11.3函数的幂级数展开

函数的幂级数展开

函数的幂级数展开幂级数具有良好性质。

如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂级数，将给理论研究和实际应用带来极大方便。

Taylor 级数由Taylor 公式，若函数f 在0x 的某个邻域上具有1+n 阶导数，那么在该邻域上成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= ，其中1000)1()()!1())(()(++-+-+=n n n x x n x x x f x r θ（10<<θ）为Lagrange 余项。

因此可以用多项式n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+ 来近似)(x f 。

自然会想到，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的精确度。

基于这种思想，若函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上任意阶可导，就可以构造幂级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f ，这一幂级数称为f 在0x 点的Taylor 级数，记为~)(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 。

称!)(0)(k x f a k k = （ ,2,1,0=k ）为f 在0x 点的Taylor 系数。

特别地，当00=x 时，常称∑∞=0)(!)0(n n n x n f 为f 的Maclaurin 级数。

假设函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上可表示成幂级数∑∞=-=00)()(n n n x x a x f ， ),(0r x O x ∈，即∑∞=-00)(n n n x x a 在该邻域上的和函数为f (x )。

根据幂级数的逐项可导性，f 必定在),(0r x O 上任意阶可导，且对一切∈k N +，成立∑∞=--+--=k n k n n k x x a k n n n x f )()1()1()(0)( 。

函数的幂级数展开式

函数的幂级数展开式幂级数展开式在数学和物理学等领域中非常重要，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。

幂级数是指形如∑(an)(x-a)^n的级数，其中an是常数系数，x是变量，a是展开点。

幂级数展开式可以认为是多项式的无穷级数，通过将无穷多项式项相加得到。

一个函数的幂级数展开式的一般形式为：f(x) = ∑(an)(x-a)^n其中，an是函数f(x)在展开点a处的n阶导数值除以n的阶乘，即：an = f^(n)(a) / n!这里，f^(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。

幂级数展开式的收敛性需要通过收敛半径来判断。

幂级数展开式在展开点a的收敛半径r为：r = 1 / lim sup⁡( ，an，^(1/n) )其中，lim sup⁡是上极限。

当，x-a，<r时，幂级数展开式收敛；当，x-a，>r时，幂级数展开式发散；当，x-a，=r时，幂级数展开式的收敛情况需要进一步判断。

幂级数展开式的收敛半径决定了展开式的适用范围。

当，x-a，<r时，可以通过前n项的有限求和来近似计算函数的值，对于其他点则需要通过对幂级数进行求和计算。

幂级数展开式的求解可以利用泰勒级数或母函数法等方法。

泰勒级数是一种特殊的幂级数展开形式，其中展开点a为0，并且每一项的系数an 与函数在展开点处的导数值相关。

幂级数展开式在许多函数中都有应用，例如指数函数、三角函数、对数函数等。

通过幂级数展开式，可以将这些函数在其中一点的展开为无穷项的级数，在一定范围内进行近似计算。

总之，函数的幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。

幂级数展开式步骤

幂级数展开式步骤幂级数是一种将一个函数表示为幂的无穷和的方法。

它在数学和物理中有广泛的应用，可以用来计算各种函数的近似值。

幂级数展开式的步骤可以分为以下几个方面：1.确定展开点：2.确定展开系数：展开系数是幂级数中每一项的系数。

它们的值取决于函数在展开点处的导数。

一般来说，展开的次数越高，需要计算的导数就越多。

3.写出幂级数展开式：根据泰勒公式或麦克劳林公式，将函数表示为一系列幂次项的和。

幂级数的一般形式为：f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。

4.确定展开范围：选取适当的展开范围使得幂级数能够在整个定义域上逼近原函数。

一般来说，展开范围是一个开区间，额外加上两个端点成为闭区间。

5.计算展开系数：计算展开系数需要用到函数在展开点处的导数。

对于泰勒公式，展开系数的计算公式为：cn = f^(n)(a)/n! ，其中f^(n)(a)表示函数在展开点处的n阶导数。

6.确定展开级数的收敛性：幂级数并不一定在整个定义域上都收敛，因此需要确定展开级数的收敛性范围。

一般来说，可以使用收敛判别法来确定幂级数的收敛性范围。

7.代入特定的x值计算近似值：将所得的幂级数展开式代入特定的x值，即可计算该x值下函数的近似值。

一般来说，展开级数的项数越多，近似值越接近真实值。

需要注意的是，幂级数展开是一种近似方法，其结果只在展开点附近有效。

在离展开点较远的位置，近似值的误差可能会较大。

此外，不是所有的函数都可以用幂级数展开，一些函数可能需要使用其他的级数展开方法。

在实际应用中，还需要关注展开级数的收敛情况和误差估计等问题。

函数的幂级数的展开与技巧

1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。

一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。

2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。

如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰，（积分型余项）如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。

如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。

下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002，显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ，由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。

它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。

将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。

一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$f(x)$是我们要展开的函数，$a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots$是常数系数。

$x$是独立变量。

这里的$x$可以是实数或复数。

当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。

这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。

以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。

麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots$是常数系数，可以通过导数求值来确定。

朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots$是常数系数。

通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数$f(x)$的常数系数。

具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。

\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，$f(a)$表示函数在展开点$a$处的值，$f'(a)$表示函数在展开点$a$处的一阶导数，$f''(a)$表示函数在展开点$a$处的二阶导数，依此类推。

函数的幂级数的展开与技巧

1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。

一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。

2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。

如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰，（积分型余项）如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。

如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。

下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002，显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ，由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。

幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞=-=0n nn a z c z f ，其中系数()()()()!211n a f d a f i c n n n =-=⎰Γ+ζζζπ.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯一.定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞-∞=-=n nna z c z f ，其中系数()()ζζζπd a f i c n n ⎰Γ+-=121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一.这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提.接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法.即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在40π=z 点处的泰勒展开式.解：用公式 ()()!0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==πc()2,24sec |tan 124==='=c z z ππ；();2!24,44tan 4sec 2|tan 224===="=c z z πππ ();38!316,164sec 4tan 4sec 22|'''tan 3424===⎪⎭⎫⎝⎛+==c z z ππππ 得 +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3243842421tan πππz z z z .例2 将()z z f sin =按z-1的幂展开.解：由题意可解得()()⎪⎭⎫⎝⎛+=12sin 1πk f n ⎪⎭⎫⎝⎛+=∴12sin !1πk n c n ()n n z n k z 1!12sin sin 0-⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∑∞=π. 2、间接法.即利用已知公式，通过各种运算、变换来简化求导的方法.下面给出一些主要函数的泰勒展开式：（1）∑∞==+++++=-02111n n nz z z z z ()1<z . （2）()n n z z z z 11112-+++-=+ =()∑∞=-01n n n z ()1<z .（3）∑∞==+++++=02!!!21n nn zn z n z z z e ()+∞<z .（4）()()∑∞=-=02!21cos n nn n z z ()+∞<z .（5）()()∑∞=++-=012!121sin n n n n z z ()+∞<z .（6）()()+-+-+-+=+-nzz z z i k z nn k 13213221ln π （1<z ；2,1,0±±=k ；k=0时为主值支）.（7）()()()()++--++-++=+n z n n z z z !11!21112ααααααα()1<z .2.1利用已知的展式.例3 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21i i i z 的展开式.解：因为i z +以i -和∞为支点，故其指定分支在1<z 内单值解析.i z +=211⎪⎭⎫ ⎝⎛+i z i =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+ 2!2121212211i z z i =⎪⎭⎫⎝⎛++-+ 2812121z z i i ()1<z .例4 求()z e z f z cos =在z=0点处的泰勒展式.解：因为z e z cos =()()()[]z i z i iz iz z e e e e e -+-+=+112121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=∴∑∑∞=∞=00!1!121cos n nn n n n z z n i z n i z e =()()[]n nn n n z i z i n --+∑∞=11!1210 ()+∞<z由于i +1=ie 42πi ei 421π-=-代入上式有()n i n i n n nzz e e n z e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∞=∑440!221cos ππ =()n n nz n n ∑∞=0!4cos 2π()+∞<z .2.2逐项求导、逐项求积法.例5 用逐项求导法求函数()311z -在1<z 内的泰勒展式.解：因为()311z -=()[]"--1121z ()1<z 所以用逐项求导法算得 ()311z -=()20012121-∞=∞=∑∑-="⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n z n n z =()()n n z n n 12210++∑∞= ()1<z .例6 求()11ln +-=z z z f 在z=0点的泰勒展开式，其中()z f 是含条件()i f π=0的那个单值解析分支.解：()1111111111ln ++-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='z z z z z z z z z f=()()[]n n n nn nn nz z z ∑∑∑∞=+∞=∞=--=---01111上式两端在1<z 内沿0到z 积分，得：()[]n n n z z dz z z i z z ∑⎰∞=+--='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-0101111ln 11ln π ()[]n n n z ni z z 11111ln10--+=+-∴+∞=∑π ()1<z . 2.3利用级数的乘除运算.例7 写出()z e z +1ln 的幂级数展式至含5z 项为止，其中()z +1ln 在0=z 点处的值为0.解：由题设条件可知 ()z +1ln 是主值支.又由 +++++=!!212n z z z e nz()+∞<z()()+-+-+-=+nzz z z z n n 1321ln 32 ()1<z 在公共收敛区域1<z 内作柯西乘积，得()z e z+1ln = ++++53240332z z z z ()1<z .例8 求z tan 在点0=z 的泰勒展式.分析：函数z tan 的奇点为z cos 的零点π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z k （ 2,1,0±±=k ）而距原点最近的奇点为20π=z 21π-=-z .故函数z tan 在2π<z 内解析，且能展为z 的幂级数.解： +-+-=753!71!51!31sin z z z z z +-+-=642!61!41!211cos z z z z可以像多项式按幂级数排列用直式做除法那样分离常数.将分子、分母的幂级数做直式相除，缺项用0 代替，得到+++==531523cos sin tan z z z z z z （2π<z ）. 2.4待定系数法.例9 设∑∞==--0211n nn z c z z ()1证明：()221≥+=--n c c c n n n . ()2求出展式的前5项. ()1 证明：利用待定系数法，有()() +++++--=n n z c z c z c c z z 2210211=()()() +--++--+-+--n n n n z c c c z c c c z c c c 212012010 比较两端同次幂的系数得0;;0;0;121012010=--=--=-=--n n n c c c c c c c c c21012010,,2,1,1--+==+====∴n n n c c c c c c c c c ()2≥n .()2解：1|11020=--==z z z c ()1121|11022021=--+='⎪⎭⎫⎝⎛--===z z z z z z z c 从而由()1依次得 211012=+=+=c c c ， 312213=+=+=c c c ，523234=+=+=c c c ，即+++++=--4322532111z z z z zz . 当然，对于幂级数的展开还有其它多种方法，在这里就不一一赘述了. 最后值得一提的是用间接法解题时应注意的问题.我们通常是用已知函数的泰勒展式进行代入简化，这时应注意这些展式成立的范围与题目条件是否相吻合；其次，也应注意是在题目要求的点进行展开，展开的点的不同，最后的结果也会不同.参考文献：[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.[3]李建林.《复变函数积分变换导教导学导考》.西安：西北工业大学出版社，2001.9.。

幂级数展开式常用公式 csdn

幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。

本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。

二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。

2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。

函数的幂级数展开

教案函数的幂级数展开复旦大学陈纪修金路1．教学内容函数的幂级数〔Taylor 级数〕展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。

通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。

2．指导思想〔1〕函数的幂级数〔Taylor 级数〕展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。

通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而无视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。

〔2〕求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式〔见下面的〔*〕式〕，但一般来说，直接利用〔*〕式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可无视的环节。

3. 教学安排首先回忆在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x ) 在x 0 的Taylor 级数：〔*〕 ).,(,)(!)()(0000)(r x O x x x n x f x f n n n ∈-=∑∞=另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n n n x!!3!2132n x x x x n++++=+ …, x ∈(-∞, +∞)。

(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn )!12()1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n+ …, x ∈(-∞, + ∞)。

函数的幂级数展开及一致收敛问题

一、函数的幂级数展开1、若f(x)能展开成幂级数，则展开的形式只能是：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=2、f(x)展开成幂级数要求f(x)在x0点附近任意阶可导3、f(x)在x0处任意阶可导，所得到的幂级数未必就是f(x)，如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(2/1x x e x f x4、若f(x)在x0附近具有n+1阶导数，则有n 阶Tailor 公式：10)1(000)()()!1()( ,)(!)()(++=-+=+-=∑n n n n nni i x x n fR R x x n x fx f ξ注：（1）推导上述公式（2）上述公式当n=0时，就是拉格朗日中值定理（3）公式表明：可导的函数f(x)可以用一个多项式来近似表示，其误差为|Rn| （4）若f(x)任意阶可导，Tailor 公式还可以一直写下去，得到的级数称为泰劳级数（总有Rn ）5、泰劳定理：任意阶可导的函数nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=的充要条件是0→n R证明：（充分性）由泰劳定理，有n n R x S x f +=)()(令n →∞，有0)(!)(lim )(lim )(000)(+-=+=∑∞=∞→∞→nn n n n n n x x n x fR x S x f(必要性) 由n n R x S x f +=)()(，即)()(x S x f R n n -=若)(lim )(!)()(000)(x S x x n x fx f n n nn n ∞→∞==-=∑，则nn n n n n n x x n x fx S x f R )(!)()(lim )(lim 000)(-=-=∑∞=∞→∞→注：（1）本定理表明给出了f(x)能展成幂级数的充要条件有两个： (i)可导 (ii)余项无穷小（2）当x0=0时，所得的级数称为马克劳林级数（更常用）（3）本定理也给出了将f(x)展开幂级数的方法： (i) 求f (n)(x) （若某个不存在，则终止） (ii) 写出幂级数(iii) 求出幂级数的收敛区间 (iv) 在收敛区间内，验证Rn →0(v) 写出完整的等式（在收敛区间内成立！！）举例: （1）e x （P219图）（2）sin x（3）(1+x )a （余项为0不好验证！！）另一验证方法：(i) 求出绝对收敛域f(x)=“二项式级数” （-1，1）(ii) 求f ’(x)(iii) 两端同乘(1+x)，并整理次序（因绝对收敛），其中，利用!)1()1(!)()1()!1()1()1(n n m m m n n m m n n m m +--=--+-+--(iv) 令g(x)=f(x)/(1+x)m ，验证g(0)=1，g ’(x)=0 (v) 进而证明f(x)=(1+x)m展成幂级数的间接展开法：举例：1、变量代换法2、恒等式（函数关系法）3、导数、积分关系法展成一般幂级数的方法：举例：1、将sinx 展成(x-π/4)的幂级数 2、将1/x 展成(x-1)的幂级数二、幂级数展开的应用1、近似计算： P224例1~52、Euler 公式：（1）nn zzn e∑∞==!1（2）yi y y n i y n iy n en n n n n n nn iysin cos )!12()1()!2()1()(!1120200+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+∞=∞=∞=∑∑∑（3）2sin ,2cosixixixixe ex e e x ---=+=（4）)sin (cos y i x e e e e x iy x iy x +==+4、将e xcos x 展成x 的幂级数：解：因为nnn xi xi xx i n e ex e⎪⎭⎫⎝⎛+===∑∞=++)4sin4(cos2!1ReRe Re cos 0)4sin4(cos2)1(ππππ()!4c o s24s i n 4c o s 2!Re!)1(Re2/0n xn n i n n xxn i nn n nnn n πππππ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=三、函数的一致收敛性例1 级数⎩⎨⎧=∈=+-++-+-+=-1,1)1,0[,0)()()()(1232x x xxx xx xx x f n n。

函数幂级数的展开和应用

函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1）其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件：定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ，有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4）则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间（拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<）所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合）例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值：（1）e ，使误差小于0.001；解在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞，则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑，故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。

七个常用幂级数展开式

七个常用幂级数展开式幂级数是数学中重要的一种概念，它给出的式子可以应用于多种情况，广泛地应用到数学中。

当在解决特定问题时，一般都可以把问题表达为一个函数，设f（x）为一个函数，它在区间[a,infty)上是绝对收敛的，且有可展开形式，则称这样的函数f（x）为幂级数函数。

关于幂级数，有许多常用的展开式，七个常用的幂级数展开式如下：1.指数函数展开式：指数函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖a_kx^k 〗，其中a_k是定值，x_k为x的次方数，k=0,1,2,...,n。

2.指数函数的减号展开式：指数函数的减号展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖(-1)^ka_kx^k 〗，其中a_k是定值，x_k 为x的次方数，k=0,1,2,...,n。

3.余弦函数展开式：余弦函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖b_kcos(kx) 〗，其中b_k是定值，cos(kx)表示余弦函数，k=0,1,2,...,n。

4.正弦函数展开式：正弦函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖c_ksin(kx) 〗，其中c_k是定值，sin(kx)表示正弦函数，k=0,1,2,...,n。

5.双曲函数展开式：双曲函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖d_kcosh(kx) 〗，其中d_k是定值，cosh(kx)表示双曲函数，k=0,1,2,...,n。

6.双曲函数的减号展开式：双曲函数的减号展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖(-1)^kd_kcosh(kx) 〗，其中d_k是定值，cosh(kx)表示双曲函数，k=0,1,2,...,n。

7.指数函数的双括号展开式：指数函数的双括号展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖e_k(2x)^k 〗，其中e_k是定值，(2x)^k为x的次方数，k=0,1,2,...,n。

这其中比较重要的展开式就是前三个，指数函数展开式、指数函数的减号展开式、余弦函数展开式。

函数的幂级数展开解读

的麦克劳林级数在其收敛域内的和函数是否一定
是 f ( x )呢？关于这个问题的结论是：
如果函数 f ( x ) 在含0的一个区间内有任意阶导数，则在此区间内，函数 f ( x ) 的麦克劳级数的和
lim Rn ( x ) 0. 函数为f ( x ) 的充要条件是 n
此时一定有
f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n!
f (0) 2 f ( n) (0) n f ( n1) ( x) n1 f ( x) f (0) f (0) x x x x 2! n! (n 1)!
此式称为函数 f ( x )的麦克劳林公式。 2 泰勒级数若函数 f ( x ) 在含 x0 的某个开区间 (a , b) 内有任
一、泰勒公式与泰勒级数
1 泰勒中值定理若函数 f ( x )在含 x0 的某个开区间 (a , b) 内有直到 n 1 阶的导数，则当 x在 (a , b) 内时，函数 f ( x )
可表示为 x x0 的一个 n 次多项式与一个余项之
和，即
( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) 2! n!
此式称为函数 f ( x ) 按 x x0的幂展开的 n 阶泰勒公
式，而 Rn ( x)的表达式称为拉格朗日型余项。当 n 0 时的泰勒公式为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
这就是曾学过的拉格朗日中值定理。在泰勒公式中，若取 x0 0，则在0与x之间 , 可记 x(0 1) ，从而泰勒公式成为如下简单的形式

函数的幂级数展开式及其应用

函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。

而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。

为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。

得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a 处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。

此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。

(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c 在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。

函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数e x2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开。

幂级数展开

所以：
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ = 1 + 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1)
由此我们得到：
10.5
函数的幂级数展开
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" 0 < ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ − 1 = 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1) < = 1 3 ( 2n + 1) 1 3 ( 2n + 1) 1 −
0 ≤θ ≤1
§2 简单函数的幂级数展开
上面讨论结果知，当 Rn ( x ) → 0 时函数可展开为幂级数，下面考虑基本初等函数之幂级数展开，函数的幂级数展开式也称为 Taylor 级数，函数在 x0 = 0 点的 Taylor 级数也称为 Maclaurin 级数。 1.
ex = ∑
1 n 1 x ， x0 = 0 ， R = +∞ ； Rn ( x ) = eθ x x n +1 ， 0 < θ < 1 ， n + 1 ! n ! ( ) n =0
2 2
+
1 3 ( 2n + 1) 1 1
4
+" =
( 2n + 1)
2
⎡ ⎤ 1 1 + + "⎥ ⎢1 + 2 4 3 ( 2n + 1) ⎢ ⎥ ⎣ ( 2n + 1) ( 2n + 1) ⎦ 1 = 12n ( n + 1) 1

常见的幂级数展开

常见的幂级数展开常见的幂级数展开是数学分析中常用的一种展开方法，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。

在本文中，我们将介绍几个常见的幂级数展开，包括泰勒展开、麦克劳林展开以及常见函数的幂级数展开。

一、泰勒展开泰勒展开是最常见的幂级数展开方法之一，它可以将一个函数在某个点附近展开成幂级数。

泰勒展开的公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\]其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f'(a)$、$f''(a)$等分别表示函数在$a$点的一阶、二阶导数。

二、麦克劳林展开麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊情况，它将一个函数在原点附近展开成幂级数。

麦克劳林展开的公式如下：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x ^3+\cdots\]麦克劳林展开将函数展开成了以$x$为自变量的幂级数，适用于一些特殊的函数展开。

三、常见函数的幂级数展开1. 指数函数的幂级数展开：指数函数的幂级数展开如下：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]这是一个非常常见的幂级数展开，它可以用来计算指数函数的近似值。

2. 正弦函数的幂级数展开：正弦函数的幂级数展开如下：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]这个展开式是非常有用的，可以用来计算正弦函数的近似值。

3. 余弦函数的幂级数展开：余弦函数的幂级数展开如下：\[\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]这个展开式也是非常有用的，可以用来计算余弦函数的近似值。

常用的幂级数展开式

常用的幂级数展开式幂级数展开式是数学中常用的一种表达式形式，它可以将一个函数表示为一系列幂函数的和的形式。

常用的幂级数展开式包括泰勒级数、麦克劳林级数和洛朗级数等。

泰勒级数是将一个可导函数展开成一系列无限次可导函数的和的形式。

其表达式为：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}$表示$f$的$n$阶导数，$a$是展开点。

泰勒级数具有很好的逼近性质，因为它是在展开点处的无限阶导数的展开。

麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情形，即展开点$a=0$的情况。

其表达式为：$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$洛朗级数是将一个函数在一个圆环内展开成带有负幂次的幂函数的和的形式。

其表达式为：$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n $$其中$z_0$是展开点，$a_n$是展开系数。

洛朗级数可以用于分析包括孤立奇点在内的复变函数的性质。

除了上述三种常用的幂级数展开式外，还有一些特殊的幂级数，如勒让德级数、傅立叶级数和庞加莱级数等。

这些级数在物理学、工程学、数学等领域中具有重要的应用。

在实际应用中，人们常常需要根据需要选择适当的幂级数展开式，并确定展开点和展开系数，以尽可能准确地描述函数的性质和行为。

例如，在微积分和物理学中，通过泰勒级数展开可以求得一个函数在某一点的导数和高阶导数，从而可以了解函数在该点的特征。

而在信号处理、图像处理等领域，则广泛应用傅里叶级数展开来描述信号的频域特性。

因此，深入理解各种幂级数展开式及其应用，对于数学和应用学科的学习都具有重要的意义。