离散数学 通路、回路与图的连通性 ppt课件
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离散第18讲 路径、回路及连通性
一个顶点是可达的； 有向图是弱连通的，有向边被看作无向边时是连通的。
连通图 不连通图 强连通图 单向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通图 弱连通图
第18讲 路径、回路及连通性
-9-
连通分支
定义：在无向图G中，若至少存在两个节点是不可达的，则 G是不连通的；如果G是不连通的，G’是G的子图，G’是连 通的，并且不存在G的真子图G’’，使G’’是连通的，且G’’ 以G’为真子图， 则称G’是G的一个极大连通子图，或称是 G的一个连通分支
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1 图的基础知识 2 路径、回路及连通性 3 欧拉图与哈密顿图 4 图的矩阵表示
《离散数学》第18讲 路径、回路及连通性 Page 112 to 117
拟路径及长度
定义：图G的顶点v1到顶点vl的拟路径是指以下顶点与边的序列： v1 , e1, v2, e2, v3, …, vl-1, el-1, vl v1 ,v2 ,v3 ,… ,vl-1 ,vl为G的顶点，e1 ,e2 ,… ,el-1 为G的边 ei( i= 1,2, … ,l-1 )以vi及vi+1为端点 对有向图G，ei以vi为起点，以vi+1为终点
称有向图G是单向连通的，如果G的任何两个顶点中， 至少从一个顶点到另一个顶点是可达的；
称有向图G是弱连通的，如果G的有向边被看作无向 边时是连通的。
第18讲 路径、回路及连通性
-8-
连通
u到v是可达的，如果有一条u到v的路径，或者u =v。 无向图是连通的，任何两个顶点u到v都是可达的。 有向图是强连通，任何两个顶点都是相互可达的； 有向图是单向连通的，任何两个顶点中，至少从一个顶点到另
然后重复上述讨论，直至没有边重复出现、没有顶点重 复出现，从而得到从u到v的路径和长度不超过n – 1的通 路。
连通图 不连通图 强连通图 单向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通图 弱连通图
第18讲 路径、回路及连通性
-9-
连通分支
定义：在无向图G中，若至少存在两个节点是不可达的，则 G是不连通的；如果G是不连通的，G’是G的子图，G’是连 通的，并且不存在G的真子图G’’，使G’’是连通的，且G’’ 以G’为真子图， 则称G’是G的一个极大连通子图，或称是 G的一个连通分支
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1 图的基础知识 2 路径、回路及连通性 3 欧拉图与哈密顿图 4 图的矩阵表示
《离散数学》第18讲 路径、回路及连通性 Page 112 to 117
拟路径及长度
定义：图G的顶点v1到顶点vl的拟路径是指以下顶点与边的序列： v1 , e1, v2, e2, v3, …, vl-1, el-1, vl v1 ,v2 ,v3 ,… ,vl-1 ,vl为G的顶点，e1 ,e2 ,… ,el-1 为G的边 ei( i= 1,2, … ,l-1 )以vi及vi+1为端点 对有向图G，ei以vi为起点，以vi+1为终点
称有向图G是单向连通的，如果G的任何两个顶点中， 至少从一个顶点到另一个顶点是可达的；
称有向图G是弱连通的，如果G的有向边被看作无向 边时是连通的。
第18讲 路径、回路及连通性
-8-
连通
u到v是可达的，如果有一条u到v的路径，或者u =v。 无向图是连通的，任何两个顶点u到v都是可达的。 有向图是强连通，任何两个顶点都是相互可达的； 有向图是单向连通的，任何两个顶点中，至少从一个顶点到另
然后重复上述讨论，直至没有边重复出现、没有顶点重 复出现，从而得到从u到v的路径和长度不超过n – 1的通 路。
离散数学屈婉玲第九章ppt课件
20Leabharlann 同构意义下和定义意义下的圈
例2 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解 长度相同的圈都是同构的. 易知Kn(n3)中含长度3,4,…,n 的圈，共有n2种非同构的圈．
长度相同的圈都是同构的, 因此在同构意义下给定长度的圈 只有一个. 在标定图中, 圈表示成顶点和边的标记序列. 如果 只要两个圈的标记序列不同, 称这两个圈在定义意义下不同.
设带权图G=<V,E,W> (无向图或有向图), 其中每一条边e的 权W(e)为非负实数. u,vV, 当u和v连通(u可达v)时, 称从u到 v长度最短的路径为从u到v的最短路径, 称其长度为从u到v的 距离, 记作d(u,v). 约定: d(u,u)=0; 当u和v不连通(u不可达v)时, d(u,v)=+.
称边
例 有向图D=<V,E>, 其中 V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,
<d,c>,<c,d>,<c,b>}
注意：图的集合表示与图形表示之间的对应
3
相关概念
1. 无向图和有向图通称图. 记顶点集V(G), 边集E(G). 2. 图的阶, n阶图. 3. n 阶零图Nn, 平凡图N1. 4. 空图. 5. 标定图与非标定图. 6. 有向图的基图. 7. 无向图中顶点与边的关联及关联次数, 顶点与顶点、边与
162=32 = 34+43+2x 解得 x = 4, 阶数 n = 4+4+3=11.
定理9.3 设G为任意n阶无向简单图，则(G)n1．
9
图的同构
定义9.5 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1V2, 使得vi,vjV1,
例2 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解 长度相同的圈都是同构的. 易知Kn(n3)中含长度3,4,…,n 的圈，共有n2种非同构的圈．
长度相同的圈都是同构的, 因此在同构意义下给定长度的圈 只有一个. 在标定图中, 圈表示成顶点和边的标记序列. 如果 只要两个圈的标记序列不同, 称这两个圈在定义意义下不同.
设带权图G=<V,E,W> (无向图或有向图), 其中每一条边e的 权W(e)为非负实数. u,vV, 当u和v连通(u可达v)时, 称从u到 v长度最短的路径为从u到v的最短路径, 称其长度为从u到v的 距离, 记作d(u,v). 约定: d(u,u)=0; 当u和v不连通(u不可达v)时, d(u,v)=+.
称边
例 有向图D=<V,E>, 其中 V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,
<d,c>,<c,d>,<c,b>}
注意：图的集合表示与图形表示之间的对应
3
相关概念
1. 无向图和有向图通称图. 记顶点集V(G), 边集E(G). 2. 图的阶, n阶图. 3. n 阶零图Nn, 平凡图N1. 4. 空图. 5. 标定图与非标定图. 6. 有向图的基图. 7. 无向图中顶点与边的关联及关联次数, 顶点与顶点、边与
162=32 = 34+43+2x 解得 x = 4, 阶数 n = 4+4+3=11.
定理9.3 设G为任意n阶无向简单图，则(G)n1．
9
图的同构
定义9.5 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1V2, 使得vi,vjV1,
离散数学课件14.2-3通路与回路-连通性
connected graph
边割集
若存在边集子集E' E, 使G删除E'(将E'中的边从G中全删除)后, 所得子图的连通分支数与G的连通分支数 满足p(G-E')＞p(G), 而删除E'的任何真子集E''后,p(G-E'')＝p(G), 则称E'是G的一个边割集. 若边割集中只有一条边e,则称e为割边或桥. 注：完全图没有割边和割点.
当v0＝vl时,此通路称为回路.
connected graph
简单通路或迹
若Γ中的所有边e1,e2,···,el互不相同, 则称Γ为简单通路或一条迹. 若回路中的所有边互不相同,称此回 路为简单回路或一条闭迹.
connected graph
初级通路
若通路的所有顶点v0,v1···,vl互不相 同(从而所有边互不相同),则称此通 路为初级通路或一条路径. 若回路中,除v0＝vl外,其余顶点各不 相同,所有边也各不相同,则称此回 路为初级回路或圈. 长度为奇(偶)数的圈称为奇(偶)圈
通路
connected graph
给定图G＝<V,E>.
设G中顶点和边的交替序列为
Γ＝v0e1v1e2…elvl,若Γ满足如下条件: vi-1和vi是ei的端点(在G是有向图时,要求vi-1是ei 的始点,vi是ei的终点),i＝1,2,…,l,则称Γ为顶点v0 到vl的通路. v0和vl分别称为此通路的起点和终点,Γ中边的数 目l称为Γ的长度.
connected graph
有向图的连通性
易见:强连通性 单向连通性 弱连通性; 但反之 不真.反例如下:
a
c
a
强连通
d
图的通路与连通
v0e1v1e2v2…vk-1ekvk, 其中viVG, eiEG, 且 ei 的两个端点是vi-1和vi,(i=1,2,…,k)。 通路的两个特例
简单通路：v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij eiej 初级通路(路径): v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij
的初级回路。
8
可达性关系
定义：RcVGVG, u,vVG, <u,v>Rc 当且仅当 G中存在(u,v)通路。 如果约定，对G中任意顶点u，存在长度为0的(u,u)-通路，则无向图上
定义的Rc是等价关系。 Rc是VG上的相邻关系Ra的传递闭包
假如| A|n,则A上的关R系 的传递闭包是：
n
Ri RR2 Rn
5
g
9,h
21
S4
1,c
b
7 1
2 2
2,c
e
34 1
8
a
6,d 2
s c0 4
4
7
6,e f3
3
4
6
h 3,e
d
U4 4,c
5
g
9,h
22
求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
53 1
6
8 s0
4
24
7
6
3
3
3
4
6
4
5
9
23
求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
35 1
8
76
3
6
s0
3
4 24
14
求最短路的Dijkstra算法
算法步骤：
简单通路：v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij eiej 初级通路(路径): v0e1v1e2v2…vk-1ekvk中，i,j, ij
的初级回路。
8
可达性关系
定义：RcVGVG, u,vVG, <u,v>Rc 当且仅当 G中存在(u,v)通路。 如果约定，对G中任意顶点u，存在长度为0的(u,u)-通路，则无向图上
定义的Rc是等价关系。 Rc是VG上的相邻关系Ra的传递闭包
假如| A|n,则A上的关R系 的传递闭包是：
n
Ri RR2 Rn
5
g
9,h
21
S4
1,c
b
7 1
2 2
2,c
e
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8
a
6,d 2
s c0 4
4
7
6,e f3
3
4
6
h 3,e
d
U4 4,c
5
g
9,h
22
求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
53 1
6
8 s0
4
24
7
6
3
3
3
4
6
4
5
9
23
求最短路的一个例子(续)
1
2
2
7 12
35 1
8
76
3
6
s0
3
4 24
14
求最短路的Dijkstra算法
算法步骤：
图的连通性_离散数学─图论初步
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
通路（举例）
a
b
c
d
e
f
• 简单通路：a, d, c, f, e。 长度为4。 • 通路：a, b, e, d, a, b。 长度为5。 • 回路：b, c, f, e, b。长度为4。 • 不是通路：d, e, c, b。
路)
• u,v VD,均存在 (u,v)-有向通路和(v,u)-有向通路，则D
称为强连通有u向图。 (见下左u 图)
u
v
v
v
强连通的充分必要条件
• 有向图D是强连通的当且仅当D中的所有顶点在同
一个有向回路上。
– 证明： 显然 设VD={v1,v2,…,vn}，令 i是vi到vi+1的有向通路 (i=1,…,n-1)，令 n是vn到v1的有向通路，则 1，
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交的路径所连接。
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
通路（举例）
a
b
c
d
e
f
• 简单通路：a, d, c, f, e。 长度为4。 • 通路：a, b, e, d, a, b。 长度为5。 • 回路：b, c, f, e, b。长度为4。 • 不是通路：d, e, c, b。
路)
• u,v VD,均存在 (u,v)-有向通路和(v,u)-有向通路，则D
称为强连通有u向图。 (见下左u 图)
u
v
v
v
强连通的充分必要条件
• 有向图D是强连通的当且仅当D中的所有顶点在同
一个有向回路上。
– 证明： 显然 设VD={v1,v2,…,vn}，令 i是vi到vi+1的有向通路 (i=1,…,n-1)，令 n是vn到v1的有向通路，则 1，
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交的路径所连接。
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
离散数学图论路与连通PPT课件
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7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
离散数学14.2 通路、回路 + 14.3 图的连通性
13
定义14.15（短程线）设u，v为无向图G中任意两个 顶点，若uv，称u，v之间长度最短的通路为u，v之 间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记 作d(u,v)。当u，v不连通时，规定d(u,v)=∞。
例如：在完全图Kn（n2）中，任何两个顶点之间 的距离都是1；
而在零图Nn（n2）中，任何两个顶点之间的距离 都是∞。
5
例14.4 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解：
长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
6
例14.5无向完全图K3的顶点依次标定为a，b，c。在 同构意义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。
K3,3
22
例：
K3,3
K2,3
23
例：
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向图G是 二部图当且仅当G中无奇圈。
24
19
例：如下图
（1）Leabharlann （2）（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图。
（3）
20
强连通图和单向连通图的判别定理
定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的回路。
定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路。
（1）
（2）
图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
18
定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D=<V，E>中，如果D的基图是连通图，
则称D是弱连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u至少
定义14.15（短程线）设u，v为无向图G中任意两个 顶点，若uv，称u，v之间长度最短的通路为u，v之 间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记 作d(u,v)。当u，v不连通时，规定d(u,v)=∞。
例如：在完全图Kn（n2）中，任何两个顶点之间 的距离都是1；
而在零图Nn（n2）中，任何两个顶点之间的距离 都是∞。
5
例14.4 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解：
长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
6
例14.5无向完全图K3的顶点依次标定为a，b，c。在 同构意义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。
K3,3
22
例：
K3,3
K2,3
23
例：
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向图G是 二部图当且仅当G中无奇圈。
24
19
例：如下图
（1）Leabharlann （2）（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图。
（3）
20
强连通图和单向连通图的判别定理
定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的回路。
定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路。
（1）
（2）
图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
18
定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D=<V，E>中，如果D的基图是连通图，
则称D是弱连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u至少
离散第18讲 路径、回路及连通性
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拟路径及长度
定义：图G的顶点v1到顶点vl的拟路径是指以下顶点与边的序列： v1 , e1, v2, e2, v3, …, vl-1, el-1, vl v1 ,v2 ,v3 ,… ,vl-1 ,vl为G的顶点，e1 ,e2 ,… ,el-1 为G的边 ei( i= 1,2, … ,l-1 )以vi及vi+1为端点 对有向图G，ei以vi为起点，以vi+1为终点
证明：若G为不连通图或单一孤立结点的图，那么据定义知:
χ(G) = λ(G) = 0≤δ(G) 。 若G为完全图Kn，那么χ(G) = λ(G) = δ(G) = n – 1 。 对其它情况：先证λ(G) ≤δ(G)。 由于度数最小的那个结点上关联的所有边被删除后，G显然不 再连通，因而λ(G)至多是δ(G)，即λ(G) ≤δ(G)。
证明：充分性是显然的。 必要性：设顶点v是简单连通图G的割点，如果不存在两个 顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v，那么对任意两 个顶点v1，v2，都有一条通路不经过顶点v，因而删除顶点v 不能使G不连通，与v是简单连通图G的割点矛盾。故G中必 存在两个顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v 。
第18讲 路径、回路及连通性
-20-
边连通度
定义：λ(G)称为图G的边连通度，定义如下：
0
当G非连通图时
(G) 0
当G为一孤立结点时
min{ S : S为G的割集} 否则
v1
v4 v2
v5 v7
1 图的基础知识 2 路径、回路及连通性 3 欧拉图与哈密顿图 4 图的矩阵表示
《离散数学》第18讲 路径、回路及连通性 Page 112 to 117
拟路径及长度
定义：图G的顶点v1到顶点vl的拟路径是指以下顶点与边的序列： v1 , e1, v2, e2, v3, …, vl-1, el-1, vl v1 ,v2 ,v3 ,… ,vl-1 ,vl为G的顶点，e1 ,e2 ,… ,el-1 为G的边 ei( i= 1,2, … ,l-1 )以vi及vi+1为端点 对有向图G，ei以vi为起点，以vi+1为终点
证明：若G为不连通图或单一孤立结点的图，那么据定义知:
χ(G) = λ(G) = 0≤δ(G) 。 若G为完全图Kn，那么χ(G) = λ(G) = δ(G) = n – 1 。 对其它情况：先证λ(G) ≤δ(G)。 由于度数最小的那个结点上关联的所有边被删除后，G显然不 再连通，因而λ(G)至多是δ(G)，即λ(G) ≤δ(G)。
证明：充分性是显然的。 必要性：设顶点v是简单连通图G的割点，如果不存在两个 顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v，那么对任意两 个顶点v1，v2，都有一条通路不经过顶点v，因而删除顶点v 不能使G不连通，与v是简单连通图G的割点矛盾。故G中必 存在两个顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点v 。
第18讲 路径、回路及连通性
-20-
边连通度
定义：λ(G)称为图G的边连通度，定义如下：
0
当G非连通图时
(G) 0
当G为一孤立结点时
min{ S : S为G的割集} 否则
v1
v4 v2
v5 v7
图的连通性_离散数学─图论初步
( κ(G)=k： k-连通图，且存在k个顶点，删除它们就不连
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
u1 u5
u3 u4
v1 v5
v3 v4 v2
v3 v4
无向图的连通性
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
u1 u5
u3 u4
v1 v5
v3 v4 v2
v3 v4
无向图的连通性
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设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
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10
设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
即:A上模3等价关系的关系图为:
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11
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6
在两种意义下计算的圈个数
① 定义意义下
在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下
所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
反之不然。
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4
若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
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5
关于通路与回路的几点说明
表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
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3
3、基本通路：如果通路中各个顶点都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
4、基本回路：如果回路中各个顶点都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
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16
图的连通性的应用
在实际问题中, 除了考察一个图是否 连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。
图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
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17
点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
解 用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代 表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为： 在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？ 由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻 译，他们中间任何二人均可对话。
a d
b
c
f
g
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e
14
定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。
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8
二、图的连通性：
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。
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9
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
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18
例如”国际会议对话”任何一人请假，图G-v还 连通，小组对话仍可继续进行，但如果f、g二 人同时不在，G-{f，g}是分离图，则小组中的 对话无法再继续进行。
12
【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小
组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语； b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会 日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f 会日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
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13
条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。
当通路的终点和始点重合时，称为回路。
通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
PPT课件相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。
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7
定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
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15
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长
度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u)
d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
证明 用反证法来证明。
设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通 分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一 个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理 推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则 二顶点必连通。
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证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。
设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。
在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
0≤deg(v)≤n – q – 1,
因此deg(u) + deg(v)≤n – 2,
这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
7.2 通路、回路与图的连通性
简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 连通图, 连通分支 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点 边割集与割边(桥)
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1
一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点
开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二
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设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
即:A上模3等价关系的关系图为:
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6
在两种意义下计算的圈个数
① 定义意义下
在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下
所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
反之不然。
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若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
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关于通路与回路的几点说明
表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
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3、基本通路：如果通路中各个顶点都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
4、基本回路：如果回路中各个顶点都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
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图的连通性的应用
在实际问题中, 除了考察一个图是否 连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。
图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
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点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去 某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所 有的边均删去；删除边只需将该边删除
解 用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代 表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为： 在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？ 由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻 译，他们中间任何二人均可对话。
a d
b
c
f
g
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定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。
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二、图的连通性：
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。
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无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
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例如”国际会议对话”任何一人请假，图G-v还 连通，小组对话仍可继续进行，但如果f、g二 人同时不在，G-{f，g}是分离图，则小组中的 对话无法再继续进行。
12
【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小
组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语； b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会 日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f 会日语、俄语；g会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
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条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。
当通路的终点和始点重合时，称为回路。
通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
PPT课件相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。
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定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路， 则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单 回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
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短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长
度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u)
d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
证明 用反证法来证明。
设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通 分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一 个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理 推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则 二顶点必连通。
PPT课件
证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。
设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。
在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
0≤deg(v)≤n – q – 1,
因此deg(u) + deg(v)≤n – 2,
这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
7.2 通路、回路与图的连通性
简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 连通图, 连通分支 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点 边割集与割边(桥)
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1
一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点
开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二