高中数学最新学案第3章第3课时一元二次不等式(2)(学生版)新人教A版必修5

合集下载

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法(第1课时)学案新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法（第1课时）学案新人教A 版必修5一、【学习目标】1、知识目标理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。

2、能力目标经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。

3、情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

二、【重点难点】1、重点一元二次不等式的解法.2、难点理解三个二次之间的关系.三、【学习新知】问题1：复习回顾：1．我们把，并且不等式，称为一元二次不等式．2．不等式30ax +>的解集是．3．若将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，则不等式化为．预习课本7876P P -,自主探究下列问题：问题2：尝试写出课本P76实例对应的不等式问题3：一元二次函数x x x f 5)(2-=和一元二次方程052=-x x 有什么关系？问题4：画出二次函数x x x f 5)(2-=的图象。

观察图象求解一元二次不等式052≤-x x 思路点拨：四、【合作探究】【活动一】：总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=无实根 20ax bx c ++>(0)a >的解集2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ 20ax bx c ++<(0)a >的解集 ∅思考：任意的一元二次不等式任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：c bx ax ++2> 0（a > 0）或c bx ax ++2< 0（a > 0）【活动二】：尝试用框图将求解一般一元二次不等式的过程表示出来．例1 求不等式24410x x -+>的解集．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．五、【达标自测】1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是（）A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩ C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩ D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，则关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为（）A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或3．已知集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，则U C A = ．4．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为．5．求下列不等式的解集（1）15442>x x - （2）04132>x -（3）01032>--x x （4）0)9(≥-x x（5）252042≤-x x （6）0)7)(3(≤--x x（7）04532≥-+-x x （8）1)32()1(+-≥-x x x x6．求下列函数的定义域（1）942+-=x x y （2）181222-+-=x x y7．已知集合}{016|2 -=x x A ，{}034|2>+-=x x x B ，求B A U六、【归纳总结】1.解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．2．在我们探究的过程中，主要运用了哪些策略和数学思想？。

高中数学第三章不等式32一元二次不等式的解法教案新人教A版必修5

（六）归纳小结，强化思想
设计意图：梳理本节课的知识点，总结一元二次不等式解法的步骤：“一化，二判，三求根，四画图，五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳，让学生掌握严谨的做题方法，知晓本节课的重难点．
（七）布置作业，拓展延伸
必做题：课本第80页习题A组1，2.
选做题：（1）若关于的一元二次方程有两个不相
2.教学重点、难点确定．
本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法．只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可．因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．
一元二次不等式及其解法
一、教学内容分析
1．本节课内容在整个教材中的地位和作用．
必修五第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法共有三个课时，本节课是第一课时，教学内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用．许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法．因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用.
建立数学模型：分析：设绿化带长为 m.
则依题意有 .
整理得 .
（设计意图：体现应用问题数学化，具体问题一般化．）
明确问题：如何求出满足不等式的的取值？
对于是个什么问题？如何解决？
（意图：1．让学生明确讨论的问题是一元二次不等式；
2．让学生自己说出一元二次不等式的定义及它的形式．）
（三）合作交流，探究新知
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．

高中数学第三章 3.2一元二次不等式及其解法(二)导学案新人教A版必修5

§3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0) {x |x< x 1或x>x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b2a }R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0) {x |x 1<x <x 2}∅∅2．节分是不等式的同解变形法则：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≤0g x ≠0；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －12≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D 解析x ＋5x －12≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2x －12x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0g －1＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，gx <0的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ，所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，g x <0的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解由题意可列不等式如下：⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2， ∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －1·－2＋x 2－2x ＋1>0，x －1·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .。

高中数学第3章3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A必修5.ppt

变式训练1 解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
解：(1)原不等式可化为 2x2－3x－2＜0， ∴(2x＋1)(x－2)＜0. 故原不等式的解集是{x|－12＜x＜2}． (2)原不等式可化为 2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为{x|x≤－12或 x≥1}．
考点二解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】解答本题通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．【解】方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
变式训练 2 已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为 {x|－12＜x＜13}，求 2x2＋bx＋a＜0 的解集．解：∵ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－12＜x＜13}， ∴－12，13是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根．
由根与系数的关系得－12＋13＝－ab －12×13＝2a
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象的开口方向向下．
知新盖能
一元二次不等式的解法一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；

高中数学第三章不等式一元二次不等式及其解法教案教师版1 新人教A版必修5

_________________________ _________________________
5.求下列不等式的解集：
① ② ③
④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧
集体研讨：
教学反思：
备注：
④ ⑤
活动6：通过本节课的学习，请同学们完成课本P87的框图。
课外活动：
1．不等式的解集是（）
A. { | } B.{ } C. D. { }
2．不等式的解集是（）
A B C D
3.不等式的整数解的集合为__________________
4.画出下列函数图象并完成下列空格
① ②
的解集为的解集为
天台育青中学集体备课专用纸
高一年级数学备课组
课题
一元二次不等式及其解法
第1课时总3课时
三维目标
1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
2．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式尝试设计求解的程序框图
重点难点
重点：一元二次不等式的解法及数形结合思想
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
3)写出下列各不等式的解集
① > _________________② _______________③ > _________________
活动3：完成下列表格
活动4：求下列不等式的解集：
（1）（2）（3）
你能从上述解题过程中归纳出求一元二次不等式解集的步骤吗？
活动5：求下列不等式的解集：
① ② ③
教过程设计
修改与补充
活动1：（1）一元二次方程的一般形式是：______________________( )
（2）何为一元二次不等式？（）

高中数学新人教A版必修5学案 3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)

3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)学习目标1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的解法.2.会解含参数的一元二次不等式.3.能应用一元二次不等式解决简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组解答下列各题:(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是.(2)若关于x的不等式x2+2x+m>0的解集为R,则实数m的取值范围是.(3)已知a<0,则关于x的不等式(x-a)(x+a)<0的解集为.(4)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},则a+b= .二、信息交流,揭示规律问题1:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系?问题2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些?三、运用规律,解决问题题组二:提高型题组【例1】已知关于x的不等式ax2+x+2>0.(1)若该不等式对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数t的值.【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到0.01km/h)四、变式训练,深化提高题组三:反馈型题组变式训练1:若不等式ax2+x+2>0对任意的x∈(-1,2)恒成立,求实数a的取值范围.变式训练2:若将例2中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解.五、反思小结,观点提炼问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组(1)0,4 {x|0<x<4}(2)(1,+∞)(3)(a,-a)(4)-1二、信息交流,揭示规律问题1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形.一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时,自变量的取值.也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自变量的取值集合,也就是函数图象在x轴上方的部分对应的横坐标的取值集合.一元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<x1或x>x2}时,可以得到a>0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式ax2+b x+c>0(a≠0)的解集为{x|x1<x<x2}时,可以得到a<0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.问题2:规律二:首先是二次项系数a的符号;其次是相应一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之,一元二次不等式的系数a,b,c决定了它的解集.因此,当系数a,b,c不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论.三、运用规律,解决问题题组二:提高型题组【例1】解:(1)由题意,得解得a>.(2)由题意,-1,t是关于x的方程ax2+x+2=0的两根,所以解得a=-1,t=2.【例2】解:不等式可化为a(x-1)<0,①当<1,即a>1时,不等式的解集为;②当=1,即a=1时,不等式的解集为⌀;③当>1,即0<a<1时,不等式的解集为.综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为.【例3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h,根据题意,我们得到x+x2>39.5.移项整理得:x2+9x-7110>0,显然Δ>0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94}.在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.四、变式训练,深化提高题组三:反馈型题组变式训练1:解:方法一:设f(x)=ax2+x+2,①当a≥0时,因为-1<x<2,所以x+2>0,故f(x)>0显然成立;②当a<0时,由二次函数图象知,只需即解得a≥-1,所以-1≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是a≥-1.方法二:①当x=0时,不等式ax2+x+2>0显然成立,此时a∈R;②当x≠0时,不等式ax2+x+2>0可以化为a>-2,令t=,则t∈(-∞,-1)∪.由题意,不等式a>-2t2-t在t∈(-∞,-1)∪时恒成立,所以,a≥-1.综上可知,实数a的取值范围是[-1,+∞).变式训练2:解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);②当a>0时,同例2;③当a<0时,因为<1,所以,不等式的解集为∪(1,+∞).综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪(1,+∞).五、反思小结,观点提炼问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想.。

人教A版高中数学必修五一元二次不等式及其解法教案新(3)

一元二次不等式的解法教学设计方案教学目标（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；（3）了解简单的分式不等式的解法；（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．教学重点：一元二次不等式的解法；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．教与学过程设计第一课时Ⅰ．设置情境问题：①解方程023=+x②作函数023=+=x y 的图像③解不等式023>+x【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？【回答】函数图像与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式023>+x 的解集为函数图像落在x 轴上方部分对应的横坐标。

能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。

扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。

利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？Ⅱ．探索与研究我们现在就结合不等式062>--x x 的求解来试一试。

（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出62--=x x y 的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。

）【答】方程062=--x x 的解集为{}32=-=x x x 或不等式062>--x x 的解集为{}32>-<x x x 或【置疑】哪位同学还能写出062<--x x 的解法？（请一程度差的同学回答）【答】不等式062>--x x 的解集为{}32<<-x x我们通过二次函数62--=x x y 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题062>--x x 的解集，还求出了062<--x x 的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

高中数学第三章不等式 3.2 一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5(2021年整理)

广东省梅州市高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省梅州市高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省梅州市高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5的全部内容。

§3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】1。

课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型:250-< (1)x x2。

讲授新课1)一元二次不等式的定义象250x x-<这样，只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式(1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。

2019-2020学年高中数学《3.3 一元二次不等式及解法(2)》学案新人教版必修5.doc

2019-2020学年高中数学《3.3 一元二次不等式及解法（2）》学案新人教版必修5 【学习目标】1.复习一元二次不等式的解法，加深理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集互相之间的关系；2.研究并掌握分式不等式、含参不等式的解法.预习案Ⅰ.复习前知复习上节课内容，填写下表注意：不等式的解集必须写成______________形式.Ⅱ.自主学习1.分式不等式0>--b x a x 和0<--bx a x 如何解？例：(1)解不等式 021>+-x x 解：原不等式等价于0)2)(1(>+-x x ，令0)2)(1(=+-x x ，得x 1=_____，x 2=_____，所以不等式解集为____________________(2)解不等式 021<+-x x 解：原不等式式等价于0)2)(1(<+-x x ，所以不等式解集为_______________________2.含参不等式的解法：例：解不等式 0))(1(>--a x x解：令0))(1(=--a x x 得 11=x ，a x =2，当1>a 时，不等式的解集为________________当1= a 时，不等式的解集为________________当1<a 时，不等式的解集为________________探究案【问题1】分式不等式0<--b x x a 的解集跟上面的例子比有什么变化？ 0≥--bx a x 的解集呢？如果不等号的右边是非零常数，应该怎么解？如：121<+-x x【问题2】解含有参数的不等式时，要确定分类的标准，对参数进行分类讨论.【问题3】恒成立问题：01)3(2<-+-x m mx 对于任意实数x 恒成立，求实数m 取值集合.解：当m ＝0时，原不等式化为 -3x -1< 0，对任意x 不恒成立；当m ≠0时，由二次函数图象知，01)3(2<-+-x m mx 即y<0，开口向_____，与x 轴交点情况_______，所以⎩⎨⎧++=∆0__4)3(0__2m m m ，解得____________. 综上，{m |__________}.【探究题】1.解不等式 1112≤-+x x2.解关于x 的不等式 22560x ax a -+>(0)a ≠3.若(m -2)x 2+2(m -2)x -4＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是Ⅲ.当堂检测1.解不等式（1）0262≤+--x x （2）19<-x x2.解关于x 的不等式0)1(2≥--+m x m x训练案1.已知}06|{2<--=x x x A ，}082|{2>-+=x x x B ，}0,034|{22><+-=a a ax x x C , 若C B A ⊆⋂，求实数a 的取值范围.2.若不等式m x x x x ≥++++122322对任意实数x 都成立，求自然数m 的值.（提示：考虑分母的正负，将分式变为整式）。

高中数学人教A版必修五第三章3.2.1一元二次不等式3教学设计

3.2.1 一元二次不等式及其解法3上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系以及解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和二次不等式解法与一元二次函数的关系以及一元二次不等式解法、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.又讲解了分式不等式和高次不等式的解法.本节课通过一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.教学重点1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.二、过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.教学过程导入新课师上节课我们已经知道，不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式.解分式不等式，切忌去分母.生板演：1.解不等式：-x 2+5x ＞6({x|2＜x ＜3}).2.解不等式：x 2-4x+4＞0({x|x ∈R,x ≠2}).3.解不等式：x 2+2x+3＜0(Δ=-8＜0,x ∈∅).4.解不等式：253＞+-x x （{x|-13＜x ＜-5}）. 师写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.推进新课师思考一下如何解下面这个不等式：解关于x 的不等式a (x-ab )＞b (x+ab ).生将原不等式展开，整理得(a -b )x ＞ab (a +b ).讨论：当a ＞b 时，b a b a ab x -+)(＞,∴x ∈(ba b a ab -+)(,+∞). 当a =b 时，若a =b ≥0时x ∈∅；若a =b ＜0时x ∈R.当a ＜b 时，b a b a ab x -+)(＜,∴x ∈(-∞, ba b a ab -+)(). 师【例1】解关于x 的不等式x 2-x-a (a -1)＞0.生原不等式可以化为(x+a -1)(x-a )＞0，若a ＞-(a -1),即a ＞21,则x ＞a 或a ＜1-a .∴x ∈(-∞,1-a )∪(a ,+∞).若a =-(a -1),即a =21,则(x-1[]2)2＞0.∴x ∈{x|x ≠21,x ∈R}. 若a ＜-(a -1),即a ＜21,则x ＜a 或x ＞1-a .∴x ∈(-∞,a )∪(1-a ,+∞). 师引申：解关于x 的不等式(x-x 2+12)(x+a )＜0.生 ①将二次项系数化“+”为(x 2-x-12)(x+a )＞0.②相应方程的根为-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：（ⅰ）当-a ＞4，即a ＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-3＜x ＜4或x ＞-a }. （ⅱ）当-3＜-a ＜4，即-4＜a ＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-3＜x ＜-a 或x ＞4}.（ⅲ）当-a ＜-3，即a ＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-a ＜x ＜-3或x ＞4}.（ⅳ）当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x ＞-3}.(ⅴ)当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x ＞4}.师变题：解关于x 的不等式2x 2+kx-k ≤0.师此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k 2+8k=k(k+8).(1)当Δ＞0,即k ＜-8或k ＞0时，方程2x 2+kx-k=0有两个不相等的实根.所以不等式2x 2+kx-k ≤0的解集是{x|4)8(4)8(++-≤≤+--k k k x k k k };(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x 2+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2x 2+kx-k ≤0的解集是{4k -}，即{0,2}；(3)当Δ＜0,即-8＜k ＜0时，方程2x 2+kx-k=0无实根，所以不等式2x 2+kx-k ≤0的解集为.练习解不等式：mx 2-2x+1＞0. 师本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m 与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m 与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴当m ＜0时,Δ＞0,此时m m x m m x --=-+=111121＜. ∴解集为{m m x m m x ---+=1111＜＜ }.当m ＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x ＜21},当0＜m ＜1时,Δ＞0，此时m m x m m x --=-+=111121＞, ∴解集为{m m x m m x x ---+=1111＜或＞}.当m ＝1时,不等式为(x-1)2＞0,∴其解集为{x|x ≠1};当m ＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R. 师小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.［教师精讲］对应的一元二次方程有实数根1-a 和a ,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好. ［知识拓展］【例2】关于x 的不等式a x 2+b x+c ＜0的解集为{x|x ＜-2或x＞21－}，求关于x 的不等式a x 2-b x+c ＞0的解集. 师由题设a ＜0且25-=-a b ，1=ac ，从而a x 2-b x+c ＞0可以变形为02＜a c x a b x +-，即x 2-25x+1＜0.∴21＜x ＜2.∴原不等式的解集为{x|21＜x ＜2}. 引申：已知关于x 的二次不等式a x 2+(a -1)x+a -1＜0的解集为R ，求a 的取值范围. 师原不等式的解集为R ，即对一切实数x 不等式都成立，故必然y=a x 2+(a -1)x+a -1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a ＜0且Δ＜0.生由题意知，要使原不等式的解集为R ，必须⎩⎨⎧∆,0,0＜＜a 即⇔⎩⎨⎧---0)1(4)1(02＜＜a a a a ⇔⎩⎨⎧--012302＞＜a a a 313110-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-＜＜或＞＜a a a a ∴a 的取值范围是a ∈(-∞,31-). 师本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a =0的情况，但对本题讲a =0时式子不恒成立.（想想为什么）师变题：若函数f(x)=kx 2-6kx+(k+8)的定义域为R ，求实数k的取值范围.显然k=0时满足.而k ＜0时不满足102)8(43602≤⇒⎩⎨⎧≤+-=∆k k k k k ＜＞.∴k 的取值范围是 [0,1]. 练习：不等式a x 2+b x+2＞0的解集为{x|-21＜x ＜31}，求a 、b .(⎩⎨⎧-=-=2,12b a )［教师精讲］解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以a x 2+b x+c ＞0为例）常与以下因素有关：（1）a ；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a 影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x 1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.［合作探究］【例3】若不等式13642222＜++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.生 ∵⇔++-+--⇔-++++⇔++++03643)3(220136422136422222222＞＜＜x x k x k x x x k kx x x x k kx x 2x 2-2(k-3)x+3-k ＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k ＞0对x 取任何实数均成立.∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0⇔k 2-4k+3＜0⇔1＜k ＜ 3.∴k 的取值范围是（1，3）. 师逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.【例4】当m 取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.解：设方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x 2.①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足： ⎪⎩⎪⎨⎧⇔+≥∆0002121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---≥---0450420)5(16)2(2＞＞m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+-52084202＞＜m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤521416＞＜或m m m m m ∈∅.∴此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能有两个正根.②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：⇔⎩⎨⎧∆0021＜＞x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧----0450)5(16)2(2＜＞m m m m ＜5.∴此时m 的取值范围是(-∞,5).③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------⇔⎪⎩⎪⎨⎧+∆0450420)5(16)2(0002121＜＞＞＜＞＞m m m m x x x x m ＜2.∴此时m 的取值范围是(-∞,2).④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+---≥∆0)1()1(0)1)(1(02121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-≥+-0460432084202＜＞m m m m m ∈∅.∴此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能两根都大于1.师说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习：1.关于x 的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是……（）A. (41-,+∞) B.(-∞, 41-)C. [41-，+∞）D.( 41-,0)∪(0,+∞)提示：由m ≠0且Δ＞0，得m ＜41-，∴选D. 答案：D2.若不等式a x 2+5x+b ＞0的解集为{x|31＜x ＜21}，则a 、b 的值分别是__________.提示：由⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•=+=+∆21312131002121x x x x a ＞＜⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-∆6165500a b a a ＞＜⎩⎨⎧-=-=.1,6b a 答案：-6，-13.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k 的取值范围.提示：由⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≥-+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≥∆0402016)]2(00022121＞＜［＞＜k k x x x x ⇔⎩⎨⎧-≥-≤226＜或k k k k ≤-6.师变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围.师解：要原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)1(22121＞＜x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--≤≤--≠1321121＜或＞＜或＞k k k o k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜1.k ＞2[]3或k ＜-1∴实数k 的取值范围是{k|-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}.练习：已知不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x-1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围.生若a 2-1=0，即a =1或a =-1时，原不等式的解集为R 和{x|x ＜21}；若a 2-1≠0，即a ≠±1时，要使原不等式的解集为R ，必须⇔⎩⎨⎧∆-0012＜＜a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-----0)1)(1(4)1(01222＜＜a a a -53＜a ＜ 1.∴实数a 的取值范围是(53-,1)∪{1}=(53-,1］.［方法引导］讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.课堂小结1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围；（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳整合，作出结论.3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风. 布置作业（1）已知不等式x 2+5x+m ＞0的解集为{x|x ＜-7或x ＞2}，求实数m 的值.(答案：m=-14)（2）已知关于x 的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x 都成立，求实数p 的范围.(由p ＜0且Δ＜0，得p ∈{p|-16＜p ＜0})(3)若y=a x 2+b x+c 经过(0，-6)点，且当-3≤x ≤1时，y ≤0，求实数a ,b ,c 的值.（答案：a =2,b =4,c =-6）(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围.解：要使原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)122121＞＜（x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--≤≤--≠13210121＜或＞＜或＞k k k k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜1.∴实数k 的取值范围是{k|-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}.板书设计。

高中数学 32 一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修5 学案

3.2 一元二次不等式及其解法（1）课前预习学案【知识准备】1．我们把，并且不等式，称为一元二次不等式． 2．不等式30ax +>的解集是．3．若将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，则不等式化为．【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式．2．探究方程的根与二次函数的零点的关系．3．探究不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法； 2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格0∆>0∆=0∆<二次函数 2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭20ax bx c ++<(0)a >的解集∅2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是（）A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，则关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为（）A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或 3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x x x =-+≥，则AB =（）A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且C ．{1, 2, 3, 4}D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．已知集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，则U C A = ． 5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为． 6．解下列不等式① (1)(3)52x x x --<-； ② 22(11)3(1)x x x +≥+)； ③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x ≤≤=或 5．{3}6．① {|24}x x x <>或；② 3{|1}2x x ≤≤；③ ∅3.2 一元二次不等式及其解法（2）课前预习学案【知识准备】1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c++>(0)a<进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．3．探究下面题目的解法例5设2{|430}A x x x=-+<，2{|280}B x x x a=-+-≤，且A B⊆，求a的取值范围．不等式250x x-<的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？2．解答应用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式20ax bx c++>(0)a>与20ax bx c++>(0)a<的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x=+．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）探究不等式250x x-<与二次函数25y x x=-的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．3．补充例5设2{|430}A x x x=-+<，2{|280}B x x x a=-+-≤，且A B⊆，求a的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．若不等式20ax x a++<（0a≠）无解，则实数a的取值范围是（）A．1122a a≤-≥或 B．12a< C．1122a-≤≤ D．12a≥2．关于x的不等式21mx mx m++<的解集为R，则实数m的取值范围是（） A．(, 0)-∞ B．4(, 0)(, )3-∞+∞C．(, 0]-∞ D．4(, 0](, )3-∞+∞3．(1998年上海高考题)设全集U=R，2{|560}A x x x=-->，{||5|}B x x a=-＜ (a是常数)，且11∈B，则（）A．()UC A B=R B．()UA C B=RC．()()U UC A C B=R D．A B=R4．若2()40f x ax ax=--<恒成立，则实数a的取值范围是．5．若210ax bx+-<的解集为{|12}x x<<－，则a=________，b=________．6．已知22()4422f x x ax a a=-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a的值．答案：1．D 2．C 3．D 4．(16, 0]-5．11,22ab==-6．15a a==。

高中数学第三章不等式一元二次不等式及其解法教案学生版2 新人教A版必修5

练习3：二次函数与轴恒有两个交点，求的取值范围。
探究3：不等式对任意都成立，求的取值范围。
课外练习：
1、不等式的解集是（）
A. B. C. D.
2、不等式的解集是，则等于（）
A. B.14 C. D.10
3、二次不等式的解集是全体实数的条件是（）
A. B. C. D.
4、解不等式组：
5、不等式的解集。
6、求下列函数定义域：
（1）（2）
7、已知集合
__一元二次不等式第2课时总3课时日期：2007.3.25
一、复习引入：练习1：解下列不等式：
（1）（2）（3）
练习2：求函数的定义域.
二、新课讲解
探究1：求不等式的解集.练习1：求不等式的解集.
练习2：的解集是，求的解集.
探究2：已知关于的不等式的解集是，求的解集。

(新)高中数学必第三章不等式3_2一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5

3.2一元二次不等式及其解法（1）教学目标：（一）知识与技能：1.理解二次函数、一元二次方程、与一元二次不等式的关系，掌握应用函数图象解一元二次不等式的方法；2培养数形结合、分类讨论、构造等思想方法，提升学生的抽象概括、逻辑思维能力.(二)过程与方法：通过二次函数、一元二次方程、与一元二次不等式的关系的探究，得到一元二次不等式的解法，培养学生的不同数学思想方法，提升数学知识的应用能力.（三）情感态度与价值观：培养学生的合作探究、自助探究能力，体会事物之间普遍联系辩证思想.教学重点：1.抽象出一元二次不等式模型；2.一元二次不等式的解法.教学难点：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集关系之间的理解.教学方法：启发、合作探究等教学过程:课题导入:复习引入1.y=ax2+bx+c(a>0) 与ax2+bx+c=0 （a>0）的关系2.观察y=x 2-5x 的图象，写出x 2-5x>0，x 2-5x<0的解集.(1).图象与x 轴交点的坐标为___________,该坐标与方程 x 2-x-6=0的解有什么关系：_________________________(2).当x 取 __________ 时，y=0？当x取 __________ 时，y>0 当x 取 __________ 时，(3).观察图象写出不等式x 2-5x>0 的解集为———————— 不等式x 2-5x<0 的解集为———————— 讲授新课1.一元二次不等式的定义型如250x x -<的不等式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.y 76 5 4 3 2 1 0 -1 -2 x y22000)ax bx c ax bx c ++>++<≠即：或（a2.一元二次不等式的解法探究：如何解下列一元二次不等式？0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax注：上表引导学生完成 3.例题讲解：例1 求不等式01442>+-x x 的解集.解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x 例2 解不等式0322>-+-x x .解：整理，得0322<+-x x .因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，221.0)2.0)ax bx c ax bx c ++>++>><（（a 0a 0所以不等式0322<+-x x的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 方法归纳：解一元二次不等式的步骤是： (1)化成标准形式:ax 2+bx+c>0(a>0)或ax 2+bx+c<0 (a>0) 即二次项系数化为正数. (2)判定Δ与0的关系:若Δ>0或Δ=0,则求ax 2+bx+c=0的实数根. (3)画出y=ax 2+bx+c(a>0)的图象(4)根据y=ax 2+bx+c(a>0)的图象写出不等式的解集. 课堂练习：课本P80练习课堂小结：知识点：1.一元二次不等式的概念2.一元二次不等式的解法本节主要数学思想： 1.数形结合思想 2.构造思想3.分类讨论思想课后作业：P80 习题3.2 A 组第1、2、3、4题教学反思：。

2017-2018学年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(2)学案新人教A版必修5

3.2 一元二次不等式及其解法（2）学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？答案等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．梳理一般的分式不等式的同解变形法则：(1)f x g x>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f x g x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f x g x；g x ；(3)f x g x ≥a ⇔f x －ag x g x≥0.知识点二一元二次不等式恒成立问题思考 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？答案 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2,3]上的图象恒在x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x －1>0的解集的子集．梳理一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .类型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1.解 (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32或x ≥4. 反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f x g x >0(<0)或fx gx ≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．跟踪训练1 解下列不等式．(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －x ＋，3x ＋1≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12， ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－12. 方法二原不等式可化为－x －x ＋x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－12. 类型二不等式恒成立问题例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 引申探究把例2(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围．解 f (x )＜－m ＋5，即mx 2－mx －1＜－m ＋5， m (x 2－x ＋1)－6＜0.设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34＞0.∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )＜0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)＜0，即3(x 2－x ＋1)－6＜0，x 2－x －1＜0，方程x 2－x －1＝0的两根为x ＝1±52， ∴x 2－x －1＜0的解集为区间⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4⇔m ≤－5.类型三一元二次不等式的应用例 3 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到1 km/h ，28 521≈168.882)解根据题意，得120x ＋1180x 2>39.5，移项整理，得x 2＋9x －7 110>0.显然Δ>0，x 2＋9x －7 110＝0有两个实数根，即x 1≈－88.94，x 2≈79.94.根据二次函数y ＝x 2＋9x －7 110的图象，得不等式的解集为{x |x <－88.94或x >79.94}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练3 在一个限速40 km/h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任．解由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01 >12， S 乙＝0.05x 乙＋0.005 >10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 D解析由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故生产者不亏本的最低产量是150台．3．不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞. 4．解下列不等式：(1)x －1x －2≥0；(2)2x －13－4x>1. 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －x －2，x －2≠0.解得x ≤1或x >2，∴原不等式的解集为{x |x ≤1或x >2}．(2)原不等式可改写为2x －14x －3＋1<0，即6x －44x －3<0， ∴(6x －4)(4x －3)<0，∴23<x <34， ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <34.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．40分钟课时作业一、选择题1．不等式x ＋5x －2≥2的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤3C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ＜1或1＜x ≤3D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ＜1或1＜x ≤3答案 D解析 x ＋5x －2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x －2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ＜1或1＜x ≤3.2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为() A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3答案 C解析由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3，∴m 的最大值为－3.3．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}答案 C解析当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1.∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．4．a ＞0，b ＞0，不等式－b ＜1x ＜a 的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－1b 或x ＞1aB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1a ＜x ＜1bC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－1a 或x ＞1bD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a答案 A解析原不等式即⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＞－b ，1x ＜a ，⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋1x ＞0，ax －1x ＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1b或x ＞0，x ＜0或x ＞1a ，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1b 或x ＞1a .5．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于() A ．M ∩N B ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )答案 D解析 x ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案为D.6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝x 2－3x ＋2>0，g －＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题7．不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－1,0]解析当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝4a 2＋4a a ＋，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]．8．若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0，又∵原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，∴(x ＋1)(x －4)>0，∴a ＝4.9．若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (－35，1] 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去． ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －2＋a 2－，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是(－35，1]． 10．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________．答案 (0,1]解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m －2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0.解得0＜m ≤1.三、解答题11．设函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m .(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )＜0恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)mx 2－mx －6＋m ＝m (x 2－x ＋1)－6，设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6，则由x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，所以g (m )在[－2,2]上递增，所以g (m )＜0等价于g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0.所以所求的x 的取值范围是－1＜x ＜2. (2)方法一因为f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，f x max ＝f ＝7m －6＜0 或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，f x max ＝f ＝m －6＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，f x ＝－6＜0，解得m ＜67. 方法二要使f (x )＝m (x 2－x ＋1)－6＜0在x ∈[1,3]上恒成立，则有m ＜6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．而当x ∈[1,3]时，设h (x )＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 ≥6⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋34＝67，所以m ＜67. 12．国家原计划以2 400元/t 的价格收购某种农产品m t ．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解 “税率降低x 个百分点”，即调节后税率为(8－x )%，“收购量能增加2x 个百分点”时，总收购量为m (1＋2x %)t ，总收购款为2 400m (1＋2x %)元，“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m ×8%×78%.设税率调低后的税收总收入为y 元，y ＝2 400m (1＋2x %)(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)，所以y ≥2 400m ×8%×78%，即－44≤x ≤2.又0<x ≤8，所以0<x ≤2.所以x 的取值范围是(0,2]．13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝2m ＋1<0，f －＝2>0，f ＝4m ＋2<0，f ＝6m ＋5>0.解得－56<m <－12. 综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.。

高中数学一元二次不等式(2)教案新人教版必修5

一元二次不等式
（2）
学习目标：理解解一元二次不等式的原理，掌握解一元二次不等式
的步骤，会对系数中的字母分类讨论.
学习过程：
一．含字母的不等式的解法讨论：
问题1：不等式（x —1）（x+1）>0的解集为____________________; 问题2：关于x 的不等式（x —a ）（x+1）>0的解集是什么呢？问题3.求解关于x 的不等式0a 2ax x 22>--
解法反思：____________________________________________________________________
二．由不等式的解求不等式中的字母系数的值或范围.
问题1：0a 2ax x x 22>--的不等式关于的解集为()()∞+⋃-∞-，，
12，求a 的值.
问题2：已知对于任意实数x ，不等式k 02kx 4x 2<--恒成立，求k 的取值范围.
问题3：记关于x 的不等式（x —a ）（x+1）<0的解集为P ，不等式x 2-2x 0≤的解集为Q ，
（1）若a=3，求Q P
解题反思:
思考题：
三．练习：
解下列关于x 的不等式
（1）为实数）（a 01ax x 2<++ （2）（ax —1）
（x-2）>0 (a>0)
(3) 0m m x 12m x 22<+++-）（
四．课时小结：。