平面与平面垂直
平面与平面垂直的判定定理(课件)
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
平面与平面垂直的性质
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥ 如果 ⊥β (1) α里的直线都和 垂直吗？ 里的直线都和β垂直吗 里的直线都和 垂直吗？ (2)什么情况下 里的直线和 垂直？ 什么情况下α里的直线和 垂直？ 什么情况下 里的直线和β垂直
思考3:对于三个平面α 思考3:对于三个平面α、β、γ， 3:对于三个平面 如果两个相交平面都垂直于另 α 如果α⊥γ β⊥γ， α⊥γ， 如果α⊥γ，β⊥γ， ∩ β = l ，那 一个平面， 一个平面，那么这两个平面的 么直线l与平面 的位置关系如何？ 与平面γ 么直线 与平面γ的位置关系如何？ 交线垂直于这个平面. 交线垂直于这个平面. 为什么？ 为什么？
b⊥l
b ⊂ α ⇒ a // α a ⊄α
求证： 求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行， 垂线平行，则这两个平面互相垂直
αb A B
a β
γ
如图，四棱锥P ABCD的底面是 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2， 侧面PAB PAB是 矩形，AB=2BC = 2 ，侧面PAB是 ， 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. PAB⊥底面 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. 证明：侧面PAB⊥侧面PBC PAB⊥侧面PBC； （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； 求侧棱PC与底面ABCD所成的角. PC与底面ABCD所成的角 （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
C
D' A’ B’
C’
思考:一般地， 思考:一般地， α ⊥ β , α ∩ β = CD AB ⊂ α , AB ⊥ CD ,垂足为B，那么直 垂足为B AB与平面 的位置关系如何？ 线AB与平面 β 的位置关系如何？ 为什么？ 为什么？
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
平面与平面垂直的定义
平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、认定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相横向。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果n个互相平行的.平面存有一个旋转轴一个平面，那么其余平面均横向这个平面。
平面与平面平行
必须就是“两条平行直线”，且都“平行于另一个平面”推断：如果一个平面内的两
条平行直线和另一个平面内的两条平行直线分别平行，那么这两个平面平行。
面面平行的另一判定定理：垂直于同一条直线的两个平面平行。
x0d直线a，b均在平面α内，且a∩b=a a∥β b∥β。
在同一平面内永不平行的两条直线，认定平行线的方法包含同位角成正比，两直线平行；内错角成正比，两直线平行；同旁内角优势互补，两直线平行。
面面垂直的基本定义与性质
面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。
当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。
本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。
一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。
二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。
设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。
也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。
3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。
设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。
4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。
5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。
设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。
6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。
由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。
总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。
本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。
对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。
平面与平面垂直的判定定理
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画二面角的大小？
②找基面的垂线 取AB的中点M，连结PM． P 由己知AB2 = AC2 + BC2，∴∠ACB是直角．
连结CM，∴AM = BM = CM，
∵PA = PB = PC，∴△PAM≌△PCM． A ∵PM⊥AM，∴PM⊥CM， ∴PM⊥平面ABC
N
C
M B
③作平面角 取AC的中点N，连结MN、PN．
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
练习
一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角， 其作法主要有：
(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一 点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂 线所成的角为二面角的平面角．
(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的 交线所成的角是二面角的平面角．
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
的平面角.
A
l
O
B
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
平面与平面垂直的性质
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进 一步想如何在γ内找到这两条相交直线； (2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想 如何找γ的垂线；
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进 一步想如何在γ内找到这两条相交直线；
2.3.4平面与平面垂直 的性质
［复习］ 1．二面角与二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
如何找γ的垂线；
a
m
n
证明：
α b cβ
γ
在作m b，在作n c(m 、n与a不重合)
m
，n
m // n
m
m //
n
又
＝a
m // m
a
a
一、两个平面垂直的性质定理
1.如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂 直 于 另 一 个 平 面.
a
b
c
α m.n β
证明：设 γ
P
于b， 于c,在内取点P（P不在b、c上） P作m b，n c
平面与平面垂直的性质定理课件
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
平面与平面垂直法向量关系
平面与平面垂直法向量关系平面与平面之间的垂直关系，哎呀，这可是个非常有趣的话题啊。
想象一下，你在一个热闹的咖啡馆里，坐在窗边，阳光透过玻璃洒在桌子上。
你喝着咖啡，手里拿着一根笔，突然灵光一现，想到了平面与平面之间的关系。
这就像是两个老朋友，面对面坐着，聊天的时候，总会有那么一个人稍微倾斜一下，另一边则会像个木头一样笔直。
这种倾斜和直立的感觉，就是我们今天要聊的“垂直法向量”。
咱们得明白啥叫“法向量”。
这就像是一个平面上升起的旗帜，标明这个平面向哪个方向“挺胸”，毫不畏惧。
你可以把它想象成一根指挥棒，指向天空，表明这个平面存在的意义。
而当两个平面相交时，它们的法向量就像两个舞者，在舞池中不断地转动、碰撞。
哎呀，真是热闹非凡。
这种碰撞的结果，就是它们互相垂直的关系。
当你发现一条法向量与另一平面法向量的点积为零时，恭喜你！这两个平面可算是“有缘千里来相会”了，彼此完全垂直。
说到这里，有朋友可能会问，为什么非得用法向量呢？法向量就像一个GPS，帮助我们找到最直接的路线。
就像是导航告诉你往左转，往右转，法向量告诉你这条线走得是不是笔直。
平面之间的关系可不是简单的相遇，里面有深意呢。
你看，法向量的存在，让我们能够更清晰地描绘出平面的性质和方向。
想想看，生活中有多少事物都是相互关联的，就像这些平面一样，彼此影响。
再说了，数学虽然有时候听起来像是在说外星话，但它其实很贴近我们的生活。
你在画图时，两个平面相交的地方可不就是你设计的关键部分吗？想象一下，你在做一幅漂亮的三维画，忽然发现某个地方的角度不对，怎么办？嘿，别慌，找找法向量，看看它们是不是垂直，问题就能迎刃而解。
就像调味料一样，缺了就不行，法向量让你的作品更立体，更有层次。
再来聊聊这些法向量的运算。
听上去挺复杂，但其实一点都不难。
就像做饭，切菜、调味、下锅，最后的成品才是关键。
法向量的运算也是一样。
咱们得明确每个平面的方程，然后用简单的数学运算，找出法向量。
平面与平面垂直的定义与判定
2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.1列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．32．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D．120°7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()A. 5 B．25C．3 5 D．459.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心.21..在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )A.MN ∥C 1D 1B.MN ⊥BC 1C.MN ⊥平面ACD 1D.MN ⊥平面ACC 122.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.23.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°24.直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ..平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线． 特征：线面垂直⇒面面垂直要点四：求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接PA ，则以PA ⊥a ．则线段PA 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．1．三棱锥S -ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ．求证：平面ABC ⊥平面SBC ．2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD ．3.．如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AC=BC ，D 是AB 的中点。
平面和平面垂直的判断
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例 1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所 在的平面，C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点， 求证：平面 PAC⊥平面 PBC. 证明 设⊙O 所在平面为 α，由已知条件，PA⊥α，BC 在 α 内， 所以 PA⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点，AB 是⊙O 的直径， 所以∠BCA 是直角，即 BC⊥AC.又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平 面内的两条相交直线．所以 BC⊥平面 PAC.又因为 BC 在平面 PBC 内，所以，平面 PAC⊥平面 PBC. 小结 证明面面垂直的方法有：面面垂直的定义和面面垂直的判 定定理，而本题二面角 A—PC—B 的平面角不好找，故用判定定 理，而用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找(作) 一条直线与另一个平面垂直．
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例 2 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB ＝4，AC＝BC＝3，D 为 AB 的中点． (1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离； (2)若 AB1⊥A1C，求二面角 A1－CD－C1 的平 面角的余弦值． 解 (1)由 AC＝BC，D 为 AB 的中点，得 CD⊥AB，又 CD⊥AA1， 故 CD⊥面 A1ABB1，所以 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD＝ BC2－BD2＝ 5. (2)如图，取 D1 为 A1B1 的中点，连接 DD1，则 DD1∥AA1∥CC1.
2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂 直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证 中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每 一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终 达到目的的．
平面与平面垂直的性质 课件
∴平面ABC⊥平面ADE，交线为AE，于是D点到平面 ABC的距离就是D点到直线AE的距离，又△ADE为Rt△， 故距离易求．
[解析] (1)∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC 又AD⊂平面ABD. ∴平面ABD⊥平面BDC.
[证明] 若a⊥AB则∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a⊥β 若a不垂直于AB，则在直线a上取一点C作CD⊥AB于点 D，所以CD⊥β，又b⊂β，∴CD⊥b， 又b⊥a，CD∩a＝c，∴b⊥α
[例6] 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD是斜边BC上 的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角．
∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″， ∵a′和a″同时过B且平行于b. ∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ.
[例3] 如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB， SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－ BD－C的大小．
[解析]
BSES＝ ＝BECC⇒SC⊥BE
BC⊂α
∴BD⊥BC，在Rt△BDC中，DC＝
＝ 13 ，
∴CD长为13cm.
[点评] 求线段CD的长可以通过Rt△BDC，也可以通 过 Rt△ACD. 一 般 求 线 段 的 长 度 问 题 ， 要 归 到 三 角 形 中 求 解．
[例2] 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l 求证：l⊥γ
[解析] 证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线 于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝ α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ， ∴l⊥γ.
平面与平面垂直判定
D’
C’
A’
B’
D
C
A
O B •平面与平面垂直判定
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
O B •平面与平面垂直判定
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
P
C
A
O
B
•平面与平面垂直判定
题1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直
P
→线面垂直
→面面垂直
C
A
O
B
•平面与平面垂直判定
练习1：
(1) 四个面的形状怎样？
(2) 有哪些直线与平面垂直？
(3) 任意两个平面所成的二面角的平面角
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B •平面与平面垂直判定
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角
l
•平面与平面垂直判定
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二 面角的棱