《二面角及其度量》课前导引
二面角及其度量马炳峰
二面角及其度量——课前预习学案【知识连接】1. 平面法向量的定义。
2. 如何求直线和平面所成的角？【自学指导】仔细阅读课本108-201页完成下列问题：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分都叫做_________。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做_______________，这条直线叫做_________，每个半平面叫做_________。
记作 ___________。
在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l , OB ⊥l ,则 ∠AOB 叫做______________________。
二面角的范围___________。
思考:1. 如何度量二面角的大小？2. 二面角的平面角能否转化成向量的夹角？3、法向量的夹角和二面角有什么关系呢?【自学检测】1、已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A.45°B.135°C.45°或135°D.90°2、.(2017·郑州预测)过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为________.课内探究导学案【学习目标】知识与技能：掌握向量法求二面角的问题；能在不同背景下建立空间直角坐标系。
过程与方法：通过学生参与讨论、探索和总结，培养学生类比和归纳总结的能力。
情感态度与价值观：指导学生积极参与到课活动当中，激发学生学习数学的兴趣和热情。
教学重点：用法向量夹角求二面角的方法的探究及应用。
教学难点：二面角与两个半平面的法向量夹角的关系。
探究新知【活动探究一】1、二面角的平面角能否转化成向量的夹角？【活动探究二】2、求直线和平面所成的角可转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？典例精讲例1、如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值.题后反思：求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：1°通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；2°当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定.变式训练:(2017·山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 DF 的中点.(1)设P是 CE 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E—AG—C的大小.题后反思:求二面角，大致有两种基本方法：(1) 在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.(2) 用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“∠ 就是所要求的角”的句子.当堂检测:1如图所示，SA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，DE 垂直平分SC ，SA ＝AB ，SB ＝BC ，那么二面角C －BD －E 的平面角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）45° （D ）30°2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．3. 已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________4．如图， AB 是圆O 的直径， PA 垂直于圆O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的任意一点，且2AB =， PA BC ==A BC P --的大小为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒课堂小结:求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.课后延伸学案1．已知正四面体A－BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则A．α>β>γ B．α>γ>β C．β>α>γ D．γ>β>α2. ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E是 CD的中点，则∠AED的大小为（A）60°（B）30°（C）45（D）90°3．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.(1)证明：EM⊥BF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．。
人教版高中选修(B版)2-13.2.4二面角及其度量课程设计
人教版高中选修(B版)2-13.2.4二面角及其度量课程设计一、前言本文旨在对人教版高中选修(B版)2-13.2.4二面角及其度量课程设计进行探讨，并提供一些实用的教学方法、策略和资源建议。
本文适用于中学数学教师、教育者和学生。
二、教学目标本课程设计旨在帮助学生掌握以下知识和能力：1.了解二面角及其度量的定义和常见应用。
2.掌握计算二面角的基本方法和技巧。
3.培养学生的计算能力和逻辑推理能力。
4.认识二面角及其度量在实际问题中的应用。
三、教学重点和难点教学重点：1.理解二面角的定义和概念，能够运用二面角的定义判定是否为二面角；2.掌握使用余弦定理计算二面角的方法；3.了解二面角及其度量的应用。
教学难点：1.理解二面角和三角形的基本关系；2.学习二面角度量的定义，理解其复杂性；3.积累二面角计算的经验和技巧。
四、教学方法和策略1.提供大量的例题和练习题，逐步培养学生的计算能力和逻辑推理能力；2.分层教学，准备不同难度层次的教学案例；3.探索开放性问题，引发学生兴趣，激发他们的思考和创造力；4.引导学生主动探索和研究，鼓励团队合作和互动交流。
五、教学流程设计5.1 导入环节1.介绍二面角的定义和概念；2.给出实际问题的案例，如：如何测量一个多边形内角的大小；3.提出问题，引导学生思考。
5.2 讲授环节1.介绍二面角的计算公式和相关定理；2.演示计算二面角的方法和技巧；3.通过示例题和练习题来巩固学生的掌握程度。
5.3 实践环节1.分小组进行实践活动，如测量场地内角度数等；2.引导学生自主探究，解决实际问题。
5.4 总结反思1.总结以上知识点和技能；2.回答学生的问题和疑问；3.提供佳作欣赏和案例分析。
六、资源建议为了更好的开展教学活动，提高学生的学习效率和学习兴趣，建议提供以下资源：1.多媒体教学技术和设备，如数据投影仪和电脑；2.相关的教学PPT和视频；3.典型的例题和练习题；4.实际问题和场地，如足球场，操场等；5.团队合作和互动交流的教学模式。
二面角的说课稿
二面角的说课稿标题：二面角的说课稿引言概述：二面角是高中数学中的重要概念，它在几何学和三角学中具有广泛的应用。
本文将从定义、性质、计算方法、应用以及解题技巧等五个方面详细介绍二面角的相关知识。
一、定义：1.1 二面角的概念及表示方法1.2 二面角的度量单位1.3 二面角的正负及其含义二、性质：2.1 二面角的补角和余角2.2 二面角的和差公式2.3 二面角的周期性三、计算方法：3.1 通过三角函数计算二面角3.2 通过向量计算二面角3.3 通过坐标计算二面角四、应用：4.1 二面角在平面几何中的应用4.2 二面角在空间几何中的应用4.3 二面角在三角学中的应用五、解题技巧：5.1 利用二面角的性质进行证明5.2 利用二面角的计算方法解决实际问题5.3 利用二面角的应用解决复杂题目正文内容：一、定义：1.1 二面角是指两个平面之间的夹角，常用符号表示为α、β等。
1.2 二面角的度量单位有弧度和度，其中弧度是常用的单位。
1.3 二面角的正负表示两个平面之间的旋转方向，正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转。
二、性质：2.1 二面角的补角和余角分别是与其和为π的角和与其和为π/2的角。
2.2 二面角的和差公式可以用来计算两个二面角的和、差以及二面角的倍数。
2.3 二面角具有周期性，即一个二面角加上或减去2π后，其值保持不变。
三、计算方法：3.1 通过三角函数计算二面角，可以利用正弦、余弦和正切等三角函数的性质进行计算。
3.2 通过向量计算二面角，可以利用向量的点积和模长等性质进行计算。
3.3 通过坐标计算二面角，可以利用平面几何中的坐标计算方法进行计算。
四、应用：4.1 二面角在平面几何中的应用，如平面角的计算、直线与平面的夹角等。
4.2 二面角在空间几何中的应用，如空间角的计算、直线与平面的夹角等。
4.3 二面角在三角学中的应用，如三角函数的定义、性质以及相关定理的证明等。
五、解题技巧：5.1 利用二面角的性质进行证明，可以利用二面角的定义、性质和计算方法进行数学推导和证明。
3.2.4二面角及其度量_李本习
解得 cosx=
1 ，得 x=60° .因此所求的二面角的度数是 60° . 2
[归纳] 1.理解题意，几何问题向量化； 2.构造向量关系； 3.运算。
例 2． 已知： 二面角 α－l－β 的度数为 θ (0≤θ≤
)， 在 α 面内有△ABC， 2
A
它在 β 内的射影为△A’BC，它们的面积分别为 S，S’，求证：S’=Scosθ.
利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角：
[结论]：分别在二面角的两个半平面内沿两个半平面的方向作两个向量 n1 l , n2 l , 则可用 n1, n2 作为 二面角的大小。 问题 2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个 半平面的法向量有没有关系？
1 ( x, y, z ) ( , 0, 1) 0 ， 2
( x, y, z) (1,1, 1) 0 ，
1 xz 0 即 2 ，把 z 作为未知数， x y z 0
解得 x=2z，y=－z， 令 z=1，得 x=2，y=－1，得 n =(2，－1，1)，
在这两个图中，可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的关 系：
在这两个图中， 可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的 关系：
[结论]：两个半平面的法向量的夹角与该二面角大小相等或互补。 当法向量 ， 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小 ；
当法向量
，
同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小
构成
表示法
提出问题：如何度量二面角的大小？tml （二）二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一点 O ，在两半平面内分别作射线 OA l , OB l , 则AOB 叫做二面角
教学设计3：3.2.4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量教学目标理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求二面角．教学重点：向量法求二面角．教学难点：法向量方向的判定及向量的夹角与二面角的关系．教学过程1．二面角的有关概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的所组成的两个半平面图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面. 棱为l 两个面分别为α，β的二面角，记作α－l －β.如图所示，A ∈α，B ∈β，二面角也可记作A －l －B ，也可记作A －OO ′－B .说明：①二面角的图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．②符号α－l －β的含义是棱为l ，两个面分别为α，β的二面角．③两个平面相交，构成四个二面角．2.二面角的平面角如图所示，在二面角α－l －β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α－l －β的平面角．说明：这个平面角与点O 在l 上的位置无关，因为，在l 上异于O 的一点O ′，O ′A ′⊥l ，O ′B ′⊥l ，则∠AOB 与∠A ′O ′B ′都是平面角，它们的对应边平行且方向相同，因此∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，这两个角都是二面角的平面角．(1)二面角θ的范围为θ∈[0，π]．(2)二面角的向量求法：①若AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与l 垂直的异面直线，则二面角就等于AB →与CD →的夹角，如图①所示．②设n 1，n 2是二面角α－l －β的两个面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就等于二面角的平面角，如图②所示．3.直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面． 典例精析例1 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，CD ＝217cm ， 求这个二面角的度数.解 设〈AC →，BD →〉＝x .由已知CA ⊥AB ，AB ⊥BD ，得AC →·AB →＝BD →·AB →＝0，〈CA →，BD →〉＝180°－x ，因此|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos(180°－x ).代入已知线段的长度，得 (217)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos x )，即cos x ＝36＋16＋64－6896＝4896＝12，得x ＝60°.因此，所求二面角的度数为60°.例2 已知：二面角α—l —β的大小为θ (0≤θ≤ π2 )，在α内有△ABC ，它在β内的射影为△A ′BC ，它们的面积分别为S ，S ′，则有S `=S cos θ.证明：不妨假设△ABC 的边BC 在l 上（如图），作BC 边上的高AD ，AD 在β内的射影为A`D.根据正射影的性质，知A`D=AD cos θ.S`= 12BC ×A`D= 12BC ×Ad cos θ= S cos θ.例3 已知ABCD 为直角梯形，∠DAB =∠ABC =90°，SA 垂直平面ABCD ，SA =AB =BC =1，AD = 12， 求平面SAB 与SCD 的夹角的正切（如图）.解：令BC⃗⃗⃗⃗⃗ =i ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ， AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系[O ;i ,j ,k ]，则i ,j ,k 为单位正交基底，于是可得i=（1,0,0）,j =（0,1,0）,k =（0,0,1）SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，0，-1)，SC ⃗⃗⃗⃗ =(1，1，-1). 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z )，则n ·SD⃗⃗⃗⃗⃗ =0， n ·SC ⃗⃗⃗⃗ =0. 换用坐标表示，得(x ,y ,z )·(12，0，-1)=0， (x ,y ,z )·(1，1，-1)=0.即12x -z =0 x +y -z=0把z 作为已知数，解此方程组，得x =2z ，y =-z .cos<i ,n >= i·n |i |·|n| = √22+12+(−1)2√02+12+02= √6设平面SAB 与SCD 的夹角为θ，由图形可知θ=<i ，n>为锐角，即tan θ=√22.课堂训练1.自二面角α－l －β的棱上一点A 在平面β内引一条射线AC ，它与棱l 成45°角，和平面α成30°角，求二面角α－l －β的大小．解 如图所示，在射线AC 上取一点C ，作CD ⊥平面α，在α内作DB ⊥AB ，垂足为B ，连结BC .由三垂线定理知BC ⊥AB ，则∠CBD 为二面角α－l －β的平面角．设CD ＝a ，又∠CAD 为AC 与面α所成的角，即∠CAD ＝30°，∴AC ＝2a .又∠CAB ＝45°，∴BC ＝2a .在Rt △CDB 中，sin ∠CBD ＝CD BC ＝22， ∴∠CBD ＝45°，即二面角α－l －β为45°.2.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为1，侧棱长为3，D 、E 分别是侧棱CC 1和BB 1上的点，且CD ＝1，AD ⊥DE ，求截面ADE 与底面ABC 所成角余弦值．解 如图，设BE ＝y ，依题意得12＋y 2＝(12＋12)＋[12＋(y －1)2]，解得y ＝32. ∴S △ADE ＝12×2×12＋（32－1）2＝104. S △ABC ＝12×1×1×32＝34. 设截面ADE 与底面ABC 所成角的大小为θ，则cos θ＝34104＝3010. ∴截面ADE 与底面ABC 所成角的余弦值为3010.。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》标题：高中数学教案《二面角》摘要：简要介绍教案的教学目标、重点难点、教学方法和预期的学习成果。
关键词：二面角；高中数学；空间几何；教案设计目录：教学目标教学内容学生背景分析教学重点与难点教学方法与手段教学过程设计6.1 导入新课6.2 讲解新知6.3 课堂练习6.4 互动讨论6.5 课堂总结作业布置教学评价教学反思附录：教学资源与参考资料正文：教学目标知识与技能：学生能够理解二面角的概念，掌握求解二面角的方法。
过程与方法：通过实例分析，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观：激发学生对空间几何的兴趣，提高学习数学的积极性。
教学内容二面角的定义二面角的分类二面角的求法二面角在实际问题中的应用学生背景分析描述学生在空间几何方面的学习基础和可能遇到的困难。
教学重点与难点重点：二面角的求解方法。
难点：发展学生的空间想象能力，理解二面角与平面角的关系。
教学方法与手段讲授法引导发现法合作学习多媒体辅助教学教学过程设计6.1 导入新课通过生活中的实例引出二面角的概念。
6.2 讲解新知详细讲解二面角的定义、分类和求解方法。
6.3 课堂练习学生完成几个关于二面角计算的练习题。
6.4 互动讨论小组讨论二面角在实际问题中的应用。
6.5 课堂总结总结二面角的知识点，强调求解二面角的步骤和技巧。
作业布置布置相关的习题，要求学生巩固和深化课堂所学。
教学评价描述如何评价学生的学习成果，包括课堂表现、作业完成情况等。
教学反思教师对教学过程的回顾，包括成功之处和需要改进的地方。
附录：教学资源与参考资料列出用于教学的资源和参考的资料。
正文示例（部分）：教学目标通过本教案的学习，学生应能够：理解二面角的概念和意义。
掌握二面角的分类和求解方法。
应用二面角的知识解决一些简单的空间几何问题。
教学内容本教案主要内容包括：二面角的定义：两条相交平面间所形成的角。
二面角的分类：锐角二面角、直角二面角、钝角二面角。
山东省德州市武城二中高中数学选修2-1 323 二面角及其度量教案
请同学们回顾直线和平面所成的角的定义，尝试对平面与平面所成的角做出定义，并区别两种角的范围。
【自学导拨】1.平面内的一条直线把平面分成两部分，都叫做半平面。
2.二面角从 图形叫做二面角，这条直线叫做， 叫做二面角的面，棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作 ，若α∈A ，β∈B ，则二面角也可以记作 ，也可记作。
3.二面角的平面角 在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ，OB l ，则 叫做二面角βα--l 的平面角。
4.二面角的范围设二面角为θ，则∈θ . 【思路与方法技巧】例1.PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC 2=，求二面角A －PB －C 的余弦值。
例2.在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝21，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值。
例3.将一幅三角板按如图的方法拼接，设BC ＝6，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠BDC ＝60°，再把三角板ABC 沿BC 折起，使两块三角板所在的平面互相垂直。
（1）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；（2）求二面角A －BD －C 的大小。
【巩固练习】1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为（ ） A.33 B.31 C.36 D.232 2.自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是（ ）A.相等B.互为补角C.互为余角D.相等或互为补角3.把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A －BD －C ，若AB ＝1，AD ＝3，AC ＝27，则平面ABD 与平面BCD 的夹角为（ ）A.30°B.60°C.120°D.90° 4.二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝172，则该二面角的大小为（ ）A.150°B.45°C.60°D.120° 5.直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在α内的射影是C ′，则C AB '∆是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.各种情况都有可能 6.如图所示，在边长为a 的ABC ∆中，AD ⊥BC ，沿AD 将ABC ∆折起，若折起后B 、C两点间距离为a 21，则二面角B －AD －C 的大小为（ ） A.30° B.45°C.60°D.90°7.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为正三角形，若AA 1＝AB ＝1，E 为棱BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 所成锐二面角的大小为。
高二数学高效课堂资料2-1：3.2.4二面角及其度量教案
高二数学高效课堂资料课题：3.2.4二面角及其度量【教学目标】知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
【教学重难点】1、二面角的平面角概念的形成过程2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程【教学过程】一、二面角概念的引入师：我们知道，面与面的位置关系分相交和平行两种，对于两个平面平行的研究已经很深刻了，现在我们来探讨两个平面相交的问题让学生观察老师手里的教具（用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”）的变化。
师：你观察到了什么？生：好象有一个角在不断改变。
师：对，它就是我们今天要学习的二面角；二面角在生产生活中随处可见，水坝面与水平面所成的角，卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们二面角的形象。
启发学生从这些形象中抽象出二面角的定义：半平面—平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
二面角—从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角与平面中的角的对比如图1。
画法、记法如图2。
二、二面角的平面角的探讨老师再次拿起教具在学生的睽睽众目下，全神贯注地把玩着，嘴里还在嘟噜：“这是二面角。
”随着二面角的变化，语气变得十分惊讶：“看来二面角还有大小的，这时大，这时小。
”终于头抬起来了，声音也提高了八度：“他的大小由谁决定呢？”学生也开始了沉思。
11111////AP l AP A P A PlAPBA PB AP B P同理老师不时时机地启发着，两条异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角是怎么定义的？前者是通过平移转化为两条相交直线所成角，后者是通过找射影转化为两条相交直线所成角，所以人们考虑二面角的大小也转化为某两相交直线所成角来度量。
二面角的说课稿 (2)
二面角的说课稿一、教学目标本节课的教学目标是让学生了解和掌握二面角的概念、性质以及相关的计算方法，培养学生分析和解决问题的能力，同时提高学生的空间想象力和几何推理能力。
二、教学重点和难点本节课的教学重点是让学生掌握二面角的定义和性质，并能够灵便应用相关的计算方法。
教学难点是让学生理解二面角的概念，并能够运用几何知识进行推理和证明。
三、教学准备1. 教师准备：教案、黑板、粉笔、投影仪、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、几何工具等。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问的方式引导学生回顾上节课所学的角的概念和性质，并与二面角进行对照，引起学生的思量和兴趣。
2. 概念讲解（10分钟）教师通过投影仪展示二面角的定义和相关的图形，引导学生理解二面角是由两个不在同一平面上的射线形成的角，并解释二面角的度量单位是弧度。
3. 性质探索（15分钟）教师提出一些与二面角相关的性质问题，让学生自主探索和讨论，如二面角的度数是多少？二面角的终边是否可以延长？二面角的和角差角等。
教师可以引导学生通过绘制图形、推理和证明等方式得出结论。
4. 计算方法（15分钟）教师通过示例和练习的方式，教授学生如何计算二面角的度数。
教师可以给出一些具体的角度值，让学生运用所学的知识进行计算，并解释计算的步骤和原理。
5. 拓展应用（15分钟）教师设计一些拓展应用题，让学生运用所学的知识解决实际问题。
例如，给出一个建造物的平面图，要求学生计算两个不在同一平面上的射线所形成的二面角，以及该角的性质和应用。
6. 归纳总结（10分钟）教师与学生一起总结本节课所学的知识点和方法，强化学生对二面角的理解和掌握。
教师可以提供一些总结性的问题，让学生回答并解释。
7. 作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为课后作业，要求学生运用所学的知识进行计算和证明。
同时，鼓励学生自主拓展，寻觅更多与二面角相关的问题进行探索。
五、教学反思本节课通过概念讲解、性质探索、计算方法和拓展应用等环节，旨在让学生全面了解和掌握二面角的概念、性质和计算方法。
3.2.4二面角
1A 3.2.4 二面角及其度量峡山中学 高二数学组 2010-12-27【课标点击】(一)学习目标：1.理解二面角及其平面角的概念2.掌握二面角的平面角的一般作法 (二) 学习重、难点：二面角的概念和二面角的平面角的作法【课前准备】（一）知识连接：复习直线和平面所成角（二）问题引入：如何用向量的方法来求空间的角呢？【学习探究】自主学习课本108页至109页部分．1 二面角的概念： 2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直3．二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 4. 用向量方法求二面角的方法：方法一：先在二面角的两个半平面内，分别求与棱垂直的向量，然后求这两个向量的夹角即二面角的平面角方法二：先求两向量的法向量，然后求两向量的夹角，最后根据条件确定二面角的平面角运用平面的法向量，求解平面与平面所成的二面角。
二面角βα--l 的大小为><21,n n（四）典例示范:例1．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的余弦值；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BDC--的平面角的正切1A DC B A E例2．在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小（五）变式拓展：．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，求：(1) 1A D 与EF 所成角的大小；(2)1A F 与平面1B EB 所成角的大小； (3) 二面角11C D B B --的大小．（六）归纳总结（1）学习了二面角的概念和二面角的平面角的作法 （2）学习了求二面角的向量方法 （七）当堂检测若PA ⊥平面ABC，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC，求二面角A PB C --的余弦值．【巩固提高】1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小2 如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ；（Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小。
3.2.4二面角及其度量学案(人教(B)版选修2-1))
3.2.4二面角及其度量目标：掌握二面角及二面角的平面角的定义及灵活求二面角的大小。
重难点：利用空间向量求二面角。
教学过程： 一、课前延伸 1.知识梳理 （1）半平面平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做__________。
（2）二面角及相关概念从一条直线出发的两个__________所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的____，每个半平面叫做二面角的____。
棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作______. （3）二面角的平面角在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ⊥，OB l ⊥，则_______叫做二面角l αβ--的平面角。
平面角是_______的二面角叫做直二面角。
（4）二面角α的范围是________. 2.思考问题（1）二面角两半平面的法向量的夹角与二面角的大小有何关系？（2）求二面角大小的方法有哪些？3.基础自测1.已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m =，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为（ ） A.45° B.135° C.45°或135° D.90°2.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（ ）D.133.已知正方体1111A B C DA B C D-中，平面11AB D 与平面1A B D 所成的角为θ(090θ︒≤≤︒)，则cos θ=____________.4.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BA BC ==，0BA BC ⋅=，异面直线1A B 与AC 成60︒角，点O 、E 分别是棱AC 和1BB 的中点，点F 是棱11B C 上的动点。
（1）求证：1A E OF ⊥；（2）求二面角111B AC C --的大小。
二、课堂探究,1,1,,2.ABCD ABC A ABCD SA AB BC AD SCD SBA ∠︒⊥====如图所示，是一直角梯形，=90S 平面求面与面所成二面角的余弦值例1.例 2.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面A B C D 为菱形，PA ⊥平面A B C D ，60ABC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、PC 的中点。
课件8：3.2.4 二面角及其度量
解：(1)在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3， ∴AF＝3. 又 AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3， 在线段 AF 上取点 Q，使 AQ＝21QF，连接 PQ，QE， ∵AP＝21PD，∴PQ 綊13DF，∵CE 綊13DF，∴CE 綊 PQ，
∴四边形 ECPQ 为平行四边形，∴CP∥EQ， ∵CP⊄平面 ABEF，EQ⊂平面 ABEF，∴CP∥平面 ABEF.
初试身手
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面
角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
【解析】由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或 互补． 【答案】C
2．三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量
分别为 n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角 A-BD-C
(1)证明：∵平面 VAD⊥平面 ABCD，交线为 AD.
AB⊂平面 ABCD，AB⊥AD.
∴AB⊥平面 VAD.
(2)解：如图，取 VD 的中点 E，连接 AE，BE.
∵△VAD 是正三角形，
∵AE⊥VD，AE＝
3 2 AD.
∵AB⊥平面 VAD，∴AB⊥AE. 又由三垂线定理知 BE⊥VD.
跟踪训练 2．如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为矩 形，平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝ 2，PC＝2，问 AB 为何值时，四 棱锥 P-ABCD 的体积最大？并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值．
(1)证明：因为 ABCD 为矩形，故 AB⊥AD； 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PD. (2)解：过点 P 作 PO⊥AD 于点 O， 则 PO⊥平面 ABCD，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M，
3.2.4二面角及其度量
思考： 为什么平面角与点 O 在 l 上的位置无关？
练习：在长方体 ABC D -A 1 B 1C 1 D 1 中， A B 3, B C 1, C C 1 下列两个平面所成的角: (1)平面 A1 B C 与平面 ABC D ; (2)平面 C 1 A B 与平面 ABC D ; (3) 平面 D1 A B 与平面 A A1 B1 B ;
3 ,求
问题二:向量法求二面角
方法 1:将二面角转化为两个面内垂直于棱的两个向量的夹角。 分别在二面角 l 的面 , 内，并且沿 , 延伸的方向作向量
n1 l , n 2 l , 则我们可以用 n1 , n 2 度量这个二面角的大小
A 、 150 ,30 B 、 90 ,30
C 、 150 , 0
D 、 90 , 0
2.在正三棱柱 ABC - A1 B 1 C 1 中，已知 AB 1, D 在棱 B B1 上，且
BD 1 ，若 A D 与平面 A A1C 1C 所成角为 ，则 sin 的值是（ ）
思考：可用此题结论求 解例 3 吗？
课堂小结 本节综述: 1、二面角及二面角平面角的定义；2、求二面角大小的基本方法(构造法、向量法) 及其步骤 具体总结:（对照问题总结）
练习与巩固
（必做题）课本 111 页练习 A 2. 练习 B 1.(1)
(2)
4
3.
2.
5
高二数学导学案
教学课题 课标要求 主要问题
3.2.4 二面角及其度量
题中的作用。
备课人
李怀春
能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问
教学设计1：3.2.4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量教学目标知识与技能目标：了解并掌握二面角的定义及其度量方式，会用定义法求二面角.过程与方法目标：培养观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力.情感态度价值观目标：培养主动获取知识的学习意识，激发学习兴趣和热情.教学重点、难点重点：定义法和向量法计算二面角的大小难点：做出二面角的平面角教学方法：利用多媒体课件展示定义法求二面角和向量法求二面角的联系和区别.教学过程一.自主学习，归纳总结1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．二.典例精析，方法形成例1如图所示，S是△ABC所在平面外一点，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E—BD—C的大小．【解】∵SB＝BC，E为SC的中点，∴SC⊥BE.由题设知，SC⊥ED，而ED∩EB＝E，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD.∴BD⊥平面SAC，∴∠EDC为二面角E—BD—C的平面角．设SA＝a，则SB＝a，又∵AB⊥BC，由三垂线定理，SB⊥BC.∴在Rt△SBC中，SC＝2a.在Rt△SAC中，∵SA＝a，SC＝2a，∴∠SCA＝30°.故∠EDC＝60°，即二面角E—BD—C的大小为60°.反思与感悟利用定义法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算．即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的大小．跟踪训练1如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的余【解】取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A—VB—C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝＝－，∴二面角A—VB—C的余弦值是－.例2如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2cm，求这个二面角的度数．【解】设〈，〉＝x.由已知CA⊥AB，AB⊥BD，得·＝·＝0，〈，〉＝180°－x，因此||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2||||cos(180°－x)．代入已知线段的长度，得(2)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos x)，即cos x＝＝＝，因此，所求二面角的度数为60°.反思与感悟若AC、BD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面角就是向量与的夹角(如图所示)．跟踪训练2已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直，则B与D之间的距离为________．【答案】【解析】由B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N.则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝.MN＝1.由于＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝.例3在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．【解】方法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设P A＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，∴E，O，＝，＝(b,0,0)．∵·＝0，∴⊥，＝＝，·＝0.∴⊥.∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)．cos〈，〉＝＝.∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.方法二建系如方法一，∵P A⊥平面ABCD，∴＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，＝，＝(b,0,0)．设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．由得∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，cos〈m，〉＝＝＝.∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.反思与感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练3若P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝，求二面角APBC的余弦值．【解】如图所示建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)， 故＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⇒⇒令x ＝1，则y ＝－，故m ＝(1，－，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⇒⇒令y ′＝－1，则z ′＝－1，故n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝＝.∴二面角A PB C 的余弦值为.三. 课堂小结，明确规律 二面角的求法： ①定义法．②三垂线法，如图A ∈β，过A 作AB ⊥α于点B ，在α内作BO ⊥l 于点O ，连接AO ，则由三垂线定理知AO ⊥l ，故∠AOB 是二面角α—l —β的平面角． ③用公式cos θ＝，其中S ′为射影面积，S 为原图形面积．④利用向量夹角公式求〈，〉．⑤用法向量，若二面角α—l —β的大小为θ，其两半平面的法向量分别为n 1、n 2，其夹角为φ，则θ＝φ或θ＝π－φ.一定要注意检验．四.当堂训练，及时反馈1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1－BC －A 的余弦值为( ) A.12 B.23 C.22D.33【解析】：易知∠A 1BA 为二面角A 1－BC －A 的平面角，cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22.【答案】：C2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A －BC －D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】：如图取BC 的中点为E ，连接AE 、DE ， 由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A －BC －D 的大小为60°. 【答案】：C3．在正方体AC 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为( )A ．－12B.23C.33D.22【解析】：建系如图，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)、A 1(1，0，1)、E (1，1，12)．∴1DA ＝(1，0，1)，DE ＝(1，1，12)．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0x ＋y ＋12z ＝0.令x ＝1，则z ＝－1，y ＝－12， ∴n ＝(1，－12，－1)．又平面ABCD 的一个法向量为1DD ＝(0，0，1)．∴cos 〈n ，1DD 〉＝－194·1＝－23.又平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角为锐角， ∴平面A 1ED 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23.【答案】：B4．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【解析】：取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F . 据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA ，FB 〉为二面角的平面角，由|AB |2＝(AE ＋EF ＋FB )·(AE ＋EF ＋FB )得 13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE ，FB 〉， ∴cos 〈EA ，FB 〉＝－12.∴〈EA ，FB 〉＝120°. 即所求的二面角为120°.【答案】：C5．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为________． 【解析】：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A (0，0，32)，B (0，－12，0)，D (32，0，0)． ∴OA ＝(0，0，32)，BA ＝(0，12，32)，BD ＝(32，12，0)． 由于OA ＝(0，0，32)为面BCD 的法向量，可求出面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA 〉＝55，sin 〈n ，OA 〉＝255. 【答案】：2556．已知正四棱锥的底面边长为23，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于________． 【解析】：如图，四棱锥P －ABCD 为正四棱锥，连接AC 、BD 相交于点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD .作OE ⊥CD ，连接PE ，则∠PEO 即为侧面与底面所成二面角的平面角．由题意知PO ＝3， OE ＝3， ∴tan ∠PEO ＝33＝ 3. ∴∠PEO ＝60°. 【答案】：60°7．P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：法一：如图建立空间直角坐标系，A (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)， ∴AP ＝(0，0，1)，AB ＝(2，1，0)．设平面P AB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP ＝0，n 1·AB ＝0，得⎩⎨⎧z 1＝0，2x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，则n 1＝(1，－2，0)．∵CP ＝(0，－1，1)，CB ＝(2，0，0)， 设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CP ＝0，n 2·CB ＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋z 2＝0，2x 2＝0.令z 2＝1，则n 2＝(0，1，1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角， ∴二面角A －PB －C 的余弦值为33. 法二：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵P A ⊥平面ABC ， ∴P A ⊥AC . ∴PC ＝P A 2＋AC 2＝ 2.∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB . 作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 的大小就等于DC 与EA 的夹角θ. ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴PC ⊥BC . ∴PB ＝PC 2＋BC 2＝2.∴PD ＝1，PE ＝P A 2PB ＝12.∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ＝AE ＋ED ＋DC ，且AE ⊥ED ，ED ⊥DC ，∴|AC |2＝|AE |2＋|ED |2＋|DC |2＋2|AE |·|DC |·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33， 故二面角A －PB －C 的余弦值为33. 8．(2012·新课标高考)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，|CA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题意知A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，D (1，0，1)，C 1(0，0，2)．则1A D ＝(0，0，－1)，BD ＝(1，－1，1)，DC 1＝(－1，0，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ＝0，n ·1A D ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1，1，0)．同理，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD ＝0，m ·DC 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0－x 1＋z 1＝0，可取m ＝(1，2，1)．从而cos n ，m ＝n ·m |n|·|m|＝32. 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.。
高中数学《二面角》说课稿范文(4)
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学无止境，高中是人生成长变化最快的阶段，所以应该用心去想，去做好每件事，xx为大家整理了高三数学说课稿：二面角 ,希望可以帮助到更多学子。
高三数学说课稿：二面角一、教材分析1、教材地位和作用二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。
二面角的概念发展、完善了空间角的概念;而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。
搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。
2、教学目标根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：认知目标：(1)使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
(2)通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
3、本节课教学的重、难点是两个过程的教学：(1)二面角的平面角概念的形成过程。
(2)寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
其理由如下：(1)现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程，没有反映出科学认识产生的辩证过程，与学生的认知规律相悖，给学生的学习造成了很大的困难，非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手能力的培养。
高中数学同步教学课件 二面角及其度量
平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，
所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影.
设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1， 所以在△PAB 中，AB 边上的高 h＝ 27， 所以 S△PAB＝ 47.又 S△PAE＝12S△PAC＝14.
设二面角B－PA－C的大小为θ，
由射影面积公式有 cos θ＝SS△ △PPAAEB＝ 77.
反 思 感 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在 悟
两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即
为二面角的一个平面角.
跟踪训练 1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两
个半平面，则这两个二面角的大小关系是
A.相等
B.互补
√C.相等或互补
D.不能确定
当两个半平面的开口方向相同时，这两个二面角大小相等；当两个半 平面的开口方向不同时，这两个二面角大小互补或相等.
提示 作 AD⊥BC，则 A′D 为 AD 在平面 α 上的射影，由三垂线定理
的逆定理可知
A′D⊥BC ， 则 ∠ADA′ ＝ θ ， 故 有
cos
θ
＝
A′D AD
＝
12B12BCC××AA′DD＝SS△△AA′BBCC.
知识梳理
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为
S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos
1234
2.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，过AB作平面α
交棱CC1，DD1分别于E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截 面ABEF的面积为
3 A. 2
1 C.2
3 B. 3
2024二面角的说课稿范文
2024二面角的说课稿范文今天我说课的内容是《2024二面角》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《2024二面角》是高中数学必修一第二章平面向量的第四节内容。
它是在学生已经学习了平面向量以及相关知识并掌握了一些基本概念的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而且二面角在几何图形的计算中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的数学基础，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解二面角的定义和性质，掌握二面角的计算方法。
②能力目标：能够灵活运用二面角的知识解决几何问题。
③情感目标：让学生体会数学的美妙和实用性，培养学生对数学的兴趣和自信心。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解二面角的定义和性质，掌握二面角的计算方法。
难点是：能够灵活运用二面角的知识解决几何问题。
二、说教法学法本节课的教学法是引导探究法和归纳总结法。
通过引导学生观察和实际操作，让学生主动参与到知识的探究过程中，培养学生的观察力和分析能力。
同时，通过归纳总结让学生深入理解二面角的概念和性质。
三、说教学准备在教学过程中，我将使用多媒体辅助教学，并准备一些图形和实物进行演示，以直观呈现教学素材，提高学生的学习兴趣和理解能力。
四、说教学过程为了让学生更好地理解和掌握二面角的概念和性质，我设计了以下教学环节。
环节一、引入新知在课堂开始时，我将通过展示一些日常生活中的几何图形，引出学生对角度的认识和理解。
然后，我会提出一个问题：角度只能存在于平面上吗？通过引导学生观察和思考，让学生自主探究出二面角的概念。
环节二、讲解二面角的定义和性质在引入二面角概念后，我将对二面角的定义和性质进行讲解。
通过多个实例和图形演示，我将向学生解释二面角的特点和计算方法，让学生对二面角有一个清晰的理解。
环节三、实例分析与讨论在学生对二面角的定义和性质有了初步的了解后，我将给学生提供一些实例，让学生自主进行分析和计算。
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3.2.4 二面角及其度量
课前导引
问题导入
如下图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°
.
如何用空间向量求二面角A —PB —C 的大小？
运用空间向量求二面角的大小，比用几何的方法求二面角的大小更容易入手.本节课我们就学习用空间向量解立体几何问题.
知识预览
1二面角的概念
（1）半平面——平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一个部分都叫做_________________;
(2)二面角——从一条直线出发的_________________所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这叫做二面角的面.
(3)二面角的符号表示——如果一个二面角的两个面记为α、β，棱记作AB ，则这一个二面角可以表示为___________________.
答案：(1)半平面
(2)两个半平面 每个半平面
(3)α-AB-β
2二面角的平面角
（1）二面角的平面角的概念——以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；
（2）二面角的取值范围——二面角的大小可以用它的平面角来度量，规定取值范围是_____________；其中平面角是的______________二面角叫做直二面角.
答案：(1)垂直
(2)［0,π］ 90°。