数形结合在二次函数中的应用 理论
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
数形结合在二次函数中的应用
课题：数形结合在二次函数中的应用公主岭四中 曹立华教学目标：1． 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。
通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。
2． 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。
3． 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。
教学过程：数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。
今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。
一、数促形，让感性的形多一分理性思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑：（1）a 、b 、c 的符号（2）24b ac -的符号（3）顶点位置例1 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论 ①0<++c b a ②0>+-c b a ③0>abc ④3c a >-中正确的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。
归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。
图形问题可以转化为数量问题。
同样有时数量问题也可以转化为图形问题。
二、形帮数，让理性的数多一些感性。
x… -3 -2 -1 0 1 2 … y … 12 5 0 -3 -4 -3 …（1）该抛物线对称轴的直线方程是 。
（2）若抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，求S △ABC分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。
练习1：抛物线开口向上，顶点在坐标原点，将该抛物线向下平移15个单位后，与x 轴相交的两交点间的距离是15，则平移后的抛物线解析式为 。
例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合
时
，M(a)∈(-
2 a
,0)（ 注 ：
M(a)在对称轴右边 ），所 以 f[M(a)]=-4，令 ax2+4x-2=-4，
解
得
x=
-2±
姨4-2a a
，故
M(a)=
-2+
姨4-2a a
；
（2）
当
-2-
4 a
≥-4，
即 a≥2 时 ，
M(a)<- 2 a
（注：
M(a)在对称轴 左 边 ）， 所 以 f[M(a)]=4，令 ax2+4x-2=-4，
题．
下面， 我们从一个具体例子出发， 给同学们详细
分析一下解决的基本过程．
例题． 已知函数 f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．
（I） 证 明 ： 方 程 f(x)=g(x)恒 有 两 个 不 相 等 的 实 数
根；
（II） 若 函 数 f(x)在(0,2)上 无 零 点 ， 请 你 探 究 函 数
责任编校 徐国坚
高中 2011 年第 5 期
17
数学有数
点拨
例析二次函数问题解决的基本思想 —— —分类讨论和数形结合
■俞新龙
二次函数问题是同学们初中重点解决的一类函数
问题， 有范围限制的二次函数问题 （包括换元后可化
为二次函数） 是高中一类比较重要的函数问题， 此类
问题比同学们初中遇到的难度要大， 因此， 同学们经
常会感觉处理起来比较难．其实， 该类问题的解决还
优越性．
变式 1：
设
f(x)=1-
2 2x+1
，方程 f(x2-2x-a)=0 在(0,3)
数形结合思想在二次函数中的应用
① a a a a
2 ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根？ 思考： 抛物线 y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )与直线 y = kx + b 的交点个数？ m=4 m>4 m<4 2 b − 4ac > 0 ⇔ 有2个交点 2 b − 4ac = 0 ⇔ 有1个交点 直线y=m y b 2 − 4ac < 0 ⇔ 没有交点 4
x
图2
什么没变？ 什么没变？
3、如图2，把此抛物线先绕它的顶点旋转180°，则该抛物 y = ( x + 1) 2 + 4 线对应的解析式为________________； 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
y = ( x − 1) 2 + 1 右 则此时抛物线对应的函数解析式为______________。 左“+”右
“－”
y
B 4
抛物线的平移本质上就是把握点的平移 点的平移 抛物线的平移
-1 o 1A源自x图2数形结合
1.若A(-1, y1 )，B（ − 2，y2）是抛物线y = a ( x − 1) 2 + c(a > 0)上的两点， 则y1 ___ y2 (填 >, < 或 =)。 <
变式1：若A(-1, y1 )，B（4，y2）是抛物线y = a ( x − 1) 2 + c(a > 0)上的两点， 则y1 ___ y2 (填 >, < 或 =)。 < 变式 2：若 A(m, y1 )，B（m + 2，y2）是抛物线 y = a ( x − 1) 2 + c ( a > 0)上的两点， 当m取何值时，则 y1 = y2 ? y1 > y2 ?
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用发布时间：2022-08-11T18:15:02.792Z 来源：《中小学教育》2022年7月4期作者：鲍炜[导读]鲍炜安徽省芜湖市第二十九中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）7-179-021引言数学是一种既古老又年轻的文化，也是自然科学的基础学科。
人类从远古时代的结绳计数，到如今可以宇宙航行，无时无刻不受到数学思想的影响。
最近几年，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习培养学生的数学能力。
二次函数是初高中教材中一个重要的内容。
二次函数是中考命题的重点，同时也是省示范高中自主招生考试的重要考点。
如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻，本论文运用数形结合思想对初中二次函数做了更深一步的研究。
我们通过以下几个方面的阐述让学生更加深入理解二次函数的知识，更加体会到数形结合思想的运用：利用二次函数图象讨论一元二不等式的解（自主招生考试考点）、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题（中考难点）、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题自主招生考试考点）、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题（中考重点）。
2 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用，也给出了自己独特的见解。
在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究。
数形结合思想在初高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在初高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在中考以及自主招生考试中的应用具有重要的意义。
3 提出问题数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的数学思想，同时二次函数也是初高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法的掌握，我们初中老师在依据教材对标课程标准的前提下，要适当提高二次函数的教学难度，这样学生到了高中才能较好的掌握二次函数内容，能起到承上启下的作用。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是在高中阶段学习的数学中难度较大的一部分内容。
因此在教学中，除了传授相关的理论知识之外，也需要通过数形结合的方式来帮助学生更好地理解和掌握相关概念和技巧。
二次函数的图像可以通过利用传统的函数图像绘制方法进行绘制，也可以通过“配方法”求出二次函数的标准式，并根据标准式的含义来直接绘制出函数图像。
例如，二次函数y=x^2+2x+3，可以通过“配方法”将其转化为y=(x+1)^2+2，然后再根据该标准式的含义来绘制出函数图像。
在这个过程中，数形结合的思想则体现在以下方面：1. 通过绘制轴对称点将二次函数的图像分为两部分，易于描述和分析函数的性质。
2. 利用二次函数标准式的含义，将函数图像与函数的解析式联系起来，使学生更加直观地理解二次函数的特性和变化规律。
例如，二次函数y=-2x^2+4x-1，可以通过将其转化为y=-2(x-1)^2+3来描述函数的图像特征和性质。
其中，通过将二次函数标准式与函数解析式联系起来，帮助学生更好地理解函数的极值、零点及函数图像的开口方向等性质。
二次函数可以应用于解决一些与图形相关的实际问题，例如求解某个物体的最大投掷距离、最高高度等问题。
在这个过程中，数形结合的思想则更加明显地体现出来。
例如，若要求通过投掷一个物体，使得这个物体在空中飞行的距离最大，可以通过建立一个关于时间的二次函数来描述这个问题，并通过数形结合的方法来解决这个问题。
假设这个物体的投掷速度为v，投掷时的角度为α，则该物体在t时间内走过的距离可以表示为：S=v*t*cos(α)而该物体在无空气阻力的情况下，其垂直方向的位移可以表示为：h=v*t*sin(α)-0.5*g*t^2其中，g为重力加速度。
根据上述公式可以得出该物体在空中飞行的总时间为：于是该物体飞行的距离可以表示为：D=v*cos(α)*T=2*v^2*sin(α)*cos(α)/g然后，将上述公式转化为关于α的函数，则有：由此可以得出该二次函数在α=45°时取得最大值。
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形摘要：二次函数是初中数学教材中非常重要的内容之一，是中考的必考内容。
在中考考卷往往结合种数学容，将二次函数与四边形结合，提升思维综合度，使学生整个答卷在此出现分水岭，此题只要抓住解题要领对学生的解题能力起到了一定的锻炼作用。
数形结合思想是数学函数解题中的法宝，利用数形结合来实现学生对数学题的直观认知，提高解题效率。
本文首先阐述了数形结合在解题中的重要性，然后分析数形结合在解题中的应用，将二次函数与四边形进行有效结合，并进行解题思路的强调，点播学生进行解题，最后总结解题规律。
旨在能够利用数形结合的思维进行题目的分析，从而实现数学题的分析，达到解题的目的，同时也可以加强学生数学思维能力的提升。
关键词：数形结合；二次函数；平行四边形引言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习中解决函数问题常用方法。
解题中经常会出现二次函数与四边形同时出现的题型。
陕西中考中截止2020年前近10年考查了6次二次函数与特殊平行四边行，涉及平行四边形4次。
让学生在解题中摸不到头绪，通过数形结合方法可以有效解决此难题。
那么如何在初中数学解题中进行数形结合的应用呢，下面通过具体例题来进行分析和研究。
一、数形结合在解题中的重要性数形结合指的是数字与图形进行有效结合，能够实现数形之间的转化，通过图形的展示让学生在解题中更加具有直观性，可以直接看到解题要点，有效提高解题效率。
与此同时，通过数形结合思想还可以帮助学生打开数学解题思路，能够通过多种方法进行数学题目的运用，促进学习质量的提升[1]。
二、数形结合在解题中的应用分析陕西省中考对二次函数与平行四边形的考察非常重视，教师在教学的过程中可以通过对中考题目进行分析，在例题分析中对学生进行解题思维点拨，从而能够促进学生进行数学问题的思考，进而不断培养学生在处理二次函数与平行四边形的解题思路。
在最后的过程中还需要对类型的问题解决方法进行大总结，这样能够让学生在遇到类似的问题可以随机应变，提高学生的解题能力。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是初中高中数学中的重要内容，其教学既涉及到运算规律的讲解，也涉及到数学思维的培养。
在二次函数教学中，运用“数形结合”思想是非常有效的教学方法之一。
下面从二次函数教学中“数形结合”思想的应用方面进行探讨。
首先，二次函数图像与根的关系是教学中重要的内容。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可以通过推导，得到二次函数的判别式△=b²-4ac，若△>0，则函数有两个不同的实根，若△=0，则函数有两个相同的实根，若△<0，则函数无实根。
在教学中，可以通过绘制二次函数的图像，让学生看得更直观。
通过图像观察，可以判断二次函数是否有根，若有，还可以计算出根的大致范围。
同时，也可以通过根的公式计算出根的精确值，并用数轴来表示。
这样，通过“数形结合”的方式，可以深化学生对二次函数图像和根的理解，加深记忆，提高学生的学习效果。
其次，二次函数图像的性质也是二次函数教学中的重点内容。
通过图像，可以发现，二次函数是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，二次函数的最小值为顶点坐标，当a<0时，抛物线开口朝下，二次函数的最大值为顶点坐标。
同时，二次函数的对称轴为y=-b/2a。
在教学中，可以通过绘制多组图像，让学生观察抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等图像性质，并找出它们之间的联系。
通过这种“数形结合”的方式，可以帮助学生更加深入地理解二次函数图像的性质，从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
最后，二次函数的应用也是教学中不可忽视的内容。
二次函数常常在物理、工程等领域中得到应用。
例如，通过绘制二次函数图像，可以解决物理问题中的抛物线运动。
在教学中，可以通过引导学生分析实际问题，并建立相应的数学模型，进一步加深学生对二次函数的应用理解。
同时，通过数学软件的辅助，还可以帮助学生更加直观地观察二次函数图像，提高学生学习的趣味性和实用性。
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。
在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。
二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
首先，我们来看二次函数的图像。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。
首先，我们可以找出它的顶点。
二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。
通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。
然后，我们找出函数的对称轴。
二次函数的对称轴是 x = h。
接下来，我们可以求解函数的y-截距。
即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。
有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。
其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。
对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。
首先，系数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。
绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。
最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。
通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。
另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。
例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。
同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。
数形结合思想在二次函数问题中的应用解析
5
例4、如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C(0,三点，
2
)
（1）、求抛物线的解析式
（2）、在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，
求点P的坐标。
（3）、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，
使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求
点yN的坐标;若不存在，请说明理由。
下列结论列结中论：中：①①aabbcc＞＞0；0②；b=2a；②b=2a；
③a+b+c③是＜a+（0b+；c＜④）0；a④+ab+b--cc＞＞0;0⑤; a⑤-b+ac＞-b0正+c确＞的个0正数 确的个数
是 （ A、）2个 B、3个
A、2个 C、4B个、D3、个5个
y
C、4个 D、5个
y
-1 0o 1 x x
①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无
实数根？
b2 4ac 0 有2个交点
y
4
b
2
4ac
0
有1个交点
b2 4ac 0 没有交点
方程问题 转化 函数问题
-3 -1 o 1
x
（数）
（形）
y (x 1)2 4
本题先由数到形，后图由1形到数，用运动变化的观点去进行观察分 析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答 十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。
两数
者缺
结形
合时
万少
般直
好观
，，
隔形
y
离缺 分数
——
家时
o
x
万难
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言二次函数是数学教学中一个重要的内容，学生在学习过程中常常会面临着一些挑战。
如何让学生更好地理解和掌握二次函数，是每个教师都面临的问题。
在教学中，数形结合的思想被广泛应用，通过将数学概念与几何形态相结合，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
本文将介绍在二次函数教学中如何运用数形结合的思想，提高学生的理解能力和激发学生的兴趣。
通过具体的案例分析和教学实践，展示数形结合在二次函数教学中的重要性和实际应用。
通过本文的阐述，希望能够帮助教师更好地引导学生学习二次函数，同时也激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习效果和学习动力。
2. 正文2.1 二次函数教学中的挑战在二次函数教学中，教师常常面临着一些挑战。
学生可能会对二次函数的概念和性质感到困惑，特别是对于开口方向、顶点坐标、零点、轴对称等概念可能存在误解。
二次函数的图像比较抽象，学生很难直观地理解二次函数的变化规律，导致他们缺乏对二次函数的直观感受和认识。
二次函数的解题方法比较复杂，涉及到方程的解法、图像的绘制等多个方面，容易让学生感到困惑和压力。
针对这些挑战，教师可以通过数形结合的教学方法来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关知识。
通过将数学公式和图形结合起来，可以使学生更直观地理解二次函数的性质和规律。
可以通过绘制二次函数的图像来帮助学生理解二次函数的开口方向、顶点位置等特点，从而加深他们对二次函数的认识。
通过数学计算和几何推理相结合的方式，可以让学生从不同角度去理解和掌握二次函数的相关知识，提高他们的数学思维能力和解题能力。
数形结合在二次函数教学中具有重要的意义，可以帮助学生克服困难，提高学习效果，激发学生对数学的兴趣和热情。
通过巧妙地将数学概念与几何图形相结合，教师可以让学生在实践中更好地理解和掌握二次函数的相关知识，培养他们的数学思维能力和创造力。
【2000字】2.2 数形结合的重要性数形结合在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重点内容之一，也是考试中经常出现的考点，掌握二次函数的知识对于学生而言非常重要。
在二次函数的教学过程中，采用“数形结合”的教学方法可以提高学生的学习兴趣和掌握程度。
下面将从以下两个方面介绍二次函数教学中“数形结合”思想的应用。
在二次函数的例题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以加强学生对知识点的理解和记忆。
例如，当讲解二次函数的基本形式y=ax²+bx+c时，通过画出y=x²、y=2x²、y=0.5x²等曲线示意图，让学生能够直观地感受到参数a的正负、大小对图像的影响，帮助学生更好地理解二次函数的概念和性质。
在讲解二次函数图像和性质时，可以使用多组例题来巩固学生的掌握程度。
例如，可以让学生用手绘图法，画出y=x²-1和y=-x²+3的图像，并分析它们的性质。
通过手绘图的方式，不仅可以帮助学生更好地理解二次函数图像的基本特征，还可以加深对二次函数对称轴、顶点、开口方向等基本特征的理解。
在二次函数的应用题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以帮助学生更好地理解和应用二次函数知识。
例如，在讲解极值问题时，可以引导学生通过手绘图形的方式，搭建一个简单的桥梁模型，让学生可以清晰地看到桥梁两端的高低和中间点的最低位置，从而引导学生理解和应用极值概念和解决问题的方法。
在讲解最值问题时，可以引导学生通过手动计算和手绘图像的方式，来理解问题所在，并进行分析综合。
例如，可以让学生计算二次函数y=x²-6x+8在区间[1,5]内的最大值和最小值，并通过手绘图的方式，将函数图像和区间范围清晰呈现出来，以便更好地理解和应用最值问题求解方法。
“二次函数与一元二次方程”中数形结合思想应用论文
“二次函数与一元二次方程”中数形结合思想的应用初四第二章《二次函数》第七节是“二次函数与一元二次方程”，主要探索二次函数与一元二次方程的关系，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，在经历知识的形成与应用过程中，有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心，有利于进一步培养学生的数形结合思想，使学生具有初步的创新精神和探索能力。
主要的内容有：一是用方程的方法研究二次函数图象与x轴交点个数以及与x轴交点的求法；二是用图象的方法寻求方程的近似根，并进一步发展学生的估算能力。
其实二者本质是一样的，就是用数形结合的方法解决问题。
由此，为训练学生领会并运用数形结合的思想方法解决问题，我在完成课本内容的教学之后，又安排了几个培养学生数形结合思想的题型，让学生进一步理解体会数形结合的思想以及运用的方法。
1.当x为何值时，不等式x2+2x-8>0 成立？先给学生5分钟独立探索本题的解法，然后学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。
我在巡视的过程中发现多数学生试图用代数的方法去解不等式，可大部分学生不会解，只有两个同学用分解因式的方法求出了正确的结果。
由此我提示学生，这个问题与我们正在学习的二次函数有什么联系？能否借助函数图象解决这个问题？经过思考，学生很快就利用二次函数的图像解决了这个不等式。
教师点评：此题最好的方法是利用二次函数图象解决，先求出抛物线y= x2+2x-8与x轴的两个交点，画出抛物线草图，很容易在图像上观察出当x2时不等式成立。
针对性小练习：当x为何值时，不等式x2-2x-3<0成立？2.已知二次函数 y= x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点（1，0）两侧，判断关于x的方程 x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况。
此题是为一些有能力的同学准备的，有一定的难度，学生能想到解决此题的关键是由y=x2+2mx+m-7判断m的范围，但是怎样求m的范围成了难点。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用
当我们谈论二次函数时，可以把它看做一个有参数形状的函数，它可以帮助我们研究特定
物理现象中某种参数形状下的变化规律。
参数形状可以用弧型、抛物线或曲线等表示。
例如，当我们想要描述一个物体在自由落体中的位置变化时，就可以使用二次函数来描述这
种变化。
例如，我们可以使用一个二次函数来表示该物体的运动路径，比如s = 1/2at^2 + v_0t + s_0，其中a为加速度，V_0为初始速度，s_0为初始位置。
同样的，当我们讨论气体的物理性质时，也可以利用参数形状来从中获取函数公式。
比如，通过压力-体积图，我们可以建立一个二次函数来表示该图形，比如p=aV + bV^2，其中a,b为常数，V为体积。
这个公式能够描述不同体积下压力的变化规律，从而使我们更好
地理解气体的性质。
此外，参数形状的应用还可以用在函数外，例如在横坐标和纵坐标变化规律上，我们也可
以把它们表示成一幅参数形状图。
这个图形能够提供我们函数变化规律的大致轮廓，也可
以帮助我们推断函数的最高点、最低点以及函数上两个不同点的坐标等信息。
总之，二次函数可以说是物理现象中参数形状的最佳表现者，它能够有效地总结我们所要
研究的变化规律，从而为科学研究带来福音。
因此，借助参数形状的思想，我们能够更好
地利用函数来研究物理现象，为学术发展搭建良好的基础。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
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初中《二次函数》教学中
如何运用和培养“数形结合”的思想
摘要：二次函数是初中数学的重要内容，也是学习的难点。
要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，借助数形结合的思想方法，加深学生对函数概念的理解；让学生直观地理解二次函数性质；加强知识间的横向联系。
运用数形结合的思想方法可以使复杂问题直观化。
使学生的抽象思维能力得到发展。
也为学生提供了一种简单解决问题的方法，培养学生自觉运用“数形结合”的数学思想和意识。
关键词：二次函数教学运用培养数形结合思想函数是初中数学的重要内容之一，初中数学主要学习三种简单函数：一次函数、反比例函数、二次函数。
二次函数是学习了一次函数和反比例函数之后所认识的另一种函数，相对前两种函数来说，二次函数反应出来的关系和性质更复杂抽象一些，是学生学习的一个难点。
学生主要存在的困难是对函数概念难以理解，对各类函数中两个变量的变化关系感觉比较抽象，对函数关系的表示方法不能灵活转化。
要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；下面就二次函数谈谈函数教学中如何渗透和应用数形结合思想。
一、数形结合思想的概论。
数形结合是初中数学的重要思想之一，包含“以形助数，以数辅形”
两个方面。
著名数学家华罗庚教授曾精辟的概述：“数以形而直观,形以数而入微”，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。
借助数的规范严密和精确来阐明形的属性。
通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。
二、借助数形结合加深学生对函数概念的理解。
初中数学课程标准中对函数概念的要求是“了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系。
”课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资随邮件重量的变化而变化，园的面积随半径的变化而变化，路程、速度和时间的关系等，得出“一个量随另一个量的变化而变化”的结论，使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。
初中数学对函数的定义是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
学生对于这一概念的理解比较抽象而机械的，比如学生认识一次函数和反比例函数的概念后，学生从函数表达式（关系式）可以判断两个变量间属于哪一种函数关系，但并不能透过表达式看到其中隐含的两数量间的变化关系的区别，面对新的问题是不会建立相应的函数模型
解决问题，缺乏函数思想和观点，也就是对函数概念理解不全面。
对函数概念理解模糊和机械的背诵函数的定义，学生不可能从本质上体会和理解数学的另一种重要思想---函数的思想。
而借助数形结合加深学生对函数概念的理解。
三、“数形结合”让学生直观地理解二次函数性质。
二次函数中的自变量和因变量的变化比较抽象，学生难以把握，由于“数”和“形”是一种对应，而“图像”具有形象，直观的优点，能表达出具体的思维过程，有利于问题解决，因此教师可以把“数”的对应———“形”找出来，利用图像来帮助学生理解二次函数的性质。
教师在二次函数性质的教学中，充分让学生自己作图，通过列表格观察数据的特点，再画图像，把函数表达式的特征在图像中显示出来，逐步深入地探索二次函数的相关结论。
让学生从最简单的形式y = a x2入手，逐步过渡到y ＝ ax2＋ k，y ＝ a（x － h）2，y ＝ a（x －h）2＋k 的图像，从简单到复杂，作出图像观察常数a，h，k与图像的对应关系，即完成由“数”化“形”的过程。
观察二次函数图像性质时，狠抓y = ax2的基本图像，让学生通过图像体验图像平移过程，从图像的平移变换角度认识y ＝ a（x － h）2 + k 型二次函数的图像特征，深刻体会常数a，h，k 在图像中的作用，从而掌握二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、y 的最大（小）值等性质。
认识研究y ＝ a（x － h）2 + k 型二次函数的图像特征后，代数式的变换，得出y=ax2+bx+c型二次函数的性质。
即完成由“形”化“数”的过程。
通过观察常数的变化与图形变化之间的关系，学生从多方面观察函数图像的变化，发现“数”与“形”之间的对应规律。
由此，学生可以根据任意一个二次函数（如：y=-2x2-9x+3）的表达式，在头脑中呈现出该函数的大致图像。
同时学生根据函数图像特征，可以确定表达式中常数的取值情况。
在这一过程，学生可体会“数”与“形”之间的转化，培养学生数形结合的意识。
图形虽然具有直观化、具体化的特点，但要确定具体的图形性质，如：顶点坐标，与x轴的交点坐标等，在准确定量方面还必须借助代数的计算，把“形”准确表示成“数”的形式。
正所谓“数以形而直观,形以数而入微”。
通过由“数”化“形”，由“形”定“数”的研究函数性质的过程，整个初中阶段，函数关系用“形”这一特殊的方法来表现，在学生面前呈现出绚丽多彩的画面。
一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，其变化趋势有升也有降，反比例函数的图像是双曲线，它可以向x轴无限逼近，也可以向y轴无限逼近，其中尤其是二次函数的变化，无论是从画图像或初等讨论方法上都可以看到这种神奇的效果。
所以“形”的引人给研究函数不仅带来了直观上的美好享受，更重要的是给学生带来了最直接的理性认识。
使学生体会数形结合的数学思想，并在解决问题过程中自觉地加以运用。
四、运用数形结合加强知识间的横向联系。
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式有着密切的联系。
如何理解三者之间的关系，是学生的一个难点。
借助数形结合能直观的反应
出它们之间的联系，从而提高学生的综合分析能力和灵活解题的能力。
例如通过下表，求方程的解与函数的图像与x轴的交点坐标，对照图形，二次函数与一元二次方程的关系便直观显现出来。
学生通过数（方程的根）与形（二次函数图像与x轴的交点横坐标）的对应，可以直观的得出结论：方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线
y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。
解一元二次不等式ax2+bx+c＞0，初中没有学过，仍然可以引导学生借助二次函数y=ax2+bx+c的图像求出解集，发现不等式ax2+bx+c＞0的解集，就是抛物线位于x轴上方部分对应的自变量x的取值范围。
可见数形结合在数学研究和解决问题中的起到非常重要的作用。
借助数形结合，优化了学生的数学认知结构，构建了有效的知识网络，培养了学生联想和迁移问题的能力。
五、具体问题中培养运用数形结合的意识。
二次函数是初中数学的重要内容，因此也是考试考察的重点。
正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。
数形结合的思想方法在解决二次函数y=ax 2+bx+c 中判断常数a 、b 、c 的正负，求平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小等问题中经常用到。
下面仅举两个例子说明。
1、剖析条件，由“数”转向“形”
例：已知二次函数，当x=2时有最小值-1，且它的图像与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数的解析式。
剖析：本题若能根据给出条件，分析该函数图形的特征，找出关键点，解题将变得简单。
因为二次函数当当x=2时有最小值-1，所以抛物线的顶点坐标为（2，-1），可以确定抛物线开口向上，且与x 轴的交点横坐标为1，即过（1,0）这一点，由图形的对称性，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3,0），画出示意图（如右图），可用待定系数法求解。
图1 图2
2、剖析图像，由“形”转向“数”
例：二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象的顶点在第三象限,且不经过第四象
x
限,则判断此抛物线开口及c 、b 、b 2-4ac 的正负取值情况。
剖析：由题意画出图象（如图2）， 从而判断：a ＞0, c ≥0 ∴对称轴：x=-2b a
＜0 ∴b ＞0 图象与x 轴有两个交点：∴ ＞0即b 2-4ac ＞0
解决二次函数的实际问题时，注重从“形”与“数”的有机结合。
要让学生潜移默化的应用这种思想解决实际问题。
综上所述，数形结合是将知识转化为能力的桥，数学疑难复杂问题要清晰化，具体化都离不开数形结合思想的灌输与运用。
教学过程中重视应用数形结合的思想方法。
教师在教学中善用，巧用这种思维方法，不仅可以有效帮助学生掌握好知识，使学生的抽象思维能力得到发展。
也为学生提供了一种简单解决问题的方法，而且也有助于学生加深对函数的理解。
参考文献：
［1］《初中数学新课程标准》（2011版）
［2］黎颖雯 -《数学学习与研究》-2013第16期
［3］李丹-《数学之友》-2013第24期。