信号与系统Lecture_3

1
t
0
4 系 统 的 因 果 性：
如果系统的响应只发生在激励作用期间 或作用之后, 则称该系统为因果系统 。
将“因果性”术语引申用于描述信号，如“因果信号”，则
特指该信号在t<0之前的所有取值均为零,亦可称“有始信号”。
设 r (t )、e(t )分别为系统的激励和零状 态输出, 判断下述系统的因果性：
• §2.1 线性系统的微分方程法分析 • §2.2 线性系统初始条件的确定
§1.8 线性时不变(LTI)系统
1. 2. 3. 4. 5. 6. 叠加性与均匀性(齐次性) 时不变性 微、积分特性 因果性 可逆性 稳定性
1. 叠加性与均匀性(齐次性)
若系统的激励与响应间的关系是：
e1 (t ) r1 (t )、e2 (t ) r2 (t )
1 1 1 1 e(t ) e(t ) r (t ) r (t ) t t t t
若系统线性则：
取△→0的极限：
e(t ) r (t )
系统方程为： r (t ) a1r (t ) a0 r (t ) e(t ) 两端求导：
d d [r (t ) a1r (t ) a0 r (t )] e(t ) dt dt
（ 2）
e(t ) e1 (t ) r1 (t ) e1 (2t ) e(t ) e1 (t ) r2 (t ) e1[2(t )]
r (t ) e(2t )
e1(t) t
0 2 0 1
r1(t)= e1(2t) t r2(t)= e2(2t) t
2 4 1 2
例：试判断下述系统是否线性系统：
r (t ) Ar (t ) B e(t )
r1(t ) Ar1 (t ) B e1 (t )
r2 (t ) Ar2 (t ) B e2 (t )
(1) (2)
[k1r1(t ) k 2 r2 (t )] A[k1r1 (t ) k 2 r2 (t )] (k1 k 2 ) B k1e1 (t ) k 2 e2 (t )
6 系 统 的 稳 定 性：
若对任意有界信号的激励都将产生有界信号
的响应，则相应的系统被称为稳定系统(BIBO)。
(Bounded Input Bounded Output Systems)
例：
e1 (t )
e1(t) 1
r0(t) 1 0 1 2 3 4
H
r1 (t )
P1 1 0 1 2
P2 1
例：考察下述系统是否时不变：
1
（ 1）
r (t ) sin[e(t )]
2
r (t ) e(2t )
e(t ) e1 (t ) r1 (t ) sin[e1 (t )] e(t ) e2 (t ) e1 (t ) r2 (t ) sin[e1 (t )] r1 (t )
则线性系统满足：
k1e1 (t ) k 2e2 (t ) k1r1 (t ) k 2 r2 (t )
线性响应关系：
k1e1 (t ) k 2e2 (t ) k1r1 (t ) k 2r2 (t )
分别是叠加性、均匀性的合成：
e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t )
方法1： 根据“换路定律”从网络结构判断 方法2： 从方程式中奇异函数平衡判断
方法1： 根据“换路定律”从网络结构判断
电路分析课中“暂态过程”内容中“换路定律”的局限性： uc(0+) = uc(0-)、iL(0+) = iL(0-)
q cu c
du c dq ic c dt dt
LiL
若k1、k2均为1：
[r1(t ) r2 (t )] A[r1 (t ) r2 (t )] 2B e1 (t ) e2 (t )
k1e1 (t ) k 2e2 (t ) k1r1 (t ) k 2r2 (t )
系统满足线性特性的推论：
线性系统零输入一定导致零输出。
diL d uL L dt dt
“换路定律”相当于： q(0+) = q(0-)、φ(0+) =φ(0-)
方法1： 根据“换路定律”从网络结构判断
将原来基于单一元件或支路的：q(0+) = q(0-)、φ(0+) =φ(0-) 推广至基于网络节点或回路的：Q(0+) = Q(0-)、Φ(0+) =Φ(0-)
§2.2 线性系统初始条件的确定
名词约定：
起始状态：激励接入前t=0-时刻之系统状态，体现系统的历史特性； 初始状态：激励接入后t=0+时刻之系统状态，体现系统的突变特性；
如何求解含奇异函数的方程？
系统在启动瞬间发生电压(电流)突变，其初始状态也将变化， 如何从系统的起始状态值求得其初始状态值？
信号与系统
信息学院 2012 秋季学期
上节课要点回顾
* 奇异信号的广义函数定义 * 信号的分解：脉冲分量、阶跃分量、正交函数分量分解 * 正交函数、正交函数集、完备正交函数集 * 用完备正交函数集描述信号 * 相关函数的定义
第三讲
第一章 绪论
• §1.8 线性时不变(LTI)系统
第二章 连续时间系统的时域分析
若系统时不变（方程常系数）：
d d d d [ r (t )] a1[ r (t )] a0 [ r (t )] e(t ) dt dt dt dt
线性系统对信号的微分求导保持同一激励响应关系
以类似方法也可说明，对于线性时不变系统：
若
t
e(t ) r (t )
则有：

e( )d r ( )d
e(t) e1 (t) e2 (t) r(t) x1 (t) x 2 (t)
不满足均匀性：
e3 (t) je1 (t) r3 (t) y1 (t) jr1(t)
例：局部频分复用（FDMA）系统示意
滤波器ω1 非线性系统 1
滤波器ω2
非线性系统 2
e(t)
r(t)
r2 (t ) (1 / 12)e2 (t ) 5 / 6
Ar1 (t ) Br2 (t ) (1 / 12)[Ae1 (t ) Be2 (t )] (5 / 6)(A B)
仅当（A B=1）时：
Ar1 (t ) Br2 (t ) (1/12)[Ae1 (t ) Be2 (t )] 5/ 6
代入元件参数并消去中间变量 uC1
2 7u c 2 6u c2 6e(t ) uc
例：电路系统分析（微分方程解法回顾）
2 7uc 2 6uc2 6e(t ) e(t ) sin 2t u(t ) uc2 (0) 0 uc
2 特征方程： 7 6 ( 1)( 6) 0 1 1 2 6
e(t ) r(t )、ke(t ) kr(t )
叠加性与均匀性是对线性系统的定义，希望由 此反映出系统之“多个独立源同时作用于系统的效 果等效于各个独立源单独作用效果的叠加”的特性。
定理：已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，如几何定理。 定义：对于一种事物的本质特征或概念的内涵和外延的确切而简要的说明。
e (t ) r (t )
i 1 i i 1 i
k
k
ke(t) kr(t)
此即均匀性所描述的性质ຫໍສະໝຸດ 故有上述质疑…例：设系统激励响应关系为：r(t) Re{e(t)}
e(t) x(t) jy(t) r(t) x(t)
满足叠加性：
e1 (t) x1 (t) jy1 (t)、e2 (t) x 2 (t) jy 2 (t)
e2(t)= e1(t-2)
t r1(t-2) t
2 3
思考一下：
若使信号的各类分量划分方式真正有意义， 这些划分方式对系统特性有要求吗？
3. 微、积分特性
若： e(t ) r (t ) 令： 则： e(t ) r (t )
1 1 k1 、k2 、e1 (t ) e(t )、e2 (t ) e(t ) t t
r (t ) Ar (t ) B e(t )
r (t ) Ar (t ) B e(t )
r1(t ) Ar1 (t ) B e1 (t )
r2 (t ) Ar2 (t ) B e2 (t )
(1)
(2)
(1)-(2): [r1(t ) r2(t )] A[r1 (t ) r2 (t )] [e1 (t ) e 2 (t )]
5 系 统 的 可 逆 性：
可逆性：由系统的响应可以确定系统的激励
如果某系统的激励响应关系是一一完全对应的，则该系统必 为可逆系统。
可逆系统：
r(t)=ke(t)
2(t) r(t)=e 不可逆系统：
可逆系统的时域特征是：
e(t )
h(t)
hl(t)
r(t ) e(t)
h(t ) hl (t ) (t )
t
r (t )
e( τ) dτ
r (t ) e(t 2)
r (t ) e(t ) e(t k )
设 r (t )、e(t )分别为系统的激励和零状 态输出, 判断下述系统的因果性：
r (t ) e(t 2)
r (t ) e(2t )
r (t ) Ar (t ) B e(t )
+
滤波器ωn 非线性系统 n
e(t) {A1sin1t、A2sin2 t...、Ansinn t}