⑴△ADC ≌△ABE ，△CDF ≌△EBF ⑵证法一：连接CE ∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴AC=AE ，ACB AED ∠=∠ ∴ACE AEC ∠=∠∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠即BCE DEC ∠=∠ ∴CF=EF证法二：∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴AC=AE ，AD=AB ，CAB EAD ∠=∠∴CAB DAB EAD DAB ∠-∠=∠-∠ FE D CB A FE D C BAFEDCBA19即CAD EAB ∠=∠∴△ADC ≌△ABE (SAS) ∴CD=EB ，ADC ABE ∠=∠ 又∵ADE ABC ∠=∠ ∴CDF EBF ∠=∠ 又∵DFC BFE ∠=∠∴△CDF ≌△EBF (AAS) ∴CF=EF证法三：连接AF∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴,,90AB AD BC DE ABC ADE ==∠=∠=︒又∵AF AF =∴Rt ABF △≌Rt (HL)ADF ∆ ∴BF DF = 又∵BC=DE∴BC BF DE DF -=- 即CF=EF题型三旋转型全等巩固练习【练习3】如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．（山东省中考题）【解析】28︒.【练习4】如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由．【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠，∵AF CD ⊥，AH BE ⊥， ∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．题型四辅助线添加初步巩固练习【练习5】如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在F BA O HF ED CBA FEDCBA20一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCB(E)A(G)【解析】 ⑴BM FN =．∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =．又∵BOM FON ∠=∠，∴OBM OFN △≌△．即BM FN =． ⑵BM FN =仍然成立．理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒．又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．③②①OOCBDAFGE MN NMEGF ADBCCB(E)A(G)学习是一件很有意思的事21测1. 已知，如图：ABC DEF ∠=∠，AB DE =，要说明ABC △≌DEF △（1）若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为；（2）若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为；【解析】 ⑴BE=CF 或BC=EF ⑵∠A =∠D测2. 已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．【解析】 ∵ADC EDF ∠=∠ ∴ADE CDF ∠=∠在ADE △和CDF △中DAE DCF AD CD ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE CDF △≌△∴DE DF =测3. 已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =.求证：AB CD =．（北京市中考题）【解析】证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠∴AOB COD ∠=∠ 在AOB △和COD △中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD △≌△∴AB CD =为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

专题全等三角形的基本模型ppt课件

为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
解：∵AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE，∴∠DAC＝∠CBE＝∠DCE＝90 °，又∵∠DCB＝∠D＋∠DAC＝∠DCE＋∠ECB，∴∠D＝∠ECB.在△ACD
解：∵AB⊥CD，∴∠EBC＝∠DBA＝90°.在 Rt△CEB 与 Rt△ADB 中 CBEE＝＝ABDD，，∴Rt△CEB≌Rt△ADB(HL)，∴∠C＝∠A，又∵∠C＋∠CEB＝ 90°，∠CEB＝∠AEF，∴∠A＋∠AEF＝90°，∴CF⊥AD
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
与△BEC 中，∠∠AD＝＝∠∠BEC，B，∴△ACD≌△BEC(AAS)，∴AC＝BE，CB＝ DC＝CE，
AD，∴AB＝AC＋CB＝AD＋BE
∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
模型二翻折型模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
模型一平移型模型解读：把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形．图①，图②是常见的平移型全等三角形．

八年级全等模型第1讲一线三等角课件

斜边中点定理
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°

∴∠DCE=

180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．

【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）

一线三等角

全等模型知识点总结

全等模型知识点总结在几何学中，全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，被称为全等图形。

这意味着它们的所有对应边长度相等，对应角度相等，因此它们是相似的。

全等模型是几何学中的重要概念，它在解决问题和证明定理时起着重要的作用。

本文将对全等模型的相关知识点进行总结，包括全等模型的定义、性质、判定条件、应用以及相关定理等内容。

一、全等模型的定义全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，其定义如下：定义1：如果两个图形A和B，它们之间存在一个一一对应关系，使得A中的每一个点都与B中的一个点对应，并且对应的边和对应的角度相等，则称图形A和图形B是全等的。

符号表示为A≌B。

根据这个定义，全等图形必顋满足以下条件：1. 对应的边相等：即A和B中的每一条边都有对应的边，且这些对应的边的长度相等。

2. 对应的角度相等：A和B中的每一个角度都有对应的角度，且这些对应的角度相等。

3. 所有对应的点都在同一直线上：即A和B中的每一个点都有对应的点，并且这些对应的点在同一条直线上。

二、全等模型的性质全等模型具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 对应边和对应角相等：全等图形的对应边和对应角都相等，即它们所对应的边长度相等，对应的角度也相等。

2. 全等模型是相似的：由全等模型的定义可知，全等图形必须是相似的。

因此，全等模型也满足相似三角形的性质，如正弦定理、余弦定理等。

3. 全等模型的对应边相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应边是两两相等的。

4. 全等模型的对应角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角是两两相等的。

5. 全等模型的角平分线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角的角平分线也相等。

6. 全等模型的对应中线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线也相等。

7. 全等模型的对应高相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应高也相等。

8. 全等模型的对应中线、高线所成角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线、高线所成角相等。

八年级数学全等三角形新课讲义完整版(全8讲)

八年级数学全等三角形新课讲义全面完整版（全八讲）A B C 1 E DA B C D O 1 2（1）（2） A B D C （1）（2） AB C E D第一讲全等三角形概念及其性质（一）知识要点1、全等三角形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做形。

2）能够完全重合的两个三角形叫做全等形。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

3）全等三角形表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC ≌△DEF 。

4）对应元素：①对应顶点：点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点 ②对应边：AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是对应边 ③对应角：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 是对应角当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC 和△DEF 全等，是，记作△ABC ≌△DEF 。

其中，。

2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。

（1）平移型：如下左图，若△ABC ≌△DEF ，则BC=EF 。

将△DEF 向左平移得到下右图，则仍有BC=EF ，在右图中，若知BC=EF ，则可推出BE=CF 。

（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A ，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O ，有一对对顶角∠1=∠2。

（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、全等三角形的性质1）全等三角形的对应边相等； 2）全等三角形的对应角相等。

3）知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。

AB C DE F AB C DE FA B C D E FB AC D EEAB C D OA B C DFE 4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。