沪教版(五四学制)八年级数学下册教案：22.3 特殊的平行四边形1

特殊的平行四边形教学目标1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。

2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。

难点内容：根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。

特殊的平行四边形知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。

热身练习1、已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则BD= 6 cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为 5 cm.3、、正方形的对称轴有＿＿4＿条。

4、、正方形的对角线与一边的夹角为＿45＿。

5、如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）答案：①②③④6、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为.7、菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（D ）A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( C )A．6cm，8cm B．3cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm9、如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（D ）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm10、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为( B )A.45°，135°B.60°，120°C.90°，90°D.30°，150°11、正方形具有而菱形没有的性质是（ C ）A．对角线互相平分B．每条对角线平分一组对角C．对角线相等D．对边相等12、如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（A）A．B． C．D．13、已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．证明：只要证14、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．B C答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．∵AE = AF，∴．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即．∴∵OM = OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE = AF，∴平行四边形AEMF是菱形．15、已知，如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F，求证：四边形CEDF是正方形。

证明：因为∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC所以四边形CEDF是矩形因为CD为∠ACB的平分线所以三角形CDE是等腰三角形，所以CE=DE所以四边形CEDF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）精解名题例1、如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1) EC＝BG；(2) EC⊥BG．解析易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB 证明：(1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．即∠EAC ＝∠BAG ，∴△EAC ≌△BAG ． ∴EC ＝BG ．(2)由(1)知：△EAC ≌△BAG ， ∴∠AEC ＝∠ABG ． 又∵∠1＝∠2，∴∠ABG ＋∠2＝∠AEC ＋∠1＝90°． ∴∠EOB ＝∠EAB ＝90° ∴EC ⊥BG ．（若把∠BAC 为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．）例2、如图，已知P 点是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别是垂足，求证：AP ＝EF ．证明：连结AC 交BD 于O ，连结PC ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，BD 平分AC ． ∴PA ＝PC ． 又∵PE ⊥CD ，PF ⊥BC ，∠DCB ＝90°．∴四边形PFCE 是矩形． ∴EF ＝PC ． ∴PA ＝EF ．例3、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．(1)四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，两对边平行的四边形为平行四边形．(2)如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，由，且，得到（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）． (3)在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是：平行四边形有一内角为；当点B 的移动距离为__1____时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是：平行四边形内有一组相邻的边相等．(图3、图4用于探究)图130︒30︒B DAC例4、探究问题：⑴方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_EAF__．又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______．∴___GF__=EF，故DE+BF=EF．⑵方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．证：延长直线FB,使得BG=DE,∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点.∴AB=AD，∠ABG=∠ADE，∵BG=DE∴△AGB≌△AED，∴AG=AE，∵AF=AF，∠BAG= ∠DAE又∵∠EAF= 12∠DAB∠GAF=∠FAE，∴△AGF≌△AEF，∴GF=EF，∴DE+BF=EF；⑶问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B 与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．当∠B+∠D=180 0巩固练习一、填空题1. 如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边分别为 4 cm 和8 cm。

2、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是1.5 cm 。

3、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．4、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为：_________。

5、正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于8 cm6、如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH ＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是_____5______厘米.7、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．二、选择题1、已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱形的面积为（A ）A．96cm2B．94cm2C．92cm2D．90cm22、如下图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP=（ C ）A．15°B．25°C．30°D．35°(2题图) （3题图）（4题图）3、如上图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（ A ）A．B．C．D．84、如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（ B ）A．B．C．D．5、如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是( B )A．60 B．100 C．150 D．200（5题图）（6题图）（7题图）6、如右图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（B ）A.75°B.60°C.45°D.30°7、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( B )A．30 B．34 C．36 D．40三、解答题1、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2，求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。