2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题47数列数列的通项4构造法文含解析332

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高中数学解题方法之构造法(含答案)

十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。

在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。

但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数）4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。

（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。

高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）

高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）
数列
专题四：数列求通项（构造法）
一、必备秘籍
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如（p，q为常数，pq不等于0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。

类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。

（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。

二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍:注意判断已知条件是否符合
标准形式）
类型1：用“待定系数法”
构造等比数列1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造1、注意判断题目给的已
等差数列(1)知条件是否符合类型2(1)
的标准形式；
2、两边同除；
3、构造数列为等差数列
类型2：用“同除法”构造
等差数列(2)1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2(2)的标准形式；
2、两边同除；
3、构造出新的等差数列
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2019高考数学(文)热点题型：数列+Word版含解析

数列
热点一数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算 .求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法 .常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等 . 【例 1】 (满分 12 分)设数列 {an}满足 a1＋3a2＋…＋ (2n－ 1)an＝2n. (1)求 {an }的通项公式；
1 ＝2
1 11 1－3 ＋ 2－4 ＋…＋
1 n－
1－
1 n＋
1
＋
1n－
1 n＋
2
1 ＝2
11
1
1＋ 2－ n＋ 1－ n＋ 2
＝
34－
1 2
1 n＋
1＋
1 n＋
2
.
【例 2】已知 { an} 是递增的等差数列， a2，a4 是方程 x2－5x＋6＝ 0 的根 .
(1)求 {an }的通项公式；
(1)知
an 2n＝
n＋2 2n＋1 ，
34
n＋ 1 n＋ 2
则 Sn＝22＋ 23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
1 34
n＋ 1 n＋ 2
2Sn＝23＋ 24＋…＋ 2n＋1 ＋ 2n＋2 .
1 31
1 n＋2 3 1
1 n＋ 2
两式相减得 2Sn＝4＋ 23＋…＋ 2n＋1 － 2n＋2 ＝4＋4 1－ 2n－1 － 2n＋2 .
n＋ 4 所以 Sn＝ 2－ 2n＋1 . 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步： (判断结构 )
若数列 { an·bn} 是由等差数列 { an} 与等比数列 { bn}( 公比 q)的对应项之积构成的，则

构造法求数列通项公式典型例题解析

构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的技巧，它可以在给定数列中发现出某些共同的特征，从而构建出数列的通项公式。

这种技巧的本质是人们通过观察数列的特点，并尝试推测通项的类型、公式和系数，从而找到数列的通项公式。

二、构造法的应用1.比数列的通项公式对于等比数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 q^(n-1)其中a_1是数列的第一项，q是数列的公比。

为了求出等比数列的通项公式，我们可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项乘以某个常数，也就是公比q得到的，所以q可以用以下的公式表示：q = a_2/a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。

2.差数列的通项公式对于等差数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 + (n-1)d其中a_1是数列的第一项，d是数列的公差。

为了求出等差数列的通项公式，我们也可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项加上某个常数，也就是公差d得到的，所以d可以用以下的公式表示：d = a_2 - a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。

三、构造法的优点1.以让我们省去求解数列通项公式的一系列步骤，使用构造法求解数列通项公式的过程简单易懂，用时也短。

2.造法可以使我们更加清晰地观察数列的特征，从而更快地找到数列的通项公式。

3.造法可以使我们在求解特定的数列时，能够更加得心应手地把握数列的变化规律。

四、典型例题解析1. 例题一已知一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等差数列，我们可以用构造法求解。

我们可以观察数列的前几项，a_1 = 2, a_2 = 5，根据d = a_2 - a_1原理，我们可以求出公差d = 3.因此，该数列的通项公式为：a_n = 2 + (n-1)3，即a_n = 2 + 3n - 32. 例题二已知一个等比数列：2, 6, 18, 54, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等比数列，我们可以用构造法求解。

用构造法求数列通项公式

用构造法求数列通项公式
一、构造法的原理
构造法是一种求解数列通项公式的方法，它依赖于对数列数据的分析，其基本原理是通过分析数列前几项的关系，推出数列的规律，从而确定数
列的通项公式。

二、构造法的步骤
1、根据给定的数列，找出相邻两项的关系；
2、根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式；
3、根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项；
4、推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式；
5、利用确定的通项公式，验证数列中的其它项。

三、构造法的应用
1、举例：
给出一个数列：1，2，4，8，16，32
(1)根据给定的数列，找出相邻两项的关系：
由数列可以看出，数列中相邻两项的关系是：an = 2 * an-1
(2)根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式：
an = 2 * an-1
递推公式：an+1 = 2 * an
(3)根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项：
a1=1
a2=2*a1=2
a3=2*a2=4
a4=2*a3=8
a5=2*a4=16
a6=2*a5=32
(4)推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式：
由所求得的数列可以看出，数列中每一项都是前一项的2倍，因此可
得数列的通项公式为：an=2^(n-1)。

(5)利用确定的通项公式。

2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题47数列数列的通项4构造法文含解析

专题47 数列数列的通项4（构造法）【考点讲解】一、具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

3. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法：叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即.（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法：（其中,p q 均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法：（其中,p q 均为常数，）. （或,其中,,p q r均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q，得：，令n nn qa b =，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解. （，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为，按第（3）种情况求解.）. （9）取对数r nn pa a =+1解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．类型一：取倒数法已知函数,数列{}n a 满足(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记,求n S .【分析】由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +－S 1n +作切入点探索解题的途径．【解析】（Ⅰ）由已知得，131+=+n n n a a a ，∴3111+=+n n a a ，即3111=-+nn a a ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列.∴,故(Ⅱ) ∵类型二：已知数列{}n a 满足，求数列{}n a 的通项公式。

构造数列的方法总结

构造数列的方法总结数列是数学中的一个重要概念，它是按照一定规律排列的一组数。

构造数列的方法有很多种，下面我们就来总结一下常见的构造数列的方法。

一、等差数列的构造方法。

等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。

构造等差数列的方法是通过已知的首项和公差来确定数列的每一项。

首先确定首项a1和公差d，然后利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来逐项求出数列中的每一项。

二、等比数列的构造方法。

等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

构造等比数列的方法是通过已知的首项和公比来确定数列的每一项。

首先确定首项a1和公比q，然后利用等比数列的通项公式an=a1q^(n-1)来逐项求出数列中的每一项。

三、斐波那契数列的构造方法。

斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

构造斐波那契数列的方法是通过已知的前两项来确定数列的后续项。

首先确定前两项a1和a2，然后利用递推关系an=an-1+an-2来逐项求出数列中的每一项。

四、特殊数列的构造方法。

除了等差数列、等比数列和斐波那契数列外，还有一些特殊的数列，如等差-等比数列、调和数列等。

构造这些特殊数列的方法需要根据数列的特点来确定每一项的值。

在构造数列的过程中，我们需要注意数列的规律性和递推关系，通过已知的条件来确定数列中的每一项。

同时，我们也可以利用数学工具如数学归纳法、递推关系等来推导数列的通项公式，从而更加方便地求出数列中任意一项的值。

总之，构造数列的方法有很多种，我们可以根据数列的特点和已知条件来确定每一项的值，从而得到我们需要的数列。

希望本文总结的构造数列的方法能够对大家有所帮助。

高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题47数列数列的通项4构造法文含解析

专题47 数列数列的通项4（构造法）【考点讲解】一、具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列的前项和和通项的关系：.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

3. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；{}n a n n ()n a f n ={}n a n n S n a ()1n-()11n +-{}n a n n S 11a S =1a 1n -n S n =n a 1n n S S --(2)n ≥2n ≥n a(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法：叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即.（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法：（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.1n =2n ≥n a 1n =2n ≥,p q pqt -=1,p q ,,p q r 1+n qn nn qa b =（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解. （，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．y x ,p y x ,p ,p q ,s t s t pst q +=⎧⎨=-⎩1n n a a +⋅rnn pa a =+1p(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．类型一：取倒数法已知函数,数列满足(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)记,求.【分析】由于{b }和{c }中的项都和{a }中的项有关，{a }中又有S =4a +2，可由S －S 作切入点探索解题的途径．【解析】（Ⅰ）由已知得，，∴，即 ∴数列是首项,公差的等差数列. ∴,故(Ⅱ) ∵类型二：已知数列满足，求数列的通项公式。

用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式汇总构造法是一种在数学中广泛使用的解题方法，特别是在求解数列的通项公式时，我们可以通过构造一些新的数列，将问题转化为已知的问题，从而达到求解的目的。

以下是几种用构造法求数列通项公式的汇总：1.等差数列构造法：对于形如 an+1 = an + d 或者 an+1 = an - d 的递推式，我们可以通过累加法来求通项公式。

即：令n = 0,1,2,n-1，然后将其各项相加，可得：a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + , + [a1 + (n-1)d] = n(a1 + n-1)d。

对于等差数列，我们还可以使用前 n 项和公式求解通项公式：an = Sn - Sn-1。

2.等比数列构造法：对于形如 an+1 = q an 或者 an+1 = an q 的递推式，我们可以通过连乘法来求通项公式。

即：令n = 0,1,2,n-1，然后各项相乘，可得：a1 * a1q * a1q^2 * , * a1*q^(n-1) = a1^n * q^(1+2+,+(n-1))。

3.常见数列构造法：对于形如 an+1 = an^2 或者 an+1 = an^2 + 1 等无法直接求出通项公式的递推式，我们需要通过构造新的辅助数列来求解。

例如，令an+1 + x = (an +x)(an + x)，可以构造出新的等比数列，从而求得通项公式。

对于形如 an+2 = an+1 + an 或者 an+2 = an+1 * an 等无法通过递推直接求出通项公式的递推式，我们可以通过对原式变形，构造出两个独立的等差或者等比数列，从而利用对应的方法求出通项公式。

例如，对于 an+2 = an+1 + an，我们可以令an+2 + an+1 = 2(an+1 + an)，得到一个等差数列；对于 an+2 = an+1 * an，我们可以令an+2 / an+1 = an+1 / an，得到一个等比数列。

数列通项的求法—构造法

数列通项的求法—构造法由递推关系给出的数列，求其通项常用的方法有累加（乘）法或迭代法。

但很多情况下可通过构造化归为等差或等比数列求其通项。

下面就相邻两项或三项递推关系给出的数列求通项作一些探究。

一形如“)(1n f ka a n n +=+”型的数列例1 已知数列}{n a 满足232,111+==+n n a a a ，求n a . 解析：设)(321λλ+=++n n a a ，比较，得6-=λ，则56),6(32611-=--=-+a a a n n ，即数列}6{-n a 是首项为5-，公比为32的等比数列，1)32(56-⋅-=-∴n n a ，即1)32(56-⋅-=n n a 例2 已知数列}{n a 满足n n a a a n n 232,1211++==+，求n a . 解析：设① )(32)1()1(221C Bn An a C n B n A a n n +++=++++++ 则n n C B A n B A An 231)312(3122+=---+--, 比较系数，得27,12,3-==-=C B A ，代入①知，数列}27123{2-+-n n a n 是首项为17-，公比为32的等比数列. 12)32(1727123-⋅-=-+-∴n n n n a ,即12)32(1727123-⋅-+-=n n n n a 例3 已知数列}{n a 满足n n n a a a 232,111+==+，求n a . 解析Ⅰ：设)2(32211n n n n a a ⋅+=⋅+++λλ，比较，得43,134-==-λλ，则21243),243(32243111-=⋅-⋅-=⋅-++a a a n n n n 即数列}243{n n a ⋅-是首项为21-，公比为32的等比数列. 11)32(21243,)32(21243--⋅-⋅=⋅-=⋅-∴n n n n n n a a 即解析Ⅱ：由n n n a a 2321+=+，有n n n n n n n a b a a 2,21231211=+⋅=++设，则21311+=+n n b b ，仿例1求n b 从而求得n a .解析Ⅲ：由n n n a a 2321+=+，有1321321321)()(+++⋅=-n n n n n a a ，设n n n a b )(32=，则11321++⋅=-n n n b b ，用累加法求n b 从而求得n a . 一般地，由)(,11n f ka a a a n n +==+给出的数列，当t rn qn pa n f n +++=2)(时，都可通过分解)(n f 构造)()1()1(21211D Cn Bn Aa a k D n C n B Aa a n n n n ++++=+++++++++ 再利用待定系数法确定A ，B ，C ，D ，从而转化为等比数列求其通项.二形如“n n n ra qa pa +=++12”型的数列例4．设数列}{n a 满足：*++∈-===N n a a a a a n n n ,6316,16,21221，求n a .解析：设))(16(112n n n n a a a a λλλ++=++++，则63)16(-=+λλ，解得97--=或λ 取,27),7(97712112=--=--=+++a a a a a a n n n n 且，有λ }7{1n n a a -+则数列是首项为2，公比为9的等比数列，11927-+⋅=-n n n a a 再令)9(7911-++=+n n n n k a k a ，比较，得1-=k 从而数列}9{1--n n a 是首项为1，公比为7的等比数列 11719--⋅=-∴n n n a 即1179--+=n n n a一般地，由相邻三项的递推关系给出的数列，求其通项时，可通过分解中间项构造等比数列转化为相邻两项的递推关系，从而求其通项.三其它类型的数列例5 已知数列}{n a 满足：n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1，求n a .解析：0,11≠∴-=n a a ，由n n n n a a a a -=⋅++11，有1111-=-+nn a a ，则数列}1{na 是首项为1-，公差为1-的等差数列， n n a n -=--+-=∴)1)(1(11 即na n 1-= 例6（06安徽）数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知),3,2,1)(1(,2121 =--==n n n a n S a n n 写出1-n n S S 与的递推关系式）（2≥n ,并求n S 关于n 的表达式.解析：当2≥n 时，1--=n n n S S a ，则有①　即 )1()1(),1()(12212-+=----=--n n S n S n n n S S n S n n n n n11122++-=∴-n n S n n S n n 由①得 n n n n b S nn n S n n S n n =+≥=--+-1),2(1111设则有 )2(11≥=--n b b n n ，数列}{n b 是首项为1，公差为1的等差数列,n n b n =⋅-+=∴1)1(1，从而n S nn n =+1，即12+=n n S n 解本例的一般思路是由1-n n S S 与的递推关系)2(≥n ，先归纳，猜想n S ，再用数学归纳法证明。

构造数列的方法总结

构造数列的方法总结数列是数学中最基本的概念之一，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。

构造数列的方法多种多样，下面将就几种常见的方法进行总结和探讨。

递推法：递推法是最常见的构造数列的方法之一。

递推法的基本思想是通过确定数列前几项之间的递推关系，从而不断地推导出后面的项。

例如斐波那契数列，它的递推关系是每一项都等于前两项之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。

通过这个递推关系，我们可以得到斐波那契数列的任意一项。

求通项公式：求解数列的通项公式是构造数列的一种高级方法。

通项公式可以直接给出数列的任意一项，而无需计算前面的项。

要求数列的通项公式，通常需要从数列中发现一定的规律，并运用代数方法进行推导。

例如等差数列的通项公式是An = A1 + (n - 1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。

特殊构造法：特殊构造法是一种灵活的数列构造方法，根据数列所要满足的特定条件，通过选择合适的数值和操作来构造出所需的数列。

例如杨辉三角，它是一种特殊的数列构造法，根据每个数等于它上方两个数之和的规律，可以逐行构造出杨辉三角的每一个数。

生成函数法：生成函数法是一种数理统计中常用的数列构造方法，它将数列看作是一个形式为函数的无穷级数。

通过对数列的生成函数进行求解，可以得到数列的各个项。

例如，斐波那契数列的生成函数是F(x) = 1/(1-x-x^2)，通过对这个生成函数进行展开，就可以得到斐波那契数列的每一项。

从几何问题中构造数列：数列构造方法还可以与几何问题相结合，通过几何问题的特点来构造数列。

例如，规则的图形阵列，通过对图形阵列的规律进行观察，可以确定数列的递推关系，从而构造数列。

通过以上几种方法，我们可以构造出各种各样的数列。

数列不仅仅是数学理论中的一个概念，它还广泛应用于实际生活和科学研究中。

在实际生活中，数列可以用来描述人口增长、货币贬值等现象；在科学研究中，数列可以用来描述物质的分布、自然界的规律等。

2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题35数列数列的概念及其表示文含解析

专题35 数列数列的概念及其表示【考点讲解】一、具本目标：1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.考点透析：1.高频考点：利用a n 与S n 的关系求通项,或者利用递推公式构造成等差或等比数列求通项a n ，又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法，在高考中以解答题为主，题目具有一定的综合性属中高档题.2.温馨提示：(1)构造特殊数列求通项;(2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值二、知识概述：一）数列的概念与通项公式 1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a . 对数列概念的理解：(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．.【答案】⎩⎨⎧≥=+2,31,121n n n 6.已知数列{}n a 满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *∈)，则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】n a =21n-.7.已知正项数列{x n }满足，n ＝1，2，3，…，若x 1＝1，x 2＝2，则x 2019＝．【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{x n }的周期为6，据此可得即可得答案．【答案】28. 已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，若以(),n n a S 为坐标的点在曲线上，则数列{}n a 的通项公式为________．【分析】本题是数列与解析几何的小综合题，要想求数数列的通项公式，就要将点代入曲线的方程中，表示出和与通项之间的关系，然后再利用的关系确定数列的通项的表达式，完成题的要求.【答案】n a n = 9.已知，则数列{}n a 的最大项是（）A.12aB.13aC.1213a a 或D.1011a a 或【解析】n a 是关于n 的二次函数.对称轴为252，因为*n N ∈，所以1213a a 或是最大项. 【答案】C10.在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，，则当n S 最小时，n 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】令0≤na 得6≤n ，所以当61≤≤n 时，0<n a ，当7≥n 时，有0>n a ，所以当6=nS最小.时，n【答案】B11.设函数，数列{}n a满足,且数列{}n a为递增数列,则实数a的取值范围为( )A.(2,3)B.(1,3)C.(1,+∞)D. (2, +∞)【答案】A12．在递增的等比数列{a n}中，a2＝6，且4（a3﹣a2）＝a4﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用已知条件求出公比与首项，然后求解通项公式．（2）利用递推关系式，结合拆项法求解数列的和即可．。

用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法

用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法分类,求解方法重庆市綦江县东溪中学任德辉求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。

所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。

下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。

一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。

1.构造等差数列例1、（2022湖北）已知数列{an}的前n项和Snan()12n12(n为正整数），令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。

解：a11,b121a1122n1∵Snan()12，∴Sn1an1()n22nn1n∴2an1an()等式两边都乘以2得2an12an1，12n即bn1bn1，∴数列{bn}是以1为首项公差为1的等差数列，bn2an=n∴annn2n例2、数列an中，若a12，an1an，则a4（）13anA．21683B．C．D．191554分类,求解方法解：an1an13an11,313anan1anan又1111,是首项为公差3的等差数列。

a12an21156n52(n1)33n,anan2226n5a422所以选A645192.构造等比数列例3、(2022上海)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn5an85,nN 证明：{an1}是等比数列并求{an}的通项公式证明：当n1时，a1S115a185，a114,a1115当n2时，Sn1n15an185,∴anSnSn115an5an16an5an11，an15(an11)65的等比数列。

构造法求数列通项公式

精心整理构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。

一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =12解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n 设b n =n a 1，则b n+1-b n =31数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差根据等差数列的通项公式得b n =∴数列通项公式为a n =53+n评析：na 1的例2n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。

解析：当a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，nS 1-11-n S =2，∴｛nS 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴nS 1=1+2（n-1）=2n-1,∴S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式，∴a n ={21138422≥=+--n n n n评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。

二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

用构造法求数列的通项公式几种常见方法

用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a nn n nn b b a b ==+1,1则设+4,即n n b b -+1＝４，nb {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。

3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n .二．构造形如2n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,求数列{ a n }的通项公式。