高数下答案

第七章 微分方程习题7-11.B2.D3.C4.⑴是一阶微分方程；⑵不是微分方程；⑶是二阶微分方程；⑷是一阶微分方程.5.证明：由参数方程求导法则得：23d d 3dt d d 1d y y t y y x t t '===+ ①，将()33233131421t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+=+⎪⎪+⎩及①代入方程3330x y xy ''+-=恒成立，可得由参数方程()33233131421t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+=+⎪⎪+⎩所确定的函数(),y y x C =是方程3330x y xy ''+-=的解.6.解：由()sin cos y C x x ''=-+，得0y y ''+=，则()s i n c o s y C x x=+是方程0y y ''+=的解. 但不是通解，因为该二阶微分方程解中只有一个任意常数项.习题7-21.解：⑴()()()111111d d ln d ln ln ln ln ln ln ln y x C y C x y C x y y x y=+⇒=⇒=⎰⎰⎰ ln e Cx y Cx y ⇒=⇒=；⑵22323311d 5552y x x y x x x x x C ⎛⎫'=-⇒=-=-++ ⎪⎝⎭⎰； ⑶()()()2222221d d ln ln 1ln 1ln 11112y x y x C y x C y C x y x =+⇒+=++⇒+=+++⎰⎰；⑷2222221d d ln ln 1ln 1ln 11121y x C y x C y x C y y x x =+⇒-=-+⇒-=---⎰⎰ ()()2211y x C ⇒--=.习题7-31.解：由d d y yx x =①当0x >时，d d y y x x =，令y u x =，则1d arcsin ln u x C u x C x =-+⇒=-+⎰因此()()sin ln sin ln u C x y x C x =-⇒=-；②当0x <时，d d y y x x =+，同理可得()()sin ln y x C x =+-； ③当0x =时，0y =. 2.解：令y u x =，则原方程化为()1111d d lne e ln 1Cx Cx u x C u y x u u x++=+⇒=⇒=-⎰⎰.习题7-41.解：⑴令()()1,1P x Q x x==，则由通解公式得 ()()()d d 211e e d 2P x x P x x y Q x x C C x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. ⑵令()()22224,11x x P x Q x x x ==++，则由通解公式得 ()()()d d 3214e e d 13P x x P x x y Q x x C C x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰. ③原方程化为d 31d 2x x y y y -=-，令()()31,2P y Q y y y =-=-，则由通解公式得 ()()()d d 31e e d 2P y y P y y x Q y y C y C y -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. ④令()()11,e x P x Q x x x==，则由通解公式得 ()()()()d d 1e e d e P x x P x x x y Q x x C C x-⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰ 由()1e y =，得特解1e xy x=. 2.解：设所求曲线方程为()y y x =，由已知得()ln 1ln ln e 1x y xy y x x x x y +⎧'==+⎪⎨⎪=⎩，由通解公式得()lnln y x C x =+，代入()e 1y =得1e C =，由此得曲线方程为1ln ln e y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.3.解：⑴方程为211cos sin y x x y y '+=-，令1z y =，则21z y y''=-，原方程化为 sin cos z z x x '-=-由通解公式得e sin xz C x =-，由此得()e sin 1x y C x -=.⑵方程为11222y y y x x -'+=，令12z y =，则1212z y y -''=，原方程化为12x z z x '+=，由通解公式得3116z C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此得122116C y x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.⑶方程为431ln 3y y y x x--'-=，令3z y -=，则43z y y -''=-，原方程化为 13ln z z x x'+=-由通解公式得22111ln 24z C x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此得311ln 124C y x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ⑷方程为213y y xy x --'-=，令1z y -=，则2z y y -''=-，原方程化为3z xz x '+=-， 由通解公式得2321e3x z C -=-，由此得2321e 13x y C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.习题7-51.2121e2xy C C x =+-. 解析：设20y y '''-=的通解为h y .特征方程：220λλ-=，特征根：120,2λλ==，由此得212e x h y C C =+；再设非齐次方程的一个特解p y Ax =，代入方程可得12p y x =-.于是非齐次方程的通解为2121e 2xy C C x =+-.2.12cos2sin 23y C x C x =++.解析：设40y y ''+=的通解为h y .特征方程：240λ+=，特征根：1,22i λ=±，由此得12cos2sin 2h y C x C x =+；再设非齐次方程的一个特解p y A =，代入方程可得3p y =.于是非齐次方程的通解为12cos2sin 23y C x C x =++.3.解：⑴2222112ln d ln d ln d ln 2y x x x x x x x x x x x x C '===-=-+⎰⎰⎰2233323111111111ln d ln d ln d 236336y x x x C x x x x C x x x x x x C x ⎛⎫=-+=-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰331215ln 318x x x C x C =-++； ⑵令p y '=，则y p '''=，代入原方程得：1p p x x'-=，由一阶线性微分方程通解公式得， 21p x C x =+，由此的通解：()23211211d 32y x C x x x C x C =+=++⎰.4.解：令p y '=，则d d p y p y ''=，代入方程得初值问题：()d d 12pp y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则3421d 2pyp p y p y =⇒=⎰⎰由此，47331d 2d 31430yxy y x y x =⇒--=⎰⎰.习题7-61.解：设方程2220x y xy y '''-+=的另一个与1y x =线性无关的特解为()2y u x x =，得()()y u x xu x ''=+，()()2y xu x u x '''''=+代入方程得，()()3220x u x u x x y x ''=⇒=⇒=由此2220x y xy y '''-+=的通解2112212h y C y C y C x C x =+=+设23222x y xy y x '''-+=的一个特解3p y kx =，代入方程得3p y x =，则所求通解为：2312p y C x C x x =++.习题7-71.解：⑴特征方程：2220λλ-+=，特征根：1,21i λ=±，则通解为：()12e cos sin x y C x C x =+.⑵特征方程：2620λλ-+=，特征根：1,23λ=((3312eexxy C C =+.⑶特征方程：32460λλλ-++=，特征根：1231,2,3λλλ=-==，则通解为：23123e e e x x x y C C C -=++.⑷特征方程：2420250λλ-+=，特征根：1252λλ==，则通解为：()5212e t x C C x =+.2.解：⑴特征方程：2430λλ-+=，特征根：121,3λλ==，则通解为：312e e x x y C C =+，312e 3e x xy C C '=+，代入初始条件得121122643102C C C C C C +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，即得特解为： 34e 2e x x y =+.⑵特征方程：2250λ+=，特征根：1,25i λ=±，则通解为：12cos5sin5y C x C x =+，125sin55cos5y C x C x '=-+，代入初始条件得112222551C C C C ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，即得特解为： 2cos5sin5y x x =+.习题7-81.A2.A3.B4.B5.D6.D7.解：⑴特征方程：210250λλ++=，得特征根：125λλ==-，则对应齐次方程10250y y y '''++=的通解为：()512exh y C C x -=+，设原方程的一个特解25exp y Ax -=，将()2552e ,x p y Ax Ax -'=-+()2525202e x p y Ax Ax A -''=-+代入方程510252exy y y -'''++=，得1A =，则特解25exp y x -=，通解()2512e x h p y y y C C x x -=+=++.⑵特征方程：240λ+=，得特征根：1,22i λ=±，则对应齐次方程40y y ''+=的通解为：12cos2sin 2h y C x C x =+，设原方程的一个特解()cos2sin2p y x A x B x =+，将()()2cos 22sin 2,p y A Bx x B Ax x '=++-()()44cos 244sin 2p y B Ax x A Bx x ''=-+--代入方程44sin 2y y x ''+=-，得1,0A B ==，则特解cos2p y x x =，通解12cos2sin 2cos2h p y y y C x C x x x =+=++.⑶特征方程：2690λλ-+=，得特征根：123λλ==，则对应齐次方程690y y y '''-+=的通解为：()312e x h y C C x =+，设原方程的一个特解()e cos sin x p y A x B x =+，将()()[]e cos sin ,e 2cos 2sin x x p p y A B x B A x y B x A x '''=++-=-⎡⎤⎣⎦代入方程69e sin x y y y x '''-+=，得43,2525A B ==，则特解43e cos sin 2525x p y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，通解()31243e e cos sin 2525x x h p y y y C C x x x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭.⑷特征方程：2250λλ++=，得特征根：1,212i λ=-±，则对应齐次方程250y y y '''++=的通解为：()12e cos2sin 2x h y C x C x -=+，设原方程的一个特解()e cos2sin 2x p y x A x B x -=+，将()()e 2cos 22sin 2,x p y Bx Ax A x Ax Bx B x -'=-++--+⎡⎤⎣⎦()()e3442cos 23422sin 2xp y Ax Bx B A x Bx Ax A B x -''=--+-+-+--⎡⎤⎣⎦代入方程25e cos2xy y y x -'''++=，得10,4A B ==，则特解1e sin 24xp y x x -=，通解 ()121e cos 2sin 2e sin 24x x h p y y y C x C x x x --=+=++.⑸方程可变形为：114cos 222y y x x x ''+=-.特征方程：240λ+=，得特征根：1,22i λ=±，则对应齐次方程40y y ''+=的通解为：12cos2sin 2h y C x C x =+.由原方程得两个微分方程：①142y y x ''+=，②14cos 22y y x x ''+=-. 对方程①：设此方程的一个特解1p y Ax B =+，将1,p y A '=10p y ''=代入方程142y y x ''+=，得1,08A B ==，则特解118p y x =.对方程②：设此方程的一个特解()()2cos 2sin 2p y x Cx D x Ex F x =+++⎡⎤⎣⎦，将()()222222cos 2222sin 2,p y Ex Cx Fx D x Cx Dx E F x '=++++-+++()()22244842cos 24442sin 2p y Cx Dx Ex F C x Ex Fx D E x ''=-+++++-+++代入方程14cos 22y y x x ''+=-，得110,,168C FDE ====-，则特解 211cos 2sin 2168p y x x x x =-通解1212111cos 2sin 2cos 2sin 28168h p p y y y y C x C x x x x x x =++=+++-.⑹特征方程：210λ-=，得特征根：121,1λλ=-=，则对应齐次方程0y y ''-=的通解为：12e e x x h y C C -=+，设原方程的一个特解()e x p y x Ax B =+，将()()()22e 2,e 422x x p p y Ax B A x B y Ax B A x A B '''⎡⎤⎡⎤=+++=++++⎣⎦⎣⎦代入方程4e x y y x ''-=，得1,1A B ==-，则特解()1e xp y x x =-，通解()212e e e x x x h p y y y C C x x -=+=++-.综合题七1.C2.A3.A4.B5.C6.B7.C习题8-11.()4,5,3-.2.()0,0,2.3.略4.解：设船对水的速度为1v ，船对地的速度()20,8v = ，地对水的速度()36,0v =-，则()1236,8v v v =+=-由此，划速为110km /h v =.5.解：设xOy 面第一象限角分线上的点(),,0,0M x x x >，由此得MA MB =，则2x =，所求点为()2,2,0.习题8-21.B2.C3.2.解析：由 ()cos ,a b a b a b ⋅= ，得 ()cos ,2a b = ， ()sin ,2a b =，由此()sin ,2a b a b a b ⨯==.4..解析：{}{}4,2,2,5,0,1AB AC =-=-，则{}4222,14,10501i jkAB AC ⨯=-=- ，由此得12ABC S AB AC ∆=⨯=5..解析：{}2111,7,5123i j ka b ⨯=-=-，则S a b =⨯=解析：{}{}459,3,9,5611,4,11a b a b +=+=，则()(){}45569393,0,311411i j ka b a b +⨯+==-由此得()()4556a b a b +⨯+=7.2.解析：由 ()()cos ,sin ,a b a b a b a b a b a b⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，得2b = . 8.解：设所求向量为{}0,,b y z =，由已知得10430a b y z =⋅=-+=⎪⎩，则68y z =⎧⎨=⎩或68y z =-⎧⎨=-⎩，所求点为()0,6,8或()0,6,8--.9.证明：()()()()()()0a a b c a c b a c a b a c a b ⎡⎤⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦，则a 与()()a b c a c b ⋅-⋅ 垂直.10.解：由0a b c ++= ，得a b c +=-，则()()22221212a bca b a b a b +=-⇒++⋅=⇒⋅=-由此，()21322a b b c c a a b c a b c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=--=- .11.解：由 ()cos ,5a b a b a b ⋅==-，224,25a b == ，及0A B ⋅= ，得()()()22173317510a b a b a b a b λλλ+⋅-=-+-+⋅=则40λ=.12.解：{}(){}1101,1,6,11627,3,4331043i j ki j kA B A B C ⨯==--⨯⨯=--=---{}(){}3315,9,12,11012,12,40435912i j k i j kB C A B C ⨯=-=⨯⨯==--13.解：由{}1033,3,1013i j kOA OB ⨯==--，则12OAB S OA OB ∆=⨯=习题8-31.B2.A3.B4.D5.双叶抛物面6.解：设动点为(),,M x y z ，由已知得MA MB =，则()()()()()()222222231456x y z x y z -+++-=++-+-即121610630x y z --+=.7.解：由2222420x y z x y z ++--+=，得()()()2221216x y z -+-++=，为球面. 8.解：略.9.解：xOy 面上的曲线221x y =+绕x 旋转而成.习题8-41.C2.D3.B4.D5.略6.略7.略8.略9.略习题8-51.B2.10y z +-=解析：设平面方程为0By Cz D ++=，由点()()3,1,2,0,1,0P Q -在平面上，有200B C D B D -++=⎧⎨+=⎩得,B D C D =-=-，于是得所求平面方程为10y z +-=.3.32解析：由点到平面距离公式得32d ==. 4.1解析：由已知两个平面平行，则由平行平面间距离公式得1d ==.5.14解析：平面21x y kz +-=的法向量{}11,2,n k =- ，平面3y z -=的法向量{}20,1,1n =-，由两平面夹角公式得1212cos 4n n n n π⋅=，由此求得14k =.6.0x y z -+=解析：所求平面法向量12123011i j kn s s i j k =⨯=--=-+---，则得平面的点法式方程为()()()1210x y z --+---=即0x y z -+=.7.解：⑴设平面0x y +=的法向量{}11,1,0n = ，平面50y z +=的法向量{}20,5,1n =，则所求平面法向量121105051i j kn n n i j k =⨯==-+，则得平面的点法式方程为()()()12510x y z ---+-=即540x y z -+-=.⑵由所求平面过y 轴，则设其方程为0Ax Cz D ++=.由点()()1,5,1,3,2,1P Q --在平面上，则有030A C D A C D ++=⎧⎨-+=⎩，得,2A C D C ==-，由此得所求平面方程20Cx Cz C +-=即20x z +-=.⑶设所求平面方程为0Ax By Cz D +++=，有点()()()0,1,2,1,1,1,2,0,1在平面上，则有20020B C D A B C D A C D ++=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，得,,3A C B C D C ===-，由此得所求平面方程 30Cx Cy Cz C ++-=即30x y z ++-=.⑷由所求平面过z 轴，则设其方程为0Ax By +=，其法向量{}1,,0n A B =，平面20x y +=的法向量{22,1,n = ，由平面夹角公式1212cos 3n n n n π⋅==，得3A B =或3A B =-，由此得所求平面方程30x y +=或30x y -=.8.解：设所求平面的截距式方程为1x y za b c++=，由平面过点()()0,4,3,6,4,3M N --及截距和为零可得04316431a b c b ca b c ⎧⎪++=⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，由此369a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩或321a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z++=-- 即632180x y z +--=或23660x y z ---=.9.解：由所求平面π与平面1:26380x y z π++-=，可设平面π的方程为2630x y z D +++=.由此得平面π与三个坐标轴的交点,0,0,0,,0,0,0,263D D D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而,,0,,0,2623D D D D AB AC ⎧⎫⎧⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭22202618612023ij kD D D D D AB AC i j k D D ⨯=-=++-得2736D AB AC ⨯= ，则三角形面积21772728ABC D S AB AC ∆=⨯==，从而3D =±，则所求平面方程为26330x y z +++=或26330x y z ++-=.10.解：所求平面的法向量{}3,6,2n OP ==-，由点()3,6,2P -所求平面上，得平面的点法式方程()()()3366220x y z --++-=即362490x y z -+-=.习题8-61.C解析：直线l 的方向向量{}2,7,3l =-- ，平面π的法向量{}4,2,1n =--，由此n 与l 既不平行也不垂直，可得直线与平面相交.2.C解析：直线1l 的方向向量{}11,1,1l =- ，直线2l 的方向向量{}21,1,0l =-，由此120l l ⋅= 得12l l ⊥ ，即得12l l ⊥. 3.1-解析：由直线在平面内，直线上的点(),0,1a -在平面3431x y az a +-=-上，得1a =-. 4.平行解析：直线43223x ty t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩的方向向量{}11,2,3l =- ，且点()4,3,2A -在此直线上；又直线321456x t y t z t =-+⎧⎪=--⎨⎪=+⎩的方向向量{}22,4,6l =- ，可得12//l l 且点A 不在直线321456x ty t z t =-+⎧⎪=--⎨⎪=+⎩上，则得两直线平行.5.解：平面0x y z +-=的法向量{}11,1,1n =- ，平面0x y z -+=的法向量{}21,1,1n =- ，则直线的方向向量1211122111i j kl n n j k =⨯=-=--- ；在直线00x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩上任取点()0,0,0，由此得直线的标准方程022x y z==-- 参数方程022x y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩. 6.解：⑴直线338325x y z ++-==-的方向向量{}3,2,5l =- ，由所求直线与之平行，故其方向向量为{}3,2,5l =-，且过点()1,2,8，可得直线的标准方程128325x y z ---==-. ⑵平面10x y z +++=的法向量{}1,1,1n =，与所求直线垂直，故可得所求直线的方向向量{}1,1,1l =，且直线过点()1,2,8，可得直线的标准方程128x y z -=-=-.⑶平面21x z +=的法向量{}11,0,2n =，平面22y z -=的法向量{}0,1,2-，由所求直线与两平面都平行可得直线的方向向量1210222012i j kl n n i j k =⨯==-++-，由点()1,2,8在所求直线上，可得直线的标准方程12822x y z --==--. ⑷由点()01,2,3M --在所求直线上，故设所求直线l 为123x aty bt z ct =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩，其方向向量为{},,l a b c = .由直线l 与{}6,2,3a =--垂直，则有6230l a a b c ⋅=--=①由直线123x a ty b t z c t=-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩与直线1l ：113325x y z -+-==-相交，则存在唯一实数0t ，使得点()0001,2,3at bt ct -++-+在直线1l 上，即000112133325at bt ct -+-++-+-==- ②由①式及②式可得22,3c b a b =-=-，即得直线方程为122336x t y t z t =--⎧⎪=+⎨⎪=--⎩. 7.解：平面27y x =-的法向量{}12,1,0n =- ，平面25z x =-的法向量{}22,0,1n =-，则直线2725y x z x =-⎧⎨=-⎩的方向向量1221022201i j kl n n i j k =⨯=-=++- ，平面3z x =的法向量{}3,0,1n =-，由直线与平面夹角公式得sin l n l nϕ⋅==由27253y x z x z x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，得交点为()5,17,15---. 8.解：直线4526x y z m n p--==-+的方向向量{}2,,6l m n p =-+ ，xOy 平面的法向量{}10,0,1n = ，yOz 平面的法向量{}21,0,0n =，则由直线与xOy 平面及yOz 平面都平行，可知126020l n p l n m ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩则可得：2,6,0m p n ==-≠.9.解：（一）设过点()3,1,2P -与直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直相交的直线为312x aty bt z ct=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.其中直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的方向向量{}10,3,3l = ，直线312x aty bt z ct=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩的方向向量{}2,,l a b c = ，由二者垂直可得120l l b c ⋅=+=①由二者相交可得()()()()()()00000031310231340at bt ct at bt ct ++-+-++=⎧⎪⎨+--+++-=⎪⎩ ②由①式及②式可得014,,2a cbc t c ==-=-令1c =，于是得直线3412x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=+⎩及交点坐标为131,,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此得点()3,1,2P -到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为PQ ==（二）过点()3,1,2P -与直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程为()()()0331320x y z -+++-=即10y z +-=直线与平面的交点1010240y z x y z x y z +-=⎧⎪+-+=⎨⎪-+-=⎩，即131,,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此得点()3,1,2P -到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为PQ ==10.解：直线1712:1z y l x --==-（其中72z =）的方向向量{}11,1,0l =- ，直线21:122x z l y +=-=的方向向量{}22,1,2l =，由所求直线与直线1l ，直线2l 垂直，则可得所求直线的方向向量12110223212i j kl l l i j k =⨯=-=--+可设所求直线000:223x x y y z z l ---==--，点()0000,,M x y z 在直线上. 又直线1712:10z y l x --==-上有点170,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线21:122x z l y +=-=上有点()21,1,0M -.由已知直线l 与直线1l 相交，则可得101,,M M l l共面，即007121100223x y z ---=-- ①同理，直线l 与直线2l 相交，则有202,,M M l l共面，即000112120223x y z +-=-- ② 不妨令072z =及①，②式可得000,1x y ==.由此的所求直线方程为 712223z x y --==--. 11.解：平面:670Ax By z π++-=的法向量{},,6n A B = ，直线151:243x y z l -++==-的方向向量{}2,4,3l =- ，由平面π与直线l 垂直，则//n l ，即有6243A B ==-，得 4,8A B ==-.综合题八1.C2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.B习题9-11.A解析：令cos ,sin x y ρθρθ==，得()(2,0,0lim0x y ρ→→==，则有()((),0,0lim0,0x y f →=.2.C解析：令y kx =，则()()222222222222,0,00222l im l im 1x y x x y x k x k x y x k x k→→+++==+++，即该点处的极限与路径有关，则可得该点处极限不存在.3.解：⑴(),0,0,11y x y x y x x ⎧⎫+>≠-≤≤⎨⎬⎩⎭； ⑵(){,0,x y y x ≥≥.4.解：()()(),2,0sin lim0x y xy x →=，()()()()()(),0,2,0,2sin sin lim lim 2x y x y xy xy y x xy→→==5.证明：令2y kx =，得()()()()44242224,0,0,0,0limlim1x y x y x y kx kkx y x k x →→==+++，即该点处的极限与路径有关，则可得该点处极限不存在.6.解：⑴当0y ≠时，()()00sin sin limlim x x xy xy y y x xy→→==，即得()()0lim ,0,x z x y z y y →==当0y =时，()()0lim ,00,00x z x z →==，因此，函数在2R 上连续.⑵令2y kx =，得()()()()44242224,0,0,0,0limlim1x y x y x y kx kkx y x k x →→==+++，即()0,0点处的极限与路径有关，则()0,0点处极限不存在，由此函数在()0,0点处不连续.7.解：令,y x y u v x +==，则,11u uv x y v v ==++，由此()()2221,111u v u uv f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即()()21,1x y f x y y-=+.8.解：由函数的定义域为(){},0x y x ≠，由此可得函数的间断点组成的集合为(){},0x y x =.习题9-21.D2.C解析：由()()()()2,12,12,12,12242822424ux by b xu bx cy b c y ⎧∂=-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=-+=⎪∂⎩，得22b c =-⎧⎨=-⎩，则224u b x y ∂=-=∂∂.3.B解析：由()()()()2,12,12,12,12242622420ux by b xu bx cy b c y ⎧∂=-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=-+=⎪∂⎩，得12b c =-⎧⎨=-⎩，则2224u c y ∂==-∂.4.B解析：由2232x f x y y =+-，得()3,256x f =. 5.C解析：由2222,u y u x x x y y x y ∂-∂==∂+∂+，得()()222222222222,u xy u xy x y x y x y ∂∂-==∂∂++，因此 22220u ux y ∂∂+=∂∂. 6.D解析：函数两端同时取对数，得ln ln x z y y =，两端同时对x 求导，得111ln x x z xy y y z y y-∂=+∂，由此可得111ln ln x x x y x z x z xy y y y y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=+=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭. 7.1x x +，211x - ，0，2yy x-. 8.解：436,43z z x y x y ∂∂=-+=-+∂∂. 9.解：221cos e e ,cos e xy xy xy z y y z yxy x x x x y x x---∂∂=-+-=-∂∂. 10.解：11,ln ,ln ln z z z z y z y z y u u uy x zy x x y x x y x y z--∂∂∂===∂∂∂.11.解：()()()()()()0,00,00,0,00,0lim0,0,0lim 0x y x y f x f f y f z z x y∆→∆→∆-∆-====∆∆.12.解：由()()222cos 2,2cos 2x y f x x y f x y =+=+，得()()2222c o s 24s i n 2xx f x y x xy =+-+，()24sin 2xy f x x y =-+，()24sin 2yx f x x y =-+，()24sin 2yy f x y =-+.13.解：()()1,6,371,6,3722zk x x ∂===∂.14.解：由函数(),f x y 在点(),f a b 处的偏导数存在，则有()()()()()0,,,,lim 2,x x f a x b f a b f a x b f a b f a b x x →+---⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦. 15.解：若()0,0x f 存在，则有()()()()00,0,00,00,0limlim x x x x x f x f f x xϕ→→-==，有函数(),x y ϕ在()0,0点连续，可得()()0lim ,00,0x x ϕϕ→=，此时0limx x x →不存在，但是x x为有界函数，因此，只需()0,00ϕ=，极限()(),00,0limx x x x f xϕ→=存在.习题9-31.d x y .解析：令(),,F x y z xyz =x F yz =y F xz =z F xy =由此，()()()()1,0,11,0,11,0,11,0,11,yxzzF F zzx F y F ----∂∂=-==-=∂∂d d z x y =.2.2222d d yz x xz y x y z xy z xy--+--. 解析：令()333,,31F x y z x y z xyz =++--，得22233,33,33x yzF x y z F y x z F z x y=-=-=-，由此，2222,y x z z F F zyz x z xz y x F z xy y F z xy∂-∂-=-==-=∂-∂-，则2222d d d yz x xz y z x y z xy z xy --=+--.3.331d d ln2d 8168x y z --. 解析：由()()11,2,31,2,33,8z uz x x y y -⎛⎫∂== ⎪∂⎝⎭()()121,2,31,2,33,16z u xz x y y y -⎛⎫∂=-=-⎪∂⎝⎭()()1,2,31,2,31ln ln 28zu x x z y y ⎛⎫⎛⎫∂==- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ 则331d d d ln2d 8168u x y z =--. 4.解：由23323,22z z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+，得23323d d d 22y z x y x y x y=+++. 5.解：由()()()()()()25,625,625,625,6222122,31393z z x y x y ∂∂=-==-=∂∂，得2d 2d d 3z x y =+.6.解：由()()e e sin e e 1sin e ,e e sin e e 1sin e xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy z zy y y x x x x y∂∂=+=+=+=+∂∂， 得()()d e 1sin e d e 1sin e d xy xy xy xyz y x x y =+++.7.解：令yz x =，则有1,l n y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，令001.04, 2.02,1,2x y x y ====，则有d 0.04,d 0.0x x y y =∆==∆=，由全微分与全增量的近似关系可得：()()()()000000,,,,d d d x y x y z zz z x y z x y z x y x y ∂∂∆=-≈=+∂∂由此，()()()()2.0211,21,21.041.04,2.021,2d ln d 1.08y y z z yx x x xy -=≈++=.8.解：由uu xy ∂∂===∂∂，得d z x y =9. 解：由()()()()()()0,00,00,0,00,0lim0,0,0lim 0x y x y f x f f y f f f x y∆→∆→∆-∆-====∆∆，可知在点()0,0的两个偏导数是存在的；令y kx =，则()()2222222,0,00lim lim 1x y x xy kx kx y x k x k→→==+++，即()0,0点处的极限与路径有关，则可得()0,0点处极限不存在，即得函数在()0,0点处不连续，由此函数在()0,0点初不可微.习题9-41.D解析：由复合函数求导法则得()()d d e ,e d d x y u y t u y tf t f t x t x y t y-∂∂∂∂''====-∂∂∂∂，从而 ()()222e e ,x x u u u t x x f t f t x t x x∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭'''=+=+∂∂∂∂ ()()222e e y y u u y y u t f t f t y t y y--⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭'''=+=+∂∂∂∂ 则()()()()222222e e e e x y x yu u f t f t x y--∂∂'''+=+++∂∂. 2.A 解析：由cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，两个方程左右两端同时取微分可得d cos d sin d d sin d cos d x r r y r r θθθθθθ=-⎧⎨=+⎩，由此求得d cos d sin d sin cos d d d r x yx y r rθθθθθ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，由复合函数求导法则，得 ()()d sin d cos ,d d u u u u x x r y x rθθθθϕθϕθθθ∂∂∂∂''==-==∂∂∂∂ 进而可得，()()()222222sin sin cos sin cos u u u r x x x r x x r r rθθθθθθϕθϕθϕθθ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''=+=--+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()()222222cos sin cos sin cos u u u r y y y r y y r r rθθθθθθϕθϕθϕθθ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂''''=+=-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭因此，()222221u u x y rϕθ∂∂''+=∂∂.3.B解析：由()(),u x r x f r f r x r x r ∂∂''==∂∂，得()()22222xr x u xr f r f r x rr -⋅∂'''=+∂，()()()()2222222222,y zr y r z u yu z r r f r f r f r f r y r r z r r-⋅-⋅∂∂''''''=+=+∂∂，因此()()2222222u u u f r f r x y z r∂∂∂'''++=+∂∂∂. 4.C解析：令2y x =，由()22,e x f x x x -=得(),e x f x y y -=，则可知()2,e xy f x x -=.5.C解析：()()()()2e e sin ,e cos e sin x xx x u u f g y yf g y x x y∂∂'''==∂∂∂.6.B解析：令v x y =+，则有()1vz x =+，由复合函数求导法则可得()()()()()()()1111ln 111ln 1v v x y x y x v z v z z v x x x x y x x x x x-+-+∂∂=+=++++=+++++∂∂ 由此()()1,141ln 2zx ∂=+∂. 7.1uv ϕϕ+ 解析：令()(),,,F x y z x y y z z ϕ=---，由复合函数求导法则可得得,1x u z v F F ϕϕ==--，又由隐函数求导法则1x u z v F zx F ϕϕ∂=-=∂+. 8.解：arctan 221e arctan 1u v z u u x u v v v ⎛⎫ ∂ =+ ∂++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e arctan u vu u v u v v u v ⎛=+ ++⎝arctan 221e arctan ln 1u v z v u y u v v v ⎛⎫ ∂ =+ ∂++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221earctan uvv u u v v u v ⎛=+ ++⎝ 9.解：由2sin x t =，得d 2cos d x xt t =，即d cos d 2x tt x=，又由复合函数求导法则得 d d d cos 22sin cos 2cos sin cos sin 2d d d 2z z x z y tx y t t t t t t t x t y t x∂∂=+=+=+=+∂∂. 10.解：由复合函数求导法则222d 1d 1d 1,,d d d u u r x a u u r y b u u r z cx r x r r y r y r r z r z r r∂∂-∂∂-∂∂-==-⋅==-⋅==-⋅∂∂∂∂∂∂， 即333,,u x a u y b u z c x r y r z r∂-∂-∂-=-=-=-∂∂∂. 11.解：12ln zf x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=- ⎪⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即得()1,1,10f y ∂=∂. 12.解：由复合函数求导法则()()()()()22222262532z z t z s s t t s xy t y s y t s t s t s x y ∂∂∂∂∂----=+=+-==∂∂∂∂∂---+. 13.解：d d d 6d d d sin sinu u x u y t t x t y t ⎛⎫∂∂=+= ∂∂⎝cot t =14.解：令,x yu v y z==，则由隐函数求导法则 1112123322111,,u u u u v x u u f f f f f f f f x x y y y y y z z z z∂∂∂∂∂∂∂===+=-+==-∂∂∂∂∂∂∂ 由此得112322111d d d d x z f x f f y f z y yz z ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭. 15.证明：由复合函数求导法则，,,x u x u y u y v y u v z v z v w F u yF w F u F v xF zF w F v yF ===+=+==，则有()x z u v u v y xw zw xyF yzF y xF zF yw +=+=+=. 16.证明：由复合函数求导法则，e cos e sin ,e sin e cos x x x x zf u f v f f z f u f v f f y y y y x u x v x u v y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=+=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 由此再有复合函数求导法则，22e cos e cos x xz f u f u f y y x u u x v u x u ∂⎡∂∂∂∂∂∂⎤∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦ e sin e sin x xf u f u f y y u v x v v x v ⎡∂∂∂∂∂∂⎤∂⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222222222e cos 2e cos sin e sin e cos sin x x x x f f f f f y y y y y y u u v v u v ∂∂∂∂∂⎛⎫=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 同理，222222222222e sin 2e cos sin e cos e cos sin x x x x z f f f f f y y y y y y y u u v v u v ∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭由此可证：222222222=e =0x z z f f x y u v ⎛⎫∂∂∂∂++⎪∂∂∂∂⎝⎭. 17.解：由积分限函数求导法则可得()22eex y x x f -+-=-，则()()22ex y xy f x y -+=-+，因()120,12e exy f --==.习题9-51.222222e e e e y xy xx y x y ---解析：设()2222,ee 1yx F x y x y =--，可得2222222e 2e ,2e 2e y x y x x y F x y F x y =-=-，由隐函数求导法则可得222222d e e d e ey xx yxy F y x y x F x y -=-=--. 2.2coscos sinz yz yz z xy z y y-解析：设(),,ln cos z x F x y z y z =-，可得2sin1,cos x z zx yF F z z z y y=-=-，由隐函数求导法则可得2coscos sin x z z yz F zyz zx F xy z y y∂=-=∂-. 3.cos 1e zx+ 解析：设(),,sin 2e zF x y z x y z =+--，可得cos ,1e z x z F x F ==--，由隐函数求导法则可得cos 1ex zz F zx x F ∂=-=∂+. 4.2211xyz xy-- 解析：设()2,,F x y z xy z x y z =---，可得221,1y z F xyz F xy =-=-，由隐函数求导法则可得2211y z F zxyz y F xy∂-=-=∂-. 5.2222d d x yz y xz x y xy z xy z--+-- 解析：设()333,,31F x y z x y z xyz =++--，可得22233,33,33x y z F x yz F y xz F z xy =-=-=-由隐函数求导法则可得2222,y x z z F F z x yz z y xz x F xy z y F xy z ∂-∂-=-==-=∂-∂-，则由全微分计算式得 2222d d d d d z z x yz y xz z x y x y x y xy z xy z∂∂--=+=+∂∂--.解析：设(),,1F x y z=，可得x y z F F F ===由隐函数求导法则可得yxz zFFz zx F y F∂∂=-==-=∂∂，则由全微分计算式得d d dz zz x y x yx y∂∂=+=∂∂.7.解：设()(),,2cos2F x y z x x z y z=++--，可得()()2sin,1,sin2x y zF x z F F x z=-+=-=-+-由隐函数求导法则可得()()()2sin1,2sin2sinyxz zFx zFz zx F x z y F x z-+∂∂=-==-=-∂++∂++8.解：由隐函数求导法则xtFtx F∂=-∂，由复合函数求导法则可得ddxtFy f f t f fx x t x x t F∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂.9.证明：设,z zu x v yy x=+=+，则由复合函数求导法则可得2x u v u vu v zF F F F Fx x x∂∂=+=-∂∂2y u v u vu v zF F F F Fy y y∂∂=+=-+∂∂11z u v u vu vF F F F Fz z y x∂∂=+=+∂∂由隐函数求导法则可得22,1111u vu vyxz zu v u vzz F FF F FFz z yxx F y FF F F Fy x y x-+-∂∂=-=-=-=-∂∂++从而111111u v u vu vu v u v u vz z xy z xyz F yF F FxF Fz z y y xxx y z xy x y F F F F F Fy x y x y x---++-∂∂+=--==-∂∂+++.10.解：方程组11xy rs xr ys +=⎧⎨+=⎩中每一项对变量r 求导，可得00yx x y s r rx y r x s r r ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，由此可得22x x s r ys xr∂-=∂-.习题9-61.D解析：法线的方向向量()()(){},0,122,0,122,,1sin cos ,e cos ,11,1,12yz z z l x y x x y z x x y x y πππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎧⎫∂∂⎧⎫=-=+++++-=+-⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭由此得直线的标准方程1221112x z y πππ---==-+.2.B解析：切平面的法向量(){}00000,,,,12,2,1x y z z z n x y x y ⎧⎫∂∂=-=-⎨⎬∂∂⎩⎭ ，平面4216x y z ++=的法向量{}4,2,1n '= .由两平面平行，得00221421x y -==，从而002,1x y =-=-，代入曲面方程22z x y =+得05z =，即()2,1,5P --，由点到平面距离公式得d ==3.B解析：设(),,11F x y z xy yz zx =++-，可得,,x y z F y z F x z F x y =+=+=+，则切平面的法向量{}(){}1,2,3,,5,4,3x y z n F F F ==，得平面的点法式方程()()()5142330x y z -+-+-=.4.D解析：切平面的法向量{}()}000,,,,x y z x y z n F F F ==，yOz 平面的法向量{}1,0,0n '=，由平面夹角公式得cos 2n n n n θ'⋅=='，从而两平面夹角6πθ=.5.C.解析：令()()23,,tan 23F x y z x y z =++，可得法线的方向向量{}()(){}(){}223221,1,11,1,1,,sec 231,4,9sec 61,4,9x y z l F F F x y z y z ----==++=-得法线方程11149y z x ++-==-，又点()0,3,10-在其上，得方程的另一种形式31049y z x -+==-. 6.2210x x z +++=解析：令()22,,45F x y z x y z =+-+，设切点()000,,P x y z ，则切平面的法向量{}(){}00000,,,,2,4,2x y z x y z n F F F x z ==-又直线1122x y z --==的方向向量{}2,2,1l = ，切平面与直线垂直，得//n l ，即00224221x z -==，从而002,1x z ==-，代入曲面方程22450x y z +-+=得02y =-，即得()2,2,1P --，从而切平面方程为()()()4242210x y z -++++=即2210x x z +++=.7.(22034x y π⎛++-+= ⎝⎭解析：令()()()(),,sin 2cos 3sin 2F x y z x y y z z x =+++--量{},,6461,,,12x y z n F F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪==--+⎨⎪⎪⎩⎭，得平面方程110262426x y z πππ⎛⎛⎫⎛⎫⎫--+-+-++= ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即(22034x y π⎛++-+= ⎝⎭. 8.211222e ex y z-+==- 解析：令()22332,,e ee 1eyzx F x y z x y z =++--，则法线的方向向量为{}()2,1,012,,,2,2e e x y z l F F F -⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭由此得法线方程为211222e ex y z-+==-. 9.13解析：设点(),,P x y z ，设()22,,1F x y z x y z =---，由此得点(),,P x y z 处的法线方向向量。